高二数学(下)同步练测(24)

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组合与组合数同步练习——2022-2023学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册

3.1.3 组合与组合数--2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练一、概念练习，，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列1.A B C D E名次）.已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（）A.18种B.36种C.48种D.54种2.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、，，，，共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A B C D E，，不去河山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A B C，四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（）北但能去其他三个地方，D EA.240B.126C.78D.723.现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为( )A.18B.36C.72D.814.2 月 23 日,以“和合共生”为主题的 2021 世界移动通信大会在上海召开,中国5G规模商用实现了A B C D E五名工作人员到甲、乙、丙三快速发展. 为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排,,,,个社区开展5G宣传活动, 每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人, 则不同的安排方法种数为( )A. 80B. 120C. 150D. 1805.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A.8B.10C.12D.14二、能力提升6.在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出圈.比赛期间，每场比赛观众到场后，“冰墩墩”都会走上看台，结合现场的舞蹈表演、互动游戏，通过舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氛.云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为( )A.18B.36C.72D.5767.重阳节是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到3所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案种数是( )A.540B.564C.600D.720（多选）8.为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有( )A.每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种9.第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有( )A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法10.某大型商场有三个入口，春节过后，客流量大增，为做好防疫工作，拟增派6人去入口处为顾客测体温，则下列选项正确的是( )A. 若在正式上岗前，6个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有216种不同的选择结果B. 若每个入口派2人，则有90种不同的选派方案C. 若两个入口各派1人，一个入口派4人，则有180种不同的选派方案D. 若一个入口派1人，一个入口派2人，一个入口派3人，则有360种不同的选派方案11.将16个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为________.12.某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有______种（用数字作答）.13.小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）14.回答下列问题（1）用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？（2）将5件不同的礼物分给甲1件，乙､丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？15.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）队长中至少有1人参加；（3）既要有队长，又要有女运动员.答案以及解析1.答案：B解析：由题意, 甲、乙都不是第一名且不是最后一名; 故先排乙, 有 3 种情况; 再排甲, 有 2 种情况; 余下 3 人有 33A 种排法.故共有 333236A ⨯⨯= 种不同的情况. 故选： B . 2.答案：C解析：根据题意，分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，③D E ，两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，有22233236C A A =种安排方法，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，有11332336C A A =种安排方法， ③D E 、两人分到同一组，有336A =种安排方法，则有3636678++=种安排方法．故选：C ． 3.答案：B解析：将四人分为三组有 246C - 种方案；分好的三组全排列，三项安排不同的学生有336A -种方案，根据分步计数原理知总共有 234336C A = 种方案.故选:B 4.答案：C解析：先将 ,,,,A B C D E 五名工作人员分成三组, 有两种情况, 分别为 “221++” 和 “113++”, 共有22125351222225 C C C C A A += 种不同的分法, 再将这三组分给甲、乙、丙三个社区开展 5G 宣传活动, 则不同的安排方法种数为3325150A =.5.答案：C解析：甲和乙必须安装不同的吉祥物, 则有 222A = 种情况,剩余 3 人分两组, 一组 1 人, 一组 2 人, 有233C =, 然后分配到参与两个吉祥物的安装,有2232 326C A =⨯=,则共有 2612⨯= 种, 故选: C. 6.答案：B解析：先分3组(1,1,2)，有24C 6=种分组的方案：再分配，有33A 种分配的方案，则可能的安排方式种数为2343C A 36=，故正确选项为B. 7.答案：A解析：根据题意，三所敬老院可能的分配有4，1，1；1，2，3；2，2，2三种情况；如果按4，1，1分配，则有4363C A 90=种；若按1，2，3分配，则有12336533C C C A 360=种；若按2，2，2分配，则有2223642333C C C A 90A ⨯=种，所以共有9036090540++=种. 故选：A. 8.答案：ABD解析：对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择，故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有31152122C C C 10A =，22153122C C C 15A =种分组方法，则不同的调研安排有()331015A 150+=种，故B 正确，C 错误；对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有2113421322C C C A 36A ⨯=种，则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，D 正确. 故选：ABD. 9.答案：ABD解析：若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2353C A 60=种，A 正确；若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有2454C A 240=种，B 正确；若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有4242A A 48=种站法，C 错误；前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40=种站法，D 正确. 故选：ABD. 10.答案：BD解析：A.每人各有3种选择，故有63729=（种）不同的选择结果，所以A 错误. B.每入口各两人，先从6人中抽取2人去第一个入口，有26C 种不同的选派方案；再从剩下的4人中抽取2人去第二个入口有24C 种不同的选派方案，剩下的人去第三个入口，所以共有226415690C C =⨯=（种）不同的选派方案，所以B 正确.C.两个入口各派1人，一个入口4人，则先从6人中抽取4人组合到一起，有 4 6C 种不同的方案；再把抽出的4人当成一个元素与另外2人全排，有33A 种方案，所以共有436315690C A =⨯=（种）不同的选派方案，所以C 错误.D.一入口1人，一入口2人，一入口3人，则先从6人中抽取1人，有16C 种不同的方案；再从剩下的5人中抽出2人组合到一起，有25C 种不同的方案；再把抽出的2人当成一个元素把剩下的3人当成一个元素和最开始抽出的人全排有33A 种方案，所以共有1236536106360C C A =⨯⨯=（种）不同的选派方案.所以D 正确故选：BD.11.答案：84解析：先在编号为1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，再将剩下的10个小球分成四份分别放入编号为1，2，3，4的盒子里.10个球之间有9个空隙，选出3个空隙放入隔板，所以有39C =84种放法. 故答案为：84. 12.答案：14解析：每个村选派2名工作人员的方式共有2242C C 6⋅=种方式，一个村选派3名工作人员，另一个村选派1名工作人员共有3242C A 8⋅=种方式，所以不同的选派方式共有6814+=种方式，故答案为：14. 13.答案：20解析：由题得小红要买7颗糖果，把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，共有36C 20=种方法，所以不同的选购方法共有20种.（如果这一横排为：小球，小球，隔板，小球，隔板，小球，小球，隔板，小球，小球，则代表第一种糖果买2颗，第二种糖果买1颗，第三种糖果买2颗，第四种糖果买2颗）.故答案为：20.14.答案：（1）96；（2）30种.解析：（1）第一步，千位数字有4种填法；第二步，百位数字有4种填法；第三步，十位数字有3种填法；第四步，个位数字有2种填法，故这五个数字可以组成443296⨯⨯⨯=个不同且无重复数字的四位数. （2）先把1件礼物分给甲，有15C 种方法，再从剩下的4件礼物中任选2件分给乙，有24C 种方法，最后剩下的2件分给丙，所以一共有1254C C 30=种不同的分配方法. 15.答案：(1)3264C C 120⋅= (2)43882C C 196+= (3)444985C C C 191+-= 解析：(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264C C 120⋅=(种)选法.(2)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ，所以共有43882C C 196+=(种)选法. 方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108C C 196-=(种). (3)当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有()4485C C -种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985C C C 191+-=(种).。

(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

高中数学同步练习导数与函数的单调性

第3章 §1 第1课时导数与函数的单调性A 级基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]．三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)．故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)．二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}．三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。

2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第二册) 本册综合测试(提升)(教师版含解析)

本册综合测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分)1．(2021·吉林高三开学考试(文))已知正项等比数列{a n }中，a 2a 8+a 4a 6=8，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9=( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】B【解析】由等比数列性质可知，192846a a a a a a ===，而a 2a 8+a 4a 6=8，所以1928464a a a a a a ====，因为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9212921928465log log ()()()a a a a a a a a a a ==，所以log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9= 92log 29=，故选：B2．(2021·黑龙江佳木斯一中)设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则使12n a a a 最大的n 为( )A ．72B ．3C ．3或4D ．4【答案】C【解析】由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，则24131(),,2a a a a q q +=+∴=代入1310a a +=可得，11110,84a a a +=∴=，故114118()22n n nn a a q ---==⨯=，则(34)(7)432(4)221232222222n nn n nn n a a a +---+++-⨯==⨯⨯==，由于2t y =为增函数，(7)2n nt -=为开口向下的二次函数，对称轴为 3.5n =，又*n N ∈，故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值.故选：C.3．(2021·西藏拉萨中学 )若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】若()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则1()0,(,2)2f x x '>∈有解，故21,2a x >-令21()2g x x =- 21()2g x x =-在1(,2)2递增 , 1()()2,2g x g ∴>=-故2 ,a ≥- 故选：D4．(2021·四川省乐山第一中学校 )设a ∈R ，若“1x >”是“ln ax x >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞【答案】B【解析】由题意“1x >”是“ln ax x >”的充分不必要条件，所以不等式ln ax x >在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x>在(1,)+∞上恒成立，令ln ()(1)x f x x x =>，则()21ln xf x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0f x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以当x e =时，函数()f x 取得最小值()1f e e =，所以1a e>．故实数a 的取值范围是为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：B.5．(2021·全国高二单元测试)已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是02，接下来两项是02，12，再接下来三项是02，12，22，依此类推，设n S 是此数列的前n 项和，则2021S =( )A ．64234-B ．63234-C ．64248-D ．63248-【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项，和为02；第二组有两项，和为0122+；……；第n 组有n 项，和为011122222112n n n --++⋅⋅⋅+==--，则前63组共有636420162⨯=(项)，所以()()001016201234202122222222222S =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++()()()12630123421212122222=-+-+⋅⋅⋅+-+++++()()632636421222263313223412-=++⋅⋅⋅+-+=-=--，故选：A.6．(2021·北京市第十二中学 )已知函数()()20x f x a x a =>-在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a ≤或2a ≥ B ．2a ≥ C ．2a ≥或1a = D ．1a ≥【答案】C【解析】由题意，0x a -≠在1,2恒成立，则()1,2a ∉，又()22222()2()()x x a x x axf x x a x a ---'==--，∴()0f x '≤在1,2恒成立， ∴220x ax -≤即2xa ≥在1,2恒成立，∴1a ≥，综上，2a ≥或1a =. 故选：C.7．(2021·陕西新城 )函数2()(2)e x f x x x =-的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()0f x =得，0x =或2x =，选项C ，D 不满足；由()()22e xf x x x =-求导得2()(2)e x f x x '=-，当x <x >()0f x '>，当x <()0f x '<，于是得()f x 在(,-∞和)+∞上都单调递增，在(上单调递减，()f x 在x =在x A 不满足，B 满足. 故选：B8．(2021·全国专题练习)设正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2114n n S a =+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，212020n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.若数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得2020n T ≥成立的n 的最小值为( ) A ．1179 B ．1178 C ．2019 D ．2020【答案】A 【解析】()2114n n S a =+①，令1n =，得()21141a a =+，解得11a =. ()211114n n S a --=+，2n ≥②，由①-②可得()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()1120n n n n a a a a ----+=，根据0n a >可知12(2)n n a a n --=≥，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N .2421120202020n n a n b -⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，*n ∈N ，当[1,505]n ∈时，422018n -≤，1n b =；当[]506,1010n ∈时，2020424038n <-≤，2n b =；当[]1011,1515n ∈时，4040426058n <-≤，3n b =. 因为101050550521515T =+⨯=，(20201515)3168.3-÷≈，所以使2020n T ≥成立的n 的最小值为10101691179+=. 故选：A.二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二单元测试)定义在[]1,5-上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，函数()f x 的部分对应值如下表．下列关于函数()f x 的结论正确的是( )A ．函数()f x 的极值点的个数为3B ．函数()f x 的单调递减区间为()()0,24,5C ．若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当12a ≤<时，方程()f x a =有4个不同的实根【答案】AD【解析】对于A ：由()f x '的图象可知，当0,2,4x =时，()0f x '=，且当10x -<<时，()>0f x '，当02x <<时，()0f x '<，当24x <<时，()>0f x '，当45x <<时，()0f x '<，所以0，2，4是函数()f x 的极值点，故A 选项正确；对于B ：由导函数()f x '的正负与函数()f x 之间的关系可知，当02x <<时，()0f x '<，当45x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,2，()4,5，故B 选项错误；对于C ：当[1,5]x ∈-时，函数()f x 的最大值是2，而t 的最大值不是4，故C 选项错误；对于D ：作出函数()f x 的大致图象如图所示，当12a ≤<时，直线y a =与函数()f x 的图象有4个交点，故D 选项正确．故选：AD ．10．(2021·宁德市第九中学高二月考)若数列{}n a 满足113,33(2),nn n a a a n -==+≥则( )A ．{}3nn a 是等差数列 B ．{}3nn a 是等比数列 C ．数列{}n a 的通项公式3nn a n =⋅D ．数列{}n a 的通项公式3n nn a =【答案】AC【解析】在数列{}n a 中，当2n ≥时，133nn n a a -=+，即11133n n n n a a --=+，而13a =，即113a =，则{}3n n a 是首项为1，公差为1的等差数列，因此，1(1)13n na n n =+-⨯=，3nna n =⋅，所以A 正确，B 不正确，C 正确，D 不正确. 故选：AC11．(2021·海南 )若函数32()3f x x x a =-+的图象在点()()00,x f x 处与x 轴相切，则实数a 的值可能为( ) A ．1 B ．4C ．0D ．2【答案】BC【解析】由题意可知，'2()36f x x x =-，因为函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处与x 轴相切，所以320002000()30()360f x x x a f x x x ⎧=-+='=⎨-=⎩，解得0a =或4a =. 故选：BC.12．(2021·临澧县第一中学 )我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键(7个白键5个黑键)构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅(4C 称为“中央C ”).将每个“八度”( 如4C 与5C 之间的音高变化)按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率(单位：Hz)的音可以是此时的钢琴发出的音( )(参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=)A ．110B ．233C ．505D ．1244【答案】ABD【解析】∵A 4 = 440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确. 设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3 = 220，A 4 = 440，A 5 = 880，112233 1.0592220q ===，B 正确； 155051.1482440n q ==≠(n ∈N *)，C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确. 故选：ABD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·黑龙江鹤岗一中高三月考(文))等比数列{}n a 中，5a ，21a 是方程21150x x ++=的两根，则71913a a a 的值为___________.【答案】【解析】由题设知：5215215,11a a a a =+=-，又{}n a 为等比数列，∴521,0a a <，且2719135215a a a a a ===，而81350a a q =<，∴13a =71913a a a=故答案为：14．(2021·河南 )函数()ln xf x x x=-在区间(]0,e 上的最大值是___________. 【答案】1-【解析】由()ln x f x x x =-可得()2221ln 1ln 1x x xf x x x ---'=-=，设()21ln g x x x =--，则()g x 在(]0,e 上递减，因为()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>；当(]1,e x ∈时，()0g x <；()0f x '<；所以()f x 在(]0,1上递增，在(]1,e 上递减，所以()()max 11f x f ==-，故答案为：1-.15．(2021·河南南阳中学高二月考)已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()*()n a f n n N =∈，且{}na 是递增数列，则实数a 的取值范围是________．【答案】()2,3【解析】数列{}n a 是递增数列，又6(3)3(7)()(7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，()*()n a f n n N =∈，13a ∴<<且(7)(8)f f <，27(3)3a a ∴--<解得9a <-或2a >，故实数a 的取值范围是()2,3．故答案为：()2,3．16．(2021·河南信阳)已知()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两条过()2,0点的切线，则a 的取值范围是___________.【答案】{|8a a <-或0}a > 【解析】由题得()212af x x '=-，设切点坐标为0002a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则切线方程为()00200122a a y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又切线过点()2,0，可得()002001222a a x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，整理得20020x ax a +-=，因为曲线()y f x =存在两条切线，故方程有两个不等实根且00x ≠ 若00x =，则0a =，为两个重根，不成立即满足()280a a ∆=-->，解得0a >或8a <-．故a 的取值范围是{|8a a <-或0}a > 故答案为：{|8a a <-或0}a >四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·浙江宁波·高三月考)已知数列{}n b 为等差数列，数列{}n a 满足2log n n b a =，且451a b ==． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)4n b n =-，n n *∈，42n n a -=，n n *∈；(2)()()()()33552,482752,58n n n n n T n n --⎧--⋅-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅+≥⎪⎩．【解析】(1)数列{}n b 为等差数列． 4242log log 10b a ===，51b =，则4n b n =-，n n *∈，42n n a -=，n n *∈，(2)()442n n n n c a b n -==-⋅设()442n n c n -=-⋅'，n T '为数列{}n c '的前n 项和，则有：()()()()321432221242n n T n ----'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯，(*) ()()()()2130232221242n n T n ---'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯，(**)(*)式-(**)式，得()()()()()()2132143332123222242324212n n n n n T n n ---------⋅--=-⨯++++--⨯=-⨯+--⋅-'()35528n n T n -'=-⨯+．当4n ≤时，()35528n n n T T n -'=-=---⋅；当5n ≥时，()()3345527252452848n n n n T T T n n --''=-=-⋅++-=-⋅+，即()()()()33552,482752,58n n n n n T n n --⎧--⋅-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅+≥⎪⎩18．(2021·青海师大附中高二期中(文))已知函数2()e ln 2xa f x x x =-，函数()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直.(1)求实数a 的值；(2)设()()()g x f x f x '=-，求函数()g x 的最小值. 【答案】(1)e a =；(2)e2．【解析】(1)由已知e ()e ln xxf x x ax x'=+-，则(1)e 0f a '=-=，所以e a =．(2)2e ()e ln 2x f x x x =-，e ()e ln e x xf x x x x'=+-，则2e e()e 2x g x x x x =-+，定义域是(0,)+∞，22e (1)e ()e e (1)e x x x g x x x x x ⎛⎫-'=-+=-+ ⎪⎝⎭显然2e e 0xx+>，所以01x <<时，()0g x '<，()g x 是减函数，1x >时，()0g x '>，()g x 是增函数，所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值e (1)2g =． 19．(2021·江苏省苏州第十中学校高二月考)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．【答案】(1)12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；(2)()1212n n T n +=-+ 【解析】(1)当2n ≥时，12n n n a S -=-，112n n n a S ++=-，两式相减可得：11122n n n n n n a S a S -++--+=-，即1112n n n n a a a -++=--，所以12n n a ，12a =不满足12n n a ，所以数列{}n a 的通项公式为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩； (2)当2n ≥时，由12n n n a S -=-，12n n a ，可得1112222n n n n n n S a ---=+=+=，112S a ==，满足2n n S =，所以2n n S =，可得22log log 2n n n b S n ===，2n n n n c b S n =⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减可得： 123111222222n n n n T n -+-=⋅++++-⋅()()11212221212n n n n n ++-=-⋅=---，所以()1212n n T n +=-+.20．(2021·贵州遵义 )设函数()()3221f x ax x x a R =+++∈，且函数()f x 的单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的表达式，并求出函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()0f x m +=有3个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()3221f x x x x =+++，该函数的单调递增区间为(),1-∞-、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；(2)231,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)因为()()3221f x ax x x a R =+++∈，则()2341f x ax x '=++，因为函数()f x 的单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即不等式()0f x '<的解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以，1-、13-为函数()f x 的两个极值点，即1-、13-为方程23410ax x ++=的两根，且0a >，由韦达定理可得()41133111330a a a ⎧-=--⎪⎪⎪⎛⎫-⨯-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1a =，所以，()3221f x x x x =+++，所以，()()()2341311f x x x x x '=++=++，由()0f x '>可得1x <-或13x >-，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； (2)令()()3221g x f x m x x x m =+=++++，则()()()2341311g x x x x x '=++=++，列表如下：所以，函数()g x 的极大值为()11g m -=+，极小值为327g m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 有三个零点，则()1101230327g m g m ⎧-=+>⎪⎨⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得23127m -<<-. 21．(2021·皇姑·辽宁实验中学 )已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． (3)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．【答案】(1)1()2n na ，21nb n =+(2)1(21)22n n T n +=-⋅+(3)证明见解析【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为0q >，52a ，4a ，64a 成等差数列，456224a a a ∴=+，24422(2)a a q q ∴=+，化为：2210q q +-=，0q >，解得12q =．又满足2434a a =，∴322114()a q a q =，即114a q =，解得112a =． *1()()2n n a n N ∴=∈，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，1(2)n n n b S n b -∴=≥， 11221(2)n n n n nb n S b b b -∴+=+=≥，即12(2)n n b b n --=≥，{}n b ∴是以2为公差的等差数列.又111112121S b b b +=+=，即13b =，所以32(1)21n b n n =+-=+(2)(21)2n n n nb c n a ==+⋅，237(13225)222n n n T ∴⋅+=⋅+⋅++⋅+， 123422325272(1)2n n T n +=⋅++⋅+⋅+⋅+，两式相减得，213432222222(21)222n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅++-()11222212(21)2n n n ++++-⋅-=-1(12)22n n +=-⋅-，1(21)22n n T n +∴=-⋅+ (3)2112511(21)(23)2(21)2(23)2n n n n n n n n b a n d b b n n n n +-+⋅+===-⋅++⋅+⋅+⋅ 所以数列{}n d 的前n 项和1221111111()()()31525272(21)2(23)2n n n n M d d d n n -=++⋯+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯⨯+⋅+⋅1(23213)n n +⋅=-，又1730M =，n M 是单调递增，所以71303n M ≤<. 22．(2021·四川泸州老窖天府中学 )已知函数()()1ln 2a f x x a x x=+---，其中a R ∈． (Ⅰ)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值；(Ⅱ)若2a e ≤，讨论()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的零点个数．【答案】(Ⅰ)1a =或a e =；(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)由题意，函数()()1ln 2a f x x a x x =+---，可得()()()()221110x x a a a x x x x f x +--=--=>'， ①若0a ≤时，则当()0,x ∈+∞时，恒()0f x '>成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，此时函数()f x 在()0,∞+无极值点，这与()f x 存在极值点矛盾，舍去；②若0a >，令()0f x '=，可得x a =，当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，此时()f x 存在唯一极小值点x a =，令()()()()11ln 211ln 0f a a a a a a =+---=--=，解得1a =或a e =．(Ⅱ)①当1a ≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，所以()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增．因为()110f a =-≤，()2222a f e e a e =+-， (ⅰ)当0a ≤时，()222221220a f e e a e a e e ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭；(ⅱ)当01a <≤时，()2222210a f e e a a e =+->=≥，所以()20f e >，则由零点存在性定理知，函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；②当21a e <<时，当[)1,x a ∈时，()0f x '<；当(2,e x a ⎤∈⎦时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,a 上单调递减，在(2,a e ⎤⎦上单调递增．可得()()()()min 11ln f x f a a a ==--．(ⅰ)当a e =时，()min 0f x =，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；(ⅱ)当1a e <<时，()min 0f x >，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；(ⅲ)当2e a e <<时，()min 0f x <，()110f a =->．(a)当()22220a f e e a e =+-<，即42221e a e e <<-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点； (b)当()22220a f e e a e =+-≥，即4221e e a e <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点；综上，当1a e <<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；当1a ≤或a e =或4221e a e >-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；当4221e e a e <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点．。

用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类(讲+练)(学生版) 24-25学年高二必修一数学同步知识题型

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类一、空间向量研究距离问题1．点P 到直线l 的距离:已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l (如图)．2．点P 到平面α的距离:设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n||n|(如图)．3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．二、空间向量研究夹角问题1．两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．2．空间角的向量法解法角的分类向量求法范围线线角设两异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |(0，π2]线面角设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos〈u ，n 〉|＝|u ·n ||u ||n |[0，π2]面面角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|[0，π2]（一）点到直线的距离1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.题型1：利用空间向量求点到直线的距离1-1．（2024高二上·北京大兴·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为正方形11ADD A 的中心，若P 为平面1OD B 内的一个动点，则P 到直线11A B 的距离的最小值为（）A ．22B ．12C ．64D ．331-2．（2024高二上·河南新乡·期末）已知空间三点()()()2,1,0,2,1,1,1,0,1A B C -，则点C 到直线AB 的距离为．1-3．（2024高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点B 到直线1AC 的距离为（）A ．63B ．66C ．65D ．2631-4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是a ，且AB AD ^，1160A AB A AD Ð=Ð=°，E 为1CC 的中点，则点E 到直线1AC 的距离为（）A ．510a B ．55a C ．54a D ．53a（二）点到平面的距离与直线到平面的距离1、用向量法求点面距的步骤：(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )．(4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.2、求点到平面的距离的主要方法：(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法:d=|n ·MA ||n |(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A 的斜线段).题型2：利用空间向量求点到平面的距离2-1．（2024高二上·陕西西安·期末）在直角梯形ABCD 中，,2222,90AD BC BC AD AB ABC ===Ð=°∥，O 为BD 中点，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ^平面BCD ，如图（2）．(1)求证：OA CD ^；(2)若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．2-2．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，AC BC ^，14BC AC CC ===，D 为1AB 的中点，1CB 交1BC 于点E ．(1)证明：11CB C D ^；(2)求点E 到平面11B C D 的距离．2-3．（2024高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，4524,,5AB AD PD E ===是PA 的中点，2FB PF =uuu r uuu r ，则点C 到平面DEF 的距离为（）A ．3105B ．2105C ．105D ．10102-4．（2024高二下·云南楚雄·期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是线段1BC 上靠近点B 的一个三等分点，D 是1AC 的中点．(1)证明：1A D //平面1AB E ；(2)若16AA AB ==，求点1A 到平面1AB E 的距离．（三）两条异面直线所成的角1、求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB → 与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB → ·CD →||AB → ||CD →|.注：用空间向量求两条直线l 1，l 2夹角θ的步骤与方法：(1)化为向量问题：转化为求两直线l 1，l 2的方向向量u ,v 的夹角；(2)进行向量运算：计算cos ⟨u ,v⟩=u∙v|u |∙|v |的值；(3)回到图形问题：两条直线l 1,l 2夹角θ的余弦值cos θ=|cos ⟨u ,v⟩|.题型3：利用空间向量求异面直线的夹角3-1．（2024高二下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC CC ^===，建立适当的空间直角坐标系，并求1A B uuu r 与1B C uuur的夹角余弦值.3-2．（2024高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===Ð=Ð=Ð=°．(1)证明：1AC BD ^；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．3-3．（2024高一下·浙江宁波·期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为直线1BB 上的异于点B 的动点，则异面直线1A B 与MN 所成的角的最小值为q ，则sin q =（）A ．1010B ．105C ．31010D ．21053-4．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2Ð=Ð=ABC BAD ，3PA AD ==，1AB BC ==.点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，则线段BQ 的长为（四）直线与平面所成的角利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u ；(3)求平面的法向量n ；(4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |.题型4：利用空间向量求直线与平面所成的角4-1．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ^平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB Ð=，1A B AC ^，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B ^平面1AB C ；(2)点P 在线段1A E 上（异于点1A ，E ），AP 与平面1A BE 所成角为π4，求1EP EA 的值.4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，2AD =，4DC =，60BAD Ð=o ，PD ^平面ABCD ，直线PD 与平面PAC 所成角为30o ，则PD =（）A ．22B ．475C ．677D ．74-3．（2024高二下·甘肃金昌·期中）如图，已知AE ^平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD ==，2BC =.若2AE =，1CF =，则BF 与平面BDE 所成角的余弦值为.4-4．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ^平面ABCD ，M 为PC 中点．(1)求证：//PA 平面MBD ；(2)若2AB AD PA ===，求直线BM 与平面AMD 所成角的正弦值．4-5．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4=AD ，13AA =，1B C 交1BC 于点E .(1)证明：直线1//D E 平面1A BD ；(2)求AD 与平面1A BD 所成角的正弦值.4-6．（2024·陕西商洛·二模）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，2AP =，则直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（）A ．255B ．25C ．23D ．334-7．（2024高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆1O 的直径为AB ，圆台的上底面圆2O 的直径为PQ ，C 是弧AB 上一点，且222PA AC PC BC PB =====，.（五）两个平面的夹角求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉(当〈n 1，n 2〉∈[0，π2]时)或π－〈n 1，n 2〉注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.题型5：利用空间向量求二面角5-1．（山东省滨州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ^底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ^，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB 上．(1)证明：平面EAC ^平面PBC ；(2)当2BE EP =uuu r uuu r时，求二面角P AC E --的余弦值．5-2．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形ABCD 为菱形，ED ^平面ABCD ，FB ED P ，222BD ED FB ==.(1)证明：平面EAC ^平面FAC ；(2)若60BAD Ð=°，求二面角F AE C --的大小.5-3．（2024高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ^，AB DC P ，PA ^底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点，22AD DC AP AB ====．(1)证明：//BE 平面PAD ；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使得二面角F AD C --的余弦值为1010，若存在，求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由．5-4．（2024高三下·河南·阶段练习）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，平面1D BC ^平面1D BD .(1)求证：BC BD ^；(2)若1224AA BD BC ===，探索在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二面角1E BD D --的大小为30o ？若存在，求出1AEAA 的值；若不存在，请说明理由.5-5．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，2AB =，1DS =，平面ASD ^平面ABCD ，SD AD ^，点E 为DC 上的动点，平面BSE 与平面ASD 所成的二面角为(q q 为锐角)，则当q 取最小值时，DE =．题型6：利用空间向量求两个平面的夹角6-1．（2024高二上·湖南郴州·期末）如图2，在ABCD Y 中，2AB =，3BC =，30ABC Ð=°．将DAC △沿AC 翻折，使点D 到达点P 位置（如图3），且平面PAC ^平面PBC ．(1)求证：平面PAC ^平面ABC ；(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ mPB =uuu r uuu r，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的夹角的余弦值为24，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．6-2．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，90CAB Ð=°，2AC AB ==，M ，N 分别为AB 和1BB 的中点，D 为棱AC 上的点.(1)证明：1A M DN ^；(2)是否存在点D ，使得平面1C DN 与平面11ABB A 夹角的余弦值为53？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段AD 的长.6-3．（2024高二下·福建福州·期中）如图，圆O 是ABC V 的外接圆，CE ^平面ABC ，AB 是圆O 的直径，30CAB Ð=°，2CE BD =uuu r uuu r，且2CE AB ==.(1)求证：平面ACE ^平面BCED ；(2)若2ME DM =，求平面ACM 与平面ACE 夹角的余弦值.6-4．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，BD PC ^，四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，1AB PA ==，2PB =，E 是棱PD 上的中点.(1)求三棱锥C BDE -的体积；(2)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值.6-5．（2024高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为q ，若π0,2q æùÎçúèû，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．6-6．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2π3ADC Ð=，24PD DC BC ===，点E 是线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF AP l =uuu r uuu r ，PD ^面ABCD .(1)当13l =时，证明：PC //平面BFE ；(2)当l 为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？一、单选题1．（2024高二下·四川成都·期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===，则1AD uuuu v 与1DB uuuu v夹角的余弦值为（）A B C ．15D ．2．（2024高二上·贵州铜仁·期末）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，点E ，F 分别是11B C和1BB 的中点，M 是线段1D F 的中点，则直线AM 和CE 所成角的余弦值为（）A B C D 3．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别取棱1AA ，11A D 的中点E ，F ，点G 为EF 上一个动点，则点G 到平面1ACD 的距离为（）A B C ．1D 4．（2024高二上·河北邯郸·期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB ^底面ABCD ，AB =2BD PB ==，则PCD △的重心到平面PAD 的距离为（）A ．29B ．13C ．49D ．5185．（2024高二下·福建福州·期中）如图在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AD DD AB ===E ，F ，G 分别是1,,AB BC CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1//D P 平面EFG 平行，则线段BP 的最小值为（）A B ．1C D ．126．（2024高二下·江苏南京·期中）已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =u r ，(1,1,1)n =r ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A B C ．13D 6.3.4空间距离的计算（1））已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--r，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α的距离为（）A ．10B ．3C ．83D ．1038．（2024高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，4SO AB ==，AC BC =，D 为SO 的中点，N 为AD 的中点，则点N 到平面SBC 的距离为（）A ．43B ．53C ．1D ．29．（2024高二下·江西景德镇·期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，M 为线段EF 上的一动点，则直线1A D 与1B M 所成角的余弦值的取值范围是（）A ．12éêëB ．C ．D ．35éêë10．（2024高二下·浙江·阶段练习）如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD o Ð=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ^平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE 与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B C D 11．（2024高二下·全国·单元测试）三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直且相等，点,P Q 分别是线段BC 和OA 上移动，且满足12BP BC £，12AQ AO £，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．（2024高二下·河南周口·阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，M 为棱PC 的中点，则异面直线AC ，BM 所成角的余弦值为（）A B C D 13．（2024高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A B C D 14．（2024高二下·浙江·期中）在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为线段1AC （不与C 点重合）上的点，且满足1(0)A E mEC m =>uuur uuu r ，当二面角E AD C --的平面角为π4时，实数m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．（2024高二上·浙江金华·期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB =BH ，那么直线AH 与直线IG 所成角的余弦值为（）A ．BC ．12-D ．1216．（2024高二下·浙江·学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥P ABC -中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，二面角A BD C --的大小为q .当x 增大时，（）A ．q 增大B ．q 先增大后减小C ．q 减小D ．q 先减小后增大17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱锥P ABCD -中，AB BC ==1，则直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为（）A ．13B C D 18．（2024高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，90BAD Ð=°，112PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是棱PD 上靠近点P 的四等分点，则CQ 与平面PAB 所成角的正弦值为（）．A B C D ．1619．（2024高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为体对角线1B D 上一点，且12DP PB =，则异面直线1AD 和CP 所成角的余弦值为（）A ．0B ．35C ．45D 二、多选题20．（江苏省淮安市淮海中学2023-2024学年高二上学期收心考试数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A ．AC 与1BD 的夹角为60°B ．二面角1D ACD --C ．1AB 与平面1ACD D ．点D 到平面1ACD 21．（2024高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ^平面EFGC ．11//AD 平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 22．（2024高二下·江西宜春·开学考试）点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为()1,1,1s =-r的直线l，则点M 的坐标是（）A ．()0,0,3-B ．()0,0,3C ．(D ．(0,0,23．（2024高二上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ^平面BCD ，ABC V 与BCD △均为等腰直角三角形，且90BAC BCD Ð=Ð=°，2BC =，P 是线段AB 上的动点（不包括端点），若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30o 的角，则线段PA 的长度可能为（）A B C D 24．（2024高二上·河南·期中）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，BD CD ^，BD CD ==ABD为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF ，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．5325．（2024高二下·江苏淮安·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．点1C 到直线CQB ．122CQ AB AD AA =--+uuu r uuu r uuu r uuu rC ．平面ECG 与平面1BCD 的夹角余弦值为13D ．异面直线CQ 与BD 26．（海南省海口市龙华区海南华侨中学2023届高三一模数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．不存在点Q ，使得11//C Q A CB ．存在点Q ，使得11C Q A C^C ．对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为D ．对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形三、填空题27．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14DD =，则11A B 与平面11A C D 所成的角的正弦值为．28．（2024高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，BD ，1BB 的中点，则1C E 与FG 所成的角的余弦值为 .29．（2024·浙江绍兴·一模）如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M = .30．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到平面1AEC 的距离为．31．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，E ､F ､H 分别是AB ､CD ､11A B 的中点，则直线EC 到平面AFH 的距离为 .32．（2024高二上·山东枣庄·期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为 .33．（2024高一·全国·课后作业）正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A CC B --的大小为 .34．（2024高三·全国·课后作业）已知PA ^平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD 所成角的取值范围是．35．（2024高一下·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .四、解答题36．（2024高二上·天津·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD Ð=o .(1)求证：BD ^平面PAC ；(2)若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.37．（2024高二下·广东广州·阶段练习）如图，四棱锥P ABCD -中，CD ^平面PAD ，//AB CD ，1AB =，2CD =，M 为棱PC 上一点.(1)若M 为PC 的中点，证明：//BM 平面PAD ；(2)若2PA PD AD ===，且//PA 平面BMD ，求直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值.38．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB 的中点．(1)求点D 到平面1AD E 的距离为d ；(2)求1BC 到平面1AD E 的距离．39．（2024高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为1A B 的中点，1AA ==(1)证明：BC ∥平面1AC D ；(2)求直线BC 到平面1AC D 的距离．40．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ^底面ABC ，90BAC Ð=o ，点D 、E 分别为棱PA ，PC 的中点，M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，4PA AC ==，2AB =.(1)求证：//MN 平面BDE ；(2)求直线MN 到平面BDE 的距离.41．（2024高二下·全国·课后作业）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，CD ＝1，BC ＝2，DF ＝1．(1)求证：BE ∥平面DCF ；(2)求点B 到平面DCF 的距离．42．（2024高二上·浙江杭州·期中）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ^平面ABC ，PAC V 为正三角形，E ，F 分别是棱,PC PB 上的点，且满足(01)PE PF PC PBl l ==<<．(1)求证：BC AE ^；(2)是否存在l ，使得直线AP 与平面AEF l 的值；若不存在，请说明理由．43．（2024·新疆·模拟预测）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ^菱形ABCD 所在的平面，60ABC Ð=°，点E ､F 分别是BC ､PC 的中点，M 是线段PD 上的点.（1）求证：平面AEM ^平面PAD ；（2）当AB AP =时，是否存在点M ，使直线EM 与平面ABF ？若存在，请求出PM PD 的值，若不存在，请说明理由.44．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝5，BC ＝2AB ＝4，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM ⊥PC ，求直线PB 与面PCD 所成角的正弦值．45．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABP 所在的平面互相垂直，且//AB CD ，AB BC ^，AP PB ^，2AB =，1BC CD ==．(1)求证：AB PD ^；(2)求直线PC 与平面ABP 所成角的余弦值；(3)线段PA 上是否存在点E ，使得//PC 平面EBD ？若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由．46．（2024高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥P ABC -中，已知PA ^平面ABC ，平面PAB ^平面PBC ．(1)证明：^BC 平面PAB ；(2)6PA AB ==，3BC =，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为D 的位置；若不存在，说明理由．47．（2024··模拟预测）如图，四边形ACC 1A 1与四边形BCC 1B 1是全等的矩形，1AB AA ==．(1)若P 是AA 1的中点，求证:平面PB 1C 1⊥平面PB 1C ;(2)若P 是棱AA 1上的点，直线BP 与平面ACC 1A 1求二面角B 1﹣PC ﹣C 1的余弦值．48．（2024·福建福州·二模）如图1，在ABC V 中，2π2,,3AB AC BAC E Ð===为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF AB ^.将BEF △沿EF 翻折到B EF ¢V 的位置，如图2.(1)当AB ¢=B AE ¢^平面ABC ；(2)已知二面角B EF A ¢--的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E ¢与平面B MF ¢所成角的正弦值M 的位置；若不存在，请说明理由.49．（2024·江苏·二模）如图，在三棱台111ABC A B C -中，BA BC ^，平面11A B BA ^平面ABC ，二面角1B BC A --的大小为45°，2AB =，1111BC A B AA ===.(1)求证：1AA ^平面ABC ；(2)求异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值.50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，AB BC =，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点.11BF A B ^.(1)证明：BF DE ^；(2)求平面11BB C C 与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.51．（2024·河南郑州·模拟预测）在底面ABCD 为梯形的多面体中.AB CD ∥，BC ⊥CD ，2AB CD ==，∠CBD ＝45°，BC ＝AE ＝DE ，且四边形BDEN 为矩形．(1)求证：BD ⊥AE ；(2)线段EN 上是否存在点Q ，使得直线BE 与平面QAD 所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q 的位置并加以证明．52．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高SO =6，点P 在高SO 上，ABC V 是圆锥SO 底面的内接正三角形.(1)若PO ，判断PA 和平面PBC 是否垂直，并证明；(2)点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-ABC 的体积.53．（2024高二下·江苏盐城·期中）如图，在Rt AOB V 中，π2AOB Ð=，4AO =，2BO =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在线段AB 上．(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值；(2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦值的最大值．54．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ^平面ABCD ，PA PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，点E 在棱PC 上，2CE PE =.(1)证明：平面BDE ^平面ABCD ；(2)当直线DE 与平面PBD 所成角最大时，求四棱锥P ABCD -的体积.55．（2024高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是矩形，若2AD QD QA ===，1CD QC ==，(1)证明：平面QAD ^平面ABCD ；(2)若E F ，分别是QC QD ，的中点，动点P 在线段EF 上移动，设q 为直线BP 与平面ABCD 所成角，求sin q 的取值范围．。

高二数学直线方程的两点式和一般式同步练习测试

高二数学直线方程的两点式和一般式同步练习测试(含解析)直线方程是高二数学学习的重点知识点，以下是直线方程的两点式和一样式同步练习测试，请大伙儿认真练习。

一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是()A. =B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C. =D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，然而该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，因此不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它能够表示所有情形下的直线，C，D明显不合题意，因此选B.2.(2021佛山高一检测)直线+ =1过一、二、三象限，则()A.a0，bB.a0，b0C.a0，bD.a0，b0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，因此a0，b0.3.(2021焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k0).令y=0得x= ，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=- 或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时明显符合条件，当直线只是原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a0，则直线方程为+ =1，把点P (4，-3)的坐标代入方程得a=1.因此所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45，则a -b的值为()A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45，斜率为1，得a=1，因此a-b=2.5.(2021驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于()A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2 -5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m 2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则()A.C=0，BB.C=0，A0，B0C.C=0，ABD.C=0，AB0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，因此- 0，因此AB0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y= x-2，因此k= ，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P 恰为AB的中点，则直线l的方程为________.【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，因此x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+ =1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2021南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a0)，因此方程为+ =1，代入点A，得- =1，即a2-3a+2=0，因此a=2或a=1，因此方程为：+y=1或+ =1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+ =1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+ =1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，因此方程为y=6x+b.令x=0，因此y=b，与y轴的交点为(0，b);令y=0，因此x=- ，与x轴的交点为.依照勾股定理得+b2=37，因此b=6.因此直线l的方程为6x-y6=0.【变式训练】一条直线通过点A(-2，2)，同时与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程.【解析】设所求直线的方程为+ =1，因为A(-2，2)在直线上，因此- + =1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，因此|a||b|=1.②由①②可得(i) 或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+ =1或+ =1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2021日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x(-1，1)时，y0恒成立，求a的取值范畴.(2)a 时，恒有y0，求x的取值范畴.【解题指南】第(1)问可依照数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y的一次式，因此可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x(-1，1)时，y0.只需即解得即a- .(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a 时，y0，只需即解得教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

2.2.1 直线的点斜式方程(原卷版)-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列

2.2 直线的方程2．2.1 直线的点斜式方程知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P (x 0，y 0)和斜率k 斜率k 和在y 轴上的截距b 图示方程y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b 截距直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距题型一、直线的点斜式方程1．已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2．已知直线1l 的方程为21y x =-+，直线2l 过点()2,4A -．(1)当1//l 2l 时，求2l 的方程；(2)当1l ⊥2l 时，求2l 的方程．3．已知直线l 经过点()2,4P ．(1)若点()1,1Q 在直线l 上，求直线l 的方程；(2)若直线l 与直线430x y -=垂直，求直线l 的方程．题型二、直线的斜截式方程1．写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是2，在y 轴上的截距是3-；(2)倾斜角为60︒，在y 轴上的截距是6；(3)倾斜角为30，在y 轴上的截距是0．2．已知直线y kx b =+经过第二、三、四象限，则有（）A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <3．根据下列条件，求直线的方程：(1)过点(3,2)A -，且截距是2-；(2)过点(3,0)A ，且在两坐标轴上的截距和为5．4．已知直线l 的斜率是1，在y 轴上的截距是1-，则直线l 的斜截式方程是______．5．写出下列含参数的方程的直线的几何特性：(1))(21y k x -=+；(2)2y x b =+；(3)2x my =+．6．经过点()41，且在两坐标轴上的截距相等的直线得方程 ________.7．设直线l 过点(1,2)P ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l 的条数为______条．8．若直线():12l y a x a =-++-不经过第二象限，则实数a 的取值范围为______．题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用1．(1) 求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点；(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？1．过点(1,2)P -且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（）A ．240x y ++=B ．20x y +=C ．230x y +-=D ．250x y -+=2．根据下列条件，求直线方程（1）经过点(3,0)A 且倾斜角45α︒=；（2）经过点(2,0)B ，与()0,1C -.3．已知直线经过点()3,2，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是________．4．设k 为实数，若直线:13l y k x 不经过第四象限，则k 的取值范围为______．5．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________．6．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点()4,2-，斜率为3；(2)经过点()3,1，斜率为12； (3)经过点()2,0，斜率为1-；(4)经过点()0,1-，斜率为0；(5)斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；(6)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为7-.7．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点(1,5)P ，且在y 轴上的截距为6；(2)过点(3,4)P -，且在x 轴上的截距为3．8．根据下列条件，写出直线方程的一般式：(1)经过点（0，2），且倾斜角为3π； (2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；(3)经过点（2，1），在x ，y 轴上有不为0且相等的截距．1．已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（）A ．3y x =B ．32y x =-C ．31y x =+D ．33y x =+2．已知直线l 的倾斜角为60，且l 在y 轴上的截距为1-，则直线l 的方程为（）A ．31y =-B ．31y =+C ．31y x =-D ．31y x =+3．过点()2,3P -且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．若直线l 的方程a c y x b b=--中，0ab >，0ac <，则此直线必不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．直线y x b =+的倾斜角为______．6．经过点(3,1)P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________．7．经过点(1,4)A -）且在x 轴上的截距为3的直线方程是______．8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC 的顶点()()()2,0,0,4,4,0A B C -，则其欧拉线方程为______．9．已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围．10．已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．11．分别求下列直线的倾斜角：(1)2y =-；(2)10x +=；(3)3x =-； (4)12y =．12．根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)过点()3,2- (2)过点()3,0-，与x 轴垂直；(3)斜率为4-，在y 轴上的截距为7；(4)斜率为3，在x 轴上的截距为2-；(5)过点()1,8-，()4,2-；(6)过点()2,0，()0,3-．13．已知ABC 三个顶点是()()()4,4,4,0,2,0A B C -.(1)求AB 边中线CD 所在直线方程；(2)求AB 边上的高线所在方程；(3)求ABC 的重心G 的坐标.14．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．。

高二数学下册同步强化训练题24

专题7 不等式、推理与证明、算法与复数第1讲不等式一、选择题1．(文)(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，作出可行域如图：当直线z ＝3x －y 过点A (2,2)点时z 有最大值． z 最大值＝3×2－2＝4.(理)(2011·浙江理，5)设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>02x ＋y －7>0x ≥0，y ≥0，若x 、y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19[答案] B[解析] 如图，作出不等式组表示的平面区域，作直线l 0：3x ＋4y ＝0平移l 0 与平面区域有交点，由于x ，y 为整数，结合图形可知当x ＝4，y ＝1时，3x ＋4y 取最小值为16，选B.2．(2011·重庆文，7)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4[答案] C[解析] f (x )＝x ＋1x －2(x >2)＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4.当且仅当x －2＝1x －2即(x －2)2＝1，∵x >2，∴x －2>0， ∴x －2＝1，即a ＝3.3．(文)(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >02(x 2－x －2)>0，解得2<x ，故选C. (理)(2011·安徽理，4)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1[答案] B[解析] 不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x ＋2y 的最大值和最小值分别为2，－2，故选B.4．(2011·西城抽样)若b <a <0，则下列不等式中正确的是( )A.1a >1b B ．|a |>|b | C.b a ＋ab >2 D ．a ＋b >ab[答案] C[解析] 1a －1b ＝b －aab <0，A 选项错；b <a <0⇒－b >－a >0⇒|b |>|a |，B 选项错；b a ＋a b ＝|b a |＋|a b |≥2，由于b a ≠ab ，所以等号不成立，C 选项正确；a ＋b <0且ab >0，D 选项错．故选C.5．(2011·深圳二模)设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 B.b ＋2a ＋2>ba C.a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b D ．a a b b ≥a b b a[答案] B[解析] 当0<a <b 时，b ＋2a ＋2>ba 不成立，所以B 不恒成立；由(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)可知，A 恒成立；由a ＋b1＋a ＋b ＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b，可知C 恒成立；a ab b a b b a ＝a a －b (1b )a －b ＝(a b )a －b，无论a ，b 的大小关系如何，上式恒大于等于1，故D 恒成立．6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．7．(文)(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0.∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立． (理)(2010·重庆理，7)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112 [答案] B[解析] ∵2xy ＝8－(x ＋2y )，故8－(x ＋2y )≤(x ＋2y 2)2，当且仅当⎩⎨⎧ x ＋2y ＋2xy ＝8x ＝2y即⎩⎨⎧x ＝2y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0 解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去) ∴x ＋2y 的最小值为4.8．(2011·银川三模)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 设F (x )＝f (x )g (x )，所以F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．由F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，故可知当x <0时，F (x )为增函数，因为g (－3)＝0，所以F (－3)＝0，故由奇函数图像关于原点对称，可画出其模拟图形，如图所示．易于判断满足f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．二、填空题9．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12＋∞)，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，故－12应是ax －1＝0的根．∴a ＝－2.10．若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.[答案]2[解析] 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图像．因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2，结合图像知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1，22)． ∴k ＝22＋21＋2＝ 2.11．(2011·陕西文，12)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．[答案] 1[解析]设z＝2x－y，求z的最小值，即求直线z＝2x－y过可行域时截距的最大值．由于直线AB斜率k AB＝3－12－1<2，所以当z＝2x－y过A点时2x－y最小，此时2x－y＝2×1－1＝1.12．(文)(2011·天津文，12)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．[答案]18[解析]∵log2a＋log2b≥1∴log2ab≥1，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2a·2b≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”) 3a＋9b＝3a＋32b≥23a·32b＝23a＋2b≥234＝18.(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)(理)(2011·浙江理，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x ＋y的最大值是________．[答案]210 5[解析]令2x＋y＝t，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得：6x2－3tx＋t2－1＝0，由Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，得： t 2≤85，∴－2105≤t ≤2105.∴t 的最大值为2105. 三、解答题13．(2011·宁夏三模)实数a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0对任意x ∈R 恒成立？[解析] (1)当a 2－1＝0时，a ＝±1，若a ＝1，原不等式化为－1<0，显然恒成立；若a ＝－1，原不等式化为2x －1<0，显然不恒成立，不合题意．(2)当a 2－1≠0时，函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1是二次函数，图像为抛物线，结合图像可知要使不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，须⎩⎨⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知，当－35<a ≤1时，原不等式对任意x ∈R 恒成立． 14．(2009·湖北)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.[解析] (1)如图，设矩形的另一边长为am ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800. ∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440. 当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元．15．(2011·南京市调研)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2x (x ＞0)， (1)指出f (x )的单调区间，并进行证明；(2)若x ＞0时，不等式f (x )≥12x 恒成立，求实数a 的取值范围． [分析] (1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．[解析] (1)解法一：∵f (x )＝x ＋2x －a (x ＞0)∴f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2(x ＞0)．令f ′(x )＞0则x 2－2＞0(x ＞0)∴x ∈(2，＋∞)．令f ′(x )＜0则x 2－2＜0(x ＞0)∴x ∈(0，2)． ∴f (x )的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0，2)．解法二：f (x )＝x 2－ax ＋2x ＝x ＋2x －a (x ＞0)，f (x )在(0，2]上为减函数，在[2，＋∞) 上为增函数．设0＜x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋2x 1－a )－(x 2＋2x 2－a ) ＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜2，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)．故f (x )在(0，2]上为减函数，得证．同理可证，f (x )在[2，＋∞)上为增函数．(2)由f (x )≥12x ，有x ＋2x －a ≥12x ，12x ＋2x －a ≥0，因为x ＞0，所以12x ＋2x ≥212x ·2x ＝2(当且仅当x ＝2时取等号)．要使不等式f(x)≥12x对x＞0恒成立，只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．。

高二数学下册同步检测训练及答案

高二数学下册同步检测训练及答案同步检测训练一、选择题1．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A．a＝7，b＝14，A＝30°B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝72，b＝50，A＝135°D．a＝30，b＝40，A＝26°解析：在A中，sinB＝basinA＝1，∴B＝π2；在B中，sinB＝ba•sinA＝512，∴B≈24.6°或B＝155.4°，但A＝150°，∴B≠155.4°；同理在C中，由于A＝135°>90°，∴它不可能有两解；在D中，sinB＝basinA≈0.58449，∴B＝35.76°或B≈144.24°，且144.24°＋26°故选D.答案：D2．在△ABC中，一定成立的等式是()A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA解析：∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴a•sinB＝2RsinA•sinB，b•s inA＝2RsinA•sinB，∴a•sinB＝b•sinA.答案：C3．已知△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得() A．一解B．两解C．无解D．解的个数不确定解析：由正弦定理得bsinB＝csinC，∴43sinB＝2sin30°，∴sinB＝3>1，∴不可能．∴无解．故选C.答案：C4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x>2B．xC．2解析：∵△ABC有两解，∴a>b且b>asinB，∴x>2，2>xsin45°，∴2答案：C5．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对边的长是46，那么120°角所对边的长是()A．4B．123C．43D．12解析：由正弦定理可得所求边长为46sin45°×sin120°＝12，故选D.答案：D6．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是() A．一解B．两解C．一解或两解D．无解解析：∵ab•sin45°＝502，有两解，故选B.答案：B7．在△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：∵a＝2bcosC，∴sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，故选A.答案：A8．在△ABC中，若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形解析：∵sinAa＝cosBb＝cosCc，∴1＝sinAsinA＝cosBsinB＝cosCsinC，∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝π4，A＝π2.故选C.答案：C9．在△ABC中，已知b＋c＝m，∠B＝α，∠C＝β，则a等于()A.msinαsinα＋sinβB.msinβsinα＋sinβ＋＋＋＋sinβ解析：∵asinA＝bsinB＝csinC，∴asinA＝b＋csinα＋sinβ，又sinA＝sinπ－(B＋C)]＝sin(α＋β)，∴a＝＋＋sinβ，故选D.答案：D10．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为()A.32B.3C．33D．3解析：b＝csinC•sinB＝－30°－＝23，S△ABC ＝12bcsinA＝12×23×2×12＝3.故选B.答案：B二、填空题11．在△ABC中，a＝5，b＝7，∠B＝60°，则c＝________.解析：∵asinA＝bsinB，∴5sinA＝7sin60°，∴sinA＝5314，∵a∴cosA＝1－sin2A＝1114，∴sinC＝sin(A＋B)＝5314×cos60°＋1114×sin60°＝437，∴由bsinB＝csinC，得c＝7sin60°×437＝8.答案：812．在△ABC中，若b＝2asinB，则A＝________.解析：∵b＝2asinB，∴sinB＝2sinAsinB，∴sinB(2sinA－1)＝0且sinB≠0.∴sinA＝12，∴A＝30°或150°.答案：30°或150°13．如图，在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________.解析：由正弦定理asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝5×sin120°7＝57×32＝5314.∵A为钝角，∴C为锐角．∴cosC＝1－＝1114.∴sinB＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝32×1114－12×5314＝3314.∴S△ABC＝12acsinB＝12×5×7×3143＝1543.答案：153414．在△ABC中，∠A满足条件3sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝23cm，则∠A＝________，△ABC的面积等于________cm2.解析：由3sinA＋cosA＝1，得2sin(A＋π6)＝1，A＝23π.由BCsinA＝ABsinC得sinC＝AB•sinABC＝2×3223＝12，C＝π6，则B＝π6，S＝12AB×BCsinB＝3(cm2)．答案：23π3三、解答题15．在平行四边形ABCD中，AC＝10，∠BAC＝75°，∠CAD＝60°，求AB.解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝60°，∵∠DAB＝∠BAC＋∠CAD＝135°，∴∠ABC＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，∴AB＝10sin45°×sin60°＝56.16．(2009•天津卷)在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB•AC＝255.于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.17．在△ABC中，a＝10，b＝56，A＝45°，解这个三角形．解析：由asinA＝bsinB得10sin45°＝56sinB，∴sinB＝32，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－A－B＝75°.由asinA＝csinC，得c＝10sin45°×sin75°＝53＋5.当B＝120°时，C＝180°－A－B＝15°.由asinA＝csinC，得c＝10sin45°×sin15°＝5(3－1)．18．(1)△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边长c；(2)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，边c.解析：(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及C＝180°－30°－60°＝90°，得a＋bsinA＋sinB＝csinC，即6＋6312＋32＝c1，∴c＝12.(2)∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得，c＝asinCsinA＝20sin45°sin30°＝202，b＝asinBsinA＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)．∴B＝105°，b＝10(6＋2)，c＝202.。

高中数学第二册下同步练测19高二数学单元测试题[整理六]高二数学

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理高中数学第二册〔下〕同步练测〔19〕（第九章本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

（第十章第二单元测试卷〕班级姓名学号一、选择题1．每个顶点的棱数一共有3条边的正多面体一共有〔〕 A ．2 种 B ． 3 种 C ．4 种 D ．5种2．轴截面是正方形的圆柱与高与球的直径相等，那么圆柱的全面积与球的外表积的比是〔〕A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2 3．以下命题中的真命题的是〔〕 A ．各侧面都是矩形的棱柱是长方体； B ．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱； C ．各侧面都是等边三角形的四棱锥是正四棱锥； D ．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱；4．假如正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么A 1—ABD 的体积为〔〕 A ．213a B ．313a C ．413a D ．613a 5．其正棱锥的底面边长与侧棱相等，那么该棱锥一定不是〔〕出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥6．设圆柱和圆锥的底面半径都是r ，高是,h 假设要使圆柱侧面积小于圆锥侧面积，那么〔〕A ．h >r 3B ．r 33< h < r 3 C ．h <r 33D ．不存在这种可能性 7．湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，该球的半径〔〕A ．8cmB ．12cmC ．13cmD ．82cm8．圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为〔〕 A ．1200 B ．1500 C ．1800 D ．24009．一个棱锥的底面积是Q ，经过这个棱锥的高的中点作一个平行于底面的截面，那么这个截面的面积是〔〕A ．21QB ．31QC ．41Q D ．22Q10．设长方体的对角线为4，过一顶点有两条棱与对角线的夹角为600，那么此长方体的体积是〔〕A ．27332 B ．28 C ．38 D ．316 11．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是〔〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；A B C D 12．要制作一底面半径为4cm ，母线长为6cm 的圆锥，用一块长方形材料来做它的侧面，这样的长方形材料的长和宽的最小值分别是〔〕 A ．36cm 和9cm B ．36cm 和6cm C ．)36(cm 和9cm D ．12cm 和9cm二、填空题13．假设正方体的对角线长为3，那么正方体的全面积是14．假设正三棱锥的底面边长为,a 侧面积为,32a 那么它的体积是15．一直平行六面体的四个侧面全等，过不相邻的侧棱所作的两个截面面积分别是10和8，那么它的侧面积是 16．假如圆锥的底面半径为,r 高为,2r那么过此圆锥顶点的截面中，最大截面的面积是三、解答题17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图，两容器内盛的液体的体积正好相等，且液面高度h 正好一样，求.h18．点A，B在北纬450线上，点A在东经300线上，点B在东经1200线上，地球半径是R，求A、B两点的球面间隔。

高二数学(下)同步练测(24)[1]

高二数学（下）同步练测（24）[1]（§10.2 排列）【基础练习】1．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A ．20种 B.60种 C.120种 D.100种1．对于小于55的自然数，积（55-n ）（56-n ）……（68-n ）(69-n)等于 ( )A ．A n n --5569 B.A 1569n - C.A 1555n - D.A 1469n -3．8名同学排成2排每排4人，共有多少种排法（）A ．A 44+ A 44 B. A 44A 33 C. A 44 A 44 D. A 884．由0，1，3，5，7，9中任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（）A ． 30 B.21 C.25 D.205．某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有（）A ． 24种 B.12种 C.20种 D.22种6．书架上原来摆放着6本书，现在要插入3本不同的书，则不同的插法为（）A ．A 37 B.A 44 C. A 39 D.2A 337．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须在A 的右边，A 、B 可以不相邻，那么不同的排法共有（）A ．24 B.60 C.90 D.1208．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有（）A ．36个 B.72 C.48 D.609．（1）61099695932A A A A -+= ；（2）1)!-n!(n ]1)!-n ([n!++n = 。

10．从n 不同元素中选m(2＜m ≤n ＝个元素作排列，（1）排列总数为，其中某个元素只能排在某个位置上的排列为。

11．数字1、2、3、4、5可组成个三位数，个四位数，个五位数。

12．要排1 个有5 个独唱节目和3 个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为。

高二数学(下)同步练测(26)

高二数学（下）同步练测（26）（§10.1～§10.3 测试卷）班级学号姓名一、选择题1、幼儿园做游戏，从30名儿童中选3名分别扮演三种小动物，则不同的编排方法有（）A.A330B.C330C.A330A33D.C330C332、已知C2x=36，则x的值为（）A.7B.8C.9D.103、20个不同的小球平均分装到10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一格子中，则不同的取法一共有（）A.C510B.C520C.C510C12D.A210A124、用1、2、3、4、5五个数字可以组成多少个百位上不是3的无重复数字的四位数( )A.24个B.72个C.96个D.114个5、6名同学排成一排，其中甲乙必须排在一起的不同排法共有（）A．720种 B.480种 C.360种 D.240种6、有1克、2克、3克、4克四个砝码可以称不同重量的物品种数是（）A.64种B.15种C.11种D.12种7、从6双不同的手套中任取4只，其中恰好有两只是一双的取法有（）A.120种B.240种C.255种D.300种8、以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）A.12个B.24个C.36个D.72个9、用1、3、5三个数字组成无重复数字的自然数，再以这些自然数若干个为元素组成非空集合，这样的集合个数为（）A.26－1B.215－1C.26－2D.215－210、小李同学整理书架，把原来乱放的5本数学数和4本语文数归类摆放，有（）种摆放方法A.P55P44B.P99C..P44C45D.P55C411、某人练习射击，射击8枪命中4枪，这4枪中恰好有3枪连在一起的不同种数为（）A.72B.48C.24D.2012、某博物馆要在20天内接待8所学校的学生前去参观，其中一所学校因人数较多要连续参观3天，其余学校只需要1天，在这20天内不同的安排方法为（）A.C320A717B.A820C.C118A7317D.A1818种二、填空题13、由数字1、2、3、4、5、6任取若干个相加，和为偶数的取法有种。

全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则 A ．Eξ=3.5，Dξ=3.52B ．Eξ=3.5，Dξ=C ．Eξ=3.5，Dξ=3.5D ．Eξ=3.5，Dξ=2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是 A ．Eξ=0.1 B ．Dξ=0.1C ．P （ξ=k ）=0.01k ·0.9910－kD ．P （ξ=k ）=C ·0.99k ·0.0110－k3.已知ξ～B （n ，p ），且Eξ=7，Dξ=6，则p 等于 A ．B ．C ．D ．4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于 A ．0.2 B ．0.8 C ．0.196 D ．0.8045.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6，p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.16.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题1.设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.2.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________.3.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好.三、解答题1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.2.人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?3.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.4.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差..5.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.6.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.7.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过.8.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.9. 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p<1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值；（2）求的最大值.10. 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.全国高二高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A．Eξ=3.5，Dξ=3.52B．Eξ=3.5，Dξ=C．Eξ=3.5，Dξ=3.5D．Eξ=3.5，Dξ=【答案】B【解析】ξ可以取1，2，3，4，5，6．P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=，∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5Dξ=[（1-3.5）2+（2-3.5）2+（3-3.5）2+（4-3.5）2+（5-3.5）2+（6-3.5）2]×=，故选B。

高中数学同步练习函数的极值

第3章 §1 第2课时函数的极值A 级基础巩固一、选择题1．关于函数的极值,下列说法正确的是( D ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数[解析] 对于f(x)＝x 3,f′(0)＝0,但x ＝0不是f(x)的极值点,故A 不正确．极小值也可能大于极大值,故B 错,C 显然不对．2．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7( A )A ．在x ＝－1处取得极大值17,在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17,在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17,在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对[解析] y′＝6x 2－12x －18,令y′＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况见下表：∴当x 3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] y′＝x 3－x 2＝x 2(x －1),由y′＝0得x 1＝0,x 2＝1. 当x 变化时,y′、y 的变化情况如下表故选4．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列,且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b,c),则ad 等于( A ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列,∴ad ＝bc, 又(b,c)为函数y ＝3x －x 3的极大值点, ∴c ＝3b －b 3,且0＝3－3b 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.5．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确．．．．．的序号是( B )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④[解析] 对于③,f(x)在原点附近为增函数,∴f′(x)>0,而图像中当x>0时,f′(x)<0,∴③一定不正确；对于④,同理,导函数开始应在x 轴上方,④一定不正确,故选B.6．(2019·福州高二检测)函数f(x)＝x ＋1x 的极值情况是( D )A ．当x ＝1时,极小值为2,但无极大值B ．当x ＝－1时,极大值为－2,但无极小值C ．当x ＝－1时,极小值为－2,当x ＝1时,极大值为2D ．当x ＝－1时,极大值为－2；当x ＝1时,极小值为2 [解析] 函数定义域为{x|x≠0}, ∵f′(x)＝1－1x 2,令f′(x)＝0,解x ＝±1,∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递增,在(－1,0)和(0,1)上单调递减,当x ＝－1时,极大值为－2,当x ＝1时,极小值为2.选D.二、填空题7．函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.[解析] y ＝f(x)＝xe x ⇒f ′(x)＝(1＋x)e x,令f ′(x)＝0⇒x ＝－1,此时f(－1)＝－1e ,函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.8．已知f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1,x 1,x 2是f(x)的两个极值点,且0<x 1<1<x 2<3,则实数a 的取值范围为(3,113).[解析] f ′(x)＝x 2－ax ＋2, ∴x 1,x 2是f ′(x)＝0的两个根, 由0<x 1<1<x 2<3,结合二次函数的性质得： ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝2>0，f ′(1)＝1－a ＋2<0，f ′(3)＝9－3a ＋2>0.解得3<a<113.三、解答题9．(2018·天津文,20)设函数f(x)＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3),其中t 1,t 2,t 3∈R,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0,d ＝1,求曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若d ＝3,求f(x)的极值．[解析] (1)由已知,可得f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＝x 3－x,故f ′(x)＝3x 2－1.因此f(0)＝0,f ′(0)＝－1.又因为曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y －f(0)＝f ′(0)(x－0),故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2. 故f ′(x)＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x)＝0,解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表：函数f(x)的极小值为f(t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3. 10．(2018·北京文,19)设函数f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x. (1)若曲线y ＝f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a ； (2)若f(x)在x ＝1处取得极小值,求a 的取值范围． [解析] (1)解：因为f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x,所以f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x, f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0,即(2a －1)e 2＝0,解得a ＝12.(2)解：由(1)得f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x＝(ax －1)(x －1)e x.若a>1,则当x ∈1a ,1时,f ′(x)<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0. 所以f(x)在x ＝1处取得极小值．若a≤1,则当x ∈(0,1)时,ax －1≤x－1<0, 所以f ′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知,a 的取值范围是(1,＋∞)．B 级素养提升一、选择题1．(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝e x(sinx －cosx),x ∈(0,2017π),则函数f(x)的极大值之和为( B )A.e 2π(1－e 2016π)e 2π－1B.e π(1－e 2016π)1－e 2πC.e π(1－e 1008π)1－e2πD.e π(1－e 1008π)1－eπ[解析] f ′(x)＝2e xsinx,令 f ′(x)＝0得sinx ＝0,∴x ＝kπ,k ∈Z,当2kπ<x<2kπ＋π时,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当(2k －1)π<x<2kπ时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,∴当x ＝(2k ＋1)π时,f(x)取到极大值,∵x ∈(0,2017π), ∴0<(2k ＋1)π<2017π,∴0≤k<1008,k ∈Z.∴f(x)的极大值之和为S ＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2015π＝e π[1－(e 2π)1008]1－e2π＝e π(1－e 2016π)1－e2π,故选B. 2．对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0),给出定义：设f ′(x)是函数y ＝f(x)的导数,f″(x)是f ′(x)的导数,若方程f″(x)＝0有实数解x 0,则称点(x 0,f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512,则g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝( B )A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018[解析] 函数的导数g′(x)＝x 2－x ＋3, g″(x)＝2x －1,由g″(x 0)＝0得2x 0－1＝0,解得x 0＝12,而g(12)＝1,故函数g(x)关于点(12,1)对称,∴g(x)＋g(1－x)＝2,故设g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝m,则g(20162017)＋g(20152017)＋…＋g(12017)＝m,两式相加得2×2016＝2m,则m ＝2016.故选B. 二、填空题3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值,在x ＝3处有极小值,则a ＝－3,b ＝－9.[解析] y′＝3x 2＋2ax ＋b,方程y′＝0有根－1及3,由韦达定理应有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3,b ＝－9符合题意．4．已知偶函数y ＝f(x),对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x)cos x ＋f(x)sinx>0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有②③④.①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ②2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4③f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[解析] 令g(x)＝f (x )cosx,由已知得g′(x)＝f ′(x )cosx ＋f (x )sinx cos 2x >0,∴g(x)＝f (x )cosx 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递增,故得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,g(0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4, 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,∴2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4,①错误,②正确；③正确；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,④正确．三、解答题5．(2018·全国卷Ⅲ理,21)已知函数f(x)＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x)－2x. (1)若a ＝0,证明：当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时,f(x)＞0； (2)若x ＝0是f(x)的极大值点,求a.[解析] (1)证明：当a ＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x, f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x.设函数g(x)＝f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x ,则g′(x)＝x(1＋x )2.当－1＜x ＜0时,g′(x)＜0；当x ＞0时,g′(x)＞0,故当x ＞－1时,g(x)≥g(0)＝0,且仅当x ＝0时,g(x)＝0,从而f ′(x)≥0,且仅当x ＝0时,f ′(x)＝0.所以f(x)在(－1,＋∞)单调递增．又f(0)＝0,故当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时, f(x)＞0.(2)解：(ⅰ)若a≥0,由(1)知,当x ＞0时,f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x ＞0＝f(0), 这与x ＝0是f(x)的极大值点矛盾． (ⅱ)若a ＜0,设函数h(x)＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x)－2x2＋x ＋ax2.由于当|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,2＋x ＋ax 2＞0, 故h(x)与f(x)符号相同．又h(0)＝f(0)＝0,故x ＝0是f(x)的极大值点, 当且仅当x ＝0是h(x)的极大值点． h′(x)＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.若6a ＋1＞0,则当0＜x ＜－6a ＋14a ,且|x|＜f′min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＞0,故x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＜0,则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0,故当x ∈(x 1,0),且|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＜0, 所以x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＝0,则h′(x)＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2,则当x ∈(－1,0)时,h′(x)＞0；当x ∈(0,1)时,h′(x)＜0. 所以x ＝0是h(x)的极大值点,从而x ＝0是f(x)的极大值点．综上,a ＝－16.6．已知函数f(x)＝12x 2＋alnx.(1)若a ＝－1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1,求证：在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3的图像的下方．[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0,＋∞), 当a ＝－1时,f ′(x)＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ,令f ′(x)＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去),当x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,因此函数f(x)在(0,1)上单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0,因此函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增, 则x ＝1是f(x)的极小值点,所以f(x)在x ＝1处取得极小值为f(1)＝12.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x 2＋lnx －23x 3,则F ′(x)＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ,当x>1时,F ′(x)<0,故f(x)在区间[1,＋∞)上单调递减, 又F(1)＝－16<0,∴在区间[1,＋∞)上,F(x)<0恒成立, 即f(x)<g(x)恒成立．因此,当a ＝1时,在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．C 级能力拔高设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x, f′(x)≥m 恒成立,求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求a 的取值范围． [解析] (1)f′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2),由题意可知当x ∈(－∞,＋∞)时,f′(x)≥m 恒成立,即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立,所以Δ＝81－12(6－m)≤0,解得m≤－34,即m 的最大值为－34.(2)因为当x<1时,f′(x)>0；当1<x<2时,f′(x)<0；当x>2时,f′(x)>0,所以当x ＝1时,f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时,f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时,f(x)＝0仅有一个实根, 解得a<2或a>52.。