古典概型2

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古典概型(2)

0.44 251 22 1 在处波动较大 249 25 0.50 2 21 0.42 256
6
7
2
4
0.54
258
0.516
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：抛掷次数 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000 72 088 正面向上次数 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124 频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011
课堂讨论
1.一年按365天算，2名同学在同一天过生日的概率为____________ 1/365
2.已知甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为____________ 1/2
数学建构
古典概型的概率
如果一次试验的等可能基本事件共有n 1 个，那么每一个基本事件的概率都是。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本 m 事件，那么事件A的概率 P ( A)
n
数学应用
例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件 :
1我国东南沿海某地明年将 3 次受到热带气旋的侵袭 ; 2若a 为实数, 则 | a | 0 ; 3某人开车通过10 个路口都将遇到绿灯 ; 4抛一石块, 下落 ; 5一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6 ,
1 2 3 4 5
n5
n 50
f
0.4 0.6
nH
2 3
nH
f
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
1
5 1
0.2

§3.2.1古典概型(2)

喜欢电脑游戏
18
不喜欢电脑游戏
8
列总数
26
9
27
15
23
24
50
如果校长随机地问这个班的一名学生, 下面事件发生的概率是多少?(1) 认为作业多; (2) 喜欢电脑游戏并认为作业不多.
解：（1）从50人中抽1人, 有50个基本事件, 认为作业多的26人, 在这个事件中抽1人, 有26个基本事件.
∴认为作业多的概率是
P(“能取到钱”)＝ “能取到钱”所包含的基本事件的个数 1
10000
10000
例5、某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随即抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
分析:抽出的 2 听中, 只要有不合格产品就算检测出不合格产品了，即抽到 1 听或 2 听不合格产品都为事件发生.
解：记5本不同的语文书分别为a，b，c，d，e，4本不同的数学书分别为M，N，P，Q，从中任意取出2本，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a， M)，(a，N)，(a，P)，(a，Q)；
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，M)，(b，N)，(b，P)，(b，Q)；
(c，d)，(c，e)，(c，M)，(c，N)，(c，P)，(c，Q)；
球同 1- 1 2 . 33
色
→
甲
取出的两个球同色
球→甲胜
胜
→甲胜
取出的球是白取出的两个球不同色→ 取出的两个球不同
球→乙胜
乙胜
色→乙胜
P(“红球”) 1
2
P(“同色”) 2（2 1） 1 .
43 3
P(“同色”)
32 1. 43 2

古典概型2

4 350 A4
（350种）
4 350 A4 8400 525 P= = = 7 4 16384 1024
小球放置问题
(4）将12个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，是的盒内小球数不少于其编号的概率为多少？关键词：相同的小球，不同的盒子，（转换为隔板问题）不少于其编号的情况第二盒子先放1个小球，第三个盒子先放2个小球。转换为每个盒子至少放一个小球的问题。而总的问题为每个盒子假设放1个小球，问题同样转化成每个盒子至少放一个小球的问题
C A
4 7
4 4
C C A
3 7 2 5
4 4
总的情况：
47
（16384）
525 P= 1024
小球放置问题
6、将5个不同的小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，恰有一个空盒的概率为多少？解析：恰有一个空盒总情况：
2 1 1 C 1 4 5 C3 C2 C5 A 4 3 A3
（1200）（3125）
3 C6 20 1 P= 3 = = C10 120 6
(4) 将7个不同的小球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子里至少有一个球的概率是？
小试身手
(2013新课标)从n个正整数1,2，...，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 1 14 则n=?
答案n=8
小试身手
（2011陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会 ”他们约定，各自独自地4个进行从1号到6号景点中任取4个进去游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（） 1 A B 1 C 5 D 1 9 6 31 36 答案：甲、乙参观每个景点是随机且独立的，在最后一个小时参观那个景点是等可能的，甲有6种可能，乙有6中可能基本事件的总空间总数=36，两个人在同一个景点的基本事件数6，。 1 P 6

古典概型2

古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。

强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。

一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别掌握要点：分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。

做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合例题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算：（1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。

古典概型(2)

复习回顾：古典概率
概率初步
（1）古典概型的适用条件： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等. （2）古典概型的解题步骤： ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)=
不重不漏
A包含的基本事件的个数基本事件的总数
答（1）试验的基本事件的总数为16个
13 （2）出现点数之和大于3的概率为 16 1 （3）出现点数相同的概率为 4
9 探究（1）点数之和为质数的概率为多少？ 16
（2）点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？ 5; 1 4
例2 用3种不同颜色给图3-2-3中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率．
9 布），则该试验的基本事件数是______，平局的
1 1 概率是__________，甲赢乙的概率是________， 3 3 1
乙赢甲的概率是___________． 3
例题分析
【例4】同时掷两个骰子,计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？（4）两数之和是3的倍数的概率是多少？
出树形图观察基本事件的总数．
图3
1
1
1
1
2
2
2
3
2
3
3
3
变式：一次摸一只球，摸两次，求“出现一只白球、一只黑球”的概率是多少？
例3与例3的变式有何区别？例3是取后再放回，属于有序可重复类型；而变式是取后不放回，属于有序不重复类型。
在古典概型的实际问题中，我们一定要注意审题，从而准确的写出实际问题中的基本事件。

3.2.1 古典概型(2)

2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为__0_._2____.
8．某班数学兴趣小组有男生 3 名和女生 2 名，现从中任选 3 名学生去参加学校的数
学竞赛，求
（1）恰有一名参赛学生是女生的概率 3/5 （2）至少有一名参赛学生是女生的概率 9/10 （3）至多有一名参赛学生是女生的概率 7/10
古典概型（2）
1.了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点) 2.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点) 3.会用列举法求古典概型的概率．(重点)
复习回顾
1、什么是基本事件？基本事件有何特点？一次试验中可能出现的每一个结果都称为一个基本事件
基本事件有两个特征：（1）任何两个基本事件是互斥的；
64
8
5．甲、乙两人玩出拳游戏一次（石头、剪刀、布），则该试验的基本事件数是___9___，平 6．局从的编概号率为是1_1到 _/_3_1，00甲的赢卡乙片的中概,任率取是一_1_张/_3_,_所，得乙编赢号甲是的4概的率倍是数__的_1_概_/_率 3__为_． __0_._2_5___.
7．现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取
变式用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形
只涂一种颜色，求：
1
(1)3个矩形颜色都相同的概率；9
(2)3个矩形颜色都不同的概率；92
A
BC
达标检测
1．4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的卡片上
的数字之和为奇数的概率为( C )
1 n
P( A)

古典概型(2)

古典概型（2）一、课前练习：1、从1~20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是。

2、从长度为1、3、5、7、9的5条线段中，任取三条，能构成三角形的概率是。

3、将一枚均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面的概率为。

【问题1】你是用什么方法解决以上3个问题的？【问题2】以上3个问题的共同特征是什么？二、数学应用例1、将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数（1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？【问题3】你能直观地表示出两次抛掷同骰子向上的点数吗？【问题4】用古典概型解题的一般步骤怎样？例2、用4种不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【问题5】若4种不同的颜色记分别为A、B、C、D，能直观地表示出给图中的3个矩形随机地涂色情况吗？例3、一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【问题6】若被锯成9个同样大小的小正方体，则这9个小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？【问题7】1000个同样大小的小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？例4、有甲、乙、丙三名同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起，现在三人均从中抽取一张，（1）求这三位同学恰好都抽到别人贺卡的概率；（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率；【问题8】若条件改为四个人呢？三、课堂小结1、有哪些方法列举古典概型中的基本事件？2、古典概型解题的一般步骤怎样？【课时作业】1、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .（结果用最简分数表示）2、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为y x ,，则使1log 2=y x 的概率为3、现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为9.28.27.26.25.2，，，，，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差m 3.0的概率为4、同时抛掷两个骰子，①向上的点数相同的概率为；②向上的点数之积为偶数的概率为。

3.2.2古典概型2

3.2.2古典概型2一、学习目标1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：（2）掌握古典概型的概率计算公式：2、过程与方法：通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3、情感态度与价值观：体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、学习重难点重点:正确理解掌握古典概型及其概率公式.难点：会解决实际问题三、学法指导1．认真阅读教材128—130页。

会判断是否满足古典概型。

2．小班完成任务100%，重点班完成90%，平行班完成75%。

四、知识链接1、古典概型的两个基本特征是和。

2、古典概型的计算公式：。

3、基本事件的特点：五、学习过程【A】例1假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个，假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？【A】例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.【A 】例3天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40﹪,求这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？解：①你认为这道题能用古典概型的概率计算公式来求么？②用计算机和计算器产生随机数（看书上130～131页）③对于上述实验，如果亲手做大量重复实验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟实验可以大大节省时间。

请通过设计随机模拟实验的方法来解决问题。

B 例4 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，①每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

②每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

六、达标训练【A 】1、先后抛掷3枚均匀硬币，事件A=“出现两枚正面，一枚反面”，B=“至少出现一枚正面”，则事件A,B 的概率为( )A 83 , 81B 32 87C 83,87D 31,97【A 】2、从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（） A.51 B.52 C.103 D.107【A 】3、某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（） A 41 B.21 C.31 D.1【A 】4、四位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则四人拿走的都是自己的帽子的概率为【A 】5、从含有两件正品a,b 和一件次品c 的三件产品中任取2件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

古典概型 (2)

一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出
三个球，其中有多少个基本事件？
基本概念
方法探究
典型例题
课堂训练
课堂小结
1点
2点
3点
4点
5点
6点
问题1：在一次试验中，会同时出现 “1点” （ 1）
与 “2点”
这两个基本事件吗？不会任何两个基本事件是互斥的（ 2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？ “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？ “1点” “2点” “3点” “4点”
P （A）＝
A所包含的基本事件的个数 2 ＝基本事件的总数 21
因此，在投掷两个骰子的过程中，我们必须对两个骰子加以标号区分
巩固练习
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： 0.25 (1)两枚硬币都出现正面的概率是 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5 4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的 4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25
思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面朝上” 的概率是多少？ 1
2
②在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现点数为1”的概率是多少？ 1
6
③在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现奇数点”的概率是多少？
3 1 6 2
m P ( A) n
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）
从集合角度看古典概型的概率：

古典概型(2)

3 (1) 4 11 (2) 12
小知识
概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从 1657年惠更斯的那时起直到十九世纪初，那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时二十世纪初至第二次世界大战前，期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇── ──洛密克抽样表到序贯计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。方程、随机几何等理论。

B3.2.1 古典概型(2)

§3.2.1 古典概型（二）通过典型例题，较为深入地理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式..学法指导1、对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型，它包含的互斥事件或基本事件的个数往往较多，计数比较麻烦，这时，可考虑其对立事件，减少计算量；2、灵活构造等概样本空间，简化运算；随机事件，基本事件，对立事件，互斥事件和概率加法公式【例题讲评】例1一盒中装有质地相同的各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球。

求：（1）取出球的颜色是红或黑的概率；（2）取出球的颜色是红或黑或白的概率.例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.例3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

变形：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，一次取两件，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

例4掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

解法一分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解法二分析：也可以把试验的所有可能结果取为{点数是奇数}和{点数为偶数}两个样本事件，它们互为对立事件，并且组成等概样本空间。

变形：一次掷两颗骰子，观察掷出的点数，求掷得点数和是奇数的概率。

例5现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．例6 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一个；（3）取到的2只中至少有一只次品。

古典概型(二)

§3.2.1古典概型(二)撰稿人：高一数学组姓名：班级：【基础回顾】1．基本事件有哪些特征？2．如何判断一个试验是否是古典概型？3．古典概型的概率公式是什么？【典型例题】类型1.有序与无序问题例1从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[变式训练]一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．类型2.数字型例2．某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．[变式训练]储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？类型3.概率与统计的综合问题例3.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．[变式训练]编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．类型四.古典概型与方程相结合问题例4.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【课后作业】1．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{}1，2，3，4，5，6，若a ＝b 或a ＝b －1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.736B.14C.1136D.5122.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.7103．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )A.19B.29C.13D.594．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全B ．颜色不全C ．颜色全不同D ．无红球5．有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了27个小正方体，将这些小正方体混合后，放入一个口袋，现从口袋中任意取出一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是________．6．如图所示，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．7．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位： cm)，获得身高数据的茎叶图如下所示.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．。

第4课时古典概型(2)

第4课时古典概型(2)|知识技能1. 进一步掌握古典概型的概率计算公式．2. 会求“不放回抽取”“有放回抽取”古典概型的概率．思想方法通过对古典概型问题的探究，熟练掌握列举法、列表法、树状图法等计算样本点的方法，体会数学知识与现实世界的联系，增强逻辑分析能力．核心素养1. 通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养．2. 在用古典概型的概率公式计算概率的过程中，发展数学运算素养．重点：古典概型概率公式的运用．难点：准确找出所有的样本点．问题导引1. 古典概型的两个特征是什么？古典概型的概率计算公式是什么？2. “从盒子中一次取出两个球，观察这两个球的颜色”与“从盒子中取出一个球放回，再取出一个球，观察这两个球的颜色”是一回事吗？即时体验1. 计算样本点个数的方法有列举法、列表法、树状图法.2. 从1, 2, 3, 4这四个数字中，任取两个数字，取出数字之和为偶数的概率是13.3. 袋中装有红色球、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是8.提示从装有红、白两球的袋中有放回地取出1个球，所有取法如下：共有8个样本点．[1] 通过本例较复杂概率的计算，进一步巩固古典概型概率公式的运用.一、数学运用同时抛掷两枚骰子，观察向上的点数，求：(1) 点数之和为7的概率；(2) 出现两个1点的概率；(3) 点数之和能被5整除的概率．[1](见学生用书课堂本P123)[处理建议]先利用“有序实数对”列出所有的样本点，然后从中找到所求各事件包含的样本点，从而根据古典概型算出各事件发生的概率．[规范板书]解第一枚骰子向上的点数有6种可能的结果，对每一种结果，第二枚又都有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36种不同的可能结果．样本点(1, 2)表示“第一枚骰子向上的点数为1，第二枚骰子向上的点数为2”(其他类推)，则样本空间Ω＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)，(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)，(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)，(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)，(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)，(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}．如图，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个．(例1)(1) 设事件A＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和为7”，从图中可以看出，A＝{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}，由古典概型可知P(A)＝636＝16.(2) 设事件B＝“同时抛掷两枚骰子，出现两个1点”，从图中可以看出，B＝{(1, 1)}，由古典概型可知P(B)＝1 36.(3) 设事件C＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和能被5整除”，从图中可以看出，C＝{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}，由古典概型可知P(C)＝736.[题后反思](1)在抛掷两枚骰子的问题中，样本空间总数为36，可以借助坐标系(或表格)来计算所求事件包含的样本点个数，这样更直观，不易出错；(2)本题是两个点数之和，也可以变成两个点数之积、两个点数之差，使问题的背景类似，但对不同问题要作不同分析．在两个袋内，分别装着写有0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，求：(1)两张卡片上数字之和等于7的概率；(2)两张卡片上数字之积能被3整除的概率．[规范板书]解(1) 试验结果如表所示：等于7”含有4个样本点，所以所求事件的概率为436＝19.(2) 试验结果如表所示：能被3整除”含有20个样本点，所以所求事件的概率为2036＝59.[2] 较复杂概型的计算．[3] 了解不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.用3种不同的颜色给下图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1) 3个矩形颜色都相同的概率；(2) 3个矩形颜色都不相同的概率．[2](见学生用书课堂本P123)[处理建议]考虑画树状图，不重不漏地列出所有可能的情况．[规范板书]解假设三种颜色分别为黑、白、灰，画图列出各种情况如下，则样本空间中共包含27个样本点．(1) 设事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的样本点有1×3＝3个，故P (A )＝327＝19.(2) 设事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的样本点有2×3＝6个，故P (B )＝627＝29.因此，3个矩形颜色都相同的概率为19， 3个矩形颜色都不同的概率为29. [题后反思] 题目条件中的“随机”的意思是每个小矩形被涂三种颜色中的任意一种颜色的可能性是相同的．本题亦可以用列举法来表示，记三种不同的颜色分别为1, 2, 3，样本点(1, 1, 2)表示“第一个矩形涂1号色，第二个矩形涂1号色，第三个矩形涂2号色”(其他类推)．甲、乙、丙3人站成一排合影留念，求甲、乙两人恰好相邻的概率．[规范板书] 解甲、乙、丙3人站成一排，样本空间为Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共有6个样本点，这6个样本点都是等可能的．设事件A ＝“甲、乙两人相邻”，则A ＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，根据古典概型可知P (A )＝46＝23，即甲、乙两人恰好相邻的概率为23.[题后反思]列举样本点时，要按照顺序列出，确保不重不漏.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．[3](见学生用书课堂本P124)[处理建议]认真分析题意，弄清是何种抽样方式，再看是否符合等可能性，最后运用古典概型的概率公式计算．[规范板书]解将三道选择题依次编号为1, 2, 3，两道填空题依次编号为4, 5.(1) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A＝“每一次选1题(不放回)，所选的题不是同一种题型”，则A＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(A)＝1220＝35.(2) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B＝“每一次选1题(有放回)，所选的题不是同一种题型”，则B＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(B)＝12 25.[题后反思](1)“不放回抽取”的特点是元素不能重复，“有放回抽取”的特点是元素允许重复．一定要认真审题，弄清题目是有放回抽取还是不放回抽取．抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同．(2)关于不放回抽取，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其计算概率的结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．[4] 对抛掷骰子试验，通过不同的角度巩固对古典概型概率公式的运用.现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品．(1) 若有放回地取件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2) 若从中一次取3件，求3件都是正品的概率．[处理建议](1)为有放回抽样，(2)为不放回抽样．[规范板书]解(1) 有放回地抽取3次，按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x, y, z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种，即样本空间共有样本点103个．设事件A＝“连续3次取出的都是正品”，易知A包含的样本点共有8×8×8＝83个，因此，P(A)＝83103＝0.512.(2) (方法一)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，则基本事件不同．按抽取顺序记录(x, y, z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的样本点共有10×9×8＝720个．设事件B＝“3件都是正品”，则B包含的样本点共有8×7×6＝336个，所以P(B)＝336720≈0.467.(方法二)可以看作不放回地3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120，按同样的方法，事件B包含的样本点个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.*抛掷两枚骰子，得两个点数，大数减小数的差为d, 是否有一个差比其他差更可能出现？[4][处理建议]用列表法直观地列出各个差出现的样本点．[规范板书]解抛掷两枚骰子，一共有36种可能的点数，即36个样本点，样本空间可表示为Ω＝{(i, j)|i＝1, …，6; j＝1, …，6}．下表给出大数减小数的差d＝k(k＝0, 1, 2, …，5)时事件所包含的样本点及其个数．P(d＝0)＝636＝16，P(d＝1)＝1036＝518，P(d＝2)＝836＝29，P(d＝3)＝636＝16，P(d＝4)＝436＝19，P(d＝5)＝236＝118.其中d＝1出现的概率最大，d＝5出现的概率最小．[题后反思]运用古典概型解决问题，首先要先判断试验是否为古典概型．对于比较复杂的问题可以考虑用列表法或树状图法直观观察．二、课堂练习1. 根据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的．如果允许生育二胎，那么某一育龄妇女两胎(不考虑双胞胎或多胞胎的情况)均是女孩的概率是14.提示两胎的情况共有4种，故两胎均是女孩的概率为1 4.2. 从集合A＝{1, 3, 5, 7, 9}和集合B＝{2, 4, 6, 8}中各取一个数，这两个数之和能被3整除的概率为(D)A. 13 B.110C. 320 D.7203. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)A. 16 B.14C. 13 D.12提示设两位男同学分别为A, B，两位女同学分别为a, b，用树状图表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24个样本点，其中事件“两位女同学相邻”的样本点(画“√”的情况)共有12个，故所求概率为1224＝12.4. 分别在集合A＝{1, 2, 3, 4}和集合B＝{5, 6, 7, 8}中各取一个数．(1) 求其和为偶数的概率；(2) 求其积为偶数的概率．解因为对于A中数的每一种取法，对应对B中的数都有4种取法，故样本空间中的样本点的个数为4×4＝16，并且所有这些取法都是等可能的．(1) 若和为偶数，则所取两数必须都是奇数或都是偶数，故事件“其和为偶数”＝{(1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8)}，包含8个样本点，所求概率为816＝1 2.(2) 若积为偶数，则只要其中有一个数是偶数即可，故事件“其积为偶数”＝{(1, 6), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}，包含12个样本点，故所求概率为1216＝34.三、课堂小结1. 古典概型的特征：一是样本点的有限性；二是样本点的等可能性．2. 解决古典概型问题的操作步骤：(1) 明确样本空间；(2) 明确所有样本点是否是等可能发生的；(3) 确定所有样本点的个数n；(4) 确定事件A包含样本点的个数m；(5) 计算事件A的概率m n.3. 求样本空间中样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数m，常用列举法、列表法、树状图法．4. 注意不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.。

古典概型2

20 5
(2)如果标签是有放回的，按抽取顺序记录结果 ( x, y)，则x有5种可能，y有5种可能，共有可能结果5 5＝25种.因此，事件A的概率是 8 .
25
练习1、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834
907 113 966 191 432 256 393 027 556 755 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在 1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是： 113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为 240＝20%.
用随机模拟估计概率
例3：种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
审题指导由于每个结果出现的可能性不相等，
故不能应用古典概型概率公式．主要考查随机模
拟的方法．
[规范解答] 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活， 1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组可产生30组随机数：

69801 29747 37445 61017 94976
66097 24945 44344 45241 56173
77124 57558 33315 44134 34783
22961 65258 27120 92201 16624
74235 74130 21782 70362 30344
31516 23224 58555 83005 01117

【数学】3.2《古典概型(2)》课件(北师大版必修3)

P(A)=12/24=0.5
模型2 模型利用试验结果的对称性,因为是计算因为是计算“ 利用试验结果的对称性因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情况, 摸球的情况
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 2 2
2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2
1 2 2 1
1 1 2 1
总共有 24种结种结果，而第二个摸到红球的结果共有 12种。种
3.抛掷两枚均匀的骰子出现数字之积为抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为抛掷两枚均匀的骰子偶数与出现数字之积为奇数的概率分别 27/36 、______. 是_____、9/36
1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36
§3.2 古典概型
温故知新 1.古典概型的概念古典概型的概念 1)试验的所有可能结果试验的所有可能结果( 基本事件)只有 1)试验的所有可能结果(即基本事件只有只出现其中的一个结果有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。每一个结果出现的可能性相同 2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式古典概型的概率公式 m( A包含的基本事件数 ) P( A ) = n( 基本事件总数 ) 3.列表法和树状图列表法和树状图

古典概型2

例1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是Ω ={1, 2， 3, 4，5，6} ∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6} ∴m=3 3 1 ∴P(A) =
6
2
变式：掷两颗均匀的骰子，求掷得点数之和大于5的概率。
例 2 ：假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成，每个数字可以是 0 ， 1 ， 2… ， 9 十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动提款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验，试验的基本事件（所有可能的结果）共有10 000种，它们分别是 0000 ， 0001 ， 0002 ， … ， 9998 ， 9999. 由于是随机地试密码，相当于试验的每一个结果试等可能的．所以 P(“试一次密码就能取到钱”)
＝
“试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000 ＝1/10000 ＝0.0001
分析：因为有放回地随机摸取3次球的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等，故是古典概型.因此，只要把所有的事件列举出来，就可以用古典概型的计算公式进行求解.
Байду номын сангаас
1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别
为x,y，则log2xy＝1的概率为( （A）
1 5
)
1 12
（B）
答：随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001．
例3：某种饮料每箱装 6听，如果其中有 2 听不合格，问质检人员从中随机抽取 2听，检测出不合格产品的概率有多大？
解：我们把每听饮料标上号码，合格的 4听分别记作： 1， 2， 3， 4，不合格的 2听分别记为 a， b，只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.

古典概型2

古典概型(2)

§3.2.1古典概型(2)

古典概型2

古典概型2

古典概型(2)

3.2.1 古典概型(2)

古典概型(2)

3.2.2古典概型2

古典概型 (2)

古典概型(2)

B3.2.1 古典概型(2)

古典概型(二)

第4课时 古典概型(2)

古典概型2

【数学】3.2《古典概型(2)》课件(北师大版必修3)

古典概型2

第4课时古典概型(2)