第五章直杆的应力

?将
Iz
?
b 12
h3
y ? 0 代入上式，有
t max
?
3 2
Q bh
?
3Q ? 2A
1.5t
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
(1) 矩形截面上的剪应力
公式推导思路:
x
dx
1.假设剪应力分布规律； 2.列微段平衡方程（轴力方向）； M(x) 3.轴力与正应力的关系；
Q(x)+dQ(x) x
4.应用剪应力互等定理。
纯弯梁横截面正应力分布规律：
1、受拉区：拉应力（正），受压区：压应力（负）； 2、中性轴上应力为零； 3、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。沿截面宽度均匀分布； 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处； 5、若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力；
?
? ?My
(5-9)
M
?其他截面梁的剪应力研究方法与矩 形截面同；剪应力的计算公式亦为：
t ? QSz*
bI z
h h0
上翼缘
d 腹板
zБайду номын сангаас
腹板剪应力：
tf
?
QS
* z
I zd
t max d – 腹板厚度；
Sz*– 所求应力点到截面边
t
t m in
b 下翼缘
最大剪应力发生在中性轴处：
缘的面积对z轴的静矩.
Sz*
?
b (h2 8
M
Iz
中性轴
? max M
? max
?
M Iz
ymax
?
M W
? max
抗弯截面系数
第五章 直杆的应力
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
概念：
P
横力弯曲梁段 ——梁的横
截面上既有剪力 Q，又有 a
弯矩M，这种梁段叫横力
弯曲梁段。
纯弯曲梁段：CD段
横力弯曲梁段：
P 计算简图A C
bI z
t
b
?? r p
t ?q t ? ??
N1
n n1 dA*
N2
? N1 ?
? ?dA*
A*
? N2 ?
? ??dA*
A*
A*为横截面上 pq以下的面积
(1) 矩形截面上的剪应力
矩形截面上距中性轴为y处任意一点的剪应力公式：
t
?
QS
* z
(5-12)
bI z
Q
t m ax
?剪应力在截面上的分布规律：
对工程中常P 用的几种简单截面形式的梁，其横截面上 的计剪算应简图力可用A 基于某C些假设的材料力学D的方法B来求解。 主要包括：
1.矩形截面上的剪应力 P
Q图 P
2.工字形 截面上的Pa剪应力
M图
3.其它截面上的剪应力
5-5 横力弯曲时梁内的剪应力
(1) 矩形截面上的剪应力
两点假设： ?剪应力τ与剪力Q平行，即和两侧
A*
Iz
(M ? dM ) Iz
A* y1dA
N2
?
(M
?
dM )Sz? Iz
? ? N1 ?
? ?dA? ? M
A?
Iz
A?
y1dA?
?
MSz? Iz
代入平衡方程有:
dM ?Sz* / I z ? t ??b ?dx ? 0
即
t ?? dM
S
? z
?
QS
? z
dx bI z bI z
剪应力互等：t ? t ( y) ? t ?? QSz*
z
y
t ( y)
S
? z
?
yc? A?
?
h/2? 2
y b?? h ? ?2
y ?? ?
y
t m ax
?
b 2
????
h2 4
?
y2 ????
?t 方向：与横截面上剪力方向相同； ?t 大小：沿截面宽度b均匀分布，沿高
?
t矩
?
Q 2Iz
h2 (
4
?
y2 )
度h分布为抛物线；上下边缘为零， 中性轴处最大。
应力分布：
m m1
M
M ? dM
t?
y
??
rp
? ??
n n1
x
dx
x dx
M(x)
Q(x)+d Q(x)
x
Q(x) r
p M(x)+d M(x)
y
n
n1
dx
(1) 矩形截面上的剪应力
平衡方程: ? X ? N2 ? N1 ? t 'b(dx) ? 0
? ? ? N2 ?
? ''dA ?
A*
(M ? dM ) y1 dA ?
Iz ——整个横截面对中性轴的惯性矩； b ——矩形截面的宽度；
S z*——距中性轴为y的横线以下部分
的横截面面积A*对中性轴的面积矩。
? ?My
Iz
(5-9)
说明：横力弯曲时，截面上有剪应力，平面假设不严格成立,但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时上述公式近似成立.
(2) 工字形截面上的剪应力
?
h02 ) ?
d 2
( h02 4
?
y2 )
t max
?
Q dh0
?Q Af
Af —腹板的面积。
(2) 工字形截面上的剪应力
?概念：剪流。
翼缘剪应力：
t '' ? QS*z
I zt
t – 翼缘厚度；
Sz*– 所求应力点到截面边 缘的面积对z轴的静矩.
?工字形截面梁中剪力主 要由腹板承担,翼缘主要 承担弯矩。
第五章
第五章 主要内容
5-1 关于变形固体的一些基本假设和概念 5-2 材料力学的研究方法 5-3 直杆的拉伸和压缩 5-4 梁的弯曲正应力 5-5 横力弯曲时梁内的剪应力 5-7 梁的合理截面和等强度梁 *5-8 圆轴的扭转
本节内容：
5.5 横力弯曲时梁的剪应力 *5.6 弯曲中心概念 5.7 梁的合理截面和等强度梁
AC、DB段
?当梁的横截面上有剪力Q
Q图 P
存在，相应地必然有剪应力
Pa
τ存在。
M图
P
a
DB P
5.5 横力弯曲时梁的剪应力
P
P
在工程中，一般正应力是梁破坏的主要因素。但是，当梁的跨度 很而小剪或力在却支很座大附，近如有果很梁大截的面集窄中且力 高作或用是，薄这壁时截梁面的，a最这大时弯剪矩应比力较可小达，到 相当大的数值，不能忽略。
边平行； ?剪应力τ大小随梁高变化，但沿
梁宽不变。
Qz
y
x
t
x
y
dx
x dx
M(x)
Q(x)+d Q(x)
x
Q(x) y
M(x)+d M(x)
dx
(1) 矩形截面上的剪应力
研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图；
?在微段上取一块(nrpn1)如图；
?列出平衡方程
? X ? N2 ? N1 ? t 'b(dx) ? 0
回顾
直杆拉压公式：
? 横截面正应力： ? ? N
A
? 斜截面应力（推导）
? 纵向变形：
? l ? Nl EA
? 横向变形： ?, ? ???
? ? E?
梁的弯曲应力公式：
M
? ?My
Iz
(5-9)
?
M
中性轴
回顾：平面弯曲
A
FAy
B
FBy
?梁具有纵向对称面 ?外力都作用在此面内 ?弯曲变形后轴线仍在对称面内
t ? QSz*
bI z
Q(x)
M(x)+dM(x)
y
??
N1
dx
t?
b
rp
t ? ??
n n1 dA*
N2
? N1 ?
? ?dA*
A*
? N2 ?
? ??dA*
A*
横力弯曲时梁横截面上的应力：
1.剪应力公式： t ? QSz* bI z
2.正应力公式：
(5-12)
其中：Q ——计算横截面上的剪力；