(lecture_04)母函数090430

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母函数的概念和使用

母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。

它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。

形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。

母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。

例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。

2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。

递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。

通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。

3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。

通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。

生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。

母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。

同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。

母函数（生成函数）

母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。

如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。

具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。

（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。

假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。

⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。

递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。

所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。

然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。

具体计算就不算了。

PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。

母函数公式范文

母函数公式范文母函数是组合数学中一个非常重要的工具，用于解决各种组合计数问题。

它是一种将一个数列表示成一个形式为形式为 c0 + c1x + c2x^2 +c3x^3 + ... 的函数，其中每个项 ci 表示数列中元素的个数。

母函数的一大好处是可以将复杂的组合计数问题转化成简单的代数运算。

在组合计数中，我们经常遇到一些问题，比如求一个集合中元素个数小于等于n的子集的个数，或者求一个集合中元素个数为n的子集的个数，以及找到满足一定条件的子集的个数等等。

这些问题都可以使用母函数来解决。

最简单的母函数是普通母函数，它是一个无穷级数形式，可以表示一个集合中元素个数的情况。

例如，对于一个集合中元素个数分别为0、1、2、3、..的情况，可以使用普通母函数表示为：G(x)=1+x+x^2+x^3+...其中，每一项x^n表示集合中元素个数为n的情况。

由于每一项的系数都是1，所以这个母函数可以简化为：G(x)=1/(1-x)利用这个母函数，我们可以解决一些简单的问题。

比如，求一个集合中元素个数小于等于n的子集的个数，可以将母函数G(x)展开为级数：G(x)=1+x+x^2+x^3+...然后将x的指数依次从0到n，对应的系数相加即可。

也就是说，求子集个数的问题可以转化为求母函数中的多项式的系数之和的问题。

在实际的应用中，经常遇到多个集合的元素个数的组合问题。

这时，可以引入多个母函数来表示不同集合的情况，然后使用母函数的运算规则来解决问题。

比如，对于两个集合A和B，其元素个数分别为a和b的情况，可以定义两个母函数GA(x)和GB(x)，然后将它们相乘，得到的结果就是集合A和B的元素个数的组合情况。

例如，如果要求两个集合A和B中元素个数之和等于n的子集的个数，可以定义两个母函数GA(x)和GB(x)，分别表示集合A和B的情况：GA(x)=1+x+x^2+x^3+...GB(x)=1+x+x^2+x^3+...然后将两个母函数相乘，得到的结果可以展开成级数：GA(x)*GB(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x+x^2+x^3+...)展开后，可以根据各项的系数求得相应子集的个数。

母函数与指数型母函数

xm [C(m n, 0) C(m n,1) x C(m n, 2) x2 C(m n, m n) xmn
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C(m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n,1)C (m,1) C(n, m)C(m, m).
又如在等式 (1 x)n C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则，共有2+2+1=5种不同选法。
或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法，一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选法，按乘法法则有5×1=5种。
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就不胜其烦了。
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C(8, 2) 28,
a4 C(8, 4) 70, a6 C(8, 6) 28, a8 1. 因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x) 1 28x2 70x4 28x6 x8 .
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
1: b0 a0 x: b1 a0 a1 x2: b2 a0 a1 a2
__+_)___x_k:_b_k _a_0 __a1__a_2 ____ak________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x2 /(1 x)
[a0 a1 x a2 x2 ] /(1 x) A( x) /(1 x).
中令x=1 可得 C(n, 0) C(n,1) C(n, 2) C(n, n) 2n.
两端对x求导可得：
n(1 x)n1 C(n,1) 2C(n,2)x nC(n,n)xn1,

母函数

母函数
定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。

其中，序列只作为标志用，称为标志函数。

派生1：普通型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。

定理1：
设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:
常用到的普通型母函数有：
例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数
设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：
由得：
再由得：
由、可得：
更进一步的，
即:
派生2：指数型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作。

定理2：
从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。

函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。

常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：
例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。

设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：
故。

附录：
推荐的文档组合数学--母函数与递推朱全民。

母函数详解——精选推荐

母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。

母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。

那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。

Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。

那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。

还是以前俩个砝码为例说明。

表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。

注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的（x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。

【工程数学课件】4.3 母函数

或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次，或选二次,…

母函数种类表

母函数种类表在数学中，某个序列的母函数(又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L 级数、贝尔级数和狄利克雷级数。

对每个序列都可以写出以上每个类型一个母函数。

构造母函数的目的一般是为了解决某个特定问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题类型。

母函数表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x 的形式幂级数。

对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。

但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x 的值都存在。

母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。

此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。

注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个值域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。

母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。

生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。

形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

“投掷n 粒骰子时，加起来点数总和等于m 可能方式数目可能是展开式中项系数。

1. 普通数母普通母函数就是最常见母函数。

一般来说，序列的母函数是：如果是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。

多重下标的序列也可以有母函数。

例如，序列母函数是。

2. 矩量母函数（母函数）令X 为具有概率密度函数f(x)随机变量，如果X 函数exp （tX ）的期望值存在（-h^2<t<h^2），则称exp(tX)的期望值为X 的矩母函数，记作MX(t)用于描述随机变量的分布状况，其K 次求导，得M(0)的k 次方，也即Y 的K 次方的分布状况，概率理论和统计学上,在其期望值存在时,随机变量X 的矩量母函数为松数母序列的泊松母函数是：4. 数母数（母函数）序列的指数母函数是：尔（卡母函数）关于算术函数 :和的贝尔级数是：6.级数（母函数）序列的L 级数是：注意这里的下标 n 从1 而不是0 开始。

母函数

第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。

其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。

表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母函数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。

（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

母函数

5
组合数为 x r 之系数 C(n, r).
推论2 推论2
设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L, ∞ e n },则 S 的 r 1 G(x) = ( ∑ x ) = (1 x) n j=0
∞ j n
无限可重组合的母函数为
组合数为 x r的系数 C(n + r 1, r).
推论3 推论3 设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L , ∞ e n },每个元素至 x G(x) = ( ∑ x ) = 1 x j =1
10组合数组合数. 例如求S = {3 a,4 b,5 c}的10组合数.
解 S的 r组合数的母函数为 G(x) = (1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 的系数6即为所求的1 组合数. 展开式中 x 10的系数6即为所求的1 0组合数.
n
是多重集
1
解
k + n 1 (k + n 1)(k + n 2) Lk n = n! ( k) L( k (n 1)) n k = ( 1) = ( 1) n n!
n
所以,{a n }的母函数所以,
∞ k n k x = ∑ ( x) n G(x) = ∑ ( 1) n n n =0 n =0 1 k = (1 x) = (1 x) k ∞ n
n
1 = (1 x 2 ) n 证 G(x) = (1 x 2 ) n
∞ n 2k n + k 1 2k x = ∑ ( 1) x = ∑ k k k =0 k =0 ∞ k

母函数

母函数母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。

这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。

《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。

主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。

在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。

在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。

母函数是组合数学的一个重要理论。

Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。

在18世纪，Euler L对组合方法的发展做出了重大贡献。

他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。

1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。

这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。

所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。

由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。

在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。

一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。

如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。

本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。

然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。

并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。

通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。

第四章母函数及应用

14:28
12
一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方式数。
14:28
15
三、指数母函数在排列计数问题中的应用

已知
(1
x)n

n k 0

n k

xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
14:28
1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)

母函数

母函数（Generating function）详解前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。

（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢）(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。

对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。

构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看："把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来""母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "我们首先来看下这个多项式乘法：由此可以看出:1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：母函数的定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：第一种：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案考虑用母函数来接吻这个问题：我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，上面这四个式子懂吗我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。

shuxue母函数

最佳答案发生函数"的英文原词是generating function。

它的另外两个译名是"生成函数"与"母函数"。

母函数虽词简而意深，但现今已不常用了。

发生函数方法是现代离散数学领域中的重要方法，它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同类型的问题。

生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。

也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。

比如，这个函数f(n)=1 （n 当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。

再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。

如果-1<x<1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。

在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。

于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。

我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。

考虑这个问题：从二班选n个MM出来有多少种选法。

学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。

也就是说。

从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。

那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。

这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。

你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2) +...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。

数学奥赛辅导丛书：母函数

数学奥赛辅导丛书：母函数
母函数是指对于一个函数f(x),它的母函数是P(x)，满足f(x+b)-
f(x)=P(x)，其中b是常数。

通常来说，母函数用于计算函数f(x)的无穷级数展开式。

母函数P(x)本质上是在关于x的单调增加函数，用来描述f (x)中处于相同间隔而x增加量不同的问题。

它既可是一个可分解的函数式，也可是一组不可分解的函数式集合。

例如，正弦函数的母函数是sin(x)，其中，正弦函数的母函数也就是它自身函数，而多项式函数的母函数则比较复杂，它是一个由多个函数组成的集合。

母函数的运用能够帮助我们更加得心应手地解决一些数学问题，尤其是推导一些函数展开式，计算不同函数间的关系等。

因此，学习母函数是数学学习中必不可少的一部分。

母函数——精选推荐

母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。

这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。

（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列210,,0:a a a k a k 的知识，我们用一个母函数2210)(xa xa a xa x g kk k 这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。

假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。

这里如果把x k 提成)(x k亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。

如1，cos x ，cos2x ，,为指数函数，序列2,,1的母函数为rxxxx F rcos 2cos cos 1)(2另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，,，1+x r，1-x r,作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122故函数,1,1,1,1,122x x x x 不应做为指数函数，)(x r的最近常用的是rx，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

结论是（ra a ,,0）可能无限，故应注意，)(x F 的收敛性。

例1，设三种物，a ，b ，c ，现从中0，1，2，3的不同取法有33231303,,,C C C C 。

母函数和特征函数简介简介

§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。

母函数又称生成函数(Generating function)。

母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。

● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(ˆ)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。

一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qspss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。

（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。

（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。

组合数学讲义 2章母函数

第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方2.0.1）。

新方法：母函数方法。

基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。

2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。

（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0,1,2, …,n ）的普母函数是。

()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是()x G ＝ +++++n x x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个；● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是+++++nx x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r rr x a 0(2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应（见例2.1.3）定理2.1.1的优点：● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。

（2）特例推论1 {}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2)组合数为r x 之系数r n C 。

初等数学《数列母函数》

数列母函数一．基本概念定义：若数列012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅为一无穷数列，则形式幂级数20120()n n n n n f x a x a a x a x a x ∞===+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑称为该数列的普通型母函数，简称普母函数，而级数20120!1!2!!n nn n n x x x x a a a a a n n ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 称为该数列的指数型母函数，简称指母函数。

例如：数列1,1，…，1，…的普母函数为0n n x ∞=∑，指母函数为01!nn x n ∞=∑可以看出，数列与它的母函数——形式幂级数建立了一一对应的关系。

因此可借助母函数来研究其相应数列的一些性质。

例如，从数列{}n a 出发构造出它的母函数，然后把母函数展开成幂级数，其中n x 项的系数就是通项公式n a 。

注意：高等数学里的两个公式（1） 230111n n n x x x x x x ∞===++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-∑（2）111211111(1)n n n n jn n n n j nC C x C x Cx x -----++-=+++++-11n j n j j Cx ∞-+-=∑（3）21(1)(1)nn n x x ∞==+-∑ 二．典型例子例1：已知数列{}n a 中，01120,1,32(3)n n n a a a a a n --===-≥，求通项公式n a 。

解：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅①，则20113()333,n n xf x a x a x a x --=---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅② 22022()22,n n x f x a x a x -=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅③将以上三式相加，得22010210(132)()(3)(32)x x f x a a a x a a a x x -+=+-+-++⋅⋅⋅=因此，2(1)(12)11()132(12)(1)121x x x f x x x x x x x---===--+---- 02(21),nnnn n n n n x x x ∞∞∞====-=-∑∑∑所以21n n a =-。