平面向量学生版

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人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版)

平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４　．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA u u u r相等的向量；（2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1．如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出（1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出（1）与OC u u u r 相等的向量；（2）OC u u u r 的负向量；（3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1．如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ；（2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________，（3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1．计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上．其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

暑期培优：第四章平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版

专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________.1．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________. 2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的有________个．2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________. 3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)①若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |③若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．4．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 5．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.7．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b |b |，则|p |＝________.8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．第Ⅱ卷：提能增分卷1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA ＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．[练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．3．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB ③AO ＝12AB ＋12AD④AE ＝53AB ＋AD6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ卷：提能增分卷(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.1．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 2．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.2．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________． 4．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是________．[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．角度二平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．角度三平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.平面向量与三角函数的综合[典例]sin α)，b ＝(cos β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．2．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．3．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BC BD ⋅的值为________．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EMEC ⋅的取值范围是________．6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．。

暑期班第11讲.平面向量的概念、线性运算与基本定理.学生版

平面向量平面向量的相关概念B 向量加法与减法C 向量的数乘C 向量的线性运算两个向量共线B 平面向量的基本定理A 平面向量的正交分解及其坐标表示B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C 平面向量的基本定理及坐标表示用坐标表示的平面向量共线的条件C 数量积C 数量积的坐标表示C 用数量积表示两个向量的夹角B 平面向量的数量积用数量积判断两个平面向量的垂直关系C 平面向量向量的应用用向量方法解决简单的问题B1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件．3.了解向量的线形运算性质及其几何意义．4.了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件．5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系；6.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系板块一：向量的线性运算（一）知识内容向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．1．向量的概念：⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，AB u u u r终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．⑷ 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或AB u u u r AB u u u r重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．a r b r a r b r说明：共线向量的方向相同或相反，　注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．　⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向0r量平行．⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位O a r O OA a =u u u r rA O 置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．a r OA u u u rA O 2．向量的加法：⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的,a b r r A AB a =u u u r r BC b =u u u r r AC u u u r AC u u u r a r b r和（或和向量），记作，即．a b +r r a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为a rb r AB a =u u u r r AD b =u u u r r A B D AB u u u r AD u u u r邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法ABCD AC a b =+u u u r r r则．② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a+=+r r r r向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r关于：0r 00a a a+=+=r r r r r ⑶ 向量求和的多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点n n n 的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．n 3.向量的减法：⑴ 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．a r a r a -r零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量BA u u u rO OA u u u r O ，或简记“终点向量减始点向量”．OB u u u r⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量4.数乘向量：定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长λa r a λr a λr a a λλ=r r判断正误：已知．λμ∈R ，①；（√）②；（√）()a b a b λλλ+=+r r r r()a a a λμλμ+=+r r r③；（√） ④．（×）()()a a λμλμ=r r()()a b a b λμλμ+=++r r r r 5.向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一a b λ=r r a r b r a r b r 0b ≠r r个实数，使．λa b λ=r r⑵ 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如a r a r 1a r果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．a r 0a u u r 0a a a =r r u u r0a a a=ru u r r （二）典例分析【例1】⑴ 已知的两条对角线交于点，设，，用向量和表示向量，．ABCD □O AB a =u u u r r AD b =u u u r r a r b r BD u u u r AO u u ur ⑵ 已知的两条对角线交于点，设对角线=，=，用，表示，．ABCD □O AC u u u r a r BD u u u r b r a r b rBC u u u r AB u u u r 【例2】设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示、、　．P OABCDE OA a =u u u r r OE b =u u u r r a r b r OB u u u r OC u u u r OD u u u r【例3】如图，、分别是的边、的靠近的三等分点．M N ABC ∆AB AC A 求证：，且∥．13MN BC =MN BC 【例4】⑴已知，则3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=u r r u r r u r r r rm =u r ⑵已知，方向相同，且，，则a rb r 3a =r 7b =r 2a b -=r r【例5】已知矩形中，宽为，长为，，，，试作出向量，并求其ABCD 2AB u u u r a =rBC b =u u u r r AC c =u u u r r a b c ++r r r 长度．【例6】下列命题中正确的有：（）⑴四边形是平行四边形当且仅当；ABCD AB DC =u u u r u u u rCBNMA⑵向量与是两平行向量；AB u u u r BA u u u r⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；AB u u u rCD u u u r A B C D ⑷单位向量不一定都相等；⑸与共线，与共线，则与也共线；a r b r b r c r a r c r⑹平行向量的方向一定相同；【例7】如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两1A 2A 3A 8A O e 81A 2A 8A O 9【例8】（第14届“希望杯”全国数学邀请赛）已知正六边形，在下列表达式：ABCDEF ①；②；③；④中，与等价的有（）BC CD EC ++u u u r u u u r u u u r 2BC DC +u u u r u u u r FE ED +u u u r u u u r 2ED FA -u u u r u u u rAC u u u r A ．个 B ．个 C ．个 D ．个1234【例9】设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，12,e e u r u u r 1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u rA B D 、、求的值．kA 35A【例10】设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则a rb rc r a b +r r c r b c +r r a r．b ac ++=r r r【例11】证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数,,OA OB OC u u u r u u u r u u u rA B C 、、,λμ满足等式，使得．1λμ+=OC OB OA λμ=+u u u r u u u r u u u r【例12】（2007年江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，ABC △O BC O AB AC M N 、若，，则的值为．AB mAM =u u u r u u u u r AC nAN =u u u r u u u rm n +【例13】（2008年全国Ⅰ）在中，，．若点满足，则（）ABC △AB c =u u u r r AC b =u u u r r D 2BD DC =u u u r u u u r AD =u u u rONMCBAA ．B ．C ．D ．2133b c +r r 5233c b-r r 2133b c-r r 1233b c+r r⑵（2009安徽高考卷）在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，ABCD E F CD BC AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R 则．λμ+=【例14】在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，ABCD E F CD BC 1BF a FC a =-1DE bEC b=-若，其中，，则．AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R λμ+=【例15】（2008湖南）设，，，分别是的三边、、上的点，且D E F ABC ∆BC CA AB 2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则与（）AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r BC u u u rA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直板块二：向量的分解与基本定理（一）知识内容1．平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，1e u r 2e u u ra r 存在唯一的一对实数，，使．1a 2a a =r 1122a e a e +u r u u r2．基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作1e u r 2e u u r．叫做向量关于基底的分解式．{}12,e e u r u u r 1122a e a e +u r u u r a r {}12,e e u r u u r说明：⑴ 定理中，是两个不共线向量；1e u r 2e u u r⑵ 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；a r1a 2a ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．<教师备案>⑴ 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点，作，，．O 11OE e =u u u u r u r22OE e =u u u u r u u r OA a =u u u r r 由于与不平行，可以进行如下作图：1e u r 2e u u r过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 2OE 1OE M 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 1OE 2OE N 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和1a 2a 分别有，，所以11OM a e =u u u u r u r 22ON a e =u u u r u u r 1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，x y 12OA xe ye =+u u u r u r u u r 112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r 1e u r 2e u u r1x a -2y a -0不妨设，则，20y a -≠1212x a e e y a -=--u u r ur 由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛1e u r 2e u u r盾，因此，，即，．10x a -=20y a -=1x a =2y a =⑵ 证明，，三点共线或点在线上的方法：A B P 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，A B l O l l P t 使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一OP u u u r {},OA OB u u u r u u u r (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rP 定在上．l 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数P l ，使，t AP t AB =u u u r u u u r ()t OB OA =-u u u r u u u r ∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 设点满足等式，则，即在P (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rAP t AB =u u u r u u u r P 上．l 其中①式可称为直线的向量参数方程式，当时，l 12t =点是的中点，则，这是向量的中点的向量表达式．可推广到M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r AB u u u r中，若为边中点，则有存在．OAB ∆M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r（二）典例分析【例16】已知的两条对角线与交，是任意一点．ABCD □AC BD E O 求证：+++=OA u u u r OB u u u r OC u u u r OD u u u r 4OEu u u r【例17】如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，且ABC ∆214cm D E AB BC ，、交于点，求的面积．::2:1AD DB DE CE ==AE CD P APC ∆【例18】如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若=，ABCD E F 、BC DC 、G DE BF 、AB u u u r a r ADu u u r=，试以，为基底表示、、．b r a r b r DE u u u r BF u u u r CG u u u r 【例19】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．PE CBA【例20】已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是ABCDE M N P Q AB CD BC DE K H 和的中点，求证：平行且等于．MN PQ KH 14AE 【例21】四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用ABCD E F M N BC AD BD AC O MN 向量的方法证明：也是的中点．O EF 【例22】⑴（2008年广东高考）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点ABCD AC BD O E ，OD AE CD ．若，，则（）F AC a =u u u r r BD b =u u u r r AF =u u u rED CBA MNP Q K H60︒45︒EDCAA ．B ．1142a b +r r 2133a b+r r C ．D ．1124a b +r r 1233a b+r r ⑵（2009年湖南高考）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则， = ．AD xAB y AC =+u u u r u u u r u u u rx =y 【例23】（2009年天津高考改编）若等边的边长为，平面内一点满足，则，ABC ∆M 1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r MA =u u u r．（用，向量表示）MB =u u u rCB u u u r CA u u u r 家庭作业习题1.根据图示填空：⑴ ；⑵．a b +=r r e b d ++=r r u r 习题2.化简下列各式：⑴ ；⑵ 7()8()a b a b +--r r r r 12(2)(432)6a b c a b c +---+r r r r r r习题3.⑴ 设向量，且点的坐标为，则点的坐标为．(2,3)AB =u u u rA (1,2)B ⑵ 已知，若，则，．(2,3),(1,2)a x b y =-=+r ra b =r r x =y =习题4.⑴ 已知，则与垂直的单位向量的坐标为；(4,2)a =ra r ⑵ 若，则的坐标为_________．(2,1)a =r (3,4)b =-r34a b +r r 月测备选习题1.⑴（2003年河南）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（）ABCD P AC A C AP u u u rA ．，()AB AD λ+u u u r u u u r(01)λ∈，B ．， ()AB BC λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝C ．， ()AB AD λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝D ．，()AB BC λ-u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝⑵已知向量，满足，，，则等于（）a rb r 1a =r 2b =r 2a b -=r r a b +r rA ．BCD 1习题2.已知：四点，，，．求证：四边形是梯形．(5,1)A (3,4)B (1,3)C (5,3)D -ABCD习题3.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点E F ABCD AD CD BE BF AC 和点．求证．（向量法）R T AR RT TC ==TRF E D CB A。

第二章平面向量讲义(学生版)

【典型讲练】
题型一向量的概念
例 1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
→ →
（1）向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任一向量与它的相反向量不相等；
→ →
（4）四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB＝DC；
（5）一个向量方向不确定当且仅当模为 0；
(1)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(
→ → → →
(2)对于任意的点 A，B，C，D，都有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(
)
)
(3)如果 a，b 是共线的非零向量，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向相同．(
→ → →
(4)若AB＋BC＋CA＝0，则 A，B，C 为一个三角形三个顶点．(
概念．
【要点整合】
1 向量的定义及表示
（1）定义：既有
，又有
的量．
（2）表示：
① 有向线段：带有
的线段，它包含三个要素：
、方向、长度；
② 向量的表示：
（3）向量与数量
向量：既有
，又有
的量叫做向量．
数量：只有
，没有
的量称为数量．
思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
2
巴蜀中学高 2022 届高一（下）数学讲义
练习 2 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心．
→
(1)与OA的模相等的向量有多少个？
→
(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

考点31平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版

考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一　平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二　平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三　向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1　利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。

平面向量的运算(学生版)内容

平面向量的运算(讲义)知识点一向量加法的三角形法则已知非零向量”, ⅛,在平面内取任意一点A,作#=α,鼠=b,则向量祀叫做。

与力的和，记作α+"即。

+〃=霜+觉=祀.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角芨法则.注意点：运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连反思感悟向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即AA ∖ + A\A2) + ...... + A n -∖An = AA,t .知识点二向量加法的平行四边形法则1 .以同一点。

为起点的两个已知向量〃"，以0A, 03为邻边作口0AC3,则以。

为起点的向量能(0C 是口04CB 的对角线)就是向量。

与〃的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2 .从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.3 .对于零向量与任意向量规定α+0=0+α=α.注意点：运用向量加法的平行四边形法则作图时.，要强调两个向量起点相同.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系知识点三共线向量的加法与向量加法的运算律1 . 一般地，我们有∣α+b ∣≤∣o ∣+步I ，当且仅当α, b方向相同时等号成立.2 .(加法交换律)α+b=)+出(加法结合律)”+(b+c)=(α+))+c.反思感悟向量加法运算律的意义和应用原则⑴意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. ⑵应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 知识点四向量加法的实际应用反思感悟应用向量解决实际问题的基本步骤⑴表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.⑵运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.⑶还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.知识点五向量的减法运算1 .相反向量：与向量。

考点30平面向量的概念及线性运算(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)

考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于长度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝；结合律：(a ＋b )＋c ＝________减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝；(λ＋μ)a ＝；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA → ＋OB → )．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB → ＋AC → )．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【核心题型】题型一　平面向量的基本概念平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．【例题1】（2024·湖南永州·三模）在ABC V 中，120ACB Ð=o，3AC uuu r =，4BC =uuu r，0DC DB ×=uuu r uuu r，则AB AD +uuu r uuu r 的最小值为（）A ．2B ．4C ．1D 2【变式1】（2023·北京大兴·三模）设a r ，b r 是非零向量，“a a bb =r r rr ”是“a b =r r”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量()6,2a =r ，与a r共线且方向相反的单位向量b =r.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量a r ，b r满足2a =r ，1b =r ，a +r ，则a b -=r r.题型二　平面向量的线性运算平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．命题点1　向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段AB 是圆O 的一条长为2的弦，则AO AB ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在ABC V 中，3,4AN NC BP PN ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则AP =uuu r （）A ．1355AB CA+uuur uuu r B ．3455AB CA-uuur uuu r C ．3155AB CA-uuur uuu r D ．1355AB CA-uuur uuu r 【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正六边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最小值为 .【变式3】（2023·上海金山·二模）已知a r 、b r 、c r 、d ur 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-=r r r r r ，若,4a d p =r u r ，则||||b dcd -+-r u r r u r的最小值为．命题点2　向量的线性运算【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知24==A D A B ，且4AB BC ×=-uuu r uuu r ，则向量AB uuu r与AC uuu r 的夹角的余弦值为（）A ．12-B ．0C ．12D 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知O 为等边ABC V 的中心，若3,2OA a AB b ==uuu r uuu r r r，则AC =uuu r．（用,a b r r 表示）【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量,,a b c r r r 满足0,a b c a l ++=r r r r r 与b r 的夹角为π3，则实数l =.【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++-=，且ABC V (1)求角C ；(2)若2AD DB =uuu r uuu r，求CD 的最小值.命题点3　根据向量线性运算求参数【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量π(cos 2,sin())4a a a =+r ，π(sin(4b a =+r ，若//a b r r ，则sin 2a =（）A ．1-B C ．45D ．35【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量a r ，b r满足()()2a b a b l l ++∥r r r r ，则正数l =（）A ．1B C D ．2【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量()sin ,1a q =r ，(cos b q =r ，若a r ，b r 不能组成平面上的一个基底，则tan q = ．【变式3】（2023·四川南充·一模）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量),sin m A A =r，()1,1n =-r ，且m n ∥r r．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC V 的面积．题型三　共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O ，A ，B 满足2OA OB ==uuu r uuu r ，且||OA OB OA +=uuu r uuu r uuu r ，点C 满足OC OB -=uuu r uuu rP 满足()1OP tOA t OC =+-uuu r uuu r uuu r ，则OP uuu r 的最小值为（）A B C ．1D ．1【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量1e u r ，2e u ur 是平面上两个不共线的单位向量，且122AB e e =+u r uuu r u u r ，1232BC e e =-+uuur u r u u r ，1236DA e e =-uuu r u r u u r ，则（）A ．、、ABC 三点共线B ．A BD 、、三点共线C ．A C D 、、三点共线D ．B C D 、、三点共线【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+uuu r uuu r uuu r，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD uuu r 的取值范围是 .【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ×uuuu r uuu r的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，求PM PN ×uuuu r uuu r的最小值．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，则“//a b rr ”是“存在R l Î，使得a b l =r r ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知4AB =，M 为线段AB 的中点，3CM =，若2CN NM=uuu r uuuu r，则NA NB ×=uuu r uuu r （）A ．92-B ．3-C ．D ．3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点()2,6A ，()2,3B --，()0,1C ，7,62D æöç÷èø，则与向量2AB CD +uuu r uuu r同方向的单位向量为（）A ．B ．C ．D ．43,55æö-ç÷èø4．（2024·山西朔州·一模）已知)2,a b ==r r，且a b ^r r ，则2a b -=r r （）A ．B ．C ．4D ．二、多选题5．（2024·辽宁·二模）ABC V 的重心为点G ，点O ，P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则（）A ．,,O P G 三点共线B ．2OP OG =uuu r uuu rC ．2OP AP BP CP =++uuu r uuu r uuu r uuu rD ．点P 在ABC V 的内部6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ×=×r r r r ，则（）A ．a b c ++r r r的最小值为2B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r 的最小值为2D ．a b c -+r r r的最大值为三、填空题7．（2023·重庆·一模）在PAB V 中，4,3AB APB p=Ð=，点Q 满足2()QP AQ BQ =+uuu r uuu r uuu r ，则QA QB×uuu r uuu r的最大值为.8．（2023·云南大理·模拟预测）若a b =r r ，8a b +=r r ，6a b -=r r ，则a r 在b r上投影向量的模为．9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，()0AB AD AC -×=uuu r uuu r uuu r ，则该四边形一定是 .四、解答题10．（2024·山西朔州·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=--r r ，且//m n r r ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos B a bC c-=．(1)求角C ；(2)若4AB AC +=uuu r uuu r，求ABC V 面积的最大值．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （）A ．0B C ．D ．42．（2024·全国·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =-r ，则“4m =”是“a r 与b r共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量1e u r ，2e u u r 不共线，12(21)2a k e e =-+r u r u u r ，12b e e =-r u r ur ，且//a b r r，则k =（）A ．12-B ．0C ．1D ．324．（2024·四川遂宁·模拟预测）在ABC V 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（）A ．3B ．4C ．8D ．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （）A ．0B C ．2D ．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量a r ，b r，满足a b a b ==-r r r r ，则()·a a b +=r r r （）A ．212a r B ．212b rC ．()212a b +r r D ．()212a b -r r7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量(1,3)a =r ，||2b =r ，且||a b -=rr ，则()()2·a b a b +-r rr r =（）A ．1B ．14C D8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a r 、b r 满足：3a =r，4b =r ，a b ^r r .定义该平面上的向量集合{|||||,}A x x a x b x a x b =+<+×>×r rr r r r r r r .给出如下两个结论：①对任意c A Îr ，存在该平面的向量d A Îu r ，满足0.5c d -=rr ②对任意c A Îr ，存在该平面向量d A Ïu r ，满足0.5c d -=rr 则下面判断正确的为（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①正确，②正确D ．①错误，②错误二、多选题9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（）A ．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21B ．若等差数列{}n a 满足x y p q a a a a +=+(x 、y 、p 、*N )q Î，则x y p q +=+C ．非零平面向量a r 、b r 、c r 满足//a b r r ，//b c r r，则//a cr r D ．在ABC V 中，“AB AC >”与“cos cos C B <”互为充要条件10．（2024·全国·模拟预测）设,a b r r是两个非零向量，下列命题正确的是（）A ．若0a b ×=r r，则//a b r r B ．若a b a b ×=×r r r r ，则//a br r C ．若a b ^r r，则()2a b a b×=×r r r r D ．若a b a b +=-r r r r ，则a b^r r11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ×uu u r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]2,0-C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．AC BD ×uuu r uuu r 的最大值为12三、填空题12．（2024·天津·一模）已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD Ð=，且2BE EC =uuu r uuu r .若F 为线段DE 上的动点，且56AF AB AD l =+uuu r uuu r uuu r，则实数l 的值为；AF uuu r 的最小值为 .13．（2023·河南·模拟预测）已知向量()1cos ,sin e a a =u r ，()2cos ,sin e b b =u u r ，()0,1m =u r ，若12e e m +=u r u u r u r ，则12e e ×=u r u u r．14．（2024·青海西宁·二模）若向量,a b r r 不共线，且()()//xa b a yb ++r r r r，则xy 的值为．四、解答题15．（2024·吉林延边·一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c aC b a +-=-．(1)求B ；(2)若点D 在AC 上，且2AD BD DC ==，求ac．16．（2024·浙江温州·模拟预测）ABC V 的角,,A B C 对应边是 a ，b ，c ，三角形的重心是 O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求 a 的长.(2)求ABC V 的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC V 的面积为πsin 3A A æö-ç÷èø.(1)求C 的大小.(2)点D 满足AD CA =uuu r uuu r.若c =,a b .18．（2023·四川成都·三模）在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6a =，()2sin 2sin()A C b B C +++=(1)求角B 的大小；(2)若3AC DC =uuu r uuu r ，BD =c 的值．19．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为O e ：224x y +=和M e 的公共点，0OM OW ×=uuuu r uuuu r ，M e 与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A ¢，B ¢，点A ，A ¢在第一象限，记直线AA ¢与BB ¢的交点为G ，直线AB ¢与BA ¢的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA ¢，BB ¢于点T ，T ¢，求四边形GTET ¢面积的最大值．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）．A ．2132a b -r r B ．3146a b -r r C ．51122a b -r r D ．1126a b -r r 2．（2024·北京西城·二模）已知向量a r ，b r 满足()4,3a =r ，()210,5a b -=-r r ，则（）A ．0a b +=r r r B ．0a b ×=r r C ．a b >r r D ．a br r ∥3．（2024·全国·二模）点,O P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则直线OP 经过ABC V 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P =uuu r uuu r 是BN 上一点且29AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则AP AB ×=uuu r uuu r （）A ．29B ．19C ．23D ．1二、多选题5．（2024·福建厦门·三模）已知等边ABC V 的边长为4，点D ，E 满足2BD DA =uuu r uuu r ，BE EC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点O ，则（）A ．2133CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r B ．8BO BC ×=uuu r uuu rC ．2CO OD =uuu r uuu r D ．||OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r 6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF V 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r ，x ，y ÎR .（）A ．0AD BE CF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．存在点P ，使x y=C ．若34y =，则点P 的轨迹长度为2D ．AP AB ×uuu r uuu r 的最小值为2-三、填空题7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF AF =，点P 在AB 上，2BP AP =，点Q 在DEF V 内 (含边界)一点，若PQ PD PA l =+uuu r uuu r uuu r ，则l 的最大值为 .8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA l ®®=，AT AC m ®®=，则l m +的值为．9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形ABCD 边长为MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP PN ×uuu r uuu r 的最大值为 .四、解答题10．（2023·江西·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知M为BC 边的中点，()2a ab AM CB -×=uuuu r uuu r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 的面积为ABC V 周长的最小值．11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为ABC V 内部一点，DE BC ^于E ，AB AD =.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①3CE EB =uuu r uuu r ；②())sin sin sin B C B C +=-；③2AD DE AE DE AD AD DE +=×.。

平面向量-讲义(学生版)

平面向量
一、平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．（2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量平行于向量，记作 // ．（3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点，且
D.
，则
（）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，
存在唯一的一对实数，，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若、、三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点为线段上靠近点的三等分点，点在，则实数的值为（）．
C. 若
，则
D. 若
，则与的夹角为
，则（）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点为
，则
的值是（）．
的中点，点在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数的值为（）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

DS平面向量专题(学生版)

平面向量专题题型一、向量共线基本定理类型一、向量分解【例题】已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(x,y >0)，则3x +y 的最小值是( ) A. 83B. 72C. 52D. 43+23√3【变式训练1.1】如图，在平面四边形ABCD 中，∠AAA =90∘，∠AAA =2∠AAA ，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A ,A ∈A )，则A −A 的值为______．【变式训练1.2】如图，在同一个平面内，向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为A ，且tan A =7，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45∘，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A ,A ∈A )，则A +A =___________．【变式训练1.3】如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠AAA =60∘，∠AAA =45∘，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A +A =______．【变式训练1.4】已知O 为△AAA 的外心，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①若∠A =90∘，则A +A = ______ ；②若∠AAA =60∘，则A +A 的最大值为______ ．【变式训练1.5】如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且AA =2，点P 为△AAA 内(含边界)的动点，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A ,A ∈A )，则A +A 的最大值等于 ______ ．类型二、三点共线分解【例题】已知直线PA ，PB 分别与半径为1的圆O 相切于点A ，B ，AA =2，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−A )AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若点M 在圆O 的内部(不包括边界)，则实数A 的取值范围是( )A. (−1,1)B. (0,23)C. (13,1)D. (0,1)【变式训练1.6】AA △AAA 中，P 是斜边BC 上一点，且满足：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,(A ,A >0)则A +2A 的最小值为______．【变式训练1.7】在△AAA 中，过中线AD 的中点E 任作一直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ≠0，则4A +A 的最小值是________．【变式训练1.8】如图，在△AAA 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A ,A ∈A )，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则A +1A +A +2的取值范围是( )A. [13,23]B. [13,34]C. [14,34]D. [14,23]【变式训练1.9】类型三、三角形中线向量【例题】如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AA |=|AA |=1，∠A =120∘，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(其中A ，A ∈(0,1))，且A +4A =1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．【变式训练1.9】在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点O 在线段CD上(点O 与点C ，D 不重合)，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的取值范围是( ) A. (−1,0)B. (0,13)C. (0,1)D.(−13,0)【变式训练1.10】在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ABC =π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16B. 12C. 8D. −4【变式训练1.11】在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是CD 和BC 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则3λ+3μ= ______ ．【变式训练1.12】在△ABC 中，BC =6，M 1，M 2分别为边BC ，AC 的中点，AM 1与BM 2相交于点G ，BC 的垂直平分线与AB 交于点N ，且NG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．类型四、面积比例问题【例题】设点O 在△AAA 的内部，且有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则△AAA 的面积与△AAA 的面积之比为( )A. 3B. 13C. 2D. 12【变式训练1.13】O 为△AAA 内一点，且2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，△AAA 和△AAA 的面积分别是A △AAA 和A △AAA ，则A △AAAA △AAA 的比值是______ ．题型二、四心问题【例题】点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点O 为△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【变式训练2.1】O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )(λ∈(0,+∞))，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 重心C. 外心D. 垂心【变式训练2.2】已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosB+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )(λ∈R)，则直线AP 必经过△ABC 的( )A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心【变式训练2.3】如图，O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【变式训练2.4】已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB |cosB+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|cosC )，λ∈[0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心【变式训练2.5】O 为△ABC 平面内一定点，该平面内一动点P 满足M ={P|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ>0}，则△ABC 的( )一定属于集合M ． A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【变式训练2.6】已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长依次为a ，b ，c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则M 是△ABC 的( ) A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 外心【变式训练2.7】在同一平面上，有△ABC 和一点O ，满足关系OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【变式训练2.8】点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：(1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；(2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(3)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=0；(4)(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点O 依次为△ABC 的( )A. 内心、外心、重心、垂心B. 重心、外心、内心、垂心C. 重心、垂心、内心、外心D. 外心、内心、垂心、重心题型三、向量的数量积与坐标运算类型一、投影【例题】设向量A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ 满足|A ⃗⃗⃗⃗ |=2,|A ⃗⃗⃗⃗ |=1，且A ⃗⃗⃗⃗ ⊥(A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ )，则向量A ⃗⃗⃗⃗ 在向量A ⃗⃗⃗⃗ +2A ⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为______．【变式训练3.1】在直角梯形ABCD 中，AA //AA ，∠AAA =90∘，AA =AA =4，AA =2，则向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为______．类型二、向量的数量积方法一、向量分解法【例题】已知菱形ABCD 的边长为2，∠AAA =120∘，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则A +A =( )A. 12B. 23C. 56D. 712【变式训练3.2】在△AAA 中，∠A =60∘，AA =3，AA =2.若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A ∈A )，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则A 的值为______ ．【变式训练3.3】如图，在平行四边形ABCD 中，已知AA =8，AA =5，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．【变式训练3.4】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AA ⊥AA ，垂足为P ，且AA =1，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【变式训练3.5】在△AAA 中，AA =6，A 1，A 2分别为边BC ，AC 的中点，AA 1与AA 2相交于点G ，BC 的垂直平分线与AB 交于点N ，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．【变式训练3.6】已知A ，B ，C 是半径为l 的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点(含圆周)，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______ ．【变式训练3.7】A 、B 是半径为2的圆O 上的两点，M 是弦AB 上的动点，若△AAA 为直角三角形，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. −1B. −12C. 0D. 2【变式训练3.8】对于向量a ，b ，定义A ×A 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定A ×A 的模|A ×A |=|A ||A |sin A (其中A 为向量a 与b 的夹角)，A ×A 的方向与向量a ，b 的方向都垂直，且使得a ，b ，A ×A 依次构成右手系.如图，在平行六面体AAAA −AAAA 中，∠AAA =∠AAA =∠AAA =60∘，AA =AA =AA =2，则(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 4B. 8C. 2√2D. 4√2【变式训练3.9】梯形ABCD 中AA //AA ，对角线AC ，BD 交于A 1，过A 1作AB 的平行线交BC 于点A 1，AA 1交BD 于A 2，过A 2作AB 的平行线交BC 于点A 2，….，若AA =A ，AA =A ，则A A A A = ______ (用a ，b ，n 表示)【变式训练3.10】在△AAA 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△AAA 的面积为2，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为______．【方法二、建系坐标法【例题】在△AAA 中，∠A =90∘，△AAA 的面积为1，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．【变式训练3.11】如图，在直角梯形ABCD 中，已知AA //AA ，AA ⊥AA ，AA =2，AA =1，E 为BC 的中点，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．【变式训练3.12】已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1A,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=A ，若P 点是△AAA 所在平面内一点，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A. 13 B. 15 C. 19 D. 21【变式训练3.13】如图，已知点A (0,0)，A (1,0)，A (0,−1)，P 是曲线A =√1−A 2上一个动点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ．【变式训练3.14】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，A A (A =1,2，…，7)是小正方形的其余顶点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A =1,2，…，7)的不同值的个数为( )A. 7B. 5C. 3D. 1【变式训练3.15】在△AAA 中，AA =2AA =6,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，点P 是△AAA 所在平面内一点，则当AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值时，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 272B. −272C. 9D. −9【变式训练3.16】设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围为______ ．【变式训练3.17】如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置所图所示，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【变式训练3.18】如图，△AA 1A 1，△A 1A 2A 2，△A 2A 3A 3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边A 3A 3上有5个不同的点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，设A A =AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A =1,2，…，5)，则A 1+A 2+⋯+A 5=______．【变式训练3.19】在△AAA 中，AA ⊥AA ，AA =1A，AA =A ，P 是△AAA 所在平面内一点，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△AAA 面积的最小值为______．方法三、极化恒等式【例题】如图，在△AAA中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AAAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ．类型三、向量的模长【例题】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (−1,0)，A (0,√3)，A (3,0)，动点D 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是______．【变式训练3.20】在正方形ABCD 中，AA =AA =2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ．【变式训练3.21】已知非零向量A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ 满足|A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ |=|A ⃗⃗⃗⃗ |=4，(A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )⋅(A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )=0，若对每一个确定的A ⃗⃗⃗⃗ ，|A ⃗⃗⃗⃗ |的最大值和最小值分别为m ，n ，则A −A 的值为( )A. 随|A ⃗⃗⃗⃗ |增大而增大B. 随|A ⃗⃗⃗⃗ |增大而减小C. 是2D. 是4 【变式训练3.22】已知A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ 为两个非零向量，且|A ⃗⃗⃗⃗ |=2，|A ⃗⃗⃗⃗ +2A ⃗⃗⃗⃗ |=2，则|A ⃗⃗⃗⃗ |+|2A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( )A. 4√2B. 3√3C. 7√32 D. 8√33【变式训练3.23】用AAA {A ,A }表示实数a ，b 中的较小者，已知向量A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ ，A ⃗⃗⃗⃗ 满足|A ⃗⃗⃗⃗ |=1，|A ⃗⃗⃗⃗ |=2，A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ =0，A ⃗⃗⃗⃗ =A A ⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗ (A +A =1)，则当AAA {A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ ,A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ }取得最大值时，|A ⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 2√55B. √23C. 1D. √52【变式训练3.24】已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( )A. 434B. 494C. 37+6√34D. 37+2√334【变式训练3.25】在平面直角坐标系xOy 中.已知向量A ⃗⃗⃗⃗ 、A ⃗⃗⃗⃗ ，|A ⃗⃗⃗⃗ |=|A ⃗⃗⃗⃗ |=1，A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ =0，点Q 满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2(A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ )，曲线A ={A |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A ⃗⃗⃗⃗ cos A +A ⃗⃗⃗⃗ sin A ,0≤A ≤2A }，区域A ={A |0<A ≤|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤A ,A <A }.若A ∩A 为两段分离的曲线，则( )A. 1<A <A <3B. 1<A <3≤AC. A ≤1<A <3D. 1<A <3<A题型四、向量与三角综合【例题】在△AAA 中，已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos A 的最小值是______．【变式训练4.1】在平面直角坐标系xOy 中，A (−12,0)，A (0,6)，点P 在圆O ：A 2+A 2=50上.若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是______．【变式训练4.2】在平面直角坐标系中，已知A (1,0)，A (0,−1)，P 是曲线A =√1−A 2上一个动点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ．【变式训练4.3】已知△AAA 中，3(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则tan Atan A = ______ ．【变式训练4.4】已知△AAA 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为A ，b ，c ，且A =A3，A =2.当AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，AA 的值为______ ．【变式训练4.5】在平面内，定点A ，B，C ，D 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，动点P ，M 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是______．【变式训练4.6】如图，已知AA =2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，A )，且AA ⊥AA ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【变式训练4.7】已知函数A (A )=1A +2，点O 为坐标原点，点A A (A ,A (A ))(A ∈A ∗)，向量A ⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，A A 是向量AA A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A ⃗⃗⃗⃗ 的夹角，则使得cos A 1sin A 1+cos A 2sin A 2+cos A 3sin A 3+⋯+cos A A sin A A <A 恒成立的实数t 的取值范围为______．【变式训练4.8】直线l 与函数A =cos A (A ∈[−A 2,A 2])图象相切于点A ，且A //AA ，A (−A 2,0)，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作AA ⊥A 轴，垂足为D ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．。

专题：平面向量[学生版]

高考专题复习：平面向量【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积、两向量平行、垂直的充要条件.【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，也常会与三角函数相结合，以解答题的形式出现。

例1、(湖北)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11例2、(广东)已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例3、(海南)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（）A. －1B. 1C. －2D. 2点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。

题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1. (09广东)已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。

λ为实数， ()a b λ+∥c ，则λ=（）A ． 14B ．12C ．1D ．2 2.(12广东)若向量(1,2),(3,4)AB BC == ，则AC = ( ) ()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)22 题型二：平面向量的坐标表示与运算3.已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 为何值（）A 14B －14C －31D 31 题型三：数量积运算、向量求模4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ= ，则a b - 的最大值为 . 5.已知7a = ，2b = ，a 与b 的夹角为60 ，求(3)(5)a b a b -+ = .6.已知2,1,a b == a 与b 的夹角为π3，那么4a b - 等于（） A ．2 B．．6 D ．127.（07广东）若向量,a b 满足||||1a b == ,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= （）A ．12B ．32C.12+ D ．2 题型四：向量平行与垂直性质的应用8.（05广东）已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = .9. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b , 则b = ( )10. 平面向量(2,6)a = , (,1)b m =- , 且a b ⊥ , 则m = .题型五：平面向量在平面几何11. (09广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b （） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 12.(06广东)如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = （A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA + 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。

期末专题01 平面向量综合学生版

期末专题01平面向量综合一、单选题1.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知向量a =1,t ，b =3,-6 ，且a ⎳b ，则实数t =()A.-12B.-2C.12D.22.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知向量a =2,4 ，b =1,x ，且a ⎳b，则x =()A.2B.-2C.8D.-83.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知向量|a |=2，b 在a 方向上的投影向量为-2a ，则a⋅b =()A.4B.8C.-8D.-44.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且3CD =CA +2CB ，则()A.AD =2BDB.AD =12DBC.AD =2DBD.AD =13AB5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a +b = a -b =233a，则a +b ，a=()A.5π6B.2π3C.π3D.π66.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)在△ABC 中，BD =2DA ，若CB =λCA +μCD ，则λμ的值为()A.-23B.-32C.23D.327.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO =AB +AC ，|OA |=|AB|，则向量BA 在向量BC上的投影向量为()A.14BCB.34BCC.12BCD.-34BC8.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知向量a =(1,0)，b =(1,1)，若a +λb 与λa +b共线，则实数λ的值为()A.-1B.1C.±1D.09.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知非零向量a ，b 满足b =2a ，且a +b ⊥a ，则a +b 与b 的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3 D.5π610.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，AB =AC =2，∠A =120°，点M 满足AM =λAB+μAC ，λ+2μ=1，则AM 的最小值为()A.217B.2114C.2D.111.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知i ，j 是平面内互相垂直的单位向量，且a=i +2j ，b =-3i +4j ，则a 与b 夹角余弦值为()A.55B.12C.58D.1512.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某人向东偏北60°方向走50步，记为向量a；向北偏西60°方向走100步，记为向量b ；向正北方向走200步，记为向量c ．假设每步的步长都相等，则向量c可表示为()A.23a +bB.a +23bC.2a +3bD.3a+2b 13.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，BO =2OC ，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于M ，N两个不同的点，若AB =mAM ,AC =nAN，其中m ，n 为实数，则m 2+4n 2的最小值为()A.1B.4C.92D.514.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，若2a -b +c =0，则c=()A.3B.7C.3D.115.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，矩形ORTM 内放置5个边长均为1的小正方形，其中A ，B ，C ，D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则AE +BC ⋅BD=()A.-7B.-5C.5D.7二、多选题16.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)如果a ,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A.a =bB.a=±bC.a 2=b2 D.a=b17.(2022春·江苏常州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a =b =1，且a-3b =13，则下列结论正确的是( ).A.a ,b =13πB.a +b =12C.a -b=3D.a+3b =718.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a +b =a -b=1，则()A.a 与b的夹角为60°B.a 2+b 2=1C.a +2b ⋅2a +b=2D.a ⊥b19.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)下列说法错误的是()A.零向量没有方向B.共线向量是同一条直线上的向量C.若向量e 1 与向量e 2 共线，则有且只有一个实数λ，使得e1=λe 2D.|a ⋅b |≤|a |⋅|b |20.(2022春·江苏南通·高一统考期末)向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足a = b =2，a +b=23，则()A.a ⋅b=-2 B.a 与b 的夹角为π3C.a -b <a +bD.a -b 在b 上的投影向量为12b21.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图，已知菱形ABCD 的边长为6，E 为BC 中点，CF =2FD，下列选项正确的有()A.EF =12AD -23ABB.若∠BAD =60°，则AF=213C.若∠BAD =60°，则AC ⋅EF=9 D.-21<AE ⋅EF<-922.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ⎳CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则结论正确的是()A.AC =AD +12ABB.CM =12CA +12CBC.MN =AD +14ABD.BC =AD +12AB23.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)如图所示设Ox ，Oy 是平面内相交成θθ≠π2 角的两条数轴，e 1 ，e 2 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若OM =x e 1 +y e 2，则把有序数对x ,y 叫做向量OM 的反射坐标，记为OM =x ,y ．在θ=23π的反射坐标系中，a =1,2 ，b =2,-1 ．则下列结论中，错误的是()A.a -b=-1,3B.a=3C.a ⊥bD.a 在b 上的投影向量为-3714b 24.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)下列说法中错误的是()A.若a ∥b ,b ∥c ，则a ∥cB.若a ⋅b =a ⋅c ．且a≠0，则b =cC.已知|a |=6,|b |=3,a ⋅b =12，则a 在b 上的投影向量是43bD.三个不共线的向量OA ,OB ,OC 满足OA ⋅AB |AB |+CA |CA | =OB ⋅BA |BA |+CB|CB |=OC ⋅BC |BC |+CA|CA |=0，则O 是△ABC 的外心25.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是()A.5AE =2DCB.AC ⊥EGC.AE ⋅DC =45BC2 D.AF =35AB +45AD26.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)直角△ABC 中，斜边AB =2，P 为△ABC 所在平面内一点，AP =12sin 2θ⋅AB +cos 2θ⋅AC(其中θ∈R )，则()A.AB ⋅AC的取值范围是(0,4) B.点P 经过△ABC 的外心C.点P 所在轨迹的长度为2D.PC ⋅(PA +PB )的取值范围是-12,0三、填空题27.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =0,5 ，b =1,2 ，则a 在b 上的投影向量的坐标为.28.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，若AP ⋅AC=6，则AP =．29.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知向量a =(3,1),b =(0,-1),c =(k ,3)，若a -2b 与c 平行，则实数k =．30.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)点P 是边长为2的正三角形ABC 的三条边上任意一点，则|PA +PB+PC|的最小值为.31.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE =λAC+μAFλ，μ∈R ，则λ+μ的值为．32.(2022春·江苏南通·高一统考期末)如图，P 为矩形ABCD 边AB 中点，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，其中AB =4，BC =3，AE =BF =1，若PM ⋅PN =4，则PM +PN的最小值为．四、解答题33.(2022春·江苏扬州·高一期末)在平面直角坐标系中，已知向量a (1,1),b (2, 1)．(1)求|3a -b|；(2)若m =2a -b ,n =ta +b ，m ⊥n ，求实数t 的值．34.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知向量a=(2,-1),b =(1,x )．(Ⅰ)若a ⊥(a +b)，求|b |的值；(Ⅱ)若a +2b =(4,-7)，求向量a 与b夹角的大小．35.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知a ，b 为平面向量，且a =1,-2 .(1)若a ⊥b，且b =25，求向量b 的坐标；(2)若b =-3,2 ，且向量ka -b 与a +2b 平行，求实数k 的值.36.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a =1，b =3，a -b=3,-1 ．求：(1)a +b ；(2)a +b 与a -b的夹角．37.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)已知平面向量a ，b ，满足a=2，b =1.(1)若a +b ⋅b =0，求向量a 与b的夹角；(2)若a ⋅b =32，函数f x =sin xa +cos xb ，求f π8的值.38.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =3，1 ，a ⋅b=4．(1)当b =4，求a +b ;(2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．39.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a=2cos x ,sin x +2sin θ ，b =2sin x ,-cos x +2cos θ .(1)若a ∥b ，求cos x +θ ；(2)若θ=π4，函数f x =a ⋅b x ∈0,π ，求f x 的值域.40.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知e 1 ，e 2为两个夹角成60°的单位向量，OA =e 1 +3e 2 ，OB =5e 1 +e 2 .(1)求|AB |；(2)设OC =t e 1 ，问是否存在实数t ，使得△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.。

04 平面向量问题(学生版)

专题04 平面向量问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．(2022·全国乙文) 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．(2022·全国甲理) 设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且|a |＝1，|b |＝3，则(2a ＋b )b ＝________．4．(2022·全国甲文) 已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ．记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝( ) A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2n D ．2m ＋3n6．(2022·新高考Ⅰ) 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋t b ，若<a ，c >＝<b ，c >，则t ＝( ) A ．－6 B ．－5 C ．5 D ．67．(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则P A →·PB →的取值范围是( )A ．[－5，3]B ．[－3，5]C ．[－6，4]D ．[－4，6] 【知识总结】 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .3．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 4．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【常用结论】 1．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 2．极化恒等式三角形模式如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．【同类问题】题型一向量的线性运算1．(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →2．(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )C 形式1C形式2BC 图(2)A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b5．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝06．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．439．已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋ μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．2310．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．题型二平面向量的平行与垂直11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．12．(2018·全国Ⅰ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 13．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－3514．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn＝________．15．已知O 为坐标原点，点A (6，3)，若点P 在直线OA 上，且|OP →|＝12|P A →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为_________．16．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 17．(2021·全国乙)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 18．(2020·全国Ⅰ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________． 19．(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．20．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．题型三面向量数量积21．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．22．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－1223．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．324．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．25．在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC26．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．27．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－128．已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是_____． 29．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]30．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．。

【精品专区】平面向量练习题(学生版)

平面向量练习题一，选择题(每小题5分，共55分.)1. 点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（）A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(-2. 已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且a ∥b ，则x 等于（） A ．3B ．3-C ．31D ．31-3. 64==，m 与n 的夹角是 135，则n m ⋅等于（）A ．12B ．212C ．212-D ．12-4. 有四个式子：(1) 0·a =0;(2) 0·a =0;(3) 0-AB =BA ;(4)｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜;(5)( a ·b )·c ＝a ·(b ·c )其中正确的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个5. 若),12,5(),4,3(==b a 则a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．6563 B ．6533 C ．6533-D ．6563-6. 已知点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于()A ．3B ．31 C ．3- D ．31-7. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为()A ．3B ．6C ．7D ．98. 已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是()A ．5,2==y xB ．25,1-==y x C ．1,1-==y x D ．25,2-==y x9. 若a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)，则( )A. a ⊥bB. a ∥b 码C.( a +b )⊥(a -b )D.( a +b )∥(a -b ) 10. 已知向量｜a ｜=5,且a =(3,x-1),x ∈N,与向量a 垂直的单位向量是( )A.(54，-53) B.(-54，53) C.(-53，54)或(53，-54) D.(54，-53)或(-54，53)11. P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题(每小题6分，共30分.)12. 已知=--B A 、),2,5()4,3(13. a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝ .14. ｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为 .15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝ .16. 已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝ . 17. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 三、解答题(15分)18. 平面向量),,2(),,2(),4,,3(y c x b a ==-=已知a ∥b ，c a ⊥，求c b 、及c b 与夹角。

15平面向量加减运算-学生版

待提升的知识点/题型…知识点一：向量的加法1:向量的加法(1) 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

(2)已知向量a,b，在平面内任取一点A,作AB a, BC b，则向量AC叫做向量a,b的和。

记作：a b，即a b AB BC AC2 :向量的加法法则(1)三角形法则：两个向量“首尾”相接(2) 平行四边形法则:由同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a,b 的和。

这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则3:向量和的特点(1)两相向量的和仍是一个向量；r r r r r r r「r「(2)当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a + b |<|a|+|b |；(3)当向量a,b同向时，a b的方向与a,b同向，且|a b | | a | | b |当向量a,b反向时，若|a| |b|，则a b的方向与a,b同向，且|a b | |a | |b | ；若| a | | b |，则a b的方向与a,b反向，且|a b | |b | |a | ；4:向量的运算律(1)交换律：abb a ；( 2)结合律：(a b) c a (b c)说明：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了如：(a b) (c d) (b d) (a c)；abcd e[d (ac)] (b e)(3) 实数的运算律与向量运算律比较丄…知识点二：向量的减法1向量的减法(1)用"相反向量”定义向量的减法①与a长度相同、方向相反的向量•叫做a的相反向量，记作a。

②规定：零向量的相反向量仍是零向量r r r r r r r③性质：(a) a ；a ( a) ( a) a 0如果a、b互为相反向量，则a= b，b = a，a+b = 0④向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.r r r r即: a b a ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x = a，则x叫做a与b的差，记作a2:向量的减法法则已知如图有a , b ，求作a(1)三角形法在平面内任取一点 uuu O ，作 OA r uuu r mu a ，OB b ，贝U BA(2)平行四边形: 在平面内任取一点uuu O ，作 OA r uuura , BOuuu uuw uuu r r则 BA BO OA a b . 知识精析、向量的加法 uuu uuruuu umr r r r r r (1) 如果 AB CD , 则 AB CD 5 (2) a (b c) (a b) cuuur uuur uuur uuuuuur AC uur uuu(3) AC CD DE AE (4) CD DA 0A . 1个B . 2个C . 3个D 4个uuu r uuur r r r r r 1-2 已知正万形 ABCD 的边长为 1, AB =a , AC =c , BC = b ,则 | a + b + c A.0 B.3 C. 72 D.2 72(一)典例分析、学一学例1-1下列各式中正确的有 ( )例 I 为()a例1-3已知正六边形 ABCDEF , O 为它的中心，若 BA a , BC b ，试用a , b 来表示向量 OE, BF,BD.（二）限时巩固，练一练1. (1) umr uuu uuu 在四边形 ABCD 中，向量 AB 、BC 、CD 的和向量是3. (2) (3) 向量(AB + MB )+( BO + BC )+ OM 化简后等于a ="向东走 4km ”，b ="向南走 3km ”，则 | a + b | == c ,DE=d ,AE3, AOB 60，则 a b且有 EB=DF 中，设 uuur r uur EC a,EA uuur r ,AD c ，则:r c 、向量的减法（一）典例分析、学一学uuu r uuu r uiur r uuu ur 例2-1如图，已知 AB a, BC b,CD c, DE d ，在图中标出已知的4个向量，并用向量r r r u uuu uuu uuu(2) AB AE a, b, c, d 表示卜列向量 (1) AD例2-2已知平行四边形 ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列等式成立的是（2. 如图，B 、D 在口AECF 的对角线上,UJ UUT uuur JUU UU UJU uuur UJ A. AB CD AC BD B. AB CD AC BD UU J UUT ULUT uuu UU J uuur UUT uu ur C. AB CD AC BD D. AB CD AC BD例2-3化简下列各式：① AB + BC + CA ；② AB — AC + BD — CD ；③ OA — OD + AD ； A 、1 B 、2 (二) 限时巩固、练一练如图，已知向量uuu r AB a 、 uuu BC r b 、 uuu CD UUJ uuuruuu uuu（ 1)AB AC ；（2） A B AE ④ NQ + QP + MN — MP C 、3 D 、4 r uuu J r r r u c 、 DEd ；试用a 、b 、c 、d 表示下列向量 E结果为零向量的个数是（ )D C B 三、向量的画法（一）典例分析，学一学例3-1已知向量a, b,c ；r cr r c 例3-2如图，已知向量 r r r u a 、b 、c 、d ，分别画出下列向量:1.在平行四边形ABCD中，若uuu r uuu r uuurAD a, AB b,贝U DB （用a和b表示）2. 已知向量a、b的模分别为3, 4,则| a —b |的取值范围为3. 已知I OA | =4, |OB | =8, / AOB=60 ,则 | AB | =4.uu已知OA a ,uurOBuuub ,若OA 12 ,5，且AOB 90°,则a b5•如图，在平行四边形ABCD中，已知AC BD交于点uuu O,ABr ujura, ADuur 则AO uur DO6.平行四边形ABCD中，M为DC中点, N为BC的中点. uunAB,AD b,7 .8.9. …uuuu则MN （用a , b表示）.F列等式中，正确的个数是（① abba ② abbauurF列四式不能化简为AD的是（uuu uuu uuu A.( AB + CD )+ BCuuu uur uuuuC. AD + AD - BMa ④（a）C. 3a) 0uur uurB. (AD + MB)+(uuir uuu uuu D.OC -OA + CD已知AD是厶ABC的中线，试用第二部分1 .已知正方形ABCD的边长为1 ,uuiu uuuuBC +CM )uuiruuu uurAB, AD, AC表示向量uuurBD, DCuuiruuuABr uuu r a , BC b,则 a b为.uuu r uuu r 2 .在口ABCD中 , AC = a , AB = b , uuu BC =uuu uuu uuu 3.在四边形ABCD中，若AC AB ADuuu,且ABuurAD ,那么四边形ABCD为（7.如图，点 E 、 F 在平行四边形 ABCD 的对角线 uuu uurULU UUU (1)填空: BC BA =BA AF =BC AF6.如图，已知在梯形 ABCD 中，AD // BC ,点E 在边BC 上，联结 DE , AC .「士宀 uuir uuur uuu uuu(1) 填空：CD DE ______________ ; BC BA _______________ ;(2)如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量 uuuBE 平行的向量是 __________________ ;uuu uur(3) 求作：AB AD .(请说明哪个向量是所求作的向量)8.已知口 ABCD 点E 是BC 边的中点，请回答下列问题：uuir ULUT ULUT uuir(1)在图中求作 AD 与DC 的和向量：AD DC = ______________ A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、不是矩形、菱形的四边形4.已知平行四边形 ABCD , O 为平面上任意一点 UJU r uun •设 OA a ,0B r uuu r uuur u b ，OC c ，OD d ，则（ r o r o 出d In d M dr 出d r uuu uuur 5.化简：（1） AB CD uuu uuir BE DE uur uuu uuur_________ ；（2） BC DA MBuuu u CMA nBD 上，且 EB = DF . uuu ULUT______ ； BC AF _________1. __________________ (1) 既有 __________ 、又有的量，叫做向量.(2) _________________ 向量的--------------------------- 也叫向量的模(或向量的长度) ______________________ 它是一个--------------------------(3)零向量：大小为 ______ ，方向_________ 的向量；记作_________.2. __________________ (1)方向 ______ 且大小的两个向量叫做相等向量.(2) ____________ 方向___________ 且大小的两个向量叫做相反向量.(3) _____________________方向的两个向量叫做平行向量.(1) 向量加法、减法的三角形法则：uuu uuu ujur ujuAB BC;AC BC(2) 向量加法、减法的平行四边形法则：uuu uuur uuu uuuAB AD;AB AD3. 向量的运算(3)向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即：_________________________向量加法满足结合律，即：_________________________1.如图，梯形ABCD中，AD//BC , AB=CD, O为对角线AC与BD的交点，那么下列结论正确的B第6题图C . AB AD BD2•下列关于向量的运算，正确的是（（A ） AB BC CA 0;(C ) AB AC CB ；D . ABAD BD)(B ) AB CB CA ；匚(D ) AB AD BD 。

第01讲平面向量的概念及其线性运算 (精练)(学生版)

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精练）一、单选题1．（2022·山东烟台·高一期中）下列命题正确的是（）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））下列命题中正确的是（） A ．若a b =，则32a b >B ．BC BA DC AD --= C ．a b a b a +=+⇔与b 的方向相反 D ．若a b c ==，则a b c ==3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一阶段练习）已知点()1,3A ，()4,1B -，则与AB 同方向的单位向量为（） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()3,4- C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()3,4-4．（2022·四川绵阳·高一期中）化简：OP OA PB BC -++=（）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC5．（2022·广东·红岭中学高一期中）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（） A ．,,B C D B ．,,A B C C ．,,A C D D ．,,A B D6．（2022·山东泰安·高一期中）已知D 是ABC 的边BC 上的中点，则向量AD =（） A ．AB AC -B ．1122AB AC - C ．1122AB AC +D ．AB AC + 7．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b 是非零向量，则2a b =是aa b b=成立的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，若13mn =，则m n的值为（）A ．23 B ．34 C ．45 D ．569．（2022·山东潍坊·高一期中）在ABC 中，11299AP AB AC =-，则P 点（） A ．在线段BC 上，且29BP BC = B ．在线段CB 的延长线上，且29BP BC = C ．在线段BC 的延长线上，且29BP BC = D ．在线段BC 上，且29CP BC = 10．（2022·山西运城·高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG =（）A ．2455AB BC - B ．2455AB BC + C ．2455AB BC -+ D ．25AB BC -- 二、填空题11．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））已知在ABC 中，E 为AC 上一点，且13AE EC =，P 为BE 上一点，且满足AP mAB nAC =+()0,0m n >>，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为__________. 12．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A 、B 、C 、D 、E 是正五边形的五个顶点，且MN AM =QN xCP yNM =+，则x y +=______．三、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，ABC 中，F 为BC 边上一点，2=BF FC ，若AB a =，AC b =(1)用向量a 、b 表示AF ；(2)3=AB BD ，连接DF 并延长，交AC 于点E ，若λ=DF DE ，μ=AE AC，求λ和μ的值．14．（2022·安徽·高一期中）如图，在ABC 中，点O 在边BC 上，且2OC OB =．过点O 的直线分别交射线AB 、射线AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =．(1)求2m n +的值；(2)若2m n t t +≥t 的最小整数值．。

微专题平面向量(学生版)

微专题平面向量【秒杀总结】结论1：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2(1)DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 2.极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式(1)平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(2)三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2结论3：三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在λ∈R 使OP =(1-λ)OA +λOB ．特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP =12OA+12OB ．结论4：等和线【基本定理】(一)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(二)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；(4)当等和线过O 点时，k =0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；结论5：奔驰定理【奔驰定理】若O 为ΔABC 内任一点，且αOA +βOB +γOC =0 ，则S ΔBOC :S ΔAOC :S ΔAOB =α:β:γ【典型例题】例1.在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =3,BC =10，则AB ⋅AC =____．例2.正三角形内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA ⋅PB 的取值范围是．例3.已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．例4.在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72 C.52,2D.72,2例5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ,CD =13CA+λCB ，则λ=()A.13B.23C.-13D.-23例6.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为1200，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC =xOA +yOB，其中x ,y ∈R ，则x +y 的最大值是__________．【过关测试】一、单选题1.(2023·北京西城·高三统考期末)在△ABC 中，AC =BC =1,∠C =90°．P 为AB 边上的动点，则PB ⋅PC的取值范围是( )A.-14,1B.-18,1C.-14,2D.-18,22.(2023·北京昌平·高三统考期末)已知向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ,b =π4,c -a⋅c -b =0，则c的最大值是( )A.2-1B.5-12C.5+12D.2+13.(2023·广西桂林·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为( )A.34B.1C.43D.44.(2023·全国·高三专题练习)如图，在半径为4的扇形AOB 中，∠AOB =120∘，点P 是AB上的一点，则AP ·BP的最小值为( )A.-8B.-3C.-2D.-45.(2023·全国·高三专题练习)在平面内，定点A ,B ,C ,D 满足|DA |=|DB|=|DC |，DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足|AP |=1，PM =MC ，则|BM |2的最大值是( )A.434B.494C.47+634D.37+23346.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为( )A.0B.1C.3D.57.(2023·全国·高三专题练习)AB 为⊙C ：(x -2)2+(y -4)2=25的一条弦，AB =6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA ⋅PB的取值范围是( )A.[0，100]B.[-12，48]C.[-9，64]D.[-8，72]8.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD =13AB +12AC ，则S △BCDS △ACD =( )A.16B.12C.13D.239.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b ，c 满足a =4，a 在b 方向上的投影为2，c ⋅c -a=-3，则|b -c|的最小值为( )A.3-1B.3+1C.23-2D.23+210.(2023·全国·高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足BE=2EC ，AE ⋅BD =-23，则AF ⋅EF 的最小值为( )A.-23B.-43C.-15275D.-733611.(2023·全国·高三专题练习)P 是ΔABC 所在平面上的一点,满足PA +PB +PC =2AB,若S ΔABC =6,则ΔPAB 的面积为( )A.2B.3C.4D.812.(2023·全国·高三专题练习)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A.3B.22C.5D.2二、多选题13.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，O 为△ABC 内的一点，设AO =λAB +μAC ，则下列说法正确的是( )A.若O 为△ABC 的重心，则λ+μ=23 B.若O 为△ABC 的内心，则λ+μ==25C.若O 为△ABC 的外心，则λ+μ=910 D.若O 为△ABC 的垂心，则λ+μ=1514.(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是互不相等的非零向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，c =xa+ybx ,y ∈R ，记OA =a ，OB =b ，OC =c ，则下列说法正确的是( )A.若a -c⋅b -c =0，则O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上B.若a -c ⋅b -c =0，则c的最大值为2C.若c =1，则a -c ⋅b -c 的最大值为22+1D.若c=1，则x +y 的最小值为-215.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-6616.(2023·全国·高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中∠COD=2π3,OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD ，则下列说法正确的是( )图1 图2A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11217.(2023·全国·高三专题练习)如图，圆О是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM =xBA +yBD(x ，y ∈R )，则2x +y 可以取值为( )A.16B.13C.23D.118.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC=OC ⋅OA，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0三、填空题19.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是_____________.20.(2023·四川南充·统考一模)已知向量a 与b 夹角为锐角，且a =b =2，任意λ∈R ，a -λ⋅b 的最小值为3，若向量c 满足c -a ⋅c -b =0，则c的取值范围为______．21.(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)已知圆O 半径为1，P 、A 、B 是圆O 上不重合的点，则PA ⋅PB的最小值为_____.22.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足|b |⋅|c |=1，若|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c |，则-a2+2b 2+c2的最小值是_____________．23.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 满足：a 与b 的夹角为2π3,c -a⋅c -b =0,a + b =2，记M 是c -a -b的最大值，则M 的最小值是__________．24.(2023·全国·高三专题练习)点M 在△ABC 内部，满足2MA +3MB +4MC =0 ，则S △MAC :S △MAB =____________．。

平面向量的基本定理及坐标表示(学生版)

平面向量的基本定理及坐标表示(学生版）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知()0,1A -，()0,3B ，则||AB =（）A ．2BC ．4D ．2．已知向量(3,4)a =，(1,2)b =，则2b a -=（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(2,2)D ．(5,6)3．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b r r ，则m =（）A ．1B ．52-C ．25-D ．524．已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（）A ．8(1,)3 B ．138(,)33- C ．134(,)33 D ．134(,)33-- 5．已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（）A ．1B ．5C ．7D ．256．以下四组向量能作为基底的是（）A ．12(1,2),(2,4)e e ==B ．12(3,1),(1,3)e e =-=-C ．12(2,1),(2,1)e e ==--D ．121(,0),(3,0)2e e == 7．若向量m 与向量()2,1n =-为共线向量，且35m =m 的坐标为( )A ．()6,3-B ．()6,3-C ．()6,3-或()6,3-D ．()6,3--或(6,3)8．已知向量()2,1a =r ，()2,sin 1b α=-r ，()2,cos c α=-r ，若()a b c +r r r P ，则tan α的值为（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．-29．在ABC ∆中，2AB AC AD +=，0AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-10．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE ＝λBA ＋μBD (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )A ．1B ． 34C ．23D ． 12二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知a ，b 是两个不平行的向量，λ、R μ∈，则0a b λμ+=成立的充要条件是_________. 12．已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________.13．已知向量(,a t t =与()3,2b t =+共线且方向相同，则t =_____. 14．已知向量,a b 满足(1,2),(2,)a b m =-=.若//a b ，则m = _______； ||b =______. 15．已知()()1,3,1,2a b ==-，若0a b λμ+=，则实数λ=__________；μ=__________. 16．如图，在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，且4BP PA =，则x =_______，y =_______.17．在平行四边形ABCD 中1AB e =uu u r u r ，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数轴上有点A (-2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有12AC BC =，延长DC 到点E ，使()(),1,4d C E d E d =，求点E 的坐标.19．已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-.（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线.20．如图所示，□ABCD 中，AB =a ， AD =b ，23BM BC =，14AN AB =, （1）试用向量a ，b 来表示,DN AM .（2）AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值.21．已知)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a ，R ∈θ ;（1）若)0,2(=+b a ，求θθθcos sin 2sin 2+的值；（2）若)51,0(=-b a ，(,2)θππ∈，求θθcos sin +的值.22．已知直线l 上两个点()()0330A C ，、，，其中O 为坐标原点．（1）若1433OD OA OC =+，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；（2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB mOA nOC =+，则1m n +=。

平面向量的加减法(一) 学生版

A.a -b =0 B a .a +b =2 C.0=-b a D.b a =例2、如图，在Y ABCD 中，设a AB =，b AD =。

（1）填空：_____=+b a ；____=-b a .（2）在图中求作a b -.变式1、在Y ABCD 中，下列关于向量的等式正确的是（）A.0=+CD ABB.BD AD AB =-C.BD AD AB =+D.DA BD AB =+变式2、在△ABC 中，a AB =，b AC =.（1）填空：_____=BC ;(用含有a ，b 的式子来表示）（2）在图中求作：.AC AB +(不需要写出作法，只需写出结论即可，结论用含有a ，b 的式子来表示）变式3、如图，在Y ABCD 中，点E 是BC 边的中点，设a AB =，b BE =.(1) 写出所有与BE 互为相反向量的量：___________________________________________(2) 试图用b a ,表示向量DE ,则DE =__________(3)在图中求作BE BA -，ED EC +.三、【课堂练习】1. 两个非零向量a ，b 互为相反向量，那么下列各式正确的个数是（）①.0=-b a ②.0=+b a ③.b a -= ④.b a =（A).1个（B).2个（C).3个（D).4个2.化简：=++BA BC AB _________3.若,8a ,5,3=+==b b a 则向量a 与向量b 的方向一定（填“相同”或者“相反”）5. 如图，多边形ABCDEF 是正六边形，设a AB =，b BC =.（1）试用向量a ，b 表示向量OE OC OA ,,.（2）在图中求作:BC BA -.(不要求写出作法，只需写出结论即可)6.如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，设a AB =，b BC =.c AD =.（1）填空：BC AB +___DC AD +(填“=”或者“≠”）；（2）填空：=DC _______(用a ，b ，c 的式子表示）；（3）在图中求作AD AB -.（不要求写出作法，只需写出结论即可，结论用a ，b ，c 的式子表示）四、【家庭作业】1、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，在图中指出下列几个向量的和.(1)DA AC BD ++(2)EB BC AB ++(3)CD BC AB ++(4)CA BC AB ++\2、如图，已知向量a AB =，b AD =，∠DAB=120°，且,3==b a 求b a +，b a -.3、如图，P 是线段AB 的分点，且21=PB AP ,下列各式正确的是（ B ） A.PA PB 2= B.AB PB 32= C.BA PB 32= D.PA PB 3-=签字确认学员教师班主任。