高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案

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第二章多面体与旋转体球的表面积

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球的表面积教案教学目标1．使学生理解球的表面积公式的推导方法，并能熟记公式内容；2．在引理的论证过程中，进一步要求学生树立转化的思想（把空间问题转化为平面问题）；3．通过寻求如何研究球表面积的方法，培养学生应用无限分割和极限思想的意识，进而在实施推导公式的过程中，对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育．教学重点和难点本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式，而如何推导球的表面积公式是本节的难点．教学设计过程一、新课引入师：（手持模型）今天，我们要研究的课题就是如何求得球的表面积．下面，请同学们各抒己见．（板书课题）生甲：（脱口而出）可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果．（同学们立即反驳，此办法不可能实现）生甲：（申辩）如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算．生乙：削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平．另外，条形表面也有一定的弯曲度．生甲：那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了．生丙：（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小．用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一族圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一族圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了．生丁：我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决．……师：同学们的想法都很好．要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形．大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想．若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形．问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广议，完善求解方法．（课堂内鸦雀无声）（需引导一下）二、新课师：回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生：是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的．师：当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长．当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试．我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？生丙：我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就越来越接近球的表面积了．师：只能用球的内接圆柱去研究吗？生：圆台也可以．师：下面，我们以圆台为例，证明一个预备定理．目的是求出球内接圆台的侧面积公式．（板书引理）引理球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球心到母线的距离为P，那么圆台的侧面积为2πPh．下一步，求半球面的面积．用n-1个平行于半球大圆面的平面将半球分为n个部分，使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都是p，而它们的高分别为h1，h2，h3，…，hn．如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R．当p变为R时，侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积．例2 口答下面问题，并说明理由．（1）球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？（2）球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？（3）球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？（4）球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍？生：设球半径为R．（1）因球半径扩大n倍，S球面=4π（nR）2=n2×4πR2，即球面积扩大n2倍．四、小结在本节课内，我们讲了（1）球表面积等于它的大圆面积的4倍．（2）“以直代曲”的研究方法．（3）无限分割和逐次逼近的数学方法．五、作业1．课本p．92．6，2．课本p．92．7，3．课本p．92．8，4．两底面半径为r1和r2（r1＜r2）的圆台中有一个内切球，求这个球的表面积．（4πr1r2）5．（思考题）球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球面的面积．（3πa2）（提示：把PA，PB，PC看成正方体内相交于一点的三条棱．因P，A，B，C在球面上，则此正方体内接于球．正方体的对角线恰为球的直径）课堂教学设计说明这堂课的知识量不算很大，主要任务就是完成球表面积公式的推导．作为生活常识，学生们大部分都已经知道了公式的内容．那么采用什么办法去吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使这堂课上得比较生动活泼呢？这是我在准备教案前首先想到的问题．其次，要想求出球的表面积，还需先证明一个引理．一部分学生在预习中可能会产生这样的疑问：为什么非要找一个球的内接圆台，而不是内接圆柱，内接圆锥？为什么此内接圆台还必须知道球心到母线的距离P，而不是底面圆的半径r？我为了处理好这两个大问题，就设计了一个教学过程的粗线条：先准备让学生自由讨论，（我借机，听取学生的想法，同时找一个没有预习课本，而又出现的是常见错误想法的同学，先汇报思考结果）再讲评总结的方式，一步步地引出学生们自行产生的无限分割和极限思想．由于学生更熟悉圆柱的结构，用圆柱的侧面积去逼近球表面的想法会很自然地产生．我在肯定此想法的基础上，引导学生去用圆台的侧面积逼近球的表面积的想法就容易了．对于球来说，它的基本元素是球半径，球面上任意一点到球心的距离都一样．所以，要找的球表面的相似体也要抓住这一性质．课堂习题的配备，主要想让学生了解到：要求球表面积只要抓住球半径即可．无论所给具体题目的条件如何变化，始终从公式出发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围绕能求出球半径的目的而思考．。

人教课标版高中数学必修2《多面体与旋转体概念、棱柱》教学设计

1．1 空间几何体的结构1．1．1 多面体与旋转体概念、棱柱一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解多面体与旋转体的概念、了解棱柱的定义．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．（二）学习目标1．了解多面体的顶点，棱，表面，对角面的定义．2．结合定义，会判断一个几何体是否为棱柱．3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面体的定义．（三）学习重点1．准确理解棱柱的定义．2．棱柱的分类．3．棱柱的表示方法．（四）学习难点1．判断某个几何体是否为棱柱．2．正确区分棱柱的体对角线和面对角线，棱柱的侧面和底面，棱柱的高和侧棱．3．对旋转体的直观理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2，3页，观察课本P2图1．1-1的物体，这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？填空：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．2．预习自测（1）下列几何体是棱柱的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】由棱柱的定义可知，棱柱中，有两个面互相平行，则可以排除②⑤，又棱柱中，有两个互相平行的底面，其余各面都是四边形，则可以排除④⑥．【思路点拨】由棱柱定义来判断（2）三棱柱共有（）个顶点A．4B．5C．6D．7【答案】C．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】n棱柱的顶点个数为2n个，故选C．【思路点拨】熟悉棱柱的定义．（3）四棱柱有（）个表面A．5B．6 C．7D．8【答案】B．【知识点】四棱柱的定义【解题过程】四棱柱有上下两个底面和四个侧面，故选B．【思路点拨】棱柱有多少个表面，可以先找两个底面，再数其侧面个数即可．(二)课堂设计1．知识回顾2．问题探究探究一归纳提炼出多面体与旋转体，棱柱的定义★●活动①归纳提炼概念请同学们观察课本P2图1．1-1的物体，学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类．其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形．想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢？学生各抒己见，然后老师归纳总结．第一类：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……我们后面即将学习的棱柱、棱锥、棱台均是多面体．思考：一个多面体最少有个面答案：4第二类：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②深入挖掘概念与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？让学生积极思考，积极发言，为引出棱柱的概念做准备．教师总结：共同特点：有两个面平行，其余的面都是平行四边形．像这样的几何体我们称为棱柱．师生共同完成棱柱的定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱．分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【设计意图】通过对多面体内涵与外延的理解，引出本节课重点：棱柱的定义．探究二通过点、面、线等要素对棱柱进行直观分析●活动①认识棱柱的顶点，底面，侧面，侧棱，对角线等结合棱柱的定义，请学生看下图后回答问题．让学生分别指出这些几何图形是几棱柱，它们有几个顶点，有几个表面，它有几条侧棱，有几个对角面，有几条体对角线，有几条面对角线．教师阐述棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如上图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；【设计意图】通过直观图形，加深对棱柱概念的理解．●活动②对概念的反面理解思考：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？教师变更棱柱的定义，让学生判断正误，进一步加深对棱柱定义的理解答：不一定是棱柱．可举反例．如下图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱．【设计意图】从反面加深对棱柱的认识．探究三棱柱的其他探讨★●活动①棱柱的另一种分类方式按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的每个侧面都是矩形．侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱．请学生思考回答，下图中有几个直棱柱？答案：有两个直棱柱．老师补充两个概念，为以后的教学做铺垫．平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．【设计意图】对直棱柱和正棱柱有直观印象，为后面的学习做铺垫．●活动②巩固基础，检查反馈例1 以下那种几何体属于多面体？（）A．球B．圆柱C．圆锥D．四面体【知识点】多面体与旋转体的定义．【数学思想】【解题过程】选项A，B，C均为旋转体，故答案为D．【思路点拨】直接套用定义．【答案】D．例2 下列说法中正确的是（）A．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱中所有的棱长都相等C．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】棱柱的侧面也可能互相平行，比如正方体，故A错误．棱柱的棱长未必全部相等，比如一般的长方体，故B错误．棱柱的底面可以是任意多边形，故C错误．棱柱的上下底面一定互相平行，故D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．同类训练在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】四棱柱的相对表面可以互相平行，故A错误．棱柱的侧棱和底面的边可以相交，故B错误．棱柱的底面可以是三角形，故C错误．由棱柱的定义可知D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．【设计意图】巩固棱柱的概念．●活动③强化提升、灵活应用例3 如下图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是______．【知识点】棱柱的直观认识．【数学思想】空间想象．【解题过程】由棱柱的定义可得有3个．分别为：三棱柱DQ D AP A 11-，三棱柱CF C BE B 11-，四棱柱DCFQ ABEP -【思路点拨】逐一分析．【答案】3个．3．课堂总结知识梳理（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．（3）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．（4）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（5）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．（6）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．（7）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．重难点归纳：棱柱定义的三个核心要素（1）两个平面互相平行．（2）其余各面都是四边形．（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法错误的是（）A ．多面体至少有四个面B ．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C ．长方体、正方体都是棱柱D ．三棱柱的侧面为三角形【知识点】多面体和棱柱的概念．【数学思想】【解题过程】多面体中四面体的面最少，有四个，故A 正确．由棱柱定义知道B ，C 正确．棱柱的侧面均为平行四边形，故D 错误．【思路点拨】准确理解棱柱定义．【答案】D ． 2．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（）A ．E F D CB A ⊆⊆⊆⊆⊆B ． E D F BC A ⊆⊆⊆⊆⊆ C ．E FD B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D ．它们之间不都存在包含关系【知识点】特殊棱柱的关系．【数学思想】【解题过程】根据它们的定义分析即可．【思路点拨】仔细区分各种特殊棱柱．【答案】B ． 3．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）．A ．棱锥B ．棱柱C ．平面D ．长方体【知识点】棱柱定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】首先排除A ，C注意到题目说“不平行于矩形所在平面”，排除D．选择B【思路点拨】正确理解题目讲述的运动过程．【答案】B．4．右图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】三角形旋转产生圆锥，直角梯形旋转产生圆柱，选择A．【思路点拨】熟悉简单平面图形旋转后产生的几何体．【答案】A．5．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）条A．20 B．15 C．12 D．10【知识点】棱柱对角线的定义．【数学思想】枚举．【解题过程】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D．【思路点拨】正确理解对角线的含义．【答案】D．6．如下图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】圆在转动过程中产生球，圆环转动过程中产生一个大球和一个小球，故本题形成的几何体为一个中间空心的球体．【思路点拨】想象出圆转动产生球的过程．【答案】一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球．能力型师生共研7．如下图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，沿AE ，AF ，EF 将其折成一个多面体，则此多面体共有条棱．【知识点】多面体展开图．【数学思想】【解题过程】此多面体由四个面构成，故为四面体，它有六条棱．【思路点拨】想象出该多面体的形状．【答案】6．8．在下图所示的三棱柱ABC －111C B A 中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个四面体．【知识点】四面体的概念．【数学思想】【解题过程】如下图，连接A 1B ，BC 1，A 1C ，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A 1－ABC ，A 1－BB 1C 1，A 1－BCC 1．【思路点拨】不断尝试构造符合题意的分割方式．【答案】如图．探究型多维突破9．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是（）A．南B．北C．西D．下【知识点】柱体展开图．【数学思想】运动变化．【解题过程】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B．【思路点拨】发挥空间想象能力将正方体还原．【答案】B．10．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是________【知识点】长方体对角线长度公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】设该长方体的长宽高分别为z,，由已知可得：yx,2=xy ；3=yz ；6=xz ，解得3,1,2===z y x对角线6222=++=z y x d ．【思路点拨】设未知数，用它们表示已知条件．【答案】6．自助餐1．棱柱至少有（）个表面．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点】棱柱定义．【数学思想】【解题过程】三棱柱表面最少，有五个表面．【思路点拨】考察极端情形．【答案】C ． 2．给出下列命题，其中正确的个数为（）．（1）直线绕定直线旋转形成柱面；（2）曲线平移一定形成曲面；（3）直角三角形绕它的一条边旋转形成一个圆锥；（4）半圆绕定直线旋转形成球．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】旋转体定义．【数学思想】【解题过程】（1）可能形成锥面；（2）可能形成平面；（3）绕斜边旋转形成两个圆锥；（4）半圆未必绕直径旋转；故全部错误．【思路点拨】尽量寻找反例．【答案】A ．3．正方体有个对角面．【知识点】正方体的性质．【数学思想】枚举法【解题过程】逐一考察知正方体有六个对角面．【思路点拨】枚举时制定一个分类标准，做到不重不漏．对于棱柱，不相邻的两条侧棱确定的面叫做对角面．正方体是特殊棱柱．【答案】6．4．下列判断正确的是________ （填序号）．（1）直平行六面体是长方体；（2）正四棱柱是长方体；（3）各个侧面都是矩形的四棱柱是长方体；（4）底面是矩形的四棱柱是长方体．【知识点】特殊柱体的定义．【数学思想】【解题过程】（1）底面可能是菱形；（2）正确；（3）底面可能是三角形；（4）可能是斜四棱柱，故只有（2）正确．【思路点拨】弄清各种特殊棱柱的定义．【答案】（2）．5．下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．【知识点】柱体展开图．【数学思想】分类讨论【解题过程】爬行路线如下图(1)—(6)所示：分别展开，算出直线距离．可知AB 间的最短距离为A 、B 两点间的线段的长51222=+．【思路点拨】平面内，两点间线段最短．【答案】5．6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，求每条侧棱的长度．【知识点】棱柱的顶点和侧棱定义．【数学思想】【解题过程】n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm ．【思路点拨】设未知数，列方程求解．【答案】12 cm ．。

立体几何全部教案(人教A版高中数学必修②教案)

立体几何全部教案(人教A版高中数学必修②教案)第一章：空间几何体的结构特征1.1 教学目标了解柱体、锥体、球体的定义及性质。

掌握空间几何体的结构特征，如表面积、体积等。

1.2 教学内容柱体、锥体、球体的定义及性质。

空间几何体的结构特征的计算方法。

1.3 教学步骤1. 引入新课，讲解柱体、锥体、球体的定义及性质。

3. 讲解空间几何体的结构特征的计算方法，如表面积、体积等。

1.4 课堂练习完成课本练习题，巩固所学知识。

1.5 课后作业完成课后作业，加深对空间几何体的结构特征的理解。

第二章：点、线、面的位置关系2.1 教学目标了解点、线、面的位置关系，如平行、垂直等。

掌握点、线、面的位置关系的判定方法。

2.2 教学内容点、线、面的位置关系的定义及判定方法。

2.3 教学步骤1. 引入新课，讲解点、线、面的位置关系的定义及判定方法。

2.4 课堂练习完成课本练习题，巩固所学知识。

2.5 课后作业完成课后作业，加深对点、线、面的位置关系的理解。

第三章：空间角的计算3.1 教学目标了解空间角的定义及性质。

掌握空间角的计算方法。

3.2 教学内容空间角的定义及性质。

空间角的计算方法。

3.3 教学步骤1. 引入新课，讲解空间角的定义及性质。

3.4 课堂练习完成课本练习题，巩固所学知识。

3.5 课后作业完成课后作业，加深对空间角的计算的理解。

第四章：空间向量的应用4.1 教学目标了解空间向量的定义及性质。

掌握空间向量的应用方法。

空间向量的定义及性质。

空间向量的应用方法。

4.3 教学步骤1. 引入新课，讲解空间向量的定义及性质。

4.4 课堂练习完成课本练习题，巩固所学知识。

4.5 课后作业完成课后作业，加深对空间向量的应用的理解。

第五章：立体几何中的综合问题5.1 教学目标培养学生解决立体几何综合问题的能力。

5.2 教学内容立体几何中的综合问题的解题策略。

5.3 教学步骤1. 引入新课，讲解立体几何中的综合问题的解题策略。

立体几何教案第二章多面体与旋转体球的直观图画法和球的表面积教案_1

立体几何教案第二章多面体与旋转体球的直观图画法和球的表面积教案教学目标1．掌握球的正等测画法；2．熟记球的表面积公式；3．激发学生研讨公式的兴趣和掌握推导方法，从而培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力．教学重点和难点重点：球的表面积及表面积公式的推导．难点：球表面积公式的推导．教学设计过程一、复习提问师：圆的直观图用什么方法画出的．生：（思考片刻，要求学生答出）一般不用斜二测，而用正等测画．师：用正等测画圆的直观图规则是什么？生：（要求思考1分钟后回答）1．在已知图形⊙O中，互相垂直的轴Ox，Oy画直观图时，把它们画成对应的轴O＇x＇，O＇y＇，使∠x＇Oy＇=120°（或60°）．2．已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴或y＇轴的线段．3．平行于x轴或y轴的线段、长度不变．二、讲新课1．球的直观图的画法：师：我们学习了圆的直观图的画法，球和圆有何不同．生：球是立体图形，圆是平面图形．师：那么球的直观图是否和圆的直观图画法类似．生：（学生思考后，举手回答）应有三个坐标轴．师：你怎么考虑的．生：因为圆是平面图形，两条相交直线确定平面，球是立体图体，只有三条互相垂直的直线才能确定空间．师：以上同学回答得很好，球是立体图形，它需要在三维空间中完成．讲解课本p．84例2，画半径为R 的球的直观图．画法：（略）2．球的表面积．师：圆的面积是多少？生：（异口同声回答）S=πR2师：圆的面积S=πR2，是怎样得来的，你知道吗？生：书上告诉的．（全班学生大笑）师：对了，这个结论是书上直接给出的．因为我们所学的知识还无法来解决它的推导过程，待今后继续深造来解决．师：我们今天来学习球的面积公式．同学们要特别注意知识的形成过程．师：（让学生目测实心半球）是半球面积大，还是底面的大圆面积大？（培养学生的观察能力和估算能力）（全班学生积极发言，充分调动了回答问题的积极性，这个问题较易回答）师：（同学们再目测一下）看看上面的面积是大圆面积的几倍（估算一下），是6倍吗？（部分学生回答不可能）师：是4倍吗？（教室里肃静，仍有一部分学生回答说：可能性不大）师：是2倍吗？生：差不多！师：上面的面积正好是下面底面大圆的2倍．为什么是2倍呢？正是我们今天解决的问题．师：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，都是利用它的展开图求出的，由于球面不能展开成平面图形，所以球的表面积公式无法用展开图求出，为了求得球的表面积公式，我们先来证明一个预备定理：定理球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个截面）的高为h，球心到母线的距离为p，那么圆台的侧面积为2πph．已知：球面O的内接圆台的高O1O＇=h，球心O到母线AD的距离OE=p求证：S圆台侧=2πph．师：同学们考虑上式是比例式，在平面几何中怎样证明比例呢？生：利用相似形或平行线分线段成比例定理．师：这个题用什么方法证好呢？生：相似三角形．师：证哪两个三角形相似？生：（学生沉思，教师提示）只要证明△ADD＇∽△OEE＇即可，（如图2）师：（大家观测）上面回答对吗？生：（部分学生回答）对的．师：哪位同学起来回答为什么？生：（一位中等成绩的学生回答说）师：这两个三角形相似是很容易证明的．（课本中“注意”二字，这个结果对于球的内接圆柱、圆锥同样成立．应引起教师的注意，要求学生练习）师：下面证明定理：球面面积等于它的大圆面积的4倍．即：S球面=4πR2（在投影片上画出课本图2－48，并且画得大些）师：将半球面上的半大圆ANB分成2n等分，用过各分点平行于半球大圆面的平面将半球分为多少部分，是2n部分吗？生：（个别学生答，是2n部分，即注意力不集中的学生）不是．师：那么是几部分呢？生：是n部分．师：这n部分是什么图形呢？生：（一少部分回答说n个圆台）n-1个圆台，一个圆锥．师：我们作这些圆台的高，分别为h1，h2，h3，…，hn．球心到它们母线的距离是否相等．生：（部分学生认为不相等，教师准备作好引导的作用）相等的．师：设这个距离为p，由预备定理可得这些圆台圆锥的侧面积的和是多少？生：（全班学生思考，教师提示）S＝2πph1＋2πph2＋…＋2πphn＝2πp（h1+h2＋…＋hn）师：同学们认真分析，h1＋h2＋h3＋…＋hn和应是多少．生：ON，即球的半径R．师：所以S=2πp·R．师：如果分点无限增加，侧面积怎样变化．生：（这时教师需提示）侧面积无限地接近半球面．（教师对无限地应解释，学生第一次接触这个名词）师：分点无限增加，p与R有什么关系．生：p无限地接近R．师：此时侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积，即S球面=4πR2．例已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积．师：圆柱的侧面积是什么？生：底面周长乘以高，即S=c·h．师：在本题中底面周长是什么？生：c=2πR．师：高是什么．生：h=2R．师：所以圆柱侧面积为S=4πR2．（这样问题（1）得证，证明过程要求学生下去练习完成）师：圆柱的全面积是侧面积加两个底面积．那全面积是多少呢？练习：1．球的大圆面积扩大到原来的4倍，那么球的表面积扩大到原来的[ ]2．三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的[ ]作业：p．92.6，7．家庭作业：1．阅读课文．（巩固知识的形成过程加深理解记忆）2．对于课文把半球的半大圆ANB分成2n等分．如果对球半径n等分行不行．课堂教学设计说明1．本节课完成了两个内容，一是球的直观图画法，二是球表面积公式及其推导．教案整体构思是要突出教师为主导，学生为主体，学生参与整个教学过程，克服学生上课走神的现象．常此以往，能调动学生学习积极性和主动性．2．重视知识的形成过程，培养学生逻辑推理能力和大胆猜想能力，因为发现问题要比解决问题更重要．数学这门学科不能仅仅作为工具去教学．不能把知识的结论抛给学生，使学生记住结论会演算两道题就行了．而是要培养学生在提高思考能力上下功夫．教学上要力戒“奉送真理，灌注真理”的做法。

认识多面体和旋转体课件

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体积计算
对于多面体，体积可以通过计算各个面的体积之和得到。对于旋转体，体积可以通过计算底面圆的体积或整个旋转体的体积得到。
角度和弧度的计算
角度计算
在多面体中，角度可以通过测量各个面之间的夹角得到。在旋转体中，角度可以用来描述旋转体的旋转角度。
弧度计算
在旋转体中，弧度可以用来描述旋转体的旋转程度，通常用于旋转轴的角度测量。
旋转体的建模
旋转体的建模可以使用旋转几何公式进行，例如圆柱和圆锥可以使用旋转面的几何公式进行建模。
建模方法的比较和选择
01 02
精度和复杂性
使用CAD软件进行建模可以获得高精度的模型，但需要一定的技能和经验。而使用数学公式进行建模可以创建相对简单的模型，但对于复杂模型可能不够精确。
适用范围
CAD软件适用于各种类型的多面体和旋转体建模，而数学公式适用于某些特定类型的模型，例如正多面体和旋转体。
在科学研究和教学中的应用
多面体和旋转体的科学研究价值
多面体和旋转体的研究涉及到几何学、拓扑学、物理学等多个学科领域，对于推动数学和科学的发展具有重要意义。
多面体和旋转体的教学价值
在数学和工程学科的教学中，多面体和旋转体是重要的教学素材，有助于培养学生的空间思维、几何直觉和解决实际问题的能力。
THANKS
该直线称为旋转轴，平面图形称为旋转面。
旋转体的分类
根据旋转面的形状，旋转体可以分为圆柱、圆锥、圆台等类型。
根据旋转轴的方向，旋转体可以分为正轴和斜轴两类。
根据旋转轴与旋转面的关系，旋转体可以分为直纹和单叶两类。
旋转体的性质
旋转体的侧面是曲面，其展开后是平面图形。
旋转体的体积和表面积与旋转面和旋转轴的形状、大小和位置有关。

多面体和旋转体

第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。

2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。

3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。

2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。

3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。

2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。

3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。

二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。

2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。

（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。

（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。

（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

第二章多面体与旋转体锥体的体积

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体锥体的体积教案教学目标1．使学生掌握锥体的体积公式及其初步应用；2．通过三棱锥体积公式的探求，教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；3．通过三棱锥体积公式的探求，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索创新的精神等良好的个性品质．教学重点和难点三棱锥体积公式及其探求．教学设计过程师：前几节课我们先后学习了祖暅原理和柱体的体积公式，在开始讲本章知识不久，我们还学习了锥体平行于底面的截面的性质．现在请同学们分别回忆一下上述三个知识内容，谁来回答锥体平行于底面的截面的性质是什么？生1：如果棱锥（或圆锥）被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥（或圆锥）的高和原棱锥（或圆锥）高的平方比．师：很好！下面谁来回答祖暅原理是如何叙述的？生2：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．师：回答正确．请同学们一起回答：柱体的体积公式是怎么表示的？生：柱体的体积等于它的底面积乘以高，即V柱体=Sh．师：当这个柱体是圆柱时，其体积还有别的表达形式吗？生3：V圆柱=πr2h，其中r是底面半径，h是圆柱的高．师：不错．谁能说说底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路吗？生4：我们构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，把它与所给柱体的下底面放在同一个平面α上．由于它们上、下底面平行，且等高，故它们的上底面必在与α平行的同一个平面β内．现在用平行于α的任意平面去截它们时，由于所得的截面都与它们的底面分别平行，因此截面积都等于S．由祖暅原理知，它们的体积相等，而V长方体=Sh，所以V柱体=Sh．师：很好！生4利用祖暅原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（师边问边板书“等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系”一语）生：相等．师：你们怎么知道它们的体积是相等的？生：猜想的．（也有的说是估计的）师：猜想也好，估计也罢，都是有风险的，尽管如此，但它常常是“发现”的先导．能证实你们的猜想吗？生5：用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别生6：条件有两个：一个是两个锥体的底面积相等，另一个是这两个锥体的高相等．结论是体积相等．（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生最高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由老师提出问题，学生分析问题和解决问题．老师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾指出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程．）师：上述定理只是回答了具有等底面积等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它却给我们求锥体体积一个有益的启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么，由上述定理即可获得其它锥体的体积了．请同学们思考用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？师：先割后补与先补后割是处理几何问题时常用的方法，即我们常说的割补法．类比地，能否将这一思维方式迁移到探求三棱锥的体积上来呢？生：（几乎异口同声地）能！师：那么是采用先割后补，还是先补后割呢？邻近的同学可以相互讨论一下．（学生之间小声讨论，选择这两种方法的学生都有）师：我们请一位同学说说自己选择的方法及其理由，谁来说？生9想好了吗？生9：我认为先补后割比较好，至于先割后补，我觉得不行．师：能说说否定先割后补的理由吗？生9：……（似有难色）师：谁能试着割一下？生10：对一个三棱锥进行分割，实际上是用一个平面去截它．无论怎么截，得到的要么仍是三棱锥，要么是比三棱锥更为复杂的几何体．所以对三棱锥再分割是不合适的．师：其他同学以为如何？生：生10的解释是对的．师：既然如此，我们可否定先割后补，而肯定先补后割，刚才生9就是这个意见，现在也是大家的意见了．那么，补成怎样的几何体较合适呢？生：补成三棱柱．师：谁能具体说说？生11：把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成一个三棱柱ABC －A＇B＇C＇．师：请你在黑板上具体补出来．生11：（上黑板补画图形如图5）师：生11完成了补形的任务，下面该进行什么工作了？生：分割．师：如何分割？生：分割成三个三棱锥．师：请生12上来具体分割一下．（生12上黑板分割三棱柱ABC－A＇B＇C＇得三棱锥1，2，3．如图6）师：很好！生12的图形画得很规范．现在请同学们预测一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？生：体积相等．师：能简要地说明你们预测的依据吗？生13：我没有证明，但我想它们的体积应该相等，这是因为刚才回忆求三角形面积时，将三角形补成一个平行四边形（平面图形）后再分割成的两个三角形等面积．类比地，我们将三棱锥补成一个三棱柱（空间图形）后再分割成三个三棱锥当然应该体积相等．师：生13由平面图形的处理结果类比地预测空间图形的相应结果不无道理．同学们的预测实际上也是我们的希望．而怎样使我们的希望、预测变为现实，还需要严格证明，那么怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？（引导学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高）生14：（生14叙述，师板书）在三棱锥1，2中，S△ABA＇=S△B＇A＇B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V1=V2．又在三棱锥2，3中，S△BCB＇=S△B＇C＇C，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V2=V3，所以V1=V2=V3．生15：在证得V1=V2后，再证明V1=V3也很方便．（生15叙述，师板书）因为在三棱锥1，3中，S△ABC=S△A＇B＇C＇，高也相等（都等于三棱锥的高）．所以V1=V3．（由课本第103页练习题1改编）如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积；（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；（3）B到平面AB＇C的距离？（若没时间，可留做课后思考，要求用两种方法求解）（请生18解答（1），（2），生19解答（3），其余同学在座位上完成，师巡视）（生18板演（1），（2））师：非常好．生19的方法一是常规方法，而方法二则巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．事实上三棱锥（即四面体）的每一个顶点都可作为棱锥的顶点，和它相对的面都可作为相应的底面，这是三棱锥（四面体）特有的性质．在一定的条件下，它为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，应当引起我们的注意．今天这节课我们主要学习了锥体的体积公式，下面请同学们就知识和思维能力两个方面作一下小结．（请学生自行小结，师生共同补充完善）1．知识方面：通过本节课学习，我们利用割补法获得了三棱锥的体积公式，进而获得了一般锥体的体积公式，并初步体会了其应用；2．思维能力方面：又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用．作业：略．课堂教学设计说明1．关于教学目标的制定在课堂教学中实施和推进素质教育，正愈来愈被广大教师所重视．由于学生的素质是多方面的，这就决定了课堂教学的目标应该是多元化的．（1）锥体的体积是多面体和旋转体这一章的重点内容之一，在体积问题中有着重要的地位，将锥体的体积公式及其初步应用作为本节课的教学目标之一是完全合适的．（2）学生思维方法的好与差，推理能力的强与弱，在一定程度上反映了学生素质的高与低．因此，如何通过课堂教学，教学生学习合情推理的方法，培养学生逻辑推理能力，是我们制定教学目标时必须认真思考的．（3）未来社会不仅要求人们具有丰富的文化科学知识，而且还需要人们具有顽强的毅力及创新的意识．教学目标3正是据此而制定的．2．关于教学重点和难点的确定本节课的核心内容是锥体的体积，而锥体体积公式的探求需要教师逐步唤醒学生割补思想的记忆，努力使学生自行发现知识，掌握知识，发展学生的创造性思维，这对教师和学生都是较高的要求．因而锥体的体积公式及其探求既是教学的重点，又是教学的难点．3．关于教学过程的设计本节课按如下五个方面展开：（1）复习三个问题——①锥体平行于底面的截面的性质；②祖暅原理；③柱体的体积公式及其探求思路；（2）等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系；（3）三棱锥的体积公式的探求；（4）一般锥体的体积公式，圆锥的体积公式；（5）锥体体积公式的简单应用．有目的地做好旧知识的复习，为顺利地进行新课的讲授奠定了基础．（1）中的三个复习题主要是为推导“等底面积等高的两个锥体的体积相等”这一定理而准备的．提问时应注意必要的顺利．这里，祖暅原理在问题③的回答中要应用，因而放在③前面提问．而由问题③的“探求思路”的回答中，利用祖暅原理获得了“等底面积等高的柱体和长方体等体积”的结论，很自然地让人产生“等底面积等高的锥体体积之间有何关系”的联想．这样，旧课的复习很自然地过渡到了新课的讲授．因此，把问题③放在最后复习比把问题①放在最后复习要好得多．“等底面积等高的锥体的体积相等”这一结论是推导三棱锥体积公式的重要工具．由复习题③中“探求思路”的回忆，引导学生先猜后证，让学生自己发现知识，自行“制造”推导三棱锥体积公式的“工具”，这是发挥学生主体作用的重要体现．三棱锥体积公式的探求是本节课的核心内容，如果像教材中那样，直接将三棱锥补成一个三棱柱，然后将其分割成三个三棱锥，再求体积，那么，虽然教师备课可以少用许多时间，然而，学生对“怎样想到利用割补法”，“为什么要先补后割”往往疑惑不解．这里，在（3）中插入两个几何图形面积公式的探求思路的回忆，旨在唤醒学生割补思想的记忆，启发学生的思维．通过联想类比，学生感悟探求三棱锥体积也用割补法已水到渠成．尔后，围绕“先割后补”还是“先补后割”的问题，引导学生自己动手一试，相互讨论，比较优劣，从而肯定“先补后割”，并对“如何补，怎样割”，鼓励学生自己操作．最后，让学生自己推导公式，这是对学习主体的尊重，这样做旨在为学生扫清这一知识形成过程中的思维障碍，使整个思维过程和知识形成过程构成一个完美的统一体．显然，这种教学氛围的营造，使学生在旧知识的温故中，发现了打开新知识宝库大门的钥匙，在探索知识奥秘的征途上，创造性的迈开了自己坚实的一步．学生表现出了极强的思维积极性和探索毅力，创新意识，创造能力和创造精神得到了培养．由三棱锥体积公式的探求到一般锥体体积公式的获得，再到圆锥体积公式的表达，这是特殊—一般—特殊的思维过程．经常有意识的进行这样的训练，学生的思维方法、思维能力必将得到极大的提高．。

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案内蒙巴盟奋斗中学傅裕东教学目标1．掌握球的定义．2．掌握球的性质，并能熟练应用；3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力．教学重点和难点重点：球的截面性质．难点：球面距离的计算．教学设计过程一、复习提问师：圆柱是怎样定义的．生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．师：是矩形的边为旋转轴吗？生：是师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴．师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴．二、讲课题师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别）师：球面与球的区别是什么？生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面．师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆．师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面．球的性质：师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质．（显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索）师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？生：是圆面．师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明）（下面的证明仅供教师参考）证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究．（1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A在球面上，所以AO=R．所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上．点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上．因此，平面α和球O的截面是一个圆面．（2）如果点Oα（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K，设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所B在球O的球面上．点B在平面α内，又在球O的球面上，那么点B就在它们的交线上．因此平面α截球O的截面是一个圆面了．师：球的截面在球中的地位类似于弦在圆中的地位，截面是圆面．（学生明确了球的截面是圆面之后，下面的问题便迎刃而解）师：在圆中，圆心与弦的中点连线与弦有什么位置关系？生：垂直．师：那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面有什么位置关系．（教师画出示意图）生：垂直于截面圆．（教师板书球的性质（1））（并展示实物或模型演示给学生，不作证明）师：球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，那么不难看出，球半径R，球心与截面圆的距离d，及截面圆半径r 之间有什么关系？师板书球的性质（2）］师：在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系．生：当d=0时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当d=R时弦长为0，这时直线与圆相切．师：在球中，球心到截面的距离d与截面圆的大小有什么关系？生：（可类比圆的弦变化思考）当d=0时，截面过球心，这时R=r，截面圆最大，如图4．师：这个圆叫做大圆．生：当d增大时截面圆越来越小．师：当0＜d＜R时截面是小圆，如图5．当d=R时，截面圆缩为一个点，这时称截面与球相切，如图6．师：在地球仪中，纬线和径线是怎样规定的．生：平行于赤道的小圆线是纬线，过南北极的半大圆是经线．师：（下面对经度和纬度结合图形要讲清楚，这两个概念也是很难理解的）如图7，纬度——P点的纬度，也是或∠POA的度数，即：某地的纬度就是经过该点的球半径和赤道平面所成的角度．如图8，经度——P点的经度，也是或∠AOB的度数，即：某地点的径度就是经过这点的径线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数．球面上两点间的距离．（用地球仪边演示边发问）师：如果我们把地球看成一个球，我们会遇到这样的问题，由A到B的球面上应如何走行程最短？我们知道平面上两点间最短的距离是连接这两点的线段的长度，而地球的表面是曲面，球面上A，B两点间的最短路程显然不是线段AB的长度，那么它又是什么呢？（这时教师把事先做好的连接A，B两段铁丝作成的圆弧由地球仪表面（见图9）搬在电教片上，并画图10．）指出这相当于在平面上连接A，B的劣弧中，怎样的劣弧的长度最短？就图而言？哪一段弧较短？（要求学生答），这两段弧在本质上有什么区别？生：所在圆半径不同．师：可以看出，半径较大的劣弧反而短．这就启示我们，在球面由A到B的路程要尽量沿着所在圆半径较大的劣弧走．在连接A，B的劣弧中最大圆的半径存在吗？生：（学生相互议论，研究发现）最大圆半径存在．师：它等于多少？生：就是经过这两点的大圆半径R．师：由以上讨论：最后我们知道，在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度，把这个弧长叫做两点间的球面距离．（板书）例1（把例题抄在投影片上）我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度约为多少千米（地球半径约6370km）．师：怎样能把这个问题平面化呢？生：做地球的截面大圆．师：是截面大圆吗？任一个截面大圆能完成该题的要求吗？生：（部分学生说能，另一部分说不能，经过讨论争执，最后统一了意见）是经过南北极的大圆截面．师：（画图）请同学回答哪个角等于40°．生：∠AOB=40°师：请找出经过A点纬线圈的半径．生：半径是AK．师：过A点纬线圈的周长是多少？生：C=2π·AK．师：用半径R和40°表示AK的长．生：AK=Rcos40°师：故求出了北纬40°纬线的长度约为C＝2π·Rocs40°=3.066×104km练习：（1）课本p．87 1．（2）下列命题：a．球的任意两个大圆的交点连线是球的直径．b．球面上任意两点的球面距离，是过这两点的大圆弧长．c．球面上任意两点的球面距离，是连接这两点的线段长．d．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．正确的是[ ]A．a，b B．b，cC．a，d D．d作业：课本p．91．1．2．课堂教学设计说明本教案体现由浅入深、循序渐进的教学原则，充分体现了启发式、和类比思想的教学方法，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．。

北师大版高中数学必修二简单旋转体教案(1)

简单旋转体一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出球、柱、锥、台的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出球、柱、锥、台的结构特征。

难点：球、柱、锥、台的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有球、柱、锥、台结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

《旋转体》第2课时示范教学方案人教新课标B版

《旋转体》教学设计第2课时◆教学目标理解球的定义和结构特征，能识别和区分这些几何体；掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题．◆教学重难点◆教学重点：球的定义、结构特征、侧面积和表面积．教学难点：能够根据球的结构特征识别和区分几何体．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：从生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．师生活动：生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习旋转体.（板书：旋转体）【新知探究】问题2：日常生活中的很多物体都可以抽象成球面，如图所示．（1）从数学的角度应该怎样来刻画球面呢？圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，球面上的点是否有类似的性质？（2）球面可以通过什么图形旋转得到？师生活动：学生分析，给出答案．追问：球的相关概念有哪些？当用刀去切一个球形的西瓜时（如图所示），所得到的截面是什么形状？一般地，如果用一个平面与球面相截（如图所示），所得交线的形状是怎样的？★资源名称：【数学探究】认识球★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生了解认识球的相关概念．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的答案：球的定义：一个半圆绕着以它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面；球面围成的几何体，称为球．形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．如图所示的球中，点O是球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径，如果=，则,,2OC R===OA R OB R AB R球的表示方法：用表示它的球心的字母来表示，如球O.球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的截面：(1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．此时，大圆的半径等于球的半径.(2)球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．如图，设OO′＝d，球的半径为R，则小圆的半径'O P＝R2－d2.设计意图：通过观察分类、认识球的截面．提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【巩固练习】例1.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2，求球的表面积．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)当截面在球心的同侧时．．如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2．设球的半径为R．∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm．同理得：O1A＝20 cm.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm．在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2．故球的表面积为2 500π cm2.(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O 1A ∥O 2B ，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心，则OO 1⊥O 1A ，OO 2⊥O 2B ．设球的半径为R ．∵π·(O 2B )2＝49π，∴O 2B ＝7 cm.∵π·(O 1A )2＝400π，∴O 1A ＝20 cm.设O 1O ＝x cm ，则OO 2＝(9－x ) cm.在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋400.在Rt △OO 2B 中，R 2＝(9－x )2＋49.∴x 2＋400＝(9－x )2＋49．解得x ＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500π cm 2.设计意图：通过观察、练习掌握圆柱、圆锥、圆台、球的概念，掌握它们的相关计算问题．例2. 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由题设可知，长方体的体对角线的中的就是球心，又因为222'+'52AC AB BC CC =+=所以所求的球的表面积为：2450S R ππ==设计意图：通过观察与分析，获得的球相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】1．板书设计：11.5 旋转体1.球的表面积例12.球的表面积例2练习与作业：2．总结概括：问题：（1）球的轴截面图形是什么？（2）球的表面积如何计算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．球的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 球的任意两条直径不一定具有的性质是()A．相交B．平分C．垂直D．都经过球心设计意图：球的性质辨析2. 下列命题正确的个数是()①球的半径是球面上任一点与球心的连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是圆面．A．0个B．1个C．2个D．3个设计意图：进一步掌握球的有关概念．3. 直径为6的球的表面积是()A．36πB．18πC．144πD．9设计意图：进一步掌握球的表面积的有关计算．4. 一个球的表面积是16π，则它的半径是()A．6 B．8C．4 D．2设计意图：进一步掌握球的表面积的有关计算．5. （1）若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积．（2）将条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？设计意图：进一步掌握球的表面积的有关计算．参考答案：1．C球的任意两条直径不一定垂直．2．C命题①是正确的；命题②是错误的，只有两点的连线段经过球心时才为直径；命题③是错误的，命题④是正确的，截面为圆面(圆及其内部)而不是圆．3．A球的半径为3，表面积S＝4π×32＝36π.4．D设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2.5. （1）正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝22＋22＋22，所以R＝ 3.∴球的表面积S＝4π×(3)2＝12π.（2）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图．所以球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，∴R＝1．∴球的表面积S＝4π×12＝4π.。

11.1.5 高中必修四数学教案《旋转体》

高中必修四数学教案《旋转体》教材与学情分析本节课是立体几何初步的起始课之一，学生继学习了多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念之后，进一步学习旋转体，为后续立体几何的进一步学习作好铺垫。

对于简单的旋转体，教材中介绍了圆柱、圆锥、圆台和球。

进入高中后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，学生不能再局限于一些结论的获得，而要注重结论的推导过程，揭示知识的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。

教材也要求学生要对学生发现的结论进行推理论证。

本节课着重于理解圆柱和圆锥，学生只在生活中有所理解，但只是生活意义上的理解，课本中给出了数学上的定义，圆柱与圆锥内容的承上之处在于它们与棱柱、棱锥都是四边形或三角形构成的，区别在于构成的方式不同。

这里学生认知上的一个重要发展是曲面的概念及其形成的数学理解，是学生发展的最近发展区。

教学目标1、理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义和结构特征，能识别和区分这些几何体。

2、掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积公式，能运用公式解决简单的实际问题。

3、掌握球的表面积公式，能解决与球有关的表面积问题。

教学重点圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征、侧面积和表面积。

教学难点旋转体有关的几何问题。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法。

一、导入从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台，如图11-1-40所示，观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式。

二、新知1、圆柱、圆锥、圆台圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体，如图11-1-4（1）所示，圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体，如图11-1-41（2）所示；圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周形成的几何体，如图11-1-41（3）所示。

用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体，其中，旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面。

高中物理几何模型讲解教案

高中物理几何模型讲解教案教学目标：1. 了解物理中常见的几何模型及其应用2. 掌握常见几何模型的性质和特点3. 能够运用几何模型解决物理问题教学内容：1. 球体和球面2. 圆柱体和圆锥体3. 立方体和正方体4. 三棱柱和四棱台教学重点：1. 掌握各种几何模型的基本定义及计算方法2. 理解几何模型在物理中的应用及意义教学步骤：一、导入（5分钟）教师通过展示不同几何模型的图片或实物，引导学生讨论并了解不同几何模型的名称和特点。

二、讲解球体和球面（15分钟）1. 定义球体和球面，并介绍其性质和应用2. 讲解球体和球面的体积和表面积计算方法3. 案例分析：如何利用球体和球面计算地球的体积和表面积三、讲解圆柱体和圆锥体（15分钟）1. 定义圆柱体和圆锥体，并介绍其性质和应用2. 讲解圆柱体和圆锥体的体积和表面积计算方法3. 案例分析：如何利用圆柱体和圆锥体计算圆柱形容器的体积和表面积四、讲解立方体和正方体（10分钟）1. 定义立方体和正方体，并介绍其性质和应用2. 讲解立方体和正方体的体积和表面积计算方法3. 案例分析：如何利用立方体和正方体计算一个房间的体积和表面积五、讲解三棱柱和四棱台（10分钟）1. 定义三棱柱和四棱台，并介绍其性质和应用2. 讲解三棱柱和四棱台的体积和表面积计算方法3. 案例分析：如何利用三棱柱和四棱台计算一个建筑的体积和表面积六、练习与讨论（10分钟）教师出一些练习题供学生练习，然后让学生讨论并分享解题思路。

七、总结（5分钟）教师对本堂课的重点内容进行总结，并强化学生对不同几何模型的应用和计算方法的理解。

教学反思：通过本节课的讲解，学生对常见几何模型的性质和特点有了更深入的了解，能够运用这些知识解决物理中的问题。

同时，通过案例分析的形式，增强了学生对几何模型的应用意义的认识。

在今后的教学中，可以进一步引导学生探讨几何模型在物理中的更广泛应用，并激发他们对物理学习的兴趣。

多面体与旋转体球的表面积教学目标课件

05
教学评价与反馈
评价方法
课堂表现
作业和测验
观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性和创新性，以及小组讨论中的表现等。
布置相关作业和测验，以检验学生对多面体与旋转体球的表面积的理解和掌握程度。
实践活动
自我评价与反思
组织学生进行实践活动，如制作多面体或旋转体的模型，通过实际操作来评价学生的技能和知识应用能力。
培养学生的团队合作精神和协作能力，提高学生的沟通交流能力。
培养学生的创新意识和创新能力，鼓励学生勇于探索、敢于尝试。
02
教学内容
多面体的表面积计算
总结词
掌握多面体的表面积计算方法
详细描述
介绍多面体的基本概念，包括正多面体、非正多面体等。通过实例演示，让学生掌握多面体的表面积计算方法，包括展开多面体、计算各个面的面积并累加等步骤。
了解多面体与旋转体的表面积在实际生活中的应用。
过程与方法目标
通过观察、分析多面体与旋转体的几何特性，培养学生的空间想象能力。
通过推导多面体与旋转体的表面积公式，培养学生的数学逻辑思维和推导能力。
通过解决实际问题，培养学生的数学应用能力和问题解决能力。
情感态度与价值观目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生对数学学习的积极性和主动性。
通过引导学生观察、思考，激发他们对多面体与旋转体球表面积
的好奇心和探究欲望。
案例分析法
通过具体案例的解析，帮助学生理解多面体与旋转体球的表面积计算方法，提高他们的问题解决能力。
小组合作学习
组织学生进行小组讨论，共同探讨多面体与旋转体球的表面积计算方法，培养他们的协作精神和沟通能力。

高二数学立体几何多面体部分教案全集(课时1-15)

课时1 棱柱（一）教学目的：理解棱柱的概念，掌握棱柱的分类以及有关性质。

教学过程：1、棱柱的概念：（1）定义：（2）几个名称：2、棱柱的分类：（1）按侧棱与底面是否垂直分：（2）按底面边数分：3、棱柱的性质：（1）（2）（3）4、例题：例1、正三棱柱ABC—A1B1C1，过侧棱BB1的截面与侧面AA1C1C相交于DD1，求证：截面BB1D1D是矩形。

例2、一直棱柱，底面是边长为3和4的平行四边形，且底面一条对角线为6，该棱柱最长对角线为10，求侧棱长。

例3、在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=60ο，AA1=a,AB=AC=2a,求证：CC1垂直于平面A1BC。

例4、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD=a/2，在侧棱CC1上截取CE=a，（1）求证平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求∆ADE的面积；（3）求平面ADE与平面ABC所成的角。

5、练习：书P43：1；课课练P46：1——6。

6、作业：书P46：3；课课练P46：8、9；P49：10。

课时2 棱柱（二）教学目的：掌握平行六面体的概念，性质；知道各集合的包含关系；掌握长方体的性质。

教学过程：1、棱柱的概念、分类和性质2、四棱柱的特殊情形：（1）平行六面体（2）直平行六面体（3）长方体（4）正四棱柱（5）正方体3、长方体的性质：4、例题例1、长方体ABCD—A1B1C1D1中，设D1B与自D1出发的三个面成αβγ角，求证cos2α+cos2β+cos2γ=2.例2、四棱柱ABCD—A1B1C1D1中给出三个论断：（1）四棱柱是直四棱柱，（2）底面ABCD 是菱形，（3）AC1 B1D1. 以其中两个论断作条件，余下一个作结论，可以得到三个命题，其中有几个是真命题？为什么？例3、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有对角线都相等，求证：平行六面体ABCD—A1B1C1D1是长方体。

第二章多面体与旋转体棱锥、圆锥的体积-推荐下载

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体棱锥、圆锥的体积教案教学目标1．使学生掌握棱锥、圆锥的体积公式及初步运用进行锥体体积运算；2．使学生进一步树立联系转化的数学思想，进一步提高逻辑推理和图形变换的能力；3．通过本节课教学使学生思维品质（如思维的深刻性、灵活性）受到锻炼．教学重点和难点棱锥、圆锥体积公式推导为重点，以联系转化为主线推导棱锥、圆锥体积公式的过程为难点．教学设计过程师：今天我们研究的课题是棱锥、圆锥的体积．已知：锥体的底面积为S，高为h．求：V锥体=？（板书课题）这些锥体可以是三棱锥、四棱锥、五棱锥……还可以是圆锥．（教师一边说一边出示小黑板——图1）师：对于这个课题我们要解决二个问题：1．底面积是S，高是h的锥体体积公式是什么？2．如何推导这个公式？怎么推导锥体体积公式呢？（学生思考片刻后，教师继续引导）师：能不能用体积单位去量？（引导学生从几何体体积度量方法入手考虑问题）生：（摇头示意不成）师：还有什么方法？生：能不能利用祖暅原理？师：是一种方案，如果想用祖暅原理就需要用我们已经知道了体积公式的几何体来比，用哪种几何体呢？生：柱体．师：这些柱体可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱……，还可以是圆柱．（出示第二块小黑板——图2）师：为了用祖暅原理，我们选这些柱体底面积为S，高为h，于是这两类几何体都可以夹在两个平行平面间，满足祖暅原理第一条，然后用平行于这两个平行平面的平面去截这些几何体，分别得到截面，这时锥体的截面积与柱体的截面积相等吗？生：不相等．师：为什么？生：柱体的截面与柱体底面全等，所以柱体的截面积为S，而锥体的截面与柱体的底面相似，所以锥体截面积不等于S．师：说得很好，这说明没有满足祖暅原理的第二个条件，因此利用祖暅原理也不可能了，怎么办？（学生感到困惑，教师引导鼓励学生思考）师：我们不妨调整一下思路，刚才只说了这些锥体的截面积不等于S，这些截面之间又有什么关系？生：这些锥体截面积相等．师：能证明吗？（学生口述，教师板书）又因为这些锥体的底面积，高、顶点到截面距离分别相等．所以这些锥体的截面积相等．师：由我们得到的这些锥体的条件，可以得出什么结论？生：这些锥体体积相等．师：根据什么得出这个结论？生：根据祖暅原理．师：谁能概括一下我们得到这个命题．生：夹在两个平行平面间，底面积相等的锥体体积相等．师：很好，但可以再简练些．能夹在两个平行平面间说明这些几何体高相等，最后概括为（板书）定理1 等底面积等高的两个锥体体积相等．师：虽然祖暅原理不能帮我们直接得到锥体体积公式，但它帮我们得到了一个很好的定理．根据这个定理，我们的研究对象还用这么多吗？生：不用．研究锥体中的一个就可以了．师：研究哪一个比较好呢？（学生议论纷纷，说法不一）生：有的同学说三棱锥，有的同学说圆锥．我们选择的标准应该是简单、方便研究的几何体，圆锥涉及曲面问题，研究比较复杂，所以选棱锥中最简单的三棱锥做研究对象．（取下小黑板，微机显示一个三棱锥图形——图3）师：现在锥体体积公式的推导归结为三棱锥体积公式的推导．研究三棱锥体积，还得与柱体体积有联系，选三棱柱．（微机显示—图4）（完成第一次转化，使研究系统简化）师：对于底面积S，高为h的三棱柱ABC－A＇B＇C＇，三棱锥P－ABC，它们的体积会有什么关系？（学生考虑，教师引导）二个几何体的体积哪一个大？（学生活跃起来，抢着说出答案）生：三棱柱体积大．师：能从数学角度论证一下吗？（学生沉默片刻，部分同学举手）生：在三棱柱中，连结A＇B，A＇C．（微机显示—图5）三棱锥A＇－ABC，底面△ABC，面积为S，高为h，根据定理1，它的体积与三棱锥P－ABC体积相等，说明三棱锥P－ABC体积是三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积一部分，所以三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积比三棱锥P－ABC体积大．师：论证得很好，那么三棱柱体积比三棱锥体积大多少呢？（学生很感兴趣，议论纷纷，互相争论）生：三棱柱体积大约是三棱锥体积3倍左右．师：能说说理由吗？（学生思考片刻回答）生：在三棱柱中，连结B＇C，三棱锥C－A＇B＇C＇底面△A＇B＇C面积为S，高为h，它的体积与三棱锥A＇－ABC体积相等．师：这说明三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P－ABC体积2倍．这时三棱柱被分割成了三部分，其中三棱锥A＇－ABC与三棱锥C－A＇B＇C＇体积相等．（微机显示—图6，△ABC，△A＇B＇C＇红色画面闪动，点A＇，C＇白色亮点闪动）现在关键是三棱柱被分割为三部后中间部分图形体积，这是个什么图形？（教师指示图6（2））生：也是三棱锥．师：这个三棱锥以哪个点为顶点，哪个面为底面？生：A＇为顶点，△B＇BC为底面，也可以看成B＇为顶点，△A＇BC为底面，或者看成C为顶点，△A＇B＇B为底面．师：那么这个三棱锥体积是多少呢？（学生议论纷纷，思维活跃）我们希望……生：相等．师：是的，我们希望这个三棱锥体积与另外二个三棱锥体积相等，那么，它们体积相等吗？（学生积极思考，教师适当提示）师：想证两个三棱锥体积相等，需要哪些条件？生：等底面积，等高．师：能找到这二个条件吗？（学生观察，思考）师：不能只看局部，要注意局部与整体相结合．（微机显示—图7）生：三棱锥A－A＇BC与三棱锥B＇－A＇BC底面积相等．师：这时高如何？（学生感到有困难）师：这时想证两个三棱锥高相等有困难，能不能换个角度．生：先找高相等，A＇为顶点，三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C有共同的高，而在三棱柱ABC－A＇B＇C＇中，四边形B＇C＇CB为平行四边形，B＇C将B＇C＇CB分成面积相等的二个三角形，所以△B＇BC与△B＇C＇C面积相等．（微机显示—前图6，△＇B＇BC，△B＇C＇C绿色画面闪动，A＇白色亮点闪动）由定理1，可知三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C体积相等．师：很好，由此可知三棱柱分割成的三个三棱锥体积相等，也就是说三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P＇－ABC体积3倍．由于三棱柱的底面积为S，高为h，三棱锥底面积也为S，高为h．推导公式的过程是以联系，转化为主线，这是一种通用的数学思想．3．转化特点（1）由研究所有锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，使研究简化，这是通过逻辑推理实现的．（2）三棱锥体积公式的导出，又是利用三棱柱与三棱锥二种图形间内在联系（三棱锥可以补成三棱柱，三棱柱可以分割成三棱锥）进行转化的．下面我们利用已经导出的锥体体积公式进行体积计算．（显示投影软片）练习：1．已知：等边圆锥S－O，底面半径r．生：因为是等边圆锥，所以轴截面为等边三角形，又因为圆锥底面在正方体ABCD－A1B1C1D1中．因为E，F，G分别AB，BC，BB1中点，所以EF=FG=GE，BE=BG=BF．所以在三棱锥B－EFG中，顶点B在底面射影为底面正△EFG的中心O．所以BO为三棱锥B－EFG的高．（此时学生中有人议论，教师不打断回答问题学生的思路）连结GO延长交于EF于P，因为正方体棱长为a，师：利用棱锥体积公式进行体积计算时，首先要正确使用公式，其次要注意运算途径的简捷、合理．在今后的学习中我们还要进一步加强对锥体体积公式的灵活运用．作业课本p．103 习题十三1，3，4．课堂教学设计说明这节课是锥体体积教学的第一节课，教学重点是锥体体积公式的推导，在锥体体积公式推导过程中，学生在教师启发下，进行一定量的思维活动，力争体现教师的主导作用和学生的主体地位．在公式推导过程中，教师的每一次提问，都应该促使学生积极思考，学生的每一次思考不一定都有正确答案，但这个思考过程是非常重要的，学生在思考过程中可以猜想，可以估算，甚至可以大胆猜想，并设法论证自己的猜想．正是由于学生的参与，学生的思维品质得到了锻炼和提高，而老师的作用是创设思维情景，促进学生思维活动．锥体体积公式推导的过程教学，也是向学生渗透联系，转化等数学思想的机会，这节课体现了两次重要的转化，一次是利用祖暅原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的，这也是这里区别于其他地方转化的特点．本节课突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．本节课尝试使用计算机辅助教学，在体现三棱锥与三棱柱两种几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观、有动感，弥补在黑板上画图动感差，费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，起到了良好的辅助作用，在教学中使用现代化教学手段是很有必要的，但应注意适时、适量．。

苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(2)

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球
掌握它们的生成
【精典范例】
例1：给出下列命题：
甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线
乙：圆台的任意两条母线必相交
丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没
有母线。

其中正确的命题的有（Ａ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？。

【解】见书９页例１
例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。

甲乙
【解】见书９页例２
思维点拨：
如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。

如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？
解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。

A B
C
D
追踪训练
1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？
听课随笔
答：略
2. 如图，将平行四边形ABCD绕AB旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
D C
答：圆锥和圆柱
3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？
答：圆
【师生互动】
学生质疑
教师释疑。

高中数学北师大版2019必修第二册教案简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台【教学目标】1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义。

2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体。

【教学重难点】1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

2．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题。

【教学过程】一、基础铺垫所围成的旋转体形成的面所围成的旋转体3．圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做球体，简称球二、新知探究1．旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确（1）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；（2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；（4）到定点的距离等于定长的点的集合是球。

[解]（1）错。

由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴。

（2）错。

直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示。

（3）正确。

（4）错。

应为球面。

【教师小结】（1）圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求。

（2）只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误。

2．旋转体中的计算[探究问题]（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？[提示]圆面。

（2）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？[提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形。

（3）经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？[提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形。

（4）球的截面是什么？[提示]球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。

高二-11-多面体与旋转体

1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲多面体与旋转体知识梳理例题分析模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是、棱数是、面数是．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为（精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。