24.1.4圆周角(优秀课件)
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圆周角(优秀课件)
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2A OB来自C2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝12 ∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝1 ∠ BOD＋1 ∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＝12 ∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝1 ∠ COD－1
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
O C
DB
∠BOD
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
2.一条弧所对的圆周角等于这条弧所 对的圆心角的一半．
3 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径（或半圆）所对的圆周角是直 角， 90°的圆周角所对的弦是直 径．
弦，若∠ACD=40°，则∠BOD 的度数为
C
A
.O B
D
6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上， ∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
O A
B
7. 如图，以 ABCD的一边AB为直 径作⊙O， ⊙O过点C，若 ∠AOC=70 °，则∠BAD的度数为
D
A
.O
C
B
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
24.1.4 圆周角PPT精品课件
3．如图 24-1-39，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A，∠B，∠C 的度数之比为 4∶ 3∶5，则∠D 的度数是 120 °.
图 24-1-39
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
分层பைடு நூலகம்业
︵
︵
1．[2019·吉林]如图 24-1-40，在⊙O 中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，若 P 为AB
类型之二 圆周角定理的推论的运用 [2019 秋·丹江口市期中]如图 24-1-35，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6
cm，且 AD＝BD.
(1)求线段 BC，AD，BD 的长．
(2)图中线段 CD 的长能否确定？若能，求出 CD 的长．
图 24-1-35
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，∴BC＝8 cm. ∵AD＝BD， ∴AD＝BD＝ 22AB＝5 2(cm)．
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
(2)解：如答图，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.
∵AE⊥CD，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴AE＝CE＝ 22AC＝3 2(cm)．
在 Rt△AED 中，DE＝ AD2－AE2＝4 2(cm)．
∴CD＝CE＋DE＝3 2＋4 2＝7 2(cm)．
例 2 答图
【点悟】 直径所对的圆周角是直角，所以“由直径构造直角三角形”是常见的
图 24-1-39
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
分层பைடு நூலகம்业
︵
︵
1．[2019·吉林]如图 24-1-40，在⊙O 中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，若 P 为AB
类型之二 圆周角定理的推论的运用 [2019 秋·丹江口市期中]如图 24-1-35，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6
cm，且 AD＝BD.
(1)求线段 BC，AD，BD 的长．
(2)图中线段 CD 的长能否确定？若能，求出 CD 的长．
图 24-1-35
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，∴BC＝8 cm. ∵AD＝BD， ∴AD＝BD＝ 22AB＝5 2(cm)．
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
2 4 . 1 .4 圆周角P P T 精品课件
(2)解：如答图，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.
∵AE⊥CD，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴AE＝CE＝ 22AC＝3 2(cm)．
在 Rt△AED 中，DE＝ AD2－AE2＝4 2(cm)．
∴CD＝CE＋DE＝3 2＋4 2＝7 2(cm)．
例 2 答图
【点悟】 直径所对的圆周角是直角，所以“由直径构造直角三角形”是常见的
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
数学：24.1.4《圆周角》课件(人教新课标九年级上)
典型例题
Байду номын сангаас
2.如图，点A、B在⊙O上，点P为⊙O上 动点，要是△ABP为等腰三角形， (1)请画出所有符合条件的点P.
(2)如果∠AOB=１００°，请求出所 有符合条件∠P的度数.
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2 把圆周4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ；
拓展提高
1、如图，AD是⊙O的直径． (2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2， B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数；
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2， B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答 案 )．
人教版九年级上册
C E O D
B
A
路桥三中 张春凤
知识回顾
顶点在圆心的角叫圆心角
探究新知
顶点在圆上，两边都与圆相交的 角叫做圆周角。 C
O A B
探究新知 下列哪些图中的∠α是圆周角? 一个角是圆周角的条件：
1
（1）角的顶点在圆上； （2）角的两边都与圆相交 。 (3)
(6)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等 ,都等于这条弧所对圆心角的一 思考 :在同圆或等圆中，等弧所对的圆周 角相等吗 ? 半。
活动小结 1、因图形的位置不能确定， 就必须分类讨论；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类； 3、逐类讨论解决； A
A
●
O
O
B C
4、归纳并作出结论。
转化 思想
24.1.4_圆周角课件PPT(精)
A O
C
●
B A O
老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
D
●
C
∠ABD
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半.
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
1 = 2 ∠AOD,∠CBD
= 1∠COD,
2
B
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B●OOOBB
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？ 它们有何共同点？
∠ADB与∠ACB有什么关系？
圆周角定理: 同弧 (等弧) 所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
思考: 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的 弧相等吗?
24.1.4 圆周角
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
B
. O
C
2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、
弦、弦心距四组量之间关系的一个结论，这
个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、
弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余
三组量都分别相等。
A
顶点在圆上,并且 角两边是圆的两条弦的角 两边都与圆相交的角, 叫做圆周角.
O A D B
顶点在圆上
这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！
小结：
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用。
人教版数学九上24.1.4 圆周角 说课课件(共21张PPT)
D
BF
三、总结提升---解题方法总结
常见解法
等腰直角三角形
角平分线、四边形
C
F A EO
A B
D C
A
A
O
B
D
常见思路，但没有充 分运用特殊角的条件
C
12
E O
CD
12
O E
A B
C
12
O
D C
12
B
A
O
E
E B A E
B
C
12
O E
D
F B
D D
充分利用特殊角构造 等腰直角三角形
从角平分线入手，构 造角平分线基本图形， 再由特殊角得到特殊
如图，以ABC 的BC 边上一点O为圆心的圆经过
A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半
圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC FC.
A
求证：B 2C 90
等弧、半径
B
OF
E
C
垂径定理
连接AO
D
BC OD
等腰OAD
RtODF
三、总结提升---模型归纳
在 O 中，AB是直径，弦AC与弦BC交圆于C 点C，
24.1.4圆周角
题目：
九年级上册 87页 24.1.4圆周角 例4
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交于⊙O点D，求 BC，AD，BD的长.
说题流程
一、审题分析 二、解题过程 三、总结提升 四、评价分析
一、审题分析
题目背景
题
知
方思
材
识
法想
背
背
背背
景
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
24.1.4圆周角PPT(共28张)
A
B
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
C
4、已知∠AOB＝110°，
O
B 求：∠ACB =
O
B
D
A
A
C
第11页，共28页。
思考(sīkǎo)：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对弧一定相等．
因为，在同圆或等圆中，
2
BAC 1 BOC 2
A
O·
C
A
O·
C D
第8页，共28页。
（3）在圆周角的外部(wàibù)．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
2
BAC 1 BOC
2
A
O·
D
C
B
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半．
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经
与⊙ 过点 的直线 A
CD (zhíxiàn)
O1
交于点C，与
⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
第25页，共28页。
连结 AB (lián jié)
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
四、例题
例 如图，⊙O直径(zhíjìng)AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
最新24.1.4圆周角(优秀课件)课件PPT
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在
圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则 ∠BPC等于（ B）
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2A B 2 1 052 (c m )
2
2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对
角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
C
8 7
3
4
B
6 5
三、诊断 l． 目黄、身黄、小便黄乃黄疸三大主症，且三症之
求证： △ABC 为直角三角形.
AB
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO=
1 2
AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径, ∴∠ACB=12 ×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
病因：湿邪、疫毒 病机：疫毒外侵、湿热蕴结、积聚内阻，引发胆汁不循常道，
或化源不充、血败不华于色，以致身目而黄。 胆汁泛溢。 病位：肝胆、脾胃。所病脏腑间又可相互传变。 病性：阴 阳 阳黄： 疫毒所犯， 发急黄；
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P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的 大小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
3 6 4 5
C A
2 1 8 7
∠3 = ∠6
B
D
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B 使用帮助
A
O
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条 边为直径的圆.）
已知：△ABC 求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
1 2
1 ，CO为AB边上的中线，且CO=2
AB
C
以AB为直径作⊙O，
CO= AB, ∵AO=BO，
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,
1 ∴∠ACB= 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
内容小结：
C1
A
C2
C3 B
O
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB 是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
归纳总结
圆周角定理
C
D
A
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半． 推 论
结论：圆周角定理
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等， 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半； 如图：则有
1 AOB ∠ACB=1 ； 2 ∠ADB= AOB ； 2
∠ ACB =∠ ADB .
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时,他 所处的位置对球门AC分别形 成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?. A E
24.1.4
圆周角
回 忆
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四个量之 间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一 组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。 O
.
A
B
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A P
B
练习:
3、求圆中角X的度数
P O A
（1）
.
B
600 350
120°
70° x
A
120
O X0
（2）
.
B
练习:
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
O
C
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A
B
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有 什么关系？
推论：在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也 相等。
探究与思考： 问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
A
O
·
B
E
C2 C1 C3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 直径（或半圆）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
O
·
B
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
B
O C D
1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
3.第三种情况：圆心在∠BAC的外部.
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
O
2 1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD
C D B
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠C
O
B
D
C
⌒ AC所对角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有 什么关系？
考考你
像∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这样的角，叫什么角 呢？ 仿照圆心角定义： A 顶点在圆心的角叫圆心角。
E
●
O
B
D
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角． C
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理 由。 P
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A O B C B O
A
A
O
C
C
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况：圆心在∠BAC的一边上 ∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B O C
A
1 即∠A= ∠BOC 2
2.第二种情况：圆心在∠BAC的内部.
A
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
BC AB 2 2 102 2 8 AC 6
∵CD平分∠ACB，
A
O
B
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对 角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
●
A E B D
C
O
B
D
C
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的 大小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
3 6 4 5
C A
2 1 8 7
∠3 = ∠6
B
D
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B 使用帮助
A
O
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条 边为直径的圆.）
已知：△ABC 求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
1 2
1 ，CO为AB边上的中线，且CO=2
AB
C
以AB为直径作⊙O，
CO= AB, ∵AO=BO，
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,
1 ∴∠ACB= 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
内容小结：
C1
A
C2
C3 B
O
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB 是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
归纳总结
圆周角定理
C
D
A
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半． 推 论
结论：圆周角定理
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等， 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半； 如图：则有
1 AOB ∠ACB=1 ； 2 ∠ADB= AOB ； 2
∠ ACB =∠ ADB .
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时,他 所处的位置对球门AC分别形 成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?. A E
24.1.4
圆周角
回 忆
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四个量之 间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一 组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。 O
.
A
B
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A P
B
练习:
3、求圆中角X的度数
P O A
（1）
.
B
600 350
120°
70° x
A
120
O X0
（2）
.
B
练习:
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
O
C
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A
B
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有 什么关系？
推论：在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也 相等。
探究与思考： 问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
A
O
·
B
E
C2 C1 C3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 直径（或半圆）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
O
·
B
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
B
O C D
1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
3.第三种情况：圆心在∠BAC的外部.
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
O
2 1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD
C D B
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠C
O
B
D
C
⌒ AC所对角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有 什么关系？
考考你
像∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这样的角，叫什么角 呢？ 仿照圆心角定义： A 顶点在圆心的角叫圆心角。
E
●
O
B
D
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角． C
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理 由。 P
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A O B C B O
A
A
O
C
C
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况：圆心在∠BAC的一边上 ∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B O C
A
1 即∠A= ∠BOC 2
2.第二种情况：圆心在∠BAC的内部.
A
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ 2 ∠ BOD
BC AB 2 2 102 2 8 AC 6
∵CD平分∠ACB，
A
O
B
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对 角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
●
A E B D
C
O
B
D
C
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C