函数与映射

四、初等函数、分段函数
五
第一章 函数与极限（Function ）
一、坐标系 二、集合 三、函数的概念 四、初等函数、分段函数
第一节 坐标系（coordinate system）
1．平面直角坐标系
第二象限
y
b
3 第一象限．C(a, b)
2
1
3
2
1 O
1 1
23axFra bibliotek第三象限
2 第四象限
点 a 的左 邻域 (a , a);
点a 的右 邻域 (a，a ).
第三节 函数的概念（concept of function）
一、 函数的概念
1、映射 2、函数
函数的两要素: 定义域与对应法则.
例如: y x 与y 1 x
y x与y x2
定义域的计算: 是使解析式有意义的自变量所能取得
则称 f (x) 为偶函数（或奇函数）.
y y f (x)
y
f (x)
y f (x)
f (x)
f (x)
-x
o
xx
-x o x
x
偶函数
y cos x y sin x
f (x) 奇函数
4.函数的周期性
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个正
数l, 使得对于任一x D, ( x l) D. 且 f (x l) f (x) 恒成立. 则称f ( x)为周期函数, l称为f ( x)的周期.
正割函数 y sec x 1 cos x
余割函数 y csc x 1 sin x
sec2 x 1 tan2 x csc2 x 1 cot2 x
（5）反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
反余切函数 y arc cot x
arcsin x arccosx arctan x arc cot x
2
2
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为基本初等函数（或简单函数）.
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限 次四则运算和有限次的函数复合步骤 所构成并可用一个式子表示的函数,称 为初等函数.
y
函数 y f ( x)
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
x0
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
例1 求函数
的反函数.
y 2x 1
解：由
y 2x
1
得
x

到一切实数组成的集合.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
显函数:等号左端是因变量的符号，而右端是 含有自变量的式子.
例如， y 1 x2
例如 y = x2 , y = 2x , y = sin2x.
隐函数:如果变量 x、y 满足方程 F(x、y) = 0 ,在 一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时， 通过方程 F(x、y) = 0 总能唯一确定满足条件的 y 与之对应。
任意的、所有的或一切 存在
常用数集： N N+ Z Q R
2、邻域 U (a, ) {x x a } {x a x a }=(a , a )
a
a
a x


点a的去心的邻域,
0
记作 U（a,）
0
U (a, ) {x 0 x a }.
则称函数f (x)在D上有界,否则称为无界.
y K
y M
y=f(x)
o
x
有界 D
x0
o
D
x 无界
-K
-M
2.函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f (x1) f (x2), (或 f (x1) f (x2)),
四、分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
f
(
x)

2x

x
2

1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
1,
符号函数
sgn
x


0,
1
x 0, x 0, x0
y
1
O
x
1
log
( 2
y1)
，
所以，所求反函数为
y log2(x1) (x 1)
二、复合函数
设 y u, u 1 x2
y 1 x2
x 自变量, u 中间变量, y 因变量.
注意：（1）不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数；
例如 y u 2和u sin x 不能构成复合函数
v
22
2
O
10 t
1、高等数学的研究对象：函数 （初等函数）
2、研究函数的分析性质
连续性 可导性 可微性 可积性
3、研究的基本工具或方法： 极限
C目 录 ONTENTS 一、函数与极限 二、导数与微分 三、中值定理导数应用
四、不定积分 五、定积分 六、定积分的应用 七、微分方程
一、函数与极限 二、导数与微分 三、微分中值定理与导数的应用
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的（; 或单调减少的）
y
f (x2 ) f (x1)
y f (x)
x1
x2
o
I
y
f (x1) f (x2 )
x
o
y f (x)
x1
x2
I
x
3.函数的奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x) f ( x) (或f (x) f (x))
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
第四节 初等函数、分段函数
一、 反函数
设函数 y f (x)的定义域为D,值域为W.
若对W中每一值 y0 ，D中必有一个值 x0 ，使得 f (x0) y0
则在W上可确定一个函数，称此函数为函数的反函数，
记作
x f 1( y) y W
例如 y - x2 = 0, y - 2x = 0, y + sin2x = 0
ey xy x2 0
三、函数几种特性
例如：函数y 1
x
1.有界性
在区间（0,1）内无界。 在区间（1,2）内有界，
设函数 f (x) 在集D上有定义，若存在正数K，使得对
一切 x D 有 f (x) K,
（2）复合函数可以由两个以上的函数复合构成；
例如 y esin x22 是由函数 y eu , u sin v, v x2 2 复合而成.
三、基本初等函数与初等函数
(1)幂函数
y x (是常数)
y
y x2
(1,1) y x y x
o
x
y 1 x
(2)指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
y
0 a 1
a 1
1
O
x
（3）对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y
a 1
O1
x
0 a 1
（4）三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x
3
2. 极坐标系
M(r, )
r

O
x
r 为 M点的极径； 为 M点的极角.
y
(x, y)
r M(r, )
y

Ox
x
x r cos
直角坐标与极坐 标之间的变换公式
y r sin
x2 y2 r2
tan y (x 0)
x
例1 将点M 的直角坐标(1, 3)化为极坐标.
例 下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
(1)y arcsin(3x2 ) 是由函数 y arcsin u 和 u 3v , v x2 复合而成.
(2) y 22x1 x 1 是由函数 y u v, u 2 , 2x 1, v t ,t x 1 复合而成.
解 r (1)2 ( 3)2 2 tan 3 3
1
x2 y2 r2
tan y (x 0)
x
因为点 坐标为
M(2在, 4第)三象限，所以


4。因此点 M 的极
3
3
第二节 集合(assemblage)
一、集合的概念
1、集合：具有某种特定性质的事物的全体 A、B、C 事物个体称为集合的元素 a、b、c aA aA