椭圆-老师

圆锥曲线——椭圆

高考要求

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 知识点归纳

1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|，即

21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．

②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0

2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：

（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c

a 2

2，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；

（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；

（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =c

b 2

，

21A B A B ==3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式

12222=+b y a x 和12222=+b

x a y )0(>>b a 其中2

22b a c -=

椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2

±

=，离心率是a

c

e =a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的

一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，

焦半径：21()a PF e x a ex c =+=+，2

2()a PF e x a ex c

=-=-.

4.21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．122

12

tan

2

PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ∙2PF 等关系.

5.椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨

⎧θ

=θ

=sin cos b y a x ；

题型讲解

例1已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,直线4=y 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程;

② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求21PF F ∠.

解:①13

4,2,4,12

22=+∴=∴==x y a c a c . ②设n PF m PF ==21,则⎩⎨⎧=-=+14n m n m ⎪⎩⎪⎨⎧==

+∴15

42172

2mn n m

又 212

2

cos 24PF F mn n m ∠-+= 53cos 21=

∠∴FP P , 5

3

arccos 21=∠∴FP P 例2 求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为

2

1

的椭圆方程. 解: 设椭圆方程 )0(122

22>>=+b a b

x a y ,),(11y x A ,),(22y x B ,

因为弦AB 中点)2

1,21(-M ,所以12121,1x x y y +=+=-

由 22

112222

2222

11y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222

1212()()0a x x b y y -+-=,（点差法）

所以 22

2

1212121222

2

12121212()()()3()()()

y y y y y y y y a b x x x x x x x x --+-=-=-==--+- 2

2

3b a =∴ 又502

2

=-b a 110

752

2=+∴

x y 例3 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，

当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

分析：求椭圆的离心率，即求

a

c

，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .

解：设椭圆方程为22a x +22

b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－

c ，0），c 2=a 2－b 2，

则P （－c ，b 221a

c -），即P （－c ，a b 2

）.

∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，

即－a

b =a

c b 2

-.∴b =c .

又∵a =22c b +=2b ， ∴e =

a c =b

b 2=22.

点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

例4 如下图，设E ：22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ. 求

证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.

分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =

2

1

r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决. 证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，

则S =2

1

r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ，

由余弦定理有

（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ

=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ =（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ）， 于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2. 所以r 1r 2=θ

2cos 122

+b .