3分式

合集下载

3 分式t

分式知识清单分式知识讲解描述例题考点一分式的概念及其性质1．分式的定义（1）形如，、表示整式，中含有字母且不等于的式子叫做分式．（2）在分式中，若，则分式有意义；若，则分式没有意义．2．分式值为的条件在分式中，当且时，分式的值为，即 3．分式的性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变，即，（，其中、、是整式）．通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．约分：约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．考点二分式的运算1．分式的加减运算（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，即 2．分式的乘除运算（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即分式AB A B B B 0A B B ≠0A B B =0AB0A B A =0B ≠0A B 0=0⇔{A BA =0,B ≠0.0=A BA ⋅CB ⋅C =A BA ÷CB ÷C C ≠0A B C ±=.a c b c a ±bc±=±=.a b c d ad bd bc bd ad ±bc bd ⋅=.a b c da ⋅cb ⋅d ÷=⋅=.a bcd a b d c a ⋅d b ⋅c 考点一分式的概念及其性质1．代数式有意义时，应满足的条件为．解：．2．若分式的值为，则的值等于．解：．3．下列运算错误的是（）A． B． C． D ．解： D．1|x |−1x −−−−x ≠±1−1x 2x +10x −−−−1(a −b )2(b −a )2=1−a −ba +b =−10.5a +b 0.2a −0.3b =5a +10b 2a −3b a −b a +b =b −a b +a 考点二分式的运算2答案：解析：A ．B ．B甲图阴影部分的面积为又，．乙图中阴影部分面积k >21<k <2−a 2b 2∴k ==−a 2b 2−aba 2(a +b )(a −b a (a −b )a >b >0∴1<k <2答案：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为A ．B ．B0.5x −10.3x +2()5x −13x +25x −103x +20答案：某人骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为上、下坡的平均速度为 A ．B ．D()+v 1v 22+v 1v 2v 1v 2。

3分式

)
A9．．先a－化简b ，再 B．求值a＋：bx－1 1C－.xa2－－11 xb，其D中.ax＋＝1 b2.
10．先化简，再求值：(1＋a2－1 1)÷a－a 1，其中a＝－3.
18．观察下面的变形规律：
1×1 2＝1－12；2×1 3＝12－13；3×1 4＝13－14；……
解答下面的问题：
1．分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即
a c
b ±c
＝
a＋b c
；异分母的分式相加
减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±dc＝adb±dbc.
2．分式的乘除法
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
a b
·dc ＝ badcFra bibliotek.分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ba÷cd＝ab×dc＝abdc.
2．当x＝________时，分式|xx－|－11的值为零．
3．若分式x－x 2无意义，则实数x的取值范围是________．
1．要使分式x＋1 1有意义，则x应满足的条件是(
)
A．x≠1 B．x≠－1 C．x≠0 D．x>1
2．化简a－a 1÷a－a21的结果是(
)
3A．.1a化简B．mm2a2＋－mnC2n．的a结－果1 是D(.a－1 1)
m－n m－n m＋n m－n
A. 2m B. m C. m D.m＋n
4．化简a－a2 b－a－b2 b 的结果是(
当a＝3时，原式＝3＋2 2＝25.
例3、先化简，再求值。
解：
例4
1．分式xx22＋－x1的值是0，则x的值为(

3分式的乘除法

已知球的体积公式为 4 3 V R (其中R为球的半径), 3 那么 :
(1)西瓜瓤与西瓜的体积各是多少?
4 3 解：西瓜瓤的体积V1 R d 3 4 3 整个西瓜的体积V R 3
(2)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少?
解：西瓜瓤与整西瓜的体积比是 V1 d 1 V R
3
V1 则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体 V
积也越大.
因此,买大西瓜更合算.
小结
1.分式乘除法的法则与分数乘除法的法则类似: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘.
2.从法则中可以看出,分式的乘除运算可以统一成乘法.将除法转化为乘法时,不要忘记把除式的分子分母颠倒位置. 3.在分式的乘除法中,当分子或分母是多项式时,能分解因式的要进行分解因式,能约分的一定要约分,同时要注意不要把符号弄错,运算时应按从左到右的顺序进行.
a 1 2；“丰收2号”小麦的试验田面 500 千克/米
2
积是______米2, 2-1 ∵0＜（a-1）2＜a 单位面积产量_________ 千克/米2 。 500 500 ∴
“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
a 1
2
a 1
2
＜
a 1

2
(2)
a 1

500
2
例题：“丰收1号”小麦的试验田是边长 a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。（1）那种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

15.1.3分式的约分和通分

15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。

题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。

3分式及分式方程

分式及分式方程1．分式的有关概念设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义。

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简2、分式的基本性质,M B M A B A ⨯⨯= MB M A B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；;;bc adc db a dc b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅ .)(n n n b a b a = 4．解分式方程−−−−−−→去分母是整式方程的根但使分式方程分母为零的根为增根分式方程整式方程（分母不含未知数）【考题练习】一、填空题1．(安顺)已知分式11x x +-的值为0，那么x 的值为______________。

2．(成都)分式方程2131x x =+的解是_________ 3．（重庆綦江）在函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是． 4．(成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ 5．（烟台市）设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于． 6．（邵阳市）请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。

7．(温州)某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树x 棵。

实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务(用含x 的代数式表示)．8．若实数x y 、满足0xy ≠，则y x m x y=+的最大值是． 9．（枣庄市）15．a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q ． 10．（山西省太原市）方程2512x x =-的解是．11、（杭州市）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 12、（滨州）解方程2223321x x x x--=-时，若设21x y x =-，则方程可化为． 13、（台州市）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为．14、(牡丹江市)若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ． 15、(内江市)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝__________。

§3 分式线性映射

装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。

注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。

((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。

(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。

当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。

所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。

规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。

2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。

也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。

2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。

定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。

八年级数学分式与分式方程

八年级数学分式与分式方程分式与分式方程学习资料。

一、分式的概念。

1. 定义。

- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。

例如(1)/(x)，(x + 1)/(x - 1)等都是分式，而(2)/(3)不是分式，因为分母是常数3，不含有字母。

2. 分式有意义的条件。

- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。

例如，对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，这个分式有意义。

3. 分式值为零的条件。

- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。

例如，对于分式(x)/(x+1)，当x = 0且x+1≠0（即x≠ - 1）时，分式的值为0。

二、分式的基本性质。

1. 性质内容。

- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。

2. 约分。

- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

- 例如，对于分式(6x^2y)/(8xy^2)，分子分母的公因式是2xy，约分后得到(3x)/(4y)。

3. 通分。

- 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

- 例如，将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x +1)/(x(x + 1))，(1)/(x+1)=(x)/(x(x + 1))。

三、分式的运算。

1. 分式的乘除法。

- 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。

例如(2)/(3x)·(6x)/(4)=(2×6x)/(3x×4)= 1。

分式及其运算

分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。

分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。

其中,分子是被除数,分母是除数。

二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。

- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。

2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。

3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。

4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。

三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。

八年级数学上册知识点总结

八年级数学上册知识点总结第十一章三角形知识框架知识概念1．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三边关系：三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边3．高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高在三角形内4．中线：在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三条中线的交点叫重心5．角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形三条角平分线的交点到三边距离相等6．三角形的稳定性：三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性．例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性7．多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．8．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角9．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角10．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线11．正多边形：在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形．12．平面镶嵌：用用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面13．公式与性质1三角形的内角和：三角形的内角和为180°2三角形外角的性质性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3多边形内角和公式：nm边形的内角和等于un－2·180°4多边形的外角和：多边形的外角和为360°5多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引m－3条对角线,把多边形分成n－2个三角形．②n边形共有n－3条对角线．2第十二章全等三角形知识框架知识概念1．基本定义1全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点．4对应边：全等三角角形中互相重合的边叫做对应边．5对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角2．基本性质：1三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性．2全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等．3．全等三角形的判定定理：1边边边SSS：三边对应相等的两个三角形全等．2边角边边SAS：两边和它们们的夹角对应相等的两个三角形全等．3角边角ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等文档角角边AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．5斜边、直角边边HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．4．角平分线：1画法2性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形三条角平分线的交点到三边距离相等5．证明的基本方法：1明确命题中的已知和求证．包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系2根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证．3经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程．第十三章轴对称知识框架二、知识概念1．基本概念1轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形．2两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称3线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线4等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角5等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．2．基本性质：1对称的性质①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴轴都是任何对对应点所连线段的垂直平分线②对称的图形都全等．2线段垂直平分线的性质①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3关于坐标轴对称的点的坐标性质①点Pxy关于x轴对称的点的坐标为P＇X、－y②点Px,y关于y轴对称的点的坐标为P＂－xy4等腰三角形的性质①等腰三角形两腰相等．②等腰三角形两底角相等等边对等角③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线,底边上的的高相互重合④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一1条5等边三角形的性质①等边三角形三边都相等．②等边三角形三个内角都相等,都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一．④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一3条3．基本判定：1等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形．②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边2等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形．②三个角都相等的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．基本方法：1做己知直线的垂线2做己知线段的垂直平分线3作对称轴：连接两个对应点,作所连线段的垂直平分线．4作己知图形关于某直线的对称图形5在直线上做一点,使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短．第十四章整式的乘除与分解因式知识框架：知识概念1．基本运算1同底数幕的乘法：a＂×a＂＝a＋n2幂的乘方：a＂＝a63积的乘方：ab＂＝a＂b2．整式的乘法1单项式x单项式：系数x系数,同字母×同字母,不同字母为积的因式2单项式x多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加3多项式x多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加3．计算公式：1平方差公式：a－bり×a＋b＝a2＿b22完全平方公式：a＋b＝a2＋2ab＋b2；a－b＝a2－2ab＋b24．整式的除法同底数幂的除法：a＂ma＝a＂2单项式÷单项式：系数÷系数,同字母÷同字母,不同字母作为商的因式．3多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加．4多项式÷多项式：用竖式5;因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解．6．因式分解方法：1提公因式法：找出最大公因式2公式法①平方差公式：a2＿b2＝a＋りa－b②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝a＋±b③立方和：aF3＋b＝a＋bc2－cb＋び④立方差：a3＿bが＝a－ba2＋b＋43十字相乘法：x2＋P＋9x＋P＝x＋Px＋94拆项法5添项法第十五章分式知识框架知识概念1．分式：形如,A、B是整式,B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式．其中A叫做分式的B分子,B叫做分式的分母2．分式有意义的条件：分母不等于03．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式,分式的值不变4．约分：把一个分式的分子和分母的公因式不为1的数约去,这种变形称为约分．5．通分：异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分．6．最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式7．分式的四则运算：1同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减．用字母表示为：a b a+bCC2异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．用字母表示为：a c ad+cb3分式的乘法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母．用字母表示为a c acbd4分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．用字母表示为：2＋C＿≌x2C5分式的乘方法则：分子、分母分别乘方．用字母表示为：8整数指数幂：1an＂×a＂＝a＂＋m、n是正整数a＂＝a＂mk、n是正整数3ab＝a＂b＂n是正整数4am a＂＝a＂－＂a≠0,Ln是正整数,m＞n＝1＝n是正整数bba≠0,n是正整数9．分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程10．分式方程的解法：①去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③检验求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根。

【导学案】3 分式方程的应用(2)导学案及答案

4 分式方程第3课时分式方程的应用（二）【学习目标】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结.2.通过日常生活中的情境创设,经历探索分式方程应用的过程,提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平.3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,引导学生努力寻找解决问题的方法,体会数学的应用价值.【学习策略】让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，关键是引导学生寻找问题中的等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

【学习过程】一、情境导入：1.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？2.问题:自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书.比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前1分钟跑到终点.请你算算它们各自的速度.二.新课学习：例1. 某列车现平均速度v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?例2. 轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流的速度为3千米/时求轮船在静水中的速度？三.尝试应用：1.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合做2个小时后,甲队又有新任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时?2.从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程;(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.3.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？四、课堂小结列分式方程解应用题的一般步骤1).审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.2).设:选择恰当的未知数,注意单位.3).列:根据等量关系正确列出方程.4).解:认真仔细.5).验:有三种方法检验.6).答:不要忘记写答.五.达标测试一．选择题（共3小题）1．农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为（）A ．2115315+=x xB ．x x 1521315=-C ．2115315-=x xD ．2115315⨯=x x 2父子两人沿周长为a 的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v ，则父亲的速度为（）A ．1.1vB ．1.2vC ．1.3vD ．1.4v3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x 千米/时，那么根据题意可列方程为（）A.215.210210+=+x xB.5.02105.210-=-xx C.5.025.21010-=-x x D.5.025.21010+=-x x 二．填空题（共3小题）4．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是 .5．某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为．6.A 、B 两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A 地驶出3小时后，一辆小汽车也从A 地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B 地，求两车的速度．根据题意，可列方程 .三．解答题（共3小题）7.甲、乙两座城市的中心火车站A ，B 两站相距360km ．一列动车与一列特快列车分别从A ，B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km /h ，当动车到达B 站时，特快列车恰好到达距离A 站135km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？8．吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．9.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？参考答案4 分式方程第3课时尝试应用：1.解：设甲队单独完成全部工程需x 小时，则乙队单独完成全部工程需（x+3）小时,根据题意，得： 13232x 2=+-+++x x x 解得：x=6，经检验得：x =6是这个分式方程的解．x+3=9答：甲队单独完成全部工程需6小时，则乙队单独完成全部工程需9小时.2.解：（1）400×1.3=520（千米）（2）设普通列车平均速度为x 千米/时，则高铁的平均速度为2.5x 千米/时，由题意，得：35.2400520=-xx 解得：x=120,经检验得：x =120是这个分式方程的解．2.5x=300答：高铁的平均速度为300千米/时.3.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？解：设乙每小时骑x 千米，则甲每小时骑（x+6）千米，根据题意得x606x 90=+ 解得：x=12，经检验得：x =12是这个分式方程的解．x+6=18答：乙每小时骑12千米，甲每小时骑18千米.达标测试答案：一、选择题1．C2.【解析】：选B ．设父亲的速度为x ，根据题意得出：=，解得：x=1.2V ．3．C二．填空题（共3小题） 4.6 解析: 根据题意，得到甲、乙的工效都是 1x．根据结果提前两天完成任务，知：整个过程中，甲做了（x-2）天，乙做了（x-4）天．再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解．5.22402240220x x-=- 解析: 求的是原计划的工效，工作总量题中已有，那么一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的等量关系为：原计划时间-实际用时=2． 6.x 38060203x 80=+- 三．解析题（共3小题）7.解：设特快列车的平均速度为xkm /h ，则动车的速度为（x +54）km /h ，由题意，得：=，解得：x =90，经检验得：x =90是这个分式方程的解． x +54=144．答：设特快列车的平均速度为90km /h ，则动车的速度为144km /h ．8. 【解析】：设骑自行车学生的速度是x 千米/时，由题意得：9. ﹣=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，答：骑自行车学生的速度是20千米/时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程要进行检验，这是同学们最容易出错的地方．9. 【解析】：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意，得，解得x=2.5．经检验，x=2.5是方程的解，且符合题意．∴甲同学所用的时间为：（秒），乙同学所用的时间为：（秒）．∵26＞24，∴乙同学获胜．答：乙同学获胜．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间．。

分式(三)分式恒等变形

分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。

2024年上海市初三中考数学冲刺复习专题3 分式与二次根式核心知识点精讲含答案

专题03分式与二次根式核心知识点精讲1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．考点1：分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点2：分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．考点3：分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．考点4：二次根式的主要性质0(0)a≥≥；2.2(0)a a=≥；(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩；4.00)a b=≥≥，；5.00)a b=≥>，.>.1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【题型1：分式的有关概念及性质】【题型2：分式的运算】【题型3：分式方程及其应用】【题型4：二次根式的主要性质】因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．【题型5：二次根式的运算】1．下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答.本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【详解】解：下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有：3a，11x -，8x m 故选：C ．2．若分式2321x x x --+的值为正数，则x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <且1x ≠C ．3x <D ．13x <<【答案】B【分析】根据题意可得3010x x ->⎧⎨-≠⎩，然后解这两个不等式组即可求出结论．【详解】解∶()2233211x x x x x --=-+-，∵分式2321x x x --+的值为正数，∴3010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且1x ≠．故选∶B ．【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．3．若把分式3x y xy+中的x 与y 都扩大3倍，则所得分式的值（）A ．缩小为原来的13B ．缩小为原来的19C ．扩大为原来的3倍D ．不变【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：33333133333x y x y xy xyx y x y x y xy ++=⋅⨯⨯+⋅+==，故选：A ．则()2820401000x x +-≤，解得25x ≤，故答案为围棋最多可买25副．。

3分式的通分最简公分母

分式的通分最简公分母一、目标要求1、理解分式通分、最简公分母的概念。

2、掌握通分的方法，并能熟练地进行通分。

3、能正确熟练地找最简公分母。

二、重点难点重点：分式的通分。

难点：确定最简公分母。

分式的通分最简公分母1.分式的通分(1)分式的通分：与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．(2)通分的根据：分式的基本性质．(3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.析规律确定最简公分母 (1)分母都是单项式时，①取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分．(2)分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分母． 2.解题方法指导【例1】通分：（1）y x 283-，23125yz x ，zxy 3203-；（2）a 25-，3292b a ，24127b a c-。

分析：先找到每组分式的最简公分母，再根据分式的基本性质通分。

（1）的分母系数的最小公倍数是120，字母x ，y ，z 的最高次幂分别是x 3，y 3，z 2，所以最简公分母是120 x 3y 3z 2；（2）的分母系数的最小公倍数是36，字母a ，b 的最高次幂分别是a 4，b 3，所以最简公分母是36 a 4b 3。

解：（1）∵ 最简公分母是120 x 3y 3z 2，∴ y x 283-＝22222158153zxy y x z xy ∙⨯-＝2332212045z y x z xy -， 23125yz x ＝22321012105y yz x y ∙⨯＝233212050z y x y ， z xy 3203-＝zx z xy z x 23262063∙⨯-＝233212018z y x zx -。

3 分式

专题三分式一、考点扫描1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB 为分式．注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则AB =02．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．二、考点训练一、选择题1.下列算式中，正确的是（）A ．2323a a a -=- B ．221a a a a÷⋅= C ．()2362a ba b =D ．()236aa --=2.化简分式2bab b +的结果为（）Ａ．1a b + Ｂ．11a b+Ｃ．21a b + Ｄ．1ab b+ 3.计算211111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的结果为（） A ．1a a +-B ．1a a- C ．1a a- D ．11a a+- 4.下列各式计算正确的是（）A ．623x x x=B ．21221x x -=--C ．2933m m m-=+- D ．11111x x x x +=++ 二、填空题5. 222a a b b b a⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭ ．6.方程5311x x x +=--的解是． 7.计算x yx y x y-=-- ． 8.当99a =时，分式211a a --的值是．9.计算：211x x x x -=- ． 10.已知114a b +=，则3227a ab ba b ab-+=+- ． 11.化简：22444a a a -=++ ． 12.计算x yx y x y---的结果是． 13.化简：111x x -=+ ． 14.已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为．15.已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y-的值等于．三、计算题16.先化简，然后请你选择一个合适的x 的值代入求值：2443x x xx x--÷+． 17.化简求值：2111x x x x⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中2x =． 18. 先化简：2224224422a a aa a a a ⎛⎫-+-÷⎪-+--⎝⎭，再对a 取一个你喜欢的数代入求值． 19.先化简，再求值：22564133x x x x x ++-+-+-，其中3x =． 20.请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．21.先化简再求值：21111b bb b b ⎛⎫+++÷⎪--⎝⎭，其中3b =． 22. 先化简代数式22212224x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，请你取一个x 的值，求出此时代数式的值． 23.先化简，再求值：269(3)26x x x x -++- ，其中5x =． 24.先化简，再求值：2121111a a a a -⎛⎫-÷⎪+-+⎝⎭，其中31a =+． 25.化简：24142x x ---． 26.计算：221111a a a a a a -÷----． 27.已知2007x =，2008y =，求222225454x xy y x y x yx xy x y x+++-÷+--的值． 28.先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中，a 是方程2310x x ++=的根． 29.化简：24214a a a+⎛⎫+⎪-⎝⎭·． 30.先化简，再求值：321121x x x x x -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭·，其中21x =-．31.化简：212111a a a a a -+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭．32.先比简，再求值：311111x x x x⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中5x =． 33.先化简，再求值：2222a b ab b a aa ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中32a b ==，．34.先化简，再求值：223111111a a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ，其中32a =-． 35.当3a =，2b =时，求2()()()2a b a b a b b+-+-的值．36.先化简，再求值：21122244a a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-+⎝⎭，其中4a =-． 37.当13x =-时，求23111xx x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的值． 38.计算：2b a b a b++-． 39.化简：1)2)(1(31-+---x x x x ，并指出x 的取值范围． 40. 计算：22111a a ---．一、选择题 1. C 2. A 3. Ａ 4. B二、填空题5. 222a b（或222a b -）6. 1x =-7. 18. 1009.21x10. 1 11.22a a -+ 12. 1 13.1(1)x x +14. 13 15. 112三、计算题 16.解：原式(4)3(4)x x xx x -=+-- 2分23x x =-+1分代入求值． 2分 17.解：原式111(1)1(1)1x x x x x x x x x ---=÷=-=---- ．当2x =时，原式2=-．18. 解：原式212(2)2a a a a a a -==-++ ． 4分取1a =，则原式11123==+． 6分 19.解：原式(2)(3)313(2)(2)x x x x x x ++-=-++-2分3222x x x x --=--- 3分 12x =--．4分当3x =时，原式132=-- 5分23=+． 6分 20.解：原式(1)(1)1111x x x x +-⎛⎫=⨯+ ⎪-+⎝⎭1分11(1)1x x x ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭2分 11x =++3分 2x =+4分方法一：当0x =时， 5分原式2=．6分方法二：当2x =时， 5分原式4=．6分（注：化简正确，即1x =带入计算全题评4分；不化简直接求值结果正确全题评2分）21. 解：原式22111111b b bb b b-+-=⨯-+=+5分B =3时，原式416分 22. 原式21(2)(2)(2)22x x x x x x ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥--⎣⎦ 3分2(2)(2)(2)2x x x x x x +--+=⨯-5分2x x+=（取x 的值时，注意02x x ≠≠，） 7分23.原式2(3)(3)2(3)x x x -=+-2分211(3)(3)(9)22x x x =-+=-． 4分当5x =时，原式21(5)922⎡⎤=-=-⎣⎦．5分说明：化简得到21922x -同样得分．24. 解：原式212111a a a a --+=÷-+ 1(1)(1)(1)a a a =++-·11a =- 3分当31a =+时原式1311=+-13=4分33=． 5分 25.原式42(2)(2)(2)(2)x x x x x +=--+-+2分42(2)(2)x x x --=-+3分(2)(2)(2)x x x --=-+4分12x =-+． 5分 26.解：原式221111a a a a a a -=---- 2分 (1)(1)11(1)1a a a a a a a -+=---- 4分1111a a a +=--- 5分 1a a =-． 6分27.解：222225454x xy y x y x yx xy x y x +++-÷+-- 22()54(54)x y x y x yx x y x y x+--=⨯+-+ 3分2x y x yx x+-=+ 4分2x x x+=1x =+．6分∴当2007x =，2008y =时，222225454x xy y x y x yx xy x y x+++-÷+--的值为2008． 7分 28. 解：原式2(2)(2)1(2)(2)22a a a a a a ⎡⎤+--=+⨯⎢⎥--⎣⎦ 3分21(2)222a a a a a +-⎛⎫=+⨯⎪--⎝⎭4分(3)2a a +=21(3)2a a =+5分a 是方程2310x x ++=的根， 2310a a ∴++= 6分 231a a ∴+=- 8分∴原式12=-9分29. 解：原式224424a a a a-++=- 2分22(2)(2)a a a a a+=+-4分2aa =- 7分30. 解：3221(1)(1)11121(1)x x x x x x x x x x x x-+--⎛⎫-==+ ⎪-+-⎝⎭··．当21x =-时，原式2112=-+=．31. 解：原式2(1)(1)1a a a -=+--2分（一处计算正确给1分）(1)(1)a a =+--3分2= 4分32. 解：原式(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+=++-· 3分11(1)(1)(1)x x x x x x ---=++-··21xx -=- 4分当5x =时，原式255512-⨯==--5分33. 解：原式22()()2a b a b a ab b a a +--+=÷2()()()a b a b a a a b +-=- a b a b+=-． 6分当3a =，2b =时，原式32532a b a b ++===--． 8分 34. 解：223111111a a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭· 2221141111a a a a a +-=÷+--· 2分2221111141a a a a a +-=+--·· 21(1)(1)11(12)(12)1a a a a a a a +-+=+-+-·· 4分121a =-． 6分当32a =-时，原式1113214212a ===--⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭． 8分35. 解：原式()[()()]()[]()2222a b a b a b a b a b a b a b bb b b++--++-++===a b =+．6分当3a =，2b =时，原式32=+． 8分 36.解：原式2222(2)(2)(2)a a a a a a ++-=÷+-- 2分22(2)(2)(2)2a a a a a-=+-4分22a a -=+． 6分当4a =-时，原式42342--==-+．8分评分说明：若直接代入数字算出正确结果得7分．37. 解：原式3(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x+--+-=⨯-+4分2233(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x+-++-=⨯+- 24x =+6分当13x =-时，原式1243⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭8分103=9分38. 解：原式222b a b a b +-=-4分2a a b=- 5分 39.11+x ，x 的取值范围是x ≠－2且x ≠1的实数．新世纪教育网精品资料版权所有@新世纪教育网新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

3分式的加减法》一等奖创新教学设计

3分式的加减法》一等奖创新教学设计《分式的加减法》教学设计教学背景1、课程背景本节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算。

它是第二节课异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用和第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用的基础。

这节课的学习让学生感觉分式加减法并不难，树立起学好本章的信心，它对于第三章分式的学习有着至关重要的作用。

2、学情分析学生特点：本班学生基础很一般，多数属于动觉型思维类型，视觉型思维类型，因此本节课采用微课短视频，小游戏，音视频资源丰富课堂教学，给学生以视觉和听觉上的冲击。

同时还将学生学生进行特殊搭配分组，以产生竞争，调动学生的积极性和主观能动性，还可以带动学习能力较差的学生。

在课前准备过程中，先以学案的形式给予引导，将更有助于学生了解课堂学习的方向和重难点。

课后再配相关练习，这些相关练习也是分层练习，做到各个层次的学生都能找到适合自己的题，适度的挑战，提高自己的成就感，从而提高学习数学的兴趣。

练习也可以对本节课的知识点进行巩固与加深理解。

知识储备：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。

由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。

二、教学目标1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。

2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。

3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想重点难点；重点：分式加减法法则，同分母和分母互为反式的分式的加减运算难点：分母互为反式的分式的加减运算三、教学方法1、深圳教育云的应用：将学生实际与深圳教育云、互联教学助手中丰富的课例资源相结合、提炼，设计适合本节课学生的课堂教学。

【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-3 分式及其运算

第三讲分式及其运算【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．9．（2022•包头）计算：+＝．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．14．（2022•南通）计算：；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．16．（2022•大连）计算：÷﹣．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．答案与解析【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．【答案】x≠2【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．【答案】0【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，∴x＝0且x≠﹣2，∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【答案】A【解答】解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式与原分式的值相等；故选：A．【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．【答案】A【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：＝＝．故选：B．9．（2022•包头）计算：+＝．【答案】a﹣b【解答】解：原式＝＝＝a﹣b，故答案为：a﹣b．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．【答案】x【解答】解：原式＝＝＝x．故答案为：x．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．【答案】【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案为：．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．【解答】解（1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；（2）．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．【解答】解：＝•＝•＝．14．（2022•南通）计算：；【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．【解答】解：原式＝＝＝．16．（2022•大连）计算：÷﹣．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．【解答】解：÷（a+）＝÷（+）＝÷＝•＝．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．【解答】解：（a﹣1+）÷＝[+]•＝•＝．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．【解答】解：（+1）÷＝•＝＝a+1．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝＝1．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．【解答】解：原式＝＝＝＝．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：（﹣）÷＝（﹣）•＝•＝•＝．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，故a＝2，原式＝＝．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝，当x＝sin45°＝时，原式＝．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．【解答】解：原式＝＝•+＝+＝；因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，当a＝3时，原式＝．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．【解答】解：原式＝÷＝•＝x﹣1，当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．【解答】解：原式＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．。