第五章直杆的应力
第五章材料力学考试复习重点知识与练习题
从图在该段中的变线段(T即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
* /）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。
而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。
b点相对立白 勺应力第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。
♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图5-1所示。
陶度箓n------- 搬面设计为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,物出射和 （力与姻（美系）* 变形外力 T ］表小，即临界前载应力力布1£配IX没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它 1故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因m max对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限（T该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。
的滑移线，这是由于试 件材料在45。
的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故（7S 是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
材料力学基本知识
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图5-1
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图5-8
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图5应力
一、内力 杆件在外力作用下产生变形，从而杆件内部各部分之间就 产生相互作用力，这种由外力引起的杆件内部之间的相互作 用力称为内力。 研究杆件内力常用的方法是截面法。截面法是假想用一平面 将杆件在需求内力的截面处截开，将杆件分为两部分[图5-6 (a)];取其中一部分作为研究对象，此时截面上的内力被显示 出来，变成研究对象上的外力[图5-6 (b)]，再由平衡条件求出 内力。 二、应力 由于杆件是由均匀连续材料制成，所以内力连续分布在整 个截面上。由截面法求得的内力是截面上分布内力的合内力。 只知道合内力还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏，还 必须知道内力在横截面上分布的密集程度(简称集度)。我们 将内力在一点处的分布集度称为应力。
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第一节杆件变形的形式与度量
当某一种基本变形形式起主要作用时，可按这种基本变形形 式计算，否则，即属于组合变形的问题(见本书第十章)。 三、位移与应变 杆件变形的大小用位移和应变这两个量来度量。 位移是指位置改变量的大小，分为线位移和角位移。应变 是指变形程度的大小，分为线应变和切应变。 图5-5 (a)所示微小正六面体，棱边边长的改变量 称为线 变形[图5-5 (b)]， 与x 的比值 称为线应变。线应变是 无量纲的。 / x (5-1) 上述微小正六面体的各边缩小为无穷小时，通常称为单元 体。单元体中相互垂直棱边夹角的改变量 [图5-5 (c)]称为 切应变或角应变(剪应变)。角应变用弧度来度量，它也是无 量纲的。
材料科学第5章轴向拉压
§5–1 轴向拉压的概念及实例§5–2 轴向拉压横截面上的内力§5–3 轴向拉压横截面上的应力§5–4 材料在轴向拉压时的力学性能§5–5 轴向拉压时的强度计算§5–6轴向拉压时的变形分析第五章轴向拉伸和压缩§5–1 轴向拉压的概念及实例工程实例程实例程实例由二力杆组成的桥梁桁架工程实例工程实例由二力杆组成的桁架结构内燃机的连杆工程实例程实例受力特点：外力的合力作用线与杆件的轴线重合。
受力特点：外力的合力作用线与杆件的轴线重合。
变形特点拉伸变形轴线方向伸长，横向尺寸缩短。
变形特点压缩变形轴线方向缩短，横向尺寸增大；F F拉伸F F压缩拉压变形简图以拉压变形为主的杆件——杆偏心压缩讨论12、“等直杆的两端作用一对等值、反向、共线的集中力时，杆将产生轴向拉伸或压缩变形。
”PP3、情况下，构件会发生轴向拉压？F N -F=0F N =F轴力；FF F N FF N N F 的作用线与轴线重合单位：牛顿（N ）F §5–2 轴向拉压时横截面上的内力一、内力轴力概念无论取左段还是右段，两段轴力大小相等，方向相反同一位置左、右侧截面内力分量必须具有相同的正负号。
轴力正负号规定轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；FF2F2F112233F N1=FFF N1F2FFF N 2F N2FFF N 3F N3例题作杆件的内力图，确定危险截面轴力图xNF FF2F2FFFF例题：已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
CF1F3F2F 4A B DkN 1011 F F N F N1F 1F 1F 3F 2F 4AB C DkN10F 2N 2233F N3F 4F N2F 1F 2F F F 122N kN2543 F F N 2、绘制轴力图。
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。
5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。
5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。
第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。
工程力学习题册第五章 - 答案
第五章拉伸和压缩一、填空题1.轴向拉伸或压缩的受力特点是作用于杆件两端的外力__大小相等___和__方向相反___，作用线与__杆件轴线重合_。
其变形特点是杆件沿_轴线方向伸长或缩短__。
其构件特点是_等截面直杆_。
2.图5-1所示各杆件中受拉伸的杆件有_AB、BC、AD、DC_，受压缩的杆件有_BE、BD__。
图5-13.内力是外力作用引起的，不同的__外力__引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为_轴力__。
剪切变形时的内力称为__剪力__，扭转变形时的内力称为__扭矩__，弯曲变形时的内力称为__剪力与弯矩__。
4.构件在外力作用下，_单位面积上_的内力称为应力。
轴向拉、压时，由于应力与横截面__垂直_，故称为__正应力__；计算公式σ＝F N/A_；单位是__N/㎡__或___Pa__。
1MPa＝__106_N/m2＝_1__N/mm2。
5.杆件受拉、压时的应力，在截面上是__均匀__分布的。
6.正应力的正负号规定与__轴力__相同，__拉伸_时的应力为__拉应力__，符号为正。
__压缩_时的应力为__压应力_，符号位负。
7.为了消除杆件长度的影响，通常以_绝对变形_除以原长得到单位长度上的变形量，称为__相对变形_，又称为线应变，用符号ε表示，其表达式是ε＝ΔL/L。
8.实验证明：在杆件轴力不超过某一限度时，杆的绝对变形与_轴力__和__杆长__成正比，而与__横截面面积__成反比。
9.胡克定律的两种数学表达式为σ＝Eε和ΔL＝F N Lo/EA。
E称为材料的_弹性模量__。
它是衡量材料抵抗_弹性变形_能力的一个指标。
10.实验时通常用__低碳钢__代表塑性材料，用__灰铸铁__代表脆性材料。
11.应力变化不大，应变显著增大，从而产生明显的___塑性变形___的现象，称为__屈服___。
12.衡量材料强度的两个重要指标是__屈服极限___和__抗拉强度__。
13.采用___退火___的热处理方法可以消除冷作硬化现象。
工程力学(第五章)
面积是CD段横截面面积的2 面积是CD段横截面面积的2倍。求杆内轴力及最大轴 CD段横截面面积的 力，绘轴力图，绝对值最大正应力及位置，绝对值最 绘轴力图，绝对值最大正应力及位置， 大剪应力及位置？ 大剪应力及位置？
O 3F
B 4F
C 3F
D 2F
1 取截面1 解： 、取截面1-1、2-2、3-3 O 3F 1 1 B 4F 2 2 C 3F 3 3 D 2F
FN
F + -F + x
F N —图 图
5.1.2
F F F
横截面上的内力和应力
F FN=F
σ
1、当外力沿杆件轴线作用时，横截面上只有轴力，也只有正应力。 、当外力沿杆件轴线作用时，横截面上只有轴力，也只有正应力。 2、大多情况下，杆件在轴力作用下均匀伸缩变形，因此，根据材料均匀性 、大多情况下，杆件在轴力作用下均匀伸缩变形，因此， 假定，横截面上的应力均匀分布。 假定，横截面上的应力均匀分布。
FN -图 图
∴FN max = 3F
（在OB段） 段
4、分段求σ max 、
FN 1 3 F = σ1 = 2A 2A F F σ2 = N2 = 2A 2A F 2F σ 3 = N3 = A A
∴σ
max
5、求 τ max 、
由斜截面剪应力公式： 由斜截面剪应力公式：
1 τ α = σ cos α sin α = σ sin 2α 2 1 1 F τ max = σ max sin 90 = σ max = 2 2 A
o o 1、当 α = 0 , cos 0 = 1, sin 0 = 0 , 、
∴σα = σ =σmax, τα = 0
∴σα = ,τα = = τ max 2 2
第五章直杆的应力
A2
A4
end
A
M y1
C
B
2.5kNm
A1
D -4kNm A3
x
s A2 t
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.8106 Pa 28.8MPa
s A3 t
MB Iz
y1
4 52 763108
27.2106 Pa 27.2MPa
s A4 c
为了解正应力在截面上的分布，必须观察梁在纯弯曲时截面上 各点处的变形情况。
end
1.几何变形关系
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变 形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
en
m
mn
m
aa
bb mn
m
mn
pa Pa
a
k
sa
a a pa
sa ta
pa cos a s cos2 a pa sina ssinacosa
s sin
2
2a
ta
所以，铸铁一类试件在拉伸时常因其横截面上的最大拉应力而被拉断；
而低碳钢一类试件在拉伸时则常因其45o斜面上有最大剪应力而在该方向出
现滑移线；在和轴线平行的纵向截面上则既无正应力又无剪应力。
比较此式和式(5-3)可见：
sa s b s ta t b (5-4)
此即以后常用到的剪应力互等定理。
最后指出，杆在拉、压时一点处的应力状态可用图(b)所示的 单元体的受力状态来表示，也可用图(c)所示的单元体上一个方向 的正应力来表达，这种应力状态称单向应力状态。
05等截面直杆强度与刚度计算(工程力学基础)
重点 ● 轴向拉伸（压缩）及轴力图绘制，应力、变形及
F
FF
F
变形特征：轴向伸长或缩短
1、内力的概念
由外力引起的构件内部各部分之间的相互作用力。
内力特点： 1、有限性 2、分布性 3、成对性
F
1
杆件所承受 的荷载及约 束力统称为 外力
F2
F3
Fn
2、截面法 研究构件内力通常采用截面法
将杆件假想地沿某一横截面切开，取其中的一部分为研究
对象，在切开的截面上用内力表示去掉部分对保留部分的 作用，建立静力平衡方程求出该内力。
八、单跨静定梁的基本形式、内力及其求解 九、单跨静定梁的内力方程及内力图绘制 十、叠加法作单跨静定梁的内力图 十一、 平面弯曲、常用截面的几何性质 十二、 梁弯曲的强度力计算 十三、 梁弯曲时的变形和刚度计算 十四、 提高梁弯曲强度的措施
目标 ● 掌握轴向拉伸（压缩）及轴力图绘制，应力、
σN A
σ——正应力 N——轴力 σ的符号与N轴力符号相同
A——横截面面积
例5-3
三、轴向拉(压)杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；
斜截面----是指任意方位的截面。
F
FF
n
αX p
σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力
讨论：
σα
=σ cos2 α
τα
=
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S z*——距中性轴为y的横线以下部分
的横截面面积A*对中性轴的面积矩。
? ?My
Iz
(5-9)
说明：横力弯曲时，截面上有剪应力，平面假设不严格成立,但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时上述公式近似成立.
(2) 工字形截面上的剪应力
bI z
t
b
?? r p
t ?q t ? ??
N1
n n1 dA*
N2
? N1 ?
? ?dA*
A*
? N2 ?
? ??dA*
A*
A*为横截面上 pq以下的面积
(1) 矩形截面上的剪应力
矩形截面上距中性轴为y处任意一点的剪应力公式：
t
?
QS
* z
(5-12)
bI z
Q
t m ax
?剪应力在截面上的分布规律：
回顾
直杆拉压公式：
? 横截面正应力： ? ? N
A
? 斜截面应力（推导）
? 纵向变形：
? l ? Nl EA
? 横向变形： ?, ? ???
? ? E?
梁的弯曲应力公式：
M
? ?My
Iz
(5-9)
?
M
中性轴
回顾：平面弯曲
A
FAy
B
FBy
?梁具有纵向对称面 ?外力都作用在此面内 ?弯曲变形后轴线仍在对称面内
应力分布：
m m1
M
M ? dM
t?
y
??
rp
? ??
n n1
x
dx
x dx
M(x)
Q(x)+d Q(x)
x
Q(x) r
p M(x)+d M(x)
y
n
n1
dx
(1) 矩形截面上的剪应力
平衡方程: ? X ? N2 ? N1 ? t 'b(dx) ? 0
? ? ? N2 ?
? ''dA ?
A*
(M ? dM ) y1 dA ?
A*
Iz
(M ? dM ) Iz
A* y1dA
N2
?
(M
?
dM )Sz? Iz
? ? N1 ?
? ?dA? ? M
A?
Iz
A?
y1dA?
?
MSz? Iz
代入平衡方程有:
dM ?Sz* / I z ? t ??b ?dx ? 0
即
t ?? dM
S
? z
?
QS
? z
dx bI z bI z
剪应力互等：t ? t ( y) ? t ?? QSz*
?将
Iz
?
b 12
h3
y ? 0 代入上式，有
t max
?
3 2
Q bh
?
3Q ? 2A
1.5t
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
(1) 矩形截面上的剪应力
公式推导思路:
x
dx
1.假设剪应力分布规律； 2.列微段平衡方程（轴力方向）； M(x) 3.轴力与正应力的关系；
Q(x)+dQ(x) x
4.应用剪应力互等定理。
边平行； ?剪应力τ大小随梁高变化，但沿
梁宽不变。
Qz
y
x
t
x
y
dx
x dxM(x)ຫໍສະໝຸດ Q(x)+d Q(x)
x
Q(x) y
M(x)+d M(x)
dx
(1) 矩形截面上的剪应力
研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图；
?在微段上取一块(nrpn1)如图；
?列出平衡方程
? X ? N2 ? N1 ? t 'b(dx) ? 0
AC、DB段
?当梁的横截面上有剪力Q
Q图 P
存在，相应地必然有剪应力
Pa
τ存在。
M图
P
a
DB P
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
P
P
在工程中，一般正应力是梁破坏的主要因素。但是，当梁的跨度 很而小剪或力在却支很座大附，近如有果很梁大截的面集窄中且力 高作或用是，薄这壁时截梁面的，a最这大时弯剪矩应比力较可小达，到 相当大的数值，不能忽略。
纯弯梁横截面正应力分布规律：
1、受拉区：拉应力（正），受压区：压应力（负）； 2、中性轴上应力为零； 3、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。沿截面宽度均匀分布； 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处； 5、若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力；
?
? ?My
(5-9)
M
?
h02 ) ?
d 2
( h02 4
?
y2 )
t max
?
Q dh0
?Q Af
Af —腹板的面积。
(2) 工字形截面上的剪应力
?概念：剪流。
翼缘剪应力：
t '' ? QS*z
I zt
t – 翼缘厚度；
Sz*– 所求应力点到截面边 缘的面积对z轴的静矩.
?工字形截面梁中剪力主 要由腹板承担,翼缘主要 承担弯矩。
t ? QSz*
bI z
Q(x)
M(x)+dM(x)
y
??
N1
dx
t?
b
rp
t ? ??
n n1 dA*
N2
? N1 ?
? ?dA*
A*
? N2 ?
? ??dA*
A*
横力弯曲时梁横截面上的应力：
1.剪应力公式： t ? QSz* bI z
2.正应力公式：
(5-12)
其中：Q ——计算横截面上的剪力；
第五章
第五章 主要内容
5-1 关于变形固体的一些基本假设和概念 5-2 材料力学的研究方法 5-3 直杆的拉伸和压缩 5-4 梁的弯曲正应力 5-5 横力弯曲时梁内的剪应力 5-7 梁的合理截面和等强度梁 *5-8 圆轴的扭转
本节内容：
5.5 横力弯曲时梁的剪应力 *5.6 弯曲中心概念 5.7 梁的合理截面和等强度梁
z
y
t ( y)
S
? z
?
yc? A?
?
h/2? 2
y b?? h ? ?2
y ?? ?
y
t m ax
?
b 2
????
h2 4
?
y2 ????
?t 方向：与横截面上剪力方向相同； ?t 大小：沿截面宽度b均匀分布，沿高
?
t矩
?
Q 2Iz
h2 (
4
?
y2 )
度h分布为抛物线；上下边缘为零， 中性轴处最大。
?其他截面梁的剪应力研究方法与矩 形截面同；剪应力的计算公式亦为：
t ? QSz*
bI z
h h0
上翼缘
d 腹板
z
腹板剪应力：
tf
?
QS
* z
I zd
t max d – 腹板厚度；
Sz*– 所求应力点到截面边
t
t m in
b 下翼缘
最大剪应力发生在中性轴处：
缘的面积对z轴的静矩.
Sz*
?
b (h2 8
对工程中常P 用的几种简单截面形式的梁，其横截面上 的计剪算应简图力可用A 基于某C些假设的材料力学D的方法B来求解。 主要包括：
1.矩形截面上的剪应力 P
Q图 P
2.工字形 截面上的Pa剪应力
M图
3.其它截面上的剪应力
5-5 横力弯曲时梁内的剪应力
(1) 矩形截面上的剪应力
两点假设： ?剪应力τ与剪力Q平行，即和两侧
M
Iz
中性轴
? max M
? max
?
M Iz
ymax
?
M W
? max
抗弯截面系数
第五章 直杆的应力
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
概念：
P
横力弯曲梁段 ——梁的横
截面上既有剪力 Q，又有 a
弯矩M，这种梁段叫横力
弯曲梁段。
纯弯曲梁段：CD段
横力弯曲梁段：
P 计算简图A C