2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：11_§ 2_9 函数模型及其应用 夯基提能作业 含解析
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.2函数的单调性与最值课件
由 f'(x)<0 得 1- 2 <0,即 x2<a,解得 0<x< .
所以 f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数.
-20-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.函数单调性的判断可以根据根本函数的单调性和复
合函数单调性判断方法(同增异减)判断.
2.用定义法证明函数的单调性根本步骤:①取值(任取x1,x2∈D,
2 2-3.
关闭
2 2-3
解析
答案
-11知识梳理
双击自测
自测点评
1.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如
1
函数y= 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整
个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写或用“和〞连
接,不能用“∪〞连接,也不能用“或〞连接.
,
-1 在区间(-2,2)上单调递减,函数 y=ln x 是定义域内的
+2
2-
单调递增函数,由复合函数的单调性可知函数 f(x)=ln2+ 单调递减,
符合题意.故选 D.
-18-
考点一
考点二
考点三
(2)讨论函数f(x)=x+
(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
解:(方法一:定义法)
设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2,
递减区间是(
)
A.(-∞,-3)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)
关闭
当x=2时,y=loga5>0,∴a>1.
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第二章 核心素养提升(二)
(a>0，b>0) (0，＋∞)
和(0，＋∞) x→0＋，y→－bx＋；
x→＋∞，y→ax＋
函数 定义域 奇偶性 单调性
渐近线
值域
y＝－ax (－∞，
x→0－，y→xb－；
＋xb
0)∪
(a>0，b>0) (0，＋∞)
奇
减：(－∞，0) x→－∞，y→－ax－；
④渐近线：当 x→0＋时，y→－bx；当 x→＋∞时，y→－ax＋. ⑤图象略． ⑥值域：当 x＝ aab时，f(x)＝－a aab－ aabb＝－2 ab，即为最 大值－2 ab，值域为－∞，－2 ab.
当 a>0，b<0 时 [特例] 当 a＝1，b＝－1 时，函数化为 f(x)＝x－1x. ①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ②奇偶性：f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，函数为奇函数． 当x>0时 ，③单调性：Δ y＝x2x－1x2x1(x1x2＋1)，得Δ y>0，f(x)为 增函数．
问题 2 的解法同问题 1，其中问题 2(1)、(2)的结论都是减函数． 问题 1、2 图象表示，如图．
两 个 问 题 渗 透 的 数 学 思 想 和 方 法 —— 在 对 称 区 间 上 奇 同 偶 反．即奇函数单调性相同，偶函数单调性相反．
已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x －1)>0，则 x 的取值范围是________． 【解析】 因为 f(x)是偶函数，所以图象关于 y 轴对称．又 f(2) ＝0，且 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的大致图象如图所 示，由 f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习高考解答题专讲1函数与导数课件
③当x1<x2,即a>1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
-∞,
a
x
1
,1
a
1
a
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
1
当a<0时,令f'(x)=0,得x1= ,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
( 1 )-( 2 )
所以 -x2+2ln x2<0,即
2
1 - 2
<a-2.
1
-
2 2
,
-17题型一
题型二
题型三
不等式问题
导数在不等式中的应用问题难度较大,属中高档题.归纳起来常
见的命题角度有:(1)证明不等式;(2)不等式恒成立问题;(3)存在型不
等式成立问题.
-18题型一
-
ln λ
0
(ln λ,+∞)
+
f(x)
↙
极小值
↗
-22题型一
题型二
题型三
①当λ≥e3时,ln λ≥3,f(x)在[-3,3]上单调递减,
∴f(x)的最大值f(-3)>f(0)=λ.
∴当λ≥e3时命题成立;
②当e-3<λ<e3时,-3<ln λ<3,
∴f(x)在(-3,ln λ)上单调递减,在(ln λ,3)上单调递增.
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用 Word版含解析
2.9函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()(3)当a>1时，不存在实数x0，使a x0<x a0<log a x0.()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)()A．2015年B．2011年C．2010年D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B. 3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案 1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. (2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17， ∴f (x )＝x 2－8x ＋17 故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x－400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取得最小值－20000，故国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，yx 取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ×80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略 1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． (2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172. 所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例 (2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值； (2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解 (1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(5－b )2＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(7－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5) 2＝211－x 2 ，即(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，化简得1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x(x －5)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316，即1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，即税率的最小值为19192. 方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log 1.0121.2≈15.3) 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x (x ∈N )．(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x ≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人．题型3 对数函数模型典例 某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是：①f (x )在[10,1000]上为增函数，②f (x )≤9，③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②.证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12， ∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数．∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升答案 B 解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B ．(p ＋1)(q ＋1)－12 C.pqD ．(p ＋1)(q ＋1)－1 答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1.故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，所以e 22k＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k ＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)． 4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6.(1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x答案 B 解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x ＝104·x (9－2x )≥9×104. ∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎨⎧ 2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x 5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280， 依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2. ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b ＝12a ， ∴e－8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a .e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2， ∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增． ∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x ＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8， 解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当x＝2,3,4时，有f(x)>g(x)；当x＝6,7,8,9,10时，有f(x)<g(x)．海阔天空专业文档。
(浙江专用)高考数学一轮复习 1-2-9函数模型及其应用课件 文
• 规律方法 在建立二次函数模型解决实际 问题中的最优问题时，一定要注意自变量 的取值范围，需根据函数图象的对称轴与 函数定义域在坐标系中对应区间之间的位 置关系讨论求解．
• 【训练1】 (2014·舟山高三检测)某汽车销 售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车， 在 A 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y1 ＝ 4.1x －0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为 y2 ＝ 2x ，其中 x 为销售量 ( 单位：辆 ) ，若该 公司在两地共销售 16辆该种品牌的汽车， 则能获得的最大利润是 • ( ) • A．10.5万元 B．11万元 • C．43万元 D．43.025万元
4.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律 为 y＝ekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示 病毒个数)，则 k＝________，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖 为________个． 解析 当 t＝0.5 时，y＝2，∴2＝ ∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，当 t＝5 时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 答案 2ln 2 1 024
指数函数型
对数函数型 幂函数型
• (2)指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质 在(0，＋ ∞)
y＝ax
(a＞1)
递增
y＝logax
(a＞1)
递增
y＝xn
(n＞0)
上的增减
性
单调
y轴
单调
x轴
单调递增
增长速度 越来越快 随x的增
越来越慢
相对平稳
• •
•
• •
• 诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) 函数 y ＝ 2x 的函数值比 y ＝ x2 的函数值 大． × • ( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y ＝ abx ＋ c(a≠0 ， b ＞ 0 ， b≠1) 增长速度越来越快的形 × 象比喻． • ( ×) (3)幂函数增长比直线增长更快． • ( ) (4)f(x) ＝ x2 ， g(x) ＝ 2x ， h(x) ＝ log x ，当
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。
2。
指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1）幂函数增长比一次函数增长更快。
（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。
()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。
（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。
(）2。
(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
(浙江专用)高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用教案(含解析)
（浙江专用）高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用教案（含解析）第九节函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一 二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h ≥1)． 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3,4)， 方程为y ＝a (x －3)2＋4.(*) 将点A (2,3)代入(*)式得a ＝－1. 即所求抛物线的方程为y ＝－x 2＋6x －5.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，得ah 2＝－1. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价 每年最多可生产的件数A 产品 20 m10 200 B 产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．解：(1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润． 考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元， ∵C (0)＝k250＝4，∴k ＝1 000，∴y ＝0.2x ＋ 1 00050x ＋250×4＝0.2x ＋80x ＋5(x ≥0)．(2)y ＝0.2(x ＋5)＋80x ＋5－1≥20.2×80－1＝7， 当x ＋5＝20，即x ＝15时，y min ＝7，∴当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元．考点三 指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年解析：选C 法一：设2016年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，所以n ≥4，所以从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1＞200，两边同时取常用对数，得n －1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n ＞4.8，即a 5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.2．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C 由已知得192＝e b，① 48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝e 33k ·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－12，∴y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，∴y ＝24·()2x＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a 3＋b ，2＝log a 5＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3； 当x ＝17时，y ＝log 216＝4. 故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)≥6，则x ≥65.∵年利润665＜10%，∴该企业要考虑转型．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：选B 设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)． ∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．(2018·温州十校联考)烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t 为出发后某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象能大致表示S ＝f (t )的函数关系的是( )解析：选C 因为该汽艇中途停靠岸边考察，此时间段S 不变，故排除A 、B ，因为S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，其图象能表示S ＝f (t )的函数关系，而D 图表示的不是函数关系，故排除D.故选C.4．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：45．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设这个广场的长为x 米， 则宽为40 000x米．所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x≥800， 当且仅当x ＝200时取等号． 答案：800二保高考，全练题型做到高考达标1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D ．403元解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元．选A.2．(2018·金华模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a ＜12)，4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数S ＝f (a )(单位：m 2)的图象大致是( )解析：选C 设AD 长为x ，则CD 长为16－x ， 又因为要将P 点围在矩形ABCD 内， 所以a ≤x ≤12，则矩形ABCD 的面积为x (16－x )，当0＜a ≤8时，当且仅当x ＝8时，S ＝64， 当8＜a ＜12时，S ＝a (16－a )，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ≤8，a 16－a ，8＜a ＜12，分段画出函数图象可得其形状与C 接近，故选C.3．(2018·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析：选C 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.6．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.∴当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.∴y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 0249．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值． 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ， 所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数) .记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C (0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)．(2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x＝55时取等号，所以当x 为55时，y 取得最小值，最小值为57.5万元． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m 60－m ，1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p xx ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m 60－m ，1≤m ≤30，480， m ＞30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.∵a ＋b ab ＝1a＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0， ∴0＜a ＋bab＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z解析：选D 设2x＝3y＝5z＝k ＞1， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3＞0， ∴2x ＞3y ；∵3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5＜0， ∴3y ＜5z ；∵2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5＜0， ∴5z ＞2x .∴5z ＞2x ＞3y .3．(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：选D 因为c ＝log 1213＝log 23＞log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b .4．(2016·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x，x ∈R.( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b解析：选 B ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.5．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}6．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，127．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2.由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤ b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－4 5 ]．8．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围． (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )． 解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0；当x ＞1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2， 则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )， 此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }， 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a ＜4时，34－8a ＞2，故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.命题点二 函数与方程1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．2．(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图①所示．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)3．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三 函数模型及其应用1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173， 所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093. 2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．。
浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时112.9函数模型及其应用课件
§ 2.9函数模型及其应用教材研读 3.解函数应用题的步骤(四步八字)1.几种常见的函数模型2.三种增长型函数模型的图象与性质考点突破考点一函数模型的选择考点二函数模型应用考点三构建数模型解决实际问题1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )=ax +b (a 、b 为常数,且a ≠0)反比例函数模型f (x )=(k 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)指数函数模型f (x )=ba x+c (a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1)对数函数模型f (x )=b log a x +c (a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )=ax n +b (a ,b 为常数,且a ≠0)k x 教材研读2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行取决于α值值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<xα<a x3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:4.解函数应用题的关键是建立数学模型,要顺利地建立数学模型,重点要过好三关:(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数量关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,用已有数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.1.有一组实验数据,如下表:t 1.993.04.05.16.12v 1.5 4.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( C )A.v =log 2t B.v =2t -2 C.v = D.v =2t -2212t解析采用排除法.当t=4时,v=log2t=log24=2,但题表中的v值是7.5,相差很大,排除A;当t=4时,v=2t-2=24-2=14,与7.5相差太大,排除B;当t=4时,v =2t-2=2×4-2=6,与7.5相差也太大,排除D.故选C.2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,又经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a ×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a元<a元,故该股民这只股票略有亏损.3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( C )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析矩形的一边长为x m,则由相似三角形的性质可得其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,解得10≤x≤30.4.某出租车公司规定乘车收费标准如下:3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元);若超过3千米,则除起步价外,超过的部分再按1.5元/千米计价.司机与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱.已知该乘客下车时乘车里程数为7.4千米,则该乘客应付的车费为15元.解析依题意得实际乘车费用为8+1.5×(7.4-3)=14.6(元),应付车费15元.5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为8万元时,奖励1万元.销售额为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=a log4x+b(其中y为奖金,x为销售额).某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 1 024 万元.解析依题意得即解得a =2,b =-2.∴y =2log 4x -2,当y =8,即2log 4x -2=8时,x =1 024.则所求销售额为1 024万元.44log 81,log 644,a b a b +=⎧⎨+=⎩31,234,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩考点突破函数模型的选择典例1(1)下表是在某个投资方案中,整理到的投入资金x(万元)与收益y(万元)的统计表.投入资金x(万元)123456收益y(万元)0.40.8 1.6 3.1 6.212.3你认为体现投入资金x与收益y之间关系的最佳函数模型是( B ) A.y=ax+b B.y=a·b xC.y=ax2+bx+cD.y=b log a x+c(2)某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图,则该关系较适宜的函数模型为( B )A.y=ax+bB.y=a+log b xC.y=a·b xD.y=ax2+b解析(1)画出大致散点图如图所示,根据散点图可知选B.(2)根据散点图可知,较适宜的函数模型为y=a+log b x,故选B.规律方法选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图;(2)将散点根据趋势“连接”起来,得到大致走势图象;(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比,选择最佳函数模型.但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合.1-1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费x i和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据得到下面的散点图,则作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合的是( B )A.y=ax+bB.y=a+bxC.y=a·b xD.y=ax2+bx+cx解析根据散点图知,选择y=a+b最适合,故选B.1-2某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·b t,Q=a·log b t.利用你选取的函数,求:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120;(2)最低种植成本是80元/100 kg.解析因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t =60和t =180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q =at 2+bt +c ,即Q =a (t -120)2+m 描述,将表中数据代入可得解得所以Q =0.01(t -120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100 kg.22(60120)116,(100120)84,a m a m ⎧-+=⎨-+=⎩0.01,80,a m =⎧⎨=⎩函数模型应用典例2已知炮弹发射后的轨迹在方程y =kx -(1+k 2)x 2(k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,问:120它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中飞行物?请说明理由.解析(1)在y =kx -(1+k 2)x 2(k >0)中,令y =0,得kx -(1+k 2)x 2=0.由实际意义和题设条件知x >0,k >0,解以上关于x 的方程得x ==≤=10,当且仅当k =1时取等号.所以炮的最大射程是10千米.1201202201k k +201kk+202(2)因为a >0,所以炮弹可以击中目标⇔存在k >0,得ka -(1+k 2)a 2=3.2成立⇔关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64=0有正根,得解得0<a ≤6.所以当a 不超过6千米时,炮弹可以击中飞行物.1202221222122(20)4(64)0,200,640,Δa a a a k k a a k k a ⎧⎪=--+≥⎪⎪+=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩规律方法已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型,分清自变量与函数表达式的实际意义,注意单位名称,并注意相关量之间的关系.(2)根据实际问题的需求,研究函数的单调性、最值等,从而得出实际问题的变化趋势和最优问题.(3)最后回归问题的结论.2-1某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为19kg.解析由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19.2-2(2018金华模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t =8时,y =a e -8b =a ,∴e -8b =,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,a e -bt =a ,则e -bt ==(e -8b )3=e -24b ,则t =24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.12121818典例3(2017江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心,其中AE =30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD ,上半部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=.34构建函数模型解决实际问题命题方向一一次函数与二次函数模型(1)若设计AB=18米,AD=6米,问:能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9.设太阳光线所在直线方程为y =-x +b ,即3x +4y -4b =0,解得b =24或b =(舍).故太阳光线所在直线方程为y =-x +24,令x =30,得y =,即EG =1.5米<2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD =h 米,AB =2r 米,则半圆的圆心为H (r ,h ),半径为r .解法一:设太阳光线所在直线方程为y =-x +b ,342234+32343234即3x +4y -4b =0,=r ,解得b =h +2r 或b =h -r (舍),故太阳光线所在直线方程为y =-x +h +2r ,2234+234令x =30,得y =2r +h -,由y ≤,得h ≤25-2r ,45252所以S =2rh +πr 2=2rh +r 2≤2r (25-2r )+r 2=-r 2+50r =-(r -10)2+250≤250,当且仅当r =10时取等号.所以当AB =20米且AD =5米时,可使得活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG 恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G 的坐标为(30,2.5),设过点G 的太阳光线所在直线为l 1,则l 1的方程为y -=-(x -30),即3x +4y -11232325252523400=0.由直线l 1与半圆H 相切,得r =.而点H (r ,h )在直线l 1的下方,则3r +4h -100<0,|34100|5r h +-即r =-,从而h =25-2r .341005r h +-S =2rh +πr 2=2r (25-2r )+r 2=-r 2+50r =-(r -10)2+250≤250,当且仅当r =10时取等号,所以当AB =20米且AD =5米时,可使得活动中心的截面面积最大.12325252方法指导一次函数与二次函数模型问题的解决方法(1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升或直线下降,构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解.(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对二次函数模型,一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决.注意:在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.3-1如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB =15 m,AC =25 m,∠BCM =30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)539解析过点P 作PN ⊥BC 于N ,连接AN ,则∠PAN =θ,如图.设PN =x m,由∠BCM =30°,得CN =x m.在直角△ABC 中,AB =15 m,AC =25 m,则BC =20m,故BN x )m.从而AN 2=152x )2=3x 2-40x +625,故tan 2θ=333322PN AN 23403625x x -+6254033-+214327625⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时,tan 2θ取最大值,即当x 时,tan θ1x 432527125353命题方向二分段函数模型典例4国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为(C)A.2 800元B.3 000元C.3 800元D.3 818元解析由题意知,纳税额y (元)与稿费x (元)之间的函数关系式为y =令0.14(x -800)=420,解得x =3 800,令0.112x =420,得x =3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.0,800,0.14(800),800 4 000,0.112, 4 000.x x x x x ≤⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩方法指导分段函数模型问题的两点注意(1)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得出最大值、最小值.3-2经市场调查,某旅游城市在过去的一个月(30天)内,日旅游人数f (t )(单位:万人)与时间t (单位:天)近似满足函数关系f (t )=4+,人均消费g (t )(单位:元)与时间t 近似满足函数关系g (t )=115-|t -15|,则该城市在过去一个月内旅游日收益的最小值为万元.1t1 2103。
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：2.8 函数模型及其综合应用Word版含解析
2.8 函数模型及其综合应用挖命题【考情探究】分析解读 1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题(例:2017浙江17题).3.预计函数模型及其综合应用在2020年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点【考点集训】考点函数模型及其综合应用1.(2018河南商丘模拟,12)已知函数f(x)=-x3+1+a与g(x)=3ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( )A.[0,e3-4]B.C. D.[e3-4,+∞)答案A2.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;(2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数)解析(1)当x=4时,y=+4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得的利润为(4-2)×21=42(千元). (2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),从而f '(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f '(x)=0,得x=,易知在上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在上, f '(x)<0,函数f(x)单调递减.所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/件时,获得的利润最大.解题关键解第(2)问的关键是建立利润关于销售价格的函数,进而利用导数法确定最大值点.炼技法【方法集训】方法函数应用题的解法1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a= (T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要分钟.答案102.(2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9米.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b, 即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b= (舍).故太阳光线所在直线方程为y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米<2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y≤,得h≤25-2r,所以S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r(25-2r)+ r2=-r2+50r=- (r-10)2+250≤250,当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐标为(30,2.5), 设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y-=- (x-30),即3x+4y-100=0.由直线l1与半圆H相切,得r=.而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-100<0,即r=-,从而h=25-2r.S=2rh+πr2=2r(25-2r)+ r2=-r2+50r=- (r-10)2+250≤250,当且仅当r=10时取等号,所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点函数模型及其综合应用1.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= .答案8;112.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.答案3.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点函数模型及其综合应用1.(2017课标全国Ⅰ文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)上单调递增B. f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C2.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-1答案D3.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.答案。
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：2.8 函数模型及其综合应用 Word版含解析
2.8 函数模型及其综合应用挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度2018浙江,11函数模型及其综合应用解二元一次方程组函数模型及其综合应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2014浙江,17函数模型及其综合应用三角函数模型★★★分析解读 1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题(例:2017浙江17题).3.预计函数模型及其综合应用在2020年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点【考点集训】考点 函数模型及其综合应用1.(2018河南商丘模拟,12)已知函数f(x)=-x3+1+a与g(x)=3ln x的图象(1e≤x≤e,e是自然对数的底数)上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( ) A.[0,e3-4]B.[0,1e3+2]C. D.[e3-4,+∞)[1e3+2,e3-4]答案 A 2.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A 每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6.10x -2(1)若产品A 的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A 所获得的利润;(2)试确定产品A 的销售价格,使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.(保留1位小数)解析 (1)当x=4时,y=+4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4-2)×21=42(千元).102(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),[10x -2+4(x -6)2]从而f '(x)=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f '(x)=0,得x=,易知在上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在上, f '(x)<0,函数f(x)单调103(2,103)(103,6)递减.所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,103所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.103故当销售价格约为3.3元/件时,获得的利润最大.解题关键 解第(2)问的关键是建立利润关于销售价格的函数,进而利用导数法确定最大值点.炼技法【方法集训】方法 函数应用题的解法1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T,则T-T a = (T 0-T a )·,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88 (12)t ℎ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要 分钟. 答案 102.(2017江苏南京、盐城一模,18)如图所示,某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB 与AD 的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)解析 如图所示,以点A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9米.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b= (舍).|27+24-4b |32+42故太阳光线所在直线方程为y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米<2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h 米,AB=2r 米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,|3r +4ℎ-4b |32+42解得b=h+2r 或b=h-r(舍),故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y ≤,得h ≤25-2r,452所以S=2rh+πr 2=2rh+r 2≤2r(25-2r)+ r 2=-r 2+50r=- (r-10)2+250≤250,当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG 恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G 的坐标为(30,2.5),设过点G 的太阳光线所在直线为l 1,则l 1的方程为y-=- (x-30),即3x+4y-100=0.由直线l 1与半圆H 相切,得r=.|3r +4ℎ-100|5而点H(r,h)在直线l 1的下方,则3r+4h-100<0,即r=-,从而h=25-2r.3r +4ℎ-1005S=2rh+πr 2=2r(25-2r)+ r 2=-r 2+50r=- (r-10)2+250≤250,当且仅当r=10时取等号,所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.过专题【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组 考点 函数模型及其综合应用1.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= .{x +y +z =100,5x +3y +13z =100,答案 8;112.(2017浙江,17,4分)已知a ∈R ,函数f(x)=+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围|x +4x-a |是 . 答案 (-∞,92]3.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)答案 539B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 函数模型及其综合应用1.(2017课标全国Ⅰ文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)上单调递增B. f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C 2.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B.p +q 2(p +1)(q +1)-12C.D.-1pq(p +1)(q +1)答案 D 3.(2018天津文,14,5分)已知a ∈R ,函数f(x)=若对任意x ∈[-3,+∞),{x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [18,2]4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 245.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a,b 关于函数f(x)的平均数,记为M f (a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f (a,b)=c=,即M f (a,b)为a,b 的算术平均数.a +b 2(1)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的调和平均数.2aba +b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1) (2)xx 6.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN(P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B 均在线段MN 上,C,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)设PO 的延长线交MN 于H,则PH ⊥MN,所以OH=10米.过O 作OE ⊥BC 于E,则OE ∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cos θ米,EC=40sin θ米,则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为×2×40cos θ(40-40sin θ)=1 600(cos θ-sin θcos θ)平方米.过N 作GN ⊥MN,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K,则GK=KN=10米.令∠GOK=θ0,则sin θ0=,θ0∈.(0,π6)当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,[θ0,π2)所以sin θ的取值范围是.[14,1)答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为1 600(cos θ-sin θcos θ)平方米,sin θ的取值范围是.[14,1)(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0).则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin θcos θ+cos θ),θ∈.[θ0,π2)设f(θ)=sin θcos θ+cos θ,θ∈.[θ0,π2)则f '(θ)=cos 2θ-sin 2θ-sin θ=-(2sin 2θ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1),令f '(θ)=0,得θ=,当θ∈时, f '(θ)>0,所以f(θ)为增函数;(θ0,π6)当θ∈时, f '(θ)<0,所以f(θ)为减函数,(π6,π2)因此,当θ=时, f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.名师点睛 (1)用θ表示OE 和EC,就能求出矩形ABCD 及△CDP 的面积,求定义域时抓住N 、G 关于OK 对称得到∠GOK 的正弦值,从而求得sin θ的取值范围.(2)先构造函数,再用导数求最值,求导时,交代θ的取值范围,判断f '(θ)的符号,再确定f(θ)的单调性,就能得到最大值,从而解决问题.C 组 教师专用题组考点 函数模型及其综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 2.(2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y ∈[0,1],且x ≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|.若对所有x,y ∈[0,1],| f(x)-f(y)|<k 恒成立,则k 的最小值为( )A. B.C.D.12π答案 B 3.(2017山东理,15,5分)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x 3 ④f(x)=x 2+2答案 ①④4.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=(其中a,b 为常数)模型.ax 2+b (1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得ax 2+b {a25+b=40,a 400+b = 2.5,{a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=(5≤x ≤20),则点P 的坐标为,1 000x 2(t ,1 000t 2)设在点P 处的切线l 交x,y 轴分别于A,B 点,y'=-,2 000x3则l 的方程为y-=-(x-t),由此得A ,B .1 000t2 2 000t 3(3t2,0)(0,3 000t2)故f(t)==,t ∈[5,20].(3t 2)2+(3 000t 2)232t 2+4×106t 4②设g(t)=t 2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,4×106t 416×106t 5解得t=10.2当t ∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;2当t ∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.2从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min =300,此时f(t)min =15.23答:当t=10时,公路l 的长度最短,最短长度为15千米.23评析 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【三年模拟】一、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)1.(2019届镇海中学期中考试,17)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数{|12x -4|+1,x ≤1,x (x -2)2+a ,x >1,x 1,x 2,x 3,x 4,使得====7,则a 的取值范围为 . f (x 1)x 1f (x 2)x 2f (x 3)x 3f (x 4)x 4答案 (6,18)2.(2018浙江重点中学12月联考,11)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.答案 1923.(2018浙江宁波高三上学期期末,17)如图,在平面四边形ABCD 中,AB=BC=1,AD=CD=,∠DAB=∠DCB=90°,2点P 为AD 的中点,M,N 分别在线段BD,BC 上,则PM+MN 的最小值为 .22答案 14.(2018浙江嵊州高三质检,17)已知函数f(x)=x 2+(a-4)x+1+|x 2-ax+1|的最小值为,则实数a 的值为 .答案 二、解答题(共20分)5.(2018浙江杭州高三5月模拟考试,18)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美的享受.如图为一花窗中的一部分,呈长方形,长30 cm,宽26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L cm.(1)试用x,y 表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为130 cm 2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计卯榫及其他损耗)?解析 (1)水平方向每根支条长为m==(15-x)cm,竖直方向每根支条长为n==cm,菱30-2x 226-y 2(13-y 2)形的一条边长为= cm.(x 2)2+(y 2)2x 2+y 22所以L=2(15-x)+4+8×(13-y 2)x 2+y 22=82+4-2(x+y).x 2+y 2(2)由题意得xy=130,即y=,260x由得≤x ≤13.{15-x ≥2,13-y 2≥2,13011所以L=82+4-2.x 2+(260x )2(x +260x )令t=x+,求导得t'(x)=1-.260x 260x 2当≤x ≤13时,t'(x)<0.13011故t=x+在上单调递减,故t ∈.260x [13011,13][33,37211]所以L=82+4-2t,其中定义域t ∈.t 2-520[33,37211]求导得L'(t)=2,当t ∈时,L'(t)>0,所以L=82+4-2t 在t ∈(2tt 2-520-1)[33,37211]t 2-520[33,37211]上为增函数,故当t=33,即x=13,y=20时,L 有最小值16+4.569所以做这样一个窗芯至少需要(16+4)cm 长的条形木料.5696.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=|x 2-2mx-n|(m,n ∈R ).(1)当n=3m 2时,讨论函数f(x)的单调性;(2)记函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,若M ≥k 对任意的m,n 恒成立,试求k 的最大值.解析 (1)当n=3m 2时, f(x)=|x 2-2mx-3m 2|=|(x+m)·(x-3m)|,函数y=x 2-2mx-3m 2的对称轴为直线x=m.故当m>0时,函数f(x)在区间(-∞,-m]上为减函数,在区间[-m,m]上为增函数,在区间[m,3m]上为减函数,在区间[3m,+∞)上为增函数.当m=0时,函数f(x)=x 2在区间(-∞,0]上为减函数,在区间[0,+∞)上为增函数.当m<0时,函数f(x)在区间(-∞,3m]上为减函数,在区间[3m,m]上为增函数,在区间[m,-m]上为减函数,在区间[-m,+∞)上为增函数.(2)设g(x)=x 2-2mx-n,其对称轴为直线x=m.①当|m|>1时,g(x)在区间[-1,1]上是单调函数,则f(x)在区间[-1,1]上的最大值在两端点处取得,故M 应是f(-1)和f(1)中较大的一个.∴2M≥f(1)+f(-1)=|1-2m-n|+|1+2m-n|≥|(1-2m-n)-(1+2m-n)|=4|m|>4,∴M>2.②当|m|≤1时,g(x)在区间[-1,m]上是减函数,在区间[m,1]上是增函数,此时,M=max{f(-1), f(m), f(1)}.由g(-1)-g(1)=(1+2m-n)-(1-2m-n)=4m,g(±1)-g(m)=(m∓1)2≥0.(i)若-1≤m≤0,∵g(m)≤g(-1)≤g(1),∴|g(-1)|≤max{|g(m)|,|g(1)|}.则M=max{|g(1)|,|g(m)|}≥ (|g(1)|+|g(m)|)≥|g(1)-g(m)|= (m-1)2≥. (ii)若0<m≤1,∵g(m)≤g(1)≤g(-1),∴|g(1)|≤max{|g(m)|,|g(-1)|}.则M=max{|g(-1)|,|g(m)|}≥ (|g(-1)|+|g(m)|)≥|g(-1)-g(m)|= (m+1)2>.故当|m|≤1时,M≥.综合(i)(ii)知,对于任意的m,n,都有M≥.|x2-12|而当m=0,n=时, f(x)=在区间[-1,1]上的最大值为M=,故M≥k对任意的m,n恒成立的k的最大值为.。
数学人教版新优化浙江大一轮复习课件：2.9函数模型及其应用3
性解决.
注意 在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.
-15考点一
考点二
考点三
对点训练某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品
的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平
方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).
万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,根据图象可解得
f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2 (x≥0).
-17考点一
考点二
考点三
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6,
故总利润y=8.25(万元).
②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润
代入数据,得 10 000 + 100 + = 84, 得 = -2.4,
32 400 + 180 + = 116,
= 224.
所以函数的解析式是Q=0.01t2-2.4t+224.
(2)由(1),知Q=0.01(t-120)2+80,所以西红柿种植成本最低时上市
是第120天.
= -1 000,
0, = 1,
所以 f(n)=
1 400-1 000, ≥ 2 且∈N*.
(2)记使用 n 年,年均收益为 W(元),则依题意,n≥2,
1
W=60 000- [137 600+1 400(2+3+…+n)-1 000(n-1)]
=60 000-
1
1
137 600+1 400× (
2020_2021学年高考数学一轮复习专题2.9函数模型及其应用知识点讲解理科版含解析
函数模型及其应用【核心素养分析】1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二种常见的函数模型【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【典型题分析】高频考点一 利用函数模型解决实际问题例1.【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求； 当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8yy x y x -≥≤， 因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15. 【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】（2020·河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 高频考点二 构建二次函数模型解决实际问题例2.（2020·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【解析】(1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元．(y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润． 【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【变式探究】（2020·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b (a ≠0)， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52， 所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 高频考点三 构建指数函数、对数函数模型解决实际问题例3．【2020·全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式探究】（2020·江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.高频考点四 构建分段函数模型解决实际问题例4.（2020·陕西西安中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156＜x ≤20，x ∈Z.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)，显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式探究】（2020·云南昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.。
2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：专项强化练二 函数图象及其应用 Word版含解析
专项强化练二 函数图象及其应用1.设函数f(x)=|x+1|+|x+a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )A.1B.-1C.-3D.-5答案 C 因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(1+x)=f(1-x)对于任意实数x 恒成立,即|x+2|+|x+1+a|=|x-2|+|x-1-a|对于任意实数x 恒成立,从而有{-2=1+a ,-1-a =2,解得a=-3,故选C. 2.函数f(x)=tan x ·ln x (0<x <π2)的图象大致是 ( )答案 A 当0<x<1时, f(x)<0,故排除B,D.现在仅需考虑函数f(x)在(0,1)上是否存在极值点即可.易得f '(x)=1cos 2x·ln x+sinxcosx·1x ,所以f '(x)=0等价于ln x+sinxcosxx =0,即ln x+sin2x 2x=0.设g(x)=ln x+sin2x 2x.因为g(1)=sin22>0,g(e -1)=e 2·sin 2e-1<0,所以函数g(x)在区间(e -1,1)上存在零点,所以函数f(x)在区间(0,1)上存在极值点,故选A. 3.函数f(x)=x 2-ln|x|的大致图象为( )答案 D ∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴排除C.∵f(-x)=(-x)2-ln|-x|=x2-ln|x|=f(x),∴函数f(x)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除A.当x→+∞时, f(x)→+∞,故排除B.故选D.4.函数f(x)的定义域为R,若F(x)=f(x)+f(2-x),G(x)=f(x)-f(2-x),则( )A.函数F(x)图象是中心对称图形,G(x)图象是轴对称图形B.函数F(x)图象是轴对称图形,G(x)图象是中心对称图形C.函数F(x)图象是轴对称图形,G(x)图象不一定是中心对称图形D.函数F(x)图象不一定是轴对称图形,G(x)图象也不一定是中心对称图形答案 B 由题意知, f(2-x)=f(2-x)+f(x)=F(x),所以函数F(x)图象关于直线x=1对称;G(2-x)=f(2-x)-f(x)=-G(x),所以函数G(x)图象关于点(1,0)对称,所以函数F(x)图象是轴对称图形,G(x)图象是中心对称图形,故选B.的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) 5.函数f(x)=ax+b(x+c)2A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0答案 C 函数f(x)的定义域为{x|x≠-c},由题中图象可知-c=x P>0,即c<0,排除B.令f(x)=0,可得x=-ba ,则x N=-ba,又x N>0,则ba<0,所以a,b异号,排除A,D.故选C.6.(2017台州中学月考)曲线y=1+2(|x|≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是( )A.(512,34] B.(512,34)C.(13,34) D.(0,512)答案 A y=1+√4-x2⇒x2+(y-1)2=4(y≥1),其表示以点(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分,而y=k(x-2)+4表示经过点(2,4)的一条直线,如图所示,当直线与圆相切时,|3-2k|√k2+1=2⇒k=512,∴512<k≤4-12-(-2)=34,故选A.7.(2016课标全国Ⅱ理,12,5分)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1m(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m答案 B 由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y=x+1x=1+1x的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x 1+x m =x 2+x m-1=…=0,y 1+y m =y 2+y m-1=…=2,∴∑i=1m (x i +y i )=0×m 2+2×m2=m.故选B.8.已知函数f(x)=x 2-x-4xx -1(x<0),g(x)=x 2+bx-2(x>0),b ∈R,若f(x)图象上存在两个不同的点A,B 分别与g(x)图象上A',B'两点关于y 轴对称,则b 的取值范围是( ) A.(-4√2-5,+∞) B.(4√2-5,+∞) C.(-4√ D.(4√答案 D 设函数g(x)图象上任一点的坐标为(x,x 2+bx-2),其关于y 轴的对称点的坐标为(-x,x 2+bx-2),所以方程x 2+bx-2=x 2+x--4x -x -1,即(b-1)x 2+(b+1)x-2=0在(0,+∞)上有两个不等实根,所以{ Δ=(b +1)2+8(b -1)>0,-2b -1>0,-b+12(b -1)>0,解得4√2-5<b<1,即实数b 的取值范围是(4√2-5,1),故选D.9.函数f(x)={(x-1)2,x≥0,|e x-2|,x<0,则f(-1)= ,若方程f(x)=m有两个不同的实数根,则m的取值范围为.答案2-1e;(0,2)解析f(-1)=|1e -2|=2-1e.作出函数f(x)的图象,如图,当x<0时,f(x)=2-e x∈(1,2),∴当x≤1时, f(x)∈[0,2),当x>1时, f(x)>0,若方程f(x)=m有两个不同的实数根,则0<m<2,即实数m的取值范围是(0,2).。
2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第九节函数模型及其应用含答案
第九节函数模型及其应用1．几类函数模型2.(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h ≥1)． 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3,4)， 方程为y ＝a (x －3)2＋4.(*) 将点A (2,3)代入(*)式得a ＝－1. 即所求抛物线的方程为y ＝－x 2＋6x －5.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，得ah 2＝－1. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，f (6)＝－1h2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．解：(1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N )，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N )． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N )， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润． 考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋ax 模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝bx 叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x 的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋bx 的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？ 解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元， ∵C (0)＝k250＝4， ∴k ＝1 000，∴y ＝0.2x ＋ 1 00050x ＋250×4＝0.2x ＋80x ＋5(x ≥0)．(2)y ＝0.2(x ＋5)＋80x ＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x ＋5＝20，即x ＝15时，y min ＝7， ∴当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元．考点三 指数函数与对数函数模型(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年解析：选C 法一：设2016年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，所以n ≥4，所以从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1＞200，两边同时取常用对数，得n －1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n ＞4.8，即a 5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.2．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C 由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12，∴y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，∴y ＝24·()2x＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝log a (3＋b )，2＝log a(5＋b )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3； 当x ＝17时，y ＝log 216＝4. 故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)≥6，则x ≥65.∵年利润665＜10%，∴该企业要考虑转型．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：选B 设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20 ＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)． ∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．(2018·温州十校联考)烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t 为出发后某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象能大致表示S ＝f (t )的函数关系的是( )解析：选C 因为该汽艇中途停靠岸边考察，此时间段S 不变，故排除A 、B ，因为S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，其图象能表示S ＝f (t )的函数关系，而D 图表示的不是函数关系，故排除D.故选C.4．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：45．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设这个广场的长为x 米， 则宽为40 000x米． 所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x ≥800， 当且仅当x ＝200时取等号． 答案：800二保高考，全练题型做到高考达标1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D ．403元解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元．选A.2．(2018·金华模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a ＜12)，4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数S ＝f (a )(单位：m 2)的图象大致是( )解析：选C 设AD 长为x ，则CD 长为16－x ， 又因为要将P 点围在矩形ABCD 内， 所以a ≤x ≤12，则矩形ABCD 的面积为x (16－x )， 当0＜a ≤8时，当且仅当x ＝8时，S ＝64， 当8＜a ＜12时，S ＝a (16－a )，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ≤8，a (16－a )，8＜a ＜12，分段画出函数图象可得其形状与C 接近，故选C.3．(2018·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( ) A ．1.5% B ．1.6% C ．1.7%D ．1.8%解析：选C 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.6．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.∴当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. ∴y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元)． 答案：1 0249．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上． (1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值． 解：(1)作P Q ⊥AF 于Q ，所以P Q ＝(8－y )米， E Q ＝(x －4)米． 又△EP Q ∽△EDF ， 所以E Q P Q ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数) .记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C (0)＝k100＝24，得k ＝2 400，所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)．(2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号，所以当x 为55时，y 取得最小值，最小值为57.5万元． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p (x )x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480， m ＞30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0，∴0＜a ＋b ab＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z解析：选D 设2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3＞0，∴2x ＞3y ；∵3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5＜0，∴3y ＜5z ；∵2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5＜0，∴5z ＞2x .∴5z ＞2x ＞3y .3．(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：选D 因为c ＝log 1213＝log 23＞log 2e ＝a ，所以c ＞a . 因为b ＝ln 2＝1log 2e＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b .4．(2016·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b解析：选B ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.5．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}． 答案：{x |x ≥2}6．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 7．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ， 由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2.由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤ b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－4 5 ]．8．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围． (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )． 解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0； 当x ＞1时，x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2， 则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )， 此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }， 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a ＜4时，34－8a ＞2，故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.命题点二 函数与方程1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．2．(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图①所示．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)3．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax－2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ， 整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)． 综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x＞0时，由－x 2＋2ax －2a＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三 函数模型及其应用1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173， 所以M ≈10173， 则M N ≈101731080＝1093.2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．。
浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时112.9函数模型及其应用
2.9 函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案 B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)答案4解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B 船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.答案解析设经过xh,A、B两艘船之间的距离为ykm,由题意可得y==,易知当x=-=时,y取得最小值,即A、B两艘船之间的距离最短.8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为海里/时时,总费用最小. 答案40解析设每小时的总费用为y元,行驶10海里的总费用为W元,则y=kv2+96,又当v=10时,k×102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为小时,故W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2=48,当且仅当0.6v=,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.答案24解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24(小时).10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]解析(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=,解得k=0.2,所以y==,则y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,因为x的取值范围是[0.55,0.75],所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.B组提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x=-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为( ) A.y=360 B.y=360×1.04xC.y=D.y=360答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食千克,2年后,人均占有粮食千克,……,x年后,人均占有粮食千克,即所求解析式为y=360.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80km/h的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(L),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y=xB.y=lgx+1C.y=D.y=答案 B 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足①,但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足①,因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足①,但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lgx+1,易知满足①,当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②,再证明lgx+1≤x·25%,即4lgx+4-x≤0,设F(x)=4lgx+4-x,则F'(x)=-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,满足③,故选B.5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.答案10解析设A方案对应的函数解析式为s1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=,当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)∵甲大棚投入了50万元,∴乙大棚投入了150万元,∴f(50)=80+4+×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。
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§2.9函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由得2≤x<6,所以-y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟-答案 B 由已知得解得-∴p=-0.2t2+1.5t-2=--+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得 m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=(),因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)答案4解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145 km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40 km/h,B船的速度是16 km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.答案解析设经过x h,A、B两艘船之间的距离为y km,由题意可得y=(-)()=(-),易知当x=--=时,y取得最小值,即A、B两艘船之间的距离最短.8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为海里/时时,总费用最小.答案40解析设每小时的总费用为y元,行驶10海里的总费用为W元,则y=kv2+96,又当v=10时 k×102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为小时,故W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2·=48,当且仅当0.6v=,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案24解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24(小时).10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]解析(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=-(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=-,解得k=0.2,所以y=-=-,则y与x之间的函数关系式为y=-(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得-(x-0 3)=1×(0 8-0 3)×(1+20%) 整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,因为x的取值范围是[0.55,0.75],所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%. 11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.B组提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.()()-C. D.()()-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x=()()-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为( )A.y=360-B y=360×1 04xC.y=D.y=360答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为M(1+1.2%),则人均占有粮食(%)(%)千克,2年后,人均占有粮食(%) (%)千克,……,x年后,人均占有粮食(%)(%)千克,即所求解析式为y=360.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(L) 则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1 000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y=xB.y=lg x+1C.y=D.y=答案 B 由题意知,x∈[10,1 000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足① 但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足① 因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足① 但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lg x+1,易知满足① 当x∈[10,1 000]时,2≤y≤4,满足② 再证明lg x+1≤x·25%,即4lg x+4-x≤0,设F(x)=4lg x+4-x,则F'(x)=-1<0,x∈[10,1 000],所以F(x)为减函数, f(x)max=F(10)=4lg 10+4-10=-2<0,满足③ 故选B.5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.答案10解析设A方案对应的函数解析式为s 1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2 ∴k2-k1=,当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)∵甲大棚投入了50万元,∴乙大棚投入了150万元,∴f(50)=80+4+×150+120=277 5(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,⇒20≤x≤180,依题意得-故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时, f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。