【数学】湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学(理)

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湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学(理)-含答案

湖北省百校大联盟2020届高三10月联考数学（理）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容，集合与常用逻辑用语，函数与导致，三角函数。

一、选择题：本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合求的。

、 1.若集合{}121M x x =--≤＜，{}2680M x x x =-+＜则，M N ⋃=A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,42.命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为A.所有的偶函数的值域都不为RB.存在一个偶函数，其值域不为RC.所有的奇函数的值域不为RD.存在一个奇函数，其值域不为R3.函数()ln f x x =的定义域为A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. [),1-∞-D.[)()1,00,-⋃+∞4.若10b a =，且a 为整数，则“b 能被 5整除”是“a 能被 5整除的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为A. ()3808k x k ππ=-+∈Z B. ()3202k x k ππ=-+∈Z C. ()3808k x k ππ=+∈ZD. ()3808k x k ππ=+∈Z6.图中的4片中叶子由曲线2y x =与曲线2y x =围成，则每片叶子的面积为A.16B.C. 13D.237.下列不等式正确的是A. 3sin130sin 40log 4＞＞B. tan 226ln 0.4tan 48＜＜C. ()cos 20sin 65lg11-＜＜D. 5tan 410sin 80log 2＞＞8.函数()22cos xx x f x e-=在上的图象大致为[],ππ-A. B.C. D.9.已知cos 270.891≈)cos72cos18+的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.8110.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 的图象关于点（3，0）对称，当12x ≤≤时，()()32log 43f x x x =++，则16092f ⎛⎫=⎪⎝⎭A.-4B.4C.-5D.511.函数()f x =的值域为A. ()2,2-B. ()1,1-C. [)2,0-D. (),2-∞-12.若函数()()3220f x x axa =-＜在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围 A. [)4,0-B. (],4-∞-C. [)2,0-D. [),2-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡的相应位置。

湖北省百校大联盟2020届高三数学考试(理科)试题答案

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大联考2020届高三上学期10月联考试题数学(理) Word版含答案

2019～2020学年度高三10月质量检测数学(理科)考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i是虚数单位，则232ii-=A.32i+ B.32i- C.32i-+ D.32i--2.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x2<16}，则A∩B＝A.(0，3)B.(2，4)C.(0，4)D.[2，4)3.若双曲线22221(0)2x ymm m-=>+的离心率为2，则实数m的值为A.1B.13C.2D.34.若1cos()36πα+=-，且263ππα<<，则7sin()12πα+=702+702-270-D.702+5.在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝a，在边BC上随机取一点D，则事件“10a”发生的概率为A.34B.23C.12D.136.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x等于A.4B.5C.6D.77.已知点D 是△ABC 所在平面上的一点，且2BD DC AD AB AC λμu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝－，若＝＋，则λ－µ＝A.6B.－6C.－32D.－3 8.“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为A.8B.9C.10D.12 9.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为2π，将函数f(x)的图象向左平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是 ①函数g(x)的最小正周期为π； ②函数g(x)的图象关于点(712π，0)对称； ③函数g(x)的图象关于直线23x π=对称； ④函数g(x)在[3π，π]上单调递增。

2020届湖北省黄冈市麻城市高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别考虑充分性和必要性，得到答案.
【详解】
若 a 能被 5 整除，则 b 10a 必能被 5 整除；
a b 若 b 能被 5 整除，则 10 未必能被 5 整除
故答案选 B.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力
f (x) sin 4x 3 cos 4x
11．函数
sin 2x 3 cos 2x 的值域为（）
2, 2
A．
Байду номын сангаас
B． 1,1
C． 1,1
D． 2,2
【答案】A
【解析】化简函数得到
f
(x)

2 sin

2x

6

，再根据定义域得到值域.
【详解】
f
(x)
x 3 k , k Z
令 52
，解得 20 2
，
x 3 k , k Z
所以对称轴方程为 20 2
．
故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
cos

3 4

2 1
2
2 ，画出图像得到答案.
【详解】
如图所示：
cos

3 4

2 2
1 2
直线 2 y

2020届高三数学10月联考试题理

2020届高三数学10月联考试题理本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.设集合，，则（）2.函数的零点之和为（）3.若，，，则的大小关系（）4.下列四个结论：①若点为角终边上一点，则；②命题“存在”的否定是“对于任意的，；③若函数在上有零点，则；④“（且）”是“”的必要不充分条件.其中正确结论的个数是（）个个个个5.已知，且，则的值为（）6.已知，则函数的图象大致为（）7.若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为（）8.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）函数的图象关于点对称；函数的最小正周期为；函数的图象关于直线对称；函数在区间上单调递增9.已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则（）10.已知函数有极值，则实数的取值范围为（）11.设函数，则不等式的解集为（）12.已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数,则曲线在点处的切线方程是．14．已知函数且，则．15．在中，角所对的边分别是且满足，，则．16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在中，设内角所对的边分别为，且.（I）求角的大小；（II）求的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（I）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（II）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体中，，，，，且平面平面.（I）设点为线段的中点，试证明平面；（II）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和（其中位于轴上方），直线交于点.（I）试求两点的纵坐标之积，并证明：点在定直线上；（II）若，求的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数，（是的导函数），在上的最大值为.（I）求实数的值；（II）判断函数在内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，且倾斜角为.（I）写出曲线的直角坐标方程以及点的直角坐标；（II）设直线与曲线相交于两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（I）解不等式；（II）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.2020届高三数学10月联考试题理本试卷共4页，23题（含选考题）。

2020届高三数学10月第一次大联考试题理(含解析)

2020届高三数学10月第一次大联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的值域以及函数的定义域可得，，，然后对逐个选项判断即可.【详解】∵，，由此可知，，，，故选：B.【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题.2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.【详解】已知，，且，所以.故实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.3.下列命题中为真命题的是( )A. 命题“若，则”的否命题B. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C. 命题“若x＝1，则”的否命题D. 命题“已知，若，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】【分析】根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.【详解】A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”真命题．C．命题“若x＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.【详解】由于二次函数二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图像是下降的，∴，故，因此，实数的取值范围是，故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.5.函数的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】排除BD排除C故答案选A【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.6.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：平均耗电量（单位：公里）剩余续航里程（单位：公里）（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.6【答案】D【解析】【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【详解】由题意，可得，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，故选D．【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7.三个数，，的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1大小即可.【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.8.对于实数，，若：或，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取特殊值，,可知p q，利用逆否命题与原命题等价，可确定q p, 即可得出结论.【详解】取，，满足条件p,此时，即p q，故是的不充分条件，：：或等价于且，易知成立，所以是的必要条件.故答案选B.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.【详解】.因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，等价于，故选B.【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案．【详解】由于当时，都有成立，故在上减函数，，，而，所以，即.故答案为D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．11.已知函数值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分段研究，当时,可得，所以只需时，取值为的子集即可.【详解】当时，，所以；当时，为递增函数，所以，因为的值域为，所以，故，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.12.不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，通过导数判断的单调性，结合直线恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得不等式组，解出即可.【详解】由题意可知，，设，.由.可知在上为减函数，在上为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，若有且只有两个整数，，使得，且，则，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数的单调递减区间是_________【答案】或【解析】【分析】求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．【详解】，由，又得．∴减区间为，答也对．故答案为或．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．14.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点处的切线方程为，即.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15.以下说法中正确的是______.①函数在区间上单调递减；②函数的图象过定点；③若是函数的零点，且，则；④方程的解是；⑤命题“，”的否定是，.【答案】②④⑤【解析】【分析】对于①，举出反例和；对于②，将点代入即可得结果；对于③，，中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果.【详解】说法①：函数在、每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；说法③：如果，中也存在一个为零时，就不符合，故本说法不正确；说法④：，故本说法④正确；说法⑤：命题“，”的否定是，.故⑤是正确的.综上，本题的答案为②④⑤.【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.16.已知函数，，则函数的最小值为______.【答案】【解析】【分析】对函数进行求导得，令，，根据的符号以及复合函数的单调性得到的单调性，进而可得函数的最值.【详解】因为，，∴，令，∵，∴，令，则，∴令，则，，∴当时，，当时，，∵函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在区间上递减，在区间上递增，∴当，即，时，，∴函数的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.【详解】对于：成立，而，有，∴，∴.：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.18.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程在上无实数解，求的值域即可得到k的范围.【详解】（1）因为，即：，所以（2）由题意可知，，函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，设，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上取得极小值，也是最小值，∴，∴.【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.19.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若函数在上的最小值为，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）两函数在处有相同的切线可知，，联立求解即可（2）利用导数可求出的唯一极小值，也就是最小值，转化为即可求t范围.【详解】（1），，由题意，两函数在处有相同的切线，∴，，∴，，∴，，∴，.（2）由（1）得.当时，则，所以在上单调递增，当时，则，所以在上单调递减，而函数，∴，即.故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.20.已知函数在区间上的最小值为1.（1）求的值；（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.【详解】（1）.当时，，解得；当时，，解得不符合题意；当时，，解得，不符合题意.综上所述，.（2）因为，可化为，令，则.因，故.故不等式在上有解.记，，故，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.21.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.【详解】（1）的图象经过点,①,因为，则,由条件，即②，由①②解得.（2），令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.22.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数，求证：当时，在上恒有成立.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导可得，解不等式得单调性；（2）对函数求导可得，求出的最小值为，将与相结合可证得不等式.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，，令，即，解得，令，即，解得，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），，由得，，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，，∵时，，∴，即.∴成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到，属于难题.2020届高三数学10月第一次大联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的值域以及函数的定义域可得，，，然后对逐个选项判断即可.【详解】∵，，由此可知，，，，故选：B.【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题.2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.【详解】已知，，且，所以.故实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.3.下列命题中为真命题的是( )A. 命题“若，则”的否命题B. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C. 命题“若x＝1，则”的否命题D. 命题“已知，若，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】【分析】根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.【详解】A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”真命题．C．命题“若x＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.【详解】由于二次函数二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图像是下降的，∴，故，因此，实数的取值范围是，故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.5.函数的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】排除BD排除C故答案选A【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.6.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：公里）（单位：公里）（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.6【答案】D【解析】【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【详解】由题意，可得，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，故选D．【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7.三个数，，的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1大小即可.【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.8.对于实数，，若：或，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取特殊值，,可知p q，利用逆否命题与原命题等价，可确定q p, 即可得出结论.【详解】取，，满足条件p,此时，即p q，故是的不充分条件，：：或等价于且，易知成立，所以是的必要条件.故答案选B.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.【详解】.因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，等价于，故选B.【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案．【详解】由于当时，都有成立，故在上减函数，，，而，所以，即.故答案为D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．11.已知函数值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分段研究，当时,可得，所以只需时，取值为的子集即可.【详解】当时，，所以；当时，为递增函数，所以，因为的值域为，所以，故，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.12.不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，通过导数判断的单调性，结合直线恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得不等式组，解出即可.【详解】由题意可知，，设，.由.可知在上为减函数，在上为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，若有且只有两个整数，，使得，且，则，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数的单调递减区间是_________【答案】或【解析】【分析】求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．【详解】，由，又得．∴减区间为，答也对．故答案为或．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．14.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点处的切线方程为，即.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15.以下说法中正确的是______.①函数在区间上单调递减；②函数的图象过定点；③若是函数的零点，且，则；④方程的解是；⑤命题“，”的否定是，.【答案】②④⑤【解析】【分析】对于①，举出反例和；对于②，将点代入即可得结果；对于③，，中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果.【详解】说法①：函数在、每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；说法③：如果，中也存在一个为零时，就不符合，故本说法不正确；说法④：，故本说法④正确；说法⑤：命题“，”的否定是，.故⑤是正确的.综上，本题的答案为②④⑤.【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.16.已知函数，，则函数的最小值为______.【答案】【解析】【分析】对函数进行求导得，令，，根据的符号以及复合函数的单调性得到的单调性，进而可得函数的最值.【详解】因为，，∴，令，∵，∴，令，则，∴令，则，，∴当时，，当时，，∵函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在区间上递减，在区间上递增，∴当，即，时，，∴函数的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.【详解】对于：成立，而，有，∴，∴.：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.18.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程在上无实数解，求的值域即可得到k的范围.【详解】（1）因为，即：，所以（2）由题意可知，，函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，设，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上取得极小值，也是最小值，∴，∴.【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.19.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若函数在上的最小值为，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）两函数在处有相同的切线可知，，联立求解即可（2）利用导数可求出的唯一极小值，也就是最小值，转化为即可求t范围.【详解】（1），，由题意，两函数在处有相同的切线，∴，，∴，，∴，，∴，.（2）由（1）得.当时，则，所以在上单调递增，当时，则，所以在上单调递减，而函数，∴，即.故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.20.已知函数在区间上的最小值为1.（1）求的值；（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.【详解】（1）.当时，，解得；当时，，解得不符合题意；当时，，解得，不符合题意.综上所述，.（2）因为，可化为，令，则.因，故.故不等式在上有解.记，，故，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.21.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.【详解】（1）的图象经过点,①,因为，则,由条件，即②，由①②解得.（2），令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.22.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数，求证：当时，在上恒有成立.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导可得，解不等式得单调性；（2）对函数求导可得，求出的最小值为，将与相结合可证得不等式.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，，令，即，解得，令，即，解得，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），，由得，，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，，∵时，，∴，即.∴成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到，属于难题.。

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（） A ．MNB ．M N ≠⊂C ．N M ≠⊂ D ．ZN M =【答案】A【解析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系. 【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈，又{}|41,N x x k k Z ==±∈，所以M N ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（）A ．75B ．1CD ．2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】由(12)3z i i -=+，得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =，则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =，即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=，即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2，所以应该满足是15的倍数多2，并且是比26大的最小的数，故输出的n 为32，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．已知ln 2ln33,2,2x y z ===，则,x y 的大小关系是（） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x y z => D ．y z x >>【答案】C【解析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系. 【详解】因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =，又ln31222y z =>==，所以x y z =>，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B（） A ．60B >︒ B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围. 【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=，根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=，即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=，化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=，整理得：2(2)0a c b +-=，即2a c b +=，所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥，所以233111222b ac ⋅-≥-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<，所以060B <≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．某同学研究曲线1133:1C x y +=的性质，得到如下结论：①x y 、的取值范围是R ；②曲线C 是轴对称图形；③曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x=-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确；在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确；设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ，因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=，所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C ，所以命题③正确；所以正确命题的序号是①②③，故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（） A ．∅ B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=，因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意，所以1x =-，即解集为{}1-，故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．B ．1-C ．2-D ．0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值. 【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+，因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10．已知O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB == 所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<> 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11．已知实数a 、b 、c 、d 满足2113aa e cb d --==-（e 是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．10B ．18C ．8D ．12【答案】B【解析】由已知可得2,4a b a e d c =-=-,则可知点(,)a b 在曲线2xy x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,进而可得22()()a c b d -+-表示的是曲线2xy x e =-到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可.【详解】实数a b c d ,,,满足2113a a e cb d --==-,2,4a b a e d c ∴=-=-.∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,22()()a c b d ∴-+-的几何意义就是曲线2x y x e =-上的点到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方.12x y e '=-求出2x y x e =-上和直线4y x =-平行的切线方程, 12=-1x y e '=- ∴令12=-1x y e '=-,解得0x =, ∴切点为(0,2)-,该切点到直线4y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离,故22()()a c b d -+-的最小值为218d =. 故选:B . 【点睛】本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般.12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（） A ．2p alB ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2lpaπ=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，所以2l paπ=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 【答案】3-【解析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-，故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________.【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案.【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<，因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-，设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<，所以()g x 在1(,1)e上单调递减，所以10()2g x e e<<+-，所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-，故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A AB B+=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 【答案】()4,8 【解析】令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】令3()()f x g x x=，则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x--==，因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<，所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <；令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x ⋅--==，因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >，即有(2)48(1)f f <<，故答案是：(4,8).【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中13(1,0),(,)22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值；（2）若点C 在优弧AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）343-；（2）2333a b c <++≤ 【解析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；（2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，3AB =，60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可求得323a b <+≤，进而得到三角形的周长的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-，13(,22OB =--， 343343cos cos ,101010OC OB COB OC OB OC OB⋅-∠===-=（2）∵120AOB ∠=︒，3AB =，∴60ACB ∠=︒∴32sin sin sin 60a b A B ===︒∴22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<，323a b <+≤ ∴2333a b c <++≤. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，23BD =，且AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（231313【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =，平面PAB 的法向量为2233,1,n ⎛= ⎭，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BDPD D =，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,P t -.由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3030x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则2233,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭ 因二面角A PB D --的余弦值为34， ∴12233cos ,4124n n t==+，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2233,1,n ⎛= ⎭，∴233233sin cos ,131394134144323EC n θ--====++⋅. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．若a R ∈，函数2()f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.【答案】()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当()221a =-时，()g a 取最小值.【解析】分类讨论，分0a ≤时和0a >时两种情况，当0a ≤时，()2f x x ax =-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a >时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a 的最小值点. 【详解】（1）0a ≤时，∵01x ≤≤，∴()2f x x ax =-，()f x 单调递增.∴()()11g a f a ==- （2）当0a >，如图所示，令()24a f x =，得2a x =或21x +=①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==- ②当21122aa +<<，即()2212a -<<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当2112a +≤，即()0221a <≤-时，()()11g a f a ==-综上，()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当()221a =-时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ；（2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）12212x y x y -；（2）22S =【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果；（2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到22S =，得到结果. 【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.12212211x y x y d x y-=+221122AB AO x y ==+∴2ABC S S AB d ∆==⋅1221221122112x y x y x y x y -=++12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+- 又∵2222121222x x y y a a+=+，∴2221222211y y x x a -=-- ∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K SK K +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）求0P ，1P ，2P ；（2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）；（3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=；（2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系；（3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -. ∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤ （3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P⎛⎫=+⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221x a x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围；（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+= ∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<-∴1604ln 35S <<-. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。

湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题(wd无答案)

湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题一、未知(★★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知命题，，则是（）A．，B．，C．，D．x≤0，(★★★) 3. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 5. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6. 若将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于坐标原点对称，则满足条件的的所有值的和（）A．175B．225C．200D．250(★★★) 7. 已知函数，其导函数为，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 下列选项中，正确的有（）A．若，都是第一象限角，且>，则B．函数的最小正周期是C．若是定义在R上的奇函数，且最小正周期是T，则D．函数的最小值为(★★★) 9. 已知函数的最小正周期为，且，则的值可以为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（）A．的单调减区间是B．的极小值是﹣6C．过点只能作一条直线与的图象相切D．有且只有一个零点(★★★) 11. __________．(★★★) 12. 已知集合，，若，则___________．(★★★) 13. 函数，若，则 a的取值范围是___________．(★★★) 14. 已知函数图象的一条对称轴为直线，若函数在上的所有零点依次记为，，，…，，则___________．(★★★) 15. 在① 的一个极值点为0，②若曲线在点处的切线与直线垂直，③ 为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．已知函数，且，求在上的最大值与最小值．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．(★★★) 16. 已知二次函数满足，且的图象经过点．（1）求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数 m的取值范围．(★★★) 17. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．已知的部分图象如图所示，且．（1）求的解析式；（2）设函数，求在上的值域．(★★★) 18. 已知函数的最小正周期为．（1）求的单调递减区间；（2）已知，且，求的值．(★★★) 19. 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．(★★★) 20. 已知函数．（1）当a=1时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），，求 a的取值范围．二、单选题(★) 21. 若，则（）A．B．C．a D．(★) 22. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：，）A．B．C．D．。

【高考模拟】2020届湖北省黄冈市高三10月联考数学(理)(word版有答案)

2020届湖北省黄冈市高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.设集合{}R x y y A x ∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A （）.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21.B )1,0(.C )21,0(.D ]21,0(2.函数⎩⎨⎧≤+>-=0,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为（）.A 1-.B 1 .C 2- .D 23.若2ln =a ， 215-=b ，dx x c ⎰=20cos 21π，则,,a b c 的大小关系（）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D b c a <<4.下列四个结论：①若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则552sin =α； ②命题“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02≤-x x ；③若函数)(x f 在)2020,2019(上有零点，则0)2020()2019(<⋅f f ； ④“0log >b a （0>a 且1≠a ）”是“1,1>>b a ”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（）.A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（）.A 7- .B 7 .C 1 .D 1-6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（）7.若函数axm x f )3()(+=),(R a m ∈是幂函数，且其图像过点)2,2(，则函数)3(l o g )(2-+=mx x x g a 的单调递增区间为（）.A )1,(--∞.B )1,(-∞ .C ),1(+∞ .D ),3(+∞8.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（） .A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为2π； .C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称； .D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增9.已知定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)1()1(=-++x f x f 成立，且函数)1(+x f 的图像关于直线1-=x 对称，则=)2019(f （）.A 0.B 2 .C 2- .D 1-10.已知函数)(sin )(a x e x f x-=有极值，则实数a 的取值范围为（）.A )1,1(-.B ]1,1[- .C ]2,2[- .D )2,2(-11.设函数]1,1[,cos 2)(2-∈+=x x x x f ，则不等式)2()1(x f x f >-的解集为（）.A )1,31(-.B )31,0[.C ]21,31(.D ]21,0[12.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，x e x f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（）.A )0()1(ef f < .B )2()1(f ef <.C )3()0(3f f e > .D )4()1(5f f e <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是． 14．已知函数1)1(log )(223++++=x x ax x f )(R a ∈且3)1(-=f ，则=-)1(f ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且满足a C b =sin ，ac b c a 58222=-+，则=C tan ．16．若函数kx x ke xf x +-=22)(在[]2,0上单调递增，则实数k 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且BCb c a cos cos 2=-. （I ）求角B 的大小；（II ）求2cos 2sin 2cos 32AA C -的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入)(x G （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-=20,)1(9000200070200,2180)(x x x x x x x G . （I ）写出年利润)(x W （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（II ）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB DE //，BC AC ⊥，42==AC BC ，DE AB 2=，DC DA =且平面⊥DAC 平面ABC.（I ）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ；（II ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为 60，求二面角C AD B --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点)0,2(P 作两条直线2=x 和)0(2:>+=m my x l 分别交抛物线x y 22=于B A , 和D C ,（其中C A ,位于x 轴上方），直线BD AC ,交于点Q .（I ）试求D C ,两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2-=x 上；（II ）若PBDPQC S S ∆∆=λ，求λ的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在]2,0[π上的最大值为21-π. （I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为0sin 4cos2=-θθρ，P 点的极坐标为)2,3(π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为060.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（II ）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--. （I ）解不等式()()f x g x <；（II ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围.高三10月联考理科数学参考答案一．选择题：二、填空题13． 057=--y x 14． 5 15． 3- 16． ],1[2e - 三、解答题： 17．解：（1）由B C b c a cos cos 2=-得到BCB C A cos cos sin sin sin 2=- 即)sin(cos sin 2C B B A +=，即A B A sin cos sin 2= 又 A 为三角形内角，0sin ≠∴A ，所以1cos 2B =，从而3B π= . -----------------------5分（2）A C A A C sin 21)1(cos 232cos 2sin 2cos 32-+=-23)32sin(21cos 23+--=C C π 23sin 41cos 43+-=C C 23)6cos(21++=πC --------- 8分 320π<<C 6566πππ<+<∴C ， --------------------------------------------- 9分 23)6c o s (23<+<-∴πC 所以 43323)6cos(2143<++<πC . --------------- 11分所以2cos 2sin 2cos 32A A C -的取值范围为)433,43(. -----------------12分18．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>++--≤<-+-=--=,20,19501900010,200,5010025080)()(2x x x x x x x x xG x W ， -----------------4分（Ⅱ）当200≤<x 时1200)25(2501002)(22+--=-+-=x x x x W ，1150)20()(max ==∴W x W . -----------------------7分当20>x 时1960)19001(10)(++++-=x x x W 19601900)1(210++⨯+⨯-≤x x 1360= 当且仅当19001+=+x x 即29=x 时等号成立，1360)29()(max ==∴W x W . -----------11分 11501360> ，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. --------------------12分 19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接OF EF ,.在∆DAC 中DC DA =，∴AC DO ⊥.∴由平面⊥DAC 平面ABC ，且交线为AC 得⊥DO 平面ABC . ------------------------------2分F O , 分别为BC AC ,的中点，AB OF //∴，且OF AB 2=. 又AB DE //，DE AB 2=，DE OF //∴，且DE OF =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.DO EF //∴⊥∴EF 平面ABC . -----------------------------------------6分（Ⅱ）解：⊥DO 平面ABC ，BC AC ⊥∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. 则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)0,4,1(-B .-------------------------------------------------7分⊥EF 平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为 60=∠EBF .3260tan ===∴ BF EF DO . )32,0,0(D ∴. -------------------8分可取平面ADC 的法向量)0,1,0(=， --------------------------9分设平面ADB 的法向量),,(z y x =，)0,4,2(-=，)32,0,1(-=，则⎩⎨⎧=+-=+-032042z x y x ，取1=z ，则3,32==y x .)1,3,32(=∴， ----------------------11分43,cos =<∴n m ， ∴二面角C AD B --的余弦值为43. -----------------------12分20.解：（Ⅰ）将直线l 的方程2+=my x 代入抛物线x y 22=得：0422=--my y . 设点),(),,(2211y x D y x C 则421-=y y . ---------------------------2分由题得)2,2(),2,2(-B A ，直线AC 的方程为)2(2221-+=-x y y ，直线BD 的方程为)2(2222--=+x y y ，消去y 得4)(2212121+-+-=y y y y y y x ，将421-=y y 代入上式得2-=x ，故点Q 在直线2-=x 上. ------------------6分（Ⅱ） 2)2(2111+=+=∆x x AP S PQC ，222)2(21x x BP S PBD -=-=∆， ----------7分又441622222121==⋅=y y x x ，)2(2)2(422221111121-+=-+=-+==∴∆∆x x x x x x x S S PBD PQC λ. ----------------9分令)0(,21>-=t x t 则3223422)4)(2(+≥++=++=tt t t t λ，当且仅当22=t 即2221+=x 时λ取到最小值322+. --------------12分 21．解:（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ， )cos (sin )(x x x a x g +='. ----------1分当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去. 当0<a 时0)(<'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去. 当0>a 时0)(>'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递增，21212)2()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a ∴综上：1=a ---------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，x x x x g cos sin )(+=' 当]2,0(π∈x 时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，0212)2(>-=ππg ， )(x g ∴在]2,0(π上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0sin cos 2)(<-=''x x x x g ，∴)(x g '在),2(ππ上单调递减. -------------8分又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ，∴)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减. -----------------------10分又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点. -------------12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， ------------------------------2分P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P ---------------------------3分（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数) ----------------5分将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+= --------------------------------------------7分1212121248,PA PB t t t t PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=+=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅ -----------------10分 23.解：（Ⅰ）原不等式即|5||23|5x x -+-<,∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为(1,3). --------------------------------------------- 5分（Ⅱ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，则)()(2x g x f -的最小值小于或等于a53210232552)()(2--+-=-+--=-x x x x x g x f 25)32(102=----≥x x .当且仅当]5,23[∈x 时取等号，)()(2x g x f -∴的最小值为2.2≥∴a . ----------------------------------------------- 10分。

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三上学期10月联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则AB =（）A.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.()0,1C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B表示函数y =由函数的定义域、值域的求法，求出集合A 、B ，再求A B 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即AB =10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选D. 【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解. 【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.3．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（） A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<【答案】D【解析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性可得1ln 22a =>=，再由以12y x -=的单调性可得 11221542b --=<=，比较即可得解. 【详解】解：201cos 2c xdx π=⎰=1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，又 11221542b --=<=，1ln 22a =>=，即b c a <<，故选D. 【点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题.4．下列四个结论：①若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin α=②命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”； ③若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<； ④“log 0a b >（0a >且1a ≠）”是“1a >，1b >”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（） A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】对于①，由三角函数的定义，讨论0a >，0a <即可；对于②，由全称命题与特称命题的关系判断即可得解；对于③，由零点定理，需讨论函数在()2019,2020是否单调；对于④，由充分必要性及对数的运算即可得解. 【详解】解：对于①，当0a >时，有sin α===当0a <时，有sin α===①错误；对于②，命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”；由特称命题的否定为全称命题，则②显然正确；对于③，若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<；若函数在()2019,2020为单调函数，则必有()()201920200f f ⋅<，若函数在()2019,2020不单调，则必有()()201920200f f ⋅<，不一定成立，即③错误；对于④，当“1a >，1b >”时，可得到“log 0a b >（0a >且1a ≠）”，当“log 0a b >（0a >且1a ≠）”时，则“1a >，1b >”或“01a <<，01b <<”，即④正确，故选C. 【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型. 5．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A.-7B.7C.1D.-1【答案】B【解析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α=-，再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α=-代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-，又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，故选B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.6．已知()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()4421(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，故选D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 7．若函数()()()3,af x m xm a R =+∈是幂函数，且其图像过点(，则函数()()2log 3a g x x mx =+-的单调递增区间为（）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,+∞D.()3,+∞【答案】A【解析】由幂函数的定义可得31m +=，由其图像过点(，则2α=，即12α=，由复合函数的单调性有：()y g x =的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可. 【详解】解：因为()()()3,af x m xm a R =+∈，则31m +=，即2m =-，又其图像过点(，则2α=12α=，则()()212log 23g x x x =--，由复合函数的单调性有：()()212log 23g x x x =--的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，又223,(0)t x x t =-->的减区间为(),1-∞-，故选A.本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.8．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A.函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B.函数()g x 的最小正周期为2πC.函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D.函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D【解析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误；令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误；令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确，【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()110f x f x ++-=成立，且函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()2019f =（）A.0B.2C.-2D.-1【答案】A【解析】由()()110f x f x ++-=，可得()()20f x f x ++-=，又由函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，可得函数()f x 的图像关于y 轴对称，即 ()()f x f x =-，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为4，再运算即可. 【详解】由()()110f x f x ++-=，则()()20f x f x ++-=，① 又函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，②联立①②可得()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期为4，即()2019f =(50541)(1)f f ⨯-=-，又因为()()110f x f x ++-=，令0x =得(1)0f =，又函数()f x 的图像关于y 轴对称，则(1)0f -=，即()2019f =0，故选A. 【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题. 10．已知函数()()sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A.()1,1-B.[]1,1-C.⎡⎣D.(【答案】D【解析】由函数()()sin x f x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即00a a ⎧<⎪>，运算即可得解. 【详解】解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-，由函数()()sin xf x ex a =-有极值，则sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a << 故选D. 【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.11．设函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，则不等式()()12f x f x ->的解集为（）A.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，由()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，再结合函数的性质解不等式11112112x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩即可得解.【详解】解：因为函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，所以()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，又()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，又()()12f x f x ->，则11112112x x x x⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得103x ≤<，即不等式()()12f x f x ->的解集为10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A.()()10f ef <B.()()12ef f <C.()()303e f f >D.()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=，则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题.二、填空题13．设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --=【解析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=，故答案为750x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14．已知函数()(()32log 1f x ax x a R =++∈且()13f =-，则()1f -=__________．【答案】5【解析】先观察函数()f x 的结构，再证明()()2f x f x +-=，再利用函数的性质求解即可. 【详解】解：因为()(32log 1f x ax x =++，所以()(332()log ()log(22f x f x ax x a x x +-=++-+-++=，又()13f =-，则()1f -=2(1)235f -=+=，故答案为5. 【点睛】本题考查了对数的运算及函数()f x 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能力，属中档题.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足sin b C a =，22285a cb ac +-=，则tan C =___________．【答案】-3【解析】由余弦定理可得cos 45B =，3sin 5B =，再由正弦定理可得sin sin sin cos cos sin BC B C B C =+，再结合运算即可得解. 【详解】解：因为22285a cb ac +-=，则2224cos 25a cb B ac +-==，则3sin 5B =，又因为sin b C a =，则sin sin sin B C A =，则sin sin sin sin()sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，将cos 45B =，3sin 5B =代入得，sin 3cosC C =-, 即sin tan 3cos CC C==-，故答案为-3. 【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式及运算能力，属中档题. 16．若函数()22xk f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，则实数k 的取值范围是________．【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+，则()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增，则()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，则只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，则只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0g x ≥，则只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，则只需()min 2ln 0g x k k k =-≥，即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦，故答案为21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题17．在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B -=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得2sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=，即()2sin cos sin A B B C =+，即2sin cos sin A B A =，又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=.（2)21sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+-12sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π11sin cos 426C C C π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ，∴cos 6C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭π1cos 26C π⎛⎫<+<⎪⎝⎭.2sin cos 222C A A-的取值范围为⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.18．湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪+⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【答案】（1）()W x 2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩（2）当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元【解析】（1）先阅读题意，再建立起年利润()W x 关于年产量x 的函数解析式即可；（2）利用配方法求二次函数的最值可得当020x <≤时()()22251200W x x =--+，即()()max 201150W x W ==，再利用重要不等式可得当90011x x +=+即29x =时()max 1360W x =，再比较两段上的最大值即可得解.【详解】解：（1）()()8050W x xG x x =--2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. （2）当020x <≤时()()222100502251200W x x x x =-+-=--+， ∴()()max 201150W x W ==. 当20x >时()90010119601W x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭1019601360≤-⨯=，当且仅当90011x x +=+即29x =时等号成立，∴()()max 291360W x W ==. ∵13601150>，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. 【点睛】本题考查了分段函数及分段函数的最值，主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.19．已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60，求二面角B AD C --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2【解析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，平面ADB的法向量()n =r ，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB P ，且2AB OF =. 又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE P ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ， ∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -. ∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===o∴(D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB =-uu u r，(AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =∴()n =r ，∴cos ,4m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --的余弦值为4.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20．如图，过点()2,0P 作两条直线2x =和l ：()20x my m =+>分别交抛物线22y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q .（1）试求C ，D 两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2x =-上；（2）若PQC PBDS S λ∆∆=，求λ的最小值.【答案】（1）详见解析（2）3【解析】（1）联立直线方程与抛物线方程求得2240y my --=，从而可得124y y =-，再由点斜式方程求得直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 求出2x =，得解；（2）由题意有()()111222PQC PBDS x x S x λ∆∆+==-，再令()120t x t =->，则432t tλ=++，再由重要不等式求最小值即可得解. 【详解】解：（1）将直线l 的方程2x my =+代入抛物线22y x =得：2240y my --=，设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y =-.由题得()2,2A ，()2,2B -，直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 得()12121224y y y yx y y -+=-+，将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上. （2）∵()111222PQC S AP x x ∆=+=+，()221222PBD S BP x x ∆=-=-，又221212164224y y x x =⋅==，∴()()111121122242222PQCPBD S x x x x S x x x λ∆∆+++====---.令()120t x t =->，则()()2443322t t t ttλ++==++≥，当且仅当t =即12x =+λ取到最小值3. 【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题，属中档题.21．已知函数()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈，()()'g x f x =（()'f x 是()f x 的导函数），()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12π-. （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()0,π内的极值点个数，并加以证明. 【答案】（1）1a =（2）()f x 在()0,π上共有两个极值点，详见解析【解析】（1）先求得()()1'sin 2g x f x ax x ==-，再求得()()'sin cos g x a x x x =+，再讨论a 的符号，判断函数()g x 的单调性，再求最值即可得解；（2）利用（1）的结论，结合()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点定理可()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；再当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，由导数的应用可0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =，即()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：（1）由()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈ 则()()1'sin 2g x f x ax x ==-，则()()'sin cos g x a x x x =+， ①当0a =时()12g x =-，不合题意，舍去. ②当0a <时()'0g x <，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()max 11022g x g π-==-≠，不合题意，舍去. ③当0a >时()'0g x >，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()max 112222a g x g πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴综上：1a =.（2）由（Ⅰ）知()1sin 2g x x x =-，()'sin cos g x x x x =+，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()''2cos sin 0g x x x x =-<，∴()'g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又'102g π⎛⎫=>⎪⎝⎭，()'0g ππ=-<，∴0,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭使()0'0g x =且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x >，当()0,x x π∈时()'0g x <，∴()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减. 又10222g ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()002g x g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()102g π=-<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点.∴()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个变号零点，∴()f x 在()0,π上共有两个极值点. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3（2）6【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可. 【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =，P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . （2）直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，则1248t t ⋅=-，12t t +=121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.23．已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3（2）2a ≥【解析】（1）由绝对值的意义，分别讨论5x ≥，352x ≤<，32x <即可；（2）原命题等价于()()2f x g x -的最小值小于或等于a ，再利用绝对值不等式的性质可得()()2f x g x -=()2102352102352x x x x =-+--≥----=.即()()2f x g x -的最小值为2，即可得解. 【详解】解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f xg x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2. ∴2a ≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。

【数学】湖北省黄冈市2020届高三10月联考数学(理)

湖北省黄冈市2020届高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.设集合{}R x y y A x ∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A I （）.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21.B )1,0(.C )21,0(.D ]21,0(2.函数⎩⎨⎧≤+>-=0,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为（）.A 1-.B 1 .C 2- .D 23.若2ln =a ， 215-=b ，dx x c ⎰=20cos 21π，则,,a b c 的大小关系（）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D b c a <<4.下列四个结论：①若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则552sin =α； ②命题“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02≤-x x ； ③若函数)(x f 在)2020,2019(上有零点，则0)2020()2019(<⋅f f ； ④“0log >b a （0>a 且1≠a ）”是“1,1>>b a ”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（）.A 0个 .B 1个 .C 2个.D 3个 5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（）.A 7- .B 7 .C 1.D 1- 6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（）7.若函数axm x f )3()(+=),(R a m ∈是幂函数，且其图像过点)2,2(，则函数)3(log )(2-+=mx x x g a 的单调递增区间为（）.A )1,(--∞ .B )1,(-∞.C ),1(+∞ .D ),3(+∞8.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（） .A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为2π；.C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称； .D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增9.已知定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)1()1(=-++x f x f 成立，且函数)1(+x f 的图像关于直线1-=x 对称，则=)2019(f （）.A 0.B 2 .C 2- .D 1-10.已知函数)(sin )(a x e x f x-=有极值，则实数a 的取值范围为（）.A )1,1(-.B ]1,1[- .C ]2,2[- .D )2,2(-11.设函数]1,1[,cos 2)(2-∈+=x x x x f ，则不等式)2()1(x f x f >-的解集为（）.A )1,31(-.B )31,0[.C ]21,31(.D ]21,0[12.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，x e x f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（）.A )0()1(ef f < .B )2()1(f ef <.C )3()0(3f f e > .D )4()1(5f f e <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是． 14．已知函数1)1(log )(223++++=x x ax x f )(R a ∈且3)1(-=f ，则=-)1(f ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且满足a C b =sin ，ac b c a 58222=-+，则=C tan ．16．若函数kx x ke xf x +-=22)(在[]2,0上单调递增，则实数k 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且BCb c a cos cos 2=-. （I ）求角B 的大小；（II ）求2cos 2sin 2cos 32AA C -的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入)(x G （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-=20,)1(9000200070200,2180)(x x x x x x x G . （I ）写出年利润)(x W （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（II ）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB DE //，BC AC ⊥，42==AC BC ，DE AB 2=，DC DA =且平面⊥DAC 平面ABC .（I ）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ；（II ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60，求二面角C AD B --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点)0,2(P 作两条直线2=x 和)0(2:>+=m my x l 分别交抛物线x y 22=于B A , 和D C ,（其中C A ,位于x 轴上方），直线BD AC ,交于点Q .（I ）试求D C ,两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2-=x 上；（II ）若PBDPQC S S ∆∆=λ，求λ的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在]2,0[π上的最大值为21-π. （I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为0sin 4cos 2=-θθρ，P 点的极坐标为)2,3(π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为060.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（II ）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--. （I ）解不等式()()f x g x <；（II ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围.高三10月联考理科数学参考答案一．选择题：二、填空题13． 057=--y x 14． 5 15． 3- 16． ],1[2e - 三、解答题： 17．解：（1）由B C b c a cos cos 2=-得到BCB C A cos cos sin sin sin 2=- 即)sin(cos sin 2C B B A +=，即A B A sin cos sin 2= 又A 为三角形内角，0sin ≠∴A ，所以1cos 2B =，从而3B π= . -----------------------5分（2）A C A A C sin 21)1(cos 232cos 2sin 2cos 32-+=-23)32sin(21cos 23+--=C C π23sin 41cos 43+-=C C 23)6cos(21++=πC --------- 8分 320π<<C Θ 6566πππ<+<∴C ， --------------------------------------------- 9分 23)6cos(23<+<-∴πC 所以 43323)6cos(2143<++<πC . --------------- 11分所以2cos 2sin 2cos 32A A C -的取值范围为)433,43(. -----------------12分18．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>++--≤<-+-=--=,20,19501900010,200,5010025080)()(2x x x x x x x x xG x W ， -----------------4分（Ⅱ）当200≤<x 时1200)25(2501002)(22+--=-+-=x x x x W ，1150)20()(max ==∴W x W . -----------------------7分当20>x 时1960)19001(10)(++++-=x x x W 19601900)1(210++⨯+⨯-≤x x 1360= 当且仅当19001+=+x x 即29=x 时等号成立，1360)29()(max ==∴W x W . -----------11分 11501360>Θ，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. --------------------12分 19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接OF EF ,.在∆DAC 中DC DA =，AC DO ⊥.由平面⊥DAC 平面ABC ，且交线为AC 得⊥DO 平面ABC . ------------------------------2分 F O ,Θ分别为BC AC ,的中点，AB OF //∴，且OF AB 2=.又AB DE //，DE AB 2=，DE OF //∴，且DE OF =. 四边形DEFO 为平行四边形.DO EF //∴⊥∴EF 平面ABC . -----------------------------------------6分（Ⅱ）解：⊥DO Θ平面ABC ，BC AC ⊥以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)0,4,1(-B .-------------------------------------------------7分⊥EF Θ平面ABC ，直线BE 与平面ABC 所成的角为ο60=∠EBF .3260tan ===∴οBF EF DO . )32,0,0(D ∴. -------------------8分可取平面ADC 的法向量)0,1,0(=， --------------------------9分设平面ADB 的法向量),,(z y x =，)0,4,2(-=，)32,0,1(-=，则⎩⎨⎧=+-=+-032042z x y x ，取1=z ，则3,32==y x .)1,3,32(=∴， ----------------------11分 43,cos =>=<∴nm n m ，二面角C AD B --的余弦值为43. -----------------------12分20.解：（Ⅰ）将直线l 的方程2+=my x 代入抛物线x y 22=得：0422=--my y . 设点),(),,(2211y x D y x C 则421-=y y . ---------------------------2分由题得)2,2(),2,2(-B A ，直线AC 的方程为)2(2221-+=-x y y ，直线BD 的方程为)2(2222--=+x y y ，消去y 得4)(2212121+-+-=y y y y y y x ，将421-=y y 代入上式得2-=x ，故点Q 在直线2-=x 上. ------------------6分（Ⅱ）2)2(2111+=+=∆x x AP S PQC ，222)2(21x x BP S PBD -=-=∆， ----------7分又441622222121==⋅=y y x x ，)2(2)2(422221111121-+=-+=-+==∴∆∆x x x x x x x S S PBD PQC λ. ----------------9分令)0(,21>-=t x t 则3223422)4)(2(+≥++=++=tt t t t λ，当且仅当22=t 即2221+=x 时λ取到最小值322+. --------------12分 21．解（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ， )cos (sin )(x x x a x g +='. ----------1分当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去. 当0<a 时0)(<'x g )(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去. 当0>a 时0)(>'x g )(x g 在]2,0[π上单调递增，21212)2()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a 综上：1=a ---------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，x x x x g cos sin )(+=' ]2,0π时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，0212)2(>-=ππg ，在]2,0(π上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0sin cos 2)(<-=''x x x x g ，)(x g '在),2(ππ上单调递减. -------------8分又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ，)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减. -----------------------10分又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点. -------------12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， ------------------------------2分P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P ---------------------------3分（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数) ----------------5分将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=， --------------------------------------------7分1212121248,PA PB t t t t PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=+=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅ -----------------10分 23.解：（Ⅰ）原不等式即|5||23|5x x -+-<,55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, 原不等式的解集为(1,3). --------------------------------------------- 5分（Ⅱ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，则)()(2x g x f -的最小值小于或等于a53210232552)()(2--+-=-+--=-x x x x x g x f 25)32(102=----≥x x .当且仅当]5,23[∈x 时取等号，)()(2x g x f -∴的最小值为2.2≥∴a . ----------------------------------------------- 10分。

【名师解析】湖北省教学合作高三10月联考数学(理)试题版解析

x1 x2 x1 1 x2 1
x1 x2 3 x1 3 x2
1 (x1 x2 )[
x1 1 x2 1
1
]
3 x1 3 x2
∵ x1 x2 ∴ x1 x2 0
又
1
x1 1 x2 1
1
0
3 x1 3 x2
∴ f (x1) f ( x2 )
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
16. ( 本小题满分 12 分 )
函数 f ( x) sin( x )( 2
（ 1）求 f (x) 的解析式；
, 0) 的最小正周期为，其图像经过点 ( ,1)
x 1可以推出 x2 5x 6 0 ，反之不成立，故“ x 1 ”是“ x2 5x 6 0 ”的充分不必要条件，
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故选项 B 错；命题“存在 x R，使得 x2 x 1 0 ”的否定应为： “对任意 x R ，均有 x2 x 1 0 ”，故选项 C 错，正确答案为 D .
∴ f (x) 为 [1,2] 上的增函数，由对称性知 f ( x) 在 [2,3] 上为减函数， ∴ f (x) f (2) 2 ∴ y f (x) 的图象除点 (2, 2) 外均在直线 y 2 的下方 .
考点： 1. 证明函数的对称性； 2. 函数单调性的定义 .
18. ( 本小题满分 12 分 )

2020湖北黄冈市高三10月联考答案

高三10月联考理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.设集合{}R x y y A x ∈==,3，{}R x x y x B ∈-==,21，则=B A （）.A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21.B )1,0(.C 21,0(.D ]21,0(2.函数⎩⎨⎧≤+>-=0,6log 0,23)(3x x x x f x 的零点之和为（）.A 1-.B 1.C 2-.D 23.若2ln =a ，215-=b ，dx x c ⎰=20cos 21π，则,,a b c 的大小关系（）.A a b c<<.B b a c<<.C c b a<<.D b c a<<4.下列四个结论：①若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则552sin =α；②命题“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02≤-x x ；③若函数)(x f 在)2020,2019(上有零点，则0)2020()2019(<⋅f f ；④“0log >b a （0>a 且1≠a ）”是“1,1>>b a ”的必要不充分条件.其中正确结论的个数是（）.A 0个.B 1个.C 2个.D 3个5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（）.A 7-.B 7.C 1.D 1-6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（）7.若函数a x m x f )3()(+=),(R a m ∈是幂函数，且其图像过点)2,2(，则函数)3(log )(2-+=mx x x g a 的单调递增区间为（）.A )1,(--∞.B )1,(-∞.C ),1(+∞.D ),3(+∞8.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（）.A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称；.B 函数)(x g 的最小正周期为2π；.C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称；.D 函数)(x g 在区间32,6[ππ上单调递增9.已知定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)1()1(=-++x f x f 成立，且函数)1(+x f 的图像关于直线1-=x 对称，则=)2019(f （）.A 0.B 2.C 2-.D 1-10.已知函数)(sin )(a x e x f x -=有极值，则实数a 的取值范围为（）.A )1,1(-.B ]1,1[-.C ]2,2[-.D )22(-11.设函数]1,1[,cos 2)(2-∈+=x x x x f ，则不等式)2()1(x f x f >-的解集为（）.A )1,31(-.B 31,0[.C 21,31(.D ]21,0[12.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，x e x f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（）.A )0()1(ef f <.B )2()1(f ef <.C )3()0(3f f e >.D )4()1(5f f e <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是．14．已知函数1)1(log )(223++++=x x ax x f )(R a ∈且3)1(-=f ，则=-)1(f ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且满足a C b =sin ，ac b c a 58222=-+，则=C tan ．16．若函数kx x k e x f x+-=22)(在[]2,0上单调递增，则实数k 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，设内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且BCb c a cos cos 2=-.（I ）求角B 的大小；（II ）求2cos 2sin 2cos 32AA C -的取值范围.18.（本小题满分12分）湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入)(x G （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-=20,)1(9000200070200,2180)(x x x x x x x G .（I ）写出年利润)(x W （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（II ）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB DE //，BC AC ⊥，42==AC BC ，DE AB 2=，DC DA =且平面⊥DAC 平面ABC.（I ）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ；（II ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为 60，求二面角C AD B --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，过点)0,2(P 作两条直线2=x 和)0(2:>+=m my x l 分别交抛物线x y 22=于B A ,和D C ,（其中C A ,位于x 轴上方），直线BD AC ,交于点Q .（I ）试求D C ,两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2-=x 上；（II ）若PBDPQC S S ∆∆=λ，求λ的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在2,0[π上的最大值为21-π.（I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为0sin 4cos 2=-θθρ，P 点的极坐标为)2,3(π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为060.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（II ）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|5|f x x =-，()5|23|g x x =--.（I ）解不等式()()f x g x <；（II ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，求实数a 的取值范围.高三10月联考理科数学参考答案.选择题：题号123456789101112答案D A D C B D A D A DBC二、填空题13．057=--y x 14．515．3-16．],1[2e -三、解答题：17．解：（1）由B C b c a cos cos 2=-得到BCB C A cos cos sin sin sin 2=-即)sin(cos sin 2C B B A +=，即A B A sin cos sin 2=又 A 为三角形内角，0sin ≠∴A ，所以1cos 2B =，从而3B π=.-----------------------5分（2）A C A A C sin 21)1(cos 232cos 2sin 2cos 32-+=-23)32sin(21cos 23+--=C C π23sin 41cos 43+-=C C 236cos(21++=πC ---------8分320π<<C 6566πππ<+<∴C ，---------------------------------------------9分23)6cos(23<+<-∴πC 所以433236cos(2143<++<πC .---------------11分所以2cos 2sin 2cos 32A A C -的取值范围为)433,43(.-----------------12分18．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>++--≤<-+-=--=,20,19501900010,200,5010025080)()(2x x x x x x x x xG x W ，-----------------4分（Ⅱ）当200≤<x 时1200)25(2501002)(22+--=-+-=x x x x W ，1150)20()(max ==∴W x W .-----------------------7分当20>x 时196019001(10)(++++-=x x x W 19601900)1(210++⨯+⨯-≤x x 1360=当且仅当19001+=+x x 即29=x 时等号成立，1360)29()(max ==∴W x W .-----------11分11501360> ，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元.--------------------12分.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接OFEF ,.在∆DAC 中DC DA =，∴AC DO ⊥.∴由平面⊥DAC 平面ABC ，且交线为AC 得⊥DO 平面ABC .------------------------------2分F O , 分别为BC AC ,的中点，AB OF //∴，且OF AB 2=.又AB DE //，DE AB 2=，DE OF //∴，且DE OF =.∴四边形DEFO 为平行四边形.DOEF //∴⊥∴EF 平面ABC .-----------------------------------------6分（Ⅱ）解：⊥DO 平面ABC ，BCAC ⊥∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)0,4,1(-B .-------------------------------------------------7分⊥EF 平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为 60=∠EBF .3260tan ===∴ BF EF DO .32,0,0(D ∴.-------------------8分可取平面ADC 的法向量)0,1,0(=，--------------------------9分设平面ADB 的法向量),,(z y x =，)0,4,2(-=，)32,0,1(-=，则⎩⎨⎧=+-=+-032042z x y x ，取1=z ，则3,32==y x .)1,3,32(=∴，----------------------11分43,cos =>=<∴n m n m ，∴二面角C AD B --的余弦值为43.-----------------------12分20.解：（Ⅰ）将直线l 的方程2+=my x 代入抛物线x y 22=得：0422=--my y .设点),(),,(2211y x D y x C 则421-=y y .---------------------------2分由题得)2,2(),2,2(-B A ，直线AC 的方程为)2(2221-+=-x y y ，直线BD 的方程为)2(2222--=+x y y ，消去y 得4)(2212121+-+-=y y y y y y x ，将421-=y y 代入上式得2-=x ，故点Q 在直线2-=x 上.------------------6分（Ⅱ） 2)2(2111+=+=∆x x AP S PQC ，222)2(21x x BP S PBD -=-=∆，----------7分又441622222121==⋅=y y x x ，)2(2)2(422221111121-+=-+=-+==∴∆∆x x x x x x x S SPBD PQC λ.----------------9分令)0(,21>-=t x t 则3223422)4)(2(+≥++=++=tt t t t λ，当且仅当22=t 即2221+=x 时λ取到最小值322+.--------------12分21．解:（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ，)cos (sin )(x x x a x g +='.----------1分当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去.当0<a 时0)(<'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去.当0>a 时0)(>'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递增，212122()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a ∴综上：1=a ---------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，xx x x g cos sin )(+='当2,0(π∈x 时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，02122(>-=ππg ，)(x g ∴在]2,0(π上有且仅有一个变号零点；--------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0sin cos 2)(<-=''x x x x g ，∴)(x g '在),2(ππ上单调递减.-------------8分又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ，∴)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减.-----------------------10分又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点.-------------12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =，------------------------------2分P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P ---------------------------3分（Ⅱ）直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)----------------5分将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=，--------------------------------------------7分1212121248,PA PB t t t t PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=+=+=-=，所以11PA PB PAPBPA PB++==⋅-----------------10分23.解：（Ⅰ）原不等式即|5||23|5x x -+-<,∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<,∴原不等式的解集为(1,3).---------------------------------------------5分（Ⅱ）若存在R x ∈使不等式a x g x f ≤-)()(2成立，则)()(2x g x f -的最小值小于或等于a53210232552)()(2--+-=-+--=-x x x x x g x f 25)32(102=----≥x x .当且仅当]5,23[∈x 时取等号，)()(2x g x f -∴的最小值为2.2≥∴a .-----------------------------------------------10分。

湖北省100所重点中学2020届10月高三数学联合考试理

湖北省100所重点中学2020届10月高三联合考试数学试卷（理科）考生注意：1本试卷共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数占50%，数列占50%.—、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若函数：的定义域为A，函数的值域为JB，则为A B. C. D.2. 已知等比数列的公比q为正数，且，则q的值为A. B. 2 C. D. 33. 已知命题；命题+则命题P是命题q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 等差数列中，若，则等于A 40 B. 80 C. 90 D. 1005. 若函数.在.处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为A. 一5B. —8C. —10D. -126. 数列满足下列条件：，且对于任意的正整数，恒有，则的值为A. 1B.C.D.7. 若则.等于A.1B. 2C.D.8. 已知甲、乙两个车间的月产值在2020年元月份时相同，甲以后,每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2020年8月份发现两个车间的月产值又相同.比较甲、乙两个车间2020年4月份的月产值大小，则有A 甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定9. 已知数列满足且，其中，，若，则A的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知定义在R上的函数的图象关于点(1，0)对称，且当时，成立，（其中是的导函数），若、则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中的横线上.11.已知数列的通项公式，前n项和为，则当最小时，n= ___▲___ .12. 命题“”的否定是___▲___.13. 已知数列的前n项和为.，则= ___▲___.14. 设，若函数存在整数零点，则m的取值集合为___▲___ ，此时工的取值集合为 ___▲___.15. 如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为第二层在第一层线段的前端作两条与其成角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段.重复前面的作法作图至第《层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第W层的树形的总高度，则到第四层的树形图的总高度=___▲___，当n为偶数时，到第《层的树形图的总高度=___▲___三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分10分）已知，设不等式！：函数有两个不同的零点，求使“’’为真命题的实数m的取值范围.17 (本小题满分12分）数列中，，已知点在直线上.(1) 求数列的通项公式；(2) 若，求数列的前n项和.18. (本小题满分12分）某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为0，且m为常数)万元.已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.(1) 设投放B型电视机的金额为X万元，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；(2) 当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？19. (本小题满分13分）设函数是定义域在上的单调函数，对于任意正数x，y都有(1) 求旳值；(2) —个各项均为正数的数列{a n}满足，其中S n是数列的前n项和，求数列的通项公式.20. (本小题满分14分）已知函数(1) 求函数的单调区间；(2) 设，求在上的最大值；(3) 试证明：对任意，不等式恒成立.21. (本小题满分14分）已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且，有⑴求证：；(2) 求证；(3) 对于n=9，试给出一个满足条件的集合A.。

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