15-2.2.2椭圆的简单几何性质(2)

椭圆的方程为
x2 y 2 1 ． 16 8
变式训练2
A, B分别为椭圆的右顶点和上顶 已知 F 1 为椭圆的左焦点， 点， P 为椭圆上的点，当 PF1 F1 A ，PO // AB ，O 为 椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
x2 y 2 解 ：由已知可设椭圆的方程 2 2 1 (a b 0) c 2 ， a 2 b2 a b 2 2 c b 因为F1 (c,0) , PF1 F1 A所以 P(c, b 1 2 ) ,即 P(c, ) , AB // PO
2 2
2 1 2
1 2
·M
O B
x
1
2
思考2
你还有其他的解法吗？
六、运用新知 过椭圆 内一点 M (2,1) 作椭圆的弦，点 M 恰为该弦的中点，求该弦所在直线的方程(如图)．
B 点差法：同上所设，因为点 A 、都在椭圆上，则得 x12 4 y12 16 ① · 2 2 x2 4 y2 16 ② 将两式相减： ( x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ． 又知 x x 2 2， y1 y2 2 1 ，可得 4(x x ) 8( y y ) 0 ．由题 1 k l 意知直线 的斜率存在，所以 2 ．故所求直线的方程 为： x 2 y 4 0 .
, 0 e 1
c 2 a 2 b2
探究1
如图，设 M x, y 与定点 F 4,0 的距离和它到 25 4 x l 直线 ： 4 的距离的比是常数 5 ，求点 M 的轨迹方程．
解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离，由题意，
所求点的轨迹就是集合
MF 4 P M d 5
2、离心率是刻画椭圆扁平程度的量，离心率越大， 椭圆越扁平. 3、对于椭圆 ，相应于焦点 F (c, 0) 的准线 a F (c, 0) l : x 方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 c a2 a x x 的准线方程是 ，所以椭圆有两条准线： c． c
2
2
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
2 2 2 2
0 1 2
解：设 PF1 m, PF2 n ， PF1 PF2 F1F2 cos F PF 1 2 (1)在 F1PF2 中，由余弦定理得， 2 PF1 PF2
(m n) 2 2mn 4c 2 4a 2 4c 2 cos 60 1 2mn 2mn 2(a 2 c 2 ) 2(a 2 c 2 ) 1 1 2 mn 2 a ( ) 2 c 1 2( ) 2 1 2e2 a
k
弦长问题
中点弦问题
1、联立直线与椭圆的方程， 消元后借助于根与系数的关 系解决； 2、点差法．
八、评价练习 必做题 1.课本第49页A组第2,3题; 2.课本第页B组第5题; 3.自主学习丛书第41页-43页. 选做题 已知中心在原点，长轴在 ， 若椭圆被直线 x y 1 0 截得的弦的中点的横坐标 2 4 x 2 是 ，求椭圆的方程.（参考答案 3 3 y 1 ）
y2 x2 1(a b 0) a 2 b 2 A2 y
F 2 F 1 O B2
(c, 0)
x a, y b
B 1
Ax 2
(0, c)
y a, x b
对称轴:轴, 轴
对称中心:(0,0)
a,0 , 0, b
e c a
b,0 , 0, a
x2 y 2 y 2 x2 2 1或 2 2 1(a b 0) 2 1或 1 32 16 32 16
c 2 .离心率 e a 2
a 4 2 b 4 c 4
所以所求的椭圆方程 ，
当焦点在 x 轴上时，焦点为 (4, 0), (4, 0)，顶点 (4 2,0),(4 2,0),(0, ， 4),(0, 4) 2) 当焦点在 y 轴上时，焦点为 (0, 4), (0, 4)，顶点(4, 0), (4, 0) (0, 4 2),(0, 4．
变式训练1
已知椭圆 x
2
(m 3) y m 的离心率
2
e
3 2
，
求 m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点 坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为
x2 y2 1 m m m3
m 0.m ， m3
m
m(m 2) 0 m3
，
m m m , a 2 m, b 2 , c a 2 b2 m3 m3
l A M O
典例4
x2 y2 1 16 4
y
x
B
1
2
1
2
1
2
七、解法小结 1、先求出两交点坐标，然后用两 点间距离公式；AB ( x A xB ) 2 ( y A yB ) 2 2、弦长公式：AB 1 k 2 x A xB 或 AB 1 1 y A yB 2
y kx 3, 2 解： x y2 1, 16 4
由 (4k
2
2
1) x 2 24kx 20 0 得． 16(16k 2 5)
5 5 或k 4 4
5 5 或k 4 4
．
（1）当 16(16k
5) 0即k
0
即 号)
(当且仅当 m n 时取“=”
e2
所以
1 4
e (0,1)
，又
1 e ,1 2 ，所以
2
．
2 2
(2)证明：在 PF1F2 中，由余弦定理可知: PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 F1F2 即
(m n) 2 2mn 4c 2 4a 2 4c 2 cos 60 1 ，所以 2mn 2mn
六、运用新知
x2 y 2 1 a 2 b2
(a b 0) 典例2 已知 F1F2是椭圆 ,的左、右焦点， AF1 F，椭圆 1F 2 0 A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若 2 2 2 AOF2 的离心率等于 ，2 的面积为 ，求椭圆的方 程．
c 2 e AF F F AF 1 F 1 F 2 0 解： ， 1 1 2，因为椭圆的离心率 a 2 ， 1 2 2 x 0, y 0)，由 AF A(c, y ) 则 b 2 a ，设A( x, y)( ， x c 1 F 1 F 知， 2 2 2 c y b 1 y AOF2 的面积为 2 2 代入椭圆方程得 a 2 b2 a2 c 2 2 2 2 ， 即 sAOF2 1 xy 2 2 ,∵ a ，故 b 8, a 2 b 16 2 2
时，直线与椭圆相交；
（2）当
（3）当 思考1
16(16k 2 5) 0即k
时，直线与椭圆相切；
时，直线与椭圆相离.
16(16k 2 5) 0即
5 5 k 4 4
当直线与椭圆相交时怎样求弦长？
理解新知
1、动点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离 c e (a c 0) 的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆，定 a e 点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 是 椭圆的离心率．
设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 典例1 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与 长轴上较近的端点的距离为 4( 2 1)，求此椭圆方程及它 的离心率、焦点坐标、顶点坐标．
解：设所求的椭圆方程为 则 为
b c a c 4( 2 1) a 2 b 2 c 2 ，解得
重 点
椭圆的简单几何性质及基本运用
难 点
椭圆离心率的概念的理解 及性质的 综合应用 椭圆离心率及椭圆的基本性质与学 科内知识的综合
考 点
定义
PF 1 + PF 2 =2a>2c= FF 1 2
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 B
A F 1 1 2 O
标准方程
图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 的含义及 关系
a
k AB kOP b c, a 2 2c 2 e 2 .
2
a
六、运用新知 典例3 x y F , F P 已知是 1 2 椭圆 a b 1 (a b 0) 的两个焦点，为椭圆 F PF 60 . 上一点， (1)求椭圆离心率的取值范围； F1 PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关． (2)求证：
2 2
2 a x 轴上的椭圆， 3c
3
m 1 ,椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为 (
m(m 2) e c 3 , m 2 3 . a 2 m3 2 m3
3 , 0) 2
．
1 1 (1, 0), ( 1, 0), (0, ), (0, ) 顶点坐标为 2 2
．
db (n d 0) { a n}
0
4 2 mn b 3
，所以
sPF1F2
1 3 2 0 mn sin 60 b 2 3
，即 PF1F2 的面积只与短轴长有关．
db d 10) l :(n y k ( x 2) { a n}
六、运用新知 过椭圆 内一点 M (2,1) 作椭圆的弦，点 M 恰为该弦的中点，求该弦所在直线的方程(如图)．
五、理解新知 1、解出两个交点的坐标，利用两点间的距 离公式求弦长: AB ( x A xB ) 2 ( y A yB ) 2 2、弦长公式：AB 1 k 2 x A xB 或
AB 1 1 y A yB 2 k