实际问题与二次函数拱桥问题
《实际问题与二次函数》(拱桥问题)
2023-11-06•引言•拱桥问题建模•数值模拟与优化•实验设计与实施•结论与展望目录01引言背景介绍在过去的几十年中，随着科技的发展和工程材料的进步，拱桥设计得到了更多的创新和改进。
然而，拱桥问题仍然是一个具有挑战性的研究领域，需要进一步探索和研究。
拱桥作为一种传统的桥梁形式，具有悠久的历史和广泛的应用。
研究目的和意义研究拱桥问题的目的是为了更好地了解其力学性能和设计优化。
拱桥作为重要的交通枢纽，其安全性和可靠性对于保障人们的生命财产安全具有重要意义。
通过研究拱桥问题，有助于提高桥梁设计水平，促进交通基础设施的发展。
02拱桥问题建模拱桥结构与受力分析拱桥结构拱桥是一种常见的桥梁结构，其特点是在承受载荷时可以将压力转化为张拉力，因此具有较好的抗压性能。
拱桥的主体结构由拱圈和桥墩组成，拱圈是主要的承载结构，桥墩则起到支撑和固定拱圈的作用。
受力分析在承受载荷时，拱桥的拱圈主要承受压应力，而张拉应力则主要由钢筋承受。
桥面上的车辆等载荷通过桥面传递到拱圈上，进而传递到拱桥的支撑结构上。
根据载荷的大小和分布情况，拱桥的支撑结构需要满足一定的强度和稳定性要求。
二次函数在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状受到二次项系数a的影响。
拱桥形状拱桥的形状是一个抛物线形，其跨度和拱高受到二次函数的影响。
通过调整二次函数的系数，可以改变拱桥的形状和跨度。
在实际设计中，通常需要根据桥梁的使用要求和地理条件来确定拱桥的形状和跨度。
二次函数与拱桥形状的关联物理意义在拱桥问题中，二次函数的参数具有明确的物理意义。
例如，二次项系数a代表拱桥的跨度，一次项系数b代表拱桥的高度，常数项c代表拱桥的宽度。
这些参数不仅影响拱桥的形状，还与桥梁的性能和使用要求密切相关。
约束条件在设计和建造拱桥时，需要满足一些约束条件。
例如，桥梁需要满足承载能力、稳定性、耐久性和施工可行性等方面的要求。
12 22.3实际问题与二次函数——拱桥问题
22.3.2实际问题与二次函数----拱桥问题学习目标：1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.一、知识回顾以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___ _______二、探究新知例如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？三、随堂检测1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( )A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m22.3.2实际问题与二次函数----拱桥问题学习目标：1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.一、知识回顾以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___ _______二、探究新知例如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？三、随堂检测1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( )A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m125125图①图①2.如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞 顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取 点A 为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是 y ＝－ (x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时 抛物线对应的函数解析式是__________．四、拓展延伸1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y ＝ax 2＋c 的形式,请根据所给的数据求出a.c 的值; (2)求支柱MN 的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.2.如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞 顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取 点A 为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是 y ＝－ (x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时 抛物线对应的函数解析式是__________．四、拓展延伸1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y ＝ax 2＋c 的形式,请根据所给的数据求出a.c 的值; (2)求支柱MN 的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.1919。
人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数拱桥问题教学设计
（1）理解并运用二次函数的顶点式和交点式分析拱桥问题。
（2）运用二次函数求最值的方法，解决拱桥设计的优化问题。
（3）将数学知识与现实问题相结合，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境：以我国著名的拱桥为例，如赵州桥，引入拱桥问题的探讨，激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
7.教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的表现，包括小组讨论、操作实践、问题解决等方面，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张我国著名拱桥的图片，如赵州桥，引导学生观察并思考拱桥的形状、结构等特点。
2.提出问题：拱桥的形状与二次函数有什么关系？如何利用二次函数的知识解决拱桥问题？
3.拓展作业：
（5）研究其他类型的实际问题，如抛物线形天线、拱形门等，运用二次函数的知识进行分析和解答。
（6）分组进行项目研究，选取一个实际工程项目，如桥梁、隧道等，运用二次函数进行优化设计，撰写项目报告，并在课堂上进行分享。
4.创新作业：
（7）结合所学知识，发挥创意，设计一个具有独特形状的拱桥，并运用二次函数进行求解和分析，将设计图与解题过程整理成册。
2.自主探究：引导学生运用二次函数的知识，自主探究拱桥问题，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
（1）提出问题：如何根据拱桥的形状和跨度，确定二次函数的表达式？
（2）合作交流：学生分组讨论，分享各自的想法和解决方法，互相学习，共同进步。
3.演示与讲解：教师通过多媒体演示或板书，讲解二次函数在拱桥问题中的应用，重点解析顶点式和交点式的运用，以及如何求解最值。
2.归纳要点：
（1）二次函数与拱桥问题的关系。
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题一、选择题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A．2.76米B．7米C．6米D．6.76米2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面 1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米二、填空题4.如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．5.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．6.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在为y=−x2+4x+94水池外．三、解答题7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？8.如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度AB=40米，拱桥高度为10米．(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；(2) 若测量得拱桥内水面宽度为28米，求拱桥内的水深．9.已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．(1) 写出隧道截面的面积y(m2)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少（精确到0.1m2）？10.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米（图中用线段AD，FG，CO，BE等表示桥柱），CO=1米，FG=2米．(1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2) 求桥柱AD的高度．11.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示，已知OA=8米，距离O点2米处的棚高BC为9米．4(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁DE的长度是多少米？12.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；(2) 求水管AB的长．13.如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．(2) 若水面上升1m，水面宽度将减少多少？14.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．15.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是 4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．16.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式．(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．17.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．(1) 画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；(2) 在抛物线型拱壁E，F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？18.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．(2) 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4√3≈7）(3) 运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑多少米？（取2√6≈5）答案一、选择题1. 【答案】D【解析】设该抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =10，代入表达式得 −4=a ×102，解得 a =−125，故此抛物线的表达式为 y =−125x 2，∵ 桥下水面宽度不得小于 18m ，∴ 令 x =9 时，可得 y =−125×81=−3.24(m )， 此时水深 6+4−3.24=6.76(m )， 即桥下水深 6.76m 时正好通过， ∴ 超过 6.76m 时则不能通过．2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 MN =4 米，EF =14 米，BC =10 米，DO =32 米，设大孔所在抛物线的解析式为 y =ax 2+32(a ≠0)，∵BC =10 米， ∴ 点 B (−5,0)，∴0=a ×(−5)2+32， ∴a =−350，∴ 大孔所在抛物线的解析式为 y =−350x 2+32，设点 A (b,0)，则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =m (x −b )2， ∵EF =14 米，∴ 点 E 的横坐标为 −7， ∴ 点 E 的坐标为 (−7,−3625)，当 m (x −b )2=−3625 时，解得 x 1=65√−1m +b ，x 2=−65√−1m +b ， ∵MN =4 米， ∴∣∣∣∣65√−1m +b −(−65√−1m +b)∣∣∣∣=4， ∴m =−925，∴ 顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =−925(x −b )2，∵ 大孔水面宽度为 20 米，∴ 当 x =−10 时，y =−92， ∴−92=−925(x −b )2， ∴x 1=5√22+b ，x 2=−5√22+b ，∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+b)−(−5√22+b)∣∣∣=5√2（米）． 故选B ．二、填空题4. 【答案】 36【解析】如图所示：设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B ， ∵10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称，则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒， ∴ 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒， 从 O 到 C 需要 2×18=36 秒．5. 【答案】 7.24【解析】设抛物线 D 1OD 8 的解析式为 y =ax 2，将 x =−13，y =−1.69 代入，可得 a =−1100．因为横梁 D 1D 8=C 1C 8=AB −2AC 1=36 m ，所以点 D 1 的横坐标是 −18，代入 y =−1100x 2，得 y =−3.24． 因为 ∠A =45∘，所以 D 1C 1=AC 1=4 m ，所以 OH =3.24+4=7.24 m ．6. 【答案】 92三、解答题7. 【答案】(1) 根据题意，A (−4,2)，D (4,2)，E (0,6)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+6(a ≠0)，把 A (−4,2) 或 D (4,2) 代入得 16a +6=2，得 a =−14，抛物线的解析式为 y =−14x 2+6．(2) 根据题意，把 x =±1.2 代入解析式，得 y =5.64， ∵5.64>4.5，∴ 货运卡车能通过．【解析】(1) 方法二：设解析式为y=ax2+bx+c，代入A，D，E三点坐标得{16a−4b+c=216a+4b+c=2c=6，得{a=−14b=0c=6，抛物线的解析式为y=−14x2+6．8. 【答案】(1) 建立如图所示坐标系，设抛物线铁板式为y=ax2；由题意得，B(20,−10)，∴−10=202a，解得a=−140，∴y=−140x2．(2) 由题意得，点D横坐标为28÷2=14，当x=14时，y=−140×142=−4.9，−4.9−(−10)=5.1．∴拱桥内的水深5.1米．9. 【答案】(1) y与x之间的函数表达式是y=12πx2+5x；(2) 当x=2时，y=12π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2)．所以隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是16.3m2．10. 【答案】(1) 由题意可知：点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为(−4,2)．设抛物线的函数解析式为y=ax2+c，所以{1=c,2=16a+c,解得{a=116,c=1.所以抛物线的函数解析式为y=116x2+1．(2) 点A的横坐标为−8，当x=−8时，y=5，所以桥柱AD的高度为5米．11. 【答案】(1) 由题意可得，抛物线经过(2,94)，(8,0)，故{64a+8b=0,4a+2b=94,解得{a=−316,b=32,故拋物线的解析式为y=−316x2+32x．(2) 由题意可得，当y=1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1=4+2√2，x2=4−2√2，故DE=x1−x2=4+2√2−(4−2√2)=4√2（米）．12. 【答案】(1) 以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为y =a (x −1)2+3，代入 (3,0)，求得 a =−34， 故所求的函数解析式为 y =−34(x −1)2+3(0≤x ≤3)．(2) 令 x =0，则 y =94=2.25．故水管 AB 的长为 2.25 m ．13. 【答案】(1) 以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A (−6,−4)，B (6,−4)，C (0,0)，设 y =ax 2，把 B (6,−4) 代入上式，36a +4=0，解得：a =−19，∴y =−19x 2．(2) 令 y =−3 得：−19x 2=−3，解得：x =±3√3， ∴ 若水面上升 1 m ，水面宽度将减少 12−6√3．14. 【答案】(1) 如图，A (−4,0)，C (0,4)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+k (a ≠0)，由题意，得 {16a +k =0,k =4,解得 {a =−14,k =4,∴ 抛物线的解析式为 y =−14x 2+4．(2) 2+0.42=2.2，当 ∣x ∣=2.2 时，y =−14×2.22+4=2.79，2.79−0.5=2.29(m )．答：该货车能够安全通行的最大高度为 2.29 m ．15. 【答案】(1) 以 AB 的中点为原点，建立如下的坐标系， 则点 C (0,6)，点 B (5,0)．设函数的表达式为 y =ax 2+c =ax 2+6(a ≠0)，将点 B 的坐标代入上式，得 0=25a +6，解得 a =−625，故抛物线的表达式为 y =−625x 2+6．(2) 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为 2，当 x =2 时，y =−625x 2+6=−625×4+6=12625=5.04，船的顶部高为 4.5，4.5+0.5=5<5.04，故顶部通过符合要求，故这艘游船能安全通过玉带桥．16. 【答案】(1) 方案二；(10,0)；由题意知，抛物线的顶点坐标为 A (5,5)，且经过点 O (0,0)，B (10,0)， 设抛物线的解析式为 y =a (x −5)2+5（a ≠0），把点 (0,0) 代入，得 0=a (0−5)2+5，解得a=−15．∴抛物线的解析式为y=−15(x−5)2+5．(2) 在方案二的前提下，由题意知，当x=5−3=2时，−15(x−5)2+5=165，所以水面上涨的高度为165米．17. 【答案】(1) 画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，可设抛物线ADC的函数表达式为y=a(x−6)2+10，将x=0，y=4代入得：a=−16，∴抛物线ADC的函数表达式为y=−16(x−6)2+10．(2) 由y=8得：−16(x−6)2+10=8，解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3，则EF=x1−x2=4√3，即两盏灯的水平距离EF是4√3米．18. 【答案】(1) 根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y=a(x−6)2+4，将点A(0,1)代入，得36a+4=1，解得a=−112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式为y=−112(x−6)2+4．(2) 令y=0，得−112(x−6)2+4=0，解得x1=4√3+6≈13，x2=−4√3+6<0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米．(3) 如图，足球第二次弹起后的水平距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴−112(x−6)2+4=2，解得x1=6−2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2−x1=4√6≈10（米），∴BD=13−6+10=17（米）．答：运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑17米．。
22.3实际问题与二次函数 拱桥问题
20m
B
谈谈你的学习体会
实际问题 解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决
2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。
3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
5．布置作业
教科书习题 22.3
Y
设抛物线的解析式为 Y=a（x+2）² +2 或y=a（x+4）（x-0） ∴y=-0.5x² -2x
OX
（-4、0）
（0、0）
还是都来做一做
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设抛物线的解析式为 Y=a（x-2）² +2 或y=a（x-0）（x-4） ∴y=-0.5x² +2x
（0、0）
o
（2、2）
x
（4、0）
y、2） （0
设抛物线的解析式为 Y=a（x-0）² +2 或y=a（x+2）（x-2） ∴y=-0.5x² +2
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当 b x 2a 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 4ac b 2 y ． 4a 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围； 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
2 2、已知二次函数y=-x +3x+4的
图象如图： 2 1)方程-x +3x+4=0 X=-1,x=4 的解是_____ 2)不等式-x2+3x+4>0 -1<x<4 的解集是____ 3)不等式-x2+3x+4<0 X<-1或x>4 的解集是____
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册
例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数----拱桥问题(讲课)
22.3实际问题与二次函数----拱桥问题班级：姓名：一、课前预习：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，根据图中的直角坐标系，你能求出涵洞所在的抛物线的解析式吗？二、探究新知图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m .水面下降1m时，水面宽度是多少？思考：还有其它建立坐标系的方法吗？选择一种解答出来.三、应用新知1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为y=−125x2,当水位线在AB位置时,水面宽AB=30米,这时水面离桥顶的高度h 是米.2.如图所示，有一建筑物从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，求水流落地点B离墙的距离OB.3．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．四、当堂达标某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:(1) 建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式；(2) 若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围有多宽.五、补偿提高1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=−14x2+4表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图,已知球在A处出手时离地面209m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?。
22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册
距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课 堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练 的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习 度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知 由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题3 如何确定a是多少？ 索 解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精 状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰 式 在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 训 向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能 力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
13 实际问题与二次函数-拱桥建立坐标系3
课堂检测
1、一自动喷灌设备的喷流情 况如图
C
所示，设水管AB在高出地面1.5米
的B处有一自动旋转的喷水头，水 B
流是抛物线状，喷头B与水流最高
点C连线与水平面成45度角，落点
D到A点的距离。
解：以水管AB所在直线为y轴，以AD所在直线为x轴
建立直角坐标系。则：B(0,1.5)
连接B、C，过点C作CE y轴于点E。
又由题意知CBE=45 ,BE=2米
AE=3.5米 CE=BE=2米
顶点C 2,3.5
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2 +3.5
B(0,1.5)在抛物线上
1.5=a(0-2)2 +3.5
y
a=-
1 2
y=-
1(x-2)2 2
+3.5
实际问题与二次函数 ---建立合适的坐标系
y
x
o
课前准备
y
y
y
ox
o
x
0
x
1、看图巧识抛物线的解析式，你能说出你的依据吗？
(1) y=ax2 (2)y=a(x-h)2+k (3)y=ax2+k
课前预习
问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个桥洞的
最大高度为16cm，跨度40cm，现在把它的图形放在
25 y 1 (x 20)2 16
25 当x 15时，y 15;当x 25时，y 15. 即：铁柱的高度为15米。
课中研讨
问题二：如图是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱 桥离水面2米，水面宽4米。水面下降1米，水面宽度 增加多少米？
L
思考： 一.①从题目自身条件，你能联想到用 数学知 识来解决？
实际问题与二次函数拱桥问题
3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式。分析图象(并注意变量的取值范 围), 解决实际问题。 4 .返回实际背景检验。
谈谈你的学习体会
实际问题 解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决
2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。
3、选用适当的解析式求解。思
解二次函数应用题的一般步骤： 1 . 审题,弄清已知和未知。 2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适 当的平面直角坐标系。
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为
1 2
y 解：如图建立如下直角坐标系，设这条抛物线解析式为 y a( x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
●
(0,0)
●
a
解：如图，以AB所在的直线为x轴，以
AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角
坐标系 . ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4 设抛物线所表示的二次函数为 2 )
y ax 4.4
a 1.1
∵抛物线过A(-2,0) 4 a 4.4 0
探究3：
0
(-2,-2)
●
y
解：如图建立如下直角坐标系,设这条抛物
线解析式为
y ax
a
2
由抛物线经过点（2，-2），可得
x
(2,-2)
●
y 3 抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 当 y 3 时，x 6 面下降1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的宽 度为 2 6 m.
22.3.3实际问题与二次函数(3)(拱桥问题)
A
B
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现 测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水 面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥顶离
水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽 度为多少？水面宽度增加多少 ?
zxxkw
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
得 y ax2 (a 0)
所以 2.4 a 0.82
因此，函a数 1系45 式是
y 15 x2 4
22.3.3 二次函数与抛物线形问题
---------------拱桥问题
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1、如图，拱桥是抛物线形,其函数解析式 为 y - 1 x2 ，当水位线在AB位置时，水面的 宽度为302米5 ，这时水面离拱桥的高度是多少？
y
9米
x
A
B
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测 得 水 面 宽 1 ． 6m ， 涵 洞 顶 点 O 到 水 面 的 距 离 为 2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线 的函数关系式是什么？
水面宽 2 6 4.9m.
增加（2 6 4）米
y
y
0
X
(1)
y
0
X
0 y
x
(2)
0
X
(3)
(4)
5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物， 如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高 度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过 大 门 ， 货 物 顶 部 距 地 面 2 ． 8m ， 装 货 宽 度 为 2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
(2021年整理)实际问题与二次函数拱桥问题
实际问题与二次函数拱桥问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（实际问题与二次函数拱桥问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为实际问题与二次函数拱桥问题的全部内容。
实际问题与二次函数拱桥问题【学习目标】1．理解二次函数模型的基本构成;2．能够从实际问题中抽取出数学问题,建立数学模型；3．建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题数值转换为二次函数问题。
4。
通过创设合理情境，引导学生恰当建立坐标系,灵活的将实际问题转化为二次函数求点坐标的问题。
培养学生建模思想、转化思想、数形结合思想的学习.【教学难点】通过恰当的建立坐标系，利用二次函数知识分析并解决桥洞水面宽度问题。
【教学难点】实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。
【课前导学】1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为241x y -=，当拱桥下水位线在AB 位置时,水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．m 3B ．m 62C ．m 34D ．m 93.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？【设计意图】三个问题的提出是让学生对于二次函数的关系式、性质的回忆,利用后面的问题解决。
【典型例题】下图是抛物线拱桥,当水面在l 时，拱顶离水面m 2，水面宽m 4，水面下降m 1，水面宽度增加多少?设计以下的问题：问题1：对于此题你能联想到用我们学过的什么数学知识来解决?（二次函数的图像是抛物线，而这个问题是关于抛物线形拱桥的，由此学生不难联想到用二次函数的知识来解决。
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实际问题与二次函数拱桥问题
【学习目标】
1．理解二次函数模型的基本构成；
2．能够从实际问题中抽取出数学问题，建立数学模型；
3．建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题数值转换为二次函数问题。
4.通过创设合理情境，引导学生恰当建立坐标系，灵活的将实际问题转化为二次函数求点坐标的问题。
培养学生建模思想、转化思想、数形结合思想的学习。
【教学难点】通过恰当的建立坐标系，利用二次函数知识分析并解决桥洞水面宽度问题。
【教学难点】实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。
【课前导学】
1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．
2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为
2
41x y -=，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）
A ．m 3
B ．m 62
C ．m 34
D ．m 9
3.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞
顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
【设计意图】
三个问题的提出是让学生对于二次函数的关系式、性质的回忆，利用后面的问题解决。
【典型例题】
下图是抛物线拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面m 2，水面宽m 4，水面下降m 1，水面宽度
增加多少？
设计以下的问题：
问题1：对于此题你能联想到用我们学过的什么数学知识来解决？
（二次函数的图像是抛物线，而这个问题是关于抛物线形拱桥的，由此学生不难联想到用二次函数的知识来解决。
）
问题2：求水面宽度增加多少，就是要求解什么样的数学问题？
问题3：如何用函数的有关知识求解出线段CD的长?
(引导学生要求线段CD的长就必须知道C点和D的坐标，而要知道C点和D点的坐标就必须知道抛物线的解析式，而要求抛物线的解析式就必须建立平面直角坐标系。
)
教师在学生回答此问题后小结：对于抛物线型的实际问题，我们可以建立适当的平面直角坐标系，从而求出抛物线的函数关系式，然后利用二次函数的有关知识来解决。
在次基础上让学生尝试着建立平面直角坐标系。
学生先独立思考，再在小组内讨论交流，教师行间巡视，适时点拨。
学生常常会考虑以下几种情况: 1、以拱桥顶点为原点，以平行于水面的直线为x轴建立坐标系；2、以水面为x轴，以拱桥对称轴为y轴建立坐标系；3、已下降后的水面为x轴，以拱桥对称轴为y轴建立坐标系；4、已下降后的水面x轴，以该水面与拱桥的交点为y轴建立坐标系等等。
【设计思路】让学生有目的、有计划、有针对性的自学，是上好课的关键，因此自学提纲的设计显得尤为关键，在问题的设计上我遵循了由易到难、由简到繁，有利于学生掌握解题思路、方法，在问题的引导下很自然达到一定的高度，掌握了一定的知识和技能。
【尝试练习】(教师在小组讨论后，派代表到黑板上画出相应的图形)教师根据相应的图形找同
学到黑板上进行解决，解完后让学生对各方法进行比较：
(1)计算结果是否相同；
(2)哪种方法的解答最简捷。
【设计思路】通过该环节使学生明确坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是一致的。
但恰当的选择坐标系的位置可以使得解答简便，否则不仅解答不简便，有时还会导致问题无法解答。
【精讲点拨】有关抛物线形的实际问题的一般解题思路：
1、建立适当的平面直角坐标系
2、根据题意找出已知点的坐标
3、求出抛物线解析式
4、直接利用图象解决实际问题.
【设计思路】：通过总结抛物线型实际问题的解题步骤，使学生豁然开朗，解题思路明确，为解同类题指明了方向。
【跟踪练习】
1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得，当水面宽
4.2．这时，离开水面
时，涵洞顶点与水面的距离为m
AB6.1
m
1？
5.1处，涵洞宽ED是多少？是否会超过m
m
2、如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度AB=40米，水面离拱桥的最大高度DC为16米．现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船．请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？
【课堂小结】
解决实际问题的步骤是什么？
建模思想实际问题转化成数学问题。
【设计思路】总结升华可以帮助学生理清知识脉络，对所学知识进一步回味、消化，由感性上升到理性，增强信心，提高兴趣。
【作业】
1、有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的
隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与
车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。
该车能通过隧道吗？请说明理由
2、抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.。
若货船在水面上的部分的横截面是矩形，已知货船的宽为2.9m，且船高出水面1m，问货船能否顺利通过这座桥？【设计思路】作业的设计是例题的变式练习，具有一定的创新性，解法多样，问题的解决可开拓学生的思维，巩固所学知识。