人教B版高中数学必修一第三章3.4

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§3.4 函数的应用(Ⅱ) 课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．1．三种函数模型的性质函数 性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上 的增减性图象的变化 随x 的增大逐渐变“________” 随x 的增大逐渐趋于______ 随n 值而不同2.三种函数模型的增长速度比较(1)对于指数函数y ＝a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，a x 会小于x n ，但由于______的增长快于______的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有______．(2)对于对数函数y ＝log a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于________的增长慢于______的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有____________．一、选择题1．今有一组数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.40 7.5 12 18.01现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2 2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s (千米)与时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)5．已知f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (0)＝3，f (1＋x )＝f (1－x )，则有( )A ．f (b x )≥f (c x )B ．f (b x )≤f (c x )C ．f (b x )<f (c x )D ．f (b x )，f (c x )大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l 1＝5.06x －0.15x 2和l 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．三、解答题10．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份1 2 3 产量(千件)50 52 53.9 为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．11．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n ＋1)元时，比礼品价值为n 元(n ∈N *)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n 元时，利润y n (元)与n 的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数y＝log a x (a>1)模型，其增长缓慢；(3)指数y＝a x (a>1)模型，其增长迅速．3．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．§3.4 函数的应用(Ⅱ)知识梳理1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定2．(1)y ＝a x y ＝x n a x >x n (2)y ＝log a x y ＝x n log a x <x n作业设计1．C [将t 的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v ＝t 2－12的函数比较接近表中v 的5个数值．]2．C [由题意知s 与t 的函数关系为s ＝20－4t ，t ∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]4．C [由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x )＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．]5．B [由f (1＋x )＝f (1－x )，知对称轴b 2＝1，b ＝2. 由f (0)＝3，知c ＝3.此时f (x )＝x 2－2x ＋3.当x <0时，3x <2x <1，函数y ＝f (x )在x ∈(－∞，1)上是减函数，f (b x )<f (c x )； 当x ＝0时，f (b x )＝f (c x )；当x >0时，3x >2x >1，函数y ＝f (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，f (b x )<f (c x )． 综上，f (b x )≤f (c x )．]6．B [设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．由题意可知所获利润l ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15(x －10.2)2＋45.606.当x ＝10时，l max ≈45.6(万元)．]7．45解析 设过n 个3分钟后，该病毒占据64MB 内存，则2×2n ＝64×210＝216⇒n ＝15， 故时间为15×3＝45(分钟)．8．80(1＋x )10解析 一年后的价格为80＋80·x ＝80(1＋x )．二年后的价格为80(1＋x )＋80(1＋x )·x＝80(1＋x )(1＋x )＝80(1＋x )2，由此可推得10年后的价格为80(1＋x )10.9．2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．11．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．12．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n . 利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝(20－n )m ×1.1n (0<n <20，n ∈N *)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n ≥0.解得n ≤9，所以y 1<y 2<y 3<…<y 9＝y 10，令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(18－n )m ×1.1n ＋2≥0，解得n ≥8.所以y 9＝y 10>y 11>…>y 19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．。