平面向量有详解答案2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2-2-2 向量减法运算及其几何意义
2.2 2.2.2
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足劲，身上青筋根根暴露；无论他们怎样的拖呀，拉呀，推 呀，小车还是在老地方，一点也没有移动．倒不是小车重得 动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步 一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去．对于这个结果我们可 以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富 的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识．本节课 我们就来研究向量的减法． 自主预习 阅读教材P85－86回答下列问题．
第二章
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.2.2
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课前自主预习
第二章
2.2 2.2.2
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第二章
2.2 2.2.2
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非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( A．m＝n C．|m|＝|n| B．m＝－n D．方向相反
)
[答案]
A
第二章
2.2 2.2.2
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2．向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这
温故知新 → → 1．在四边形ABCD中，AB＝DC，则( A．ABCD一定是矩形 C．ABCD一定是正方形
[答案] D
)
B．ABCD一定是菱形 D．ABCD一定是平行四边形
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量的减法及其几何意义
80%
零向量性质
对于任意向量$vec{a}$，有$vec{a} + (-vec{a}) = vec{0}$，其中 $vec{0}$表示零向量。
向量数乘的性质
标量与向量的数乘
对于任意标量$k$和向量 $vec{a}$，有$kvec{a}$是一个 向量，其模为$|kvec{a}| = |k||vec{a}|$，方向与$vec{a}$ 相同（当$k > 0$）或相反（当 $k < 0$）。
结合律
a - b - c = a - (b + c)。
零向量性质
任何向量与零向量的差仍然是该向量本身，即a - 0 = a。
向量减法的几何意义
向量减法的几何意义可以理解为在向量平面上，从 一个终点向相反方向延伸到另一个终点的有向线段 。
向量减法对应着向量的合成，即两个向量的和等于 它们同向连接的结果。
04
向量减法的扩展概念
向量加法的性质
80%
交换律
向量加法满足交换律，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{量加法满足结合律，即 $(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
向量的减法及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量的基本概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展概念
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示为线段的长度 ，而方向则由起点指向终点。
2.2 平面向量的减法
B C
A
C
B
A
习题 2.2 A组
第 4、6、7、8、11 题. B组
第 5 题.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
① a 与-a互为相反向量.
② 零向量的相反向量仍是零向量.
③ 任上一a图向(中量-a的与)=它a0.相b反=0向. 量的和是零向量, 即:
问题1. 向量AB与向量BA有什么关系? 能化简
AB BC - DC - ED EF 吗?
答: 向量 AB 与向量 BA是互为相反向量, 即 AB = -BA.
2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
返回目录
1. 什么是相反向量? 2. 向量加法与向量减法有什么关系? 3. 怎样作向量的减法? 两个非零向量的差向 量是怎样的一个向量?
(一) 相反向量
定义: 与向量 a 长度相等, 方向相反的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 -a.
如图:
a
b
-a
b = -a, a = -b, |a| = |b|.
= CΒ BC =0.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
(6) AB- AD- DC;
(7) NQ QP MN - MP.
-
b
-a
-b-=a--ab
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
高中数学教学课例《2.2.2向量的减法运算及其几何意义》课程思政核心素养教学设计及总结反思
(4)充分挖掘和利用学习资源。因地制宜开展探究
活动
(5)采用多样化的评价方式，鼓励学生参与评价
3.重视同伴评价和自我评价
4.在活动中评价学生的探究能力、情感态度和价值
观 5.在纸笔测试中注重考核学生分析、解决问题的能
力 6.既关注对学生量的评价,又要注重对学生质的评
价
2.新知探究 提出问题：①向量是否有减法？ ②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法 教学过程 则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？ 引导学生思考,相反向量有哪些性质 a 和-a 互为相 反向量.于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0.如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则 如图 1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义, 知=a+(-b)=a-b.又 b+=a,所以=a-b.由此,我们得到 a-b 的作图方法.
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,
向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量数学方法,类
比,数形结合,几何作图,分类讨论.
七、课后作业
促进学生的全方面发展，关键是课堂的实施，那么
教学方式的转变当然要体现在教学的设计之中，因此课
堂的教学设计在遵循一定策略的基础上，一定要以学生
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向 量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算； 并利用三角形做出减向量.运用几何直观，类比等思维 教学策略选 方法，进一步提高理性思维能力.像数的代数和那样， 择与设计 把减式看成和式.类比数的减法(减去一个数等于加上 这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引 入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相 反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
2.2.2平面向量的减法及几何意义
例2：如下图,已知向量 a , b , c , d , 求作向量
a b, c d .
A
B
C
b a
c
d
O
b
D
c
a
d
则 BA OA OB a b
DC OC OD c d
例3：如下图,
ABCD中, AB a , AD b ,
a
b
O
a b
a
A
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习:课本P87页T2. 例1:
化简：（ ） AC DB 1 AB
( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
一、向量减法运算的定义
(1)相反向量.
相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 a ① a 和 a互为相反向量,于是 ( a ) a a
②规定:零向量的相反向量还是零向量,即 ③任一向量与其相反向量的和是零向量,即
规定:与向量 a 长度相等,方向
0 0
a
a (a ) (a ) a 0.
④如果 a 、b 是互为相反的向量,那么 a b, b a, a b 0. (2)向量减法的定义: a b a ( b )
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
ab
• 变式训练五
若 a b a b , 则a与a b的夹角为多少度？
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
数学必修四2.2.2平面向量减法运算
1.定义：如果两个向量长度 相等 ，而方向 相反 ，那么称这两个向量
是相反向量.
2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
(3)零向量的相反向量仍是 零向量 .
答案
知识点二 思考1 答
向量的减法
根据向量的加法，如何求作a－b?
先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b). 向量减法的三角形法则是什么？
2.在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且 |a|≥|b|时，|a|－
|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
3.在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|
－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
→ → ∴3≤|AB－AD|≤15.
→ → → → 当AD与AB同向时，|AB－AD|＝3； → → → → 当AD与AB反向时，|AB－AD|＝15.
→ → ∴|AB－AD|的取值范围为[3,15].
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
→ → → → 1.如图所示，平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB ＝a－b.
→ → → → ＝CB＋BC＝CB－CB＝0.
解析答案
→ (2)如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB → → ＝a，AC＝b，AE＝c，则用 a，b，c 表示下列向量.
→ ①CD＝____________； → ②BC＝____________； → ③BE＝____________； → ④BD＝____________.
2.2.2向量减法运算及其几何意义
rr
rr r r
若a，b不共线，则 | a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
首尾相接
2、向量加法的平行四边形法则
D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
bC
a
B
起点相同
3、向量加法的交换律：ar
+
r b
=
r b
+
ar .
4、向量加法的交换律：(ar
= = = =
_Duu_Bur___; _uCu_uA_r ___; _uAu_Cu_r ___; _uAu_Dur____;
你能将减法运 算转化为加法 运算吗？
OA OB = _B_A____ .
例2：选择题：
uuur uuur uuur
（1）AB + BC AD = D
uuur
uuur
5、0 + a = a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线
（√ ）
例3:化简uuur uuur (1) AB CB; uuur uuur uuur uuur (2) AB + BC + DA DC; uuuur uuuur uuur (3)MN MP PQ.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
uuur
uuur
uuur
3.若| AB |＝5，| AC |＝8，则| BC |的取值范围是
( C)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
4．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
ABCD
中，设
uuur AB
uuur
＝a，AD
＝b，uBuCur
＝c，则
uuur DC
等于(
A)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
2.已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA =a ， OB =b，OC =c，用 a，b，c 表示 OD .
【解析】 = - = - = - + =c-b+a.
B
ab
D
b a
d c
A
d b
cd
C a
c
O
作法：如图，在平面内任取一点O，作OuuAur
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
cr ,则OuuDur
r d,
BA a b,DC c d.
【变式练习】
如图，已知a,b, 求作 a b.
（2）
（1）a
ab
a
b
b
（3）
a
（4）
ab
a
b
r
b r ra
.
7.在平行四边形 ABCD 中，| + |=| - |，则有
()
A. =0 C.ABCD 是矩形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
高中数学必修四 2.2.2 向量减法运算及其几何意义(步步高)
反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直 接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量； 若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差 向量.
跟踪训练 1 如图所示，O 为△ABC 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. 求作：b＋c－a.
梳理 (1)定义：如果两个向量长度 相等 ，而方向 相反， 那么称这两 个向量是相反向量. (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差 向量a－b?
解答
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； 解 原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D). 解 原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D
＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
解答
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B). 解 (A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋D→B ＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→D＋D→B ＝B→C＋C→B＝0.
解答
类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|A→B|＝6，|A→D|＝9，求|A→B－A→D|的取值范围. 解 ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|，且|A→D|＝9，|A→B|＝6， ∴3≤|A→B－A→D|≤15. 当A→D与A→B同向时，|A→B－A→D|＝3； 当A→D与A→B反向时，|A→B－A→D|＝15. ∴|A→B－A→D|的取值范围为[3,15].
2.2.2向量减法运算及其几何意义
练习
（1）
如图，已知a, b, 求作a b.
（2）
a
a
b b
o a
A
o
B
b
a b
A
a b
B
BA OA OB a b
例2.已知平行四边形ABCD , AB a , AD b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解：由向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC a b;
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
课堂小结:
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则 4. 向量加法的三角形法则和减法法则在做 法上有什么区别？
（ 2）
反向
例 1.已知向量a, b, c, d , 求作向量a b, c d.
A B D
C
b a
作法 :
d
c a
b
O
d
c
1.在平面上任取点O , 作OA a , OB b, OC c , OD d . 2.作 BA, DC , 则BA a b, DC c d为所求.
2.2 平面向
探 究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法?
思 考
(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么
所得向量是什么？
a
b
？ b a
(2)如果 a // b ，怎样作出 a b 呢？
a
b
（ 1）
同向
a
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2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为
________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →
＝________.
一、选择题
1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
等于( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →
的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →
3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →
4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|，则有( )
A. AD →＝0
B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形
5．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →
|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)
6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →
|的值为( )
A ．1
B ．2 C.3
2
D. 3
题 号
1 2 3 4 5
6 答 案
二、填空题
7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →
＝________.
8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →
)的结果是________．
9. 如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →
＝____________(用a ，b ，c 表示)．
10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.
三、解答题
11. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →
＝
c ，求证：b ＋c －a ＝OA →
.
12. 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .
能力提升
13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →
，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →
.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →
就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →
＝
b －a ，DB →
＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →
作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|， ∴ABCD 是矩形．]
5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →
|且
||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.
∴3≤|AC →－AB →
|≤13.
∴3≤|BC →
|≤13.] 6．D [
如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →
＝AB →＋BD →＝AD →.
在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →
|＝ 3.] 7.CA → 8．0
解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →
) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →
＝0.
方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →
) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →
＝0. 9．a －b ＋c
解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →
＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4
解析 如图所示．
设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →
|＝|a －b |.
以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →
|2＋|O B →|2＝|B A →
|2， 所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →
|＝4， 即|a ＋b |＝4.
11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →
， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，
∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →
.
方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →
， OD →＝OA →＋AD →＝OA →
－b ，
∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →
.
12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
，
又AC →
＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.
则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →
|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2.
(2)作BF →＝AC →
，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →
＝a －b ，
∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →
|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →
＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →
＝a －b .
则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．
14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →
， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .
∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，
故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，
又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，
∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。