2016年秋八年级数学上册13.2三角形内角和定理的证明及推论1、2(第3课时)教案(新版)沪科版
三角形内角和定理知识点总结
三角形内角和定理知识点总结三角形是几何学中一个基础的概念，由三条边组成，三角形的三个内角和是一个重要的定理，被称为三角形内角和定理。
本文将对三角形内角和定理进行知识点总结。
一、三角形内角和定理的定义三角形内角和定理是指三角形内角的和等于180度的性质。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角A、B、C的和满足A + B + C = 180度。
二、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明可以通过几何推理或代数运算来完成。
1. 几何推理证明通过构造辅助线或利用三角形的性质进行推理，可以得到三角形内角和定理的证明，下面以几何推理证明为例：（以证明三角形内角和定理）设三角形ABC的内角A、B、C对应的外角分别为X、Y、Z，过B点作AX的平行线与AC延长线交于点D，连接BD。
由外角和定理可得：X + Y + Z = 360度由三角形内角和外角和定理可得：A + X = 180度由平行线性质可得：∠CAD = ∠ABC则有∠BDC = ∠CAD + ∠CAB = ∠ABC + ∠CAB = A + B又因为三角形内角和外角和定理可得：∠BDC + Y = 180度联立上述方程可得：A + B + C = A + B + (∠BDC + Y) = 180度即证得三角形内角和定理成立。
2. 代数运算证明通过使用代数运算将三角形内角和定理转化为代数方程的等式，从而证明三角形内角和定理的成立。
下面以代数运算证明为例：设三角形ABC的内角分别为A、B、C，根据三角形内角和定理可得：A + B + C = 180度同时，根据角度平分线定理可得：∠BAC = ∠CAB = 1/2 * ∠BOC其中，BOC是三角形外角，根据外角和定理可得：∠BOC = 360度- A将上述等式代入三角形内角和定理等式中，得到：A + B + C = 180度即成立。
三、三角形内角和定理应用三角形内角和定理是解决三角形相关问题的基础，具有广泛的应用。
三角形的内角和定理与证明
证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线，该顶点处有三个角，相加为180，然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角，从而得证。
2、任意绘制一个平行四边形，将其分割成两个三角形，这两个三角形全等，然后平行四边形相邻两角相加为180，可以找到三个角的和为180，而其中两个角是一个三角形的内角，还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角，从而得证。
3、任意做三角形的一条高线，然后过高线所在边的一个顶点，做高线的平行线，然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余，然后同理另外一个三角形的两角也互余，这四个角相加等于大三角形的内角和，等于一百八十度，从而得证。
扩展资料：一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
二、多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。
因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）所以n边形的内角和是（n-2）×180°。
证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）。
八年级数学上册13.2.4三角形内角和定理的推论_三角形的外角性质教案新版沪科版
第4课时三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质教学目标【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3.会灵活地运用三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质解决实际问题.【过程与方法】让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.【情感、态度和价值观】1.通过探索三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.重点难点【重点】三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.【难点】三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质.教学过程一、创设情境,导入新知师:在前面我们学习了三角形的内角和定理及其有关直角三角形的两个推论,你还记得它的内容吗?学生回答.师:大家回忆一下我们是用什么方法证明三角形的内角和定理的?生:用折叠、剪拼和度量的方法.师:很好!在上节课我们主要学习了定理的证明过程，以及由定理而得出的两个有关直角三角形的性质，这节课在上节课的基础上我们继续研究三角形的另外两个性质，是有关三角形的外角的.二、共同探究,获取新知师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗?学生小组交流讨论后回答.生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系?生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书:推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论3可以用来计算角的大小,推论4可以用来比较两个角的大小.【例】已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题?学生交流讨论后回答,然后集体订正.证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.三、课堂小结师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?学生发言,教师点评.教学反思本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
八年级数学上册13.2命题与证明教案(新版)沪科版
13．2 命题与证明第1课时命题1．了解命题的含义．2．对命题的概念有正确的理解．3．会区分命题的条件和结论．重点找出命题的条件(题设)和结论．难点命题概念的理解．一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．同旁内角相等，两直线平行；4．直角都相等．二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果,,那么,,”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果,,那么,,”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”应用迁移、巩固提高1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,,那么,,”的形式，并分别指出命题的题设和结论．学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果,,那么,,”的形式，并说出它们的条件和结论．(1)对顶角相等；(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．说出上题的逆命题，并讨论．三、运用新知，深化理解例1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果,,那么,,”的形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果,,那么,,”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果,,那么,,”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．四、课堂练习，巩固提高1．教材P77练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题；命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果,,那么,,”的形式；命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可）；逆命题：原命题为“如果p，那么q”，逆命题则为“如果q，那么p”．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84习题13.2第1～3题．第2课时证明(一)1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．重点证明的含义和表述格式．难点按规定格式表述证明的过程．一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由．分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．教师对具体的说理过程予以详细的板书．小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．【归纳总结】证明几何命题的表述格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程．三、运用新知，深化理解例1 如图，下列推理中正确的有( )①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠２不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．例2 完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B.证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P78～79练习及P80练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义．(2)真命题证明的步骤和格式．(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84～85习题13.2第5～8题．第3课时证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．重点根据具体的证明过程，填写推理的理由．难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法； 2.折叠法； 3.剪拼法．)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．2．总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善．3．小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．(2)求证：对顶角相等．4．证明：直角三角形的两个锐角互余．(请学生画图口答即可．)推论1：直角三角形两锐角互余．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠３分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．例2 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠１与∠２与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC，∠2＝12DCA，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P81～82练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．第4课时三角形的外角1．了解三角形的外角．2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．二、合作交流，探究新知探究问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出问题．教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．三、运用新知，深化理解教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．例1 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．例2 如图，求证：(1)∠BDC>∠A；(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠１是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．∴∠1>∠3.∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．即：∠BDC>∠BAC.(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．则∠BDC是△CDE的一个外角．∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．【教学说明】让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．四、课堂练习，巩固提高1．教材P83练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P85习题13.2第9题．。
沪科版数学八年级上册13.2命题与证明三角形内角和定理优秀教学案例
3.引导学生运用转化思想，将复杂的几何问题转化为简单的问题，提高学生解决问题的能力。
4.鼓励学生提出自己的疑问，组织讨论，促进学生思维的发展。
（三）小组合作
1.组织学生分组进行讨论，鼓励学生互相交流、分享思路。
3.通过示例，讲解如何运用三角形内角和定理解决实际问题，让学生体会数学的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计探究活动，让学生分组讨论如何证明三角形内角和定理。
2.引导学生运用归纳推理、类比推理等方法，深入探究三角形内角和成果，互相交流、学习。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结三角形内角和定理的证明方法，巩固所学知识。
2.总结三角形内角和定理在实际生活中的应用，强调数学的实际价值。
3.引导学生反思自己在讨论过程中的表现，总结自己的优点和不足。
（五）作业小结
1.设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中运用转化思想，提高解决问题的能力。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，深入研究三角形内角和定理的相关知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形内角和定理，理解并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生空间想象能力，通过观察、实践，让学生能够形象地理解三角形内角和定理。
3.培养学生逻辑思维能力，学会运用归纳推理、类比推理等方法，证明三角形内角和定理。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将所学知识运用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。
4.运用多媒体技术辅助教学，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
沪科版数学八年级上册 三角形内角和定理的证明及推论1、2
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. B
E
1 2
CD
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
∠B = 75° ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 直角 三角形；
1.如图，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D， A 则∠1与∠B 的关系是（ C ） 1 A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定 C
2.如图，AB∥CD，AD、BC 交于点 O， ∠A = 42°，∠C = 58°，则∠AOB = ( C ) A A. 42° B. 58° C.80° D.100°
将三个角转化到一个平角上.
知识Байду номын сангаас点 辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的
线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或
同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
AH
E1 B
34 2 FD GC
A
P
Q
E 14 23 F
∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
例2 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°， ∠FCD＝80°，求∠D.
三角形内角和定理多种证明方法
三角形内角和定理多种证明方法三角形内角和定理是数学中的一个基本定理，也是初中数学中常见的一个知识点。
它表明任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
下面我将介绍一些证明三角形内角和定理的方法。
方法一：通过三角形内切圆的角度性质证明我们可以通过利用三角形内切圆的一些性质来证明三角形内角和定理。
首先，我们知道，对于任意一个三角形ABC，它的内切圆可以与三角形的三边分别相切于点D、E、F。
如下图所示：A/ \/ \/ \/ \/ \C_____________BE/ \/ \/ \/ \D_________________F根据内切圆的性质，我们可以得知：AE=AF、BD=BF、CD=CE分别连接AD、BE、CF，得到以下关系式：AD=AE+ED、BE=BF+EF、CF=CE+FD将上述三个等式左右两边相加：AD+BE+CF=AE+ED+BF+EF+CE+FD等式左边AD+BE+CF代表了三角形ABC的周长，记为P。
等式右边AE+ED+BF+EF+CE+FD代表了三角形内切圆的周长，由于内切圆的半径相等，所以它的周长等于2πr，其中r为内切圆的半径。
因此，我们可以得到以下关系式：P=2πr而三角形的内角和等于周角，可以表示为360度。
所以我们可以推导出以下关系式：360°=P将上述两个等式组合在一起，得到：360°=2πr进一步化简可以得到：180°=πr而π是一个固定的常数，所以我们可以得到以下结论：180°=r结合之前的推导，我们可以得出：三角形的内角和等于180度。
方法二：通过三角形的内切圆面积证明我们可以利用三角形的面积公式来证明三角形内角和定理。
首先，我们知道对于任意一个三角形ABC，它的内切圆的半径为r。
根据三角形面积公式S=1/2 *底边*高，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，分别为BDF、AED和CEC。
三角形BDF的高为r，底边DF的长度等于三角形的周长P，所以三角形BDF的面积为S1=1/2 * P * r。
三角形内角和定理的证明和推论
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 2、有两个角互余的三角形是什么三角形？ 请说明理由。
☞课时小结
回顾本节课所学的内容，你有哪些收获？
1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
回顾本节课的学习过程，你收获哪些思想方法？
2、推论1：直角三角形的两锐角互余。
同学们，你们知道其中的道理吗？
13.2 命题与证明(3)
——三角形内角和定理的证明
☞探究新知
命题：三角形的内角和等于180°
思考题1：请把该命题改写成“如果 …，那么…” 的形式？
如果一个图形是三角形，那么它的内角和等于180°
思考题2：请你结合图形，用几何语言把条件和结 论写出来？
命题：三角形的内角和等于180°
1、添加辅助线的数学思想方法
3、推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、转化思想方法
4、证明三角形内角和定理的方法都是通过添加辅 助线（平行线），把三角形的内角转化为平角 来到证明的。
☞布 置 作 业
1.完成课本82页证明过程；
2.习题13.2：6、7
3.思考题：如图，在△ABC中 ,∠A=75°，∠B=70°，
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深。
——高斯
合肥市第四十八中学滨湖校区 张璟瑞
内角三兄弟之争
直角三角形有三个内角，平时三兄弟非常团 结，有一天，老二突然不高兴，指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样大！” 老大说：“这是不可能的”。“为什么？” 老 二反问到。
A
B
B
C
思考题3：能否通过作图把三个内角转化到一个
三角形内角和定理
三角形内角和定理三角形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
三角形内角和定理是三角形的一个基本性质，它关于三角形内角和的大小和特点进行了详细的阐述和证明。
本文将从三角形的定义开始，逐步介绍三角形内角和定理的相关内容，帮助读者加深对此定理的理解。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的封闭图形，每条线段称为三角形的边，它们的端点称为三角形的顶点。
三角形可以根据边的性质分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
在本文中，我们主要讨论普通三角形的性质和定理。
二、三角形内角和定理的表述三角形内角和定理表明，在任意一个三角形中，三个内角的和等于180度。
换句话说，无论三角形的形状如何，其内角之和不会改变。
三、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明可以通过多种方法来进行，本文将介绍其中一种常用的证明方法——直角三角形的证明方法。
我们首先构造一个直角三角形ABC，将其一条直角边BC延长至点D，得到一条新的线段BD。
然后我们连接线段AD。
根据直角三角形的特性，∠ABC为直角，即90度。
接下来，我们利用直角三角形的已知性质进行推导。
根据直角三角形的定义，∠ABC和∠BCA的和等于90度。
同时，三角形ABC中的三个内角的和等于180度，因此∠ABC + ∠BCA + ∠ACB等于180度。
由于∠ABC和∠BCA的和等于90度，我们可以得出∠ACB等于180度减去90度，即90度。
通过上述推导，我们可以得出结论：在直角三角形ABC中，∠ABC + ∠BCA + ∠ACB等于180度。
由于直角三角形是三角形的一种特殊情况，这个结论同样适用于所有的普通三角形。
四、三角形内角和定理的应用举例三角形内角和定理在解决与三角形相关的问题时具有重要的作用。
下面举一个例子来说明其应用。
假设有一个三角形，已知其中两个内角分别为60度和90度，求第三个内角的度数。
根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。
已知的两个内角的度数分别是60度和90度，将它们相加得150度。
三角形内角和定理的证明与应用
三角形内角和定理的证明与应用三角形内角和定理是中学数学中的基础概念，它描述了三角形的内角和与直角的关系。
本文将对三角形内角和定理进行证明，并探讨其应用。
一、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理是指，任意三角形的三个内角的和等于180度。
下面我们将对其进行证明。
假设有一个任意的三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们可以通过以下步骤证明三角形内角和定理：1. 在三角形ABC的边BC上任取一点D，使得BD与AC重合。
2. 连接AD，并延长AD至点E，使得AE与BC平行。
3. 由于在同一条直线上，角∠CBA和∠EAD是同位角，根据平行线性质，它们对应的线段之比相等，即BD/DE = AC/CE。
4. 同样地，我们可以连接BE，并延长BE至点F，使得AF与BC 平行，同理可得CE/EF = AB/AF。
5. 从步骤3和步骤4中可以得到两个比值：BD/DE = AC/CE 和CE/EF = AB/AF。
6. 将这两个比值相乘，得到 (BD/DE) * (CE/EF) = (AC/CE) *(AB/AF)。
7. 由于有AE || BC 和 AF || BC，根据平行线性质，可以得到DE || EF。
8. 由于DE || EF，根据平行线与横切线的交角相等性质，可以得到∠BED = ∠FEC。
9. 同样地，连接AE和AF，利用平行线与横切线的交角性质，可以得到∠EAD = ∠BAF。
10. 将步骤8和步骤9得到的等角代入到步骤7中，可以得到∠BED = ∠BAF。
11. 根据等角余角定理，可以得到∠AED = ∠BDA 和∠AEB =∠BDF。
12. 将步骤11得到的等角代入到步骤5中，可以得到(BD/DE) * (CE/EF) = (AC/CE) * (AB/AF) 成立。
13. 可以进一步化简上式，得到 BD/EF = AC/AF。
14. 同样地，可以连接CF，并延长CF至点G，使得AG与BC平行，重复以上步骤可以得到 CG/DF = AB/AF。
八年级数学上册《三角形内角和定理的两个推论》教案、教学设计
1.采用直观演示法，通过实际操作让学生感受三角形内角和定理两个推论的实际意义，降低学习难度。
-设计教学活动，让学生用剪纸、拼接等方法，亲身体验三角形的内角和和边长关系。
-利用多媒体展示动态图形，让学生直观地理解三角形内角和定理的两个推论。
2.运用启发式教学法，引导学生主动探究三角形内角和定理的两个推论。
2.提高拓展题：根据课堂所学，尝试完成课本第chapter页的习题4、5，培养学生运用三角形内角和定理解决实际问题的能力。
3.创新思维题：设计一道与三角形内角和定理相关的实际问题，要求学生运用所学知识进行解答，激发学生的创新思维。
4.团队合作题：以小组为单位，共同完成一道综合性的三角形内角和定理题目，要求学生在合作中互相学习、共同进步。
3.能够运用三角形内角和定理的两个推论进行图形的分割与拼接，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过直观演示和实际操作，让学生感受三角形内角和定理两个推论的实际意义，培养观察、分析和解决问题的能力。
2.引导学生运用合作探究、交流讨论的学习方式，发现三角形内角和定理的两个推论，并能够运用这些推论解决实际问题。
3.分享：每个小组派代表分享本组的讨论成果，其他小组可以提出疑问或补充，促进全班学生的交流与互动。
4.总结：教师对学生的讨论进行点评，强调解题的关键点和注意事项，巩固所学知识。
（四）课堂练习
1.设计练习题：根据学生的认知水平，设计不同难度层次的练习题，涵盖三角形内角和定理的两个推论的应用。
2.学生独立完成：让学生在课堂上独立完成练习题，检验他们对知识的掌握程度。
-加强与学生的沟通，了解他们的需求和期望，提高教学的针对性和实效性。
四、教学内容与过程
八年级数学上册《三角形内角和定理及其推论》教案、教学设计
（一）导入新课
1.引入生活中的实例：展示一张三角形结构的图片，如房屋的屋顶、桥梁等，引导学生观察并提问：“你们知道三角形在生活中的应用吗？为什么这些结构要采用三角形呢？”通过这个问题，让学生思考三角形的特点和优势。
2.提问：回顾一下我们之前学过的三角形的知识，谁能告诉我三角形的内角和是多少度？引导学生回忆并回答三角形内角和为180°。
3.学生在解题过程中，教师巡回指导，关注学生的解题方法，及时发现问题并进行个别辅导。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结三角形内角和定理及其推论的应用。
2.教师进行课堂小结，强调重点知识，梳理解题思路和方法。
3.提醒学生课后复习，巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
4.鼓励学生将所学知识运用到生活中，观察身边的几何问题，提高数学素养。
3.提出问题：既然三角形的内角和是180°，那么我们如何利用这个性质来求解三角形中未知角度呢？今天我们就来学习三角形内角和定理及其推论。
（二）讲授新知
1.讲解三角形内角和定理：通过几何画板或实物模型，演示三角形的三个内角拼在一起可以组成一个平角（180°），从而引出三角形内角和定理。
2.解释三角形内角和定理的推论：当三角形的一个角在外部时，它等于与推论。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何素养，特布置以下作业：
1.基础练习题：请完成课本第XX页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对三角形内角和定理及其推论的理解和应用。
2.提高题：尝试解决课本第XX页的提高题4、5，这些题目难度适中，旨在培养学生运用定理解决实际问题的能力。
3.拓展题：挑战课本第XX页的拓展题6，此题具有一定的难度，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力，寻找解题方法。
秋八年级数学上册13.2三角形内角和定理的证明及推论1、2(第3课时)教案(新版)沪科版【精品教案】
三角形内角和定理的证明及推论 1、21．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用， 理解和掌握三角形内角和定理的推论 1 和推论2；( 要点、难点 )2．认识协助线的看法，理解协助线在解题过程中的用途；3．经历思虑、操作、推理等学习活动，培育学生的推理能力和表达能力．一、情境导入问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看． 三角形的内角和能否为180°？从拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 二、合作研究研究点一：三角形内角和定理的证明如图，在△ ABC 内随意取一点 P ，过点 P 画三条直线分别平行于△ ABC 的三条边． (1) ∠ 1、∠ 2、∠ 3 分别和△ ABC 的哪一个角相等？请说明原因； (2) 利用 (1) 说明三角形三个内角的和等于180° .分析： (1) 利用平行线的性质即可证得； (2)依据对顶角相等，以及∠＋∠ 1＋∠FPI ＋∠ 3＋∠GPDHPE＋∠ 2＝ 360°和 (1) 的结论即可证得．解： (1) ∠ 1＝∠ A ，∠ 2＝∠ B ，∠ 3＝∠ C .原因以下：∵ HI ∥ ，∴∠ 1＝∠ ，又∵∥ ，∴∠＝∠ ，∴∠ 1＝∠ . 同理，∠ 2＝∠ ，AC CEP DE ABCEP AAB∠ 3＝∠ C ；(2) 如图，∵∠ HPE ＝∠ 1，∠ FPI ＝∠ 3，∠ GPD ＝∠ 2，又∵∠ HPE ＋∠ 1＋∠ FPI ＋∠ 3＋∠ GPD ＋∠ 2＝ 360°，∴∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝ 180°，∵∠ 1＝∠ A ，∠ 2＝∠ B ，∠ 3＝∠ C ，∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ 180° . 方法总结：此题考察了平行线的性质，正确察看图形，娴熟掌握平行线的性质和对顶角相等． 研究点二：直角三角形的两锐角互余直角三角形两锐角的均分线的夹角是______．分析：作出图形，依据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＋∠ BAC ＝ 90°，再依据角均分线的定义可1得∠ OAB ＋∠ OBA ＝2( ∠ ABC ＋∠ BAC )，而后利用三角形的内角和等于 180°求出∠ AOB ，即为两角平 分线的夹角．如图，∠＋∠＝90°，∵、BE 分别是∠和∠的角均分线，∴∠＋∠＝ 1( ∠ ABC BAC AD BAC ABC OAB OBA 2ABC ＋∠ BAC )＝ 45°，∴∠ AOB ＝ 180°－ ( ∠ OAB ＋∠ OBA )＝ 135°，∴∠ AOE ＝ 45°，∴两锐角的均分线的夹角是 45°或 135°. 故答案为 45°或 135°.方法总结：此题考察了直角三角形两锐角互余的性质，角均分线的定义，整体思想的利用是解题的要点，作出图形更形象直观．研究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形以下图，AB ∥ CD ，∠ BAC 和∠ DCA 的均分线订交于 H 点，那么△ AHC 是直角三角形吗？为何？分析：要判断△ 的形状，第一察看它的三个内角，此中∠1 与∠2 与已知条件角均分线相关，而AHC两条角均分线分别均分∠ BAC 和∠ DCA ，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的 AB ∥ CD .解：△ AHC 是直角三角形．原因以下：由于 AB ∥ CD ，因此∠ BAC ＋∠ DCA ＝ 180° . 又由于 AH ， CH 分别均分∠ BAC 和∠ DCA ，1 ，∠ 2＝ 1 ，因此∠ 1＝ ∠ ∠2 BAC 2 DCA因此∠ 1＋∠ 2＝ 1 ( ∠＋∠) ，2 BACDCA因此∠ 1＋∠ 2＝ 90°， 因此△为直角三角形．AHC方法总结： 判断一个三角形能否为直角三角形， 既能够经过这个三角形有一个角是直角来判断( 直角三角形的定义 ) ，也能够经过有两个角度数之和为90°来判断．三、板书设计三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° . 三角形内 证明定理的一般步骤：①找出命题的题设和结论，画出图形；角和定理②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；的证明及③利用已知条件，依照定义、基本领实、已证定理，并依照逻辑规则，推导出结论 .推论 1、 2推论 1：直角三角形的两锐角互余 .推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形 .教师是学生学习的组织者、指引者、合作者，而非知识的灌注者，因此对一个问题的解决不是要教师将现成的方法教授给学生， 而是教给学生解决问题的策略， 给学生一把在知识的大海中行舟的桨，让学生在踊跃思虑，勇敢试试，主动研究中，获取成功并体验成功的愉悦．在讲堂中，松手让学生自主研究证明三角形内角和定理的方法，让学生在着手试一试、动口说一说、互相评一评的过程中掌握证明的各样方法．讲堂中，创造了宽松的学习气氛，让学生参加到学习过程中去，自主研究，勇敢发布自己的看法，让学生在自主研究中获取了不停地发展．。
八年级上：13.2.3《三角形内角和定理的证明及推论1、2》教案
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1，2一、教学目标 （一）知识与技能1、通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程。
（二）过程与方法（三）情感、态度与价值观通过学习几何证明，初步感受推理的严密性、条理性。
二、教学重点与难点（一）教学重点：根据具体的证明过程，填写推理的理由。
（二）教学难点：将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题。
三、教学过程 （一）温故知新在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于1800，你还记得这个结论的探索过程吗？ 1度量法 2折叠法 3剪拼法但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明。
（二）探究新知，自主学习 1、三角形内角和定理的证明（1）、理解题意，分清题目的条件和结论；已知：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=1800证法一：（请学生参照剪贴的方法去证明） 证法二：（引导学生仿照证法一添加辅助线 转化成平角去证明）除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考。
(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母; (4)分析因果关系,探索证明思路;A D C 12 3 1 B2A BCPQ23 1(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.3、小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：（1）.求证：直角三角形的两个锐角互余。
（2）.求证：对顶角相等。
4、证明：直角三角形的两个锐角互余。
（请学生画图口答即可。
）推论1:直角三角形两锐角互余。
推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形。
（三）、巩固训练，理解掌握求证：对顶角相等。
（四）、总结反思(2)你完成几何证明的最大障碍是什么？（五）、作业１．课本83页第1、2题。
２．基础训练13.2。
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三角形内角和定理的证明及推论1、2
1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；(重点、难点)
2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；
3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．
一、情境导入
问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看．
三角形的内角和是否为180°？
从拼角的过程你能想出证明的办法吗？
二、合作探究
探究点一：三角形内角和定理的证明
如图，在△ABC 内任意取一点P ，过点P 画三条直线分别平行于△ABC 的三条边．
(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC 的哪一个角相等？请说明理由；
(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.
解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE ＋∠1＋∠FPI ＋∠3＋∠GPD ＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．
解：(1)∠1＝∠A ，∠2＝∠B ，∠3＝∠C .
理由如下：∵HI ∥AC ，∴∠1＝∠CEP ，又∵DE ∥AB ，∴∠CEP ＝∠A ，∴∠1＝∠A .同理，∠2＝∠B ，∠3＝∠C ；
(2)如图，∵∠HPE ＝∠1，∠FPI ＝∠3，∠GPD ＝∠2，又∵∠HPE ＋∠1＋∠FPI ＋∠3＋∠GPD ＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A ，∠2＝∠B ，∠3＝∠C ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°. 方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等． 探究点二：直角三角形的两锐角互余
直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．
解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＋∠BAC ＝90°，再根据角平分线的定义可
得∠OAB ＋∠OBA ＝12
(∠ABC ＋∠BAC )，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB ，即为两角平分线的夹角．
如图，∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵AD 、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴∠OAB ＋∠OBA ＝12
(∠ABC ＋∠BAC )＝45°，∴∠AOB ＝180°－(∠OAB ＋∠OBA )＝135°，∴∠AOE ＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.
方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．
探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，AB ∥CD ，∠BAC 和∠DCA 的平分线相交于H 点，那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？ 解析：要判断△AHC 的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC 和∠DCA ，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB ∥CD . 解：△AHC 是直角三角形．理由如下：
因为AB ∥CD ，所以∠BAC ＋∠DCA ＝180°.
又因为AH ，CH 分别平分∠BAC 和∠DCA ，
所以∠1＝12∠BAC ，∠2＝12
∠DCA ， 所以∠1＋∠2＝12
(∠BAC ＋∠DCA )， 所以∠1＋∠2＝90°，
所以△AHC 为直角三角形．
方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．
三、板书设计
三角形内角和定理的证明及推论1、2⎩⎪⎨⎪⎧三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤：①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦．在课堂中，放手让学生
自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法．课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展．。