椭圆-老师
椭圆的定义及其标准方程说课稿
《椭圆的定义及其标准方程》说课稿各位评委、各位老师大家好，今天我说课的课题是《椭圆的定义及其标准方程》。
我将从以下几个方面来说明。
【教材分析】一、教材的前后联系及地位作用本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆的定义及其标准方程》的第一课时.本节的内容是继学习圆之后运用“曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础.因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点.二、课标要求：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程。
”三、教学目标基于新课标的要求，结合本节内容的地位,我提出教学目标如下:（一）知识与技能：1。
了解椭圆的实际背景,经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；2.使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导过程。
（二）过程与方法:1.让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；2。
学会用运动变化的观点研究问题,提高运用坐标法解决几何问题的能力.(三）情感态度与价值观:1.通过主动探究、合作学习,感受探索的乐趣与成功的喜悦;培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.2。
通过椭圆知识的学习,进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美;提高学生的审美情趣.四、教学重点、难点椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石;椭圆标准方程是研究几何性质的根本依据，椭圆的几何性质是通过研究它的方程展开的，因此椭圆定义和标准方程是为本节课的重点.【学生情况分析】一、在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
罗老师椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息教案名称：罗老师椭圆的简单几何性质教案学科领域：数学年级/课程：高中数学课时：2课时二、教学目标知识与技能目标：1. 理解椭圆的定义及标准方程；2. 掌握椭圆的几何性质，如焦点、长轴、短轴等；3. 能够运用椭圆的性质解决相关问题。
过程与方法目标：1. 通过观察、操作、推理等过程，探索椭圆的性质；2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神。
三、教学重点与难点重点：1. 椭圆的定义及标准方程；2. 椭圆的几何性质。
难点：1. 椭圆性质的推导与运用。
四、教学准备教具：1. 投影仪；2. 椭圆模型；3. 彩笔、直尺、圆规等绘图工具。
学具：1. 笔记本；2. 彩笔、直尺、圆规等绘图工具。
五、教学过程1. 导入教师通过展示椭圆模型，引导学生观察椭圆的特点，激发学生的兴趣。
提问：你们知道什么是椭圆吗？椭圆有哪些特点？2. 探究椭圆的定义及标准方程教师引导学生通过观察椭圆模型，探讨椭圆的定义及标准方程。
学生回答后，教师总结并给出椭圆的定义及标准方程。
3. 探究椭圆的几何性质教师引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索椭圆的几何性质。
学生回答后，教师总结并给出椭圆的几何性质，如焦点、长轴、短轴等。
4. 课堂练习教师给出几个有关椭圆性质的问题，让学生独立解答。
5. 总结与拓展教师引导学生总结本节课所学内容，并给出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业教师布置一些有关椭圆性质的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 复习导入教师通过提问方式复习上节课所学的椭圆定义及标准方程，引导学生回顾椭圆的基本概念。
2. 探究椭圆的性质教师引导学生通过观察、操作、推理等过程，进一步探索椭圆的性质，如离心率、焦距等。
学生回答后，教师总结并给出椭圆的相关性质。
3. 椭圆性质在实际问题中的应用教师给出一些实际问题，引导学生运用椭圆的性质解决问题。
人教版高中数学必修一 椭圆及其方程小结-课件牛老师
直线方程为
或
例5过椭圆 于点 , 为右焦点,若
解:
的左焦点 作 轴的垂线交椭圆 ,求椭圆的离心率.
例5过椭圆
的左焦点 作 轴的垂线交椭圆
于点 , 为右焦点,若
,求椭圆的离心率.
分析： 设点 的坐标为
则点 的坐标为
课堂总结
几何特征 满足 点 在椭圆上
代数特征 满足
焦点在 轴 焦点在 轴
例4
例5
课后作业
上一点 与两个焦点
垂直,求 的面积.
y
法二：
的连线互相
例3已知椭圆
上一点 与两个焦点
垂直,求
的面积.
y
法二：
的连线互相
小结
几何特征 满足 点 在椭圆上
代数特征 满足
法二 焦点在 轴
法一 焦点在 轴
问题：如何选择方法？利用椭圆定义还是 设点坐标利用椭圆标准方程？
例4已知点 是椭圆
的长轴的左端点,以点 为直角顶
北京市中小学空中课堂
椭圆及其方程小结
高二年级 数学
主讲人：卢发接 北京师范大学第二附属中学
椭圆知识梳理
椭圆知识梳理
例1已知椭圆的两个焦点
点
,求椭圆的标准方程.
法一: 设椭圆标准方程为
,并且椭圆经过
或 椭圆标准方程为
（舍去）
例1已知椭圆的两个焦点
过点
,求椭圆的标准方程.
法二:设椭圆标准方程为
,并且椭圆经
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity.
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
椭圆性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
b2
(a b 0)
|x|≤b，|y|≤a
轴对称， 中心对称
(b,0),(-b,0); (0,a),(0,-a)；
0e c 1 a
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400旳长轴和短轴 旳长、离心率、焦点和顶点旳坐标．
已知椭圆x2+(m+3)y2=m (m>0)旳离心率 3
2
e= ,求m旳值及椭圆旳长轴和短轴旳长、焦点坐
4 a 1,b 1 , c 3 .
22
∴椭圆旳长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标分别为F1
3 2
,0
,
F 2
3 2
,0
；
四个顶点分别为A1（-1，0），A2（1，0），B1
0,
1 2
,
B 2
0,
1 2
.
（1）要掌握椭圆旳几何性质：范围、对称性、顶点、 离心率.
（2）离心率 e c 1 ( b )2 b 1 e2
（2）若 a=c ，则集合P
（3）若 a<c ，则集合P为空集.
2. （1）a>b>0;(2)a2-b2=c2.
x2 y2 1, y2 x2 1.
a2 b2
a2 b2
利用椭圆旳原则方程研究椭圆旳几何性质 以焦点在x轴上旳椭圆为例
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
1．范围
x2 a2Biblioteka y2 b2yO
x
椭4．圆离旳椭心离圆率心旳率焦距．∵与a长＞轴c＞长0旳，∴比0e＜eac＜，1．叫做
y
O
x
椭4．圆离旳椭心离圆率心旳率焦距．∵与a长＞轴c＞长0旳，∴比0e＜eac＜，1．叫做
椭圆几何性质教案
椭圆⼏何性质教案⼀、复习回顾上节知识点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准⽅程；3、求椭圆⽅程的⼏种⽅法：待定系数法、定义法、相关点法。
⼆、讲授新课：1、观察思考：观察椭圆（），想⼀想我们应该从哪能些⽅⾯关注椭圆的哪些⽅⾯的⼏何性质，研究哪些问题。
我们从整体上把握⼏何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。
2、教师引导，学⽣合作研究师：解析⼏何要解决的两类问题是：（1）由已知条件，求出表⽰曲线的⽅程；（2）通过曲线的⽅程，研究曲线的性质。
第⼀个问题我们已经解决，下⾯我们⽤椭圆的标准⽅程来研究椭圆的简单⼏何性质。
从数的⾓度（也就是⽅程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。
（⼀）范围：引导学⽣得出在解析⼏何中讨论曲线的范围，就是确定⽅程中两个变量x,y 的取值范围。
⽤多种⽅法探究，汇报研究成果并⽤实物投影展⽰或到⿊板板书。
学⽣1：由利⽤两个实数的平⽅和为1，结合不等式知识得且，则有。
那么它的范围就是直线所围成的区域。
⽼师：很好，谁还有不同意见？学⽣2：利⽤三⾓换元，令。
由正弦函数有界可得范围。
⽼师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学⽣3：从中解出，利⽤可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。
师：这种想法也很好，谁还有不同⽅法？此时学⽣陷⼊深思中，教师及时点拨，前⾯我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启⽰呢？学⽣纷纷议论，有的开始动笔推导，有的⼏个⼈⼀起在商量。
⽼师：谁研究出来了，或哪个⼩组研究出来了？请到前⾯给⼤家讲⼀讲。
学⽣4：（在⿊板上展⽰）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。
⽼师：是函数吗？学⽣4：（思考后说）不是。
⽼师：怎样处理呢？学⽣4：把和分别看作是⼀个函数。
⽼师：正确。
往下怎样研究呢？学⽣4：先求函数的定义域、值域。
利⽤前⾯学习过的代数函数求定义域、值域的⽅法，可得，同样得中，于是得到范围。
⽼师：好。
前⾯我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学⽣4的推导过程呢？学⽣5：⽼师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利⽤对称性可得范围。
椭圆培优经典讲义(教师版)
圆锥曲线与方程第一节椭圆考点一……椭圆的定义及应用2 21. （2009年北京卷，理12）椭圆- 上1的焦点为 戶、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,贝U92|PF 2|= ______ , / F 1PF 2的大小为 ________ .2 2解析:由椭圆方程 - L 1可知a 1 2=9,b 2=2,922.c =7,c= 7 ,a=3.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由 |PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△ PF 1F 2中，由余弦定理的推论有2 2 2cos / F 1PF 2= PF 1—PF 2_F 1F 2_2|PF1||PF2|=422228S A FAE =1 X (2 X 3 4) X (1+1)=3.2 2答案：32 23. (2009年上海卷,理9)已知F i 、F 2是椭圆C:手 ％ 1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上a b解析:由题意可知,1器 2 =9,①2 4 2=12 *•••/ RPF 2=120° . 答案:2120°2 22. （2012年四川卷，理15）椭圆- 土 1的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点 A B,当厶43FAB 的周长最大时，△ FAB 的面积是________ .解析：由椭圆定义可知，当直线x=m 过椭圆右焦点（1,0）时，△ FAB 的周长最大.2 2由椭圆方程—仝1知a=2,c=1.43当X=1时，由1 — 1 ,433 - 2土= y得一点,且PF 1PF 2 ,若厶PF 1F 2的面积为 9,则 b=________ULJL T 2 PF LUU U 2PFUULLT 2 2 F 1F 2 =(2c),②由椭圆定义可知,|PF i |+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 5-c 2=9,2即 b =9, ••• b=3. 答案：3 考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(20132 2年新课标全国卷I ,理10)已知椭圆E:4 1 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( )2(A)- 45 2 2 2yx y1 (B)136 36 27 2 (C)-27 2 221 (D) x_ y_ 1 1818 9解析：已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率 ，可以用两点式求解设 A(x i ,y i ),B(x 2,y 2),AB 的中点 D(1,-1), 则 k AB =],2X 1+X 2=2,y 计y 2=-2,答案:D2. (2011年新课标全国卷，理14)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点R 、F 2 在x 轴上，离心率为—,过F 1的直线I 交C 于A 、B 两点，且厶ABF 的周长为16,那么C 的方2程为 ________ .2 2解析：设椭圆标准方程为 二 占1 (a>b>0),a b由题意知 |BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, • a=4,由 e=- = 2得 c=2 - 2 , a 2.222 f• b =a -c =8,2 2•••椭圆标准方程为 -1.5y 2=- bX 1 X 2~2X 2 a 讨1y 2• a 2=2b 2.又因 c=3,所以 b 2=9,a 2=18,2X 1 2y 1 b 22X 2 a2y 2 b 21,1,两式相减得：X1 X2 2X1 X2+a=0,椭圆方程为 2 X182眷1 .故选D.16 82 2答案：L仝i16 82 23. (2011年江西卷，理14)若椭圆$ 占1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2+y2=1的切线，a b 2切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_______ .解析:设点D 1,1 ,2由平面几何知识易知,AB丄OD,…k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点1,1作圆x2+y2=1的切线中有一条是 x=1,2不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入 AB方程，可得 m=2.由题意可知,b=2,c=1,••• a2=5.2 2 •椭圆方程为 '工1.5 42 2答案：竺乂 15 4考点三…椭圆离心率的求法 ....2 21. (2012年新课标全国卷，理4)设F1,F2是椭圆E:笃爲1 (a>b>0)的左、右焦点,P为直a b线x=3a上一点，△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) 2(A) 1(B) - (C) - (D)-2 3 4 5解析:如图所示,设直线x=-a与x轴的交点为Q,2由题意可知，/ F2F1P=Z F1PF2=30°,|PF2|=|F 1F2|=2c,•••/ PRQ=60° , / F2PQ=301•••|F2Q|=1|PF2|.2即3 a-c= 1• 2c,2 2•••e=£=3答案:C2 22. (2013年福建卷,理14)椭圆r :寿 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F I,F2,焦距为2c.a b若直线y= 3 (x+c)与椭圆r的一个交点满足/ MFF2=2/ MFF I,则该椭圆的离心率等于________ .解析：直线y= 3 (x+c)过点F I(-C,O)且倾斜角为60° ,所以/ MFF2=60° , / MFF I=30° ,所以/ F I MF=90° ,所以 RM! F2M,在 Rt △ F1MF 中,|MF1|=c,|MF 2|= 3 c,所以 e=c=?£= 2c = 2c =3-1.a 2a |MFj |MF2| c J3c答案：.3-12 23. (2013年辽宁卷，理15)已知椭圆C:乡爲1 (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的a b直线相交于 A,B两点，连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,COS/ ABF=4 ,则椭圆C的离心率5e=解析：如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,COS/ ABF=4 ,得 BF=8,则 AF丄 BF,半焦距 c=FO=」AB=5.设椭圆右焦点为F2,由对称性知 AR=BF=8,a=7,所以e=-c=-5 . a 7答案:|考点四….直线与椭圆的位置关系1. (2014高考新课标全国卷n是C上一点且MF与x轴垂直，直线MF与C的另一个交点为 N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率；⑵若直线 MN在 y轴上的截距为 2,且|MN|=5|F 1NI，求a,b.5,理20)设R,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左，右焦点,M解:⑴根据c=及题设知M'c^ ,,2b 2=3ac.将b=a-c 2代入2b=3ac,解得洋汁 2.(舍去)•故C的离心率为.⑵由题意,原点0为F1F2的中点，MF2〃 y轴,所以直线MF与y轴的交点D(0,2)是线段MF的中点，故=4,即口2b =4a.①由|MN|=5|F i N|得 |DF i|=2|F i N|.设N(x i,y i),由题意知y i<0,则J 二UI对=£即代入C的方程，得寻*=1.②将①及c=、--代入②得解得a=7,b 2=4a=28,故 a=7,b=^：-|.2. (2014高考新课标全国卷I ,理20)已知点A(0,-2),椭圆E：W +「=1(a>b>0)的离心率为-,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为一,O为坐标原点 (1)求E的方程；⑵设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点，当厶OPQ的面积最大时，求I的方程.解:(1)设F(c,O),又D ,所以 a=2,b 2=a 2-c 2=1.故E 的方程为宁+y 2=1.4⑵ 当I 丄x 轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).将y=kx-2代入二+y 2=1得22(1+4k )x -16kx+12=0.从而 |PQ|="；广I |x i -x 2|=S A OPC T -d • |PQ| =因为t+f > 4,当且仅当t=2,即k= 土「时等号成立，且满足△ >0.所以，当厶OPQ 勺面积最大时,l 的方程为y=—x-2 或 y=-—x-2.3. (2013年新课标全国卷H ,理20)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 焦点的直线x+y- 3=0交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点，且OP 的斜率为丄.2(1)求M 的方程；⑵C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CDL AB,求四边形ACBD 面积的最大值2 2 2 2解：(1)设A(x1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则 込1 ,电 与 1 ,皿~" =-1,a ba bx 2 x 12由此可得I X 2 X 1=-追Xi*a y 2 y 1x 2 x1当厶=16(4k 2-3)>0,即 k 2A 时,X 1,2 =又点O 到直线PQ 的距离d=,所以△ OPQ 勺面积设J+fcH -3=t ，则 t>O,S dt 斗△ OPQ ^=—2 2M:笃占 1 (a>b>0)右 a b设 C(X 3,y 3),D(x 4,y 4).y x n,由 x2y 2得 3X 2+4nx+2n 2-6=0.-乞163十口 2n v '2 9 n 2于是X 3,4=.3因为直线CD 的斜率为1,所以 |CD|=盪 |x 4-x 3|= 4J9 n 2.3由已知,四边形ACBD 勺面积 S=! |CD| • |AB|= 8 69 n 2.2 9当n=0时,S 取得最大值，最大值为 ^63所以四边形ACBD 面积的最大值为出.34. (2014高考浙江卷，理21)如图，设椭圆C: +「=1(a>b>0),动直线I 与椭圆C 只有一个公共 点P,且点P 在第一象限(1)已知直线I 的斜率为k,用a,b,k 表示点P 的坐标;⑵若过原点O 的直线I 1与I 垂直，证明：点P 到直线11的距离的最大值为a-b.因为 x i +X 2=2x o ,y i +y 2=2y o , X 0= 1 ,X o 2所以 a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(3,0),故a 2-b 2=3. 因此 a 2=6,b 2=3.2所以M 的方程为L62y_~3x y0,⑵由x 2 y 2解得£亍1,4/33或 _3 Tx 0, y 3.因此|AB|=甘.由题意可设直线 CD 的方程为y=x+n解:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0), r y = kx in,由弓十gr消去y得2222 2 2222(b +a k )x +2 a kmx+am-a b =0.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为卡—，丿.⑵ 由于直线11过原点0且与I 垂直，故直线11的方程为x+ky=0,所以点P 到直线I i 的距离 |严一」「 d=Jl+fc 6当且仅当k 2=时等号成立二所以，点P 到直线I i 的距离的最大值为 a-b.2 25. (2012年福建卷，理19)如图，椭圆E:笃yT 1 (a>b>0)的左焦点为R,右焦点为F 2,离心a b率e=-.过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点，且厶ABF 的周长为8.26 设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点 P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点 M,使得以PQ 为直径的圆恒过点 M 若存在，求出点M 的坐标；若不 存在,说明理由. 解：(1)由椭圆定义知， |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △ F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a.由于I 与C 只有一个公共点 ,故厶=0,即b 1 2-m 2+a 2k 2=0,解得点P 的坐标为，『知孤丁2 2卜亠因为 a k + > 2ab,it"••• 4a=8,a=2, 又 e=2=1,a 2c=1, • b =3.2 2•椭圆E 的方程是、乙1.43y kx m,⑵由x 2 y 2消去y,143整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4n 2-12=0. •••动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点2 2 2• △ =(8km) -4(3+4k )(4m -12)=0,m 工 0, 整理得m=4k 2+3.①y o =k • 兰 +m=2 ,m m• P 4k 3.・ P -- , .m mx 4 由 ’ 得 Q(4,4k+m).y kx m假设在坐标平面内存在定点 M,使得以PQ 为直径的圆恒过点 由椭圆的对称性可知，点M —定在x 轴上， 设 M(X 1,0),rULLr 4k 3 UULU则 MP = — X1,— , MQ =(4-x 1,4k+m).m m•/ MP! MQ,即M P • MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立, 即 4kx 1 (4-x 1)+ — • (4k+m)=0对满足①式的所有mmm整理得(4x 1-4) -+ x ! -4x 1+3=0.② m 由于②对满足①的 m,k 恒成立，故存在定点M(1,o),使得以PQ 为直径的圆恒过点(1) 求椭圆E 的方程；此时X o =8mk 2 3 4k 24k m4X 1 4 0, x ； 4x , 3o,解得 x1=1.P(x o ,y o ),M,M.。
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圆锥曲线——椭圆 高考要求 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 知识点归纳 1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即21212FFaPFPF)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0的轨迹是椭圆 2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=ca22，||||11PMPF=||||22PMPF=e；
（2）11FAcaFA22,21FAcaFA12；caPFca1 （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c； （4）|F1K1|=|F2K2|=p=cb2，
2221ABABab
3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式 12222byax和12222bxa
y)0(ba其中222bac
椭圆12222byax)0(ba的焦点坐标是)0(，c，准线方程是cax2，离心率是ace，通径的长是ab22焦准距（焦点到准线的距离）cbp2，焦参数2ba（通径长的一半）范围：}{axax，}{bybx，长轴长=a2，短轴长=2b，焦距＝2c ，
焦半径：21()aPFexaexc，22()aPFexaexc.
BPM2
K2
A2F
2F
1
A
1
M1
K1
oyx 4.21FPF中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．12212tan2PFFFPFSb将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF(1212FPFFBF)结合起来，建立1PF+2PF、
1PF2PF等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元：sincosbyax； 题型讲解 例1已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF,直线4y是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且121PFPF,求21PFF.
解:①134,2,4,1222xyacac .
②设nPFmPF21,则14nmnm 15421722mnnm 又 2122cos24PFFmnnm 53cos21FPP, 53arccos21FPP 例2 求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23xy截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程.
解: 设椭圆方程 )0(12222babxay,),(11yxA,),(22yxB, 因为弦AB中点)21,21(M,所以12121,1xxyy
由 22112222222211yxabyxab得2222221212()()0axxbyy,（点差法） 所以 2221212121222212121212()()()3()()()yyyyyyyyabxxxxxxxx 223ba 又5022ba 1107522
xy
例3 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
分析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有
具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=2b. 解：设椭圆方程为22ax+22by=1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2，
则P（－c，b221ac），即P（－c，ab2）. ∵AB∥PO，∴kAB=kOP， 即－ab=acb2.∴b=c.
又∵a=22cb=2b， ∴e=ac=bb2=22. 点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. 例4 如下图，设E：22ax+22by=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ. 分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则
S=21r1r2sin2θ.若能消去r1r2，问题即获解决. 证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2， 则S=21r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c， 由余弦定理有 （2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ =（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ =（2a）2－2r1r2（1+cos2θ）， 于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.
所以r1r2=2cos122b.
ABP
F2F
1
oyx
r2
r12
A
BP
F2F
1
oyx 从而有 S=21·2cos122bsin2θ=b22cos2cossin2=b2tanθ. 点评：①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决. ②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐
渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题， 例5 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O
为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程. 分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为22.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（221xx，221yy）.
由 2211xyaxby，∴（a+b）x2－2bx+b－1=0. ∴221xx=bab，221yy=1－221xx=baa. ∴M（bab，baa）. ∵kOM=22，∴b=2a. ① ∵OA⊥OB，∴11xy·22xy=－1. ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=bab1，y1y2=（1－x1）（1－x2），
∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－bab2+bab1=baa1. ∴bab1+baa1=0. ∴a+b=2. ② 由①②得a=2（2－1），b=22（2－1）.
∴所求方程为2（2－1）x2+22（2－1）y2=1. 点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA
ABMoyx ⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键. 例6 已知椭圆)0(1:22221babyaxC的一条准线方程是425x,其左、右顶点分
别是A、B；双曲线 1:22222byaxC的一条渐进线方程为.053yx (1)求椭圆1C的方程及双曲线2C的离心率; (2)在第一象限内取双曲线2C上一点P,连接AP交椭圆1C于点M,连接PB并延长交椭圆1C 于点N,若.MPAM求证: 0ABMN
(1) 解:534252abca (c为椭圆半焦距), 4,3,5cba
2221;1925:CyxC的离心率为5342e .
(2) 证明:设),(00yxM,则)2,2(00yaxP即)2,52(00yxP
19425
)52(192520202020yx
yx消去0y得02552020xx
因为点M在第一象限)5(533:)33,10()233,25(xylPM 代入椭圆方程得: 250251522Nxxx 所以点M、N关于x轴对称. ∴0ABMN 点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯. 例7 已知椭圆3422yx=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项? 解：由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件，
即 342020yx=1且x0∈[─2,0), 有 d2=|MF1||MF2|(d为M到准线的距离), ∵ |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a─ex0=2─x0/2, d=4+x0, ∴ (4+x0)2=4─x02/4, ∴x0=─12/5或x0=─4，这与x0∈[─2,0)矛盾, 故点M不存在. 点评：范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.
例8 设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率23e.已知点)23,0(P到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.
解:设椭圆方程为)0(12222babyax, ),(yxM为椭圆上的点,由23ac得ba2
)(,34)21(3)23(22222bybbyyxAM 若21b,则当by时2AM最大,即7)33(2b, 21237b,故矛盾. 若21b时,21y时7342b, 12b