角函数的图象与性质练习题及答案

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三角函数的图象和性质练习题及答案

1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为〔〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1）因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数，故∈+==k k 6,31ππθω Z（2）因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。

三角函数图像和性质练习题(附答案)

三角函数的图像与性质【1】一、选择题1.已知函数f(x)=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于（）A.32 B.23C.2D.3 2.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于． A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()()6yx x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈4.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-5.将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin()6yx π=-的图象，则ϕ等于（）A .6πB .76πC .116πD .56π6.函数x x y 2cos 32sin -=)66(ππ≤≤-x 的值域为A.[]2,2- B. []0,2- C. []2,0 D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A ．B ．C.D.8.函数f(θ ) =sin θ－1cos θ－2的最大值和最小值分别是()(A) 最大值 43 和最小值0(B)最大值不存在和最小值 34(C) 最大值－43 和最小值0(D) 最大值不存在和最小值－349.ααcos sin +=t且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（）A. [)0,2-B. []2,2-C. ()(]2,10,1 -D. ()()+∞-,30,310.把函数)(x f y =的图象沿着直线0=+y x 的方向向右下方平移22个单位，得到函数x y 3sin =的图象，则（）A 、2)23sin(--=x yB 、2)63sin(--=x yC 、2)23sin(++=x yD 、2)63sin(++=x y二、填空题11.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=. 12.方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是．13.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间14.已知x R ∈，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和等于。

三角函数的图像和性质(含答案)

.三角函数的图像和性质1．函数）62sin(21π+=x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ2．函数y ＝cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】388k k ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-＋，＋(k∈Z)3．函数3sin(2)3y x π=+图象的对称中心是_______．【答案】(,0)32k ππ-+4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5π，则ω=_________。

【答案】105．函数)4tan()(π+=x x f 单调增区间为（）A ．Z k k k ∈+-),2,2(ππππ B ．Z k k k ∈+),,(πππC ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππD ．Z k k k ∈+-),43,4(ππππ 【答案】C6．下列函数中周期为π且为偶函数的是（） A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D. )2cos(π+=x y【答案】A7．设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)4π对称C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在[0,]12π上为增函数【答案】D8．如果函数)4cos(ax y +=π的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( )A ．41=a B ．21=a C ．43=a D ．1=a【答案】C9．已知ω>0，0<φ<π，直线x =4π和x =54π是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）34π【答案】A【解析】试题分析：函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴间的距离等于半个周期，所以2,1T πω==.由sin()14πϕ+=得4πϕ=满足0ϕπ<<，故选A.考点：三角函数的图象及其性质. 10．若当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数()4y f x π=-是（）Ａ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称Ｂ．偶函数且图像关于直线2x π=对称Ｃ．奇函数且图像关于直线2x π=对称Ｄ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称【答案】D【解析】由题意知sin()14πϕ+=-，即324k πϕπ=-；函数3()sin(2)cos 444y f x A x k A x ππππ=-=-+-=-，所以是偶函数且图像关于点(,0)2π对称.11．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-l B．2 C．2- D ．0 【答案】C【解析】因为[0,]2x π∈，所以32[,],444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因此()sin 2[4f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭即函数最小值是2-.12．函数y ＝2sinx 263x ππ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域是________．【答案】[1，2]【解析】根据正弦函数图象，可知x ＝6π时，函数取到最小值1；x ＝2π时，函数取到最大值2. 13．当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________。

三角函数的图像和性质练习和解析(高考真题)

三角函数的图像与性质A 级基础一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2 x 的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π2．(2019·佛山一中月考)将点P (1，1)绕原点O 逆时针方向旋转π3到点Q 的位置，则点Q 的横坐标是( )A.1－32B.1＋32C.2－64D.2＋623．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π34．(2019·华师附中调研)古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年－1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单的声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π65．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减二、填空题6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终点过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________．7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．8．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________三、解答题9．已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间．10．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．B 级能力提升11．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极大值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．A 级基础一、选择题1．解析：f (x )＝tan x1＋tan 2 x＝sin x cos x 1＋（sin x cos x ）2＝sin x cos x cos 2 x ＋sin 2 x cos 2 x ＝sinx ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案：C2．解析：依题意，点Q 在角π4＋π3＝712π的终边上，且|OQ |＝2，所以点Q 的横坐标x 0＝2cos 712π＝－2sin π12＝－2×6－24＝1－32.答案：A3．解析：f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6. 又函数g (x )是偶函数，所以2φ＋π6＝k π＋π2，则φ＝π6＋k π2(k ∈Z)．由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，知φ＝π6.答案：B4．解析：由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，所以2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，所以7π4＋φ＝k π(k ∈Z)，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.答案：C5．解析：因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2，所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误；当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )递减，D 正确．答案：D 二、填空题6．解析：因为角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，所以x ＝－3，y ＝－1，所以tan α＝yx ＝33，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0.答案：337．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178.因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )有最小值－4. 答案：－48．解析：依题意，当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则πω4－π6＝2k π(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋23(k ∈Z)，由ω>0，所以ω的最小值为23.答案：23三、解答题9．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上，所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α＝23×⎝⎛⎭⎪⎫－32×12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－3.(2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.易知f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 所以f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π 6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. 10．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x ＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.B 级能力提升11．解析：已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0，2π)可能有2个或3个极小值点，所以①正确，②不正确．当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5＜6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；由④知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜πω10＋π5＜49π100＜π2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，③正确．综上可知，所有正确结论的编号为①③④.答案：D12．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12(k∈Z)．若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标．所以b的最小值为4π＋11π12＝59π12.。

专题五三角函数的图像与性质(基础题型)含详解

专题五三角函数的图像与性质（基础题型）一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]2．三角函数y=sin 是（）A．周期为4π的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数3．函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间是（）A．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称6．函数的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．7．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A．B．πC．2D．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为．16．在，则函数y=tanx的值域为．17．函数的最小正周期是．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=．20．如图是的图象，则其解析式为．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．专题五三角函数的图像与性质（基础题型）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin （2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m 的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断以及正弦函数的图象应用问题，体现了转化、数形结合的数学思想．2．三角函数y=sin是（）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性，可得结论．【解答】解：三角函数y=sin是奇函数，它的周期为=4π，故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．3．函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间是（）A ．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k ∈ZB ．[2kπ﹣，2kπ+]，k ∈ZC ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈ZD ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z【分析】利用诱导公式可得本题即求函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得x 的范围，可得函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间．【解答】解：函数y=sin （﹣2x ）=﹣sin （2x ﹣）的单调递减区间，即函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈z ，故函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间，即函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；显然，它是偶函数，故B正确；当x=时，求得函数值y=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=对称，故C错误；在区间上，f（x）=﹣cos2x是增函数，故D正确，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称【分析】由条件利用正弦函数的值域，可得结论．【解答】解：根据函数f （x ）=|sinx |的最大值为1，可得B 不正确，故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，属于基础题． 6．函数的图象的对称轴方程为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据余弦函数的性质即可求解对称轴方程【解答】解：函数，令，k ∈Z可得：πx=，即，k ∈Z ．故选：C ．【点评】本题考查了余弦函数的图象及性质，对称轴方程的求法．属于基础题．7．y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（） A ．B ．πC ．2D ．【分析】y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，即可求出y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离．【解答】解：y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，∴y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是=，故选：A ．【点评】本题考查了函数y=Acos （ωx +φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数【分析】本题即求函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：方程cosx=lgx的实根的个数，即函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数为3，故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，余弦函数、对数函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【分析】由条件利用诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，故此函数是周期为=π的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【分析】对称中心就是函数图象与x轴的交点或函数图象的渐近线和x轴的交点，令3x﹣=，k∈z，解得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），从而得到答案．【解答】解：∵函数y=2tan（3x﹣），令3x﹣=，k∈z，可得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），令k=﹣2，可得一个对称中心是（﹣，0），故选：C．【点评】本题考查正切函数的对称中心的求法，得到3x﹣=，k∈z 是解题的关键，属于基础题．11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由＜2x﹣，即﹣＜x＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】根据三角函数的图象平移关系进行判断即可．【解答】解：由y=2sin（2x+）=2sin2（x+），可以将函数y=2sin2x图象向左平移个长度单位即可，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数图象关系的判断，结合平移关系是解决本题的关键．13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【分析】直接利用函数图象的平移变换得答案．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+）．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的平移，是基础题．14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位，可得函数的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为π．【分析】根据余弦函数y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为T=，求出即可．【解答】解：函数y=3cos（2x+）的最小正周期为T===π．故答案为：π．【点评】本题考查了余弦函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．16．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．函数的最小正周期是2．【分析】由已知中函数的解析为，我们可以求出对应ω值，代入T=，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数∴ω=∴T==2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是正切函数的周期性，其中根据函数的解析式求出ω值，是解答本题的关键，在解答过程中易将正切型函数的周期误认为而产生错解．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值3，求出φ，得到函数的解析式，即可．【解答】解：由题意可知A=3，T=2（）=4π，ω==，当x=时取得最大值3，所以3=3sin（+φ），sin（）=1，，∵，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式，再利用利用正弦函数的周期性求得要求式子的值．【解答】解：由题意和图象可得A=2，T=6，则T=8，则ω=，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=252×0=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，利用正弦函数的周期性求函数的值，属于基础题．20．如图是的图象，则其解析式为．【分析】由图象可得A值，结合周期公式可得ω，代点可得φ值，可得解析式．【解答】解：由图象可得A=2，周期T=﹣（﹣）=2π，由周期公式可得ω=1，∴y=2sin（x+φ），代点（﹣，0）可得0=2sin（﹣+φ），结合0＜φ＜可得φ=故答案为：【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，属基础题．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．【分析】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间．【解答】解：由，解得．∴定义域．周期函数，周期．由，解得∴函数的单调递增区间为．【点评】本题是基础题，考查正切函数的基本知识，单调性、周期性、定义域，考查计算能力．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．【分析】（1）由题意利用正切函数的定义域可得x﹣≠kπ+，求得x的范围，可得函数的定义域．（2）根据题意利用正切函数的单调则区间可得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，由此求得x的范围，得到f（x）的增区间．（3）利用正切函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称中心．【解答】解：（1）对于函数f（x）=tan（x﹣），令x﹣≠kπ+，求得x≠kπ+，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．（2）令kπ﹣＜x﹣＜kπ+，求得π﹣＜x＜kπ+，可得函数的增区间为（π﹣，kπ+），k∈Z．（3）令x﹣≠，求得x≠+，k∈Z，故函数的对称中心为（+，0），k∈Z．【点评】本题主要考查正切函数的定义域、单调区间、以及图象的对称性，属于基础题．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）根据正弦型函数求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求出x∈[，]时2sin（2x﹣）的取值范围，即得f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，∴f（x）的最大值是2，最小值是﹣．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．【分析】（1）直接利用整体思想求出正弦型函数的单调区间．（2）直接利用整体思想求出正切型函数的单调区间．（3）直接利用整体思想求出余弦型函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递增区间为：[0，]令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递减区间为：[]（2）f（x）=|tanx|；由于y=tanx的单调增区间为：（k∈Z），所以：函数的单调增区间为：（k）（k∈Z），函数的单调减区间为：（k∈Z），（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），当k=0时，函数的单调增区间为：[]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），故函数的单调减区间为：[﹣，﹣]和[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质单调性的应用．。

高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析

高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析1.已知,函数在上单调递减.则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合正弦函数的图象可知，要使函数在上单调递减，需要，解得的取值范围是.【考点】本小题主要考查三角函数图象的应用和由三角函数的单调性求参数的取值范围，考查学生综合应用函数图象解决问题的能力.点评：函数在上单调递减，则应该是函数的单调区间的一个子区间.2.函数的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于原点对称【答案】B【解析】令，当时，，所以该函数图象关于直线对称.【考点】本小题主要考查三角函数图象的对称性.点评：正余弦函数图象的对称轴过最值点，所以本小题也可以将选项代入验证求解.3.已知函数（其中）图象的相邻两条对称轴间的距离为，且图象上一个最高点的坐标为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.【答案】; (2)【解析】（1）由题意知，函数的周期为，所以，……2分因为图象上一个最高点的坐标为，所以，所以……7分（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，……10分令，解得函数的单调递减区间为. ……14分【考点】本小题主要考查由三角函数图象求三角函数解析式和由解析式求函数的性质，考查学生数形结合思想的应用.点评：求参数时要注意参数的取值范围，求单调区间时要注意不要忘记4. (2010·衡水市高考模拟)设a＝log tan70°，b＝log sin25°，c＝log cos25°，则它们的大小关系为()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c【答案】A【解析】∵tan70°>cos25°>sin25°>0，log x为减函数，∴a<c<b.5.已知函数f(x)＝2a sin＋b的定义域为，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．【答案】a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1.若a>0，则，解得，若a<0，则，解得，综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.6.要得到函数y＝tan x图象，只需将函数y＝tan的图象()A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】将y＝tan中的x换作x－可得到y＝tan x，故右移个单位．7.函数f(x)＝tan的单调递增区间为()A．，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z【答案】C【解析】∵kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，∴kπ－<x<kπ＋ (k∈Z)．8.求函数y＝的值域和单调区间．【答案】递增区间是k∈Z；递减区间是k∈Z.【解析】y＝，∵(tan x－1)2＋1≥1，∴值域是(0,1]，递增区间是k∈Z；递减区间是k∈Z.9.如果sinα·tanα<0，且sinα＋cosα∈(0,1)，那么角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵sinα·tanα<0，∴α是第二或第三象限角，又∵sinα＋cosα∈(0,1)，∴α不是一和三象限角，∴α为第二象限角10.已知sin(490°＋α)＝－，则sin(230°－α)的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵sin(490°＋α)＝－，∴sin(490°＋α－720°)＝－，即sin(α－230°)＝－，∴sin(230°－α)＝.11.由y＝sin x变换成y＝－2sin x，则()A．各点右移π个单位，纵坐标伸长到原来2倍B．各点左移π个单位，纵坐标缩短到原来的C．各点右移π个单位，纵坐标缩短到原来的D．各点左移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍【答案】A【解析】因为由y＝sin x各点右移π个单位得到y＝sin(x-π)="-sinx," 纵坐标伸长到原来2倍得到y＝－2sin x，因此选A12.化简＝________.【答案】1【解析】原式＝＝1.13.作出函数y＝2cos的图象，观察图象回答．(1)此函数的最大值是多少？(2)此函数图象关于哪些点中心对称(至少写出2个)．【答案】(1)2 (2)，.【解析】描点作出图象如图．(1)最大值为2.(2)，.14.下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2x B．y＝－sin xC．y＝sin|x|D．y＝sin x＋1【答案】C【解析】A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数15.已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集是( )A ．(－3，－)∪(0,1)∪(，3) B ．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D ．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)【答案】B【解析】f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x ∈(－3,3)时，cos x >0的解集为(－，)，cos x <0的解集为(－3，－)∪(，3)，∴f (x )·cos x <0的解集为 (－，－1)∪(0,1)∪(，3)．16. 函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________ 【答案】(－π，0]【解析】∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．17. 若函数f (x )＝2cos 的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______【答案】6 【解析】∵1<<3，∴<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.18. 已知函数f (x )＝sin，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值．【答案】63【解析】函数f (x )＝sin 的周期为T ＝＝.由题意知T ≤1，即≤1，|k |≥20π≈62.8.所以最小正整数k 的值为63.19. 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最值时自变量x 的值． (1)y ＝－cos3x ＋； (2)y ＝3sin ＋1.【答案】(1) x ＝π(k ∈Z)时有，y max=2，x ＝π(k ∈Z)时，y min ＝－×1＋＝1.（2）x ＝＋k π(k ∈Z)时，有y max ＝3＋1＝4，x ＝π＋k π(k ∈Z)时，y min ＝3×(－1)＋1＝－2.【解析】(1)∵－1≤cos3x≤1，∴当cos x＝－1，即3x＝π＋2kπ，＝－×(－1)＋＝2；x＝π(k∈Z)时有，ymax＝－×1＋＝1.当cos3x＝1，即3x＝2kπ，x＝π(k∈Z)时，ymin(2)∵－1≤sin≤1，∴当sin＝1，＝3＋1＝4；当sin＝－1，即x＝π即2x＋＝＋2kπ，x＝＋kπ(k∈Z)时，有ymax＋kπ(k∈Z)时，y＝3×(－1)＋1＝－2.min20.设θ是不等边三角形的最小内角，且cosθ＝，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，－3)【解析】∵θ是不等边三角形的最小内角，∴0°<θ<60°.由cosθ在内单调递减知：<cosθ<1，即<<1.解得a<－3.故所求实数a的范围为(－∞，－3)．本题容易误判θ∈(0°，90°)或用错单调性得出0<cosθ<而致误。

专题46 三角函数的图象与性质(多选题)(解析版)

专题46 三角函数的图象与性质（多选题）一、题型选讲题型一、三角函数的基本概念例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+【答案】AB【解析】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>；选项B ，cos sin 0αα->；选项C ，sin cos 0αα<；选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB.变式1、（2020·枣庄市第三中学高三月考）下列函数，最小正周期为的偶函数有（） A ． B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A 选项，函数为奇函数，不符合题意. 对于B 选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意. 对于C 选项，函数的最小正周期为，不符合题意. 对于D 选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意. 故选：BD变式2、定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足+=2πθϕ，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin(+)=-4πα，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A. sin βB. 1cos(+)=4πβC. tan βD. tan β 【答案】ACπtan y x =|sin |y x =2cos y x =sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭tan y x =sin y x =π2cos y x =2ππsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭π【解析】：11sin()sin sin 44πααα+=-=-∴=，cos α=，对于A ，sin sin()cos 2πβαα=-=可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A 符合条件;对于B ，假设角β与角α“广义互余”，11cos()cos()sin 244ππβαα+=--=-=-≠，故B 不符合条件;对于C ，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=若广义互余即cos α=，即C 符合条件;对于D ，tan β=即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=，若广义互余即cos α=，故D 不符合条件故选：.AC题型二、三角函数的性质的简单运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误故选：AC变式2、（2020·山东日照·高三月考）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，sin y x =2π()y f x =则（）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的图像关于直线对称D ．的图像关于点对称【答案】AD【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，为偶函数，故A 正确；的周期为，排除B ；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C ；，故D 正确故选：AD.变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD()y f x =()y f x =π()y f x =2x π=()y f x =,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =2π()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()cos f x x =()cos f x x =2πcos 022f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x 2x π=cos 022f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cosx x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】BD【解析】()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确；当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin 162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD题型三、三角函数图像与性质的综合运用例3、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈，所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈，所以选项D 正确. 故选：ACD变式1、已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[0,π]上有2个零点C ．当x =56π时，函数()f x 取得最大值 D ．为了得到函数()f x的图象，只要把函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变) 【答案】ABCD 【详解】22T ππ==，则A 正确；当x ∈[0，π]时，23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时余弦函数cos y x =只有两个零点，则可知B 正确；因为23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以当223x ππ+=时，即x =56π时，函数()f x 取得最大值，则可知C 正确；函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得出23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则D 正确；.变式2、已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001f x f x =+=且()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（） A ．0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为4D ．()f x 在(0,2020)上的零点个数最少为1010个【答案】AC 【详解】对A ，()00,1x x +的区间中点为012x +，根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ，若00x =，则()0sin 211sin 122f f ϕωϕ⎧==⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值， ∴24k ϕπ=+π，则()42k k z πωπ=+∈， ωπ∴≠，故B 错误；对C ，()()0000211sin 122sin 2x f x f x x ωϕωϕ⎧+⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=⎪⎩，又()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，002122224x k x k πωϕππωϕπ+⎧+=+⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩，(其中k z ∈)，解得：2πω=，2242T πππω∴===，故C 正确；对D ，当4T =时，区间(0,2020)的长度恰好为505个周期，当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间(0,2020)上零点个数至多为50521010⨯=个零点，故D 错误.变式3、（2020·山东高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（） A ．为奇函数 B ． C ．当时，在上有4个极值点()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π2()g x ()01g =-()g x π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5ω=()g x ()0,πD ．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD 【解析】∵ ∴，且， ∴，即为奇数，∴为偶函数，故A 错. 由上得：为奇数，∴，故B 对. 由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C 对，∵在上单调，所以,解得：，又∵， ∴的最大值为5，故D 对故选：BCD.二、达标训练()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(0)1g =-()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭14k ω=-()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦ω()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭5ω=5()sin(5)cos52g x x x π=-=-25T π=()g x ()0,π()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦π052T πω-≤=05ω<≤14k ω=-ω1、已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（） A ．2π为()f x 的一个周期 B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【详解】根据函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确. 当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；7()cos 6f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.2、已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为5π12x =，则（） A ．π3ϕ=B ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π3个单位长度得到C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦D ．函数()f x 在区间ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】BC【详解】()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，22Tπω∴==，又2x π=为()f x 的对称轴，52,0122k ππϕπϕ∴⨯+=<<，=6πϕ∴， ()cos(2)6f x x π∴=+；对于A ，=6πϕ，A 错；对于B ，sin 2y x =的图象向左平移π3个承位长度得到2sin(2)3y x π=+，而2sin(2)sin(2)cos(2)()3266y x x x f x ππππ=+=++=+=，所以，B 对；对于C ，7cos 22666x x ππππ≤⇒≤+≤，1cos(2)62x π∴-≤+≤，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦，C 对；对于D ，11522666x x πππππ-≤≤-⇒-≤+≤-，cos x 在11,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，()f x ∴在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不是单调的，D 错；3、已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（） A ．ωπ= B ．3πϕ=C ．将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得到函数2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 D ．() y f x =的图象关于1x =对称【答案】BC 【详解】由已知24πω=，2πω=，A 错；2A =，2sin()223πϕ1⨯+=，23k πϕπ=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，∴3πϕ=．B 正确；∴()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得()2sin()3h x x ππ=+，再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得图象的解析式为2sin ()2sin()636y x x πππππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦，C 正确；大()f x 中，令1x =，5,2362x k k Z πππππ+=≠+∈，D 错．4、已知函数()3sin sin3f x x x =+，则（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数且最小正周期为2π C ．()f x 的值域是[4,4]- D ．当(0,)x π∈时()0f x >【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x -=-+-=--=-，故()f x 是奇函数，故A 正确；B.因为sin y x =的最小正周期是2π，sin3y x =的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x 的最小正周期，故B 正确；C.分析()f x 的最大值，因为3sin 3x ≤，sin31x ≤，所以()4f x ≤，等号成立的条件是sin 1x =和sin31x =同时成立，而当sin 1x =即2()2x k k ππ=+∈Z 时，336()2x k k ππ=+∈Z ，sin31x =-故C 错误； D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当(0,)x π∈时，()0f x >，故D 正确.5、已知函数()sin() f x x ωϕ=+（其中0,0 ωϕπ><<）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（） A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数sin2y x =的图象 C ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有且只有一个零点D ．()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增【答案】ACD【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得T π=，因为0 ω>，则2T w ππ==，解得2w =，即sin(2)16πϕ⨯+=，解得2,32k k Z ππϕπ+=+∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即函数()f x 的解析式()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B 中，函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()sin[2()]66g x x ππ=-+ πsin(2)6x =-的图象，所以B 不正确；对于C 中，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72(,)666x πππ+∈，当512x π=时，函数5()012f π=，所以C 正确；对于D 中，当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2[,]662x πππ+∈，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在该区间上单调递增，所以D 正确.6、函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（）A ．直线23x π=-是函数()f x 图像的一条对称轴B ．函数()f x 的图像关于点,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z ∈对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈D ．将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()sin(2)4g x x π=+的图像【答案】BC【详解】由图知：()min 1f x =-，所以1A =，因为741234T πππ=-=，T π=，即2ππω=，2ω=。

三角函数的图像和性质练习题(基础)

三角函数的图像和性质练习题(基础) 三角函数的图像和性质练题1.若cosx=0，则角x等于A。

kπ（k∈Z）解析：cosx=0时，x为cos函数的零点，即x=kπ+π/2（k∈Z），所以选项A正确。

2.使cosx=(1-m)/(2+m)，有意义的m的值为C。

-1＜m＜1解析：由于-1≤cosx≤1，所以1-m≤2+m，解得-1＜m＜1，所以选项C正确。

3.函数y=3cos（2πx－5π/6）的最小正周期是B。

5π/2解析：cos函数的最小正周期为2π，但当系数为2π/b时，函数的最小正周期为b。

所以y=3cos（2πx－5π/6）的系数为2π/(5π/2)=4/5，故最小正周期为5π/2，所以选项B正确。

4.函数y=2sinx+2cosx－3的最大值是B。

1/2解析：将y=2sinx+2cosx－3转化为y=2√2(sin(x+π/4)－3/√2)，所以最大值为2√2－3，即1/2，所以选项B正确。

5.下列函数中，同时满足①在（-π/2，π/2）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是C。

y=tan(x/2)解析：y=tan(x/2)在（-π/2，π/2）上是增函数，且为奇函数，而y=cos(x)在（-π/2，π/2）上不是增函数，y=sin(x)不是奇函数，y=tan(x)不是以π为最小正周期的函数，所以选项C 正确。

6.函数y=sin(2x+π/6)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象向左平移π/12得到。

解析：y=sin(2x+π/6)的系数为2，所以它的周期为π，而y=sin2x的周期为π/2，所以y=sin(2x+π/6)的图象相当于把y=sin2x的图象向左平移π/12，所以选项B正确。

7.函数y=sin(-2x)的单调增区间是C。

[kπ-。

kπ+]。

(k∈Z)解析：y=sin(-2x)相当于y=-sin(2x)，而y=sin(2x)的单调增区间为[kπ。

(k+1)π]，所以y=sin(-2x)的单调增区间为[kπ-。

三角函数图像及性质-图像变换习题

考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π2个单位，得到g(x)的图象解析因为g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选D. 2．函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1C ．⎣⎡⎦⎤－54，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，54 答案 C 解析(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B ．⎣⎡⎦⎤－π3，0 C ．⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6 D ．⎣⎡⎦⎤－π3，－π6 答案 C 解析因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k ∈Z)，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎡ π3＋kπ，⎦⎤5π6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．3π2答案 C 解析若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，π 解析若－π3≤x≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π.故选D.二、高考小题6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2kπ－14，2kπ＋34，k ∈ZC ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 7．[2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A. 三、模拟小题8．[2016·广州调研]函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点答案 B 解析在同一坐标系中画出函数y ＝sinx 与y ＝－x 的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内有且仅有1个零点．9．[2017·河北邢台调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx 时，f(x)＝cosx ，当sinx>cosx 时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；④当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f(x)的最小值为－22，当且仅当x ＝2kπ＋5π4(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.四、模拟大题10．[2017·江西上饶模拟]设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调递增区间．解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π8＝±1得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2kπ≤2x －3π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，可解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k ∈Z.因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 答案 B 解析将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π10＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20.故选B. 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位答案 B 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B. 3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 4．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 答案 A 解析由题图可知，函数y ＝f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A. 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3答案 A 解析 ∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案 A 解析由题意可知函数f(x)的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，将x ＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π3对称 C ．函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称 D ．函数f(x)在区间(0，π)内单调递增答案 C 解析因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin x2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x≤2π3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎡ －4π3＋4kπ，⎦⎤2π3＋4kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.8．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 ±2解析函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝kπ2－π6(k ∈Z)B ．x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝kπ2－π12(k ∈Z)D ．x ＝kπ2＋π12(k ∈Z)答案 B 解析将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，可得x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)．则平移后图象的对称轴为x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)，故选B.10．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝12. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6. 11．[2016·福州一中模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asinωx 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D 解析根据函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)( A>0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g(x)＝2sin2x ，故把f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D. 三、高考大题12．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sinx 的对称中心为(kπ，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝kπ，k ∈Z ，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z.由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)

4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________；（2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间解（1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期．解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．解析要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.（本题满分14分）已知函数的周期（Ⅰ）若直线与函数的图象在是两个公共点，其横坐标分别为求的值；（Ⅱ）已知三角形的内角的对边分别为且若向量共线，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）且周期为.的图像关于对称，所以当时，与函数图像的交点关于对称，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.又.，.2.（本题满分12分）已知，．（I）求函数的单调递增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（I），（II）见解析【解析】（Ⅰ）由已知，4分当，，即，时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，． 7分（II）函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的倍得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分另法：函数图象上各点的横坐标缩为原来的倍，得到函数的图象；然后使图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分【考点】本题考查平面向量的坐标运算、三角恒等变换、三角函数图象得到变换等基础知识，意在考查考生的数学运算能力、作图视图的能力及应用数学知识解决问题的能力.3.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.4.已知函数，下列结论中错误的是（）A．的图像关于点中心对称B．的图像关于直线对称C．的最大值为D．既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】由题意知.令，则.令，得.当时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为.∴，即f(x)的最大值为.故选C.【考点】三角函数的性质5.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选6.在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是()A．0B．1C．2D．4【答案】C.【解析】因为y＝cos(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个.【考点】三角函数的诱导公式及正弦函数的图像.点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cos(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数.7.函数的图象为C，：①图象关于直线对称;②函数在区间内是增函数;③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上三个论断中正确论断的个数为A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】函数的图象为C①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；②x∈时，∈(－，)，∴函数在区间内是增函数；②正确；③由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C。

高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值【答案】（1）ω=2，；（2）.【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线对称，结合可得φ 的值．（2）由条件求得再根据的范围求得的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果．试题解析：（1）因为f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期，从而，又因f(x)的图象关于直线对称，所以，又因为得，所以.（2）由（1）得所以，又得所以，因此.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的图像与性质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系）.2.不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换.由得：，故不等式的解集为.【考点】三角函数的恒等变换，三角函数的性质.3.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.4.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为，最小值为．【解析】解题思路：利用两角和与差的三角公式和二倍角公式及其变形化成的形式，再求周期与最值.规律总结：涉及三角函数的周期、最值、单调性、对称性等问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.注意点：求在给定区间上的最值问题，要注意结合正弦函数或余弦函数的图像求解．试题解析：(1)，故的最小正周期为π.(2)函数在闭区间上的最大值为，最小值为 .【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，又，又在区间上是增函数，所以有。

【考点】函数的单调性及三角函数值大小的比较。

高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析

专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。

数学分类汇编(13)三角函数的图像与性质(含答案)

（山东省潍坊市2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）7.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单一增区间是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】【剖析】联合左加右减，获得新函数分析式，联合正弦函数的性质，计算单一区间，即可。

【详解】联合左加右减原则单一增区间知足，应选 A。

【点睛】本道题观察了正弦函数平移及其性质，难度中等。

（福建省宁德市2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）6.将函数的图象向右平移个单位，获得函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.C【答案】【分析】【剖析】联合左加右减，计算的分析式，联合余弦函数的性质，计算对称轴，即可。

【详解】联合左加右减原则对称轴知足，解得，当，，应选C。

【点睛】本道题观察了三角函数平移以及余弦函数的性质，难度中等。

（福建省宁德市2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）15.如图是某斜拉式大桥的部分平面构造模型，此中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米.为上的一点，则当角达到最大时，的长度为__________米．【答案】 3【分析】【剖析】本道题利用正切角和公式以及对勾函数的性质,判断最大时的x 的值，即可。

【详解】设,令,则故当,解得时,最大,此时【点睛】本道题观察了正切角的和公式和对勾函数的性质，难度较大。

（湖北省2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】利用协助角公式，化简函数的分析式，再依据正弦函数的单一性，求得m 的最大值．【详解】解：若f（ x）＝ sinx cosx＝ 2（sinx cosx）＝ 2sin（ x）在[ ﹣ m， m]（ m＞0）上是增函数，∴﹣ m，且m．求得 m，且m，∴ m，故m的最大值为，应选： C．【点睛】此题主要观察协助角公式，正弦函数的单一性，观察转变能力与计算能力，属于中档题．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）6.将函数图象上各点的横坐标缩短到本来的，纵坐标不变，而后向左平移个单位长度，获得图象，若对于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】剖析：依据三角函数的图象变换关系求出的分析式，联合三角函数的图象进行求解即可.详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到本来的，纵坐标不变，获得，而后向左平移，获得，因为，所以，当时，，函数的最大值为，要使在上有两个不相等的实根，则，即实数的取值范围是，应选 C.点睛：此题主要观察了三角函数的图象与性质，此中解答中求出函数的分析式以及利用整体变换法是解答的重点，侧重观察了学生剖析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.（山东省德州市2019 届高三期末联考数学（理科）试题）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，获得函数的图像.（1）求函数的单一递加区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（ 1）（2）【分析】【剖析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（ x）的分析式，再依据正弦函数的单一求得函数f（ x）的单一递加区间．（2）先利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的分析式，在锐角△ ABC 中，由 g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc 的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（ 1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单一递加区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，获得函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时获得等号 .∴面积，故面积的最大值为【点睛】此题主要观察三角恒等变换，函数y＝ Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单一性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．（广西桂林、贺州、崇左三市2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）6.将函数（）图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则的最小值为（）A.6B.C.2D.【答案】 A【分析】∵函数数（的图象向右平移个单位后与原图象重合，又，故其最小值是6．应选 A．【点睛】此题观察由的部分图象确立其分析式，此题判断出是周期的整数倍，是解题的重点．（湖南省长沙市2019 届上学期高三一致检测理科数学试题）9.已知是函数图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点 .设，若，则的图象对称中心能够是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】联合题意，分别计算各个参数，代入特别值法，计算对称中心，即可。

高二数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高二数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知，x，y R．（1）若，求的最小值；（2）设，求的取值范围．【答案】（1）；（2）。

【解析】（1）利用“乘1法”（即任何数乘以1等于其本身）把变形为，然后，利用基本不等式求最值。

（2）利用转化与化归思想，利用把中的二元转化为一元，既得，这是一个关于的二次函数，即问题转化为二次函数给定区间上的最值问题，注意对称轴与给定区间的关系。

试题解析：（1）．当且仅当，时等号成立． 8分（2）由，得．由，，得．，当时，；当时，．所以，的取值范围是． 16分【考点】（1）转化与化归思想的应用；（2）利用基本不等式求最值，注意条件：一正、二定、三相等，（3）与三角函数有关的二次函数给定区间上的最值问题，注意对称轴与给定区间的关系。

2.已知函数(其中,,)的部分图象如图所示,则函数的解析式是 .【答案】.【解析】由图像，得,；代入得，令，得，所以函数的解析式为.【考点】三角函数的图像与性质.3.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由函数图象可知，，即，所以，又过，代入得，因为，所以，即有，从而，此时为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度，故选择C.【考点】三角函数的图象、性质及图象变换.4.若对可导函数，当时恒有，若已知是一锐角三角形的两个内角，且，记则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于当时恒有，所以，故知函数Ｆ(x)在[0，1]上是减函数；又因为已知是一锐角三角形的两个内角，且，所以，因此有，故选C．【考点】１．函数的导数；２．三角函数的性质．5.已知函数满足，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为、,的最小值为，则（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】函数满足，即是奇函数，，即；因为其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为、,的最小值为，所以,即，.【考点】三角函数的图像与性质.6.将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）.A．y＝sinx B．y＝－cos4x C．y＝sin4x D．y＝cosx【答案】A.【解析】.【考点】函数图像的平移伸缩变换，诱导公式.7.函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）.A．B．C．D．【答案】A.【解析】可知，即，而此函数为偶函数，则令，得，取，得，故选A.（此题也可由选项分别代入表达式进行排除.）【考点】图像的平移，偶函数的概念，诱导公式.8.函数的一个单调递增区间为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦函数的图象：知应选D．【考点】余弦函数的单调性9.函数f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）＝Acosωx的图象，只需将f（x）的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由题设知,又因为,而，所以所以，=，因为所以，要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位.故选A.【考点】1、三解函数的图象与性质；2、三角函数的图象变换；3、诱导公式.10.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．B．C．y=sin2x+cos2x D．y=【答案】D【解析】，是最小正周期为π的奇函数；，，是最小正周期为的偶函数；,，最小正周期为，非奇非偶函数．,则函数是最小正周期为π的偶函数．【考点】1．诱导公式；2．函数的奇偶性；3．函数的周期．11.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,所以最小正期为．【考点】1．函数的周期；2．倍角公式．12.函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数化简及性质点评：三角函数化简时常会用到关系式，其中由共同决定，结合的范围是求出值域13.函数（，，是常数，，）的部分图象如下图所示，则的值是【答案】【解析】依题意，,所以，令，则，故，所以.【考点】由y="A" sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．点评：本题主要考查由函数y="A" sin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．14.函数在点处的切线方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，切线的斜率为－2，切线方程为，故选D。

三角函数的图像与性质题目及答案

高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质）1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝5π12 B ．x ＝π3 C ．x ＝π6 D ．x ＝π122．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π ，π C．1，π2D ．1,2π 3.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( C ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的非奇非偶函数4．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为(C )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 5．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B )A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为26．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( D )A ．kπ (k ∈Z)B ．kπ＋π6 (k ∈Z)C ．kπ＋π3(k ∈Z)D ．kπ－π3(k ∈Z) 7. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（ C ）A 、3－cos2xB 、3－sin2xC 、3＋cos2xD 、3＋sin2x8.函数)25sin()(π-=x x x f 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数9. 在(,)ππ-内是增函数, 且是奇函数的是( A ) .A. sin 2x y =B. cos 2x y =C. sin 4x y =- D. sin 2y x = 1．函数1sin 2-=x y 的定义域是_______ )](652,62[z k k k ∈++ππππ__________________. 2.函数)0(sin >+=b x b a y 的最大值是23，最小值是21-，则a ＝_____21， __,b =__1_____.3.函数)22cos(π-=x y 的单调递减区间是___________________. 4. 下列函数中，①x x y cos 2+=，②x x y sin 1cos +=，③2tan x y =，④x x y sin 2=.不是偶函数的是____②④________.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. (1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，2－32.2．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

(完整word版)三角函数图像与性质试题及配套答案

xO y1 2 3三角函数测试题一、选择题1、函数)32sin(2π+=x y 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于点(－6π,0)对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 2、函数sin(),2y x x R π=+∈是（ )A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 3、如图，曲线对应的函数是 ( ） A ．y=｜sin x | B ．y=sin ｜x ｜C ．y=－sin ｜x |D ．y=－|sin x |4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的( ）. A 。

)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-5.函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图,则ω，ϕ可以取的一组值是（ )。

A 。

,24ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D.,44ωϕππ==6。

要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将x y 2sin 3=的图象（）.A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C 。

向左平移8π个单位 D.向右平移8π个单位7。

设tan()2απ+=，则sin()cos()sin()cos()αααα-π+π-=π+-π+（）.A.3 B 。

13C 。

1D 。

1- 8。

A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为（）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，x x f sin )(=,则5()3f π的值为（）.A.21-B.23 C.23-D 。

2110.函数2cos 1y x =+的定义域是( )。