三角形4(学习版)

(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)找出与△ABH相似的三角形，并证明； (3)若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的 长．
(1)相似多边形的对应角②__相等__、 对应边③__成比例__. (2)相似多边形周长的比等于④__相 似比__，面积的比等于⑤__相似比的 平方__
考点 5 位似图形
位似中心
每对对应点所在直线交于①__一点__的相似图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心
性质
(1)如果两个多边形是位似图形，且对应边②__平行或 在同一直线上__，那么图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比都③__等于__对应边的比(或位似比)； (2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、 纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形 位似，位似中心是④__坐标原点__，它们的相似比为 |k|
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、 AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E， ∠ADB＝∠ACB. (1)求证：
(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F是BC中点．
1.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB ，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB ＝3︰5，那么CF︰CB等于多少？
3.如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点， AE＝ 2 AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，
3
则AF为多少？
3.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2) 、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得 到线段AB，若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为
(1)平行于三角形的一边的直线与其余两边相交，所得 的三角形与原三角形相似； (2)有两个角分别⑧__相等__的两个三角形相似； (3)两边对应⑨__成比例__，夹角相等的两个三角形相 似； (4)三边对应⑩__成比例__的两个三角形相似
考点 4 相似多边形
定义 性质
各角都相等，各边对应①__成比例__ 的两个多边形相似
提示►由于利用位似变换可以将图形放大或缩小，所以位似变换常常 与其他变换(轴对称、平移、旋转)方式结合考查作图，解答问题时， 先确定变换方式及变换顺序，再根据相应的变换作出关键点(如：三 角形的三个顶点、图形的拐点等)的对应点，最后按照图形的原有顺 序连接即可．
典型例题运用
类型 1 比例线段 【例1】
，证出AB∥CF，再由平行线分
线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．
类型3 图形的位似
【例3】[2018·凉山州中考]如图，在边长为1的正方形网格中建立 平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)， C(4，5)． (1)画出△ABC关于x对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与 △ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
考点3 相似三角形
定义
如果两个三角形的对应角①__相等__，对应边 ②__成比例__，那么这两个三角形相似
性质 判定
相似三角形的性质：相似三角形的对应角③__ 相等__、对应边④__成比例__．相似三角形对 应线段的比等于⑤__相似比__，周长的比等于 ⑥__相似比__，面积的比等于⑦__相似比的平 方__
Байду номын сангаас
解：(1)如图，△O1A1B1即为所求的三角形。
(2)如图，△O2A2B2即为所求的三角形． (3)点P(a，b)为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标 为(2a＋2，2b)， 故答案为：(2a＋2，2b)．
第一组练习题
得分要领
⑴在判别两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共 角，公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；
求证：四边形ABFD是菱形．
5．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝
∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD； (3)若AD＝4，AB＝6，求
AC 的值.
AF
6．如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE， EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G， BG交AE于点H.
1
3
.
变式运用►1.已知a，b，c是△ABC的三边长，且
类型2 平行线分线段成比例
例2，如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE ∥BC,点F是
DE延长线上的点
AD BD
=
DE EF
，连接FC,若
AE AC
=
2 3
求 AD 的值 FC
【思路分析】由平行线分线段成比例定理和已知
条件得出
⑵寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角 形(或构造成比例的线段)；或利用特征图形(如公共边、公共 角的两个三角形)找相似三角形；
⑶注意依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构 造相似三角形；或利用分别等于中间比的两个比相等实现对 等比进行转移．判别三角形相似的方法有时单独使用，有时 需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应 有的条件方可．
相似三角形
考点1 成比例线段
定义
四条线段如果a︰b＝c︰d，那么这 四条线段叫做成比例线段
基本性质 如果a︰b＝c︰d⇔①__ad＝bc__
考点2 平行线分线段成比例
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成 比例．
2．平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比 例．
2．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB， E是BC的中点，AD⊥AE. (1)求证：AC2＝CD·BC； (2)过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB. ①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证： FH⊥GH； ②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC是菱形．
【思路分析】(1)画出A，B，C关于 x轴的对称点A1，B1，C1即可解决 问题；(2)连接OB延长OB到点B2， 使得OB＝BB2，同法可得点A2，C2， △A2B2C2就是所求三角形．
【自主解答】 (1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形．
变式运用 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分 别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个 单位长度)． (1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出 △O1A1B； (2)请以O为位似中心，在x轴上方画出△O1A1B的位似图形， 使它与△O1A1B1的相似比为2∶1； (3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应 点P′的坐标为________．
多少？
第二组练习题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC， AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一 点． (1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF； (2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P， 试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你 的结论；(请先补全图形，再解答) (3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明， 若不垂直说明理由．