等比数列前n项和公式PPT课件
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高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第30讲 等比数列及其前n项和(53张PPT)
向
固
3．关于等比数列的性质的方法技巧
基 础
(1)在等比数列{an}中，a3a7＝a10.( )
(2)若等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝12，则a2与a4的等
比中项为14.( ) (3)若等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a3＝±6.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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令cn＝abnn，则cn－1＝abnn－ －11.
an 当n≥2时，ccn－n 1＝abn－n 1＝aan－n 1÷bbn－n 1＝qq12，故数列abnn也一
bn－1 定是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（11－－qqn）.
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
—— 链接教材 ——
固
基
础
1．[教材改编]
已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝
384，则该数列的通项公式an＝________．
[答案] 3×2n－3
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
固
基 础
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则 a3＝a1q2＝3，①
(1)求数列{an}的通项公式；
考 向
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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第30讲 等比数列及其前n项和
［思考流程］ (1)条件：给出等比数列{an}的递推公
点 面 讲
式．目标：求数列{an}的通项公式．方法：利用等比数列 的定义及递推公式求解．
等比数列的前n项和公式(共2课时)高二数学教材配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)
探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1
∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老
Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室
Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工
等比数列求和PPT课件
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例 1 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)若 S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn； (3)若 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8； (4)若 a3＝32，S3＝412，求 a1．
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
2.5等比数列前n项和公式的推导 PPT课件
• C．6
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
5, a1
1 2
.求an和s
n
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81来 q2一Saqn2,1题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1
B．1－2100
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1. 答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列前n项和的求和公式微课 参赛 优质课件
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
因此，到底是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般的等比数列我们该怎样求它 的前n项和?
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 错 a1qn2 a1qn1 ①
第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
这猴子是不是又 在耍我？
建立数学模型:
猪八戒这30 进：令常数列｛an｝,a1=100
天的进和出 s’ =100*30
分别为 ’S30 、
30
S
' 30
出：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 22 23 229 ?
2.5 等比数列的前n项和
算一算：
这笔交易是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
一: 问题激疑、展示目标
学习目标：
两边同时乘以 q为
位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn ②
相 减
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
当q 1 时
通项公式 an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时 即 {an}是一个常数列
因此，到底是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般的等比数列我们该怎样求它 的前n项和?
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 错 a1qn2 a1qn1 ①
第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
了······
这猴子是不是又 在耍我？
建立数学模型:
猪八戒这30 进：令常数列｛an｝,a1=100
天的进和出 s’ =100*30
分别为 ’S30 、
30
S
' 30
出：令等比数列{bn},其中b1 1, q 2,
S30 1 2 22 228 229.
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 22 23 229 ?
2.5 等比数列的前n项和
算一算：
这笔交易是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
一: 问题激疑、展示目标
学习目标：
两边同时乘以 q为
位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn ②
相 减
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
当q 1 时
通项公式 an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时 即 {an}是一个常数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式(第一课时)超好用的公开课课件-年高二上学期数学人教A版(201
8
7
6
5
4
3
2
1
1
新课引入
就在国王犹豫是否要答应发明者的
要求时，站在一旁一位将告老还乡的大
臣听后不满地说：“我跟陛下这么多年
战功卓著，请求陛下同样赏赐给我麦子，
在棋盘的第一格子里放上2颗麦粒，在
第2个格子里放上4颗麦粒，在第3个格
子里放上8颗麦粒，依次类推，每一个
格子放的麦粒数都是前一个格子里放的
ap aq = as at= a
2
k
新课引入
数学小故事：国际象棋起源于古
印度.棋盘上共有8行8列构成64个格
子.传说国王要奖赏国际象棋的发明
者，问他有什么要求，发明者说：
“请在棋盘的第1个格子里放上1颗
麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2
颗麦粒，在棋盘的第3个格子里放上
4颗麦粒，在棋盘的第4个格子里放
麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止.”
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
思考:已知一千颗麦粒的质量约为40g，据
查，2016-2017年度世界小麦产量约为
7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否
能实现他们的诺言.
S64=1+2+22+23+…+263
2S64=
错位相减法
2+22 +23 +···+263+264
1−
因为 = −1 ，所以公式也可以写成
−
=
1−
思考：运用公式求和，需注意什么问题？
(1)q是否等于1； (2)当q≠1时，若已知 , q,n套用 =
若已知(1− )
；
4.3.4 等比数列前n项和公式应用(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
2n－1
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
[解析] 由 ，得 ，当 时， ,令 ,得 ,所以 ， ， ， ， ,所以 是等比数列.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
等比数列的前n项和公式(1)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.5等比数列的前n项和公式
(1)
情境引入
情景导学
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，
问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，
第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，
每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到
第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要
用．
新知探究
典例解析
例 3 已知等比数列{an }的公比 q 1，前 n 项和为 Sn .证明 Sn ，
S2n Sn ， S3n S2 n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明:(方法一)
当 q 1时，
S n na1，
S2 n Sn 2na1 na1 na1 ，
= 1 + 1 q + 2 2 + … + 1 −3 +1 −2 + 1 −1
①
问题6：观察① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
= −1 ( ≥ 2, ≠ 0)
新知探究
问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？
1 = 1, q = 2， = 64
1× ( 1−264 )
64 =
=264
1 −2
−1 > 1.84 × 1019
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
新知探究
典例解析
例 1.已知数列an 是等比数列.
1
1
（1）若 a1 ， q ，求 s8 ；
= 1 + 2 + 3 + … + −2 +−1 +
(1)
情境引入
情景导学
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，
问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，
第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，
每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到
第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要
用．
新知探究
典例解析
例 3 已知等比数列{an }的公比 q 1，前 n 项和为 Sn .证明 Sn ，
S2n Sn ， S3n S2 n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明:(方法一)
当 q 1时，
S n na1，
S2 n Sn 2na1 na1 na1 ，
= 1 + 1 q + 2 2 + … + 1 −3 +1 −2 + 1 −1
①
问题6：观察① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
= −1 ( ≥ 2, ≠ 0)
新知探究
问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？
1 = 1, q = 2， = 64
1× ( 1−264 )
64 =
=264
1 −2
−1 > 1.84 × 1019
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
新知探究
典例解析
例 1.已知数列an 是等比数列.
1
1
（1）若 a1 ， q ，求 s8 ；
= 1 + 2 + 3 + … + −2 +−1 +
2.5等比数列的前n项和课件人教新课标4
等比数列
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
a1 anq 1q
推导方法
倒序相加
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
求和：
(x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)
(x 0).
an+1=Aan+B的数列通项
例：求数列{an}的通项公式 （1）在{an}中，a1=2,an+1=3an+2 （2）在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王
是不可能同意发明者的要求。
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3,, an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an 即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
na1 ,
a1 1 qn ,
1 q
{ 已知 a1, an , q 则 Sn
na1 ,
a1 anq ,
1 q
( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式
Sn
na1
2
an
nn 1
na1 2 d
两边同乘公比２， 得
2S64 2 4 8 16 263 264.
将上面两式列在一起，进行比较
等比数列的前n项和公式 (3) 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第四章 数 列
人教2019 A版 选择性必修二
4.3.2等比数列的前n项和公式 (3)
1.等比数列的前n项和 公式
应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式
已知量
首项、公比和项数
首项、末项和公比
公式
Sn＝
na1，q＝1 _a_1（__11_－－__qq_n_）__，__q_≠1
Sn＝
na1，q＝1 _a_11_－－__aq_nq__，__q_≠__1__
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理 的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
典例解析
典例解析
归纳总结
解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比 数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一 般为等比数列问题．
探究新知
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
典例解析
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾 以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生 活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量 每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算 一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 0.1万吨）.
3
000
Hale Waihona Puke +10×(10−1) 2
×
800
=792
000
an=4 000(1+5%)n-1
T=12(b1+b2+…+b10)
=12×4
人教2019 A版 选择性必修二
4.3.2等比数列的前n项和公式 (3)
1.等比数列的前n项和 公式
应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式
已知量
首项、公比和项数
首项、末项和公比
公式
Sn＝
na1，q＝1 _a_1（__11_－－__qq_n_）__，__q_≠1
Sn＝
na1，q＝1 _a_11_－－__aq_nq__，__q_≠__1__
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理 的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
典例解析
典例解析
归纳总结
解决数列应用题时 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比 数列问题，还是含有递推关系的数列问题； 二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一 般为等比数列问题．
探究新知
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
典例解析
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾 以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生 活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量 每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算 一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 0.1万吨）.
3
000
Hale Waihona Puke +10×(10−1) 2
×
800
=792
000
an=4 000(1+5%)n-1
T=12(b1+b2+…+b10)
=12×4
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-
2
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
-
3
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
-
14
-
15
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
-
4
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1 第2格： 2 第3格： 2 2
S6 426 41 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为
“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思
议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，-从而抓住培养学生的辩
6
证思维能力的良好契机．
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1,a2,a3,,an,,
它的前n项和是： Sna1a2a3an. 1 ）
(1)的两边乘以q q n S a 1 q a 2 q a 3 q a n 1 q a n q .
由定义 qnS a2a3a4ananq. 2）
中职数学基础模块下册
第六章 数列
6.3.3 等比数列的前n项和公式 教学法
-
1
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
该题有助于培养学生对含有参数的问题
进行分类讨论的数学思想．
训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
-
12
归纳总结、内化知识
小结
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1(1 qn) 1 q
错 位 相 减
当q 1时，Sn na1.
法
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
(1)-(2) SnqnSa1anq 整理 (1q)Sna1anq
a aq 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
-
7
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公式
当q 1时， Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
求数列1
12,2
1, 4
3
1, 8
4
116,的前n项的和.
解:
Sn11 221 431 8411 6 ( n
1 2n
)
反思
(11 2) (21 4) (38 1) (n2 1 n)
(123 n)(12148121n)
n(n 1) 2
1 2
[1 ( 1 ) n ] 2
1 1
n2 n 2
121n
2
8
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用
例。1 .写出等比数列 -3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因
为 a1
1，q
33， 1
所
以
等比
数列
n项和公式为：
Sn11 [1 (( 3 3 ))n]1(4 3)n
故
S8
1 （ 3） 8
1640
4-
9
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
Sn
a1(1 qn) 1 q
(1) a1,an,q,Sn 和各已知 a1,n,q,Sn
三个可求第四个。
(2)注 意 求 和 公 式 是 qn， 不 要 和 通 项 公
式 中 的 qn1混 淆 。
(3)注 意 q是 否 等 于 1， 如 果 不 确 定 ， 就 要
分 q1和 q1两 种 情 况 讨 - 论 。
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学- 认知结构的形成．通过以上形式， 11
让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和 （ 11 x)(2x12) (nx1n)n (Nx0）
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使- 自身的认知结构得以提高和发1展3 。
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
第4格： 2 3
……
第63格： 2 62
-
第64格： 2 63
5
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 3 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S 6 41 2 2 2 2 3 2 63 2 S 6 4 2 2 2 2 3 2 6 3 2 64
课堂练习 1．求等比数列中，
（1）已知 a1 4 , q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1q10) 1q
4[1(12)10]1023
11
128
2
（2） Ska11 aqkq11 2 43 33364
-
10
拓展训练 、深化认识