基本不等式的几种基本形式
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
基本不等式知识点归纳
向量不等式：【注意】：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似)代数不等式：同号或有； 异号或有.绝对值不等式：双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）放缩不等式：①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则；③，； ④，. ⑤,.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0).基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：（，）；*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11。
*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则222)11(2111b a ba +≥+。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
基本不等式的四种形式
基本不等式的四种形式基本不等式是数学中常用的一种关系式，它可以帮助我们解决各种问题。
本文将介绍基本不等式的四种形式，并通过具体例子进行说明。
第一种形式：a≥b这个不等式表示a大于等于b，即a可以是b或者大于b。
我们可以通过这个不等式来比较两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=5和b=3的大小关系。
根据基本不等式的第一种形式，我们可以得出结论：5大于等于3，即5≥3。
第二种形式：a≤b这个不等式表示a小于等于b，即a可以是b或者小于b。
同样地，我们可以通过这个不等式来比较两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=2和b=4的大小关系。
根据基本不等式的第二种形式，我们可以得出结论：2小于等于4，即2≤4。
第三种形式：a>b这个不等式表示a大于b，即a一定大于b。
我们可以通过这个不等式来判断两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=7和b=6的大小关系。
根据基本不等式的第三种形式，我们可以得出结论：7大于6，即7>6。
第四种形式：a<b这个不等式表示a小于b，即a一定小于b。
同样地，我们可以通过这个不等式来判断两个数的大小关系。
例如，我们要比较两个数a=1和b=8的大小关系。
根据基本不等式的第四种形式，我们可以得出结论：1小于8，即1<8。
基本不等式的四种形式可以帮助我们解决各种实际问题。
例如，在购物时，我们可以通过比较不同商品的价格来判断哪个商品更便宜。
假设商品A的价格是a，商品B的价格是b，根据基本不等式的四种形式，我们可以得出以下结论：1. 如果a≥b，则商品A的价格大于等于商品B的价格，即商品A 更贵。
2. 如果a≤b，则商品A的价格小于等于商品B的价格，即商品A 更便宜。
3. 如果a>b，则商品A的价格大于商品B的价格，即商品A更贵。
4. 如果a<b，则商品A的价格小于商品B的价格，即商品A更便宜。
通过基本不等式，我们可以更准确地比较两个数的大小关系，从而做出更合理的选择。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、,2,求证3、已知,求证：45、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y（4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值；变式14(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值；法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：值；变式5： （1）值；（2）若且,求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求关值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已知,,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。
基本不等式
1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①基本不等式原始形式（1）若，则（2）若，则②基本不等式一般形式（均值不等式）若，则③基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”④求最值的条件：“一正，二定，三相等”⑤常用结论（1）若，则(当且仅当时取“=”）（2）若，则(当且仅当时取“=”）（3）若，则(当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”⑥（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.⑦（当且仅当时取到等号）.（当且仅当时取到等号）.⑧（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑨，（其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑩绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：，，当且仅当时取号）。
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如将分子或分母放大（缩小），如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立。
基本不等式的变形
基本不等式的变形
基本不等式的变形指的是对基本不等式的一些操作，可以使原式变化成另一种形式，但其结果不变。
主要有四种操作：
1、同号相加：将不等式的两边都加上正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
2、翻转：如果不等式中有符号<或>，可以将其翻转变为>或<，同时将不等式的两边翻转。
3、同号相乘：将不等式的两边都乘以正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
4、分式变形：如果不等式的两边都是分式，可以尝试将分式化简或者将分式分解，使不等式变形，但结果不变。
基本不等式的变形及其应用
基本不等式的变形及其应用基本不等式公式：当a＞0，b＞0，则，(当a=b时，等号成立)基本不等式公式的变形：上述7式中，当a=b时，等号成立备注：1.求最值的条件：一正，二定，三相等一正：a，b的范围为正数二定：“a·b”之积为定值或者“a+b”之和为定值三相等：等号成立时，a=b2.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。
3.均值不等式：(a＞0，b＞0)，即“调和平均数”≤“几何平均数”≤“算术平均数”≤“平方平均数”，当a=b时，等号成立。
4.a3+b3+c3≥3abc (a+b+c＞0即可，当a=b=c或者a+b+c=0时，等号成立)常见题型一、凑系数(乘除变量系数)例题：当0＜x＜4时，求函数y=x(8-2x)的最大值解析：如果把x前面的系数变成2，那么2x+(8-2x)=8，为常数(和为定值)，这样就可以用基本不等式了。
原式变为，根据公式：，即，当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立。
备注：1.这题也可以用一元二次函数求最值的方法来做，但是如果基本不等式运用的熟练的话解题速度更快一些2.运用基本不等式或者其变形的核心观念就是两个数的积或者和是定值。
3.运用基本不等式或者其变形，最后一定要确认等号是否成立变式：当0＜x＜4时，求函数的最大值二、凑项(加减常数)例题：已知，求的最大值解析：备注：1.当a＜0，b＜0，那么2.再此强调，运用基本不等式及其变形时，一定要确保最值的条件“一正，二定，三相等”变式：已知x＞-1，求的最大值三、分离“分子”或“分母”例题：x＞-1，求函数de de dd的最小值解析：变式：当x＞0，求的最大值四、公式变形例题：求函数，求最大值解析：备注：当题目中所求式子带有根号的，通常要想到和这两个基本不等式的变形。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式九个方法
基本不等式九个方法
基本不等式求解方法
不等式是数学中用于比较两个表达式大小关系的工具。
基本不等式求解方法有九种，每种方法都适用于不同的类型不等式。
一、代入法
代入法是最简单的不等式求解方法。
将一个已知的值代入不等式中，如果不等式仍然成立，则此值即为不等式的解。
二、两边同加或同减
在不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式仍然成立。
这种方法可以简化不等式或消除分母。
三、两边同乘或同除
在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等式仍然成立。
但需要注意，如果乘以或除以负数，不等号方向将改变。
四、利用性质化简
利用不等式的性质，如传递性、反对称性、可加性、可乘性等，可以简化或化解不等式。
五、转化为等价不等式
将不等式转化为等价形式，即不等号方向不变的不等式。
这种
方法可以将复杂不等式转换为简单形式。
六、平方或开方
对于含未知数平方或方根的不等式，可以平方或开方（注意开
方时不等号方向可能改变），将不等式化为可解的形式。
七、分离系数法
对于含有系数的不等式，可以将未知数的系数提取出来，分离
在不等式的一侧，使不等式化简为求解系数的不等式。
八、判别式法
对于二次回不等式（二次方程形式），可以应用判别式法判定不等式的解集。
判别式为正则有两实根，为零则有一重根，为负则无实根。
九、数轴法
对于线性不等式，可以在数轴上标出不等式对应的解集。
这种方法形象直观，适用于简单的不等式求解。
以上九种方法是基本不等式求解的常用方法，熟练掌握这些方法对于解决不等式问题至关重要。
基本不等式的几种基本形式
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式2来自等于几何平均数。将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第五种基本形式: 两个平均数之间的大 小关系
探讨两个平均数之间的大小关系，如何利用这个关系解决问题。
常见不等式的证明
介绍一些常见的数学不等式，并讲解它们的证明过程。
Cauchy-Schwarz不等式的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得Cauchy-Schwarz不等式的等号成立。
2
代入数学公式
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出Cauchy-Schwarz不等式的证明。
拓展: Holder不等式
介绍拓展的不等式，如Holder不等式，以及其重要性和证明过程。
一个数列的算术平均数不小于其最小值。
平均数不小于最小值的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式
2
等于最小值。
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第四种基本形式: 平均数不小于几何平 均数
一个数列的算术平均数不小于其几何平均数。
平均数不小于几何平均数的证明过程
基本不等式的几种基本形 式
不等式是数学中一种重要的数学关系，基本不等式是其中最基础的形式。
第一种基本形式: AM≥GM
算术平均数（AM）大于等于几何平均数（GM），这是最基本且常见的不等式。
AM≥GM的证明过程
1
代入数学公式
2
将数学公式代入等式中。
基本不等式的运用条件
基本不等式的运用条件基本不等式是数学中常用的一种不等式形式，它是由数学家阿基米德首次提出并证明的。
基本不等式在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、代数、几何等等。
本文将从不等式的定义出发，介绍基本不等式的运用条件，并以具体例子进行说明。
一、不等式的定义不等式是数学中的一种比较两个数的关系式，与方程不同，它不要求两个数相等，而是强调两个数之间的大小关系。
一般来说，不等式有以下几种形式：1.小于号：a<b，表示a小于b；2.大于号：a>b，表示a大于b；3.小于等于号：a≤b，表示a小于或等于b；4.大于等于号：a≥b，表示a大于或等于b。
1.正数的不等式：如果a>0，那么a的任何正次幂(如a²、a³等)都大于0。
例如，如果a>0，则有a²>0，a³>0等等。
2.负数的不等式：如果a<0，那么a的任何负次幂(如a²、a³等)都大于0。
例如，如果a<0，则有a²>0，a³>0等等。
3.零的不等式：如果a=0，那么a的任何次幂(如a²、a³等)都等于0。
例如，如果a=0，则有a²=0，a³=0等等。
4.比较大小的不等式：当两个数a和b之间的大小关系已知时，可以通过比较大小的不等式来描述它们之间的关系。
例如，如果a>b，则有以下不等式成立：-a+c>b+c(加法不等式)-a-c>b-c(减法不等式)- ac > bc (乘法不等式，c > 0)- ac < bc (乘法不等式，c < 0)其中，c可以是任意实数。
5.绝对值的不等式：绝对值是一个数与零的距离，用符号，表示。
当一个数与另一个数的距离小于等于一些数时，可以用绝对值的不等式来表示。
例如，如果，a-b，≤c，则有以下不等式成立：-a≤b+c-a≥b-c其中，c为非负实数。
基本不等式三个字母
基本不等式三个字母
《基本不等式三个字母》
不等式是数学中的一种基本概念，它用来表示两个数之间的大小关系。
它的基本形式由三个字母组成：a、b、c，其中a、b是两个数字，c表示大小关系。
当c为“>”时，表示a大于b；当c为“<”时，表示a小于b；当c为“=”时，表示a等于b；当c为“≥”时，表示a大于等于b；当c为“≤”时，表示a小于等于b。
不等式的应用非常广泛，它不仅可以用来描述两个数之间的大小关系，还可以用来表示一组数之间的大小关系，从而解决各种数学问题。
不等式是数学中的一种基本概念，它以三个字母的形式表示两个数之间的大小关系，应用非常广泛，为解决各种数学问题提供了有力的帮助。
基本不等式的变式
基本不等式的变式基本不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决各种问题，尤其是在数学建模和优化问题中起到关键的作用。
在本文中，我们将探讨基本不等式的一些变式，以及它们在实际问题中的应用。
一、基本不等式的变式之加法不等式加法不等式是基本不等式的一种变式，它的形式如下：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
这意味着当我们在不等式两边同时加上或减去一个数时，不等式的方向保持不变。
这个性质在解决实际问题中经常会用到。
例如，当我们需要比较两个数的大小时，可以通过在它们两边同时加上或减去一个数来进行比较，从而得到它们的大小关系。
乘法不等式是基本不等式的另一种常见变式，它的形式如下：若a>b且c>0，则ac>bc。
这意味着当我们在不等式两边同时乘以一个正数时，不等式的方向保持不变。
这个性质在解决实际问题中也非常有用。
例如，在求解最优化问题时，我们常常需要将目标函数乘以一个正数，以便改变问题的尺度或者调整问题的权重。
三、基本不等式的变式之平方不等式平方不等式是基本不等式的另一个重要变式，它的形式如下：若a>b，则a^2>b^2。
这意味着当我们对不等式两边同时取平方时，不等式的方向保持不变。
这个性质在解决实际问题中非常常见。
例如，在求解几何问题中，我们常常需要比较两个长度或者面积的大小，可以通过对它们的平方进行比较来得到结果。
四、基本不等式的变式之倒数不等式倒数不等式是基本不等式的另一种常见变式，它的形式如下：若a>b且a，b均为正数，则1/a<1/b。
这意味着当我们对不等式两边取倒数时，不等式的方向会发生变化。
这个性质在解决实际问题中也经常会用到。
例如，在求解概率问题时，我们常常需要比较两个事件的概率大小，可以通过对其取倒数进行比较来得到结果。
五、基本不等式的变式之复合不等式复合不等式是基本不等式的一种复杂形式，它由多个基本不等式通过逻辑运算连接而成。
不等式基本公式
不等式基本公式不等式是数学中重要的研究对象之一，它在数学及其应用中起着重要的作用。
在不等式的研究中，有一些基本的公式和定理是非常有用的，可以用来解决各种不等式的问题。
以下是一些不等式的基本公式和相关参考内容。
1. 一次不等式公式：对于任意实数a，b和c，有以下公式：（1）加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。
（2）减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。
（3）乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。
（4）除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。
2. 平方不等式公式：（1）平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。
（2）平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。
3. 二次不等式公式：（1）零点判别法：对于任意实数a，b和c，二次函数f(x) =ax² + bx + c的零点x0满足以下关系：当Δ = b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ = b² - 4ac < 0时，方程没有实数根。
（2）二次函数开口情况：对于任意实数a，二次函数f(x) = ax²的开口情况有以下几种情况：当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
4. 常见不等式：（1）Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有以下不等式：(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²。
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【探究3】
4 当x (0, ]时, 函数y sin x 的最小值 2 sin x 4 4 可否由sin x 2 sin x 4得到? sin x sin x
小结
运用基本不等式求最值必备的三个
条件：
一正、二定、三相等
【例题1】
1 1 已知0 x , 求y x(1 2 x )的最大值. 2 2
1. 和定积大于积定和小
（1）如果x y是定值S , 那么x y时，积xy有 1 2 最大值 S . 4 （2）如果xy是定值P , 那么x y时，和x y有 最小值2 P .
2. 运用基本不等式求最值必须同时满足 的三个条件.
（1）各项均为正数（一正 ）； （2）其和或积为常数（二 定）； （3）等号必须成立（三相 . 等）
3、探索运用基本不等式求最值的条件 【探究1】
x 1 1 x 1 能否由 2 x 2说明函数y x x x 的最小值是2 ?
【探究2】
1 当x 0时，函数y x 的最小值能否由 x 1 1 2 2 1 2 x 2 x 2 x , 当x 即x 1时 x x x 1 2 取等号，从而 2得到? x x
一、温故知新
1、基本不等式的几种基本形式
（1）a b 2ab，当且仅当a b时， 等号成立.
2 2Βιβλιοθήκη ab （2） ab （a 0, b 0） 2
2、不等式链
a 2 b2 a b 2 ab (a 0, b 0) 1 1 2 2 a b
二、新知探究
必修五《考一本》第30课时
【例题2】
求下列函数的最值: 4 （1）已知x 0, 求y 2 x 的最大值. x 1 （2）已知x 2, 求x 的最小值. x2 2 x x 1 （3）已知x 1, 求f ( x ) 的最小值. x 1
【例题3】
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 池, 其容积为4800m3, 深为3m. 如果池底每 平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造 价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少？
1. a>0, b>0, ab=P为定值，则a+b有
最_____值，为______。
2、a>0, b>0, a+b=S, 则ab有最_____
值，为_________.
【练习】 (1) 用篱笆围一个面积为100m2的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2) 一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？