1.1.1角的概念的推广
角的概念的推广
第三象限角的集合:
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合:
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间,写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间,写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角,
问:12 是第几象限角? 2 是第几象限角?
2
3 是第几象限角?
3
课堂练习
1. A {小于90的角},B {第一象限
的角},则A B ( )
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是:
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的?
二、角的概念的推广:
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B
教的概念习题
1.1.1 角的概念的推广知识点回顾1、角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 ,按顺时针方向旋转形成的角叫做 。
如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个 ,它的 和重合。
这样,我们就把角的概念推广到了 ,包括 、 和 。
3、我们常在 内讨论角。
为了讨论问题的方便,使角的 与重合,角的 与 重合。
那么,角的 落在第几象限,我们就说这个角是 。
如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角 。
4、所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个 ,,即任一与角α终边相同的角,都可以表成 。
5、下列角中终边与330°相同的角是( )A .30°B .-30°C .630°D .-630°6、-1120°角所在象限是 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7、把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k ∈Z )的形式是 ( )A .45°-4×360°B .-45°-4×360°C .-45°-5×360°D .315°-5×360°8、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.9、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( )A .{α∣90°<α<180°}B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z }C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z }D .{α∣-270°+k ·360°<α<-180°+k ·360°,k ∈Z }10、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( )A .B=A ∩CB .B ∪C=C C .A ⊂CD .A=B=C11、下列结论正确的是( )Α.三角形的内角必是一、二象限内的角 B .第一象限的角必是锐角C .不相等的角终边一定不同D .{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 12、若α是第四象限的角,则α-180是 .(89上海)A .第一象限的角B .第二象限的角C .第三象限的角D .第四象限的角13、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________.14、若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________.15、在0°到360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 .16、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角:(1) 210-; (2)731484'- .17、下列说法中,正确的是( )A .第一象限的角是锐角B .锐角是第一象限的角C .小于90°的角是锐角D .0°到90°的角是第一象限的角18、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)(1) (2) (3)19、已知角α是第二象限角,求:(1)角2α是第几象限的角;(2)角α2终边的位置。
角的概念的推广和换算
1.1.1 角的概念的推广一、选择题1.与610°角终边相同的角表示为( )A .k ·360°+230°(k ∈Z )B .k ·360°+250°(k ∈Z )C .k ·360°+70°(k ∈Z )D .k ·360°+270°(k ∈Z )2.时针经过1小时,时针转动的角的大小为( )A .30°B .60°C .-30°D .-60°3.已知集合M ={第一象限角},N ={锐角},P ={小于90°的角},则下列关系式中正确的是( )A .M =N =PB .M PC .M ∩P =ND .N ∪P ⊆P4.终边在直线y =-x 上的角的集合是( )A .{α|α=k ·360°+135°,k ∈Z }B .{α|α=k ·360°-45°,k ∈Z }C .{α|α=k ·180°+225°,k ∈Z }D .{α|α=k ·180°-45°,k ∈Z }5.下列四个命题中正确的是( )A .α是第一象限的角,则α2必为第一象限的角 B .α+k ·360°(k ∈Z )表示与α终边相同的角,则α是锐角C .终边相同的角不一定相等D .2α与α的终边不可能相同6.若角α与β的终边互为反向延长线,则有( )A .α=β+180°B .α=β-180°C .α=-βD .α=β+(2k +1)·180°,k ∈Z二、填空题7.若锐角α的终边与7α的终边相同,则α=________.8.若β的终边与60°角的终边相同,则在[0°,360°)内,终边与β3角的终边相同的角为______. 9.把-1 488°转化为α+k ·360°(0≤α<360°,k ∈Z )的形式是________.三、解答题10.已知角α的终边在右图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.11.写出与下列各角的终边相同的角的集合S ,并把S 中满足不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.(1)1 303°18′;(2)-225°.12.已知A ={α|k ·360°<α<120°+k ·360°,k ∈Z },B ={β|-45°+k ·360°<β<45°+k ·360°,k ∈Z },求A ∩B ;A ∪B .详解答案1.B ∵610°=360°+250°,∴与610°终边相同的角可以表示为k ·360°+250°(k ∈Z ),故选B.2.C ∵时针顺时针旋转,故旋转的角度为-360°12=-30°. 3.D ∵M ={α|k ·360°<α<k ·360°+90°,k ∈Z },N ={α|0°<α<90°},P={α|α<90°}.∴M 、N 、P 的关系如右图所示,即N ∪P ⊆P .故选D.4.D 当x <0时,α=k ·360°+135°(k ∈Z ),当x >0时,α=k ·360°+315°=(2k +1)·180°+135°(k ∈Z ),∴终边落在直线y =-x 上的角的集合为{α|α=k ·180°+135°,k ∈Z }={α|α=k ·180°-45°,k ∈Z }.5.C6.D7.60°解析:由题意得7α=k ·360°+α,(k ∈Z ),∴α=60°·k (k ∈Z ),又α为锐角,∴α=60°.8.20°,140°,260°解析:∵β=k ·360°+60°(k ∈Z ),∴β3=k ·120°+20°(k ∈Z ). 又β3∈[0°,360°),∴0°≤k ·120°+20°<360°(k ∈Z ), ∴-16≤k <176,∴k =0,1,2, 此时分别得β3为20°,140°,260°. 故与β3终边相同的角为20°,140°,260°. 9.-5×360°+312°解析:-1 488°=-5×360°+312°.10.解:在0°~360°的范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,∴所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°+30°<α<k ·360°+150°,k ∈Z }∪{α|k ·360°+210°<α<k ·360°+330°,k ∈Z }={α|n ·180° +30°<α<n ·180°+150°,n ∈Z }.11.解:(1)S ={β|β=1 303°18′+k ·360°,k ∈Z }.分别令k =-5,-4,-3得,S 中满足不等式-720°≤β<360°的元素为-496°42′,-136°42′,223°18′.(2)S ={β|β=-225°+k ·360°,k ∈Z }.分别令k =-1,0,1得,S 中满足不等式-720°≤β<360°的元素为-585°,-225°,135°.12.解:集合A 、B 表示的角如图中阴影部分所示,故A ∩B ={α|k ·360°<α<45°+k ·360°,k ∈Z },A ∪B ={α|-45°+k ·360°<α<120°+k ·360°,k ∈Z }.1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、选择题1.-29π12的终边所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.把56°15′化为弧度是( )A.58πB.54πC.56πD.516π 3.下列各命题中,假命题是( )A .“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B .一度的角是周角的1360,一弧度的角是周角的12πC .根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D .不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关4.(2016·山东济南一中检测)圆的一条弦的长度恰好等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为( )A.π3B.π6C .1D .π 5.下列各组角中终边相同的是( )A .2k π+π与(4k ±1)π(k ∈Z ) B.k π2与k π+π2(k ∈Z ) C .k π+π6与2k π±π6(k ∈Z ) D .k π±π3与k π3(k ∈Z ) 6.扇形周长为6 cm ,面积为2 cm 2,则其圆心角的弧度数是( )A .1或4B .1或2C .2或4D .1或5二、填空题7.下列各角中,终边相同的是________.①3π2和15π2;②π5和26π5;③-7π8和25π8;④20π3和-17π3. 8.已知扇形的半径为12,弧长为18,则扇形圆心角为________.9.已知一扇形的圆心角为π3rad ,半径为R ,则该扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为__________.三、解答题10.将下列角度与弧度进行互化:(1)20°;(2)-15°;(3)7π12;(4)-115π. 11.已知扇形的周长为30 cm ,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?12.如下图,用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角(虚线表示不包括边界).详解答案1.D -29π12=-2π-5π12,∵-5π12是第四象限的角, ∴-29π12的终边在第四象限.故选D. 2.D 56°15′=56.25°=56.25×π180=516π.故选D. 3.D 根据角度与弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长与半径的比值有关,故选D.4.A 圆的弦与半径组成等边三角形,所以圆心角的弧度数为π3,故选A. 5.A 对k 取不同值验证可知A 正确.6.A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r +αr =6,12αr 2=2,得α=1或α=4. 7.①③解析:15π2=6π+3π2,故3π2与15π2终边相同, 26π5=4π+6π5,π5与26π5终边不相同,25π8=4π-7π8,-7π8和25π8终边相同. 20π3=6π+2π3,-17π3=-6π+π3, ∴20π3与-17π3终边不相同. 8.32解析:圆心角α=1812=32. 9.2∶3解析:如右图,设内切圆的半径为r ,则∠DOE =60°.在Rt △OME 中,ME =r , ∴OM =2r , ∴3r =R , ∴r =R 3, ∴S 圆∶S 扇=⎣⎡⎦⎤π·⎝⎛⎭⎫R 32∶⎣⎡⎦⎤12·π3·R 2= 2∶3. 10.解:(1)20°=20π180=π9. (2)-15°=-15π180=-π12. (3)7π12=7π12×⎝⎛⎭⎫180π°=⎝⎛⎭⎫7π12×180π°=105°. (4)-11π5=-11π5×⎝⎛⎭⎫180π°=-⎝⎛⎭⎫11π5×180π°=-396°. 11.解:设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,面积为S ,则l +2r =30,l =30-2r (0<r <15),∴S =12lr =12(30-2r )r =-⎝⎛⎭⎫r -1522+2254.∴当r =152 cm 时,扇形面积的最大值是2254cm 2, 此时α=l r =30-2×152152=2. 12.解:(1)如题中图(1),在[0,2π)内满足条件的集合为⎣⎡⎦⎤0,π3∪⎣⎡⎦⎤2π3,π. 则所求角的集合为α2k π≤α≤π3+2k π或2π3+2k π≤α≤π+2k π,k ∈Z . (2)如题中图(2),在[0,2π)内满足条件的集合为⎝⎛⎭⎫π6,π4∪⎝⎛⎭⎫7π6,5π4,则所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6+2k π<α<π4+2k π,k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪7π6+2k π<α<5π4+2k π,k ∈Z=⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6+2k π<α<π4+2k π,k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6+(2k +1)π<α<π4+(2k +1)π,k ∈Z =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π6+k π<α<π4+k π,k ∈Z .。
人教B版 角的概念的推广
1.1.1 角的概念的推广一、学习目标1、 理解任意角的概念,并会用“旋转”定义角的概念;2、 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
二、复习引入:初中角的定义是什么?三、概念形成角的概念的推广⑴一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按 旋转到另一个位置OB ,就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做 ,旋转终止的射线OB 叫做 ,射线的端点O 叫做 。
⑵正角是 ,负角是 , 零角是 ,转角是 。
注:引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即,αβ-可以转化为 。
这就是说 。
即学即练:经过2个小时,分针转过的角度是多少?时针呢?⑶象限角:角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 重合,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)即学即练:30︒是第几象限角?390︒是第几象限角?330︒-,300︒,60︒-,585︒,2000︒-又分别是第几象限角?⑷终边相同的角① 观察390,330︒︒-的角,它们的终边与30︒角有什么关系?② 终边与30︒相同的角都可以表示成 。
③所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 , 即:任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成 。
四、典型例题1、已知30AOC ︒∠=,若终边OA 绕端点顺时针旋转60︒,则AOC ∠是多少?顺时针旋转90,120,180,300︒︒︒︒呢?并找出它们分别在第几象限。
(若逆时针旋转呢?)2、在0~360︒︒范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限的角:(1)120︒-; (2)750︒; (3) 270︒-; (4)72115'︒-3、写出终边落在x 轴,y 轴上,直线0x y +=以及直线0x y -=上的角的集合。
4、 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ,并把S 中满足不等式360720β︒︒-≤<的元素β写出来;(1) 30︒; (2) 90︒-; (3) 720︒五、快乐体验1、设集合A ={锐角},B ={小于90︒},C ={第一象限的角},D ={小于90︒的正角},则下列等式成立的是( )(A) A =B (B) B =C (C) A =C (D) A =D2、角α的终边经过点M (0,-3),则α( )A 是第三象限的角B 是第四象限的角C 既是第三象限的角又是第四象限的角D 不是任何象限的角3、若α为锐角,180()k k Z α︒∙+∈所在的象限是( )A 第一象限B 第二象限C 第一、二象限D 第一、四象限4、集合{30,}A k k Z αα==∙︒∈与{6030,}B n n Z ββ==∙︒+︒∈的关系是 A A B ⊂ B A B ⊃ C A=B D A B ⊆。
1.1.1角的概念扩展
角的概念推广以后,它包括任意大小的正
角、负角和零角.
要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定纯属于习惯,就好象 与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好
象数零无正负一样.
用旋转来描述角,需要注意三个要素(旋
转中心、旋转方向和旋转量) (1)旋转中心:作为角的顶点. (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了;
1770=305×360 (k=-5)
⑶ 结论: 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360º }(k∈Z) 即:任何一个与角终边相同的角,都可 以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点:
① k∈Z;
② 是任意角;
③ k· 360º 与之间是“+”号,如k· 360º -30º ,应
6、若α是第四象限角,则180º -α是( C ) A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,
那么α与β之间的关系是( D )
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
它是第二象限角.
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360º ~720º 间的角写出来:
(1) 60º ;(2) -21º ;(3) 363º 14′.
解:(1) S={β| β=k· 360º +60º (k∈Z) }, S中在-360º ~720º 间的角是 -1×360º +60º =-300º ; 0×360º +60º =60º ; 1×360º +60º =420º .
1.1.1角的概念的推广
第一章基本初等函数(Ⅱ)1.1.1角的概念的推广课前自主学习学习目标1.知道用运动变化的官邸啊了解角的概念和推广,能正确区分正角、负角和零角.2.学会正确区分象限角与终边在坐标轴上的角,知道终边相同的角的表示方法,并能判断角的终边的位置.知识梳理知识点1:任意角的概念正角、负角、零角是怎样定义的?思考1零角的终边和始边重合,如果一个叫得终边和始边重合,那么这个角一定是零角吗?知识点2:终边相同的角对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?思考2终边相同的角有什么特点?知识点3:象限角象限角是如何定义的?思考3任意一个角都是象限角吗?课前体验1.下列角中终边与330°相同的角是()A.30° B.-30° C.630° D.-630°2.-1120°角所在象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.把-1485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是()A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360°4.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.课堂互动探究问题探究1. 锐角是第一象限角吗?第一象限角是锐角吗?为什么?2. 对于直角坐标系中任意一条射线OB ,以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?3.若α是第二象限的角,那么2α是第几象限的角?典例剖析例1. 在0360︒︒~范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.(注:0360︒︒-是指0360β︒︒≤<)解题反思:终边相同的角如何表示?如何找出与95012'︒-终边相同的角?例2. 写出终边在y 轴上的角的集合.解题反思:1.在0360︒︒~范围内,终边在y 轴上的角有几个?与这几个个角终边相同的角的集合可以合并吗?2.你能写出终边在x 轴上,终边坐标轴上的角的集合吗?第一、二、三、四象限角的集合呢?例3.若α是第二象限角,则α2,2α分别是第几象限的角? 解题反思:α是第二象限角,如何表示?由α的取值范围,来确定2α,2α的取值范围?规律方法总结(1)判断一个角是第几象限角,只要把改写成,,那么在第几象限,就是第几象限角,若角与角适合关系:,,则、终边相同;若角与适合关系:,,则、终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为:,这种模式(),然后只要考查的相关问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.(2)要注意某一区间内的角和象限角的区别,象限角是由无数各区间角组成的;要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如θ=a+k×1200(k∈Z)所表示的角所在的象限。
高一数学角的概念的推广1
所以
终边落在y轴上的角的集合为
={β| β=900+1800 的偶数倍}
2700+k∙3600
S=S1∪S2
∪{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ,K∈Z}
练习
写出终边落在x轴上的角的集合
• 小结:
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角
与a终边相同的角的一般形式为
a+Kx3600,K ∈ Za S={ β| β= a+kx3600 , K∈ Z}
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300-2x3600
300-3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300+KX3600,K ∈ Z
例1 把下列各角写成a+k.3600(00≤a<3600, k∈z)的形式,并判定它们分别是第几象限角:
1.任意角的概念
负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角a相同的角
a+Kx3600,K ∈
Z
x 例2 写出终边落在 y 轴上的角的集合。 • 解:终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为 y
1.在初中角是如何定义的? 角的范围是多少?
定义1:有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边 边
定义2:平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
角与角的概念
1.1.1 角的概念的推广1.角(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)图示,称它形成了一个零角2.象限角:是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.1.与405°角终边相同的角是( )A .k ·360°-45°,k ∈Z B .k ·180°-45°,k ∈ZC .k ·360°+45°,k ∈ZD .k ·180°+45°,k ∈Z2.若α=45°+k ·180° (k ∈Z ),则α的终边在( )A .第一或第三象限 B .第二或第三象限C .第二或第四象限D .第三或第四象限3.设A ={θ|θ为锐角},B ={θ|θ为小于90°的角},C ={θ|θ为第一象限的角},D ={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( )A .A =B B .B =C C .A =C D .A =D4.若α是第四象限角,则180°-α是( )A .第一象限角 B .第二象限角C .第三象限角 D .第四象限角5.集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =k ·180°2±45°,k ∈Z ,P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =k ·180°4±90°,k ∈Z ,则M 、P 之间的关系为( ) A .M =P B .M P C .M P D .M ∩P =∅6.已知α为第三象限角,则α2所在的象限是( )A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限7.若角α与β的终边相同,则α-β的终边落在______.8.经过10分钟,分针转了________度.9.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________.10.若α=1 690°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________.11.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.12.如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.13.如图所示,写出终边落在直线y =3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示).14.设α是第二象限角,问α3是第几象限角?弧度制和弧度制与角度制的换算1.角的单位制(1)角度制:规定周角的1360为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad .(3)角的弧度数求法:如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么l ,α,r 之间存在的关系是:____________;这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.2.角度制与弧度制的换算31集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α=k π+π2,k ∈Z 与集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α=2k π±π2,k ∈Z 的关系是()A .A =B B .A ⊆B C .B ⊆A D 以上都不2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )A .2 B .sin 2 C .2sin 1D .2sin 1 3.扇形周长为6 cm ,面积为2 cm 2,则其中心角的弧度数是( )A .1或4B .1或2C .2或4D .1或54.已知集合A ={α|2k π≤α≤(2k +1)π,k ∈Z },B ={α|-4≤α≤4},则A ∩B 等于( )A .∅B .{α|-4≤α≤π}C .{α|0≤α≤π}D .{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}5.把-114π表示成θ+2k π(k ∈Z )的形式,使|θ|最小的θ值是( )A .π4 B .-π4 C .34π D .-34π 6.扇形圆心角为π3,半径长为a ,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A .1∶3 B .2∶3 C .4∶3 D .4∶97.将-1 485°化为2k π+α (0≤α<2π,k ∈Z )的形式是________.8.若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为____.9.若2π<α<4π,且α的终边与-7π6角的终边垂直,则α=______. 10.若角α的终边与角π6的终边关于直线y =x 对称,且α∈(-4π,4π),则α=__________. 11.把下列各角化成2k π+α (0≤α<2π,k ∈Z )的形式,并指出是第几象限角:(1)-1 500° (2)236π (3)-4 12.已知一扇形的周长为40 cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为________.14.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R .(1)若α=60°,R =10 cm ,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值c (c >0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?1.2.1 三角函数的定义1.任意角三角函数的定义2.六种三角函数值在各象限的符号3.三角函数的定义域1.若α的终边与y 轴重合,则α的六种三角函数中,函数值不存在的是( )A .sin α与cos αB .tan α与cot αC .tan α与sec αD .cot α与csc α2.点A (x ,y )是300°角终边上异于原点的一点,则y x 的值为( )A . 3 B .- 3 C .33 D .-333.若sin α<0且tan α>0,则α是( )A .第一象限角 B .第二象限角C .第三象限角 D .第四象限角4.角α的终边经过点P (-b,4)且cos α=-35,则b 的值为( )A .3 B .-3 C .±3 D .5 5.已知x 为终边不在坐标轴上的角,则函数f (x )=|sin x |sin x +cos x |cos x |+|tan x |tan x的值域是( ) A .{-3,-1,1,3} B .{-3,-1}C .{1,3} D .{-1,3}6.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4,cos 3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )A .π4 B .3π4 C .5π4 D .7π47.若角α的终边过点P (5,-12),则sin α+cos α=______.8.已知α终边经过点(3a -9,a +2),且sin α>0,cos α≤0,则a 的取值范围为________.9.代数式:sin 2cos 3tan 4的符号是________.10.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且|OP |=10,则m -n =________.11.判断下列各式的符号:(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角);(2)sin 285°cos(-105°);(3)sin 3·cos 4·tan(-23π4). 12.已知角α终边上一点P (-3,y ),且sin α=34y ,求cos α和tan α的值.13.若θ为第一象限角,则能确定为正值的是( )A .sin θ2 B .cos θ2 C .tan θ2D .cos 2θ 14.已知角α的终边上一点P (-15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0),求α的各三角函数值.1.2.22.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为( )A .π4B .3π4C .7π4D .3π4或7π43.若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是( )A .sin α+cos α>1B .sin α+cos α=1C .sin α+cos α<1D .不能确定4.利用正弦线比较sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小关系是( )A .sin 1>sin 1.2>sin 1.5B .sin 1>sin 1.5>sin 1.2C .sin 1.5>sin 1.2>sin 1D .sin 1.2>sin 1>sin 1.55若0<α<2π,且sin α<32,cos α>12,则角α的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎫-π3,π3B .⎝⎛⎭⎫0,π3C .⎝⎛⎭⎫5π3,2π D .⎝⎛⎭⎫0,π3∪⎝⎛⎭⎫5π3,2π 6.如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( )A .cos α<sin α<tan α B .tan α<sin α<cos α C .sin α<cos α<tan α D .cos α<tan α<sin α7.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为____________8.集合A =[0,2π],B ={α|sin α<cos α},则A ∩B =__ 9.不等式tan α+33>0的解集是______________.10.求函数f (x )=lg(3-4sin 2x )的定义域为________. 11.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥32; (2)cos α≤-12. 12.设θ是第二象限角,试比较sin θ2,cos θ2,tan θ2的大小. 13.求下列函数的定义域.f (x )=1-2cos x +ln ⎝⎛⎭⎫sin x -22. 14.如何利用三角函数线证明下面的不等式?当α∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,求证:sin α<α<tan α.1.2.1 三角函数的定义1.C 2.B3.C 4.A5.D 6.D 7.-7138.-2<a ≤3 9.负号10.2 11.解 (1sin α·cos α<0.(2)sin 285°·cos(-105°)>0.(3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫-23π4<0. 12.解 sin α=y 3+y 2=34y .当y =0时,sin α=0,cos α=-1,tan α=0. 当y ≠0时,由y 3+y 2=3y 4,解得y =±213.当y =213时,P ⎝⎛⎭⎫-3,213,r =433. ∴cos α=-34,tan α=-73.当y =-213时,P (-3,-213),r =433∴cos α=-34,tan α=73. 13.C 14.解 ∵x =-15a ,y =8a ,∴r =(-15a )2+(8a )2=17|a | (a ≠0).(1)若a >0,则r =17a ,于是sin α=817,cos α=-1517,tan α=-815. (2)若a <0,则r =-17a ,于是sin α=-817,cos α=1517,tan α=-815. 弧度制和弧度制与角度制的换算1.A2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.-10π+74π 8.25 9.73π或103π 10.-11π3,-5π3,π3,7π311.解 (1)是第四象限角.2)是第四象限角.(3)第二象限角.12.解 设扇形的圆心角为θ,半径为r ,弧长为l ,面积为S ,则l +2r =40,∴l =40-2r .∴S =12lr =12×(40-2r )r =20r -r 2=-(r -10)2+100. ∴当半径r =10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为100 cm 2,此时θ=l r =40-2×1010=2 rad . 13.42 设圆半径为r ,圆心角为θ,则内接正方形的边长为2r ,圆弧长为42r .∴|θ|=42r r=42. 14(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,∵α=60°=π3,R =10,∴l =αR =10π3(cm). S 弓=S 扇-S △=12×10π3×10-12×102×sin 60°=50⎝⎛⎭⎫π3-32 (cm 2). (2)扇形周长c =2R +l =2R +αR ,∴α=c -2R R ,∴S 扇=12αR 2=12·c -2R R ·R 2=12(c -2R )R =-R 2+12cR =-(R -c 4)2+c 216.当且仅当R =c 4,即α=2时,扇形面积最大,且最大面积是c 216. 角的概念的推广1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.x 轴的正半轴8.-609.{α|k ·360°-45°≤α≤k ·360°+120°,k ∈Z }10.-110°或250°11.(1)是第三象限角.(2)是第四象限角.(3)是第二象限角.12.①{α|k ·360°+30°≤α<k ·360°+105°,k ∈Z }.②{α|k ·360°+210°≤α<k ·360°+285°,k ∈Z }.∴角α的集合应当是集合①与②的并集:{α|k ·180°+30°≤α<k ·180°+105°,k ∈Z }.13.{α|α=60°+n ·180°,n ∈Z }.14.第一、二、四象限角。
1.1.1 角的概念的推广
张喜林制1.1.1 角的概念的推广考点知识清单1.角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,射线的端点叫做____;旋转开始时的射线叫做 ;旋转终止时的射线叫做____. 2.正角、负角和零角一条射线绕着它的端点,按 旋转形成的角叫做正角;按 一旋转形成的角叫做负角;如果一条射线 旋转,称它形成了一个零角.3.象限角在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与一,角的终边落在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角.注意:终边落在坐标轴上的角不属于任一象限.4.终边相同的角所有与角a 终边相同的角,连同角a 在内,可构成一个集合一,即任一与角任终边相同的角,都可以表示成角a 与整数个周角的和.5.(1)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时,旋转的绝时量可以是____.在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生盛的角,常叫做 (2)各角和的旋转量等于各角 一, 要点核心解读1.角的概念的理解 .角可以看做是平面内j 条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,其中逆时针旋转形成正角,顺时针旋转 转形成负角,没有旋转形成零角, 2.终边相同的角 . 设a 是任意角,所有与a 终边相同韵角以及a 本身相成一 个集合,这个集合记为},360|{Z k k S ∈⋅+== αββ3.在直角坐标系内讨论角(象限角,象限界角) (1)象限角 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴正半轴童合, 角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角,如300,420,30-o角都是第一象限的角;,480,124240-角都是第二象限的角o 150,570,210-角都是第三象 限的角,o o o 45660,300-角都是第四象限的角.(2)象限界角(轴线角) ‘当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴正半轴重合, 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,称之为象 限界角.如,270,180,90,360,270,180,90,0o o o o ---o 360-等都是象限界角.4.几个重要角的集合(1)象限角的集合 第一象限角的集合 第二象限角的集合=∈⋅+<<⋅},36090360|{Z k k k o αα ⋅∈<<⋅+=},900,360|{z k k ββαα第三象限角的集合,36018036090|{o k k ⋅+<<⋅+ αα=∈}z k⋅∈<<⋅+=},18090;360|{Z k k ββαα第四象限角的集合+<<⋅+ 270360180|{ααO o k=∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},270180,360|{z k k o ββαα(2)象限界角的集合+<<⋅+ 03360270||6ααk =∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},360270,3601{Z k k o o ββαα终边落在x 轴正半轴上的角的集合为 终边落在x 轴负半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},3|{z k k o ωαα终边落在x 轴上的角的集合为+⋅=o k 360|{αα }.,180z k o ∈终边落在y 轴正半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},180|{z k k αα终边落在y 轴负半轴上的角的集合为+⋅= 03|{6k αα }.,90z k o ∈终边落在y 轴上的角的集合为+⋅= 360|{k αα},270z k ∈终边落在坐标轴上的角的集合为⋅∈+⋅=},90180|{z k k αα典例分类剖析⋅∈⋅=},90|{Z k k αα考点1概念辨析问题命题规律’ 给出对基本概念的不同理解或不同表述,判断或选择正确结论. [例1]下列说法正确的是( ).A .终边相同的角一定相等C .第一象限的角都是锐角D .小于90。
1.1.1 角的概念的推广
鸡西市第十九中学学案
如图,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点
就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的
叫做叫α的顶点.初中所研究的角的范围为
【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围?
①体操比赛中术语:“转体720o”(即转体
②时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?(
小结:角的终边在坐标轴上,属于哪一个象限?
思考:与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么,与α终边相同的角如何表示?
新知:与α角终边相同的角,都可用式子k×360°+α表示,k∈Z
3.写出终边在直线y=-。
2020高中数学 第1章 基本初等函数(Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广教案(含解析)4
1。
1。
1 角的概念的推广学习目标核心素养1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角.(一般) 2.理解象限角的概念.(重点)3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置.(难点)1.通过角的概念的学习,体现了数学抽象核心素养.2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养。
1.角的概念(1)角的形成:角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:①正角:按照逆时针方向旋转而成的角;②负角:按照顺时针方向旋转而成的角;③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角.2.角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角,记作∠AOB,其中OA叫做∠AOB的始边,OB叫做∠AOB的终边.(2)引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α-β可以化为α+(-β).这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S =错误!,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.4.象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.思考:终边和始边重合的角一定是零角吗?[提示] 不一定.零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角,如-360°,360°,720°等角的终边和始边也重合.1.钟表的分针在一个半小时内转了( )A.180°B.-180°C.540° D.-540°D[钟表的分针是顺时针转动,每转一周,转过-360°,当分针转过一个半小时时,它转了-540°.]2.下列各角中,与330°角的终边相同的角是( )A.510° B.150°C.-150°D.-390°D[与330°终边相同的角的集合为S={β|β=330°+k·360°,k∈Z},当k=-2时,β=330°-720°=-390°,故选D。
角的概念的推广
1.1.1角的概念的推广【概念形成】1、在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向:和习惯上规定,按照旋转而成的角叫做正角;按照旋转而成的角叫做负角;当时,我们也把它看成一个角叫做零角。
2、角的概念经过这样的推广之后,就应该包括、、;为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可简记为 .3、一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,所形成的角为;旋转开始时的射线OA叫做,OB叫,射线的端点O叫做。
4、象限角:角的顶点与重合,角的始边与重合。
那么,角的终边(除端点外)在,我们就说这个角是;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角。
5、终边相同的角:设α表示任意角,所有与α终边相同的角,包括α本身所构成的集合是S=【例题选讲】360间找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角例1、在︒0~︒(1);(2);(3).例3、写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来:(1)600;(2)-210;(3)41︒,363'例4.写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的正半轴上 (2)x轴的负半轴上(3)y轴正半轴上(4) y轴的负半轴上 (5)终边落在x轴上 (6)终边落在y轴上(7)终边落在坐标轴上例5 (1)分别写出终边落在第一、二、三、四象限的角的集合。
(2)写出终边落在第一或三象限的角的集合(变式:二或四象限呢)【巩固提高】1、表示辨析下列各角:①︒0~︒90间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于︒90的角.2、分别写出:(1)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合(2)终边落在第四象限角平分线上的角的集合3、将角︒30的终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 ;如果改为顺时针旋转则角的度数为【课后作业】1、若α与β的终边角相同,则α-β的终边角一定在( )A 、x 的非负半轴上B 、x 的非正半轴上C 、y 的非正半轴上D 、y 的非负半轴上2、若α与β的终边关于直线x-y=0对称,且α=-300,则β= _______。
第一章 1.1.1角的概念的推广
上的角的集合: S={β|β=45° 360° +k· ,k∈Z}∪{β|β=225° 360° +k· ,k∈Z} ={β|β=45° +2k· , 180° k∈Z}∪{β|β=45° +(2k+1)· , 180° k∈Z} ={β|β=45° 180° +k· ,k∈Z}. ∴S 中适合-360° ≤β<720° 的元素是:
填一填·知识要点、记下疑难点
2.象限角
1.1.1
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是
本 课 时 栏 目 开 关
第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角
不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角, 连同角 α 在内, 可构成一个集合
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题]
1.1.1
例 1 在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判 定它们是第几象限角.
本 课 时 栏 目 开 关
(1)-150° ;(2)650° ;(3)-950° 15′.
解 (1)因为-150° =-360° +210° ,所以在 0° ~360° 范围内,与 -150° 角终边相同的角是 210° 角,它是第三象限角.
(2)因为 650° =360° +290° ,所以在 0° ~360° 范围内,与 650° 角 终边相同的角是 290° 角,它是第四象限角.
(3)因为-950° 15′=-3×360° +129° 45′,所以在 0° ~360° 范 围内, 与-950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角, 它是第二象 限角.
形成的角叫做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它 形成了一个零角.
课时作业11:1.1.1 角的概念的推广
1.1.1 角的概念的推广一、选择题1.下列说法中正确的是( )A .第一象限角一定不是负角B .-831°是第四象限角C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的角一定相等2.下列各角中,与角330°的终边相同的角是( )A .510°B .150°C .-150°D .-390°3.若α是第一象限角,则下面各角中是第四象限角的是( )A .90°-αB .90°+αC .360°-αD .180°+α4.已知角α是第三象限的角,则角-α的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若α=45°+k ·180°(k ∈Z ),则α的终边所在的象限为( )A .第一或第三象限B .第二或第三象限C .第二或第四象限D .第三或第四象限6.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143π B .-143 π C.718π D .-718π 二、填空题7.已知:①1240°,②-300°,③420°,④-1420°,其中是第一象限角的为________(填序号).8.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了________度,时针转了________度.9.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=________.三、解答题10.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08′.11. 如图所示,分别写出适合下列条件的角的集合:(1)终边落在射线OM上;(2)终边落在直线OM上;(3)终边落在阴影区域内(含边界).参考答案一、选择题1.C【解析】-330°=-360°+30°,所以-330°是第一象限角,所以A 错误;-831°=(-3)×360°+249°,所以-831°是第三象限角,所以B 错误;0°角,360°角终边与始边均相同,但它们不相等,所以D 错误.2.D【解析】330°=360°+(-30°),-390°=-360°+(-30°).∴330°角与-390°角终边相同.3.C【解析】α为第一象限角,那么-α为第四象限角,而360°-α与-α的终边相同.4.B【解析】因为α是第三象限的角,所以k ·360°+180°<α<k ·360°+270°,k ∈Z ,则-k ·360°-270°<-α<-k ·360°-180°,k ∈Z ,所以-α所在范围与(-270°,-180°)范围相同.所以-α的终边在第二象限.故选B.5.A【解析】当k 为奇数时,α为第三象限角,当k 为偶数时,α为第一象限角.6.B【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的13,用弧度制表示就是-4π-13×2π=-143π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角. 二、填空题7.②③④【解析】1240°=160°+3×360°,所以1240°为第二象限角,-300°=60°+(-1)×360°,所以-300°为第一象限角,420°=60°+360°,-1420°=20°+(-4)×360°,所以420°、-1420°也为第一象限角.8.30 2.5【解析】注意时钟指针转动方向应为顺时针,所以拨慢为逆时针形成正角,分针每分钟转过的度数为360°60=6°,而时针每分钟转过的度数为30°60=0.5°. 9.270°【解析】因为5α与α始边、终边分别相同,所以5α=α+k·360°,k∈Z,所以α=k·90°.又因为180°<α<360°,∴α=270°.三、解答题10.解:(1)∵-120°=240°-360°,∴在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角;(2)∵660°=300°+360°,∴在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角;(3)∵-950°08′=129°52′-3×360°,∴在0°~360°范围内,与-950°08′终边相同的角是129°52′,它是第二象限的角.11. 解:(1)终边落在射线OM上的角的集合A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.(2)终边落在射线OM上的角的集合为A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B={α|α=225°+k·360°,k∈Z},所以终边落在直线OM上的角的集合为:A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z},所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为:{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.。
角的概念的推广
1.1.1角的概念的推广编制单位:临朐实验中学编制人:刘慧敏刘清大审核人:李永亮编号:6【学习目标】1.认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;2.能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性;3.能用集合和数学符号表示象限角;4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【学习重点】形成任意角(正角、负角、零角)、终边相同的角、象限角的概念,掌握终边相同的角的表示方法和判定方法【学习难点】终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示【知识链接】问题1:角是数学中最常见的基本图形之一,按图形组合的方式来看,角是由哪些基本的图形组成的呢?问题2:不加任何描述条件,两条共端点的射线组成几个角?这两个角之间有什么关系?它们的取值范围是多少?问题3:在图上我们如何区分这两个角?【情境导入】为了解决上述问题,我们看另一种定义方式.即,一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.【课内探究】思考1:两种定义方式有什么异同之处?思考以下问题,填表(1)在旋转式定义方式下,一次旋转而得的角有几个?(2)两条射线一次组合产生的两个角,如何用旋转的方式表示?当旋转超过一周时,如何描述旋转量?角组合式旋转式边顶点个数范围【概念形成】显然,当我们用旋转的方式定义角时,原有的角的范围必须被扩充,思考2:我们用旋转变换的观点来扩充角的概念,即解决旋转变换的三个要素(旋转中心、旋转方向和旋转量)对角的概念有什么影响?在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角,又常叫做转角.任意角的图示方法,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,叫做零角.在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角,又常叫做转角.如图(课本图1-1),射线OA 绕端点O 旋转到OB 的位置所成的角,记作∠AOB ,其中OA 叫做∠AOB 的始边,OB 叫做∠AOB 的终边.以OB 为始边,OA 为终边的角记作∠BOA.如图,射线OA 绕端点O 旋转到OB 的位置所成的角,记作∠AOB ,其中OA 叫做∠AOB 的始边,OB 叫做∠AOB 的终边.以OB 为始边,OA 为终边的角记作∠BOA.例:∠AOB =120°,∠BOA =-120°.【概念应用】一. 角的合成与运算『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.根据已有的定义,我们可以发现:如果把度数相同的角看成是一个角,那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.于是,角的合成可以用实数运算来表示.练习1. 课本P7.练习A.5题2. 课本P6练习A.2题(3)二:终边相同的角思考3:以OX 轴为始边旋转30,接着再旋转360,则两个角终边-----------,继续旋转可得到无数个角,关系为--------------,如何表示?一般地,如果βα和是终边相同的角,那么我们记Z k k ∈︒⋅+=,360αβ当k =0时,两个角相同.如果我们固定角的始边,因其终边可以任意旋转,故而可以构成任意度数的角,而通过观察我们可以发现,这些角中有很多角的边是重合的.因此我们定义:1.定义 如果当角α与角β的始边重合时,它们的终边也重合,那么我们称角α与角β是终边相同的角.2.表示方法思考4:终边相同的角度数相等么?反之,度数相等的角终边相同么?思考5:终边相同的两个角的度数有什么关系?思考6:设βα和是终边相同的两个角,如何用符号语言表示其数量关系?总结:1.如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的.从角的旋转式定义看,终边相同角的本质特征是:每旋转360°的整数倍后两角重合. α 旋转初值整数k 旋转次数360° 单位旋转量2.终边相同的角的集合形式:设α表示任意角,所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ.集合中的每一个元素都与α的终边相同,当k =0时,对应元素为α.【概念推广】从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法例如Z k k ∈︒⋅+=,180αβ,表示角α每次旋转180°,角β与角α的终边关于原点对称. Z k k ∈︒⋅+=,90αβ表示角α每次旋转90°,角β与角α的终边关于坐标轴对称.※角α与角-α的终边关于x 轴对称等.三.符号表示终边满足一定条件的角『思考』比较与角α终边相同的角的集合,你能发现什么?『小结』在Z k k ∈︒⋅+=,360αβ中,α表示旋转初值,整数k 表示旋转次数,360°表示单位旋转量.改变这些常数,表示不同的旋转过程.例如Z k k ∈︒⋅+=,180αβ,表示角α每次旋转180°,角β与角α的终边关于原点对称.思考:类似地请你自己做一些探究.结论Z k k ∈︒⋅+=,90αβ表示角α每次旋转90°,角β与角α的终边关于坐标轴对称. ※角α与角-α的终边关于x 轴对称等.今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角五.象限角的概念.平面内任意一个角都可以通过移动,使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合,角的始边和x 轴的正半轴重合,这时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角.二、典例剖析例1:射线OA 绕端点O 顺时针旋转80 到OB 位置,接着逆时针旋转250到OC 位置,然后再顺时针旋转270到OD 位置,求AOD ∠的大小。
高一三角函数题目知识点总结
高一三角函数题目知识点总结高一三角函数题目学问点总结高中数学必修4第一章三角函数(初等函数二)1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广[学问点一]:正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角[学问点二]:1.角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.其次象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k2、与角终边相同的角的集合为k360,k第一象限角的集合为k360k36090,k[学问点三]:已知是第几象限角,确定n所在象限的方法:先把各象限均分n等份,n*再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.n[题型]:一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是()A.30°B.-30°C.630°D.-630°2、-1120°角所在象限是()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3、把-1485°转化为α+k360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是()A.45°-4360°B.-45°-4360°C.-45°-5360°D.315°-5360°4、终边在其次象限的角的集合可以表示为:()A.{α90°A.XYB.XYC.X=YD.X≠Y13.设α、β满意-180°<α<β<180°,则α-β的范围是(A)A.-360°<α-β<0°B.-180°<α-β<180°C.-180°<α-β<0°D.-360°<α-β<360°14.下列命题中的真命题是()A.三角形的内角是第一象限角或其次象限角B.第一象限的角是锐角C.其次象限的角比第一象限的角大D.角α是第四象限角的充要条件是2kπ-2<α<2kπ(k∈Z)15.设k∈Z,下列终边相同的角是(A.(2k+1)180°与(4k±1)180°B.k90°与k180°+90°C.k180°+30°与k360°±30°D.k180°+60°与k60°)扩展阅读:人教版高一数学三角函数图象与性质最全学问点总结级典型复习题三角函数图象与性质复习题函数ysinxycosxytanx图象定义域值域奇偶性最小正周期对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间[RR{x|x2k,kZ}R[1,1][1,1]奇函数偶函数奇函数2;T=x22;T=2;T=无2k,kZxk,kZ(k,0),kZ2[2k,2k],kZ[2k,2k],kZ(k,0),kZ[2k,2k],kZ2222k ,232k],kZk,0),kZ2(k,k),kZ(22无要求:1、能正确画出ysinx,ycosx,ytanx的图象2、给定条件,能够求ysinx,ycosx,ytanx的定义域、值域、单调区间;3、给定条件,能够求yAsin(x)中的A,,。
1.角的概念的推广和弧度制
深圳雅文教育同步优化讲义一、角的概念的推广、弧度制★知识归纳1、正角、负角、零角的概念:平面内一条射线绕端点旋转产生正角、负角和零角.2、终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内构成集合:{}|360,S k k ββα==+⋅∈Z.3、象限角 象限角的集合第一象限: ; 第二象限: ; 第三象限: ; 第四象限: . 4、角的度量(1)角度制:规定周角的3601为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫角度制. (2)弧度制:与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1 rad (弧度)的角,用弧度做单位来度量角的制度叫弧度制.一般我们规定:正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0. 显然,任意已知角α的弧度数的绝对值rl =α(l 为弧长,r 为半径).角度与弧度之间的换算关系:π23600=弧度, π=0180 由此还可以得到1801 =57.35718'rad π≈=,1= 0.01745 180rad rad π≈.注意几点:(1)今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad , sin π表示πrad 角的正弦;(2)角度制与弧度制不能混用,如230,Z k k απ=+∈与 3360,Z 2k k βπ=∙+∈均不准确. 5、角的概念推广之后,角的集合与实数的集合之间具有一一对应的关系任意角的集合 ↔ 实数集R6、正确理解角“00090 ”间的角”指的是:00090α≤≤;“第一象限的角”是:{}36036090,k k k Z θθ⋅<<⋅+∈; “锐角”是:{}090θθ<<;“小于090的角”表示为:{}90θθ<.7、弧度制下的弧长公式:α⋅=r l我们知道,任意已知角α的弧度数的绝对值rl=α(l 为弧长,r 为半径)由此,扇形的弧长公式||l r α=(扇形的圆心角为 α弧度,半径为r )扇形面积公式:12S lr ==212r α,其中l 是扇形弧长,r 是圆的半径. ★例题讲解题型一 角的概念的辨析 例1、下列各命题正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于 90的角都是锐角题型二 终边相同的角的表示例2、 ⑴若角α的终边与 210角的终边相同,求在 0~ 360内终边与2α的终边相同的角.⑵已知角α的终边与 60-的角的终边关于y 轴对称,求角α.o R Sl题型三 角所在象限的判断例3、 ⑴若α是第四象限角,则α- 180为第 象限角?⑵已知α为第一象限角,判断α2、2α所在的象限.题型四 弧度制例4、将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式,并指出它们是第几象限角.(1)1003π; (2)258π-; (3)0420-.例5、在o 中,一条弦的长度等于半径长r . (1)求这条弦所对的劣弧长;(2)求这条弦和劣弧所组成的弓形面积.练习一1、下列角中,终边与 330角相同的是( )A. 630-B. 1830-C. 30D. 990 2、若α为第一象限角,则)(180Z k k ∈+∙α 的终边在( )A.第一象限B.第一、二象限C.第一、三象限D.第一、四象限 3、已知α为第三象限角,则α-的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、若角α、β终边相同,则βα-的终边在( )A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上 5、与457-角终边相同的角的集( )A.{}Z k k ∈+⋅=,457360| ααB.{}Z k k ∈+⋅=,97360| ααC.{}Z k k ∈+⋅=,263360|αα D.{}Z k k ∈-⋅=,263360|αα6、01005-是第几象限的角 .7、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式00360360α-≤<的元素α写出来: (1)0100; (2)0462-.8、已知角α,写出满足下列条件的角β的集合: (1)角β的终边与已知角α的终边关于x 轴对称; (2)角β的终边与已知角α的终边关于原点对称.9、若α为第三象限角,求2α的范围,并指明所在象限.练习二1、下列等式成立的是( )A . 3.14π=B .180π=C .1π=弧度D .0902π=弧度2、12π的角化成角度制是( )A .015B .030C .060D .075 3、下列各角中与0120-角终边相同的角为( )A .43π B .56π- C .43π- D .76π 4、5弧度的角所在的象限为 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5、已知r 为圆的半径,弧长为56r 的圆弧所对的圆心角等于( ) A.030()π B. 0150()πC. 030D. 0150 6、集合,,,244k M x x k Z N x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则集合M ,N 之间的关系是_____________. 7、在直径为20 cm 的圆中,求下列各圆心角所对的弧长: (1)23π; (2)0135.8、将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式,并指出它们是第几象限角.(1)253π; (2)194π-; (3)01125-.9、一圆内切于中心角为3π,半径为R 的扇形,求该圆面积与扇形面积之比.★综合提高:1. 写出下列轴线角的集合:⑴ 终边在x 轴正半轴上角的集合为终边在x 轴负半轴上角的集合为 终边在x 轴上角的集合为 ⑵ 终边在y 轴正半轴上角的集合为终边在y 轴负半轴上角的集合为 终边在y 轴上角的集合为 ⑶ 终边在坐标轴上角的集合为 2. 射线型角与直线型角与角α终边相同的角的集合S = 与角α终边在同一直线上的角的集合S =3.与α角的终边反向的角的集合为 . 与α角的终边垂直的角的集合为 . 4.α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,满足条件的所有α可表示为:α=____________ 5.下面的4个命题中,正确命题的序号为_________.①第一象限的角小于第二象限的角 ②相等的角终边相同;③若α是第二象限角,则2α一定是第四象限角; ④终边在x 轴正半轴上的角是零角. 6.终边在y x =-上的角的集合表示为( )A 、{}2,4k k Z πααπ=+∈ B 、{}32,4k k Z πααπ=+∈ C 、{},4k k Z πααπ=+∈ D 、{},4k k Z πααπ=-∈7.终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为( )A 、{22,}63k k k Z ππαπαπ+<<+∈B 、{22,}63k k k Z ππαπαπ-<<+∈C 、11{22,}36k k k Z ππαπαπ+<<+∈ D 、无法确定8、已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.(1)若,10,60cm R == α求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§1.1.1角的概念的推广(课前预习案)Array
班级:___ 姓名:________ 编写:时间:2014.3.6
1.角的概念的推广:
在平面内,角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的,终止时的射线叫做角的,射线的端点叫做角的.
按逆时针方向旋转所得到的角为,而按顺时针方向旋转所得到的角为,规定:当一条射线没有旋转时,也把它看成一个角,叫做.这样,零角的始边和终边重合.
2.象限角与象限界角
为了讨论问题的方便,总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论,具体做法是:(1)使角的顶点和坐标重合;(2)使角的始边和x轴重合.这时,角的终边落在第几象限,就说这个角是的角(有时也称这个角属于第几象限);如果这个角的终边落在坐标轴上,那么这个角就叫做
3.与α有相同终边的角,连同α在内可以表示为
二、课前自测
1.下列各角中,与-1050°的角终边相同的角是()
B.
60
-
A
.
60
︒
︒
︒
C30
︒30
-
D
2.将-885°化为α+ k·360°(0°<α<360°,k∈Z)的形式是()
A.-165°+ (-2)·360°
B.195°+ (-3)·360°
C. 195°+ (-2)·360°
D.165°+ (-3)·360°
3.下列命题中正确的是()
A.第一象限角一定不是负角
B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限角
D.终边相同的角一定相等
-是()
4.若α是锐角,则180α
A.第一象限角
B.第二角限角
C.第三象限角
D.第四象限角。