3.5.1 直角三角形的性质和判定(1)
八年级上册数学-直角三角形的性质与判定(1)
教学用具：课件,
教学方法：课件辅助教学,讨论,交流.
教学过程
一Hale Waihona Puke 、预习与交流1、什么叫直角三角形？
A
C
B
2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
二、合作与探究
（1）研究直角三角形性质定理一
如图：∠A与∠B有何关系？为什么？
A
C
B
D
四：巩固练习
（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A=，∠B=；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，与∠B互余的角有，与∠A互余的角有，与∠B相等的角有，∠A相等的角有.
课题：直角三角形的性质与判定(1)第2课时总序第教案
课型：新授课编写时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。
批注：
2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
教学重点：1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.
归纳：定理1：
A
C
B
D
（2）猜一猜量一量证一证
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB的中线.
求证：CD= AB
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三。知识应用：
例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
第25课时直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半
第三章 全等三角形3．5．1 直角三角形的性质和判定第二课时 含30°角的直角三角形的性质与判定一．预习题纲（1）学习目标展示1．经历探索活动，了解含30°角的直角三角形的性质2．在具体情景中运用含30°角的直角三角形的性质与判定来解决数学问题（2）预习思考1．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个角是多少？2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么斜边上的中线将这个直角三角形分成几个等腰三角形？3．在直角三角形中，如果一个锐角为30°且这个角所对的直角边长为a ，那么斜边长是多少？二．经典例题例1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，△DBC 是等边三角形，已知BC=12，求AD 的长 【分析】因AD ∥BC ，∠A=90°，∴∠ABC=90°，又△DBC是等边三角形，∴∠ABD=30°，在Rt △ABD 中利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”可求得AD 的长【简解】因AD ∥BC ，∴∠A+∠ABC=180，又∠A=90°，∴∠ABC=90°，因△DBC 是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，因BD=12，AD=6【规律总结】在直角三角形中，如果有一个角是30°，常应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”来求线段的长或证明线段的倍．分关系三．易错例题例2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形顶角的度数【错解】如图1，在△ABC 中，BD ⊥AC ，因BD=12AB ，∴∠A=30° 【错解分析】错解只考虑了△ABC 是锐角三角形的情况，忽视了△ABC 为钝角三角形的另一种情况【正解】当△ABC 是锐角三角形时，顶角为30°，当△ABC 为钝角三角形时，如图2，CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，因CD=12AC ，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150° 【点拨】在等腰三角形中，当三角形的形状不确定时常分类讨论一．课前预习A B C DA B C D 图1 AB C D 图21． 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于2． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 度3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=二．当堂训练知识点一：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若BC=3，则AB= ，BD=2．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，若AB=10cm ，则BC=3．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午10时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，问上午8时，该船与灯塔相距多少海里？知识点二： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度 4．如图，BD 是△ABC 的高，CD=1，BC=2，AD=3，则∠ABC=5．在直角三角形中，最长边为4，最短边为2，则最长边与最短边的夹角为6．在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C ，且AC=12AB ，求∠B 的度数课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题 （每小题5分，共25分）1． 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．45 °D ．60°2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则BC ：AB 等于 ( )A B C D 第1题 AB C D 第4题 A B DC E 第1题 东 北ABC 30° 第3题A ． 2：1B ．1：2C ．1：3D ．2 ：33． 等腰三角形的底角为15，腰长为12，则腰上的高为（）A ．3B ．4C ．6D ．124． 在△ABC 中，∠C=90，ED 垂直平分AB 交于D ，交AC 于E ，∠A=30°，则AE 与EC 的关系为（ ）A ．AE=2ECB ．AE=EC C ．EC=2AED ．AE=12EC 5．如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∠B=30°，这样图中存在着某些三角形，使其中的一边是另一边的一半，则图中这样的三角形共有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二．填空题（每小题5分，共25分）6．在△ABC 中，如果∠A=12∠B ，∠A=13∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= 7．在直角三角形中，如果有一个锐角多比另一个锐角大30°，则较大锐角为8．△ABC 中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．9．如图，ΔABC 中，∠C=90º，∠B=15º，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BD=4cm ，则AC=______10．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，AC=12cm ，则CD =三．解答题11．（本题满分12分）如图所示：在ΔABC 中，∠C=90°，∠B=15°AB 的垂直平分线交BC 于D ，且BD=8cm ，求AC 的长．12．（本题满分12分）一艘轮船由南向北航行，在A 处测得小岛P 在西偏北75°方向上，两小时后，船在B 处，测得小岛在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮AB C D EF 第5题 D C B A 第9题 A B C D 第10题 D E C B A 第11题船仍按每小时15海里的速度向前航行，有无触礁危险？13．（本题满分12分）已知：△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BD ，∠A=30°求证：△BDC 是等边三角形．14．（本题满分14分）已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 于M ，猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定(Ⅰ)》教学设计1
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定（Ⅰ）》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定（Ⅰ）》是学生在掌握了三角形基本概念和性质的基础上，进一步研究直角三角形的特殊性质。
本节课主要让学生了解并证明直角三角形的性质，如勾股定理、直角三角形的边角关系等，并学会运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和习题，引导学生掌握直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但直角三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定方法还需要进一步学习。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、交流等活动，发现直角三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理，并能运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和勾股定理。
2.难点：勾股定理的证明和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现直角三角形的性质。
2.运用几何画板等软件，辅助证明勾股定理。
3.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.运用例题和习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备几何画板等软件，用于辅助证明勾股定理。
3.准备一些实际问题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定方法值得研究。
2.呈现（10分钟）利用课件展示直角三角形的性质，引导学生发现并证明勾股定理。
在此过程中，注意引导学生运用已学的知识，如三角形的性质、 Pythagoreantheorem 等。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用直角三角形的性质解决实际问题。
八年级数学下册 随堂训练 1.1 直角三角形的性质和判定(I)(第1课时)课件 (新版)湘教版
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．∠A－∠B＝90°
D．∠A＝51∠B＝16∠C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若 测得 AM 的长为 1.2km，则 M、C 两点间的距离为( D )
A．0.5km
B．0.6km
A．8
B．9.5
C．11
D．14
4．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在 AC 边上，DE∥BC.若∠1＝155°， 则∠B 的度数为 65° .
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，AD 是底边上的高，E 为 AC 中点，则 DE＝ 3 .
6．如图，AD∥BC，∠DAB 和∠ABC 的平分线相交于 CD 边上的一点 E，F 为 AB 边的中点．求证：EF＝21AB.
7．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点 M 为 BD 的中点， 点 N 为 AC 的中点．MN 与 AC 的位置关系如何？证明你的猜想．
解：MN⊥AC.证明：连接 AM、CM，∵∠BAD＝90°，点 M 为 BD 中点，∴ AM＝21BD.同理：CM＝12BD，∴AM＝CM.∵点 N 为 AC 中点，∴MN⊥AC.
l2 上，∠ACB＝90°，若∠1＝15°，则∠2 的度数是( B )
A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
2．已知：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A－∠B＝20°，则∠A＝ 55° ， ∠B＝ 35° .
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，那么与∠A 互余的角 有 ∠ACD、∠B ；与∠A 相等的角有 ∠BCD .
C．0.9km
三角形判定定理(一)
三角形判定定理（一）引言概述：三角形判定定理是数学中研究三角形性质的重要理论。
通过判定三个已知边长的数值是否能够构成一个三角形，并进一步确定该三角形的性质和特点。
本文将介绍三角形判定定理中的第一部分内容，包括三个判定条件及其应用。
正文：1. 第一判定条件：任意两边之和大于第三边。
- 两边之和等于第三边，无法构成三角形。
- 两边之和小于第三边，无法构成三角形。
- 两边之和大于第三边，可以构成三角形。
- 应用：通过已知的三边长，使用第一判定条件可以判断是否能够构成一个三角形。
2. 第二判定条件：两边的差小于第三边。
- 两边的差等于第三边，无法构成三角形。
- 两边的差大于第三边，无法构成三角形。
- 两边的差小于第三边，可以构成三角形。
- 应用：对于已知的三边长，在使用第一判定条件通过后，使用第二判定条件可以进一步确认三角形是否可行。
3. 第三判定条件：任意两边之比大于第三边之比。
- 两边之比等于第三边之比，无法构成三角形。
- 两边之比小于第三边之比，无法构成三角形。
- 两边之比大于第三边之比，可以构成三角形。
- 应用：通过已知的三边长比例关系，使用第三判定条件可以判断是否能够构成一个三角形。
4. 特殊情况的考虑：- 等边三角形：三边长度相等。
- 等腰三角形：两边长度相等。
- 直角三角形：一条边为直角边（与直角相对）。
- 钝角三角形：三个角中至少有一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角均小于90度。
- 应用：根据特殊情况的考虑，可以进一步确定三角形的性质和分类。
5. 示例和练习：- 提供一些具体的示例，让读者能够更好地理解三角形判定定理的应用。
- 给出一些判定是否为三角形的练习题，帮助读者巩固所学知识。
总结：三角形判定定理（一）由三个判定条件组成，分别是任意两边之和大于第三边、两边的差小于第三边以及任意两边之比大于第三边之比。
通过应用这些条件，我们可以判断已知边长能否构成三角形，并进一步了解三角形的性质和特点。
(完整版)直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定一、知识要点1、直角三角形的性质：(1)在直角三角形中，两锐角 _____________________ ;(2) _________________________________________ 在直角三角形中，斜边上的中线等于■勺一半；(3) _______________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 _________________________________ ;(4) ________________________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ____________________ 。
2、直角三角形的判定：(1) ____________________ 有一个角等于■勺三角形是直角三角形；(2) ____________________ 有两个角■勺三角形是直角三角形；(3) _________________________________________ 如果三角形一边上的中线等于这条边的 ____________________ 那么这例2、如图，在Rt△ ABC中, CD是斜边上的中线, CEL AB 已知AB=10cm DE=2.5crr，求CD和/ DCE个三角形是直角三角形。
二、知识运用典型例题例1、在厶ABC中，/ C=90°，/ A=30°, CD丄AB,⑴若BD=8求AB的长；(2)若AB=8求BD的长。
例3、如图，在△ ABC 中，/ C=90°，Z A=x °，Z B=2 x。
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
八年级数学 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)
∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二 直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
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3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长 为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
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【火眼金睛】 如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分 别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
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第二十七页，共三十四页。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第18讲 直角三角形的判定、性质和推论
直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】 如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据。
（1）AD =__________()； （2）∠DAB =_________ ()．【例2】 已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对．【例3】 下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】 已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE =DF ．例题解析BACDABC DEFGOH EABCDF【例5】如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB 的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：AC =AE+2BE．【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由．ABCDEAB CDEFABC DE FGABCDEFG图2图1【例8】 在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问： （1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【例9】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1） 若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2） 若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1ABCDElABCDE图2ABCD E【例10】 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ．2、 两个性质：（1） 直角三角形的两个锐角互余；（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ： （1）若∠B =55°，则∠A =________； （2）若∠B ∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCDEFGABCD【例12】 如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ．【例13】 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ， （1）求证：∠CDB =∠CEB ； （2）用x 的代数式表示y ．【例14】 如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF =DC ，P 是CF 中 点．求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【例15】 如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．ABC DE FO M AB C DMN A B CD EABCDP F【例16】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么?【例17】 如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点． （1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【例18】 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ．【例19】 如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．BE FHD AGCABC DE12ABCDMN（1） 若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2） 若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3） 若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【例20】 已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ． 求证：MN 是线段EF 的中垂线．A BCDE FNHMABC MEFN 图2ABCNEFM图1ABCEFNM图33、 推论：（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【例21】 （1）△ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______．【例22】 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________．【例23】 已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于例题解析模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDEABCDMEDCBAD ，求证：12AD DC ．【例24】 已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小．【例25】已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ．【例26】 已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ， （1） 求FG ：BF 的值；（2） 若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【例27】 在△ABC 中，已知∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB =AC ，求证△DEF 为等边三角形； （2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请 说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度．ABCDEFGABCDA E FM【例28】 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A ． 两条直角边对应相等B ． 斜边一个锐角对应相等C ． 一条直角边和一条斜边对应相等D ． 一条边和一个角对应相等 【习题2】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【习题3】 如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB随堂检测ABCDABCD MNNABCD M【习题4】 如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【习题5】 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC =∠BCH ．【习题6】 如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ．【习题7】 如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE ． （1） 求证：ED =DF ；（2） 若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件?【习题8】 如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．A BC DE ABCDEHAB CDEFAC BE FD【习题9】 已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ． 求证：∠AEC =3∠DCE ．【习题10】 如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，AD与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【习题11】 如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1） 线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2） 若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明．ABCDE GABCDFE ABDMEABDOC课后作业【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A．0B．1C．2D．3【作业2】 （1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】 如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】 已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．D ABCEABCDE ABCDE【作业6】 已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】 如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC .【作业8】 在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明．【作业9】 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点． （1） 求证：MN ⊥BD ；ABCDABCD EABCDEFADM（2） 当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长【作业10】 已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ．【作业11】 如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1） 求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2） 将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3） 将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．ABCDPEO图1 ABCDEMA BCDE图2 MB。
(完整版)三角形的性质及判定归纳
(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。
根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
等边三角形的三个内角的度数都为60度。
由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。
2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。
等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。
2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。
2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。
锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。
3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。
3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。
3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。
3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。
结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。
湘教版八年级下册数学教案：1.1直角三角形性质和判定(I)
课题直角三角形性质和判定（1）课时安排2课时教学目标1、了解直角三角形定义，掌握符号语言表示法。
2、探讨直角三角形性质，掌握“两锐角互余”和“斜边上中线等于斜边一半”的性质。
3、能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形。
4、培养逆向思维。
重点直角三角形性质和判定的探索、理解和应用。
难点直角三角形性质“斜边上中线等于斜边一半”的理解和应用。
教学过程复习导入出示问题：①三角形有怎样的性质？（边、角）②直角三角形ABC，角C为90度，用符号语言表述是怎样？学生回答，全班交流。
引入课题：直角三角形性质和判定（1）。
自学指导提出问题，学生带着问题自学教材P2～P3内容：1、直角三角形的角有怎样的性质？2、直角三角形的斜边上中线有怎样的性质？3、用角判定直角三角形的方法是什么？完成学法P1“课前预习”1、⑴；2、⑴⑵。
合作交流讲述：1、直角三角形性质：角的性质：“直角三角形两锐角互余”。
斜边上中线性质：“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”。
2、直角三角形判定：“有两个角互余的三角形是直角三角形”注意：数学语言的表述（图形语言和符号语言）。
应用：教材P4 例1（直角三角形的判定定理）。
学法P1 例2（直角三角形斜边上中线性质应用）注意：语言的规范，格式的统一。
练习：教材P4“练习”T1、T2（学生板演）。
小结归纳1、直角三角的性质。
2、直角三角形的判定。
3、注意事项。
4、数学思想。
作业布置必做：教材习题1.1A组P7 T1；T2。
选做：学法P1 “课堂探究”：探究一、变式1和探究二、变式2。
板书设计反思回顾直角三角形（1）课件展示1、角的性质2、斜边中线3、符号语言应用：例1例2学生板演课题直角三角形性质和判定（2）课时安排2课时教学目标1、掌握“直角三角形中若一锐角为30度，则其所对直角边等于斜边一半”和“直角三角形中一直角边等于斜边一半，则其所对叫为30度”的性质。
2、能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形。
《第1课时 直角三角形的性质和判定》课件 (同课异构)2022年精品课件
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
2
2
DF＝AF＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4，
∴四边形AED2 F的周长2 ＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 归纳 当条件含有线段的中点、直角三角形的条件 时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求 解．
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
在Rt△ABC 中，∵ Biblioteka C =90°，BC
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△ 〞表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
典例精析
例1〔1〕如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
方法一〔利用平行的判定和性质〕： A B
∵∠B=∠C=90°，
2021 年 “精 英 杯〞 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体 组织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“ 小学至高中〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导 。每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中 ，不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
直角三角形的性质及判定练习题(1)
直角三角形的性质及判定练习题（1）◆◆知识点：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（4）直角三角形中，如直角边等于斜边的一半，则这直角边所对的角等于30度（5）勾股定理：直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方．2、直角三角形的判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形（2）有两个角互余的三角形是直角三角形（3）三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（4）三角形中如两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形一、性质题型精练：1、在RtΔABC中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是.2、在RtΔ中，斜边长为6cm，则斜边上的中线为cm.3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，AB=10cm，则BC=_____cm。
4、如图，AB//CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠A=90°∠DEC=90°，则∠D的度数是5、在直角三角形中，斜边和斜边上的中线和为30是6、如图，直线L1，L2被直线L3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3= 度7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，则∠B= 度8、在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C,且AC=21AB，则∠B= 度9、等腰三角形的底角为15°，腰长为12，则腰上的高为10、如图，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=4厘米，则CD= 厘米11、如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，求证△ABC是直角三角形12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8厘米，D为AB的中点，DE ⊥AC于E，∠A=30°，求BC、CD和DE的长二、勾股定理题型精练题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC∆中，90C∠=︒．⑴已知6AC=，8BC=．求AB的长⑵已知17AB=，15AC=，求BC的长ED CBP321L1DC4321DAEDCBA题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.练习：1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ） （A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，412. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是 （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形 3. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13604．在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=______；②若a=15，c=25，则b=____；③若c=61，b=60，则a=_______；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________。
直角三角形的性质及勾股定理(超级好)
直角三角形的性质及判断一：知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）勾股定理：三角形两边的平方之和等于第三边的平方和3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二：题型的分类1.和等腰三角形结合2.和角平分线，垂直平分线，平行线结合（重点是提供角相等）3.特殊角度，60度，45度，30度直接利用直角三角形的性质及推论来解题4.多个直角三角形共斜边5.勾股定理提供的边长6.利用三角形或直角三角形全等提供角度相等，直角三角形面积提供边长7.翻折旋转提供全等三角形边角对应相等综合：三角形性质，主要考察的是利用角相等，来求角度，求边长，证明线段倍数关系等等期间有需要做辅助线，如构造直角三角形，延长中线长构造全等三角形将一边进行转化，角平分线做垂线，连接直角顶点和斜边重点等等三：经典例题例1.（基础性质题）（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45°B．55°C．65°D．75°（2）三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°（3）下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形（4）已知：如，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=14AB．DCABFDB ECBA （5）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC 的面积=____________（6）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D ，连接CD ，CD ＝( ) A 、3 B 、4 C 、4.8 D 、5图2D ACEB（7）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能的是（ ） A ．3.5 B ．4.2 C ．5.8 D ．7 （8）已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.例2.已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。
直角三角形的定义
有一个内角是直角的三角形 叫直角三角形．
直角三角形的表示法：如图
B
所示的三角形，可记为 Rt△ABC 斜边
直 角
Ｃ
边
A
C
直角边
Ａ Ｄ
Ｂ
B
直角三角形的内角有什么特征？
直角三角形的性质：
A
C
（1）直角三角形的两个锐角互余。
C 90
A B 90
1.是否存在这样的三角形，它既是等腰三角形，
又是直角三角形？
A
定义：两条直角边相等的直角三角形
叫做等腰直角三角形
B
2.等腰直角三角形的两个锐角各是多少度呢？
C
性质：等腰直角三角形的两个锐角都是45 °
1．如图，ＣＤ是Ｒｔ△ABC斜边 上的高．请找出
(1)图中各对互余的角.
(2)图中所有相等的角。
Ｃ
Ａ Ｄ
A B 90 A ACD 90 B BCD 90 ACD BCD 90
发，以相同的速度分别沿
E
AC 和 A-B-E 线路前进，甲
的目的地为 C，乙的目的地
A
B
为 E ，请你判断一下，甲，
乙谁先到达目的地？并说
明理由。
.
A
D
C
3.如图,在△ABC中, ∠ ACB=90°,
AE平分∠ CAB,CD ⊥ AB于D,
它们交于点F, △ CFE是等腰 三角形吗? 试说明理由.
C
E F
A
D
B
4．如图，已知△ABC中，点Ａ在ＤＥ上， ＣＤ⊥ＤＥ，ＢＥ⊥ＤＥ，垂足分别是Ｄ Ｅ．且ＡＤ＝ＢＥ，ＣＤ＝ＡＥ， △ABC 是等腰直角三角形吗？说明理由．
直角三角形性质和判定教案1(新湘教版)
教学难点：定理的理解和运用、几何语言和逻辑的正确运用
一、引
自学内容：1、阅读教材P4至P6页,找出直角三角形的性质，特别注意直角三角形性质的条件；2、完成自主学习；3、并找出你存在的疑难，并用红笔标记。
二．探
1、直角三角形的性ห้องสมุดไป่ตู้定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.
且 ，CD=6cm，求BC的长。
例2、一棵大树高为15米，一天被狂风吹倒，树梢与地面所成的角为30度，求留在地面上树桩的高。
【当堂检测】
1、△ 中， ， ，则 边上的高 =_______________.
2、在直角三角形中，若一锐角为 ，而斜边与 角所对的边的和为 ，则斜边的长
为___________ .
长乐中学八年级数学导学训练案教案
编制人：周浩雄审核人：日期：总课时数：第2课时
课题：直角三形的性质和判定（1）
教学目标
1、知识与技能：掌握有一个锐角是 的直角三角形的性质定理及应用。
2、过程与方法：体会由“一般到特殊”的探索过程。
3、情感态度、价值观：渗透建立几何模型的数学思想和培养学生解决实际问题的能力。
3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1:2:3，它的最大边长为6 ，那么它的最小边长为_________ .
4、在△ 中， ， ， .
(1)若 ，求 的长
(2)若 ，求 的长
6、如图，在Rt△ 中， 是斜边上的中线， ，已知 ， ，求 和 .
说明 ．
五.作业P6练习1、2题
课后反思
2、直角三角形的性质定理3：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.
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（3）与前后桌同学讨论一下，如何证明AD=DC=BD ？
D′
1
A
练习 ：
在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线， BE和AE 那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等 ∠ACE 的角有_________，若∠A=35°，那么 ∠ECB= _________。 551、已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。 求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ 证明:（1）∵
∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
D
∴D、E分别是RT△ABC与RT△ADC的中线
∴DE=1 AC、BE= AC ∴ED=EB
2
1 2
A
E
C
(2)由(1)可知，因为 ED=EB 所以△DEB
是等腰三角形,∠EBD=∠EDB(等要对等角)
（3） 等腰三角形有：△ADE, △CDE, △ABE, △CBE ,△DEB
B
例2、如果三角形三角形一边上的中线等于 这条边的一半，求证：这个三角形是直 角三角形。
已知：如图,CD是△ABC的斜边AB边上的中线， 1 且CD= 2 AB 求证： △ABC是直角三角形。 B
授课人：黔东中学 李国宏
一、复习引入
提问：（1）什么叫直角三角形？
（2）我们知道直角三角形是特殊的 三角形，那么除了具备一般三角形的性 质外，还有没有其它特殊的性质? 这节课，我们一起来探究这方面的知识
二、动脑筋
B
（一）问题1：在△ABC中，已知∠C=90°, ∠A与∠B有何关系？由此你能得出什么结 C 论？
小结：
这节课主要讲了直角三角形的哪两条性质 定理和什么判定定理？
性质定理1：直角三角形的两个锐角互余
判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
性质定理2：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半
请把作业当作考试
真金才不怕火炼
课外作业 P87：练习题
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90 °， CD是斜边AB上的高，那么 （1）与∠B互余的角有 ∠A和∠1 ； （2）与∠A相等的角有 ∠1 ； （3）与∠B相等的角有 ∠2 。
B
1
D
2
C
A
三、操作，探究
（1）每人在纸上画一个直角三角形ABC，∠C=90°，
B D C A
找到斜边的中点，画出斜边上的中线DC。 （2）量一量如图中斜边AB和斜边上的中线CD的长度，你发现斜边上的中线CD 与斜边AB长度之间有何关系？ 与同学交流一下，也有类似的发现吗？你能 得出什么结论？
性质定理2： 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
证明：作∠1= ∠A，交AB 于D′，∴AD′=CD′ B ∵ ∠A+∠B= 90°， ∠1+∠2= 90° ∴ ∠2=∠B， ∴ BD ′ =CD ′ 2 ∴ AD`=BD ′，即D ′是AB的中点， CD ′是RT△ABC斜边AB上的中线，从而CD ′与 C 1 CD重合，因此CD= 2 AB
A
直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角 互余 （二）问题2：如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是什 么三角形？由此你能得出什么结论？ 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是 直角三角形。
巩固练习
1、（1）在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另 一个锐角度数是 38°。 （2）在Rt△ABC中，∠C=90 °，∠A -∠B =30 °，那 么∠A= 60° ，∠B= 30° 。
2
D
1
1 证明 因为CD = AB=BD=AD 所以∠1= ∠A ，∠2= ∠B. 2 (等边对等角)
C
A
根据三角形的内角和性质， ∠A+ ∠B+ ∠ACB=1800， 即得∠A +∠B + ∠1+∠2=1800，
2（ ∠A +∠B ）=1800，所以∠A +∠B =900
根据直角三角形的判定定理，所以△ABC是直角三角形