函数零点的个数的几种判断方法
零点问题的讲解版
零点问题的求解策略（讲课版）2018.7.9函数零点问题的定性判定：1、二次函数零点：由二次函数的判别式来决定零点的个数；若是区间上的问题，还应考虑区间上的最值问题；2、超越函数的零点问题：由于零点不能直接通过方程求出，从而采用一种“试根法”；即为《零点存在性定理》。
定理内容：（请填空）已知函数()f x 在闭区间[],a b 上__________________，并且()f a 与()f b 中_____________，则在该区间内__________________个零点。
函数零点问题的定量问题：1、二分法（此处不做介绍）2、导数引入：超越函数较难解决方程的直接求解，那么不得不引入导函数这一个工具，，导数可以研究函数的_________________，_____________________。
并且零点与上述两个因素密不可分。
3、优先考虑的方法：分离参数法，研究不带参数的函数，通过参数变化以及图像直接求解，但是计算较为繁杂；4、分类讨论，讨论含有参数的函数。
【答案】单调性，最值与极值，/3、、判断零点个数，零点存在性定理与单调性的结合就体现了出来哦！下面一起来探究几个问题吧！（1）()f x 是R 上的连续函数，且在[],a b 上单调，那么函数的零点个数为几个？（2）若上述函数不单调，存在一个极值点，那么函数的零点个数如何判定？（3）若函数存在两个极值点（三次函数为例，后期将专题讲解）则零点个数又该如何判定呢？通过上述的三个思考，如何深入这类问题？1、零点问题与函数的极值，最值，单调性有着密不可分的关系；2、零点存在性定理与单调性结合形成既定性又定量的关系；3、单调函数不一定有零点，取决于它的极限值。
4、（难点）超越函数的试根方法，涉及取点，隐零点，极限问题。
那么如何取点，也是一个问题；隐零点又如何确定？（答：设而不求，过渡）涉及的命题点：1、函数的最值又是一个以参数为主元的函数，决定零点的个数，对含参数函数的研究；2、求导数以后导函数是一个超越函数，不便于求零点，那么构造这个函数研究其零点问题；3、涉及函数的极限问题，单调函数是否只有一个零点？它有没有渐近线？预测结果，可以考虑函数的阶吗？（极限）如果需要探究，这里试根法显得尤为重要，如何取点？怎样取点？隐零点如何突破？下列请看两道高考试题：【例1】（2017年新课标全国卷I ）已知函数()()22x x f x ae a e x =+--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
利用函数图象确定零点个数
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀利用函数图象确定零点个数◉江苏省南通市海门第一中学㊀曹㊀兵㊀㊀在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论．理论１:函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．理论２:如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)＜０,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在cɪ(a,b),使得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x)＝０的解．理论３:函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点⇔方程g(x)－f(x)＝０有解,即g(x)－f(x)＝０有实数根⇔函数g(x)－f(x)＝F(x)有零点．上面的分析以及相应的三个结论,如果从纯粹的数学知识的角度来看,属于高中数学知识体系当中的重要内容．学生掌握这些内容,一方面可以完善自己的认知体系,另一方面可以形成较强的问题分析与解决能力．但笔者以为仅有这样的认识是不够的,因为利用函数图象确定零点的个数,更是在一定程度上体现了数学学科的内在特点,同时也体现出了数学思想方法的应用[１]．其中,最典型的思想就是数形结合思想．根据笔者的调查研究发现,尽管几乎所有学生在数学知识学习与运用的过程当中都能体会数形结合思想,但很多时候学生的这种体会并没有上升为数学意识,这也就导致很多学生在学习新的数学知识或在解题的时候,难以有意识地将数形结合作为思维突破的切入口．说得直白一点,就是学生的体验没有上升为理性认识,这显然无助于数学核心素养的发展．因此,基于上面的分析,接下来结合实例来分析㊁研究函数零点的相关问题,融合数形结合思想和函数思想,培养学生数形结合的思维方式,体会数形结合方法的典型性和优点．例１㊀已知方程(１２)x＝l n x,则此方程的实根的个数为．方法１:这道题求的是方程根的个数,根据理论１可知,方程根的个数即是函数零点的个数,因此可以通过构造函数来求根的个数．先将方程左边移到方程右边,即l n x－(１２)x＝０,再令f(x)＝l n x－(１２)x,通过观察发现,代入１和e,那么就有f(１)＝－１２＜０, f(e)＝１－１２e＞０．符合有零点的条件,即在(１,e)内f(x)有零点．再根据在(０,＋ɕ)内f(x)是增函数,因此可得函数f(x)在(０,＋ɕ)内有且只有一个零点．故方程(１２)x＝l n x有且只有一个实根．方法２:这道题还可以结合函数的图象来求解．假设h(x)＝(１２)x,且g(x)＝l n x．在同一个直角坐标图１系中作出函数h(x)＝(１２)x和g(x)＝l n x的图象,如图１所示．观察图象可以发现,这两个函数图象有且只有一个交点,由此可以得到,方程(１２)x＝l n x有且只有一个实数根．评析:利用方法１求解的时候,不仅需要求出f(１)＜０和f(e)＞０,还要知道函数f(x)＝l n x－(１２)x 在定义域内是单调的(不同函数单调情况也不相同),把这两个条件结合起来才能说明方程有且只有一个实数根．例２㊀方程l o g２x＝－(x－１)２＋２实数根的个数为．图２这道题也可以采用图象法．设g(x)＝－(x－１)２＋２,f(x)＝l o g２x在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图２所示．根据图象分析可以得到,两个函数图象有且只有一个交点,因此方程l o g２x＝－(x－１)２＋２有且只有一个实５５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀数根．评析:求方程实根的个数通常有两条途径．(１)转化为两个函数图象交点的个数,结合函数图象求解;(２)转化为一个函数零点的个数,结合零点存在定理求解．相较于利用零点存在定理,明显结合函数图象的方法更简单明了．例３㊀求方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g (a －x )(a 是常数)的实数根个数．方法１:首先求出x 的范围,分析原方程可以知道x 的限制条件是x －１＞０,３－x ＞０,a －x ＞０,ìîíïïïï即１＜x ＜３,x ＜a ．{那么,将原方程等价变换,可以得到l g [(x －１)(３－x )]＝l g(a －x ),即a －x ＝(x －１)(３－x )．图３令f (x )＝(x －１)(３－x )(其中１＜x ＜３),g (x )＝a －x (x ＜a ),在同一直角坐标系中作出这两个函数图象,如图３所示．由方程(x －１)(３－x )＝a －x的Δ＝０,求出a ＝１３４,此时方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g(a －x )有一个实数根．结合图象可以发现,方程没有实数根时,a ɤ１或者a ＞１３４;方程有一个实根时,１＜a ɤ３或a ＝１３４;当方程有两个实根时,３＜a ＜１３４．方法２:根据题意分析可知,原方程等价于(３－x )(x －１)＝a －x ,x －１＞０,３－x ＞０,ìîíïïïï即－３＋５x －x ２＝a ,１＜x ＜３．{在同一个直角坐标系中,作出函数h (x )＝－３＋５x －x ２(１＜x ＜３),g (x )＝a 的图象,如图４所示．图４根据图象,可以观察函数y ＝h (x )和y ＝g (x )图象交点的个数情况(略)．评析:结合函数图象求解与函数零点个数相关的问题,不仅可以省去较为复杂的运算,而且通过图象可以快速得出正确的答案．掌握确定函数零点个数的方法对于学生来说十分重要,结合图象确定零点个数是目前最常用㊁最简便的方法之一,它要求学生有良好的计算能力和基本的作图能力,对学生的逻辑思维有一定的要求,要求学生能全面分析问题,还要注意限制条件,作图要尽量准确．学好零点个数求解,可以有效提升数学素养[２]．对上述教学过程进行概括与反思,笔者以为在高中数学教学中,最直接的抓手当然是数学知识的建构与运用,这是由当前的考核评价机制决定的,教师的教学必须努力服务于学生思维能力的发展与解题能力的提升．与此同时,教师也必须关注学生数学学科核心素养的发展和学生对数学思想方法的领悟．无论是核心素养的发展还是数学思想方法的领悟,其实都不影响学生解题能力的提升,同时还能够为学生的可持续发展奠定基础．比如上面所强调的数形结合,是数学学科特征的直接体现,更是高中数学教学最不能忽视的思想方法之一．对于数形结合,不仅要让学生有实际的体验,还要让学生有真切的收获．这种收获对于学生来说应当是显性的,只有当学生明确认识到数形结合能够反映数学学科的特征时,才能够有意识地在数学知识学习与运用的过程当中自动激活数形结合思想,从而让数形结合真正成为学生数学解题的利器[３]．在这篇文章当中,函数图象与零点个数的研究是一个突破口,只是一条明线,数形结合思想是背后的暗线,是学生领悟的重点,这才是笔者想重点强调的．参考文献:[１]李志中．直击高考真题,掌握函数零点[J ]．中学数学,２０１９(２３):６７Ｇ６８．[２]孔欣怡．例谈高考对零点问题的考查[J ]．中学数学,２０１７(１):５８Ｇ６１．[３]潘良铭．浅析复合函数零点的个数问题[J ]．中学数学,２０２０(２１):５１Ｇ５２．Z ６５。
函数零点的个数问题
2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0，利用换元设
t 2x 2x （ t 2 ），则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 x m 大于等于 2）或相交（其中交点在 x 2 两侧），
3：已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
，若函数
y
f x k 有三个零点，则实数 k
的取值范围是（
）
A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路：函数 y f x k 有三个零点，等价于方程 f x k 有三个不同实数根，进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点，作出 f x 的图像，则 k 的正负会导致 f x 图
A．
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
思路：
f x
f 3x
f x
f
x 3
，当
x
3,
9
时，
f
x
f
x 3
ln
x 3
，所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
，而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点，即至少有一点 x0 a,b ，使得 f x0 0 。 （1） f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
零点个数怎么求
零点个数怎么求①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
判断函数零点个数的方法
通过分离函数f（x）对应方程f（x）=0中的变量x和参数a，方程变形成g（x）=h（a），将函数f（x）的零点个数问题转化为函数y= g（x）与y=h（a）的图像的交点个数问题.
例3设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.
例4若函数y= f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y= f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y= h（x）的零点个数.
解由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程f [ f（x）]=c可转化为f（t）=c.
当c=2时，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.当t=t3时，直线y=2与y= f（x）的图像有2个交点；当t=t4时，直线y=-1与y= f（x）的图像有3个交点，故此时方程f [ f（x）]= c共有5个不同的解.
当-2
综上所述，当|c|=2时，函数y= h（x）有5个零点；当|c|
三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数
当x∈[■，π]时，令g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由g（■）=1>0，g（π）=-π
由g ′（x）=2cos x-xsin x，可知当x∈（■，π）时，g ′（x）
当x∈（■，m）时，g（x）> g（m）=0，即f ′（x）>0，从而f（x）在（■，m）上单调递增.当x∈[■，m]时，f（x）≥ f（■）=■>0，故f（x）在[■，m]内无零点.
2020届高中数学：函数零点个数的判断
2020届高中数学 第 1 页 共 1 页 2020届高中数学：函数零点个数的判断
1. (2015·湖北)f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________． 解：f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．
故填2.
【点拨】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，应注意：①满足条件的零点可能不惟一；②不满足条件时，也可能有零点，因此一般要再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
2. (2016·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．18
解：在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10.
故选B .。
高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题
微专题10 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
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函数零点的个数的几种判断方法
作者：陈锋
来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2018年第01期
【摘要】“函数零点”一节的教学，其重点是：一，函数零点的存在性定理，及定理的理解。
二，函数零点的个数的判断。
本人在“函数零点”一节的教学中，对于判断函数零点的个数问题，如函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
在判断一次或二次函数的零点，我们可直接利用公式求解；对于三次或四次或其它的一些函数，要判断函数零点的个数，学生就很难判断，本人在教学中总结了函数零点的个数的几种判定方法，而且学生很容易接受，下面举例说明。
【关键词】函数零点判断方法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-126-01。