空间平面与平面位置关系ppt课件
空间平面与平面的位置关系
二、两个平面平行的判定
1.一个平面内的一条 直线平行于另一个平 面,能否推出这两个平 面平行? (不能)
2.一个平面内的两条 直线平行于另一个平 面,能否推出这两个平 面平行? (不能)
3.无数条呢? (不能)
二、两个平面平行的判定
已 ， 知 ， ： ， ， 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交
公路
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条 o • 射线所组成的图形叫做角。
2、定理1？
A
答：如果一个角的两边和另一
个角的两边分别平行，那么这
两个角相等或互补。
B
想一想 B
B B
B
O
A
B
B B
? 两个面组成的图形
角
半平面及二面角的定义
1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成
b
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
三、两个平面平行的性质
2.两个平面平行的性质定理
面面平行的性质定理：如果两个 平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
//
即：
a
a // b
b
如何证明? 简 记 为 “ 面 面 线 平线 行平 行 ”
a
b
线线平行
线面平行
面面平行
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间平面与平面位置关系
空间平面与平面位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要但常常容易被忽视的问题。
了解空间平面与平面的位置关系对于解决几何问题以及应用到实际生活中具有重要的意义。
本文将探讨空间平面与平面的四种基本位置关系：平行、相交、重合和互相垂直，并通过实际例子来说明其应用。
1. 平行关系当两个平面在空间中没有相交的情况下，它们被认为是平行的。
平行平面可以永远延伸下去而不会相交。
把手中的书放在桌子上可以形成一个例子，桌子和书页所在的平面就是平行关系。
平行关系在建筑设计、工程测量以及地理测量等领域中有着广泛的应用。
2. 相交关系当两个平面在空间中有一条直线进行交叉的情况下，它们被认为是相交的。
相交关系可以理解为两个平面在某一点或某一线上相遇。
例如，两扇门相互垂直地打开形成的平面相交于门口的一条直线。
相交的平面关系在日常生活中随处可见，例如建筑物的墙壁与天花板的相交以及道路与桥梁的相交等。
3. 重合关系当两个平面在空间中完全重复时，它们被认为是重合的。
即两个平面在每一点都完全重叠，没有任何区别。
考虑一块平行光线照射在墙壁上并被反射，反射光线与原来的光线所在的平面完全重合。
在几何学中，研究平面重合关系有助于解决与对称性和对称图形相关的问题。
4. 垂直关系当两个平面的交线是垂直于另一平面时，它们被认为是互相垂直的。
垂直关系可以通过角度判断，当两个平面的交线与另一个平面的法线成直角时即可确认垂直关系。
例如，地面与墙壁的交线与墙壁的法线垂直。
垂直关系在建筑设计、物理学以及工程中都有重要的应用，例如计算斜坡的可行性以及研究天体运动。
总结起来，空间平面与平面之间有四种基本的位置关系：平行、相交、重合和互相垂直。
了解这些关系对于解决几何问题和应用到实际生活中具有重要的作用。
无论是建筑设计、工程测量还是物理学研究，几何学的基本原理都是无处不在的。
通过对空间平面与平面位置关系的研究，我们能够更好地理解和应用几何学的知识。
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
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41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
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5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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43
1.下列结论中正确的是 ( )
平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系在几何学中，平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
当两个平面存在相交、平行或者垂直的关系时，我们可以通过几何分析来确定它们之间的具体位置关系。
本文将介绍平面与平面的三种基本位置关系，并通过几个实际例子来加深理解。
相交是最常见的平面与平面的位置关系。
当两个平面有一个或多个交点时，称它们相交。
相交的平面可以形成各种形状，比如交叉、叠加、垂直等等。
例如，一张桌子的表面和一个墙壁可以被视为两个相交的平面。
它们在桌角位置相交，形成一个垂直的关系。
在几何分析中，我们可以通过找到两个平面的交线来确定它们的相交关系。
平行是平面与平面的另一种常见位置关系。
当两个平面上的任意两条直线都平行时，称这两个平面平行。
平行的平面在空间中没有交点，永远保持相同的距离。
例如，两张平行的地板可以被认为是两个平行的平面。
它们永远不会相交，无论它们在空间中的位置如何变化。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面上的法向量来确定它们的平行关系。
垂直是平面与平面的第三种基本位置关系。
当两个平面的法向量互相垂直时，称这两个平面垂直。
垂直的平面形成一个直角关系，它们在空间中相交成一条直线。
例如，一张水平的地板和一面垂直的墙壁可以被视为两个垂直的平面。
它们在地板边缘相交，形成一个垂直的直角关系。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面的法向量的点积是否为零来确定它们的垂直关系。
除了相交、平行和垂直之外，平面与平面还可以存在其他一些特殊的位置关系。
例如，两个平面可能互相包含，其中一个平面完全位于另一个平面之内。
或者两个平面可能共面，即它们在空间中重合成一个平面。
这些特殊的位置关系都可以通过几何分析来确定。
在实际应用中，平面与平面的位置关系在建筑设计、机械工程、计算机图形学等领域中发挥着重要作用。
例如，在建筑设计中，两个相交的平面可以构成一个角度，决定着各种结构的稳定性和外观效果。
在机械工程中，平行的平面常用于配合零件的设计和加工。
空间中平面与平面位置关系
甘南县第一中学 数学组 吴越峰
一。教学目标
1．知识与技能 （1）了解空间中平面与平面位置关系 （2）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 让学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理
解、掌握
3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，、
提高学生的学习兴趣.
二、教学重点与难点
平面与平面的相交和平行定义理解及作图
一、两个平面的位置关 系
第一、二层的底面α和β无 论怎样延伸都没有公共点；
前、后两面房顶γ和δ只 有一条交线AB．
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面
互相平行． （2）两个平面相交
(1)a与 内所有的直线平行；(2)a与 内无数条直线
平行；(3)a与 内任何一条直线都不垂直；
(4)a与 的距离等于 , 间的距离，
其中正确的命题的序号是
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
两个平面之间的关系有且只有两种： （1）两个平面平行――没有公共点； （2）两个平面相交――有一条公共直线。 想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画? 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行
图1
图2
√
×
小结：空间中面与面的位置关系
图形
图1
图2
研探新知:
提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢? 观察思考:
（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左 右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。
1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。
两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。
这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。
在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。
这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。
符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。
2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。
这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。
如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。
这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。
3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。
这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。
其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。
总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。
这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。
掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面是一个基本的几何概念，而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。
本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系，包括平行、交叉、相交和重合。
一、平行关系两个平面如果永远不相交，它们被称为平行的。
平行关系是最简单的一种平面位置关系。
例如，在一个立方体中，底面和顶面是平行的，它们永远不会相交。
二、交叉关系两个平面如果有交点，但交点不在任何一个平面上，它们被称为交叉的。
交叉关系可以分为两种情况：交叉于一点和交叉于一线。
1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时，它们被称为交叉于一点的。
例如，一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。
2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时，它们被称为交叉于一线的。
例如，两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。
三、相交关系两个平面如果有公共部分，它们被称为相交的。
相交关系可以分为两种情况：相交于一点和相交于一线。
1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时，并且交点同时存在于两个平面上，它们被称为相交于一点的。
例如，两个平面的法向量相互垂直，它们相交于一点。
2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时，并且交线不在任何一个平面上，它们被称为相交于一线的。
例如，两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。
四、重合关系如果两个平面重合，它们被称为重合的。
两个重合的平面完全相同，它们所有的点都重合在一起。
例如，两张完全相同的平桌面重合在一起。
总结：空间几何中，平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系：平行、交叉、相交和重合。
平行的平面永远不会相交，交叉的平面有交点但不共面，相交的平面有公共部分且可能共面，而重合的平面完全相同。
通过研究平面与平面之间的位置关系，我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念，例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。
掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。
空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识，对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
《空间中线面-面面的位置关系》参考课件
（2）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面两两 之间的位置关系有几种？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
两个平面的位置关系只有两种：
两个平面平行 ——两个平面没有公共点 记作：α∥β
两个平面相交 ——两个平面有一条公共直线 记作：α∩β= a
例1、下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l // α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意
a∩b=l，则l（ C ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
2.1 空间中线面，面面之间的 位置关系
教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断 直线与平面的位置关系。 2.掌握平面与平面的两种位置关系，会判断 平民与平面的位置关系。 3. 学会用图形语言、符号语言表示它们之间 的位置关系.
1.空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
例2：已知平面α,β，直线a，b，且α∥β， aα，bβ，则直线a与直线b 有什么 样的位置关系？
a
a
b
b
这两条直线不可能相交，你知道为什么吗？
例3 已知直线a在平面α外，则（ D ）
（A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-
A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
直线与平面的位置关系有且只有三种： a
a
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
新高考数学空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件
(2)如图7-38-4所示,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .(填序号)
课堂考点探究
[思路点拨]根据异面直线的概念通过观察或平移判断两条直线是否异面;[解析]在题图①中,GH∥MN;在题图②中,G,H,N共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;在题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;在题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面.故填②④.
课前基础巩固
[解析]首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
题组二 常错题
索引:对异面直线的概念理解有误致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.3. α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 .(填序号) ①垂直;②相交;③异面;④平行.
(续表)
两个点
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本事实3
如果两个不重合的平面有_____ 公共点,那么它们有且只有 的公共直线
P∈α,且P∈β⇒ α∩β=l,且P∈l
①确定两平面相交的依据;②判定点在直线上的依据
(续表)
一个
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
图7-38-2
课堂考点探究
[思路点拨]设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.证明：∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,延长CE,D1F,设交点为P,如图所示.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理可得P∈平面ADD1A1.延长DA,又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.
空间平面的位置关系
空间平面的位置关系在三维空间中，存在着各种各样的几何图形，它们之间的位置关系也是十分复杂的。
为了描述几何图形之间的相对位置，我们需要利用空间平面的位置关系。
本文将介绍一些常见的空间平面的位置关系，包括平行、垂直、相交和重合。
一、平行关系平行是指两个平面在空间中永远不会相交。
如果两个平面的法向量平行且不重合，那么它们是平行的。
换句话说，如果两个平面的法向量的夹角为零或者180度，则这两个平面是平行的。
平行的例子包括地面和桌面、两块墙面等。
二、垂直关系垂直是指两个平面之间的交角为90度。
如果两个平面的法向量垂直，则它们是垂直的。
换句话说，如果两个平面的法向量的点积为零，则这两个平面是垂直的。
垂直的例子包括地面和墙面、桌面和屋顶等。
三、相交关系相交是指两个平面在空间中有公共的交线。
如果两个平面既不平行也不垂直，则它们是相交的。
相交的例子包括两片交叉的纸张、两片交叉的墙面等。
四、重合关系重合是指两个平面完全相同，它们的所有点都是重合的。
换句话说，如果两个平面的方程式完全相同，则它们是重合的。
重合的例子包括完全一样的两块墙面、两张完全一样的纸张等。
实际应用中，空间平面的位置关系是广泛运用在建筑、几何学、计算机图形学等领域。
例如，在建筑设计中，将地面和墙面视为两个平面，我们需要考虑它们的垂直关系，以确保结构的稳定性。
而在计算机图形学中，我们需要利用空间平面的位置关系来进行三维模型的渲染和显示。
总结起来，空间平面的位置关系包括平行、垂直、相交和重合。
通过深入研究和应用这些位置关系的特性，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形之间的相互关系。
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7
例 、 在A正 B C 方 A 1D B1 体 C1D 1中 ， 求 证 ： A 1B平 D //平 面 B 面 1D 1C
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
8
四、平面的相交
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当 的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必 须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学 的观点认识这种现象？
26
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
27
β ，或α-AB-β”.
β
棱
A
面
l
α
B
13
（二）：二面角的平面角
１、把门打开，门和墙构成二面角；把书打开， 相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同， 可得到不同的二面角，如何刻画这些二面角的大 小？
14
２、以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角.
G
B
β
23
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。H就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
D
100m
30 0
600 H
A
C
G
B
DH=DGsin600
注意两平面平行的画法
不应该这么画
3
2、判定：
探究：
（1）若 内有一条a与 直 平 线行，
则与平行吗？
a
a
（两平面平行） （两平面相交） 4
探究：
（ 2）若 内有两a、 条 b分 直 别 线 平 与 ,行
则 与 平行吗？
1.若 a//b时，与 则 平行吗
a b
a
b
（两平面平行） （两平面相交）
5
探究：
2.若 abP时， 与 则 平行吗
b
Pa
6
三、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与
另一个平面平行，则这两个平面平行．
P
符号语言：
a
b ab
P
//
a //
b //
３、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出 发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种 定义方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角
12
二面角的表示
４、一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，
其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α 、β 都
叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α -l-
β的一个平面角，
∠ AOH=300 ，
OA=20cm.
β
H
E
F
O 22
例５.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二 面角的度数）是60 ，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿30这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
它就是这个二面 角的平面角
A
C
D
B
αD
30 60H
AC
lO
Aα
16
４、思考：如图，过二面角α -l-β 一个面内一点A， 作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线， 垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？ 为什么？
β A
α
l
O
B
17
５、思考：如图，平面γ 垂直于二面角的棱l，分 别与面α 、β 相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的 平面角吗？为什么？
25
例 7 、 已 A是 B 知 C 正 P 三 A 平 A 角 面 ,B 且 P 形 C A A， B a , 求二 A P面 C B 的 角 大小
过 B作 BN PC ,过 N 作 MN P交 CA于 CM 连 BM ,证 BM A,C 得 M 为 A中 C 点 arct6 an
公路
9
（一）：二面角的有关概念
１、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫做半平面
射线 射线
半平面 半平面
10
２、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图 形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角
11
=CDsin300sin600
=100sin300sin600
≈43.3(米)
答：沿直道前进100米，
升高约43.3米
24
例 6 、P 已 A 平 知 A面 ， B S P C B C S ,S AB C S ',
二P 面 B 角 C A 的平 ， 面求 角 Sc证 o 为 s S '：
C1 B1
D1 A1
C
D
O
B
A
21
例４、在300二面角的一个面内有一点，它到 另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm.
过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所 以 ∠ AOH
A
α 就 是 二 面 角 α-EF-
l
O
B
A
α
α
γ
ββ
18
例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高 AD为折痕，将其折成一个 60 0 的二面角，求此时B、 C两点间的距离.
a 2
19
例2 如图，已知边长为a的等边三角形所在平 面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角
APBC的大小.
P D B
A C
20
例３ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
β B
lO
Aα
二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上； 角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱 垂直.
15
３、二面角的大小可以用它的平面角来度量，二 面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平 面角是直角的二面角叫做直二面角.
一般地，二面角的平面角的取值范围如何？
[0 ,180 ]
β B
1
一、两平面的位置关系：
位置关系 两平面平行
两平面相交
公共点 符号表示
没有公共点
a //
有一条公共直线
aa
图形表示
a
2
二、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1）平 平 面 行于 ，平 记 面 /作 /. ：
(2) 画法：