高等代数_wlkc-03

第三讲 唯一析因定理; 唯一析因定理; C[X]与R[X]; C[X]与R[X];
多项式的根—有理根; 多项式的根—有理根;线性空间
1
P 3 63
3m 3n 3p 2
GA03
2
f ( x) = (x 1) + (x 1)x + ( x 1)x +1+ x + x 2 3 12 . f ( x ) = q1 ( x 1) + 2 x = q 2 ( x 2 ) + 3 x
a1n
O M L λ ann
n i =1
n
则 ( λ1 + λ2 + L + λn ) = a n 1 = ∑ aii = trA
( 1) λ1λ 2 L λ n = a 0 = ( 1) d e t A . 11
n
§3-2. 求整系数多项式全部有理根的方法
定理 13 :设 f ( X ) ∈ Z [ X ] f ( X ) = a n x + a n 1 x + L + a1 x + a 0 若 f ( r ) = 0 , 其中 r , s ∈ Z , 且 ( r , s ) = 1, s
3 2 3 2
f ( x) g ( x) = x + 2 x + u ∴ x + 2 x + u为最大公因式.
2 2
x +2x+u x + tx + u 3 2 x + 2 x + ux
2 3 2
x + (t 2)
(t 2)x2 ux 2 (t 2)x + 2(t 2)x +u(t 2)
u = 2 (t 2 ) u = 0 u = 2 u = u (t 2 ) → t = 2 或 t = 3 3 若 g ( x ) = x + tx + u 则 u = 0 , t = 4 . 3
2
3a = 4b a=4 ∴ f ( x) = 4a + 3b + 1 = 6a → b = 3 3 4 3 2 ( x 1) (4 x 3) + 3 x = 4 x 27 x + 66 x 65 x +2 24
19.设 f ( x ) = x + (1 + t ) x + 2 x + 2u , g ( x ) = x + tx + u 的最大公因式是一个二 次多项式,求 t , u的值.
n n 1
则
r a0 ,
s an .
若 an =3, a0 = 2
a
n
1 ; 3
a
0
1 2
r =? s
r 1 2 = ±1; ± 2; ± ; ± . s 3 3
12
III
Linear Space
§1 线性空间的定义及性质
(1 + 1)( α + β ) = α + β + α + β
左 = (1 + 1)α + (1 + 1) β = α + α + β + β 得 α + β +α + β = α +α + β + β
= q 2 [( x 1) 1] + 3 x 3 2 = q 2 [( x 1) 3( x 1) + 3( x 1) 1] + 3 x
3
∴ 要 q 2 (3 x 4) + x 整除 ( x 1) , deg q 2 ≥ 1, 2 设 q 2 = ( ax + b ), (3 x 4)( ax + b ) + x = 3a ( x 1) .
r = (ε1,L, εn ) X = (η1,L,ηn )Y = ((ε1,L, εn )C)Y = (ε1,L, εn )CY 由唯一性知 X = CY → Y = C X .
16
1
13.设 13.设Vn ( F )中的两个向量组α1 ,L,α s与β1 ,L, β s , 满足 ( β1 ,L, β t ) = (α1 ,L,α s ) As×t
引理2:实系数多项式f ( X )的复根总是成共轭对 出现. 若α是其根, 则α 也是根.
n
设
f ( x ) = a n x + L + a1 x + a 0 f (α ) = a nα + L + a1α + a 0 = 0
n
则
f (α ) = a nα + L + a1α + a 0
n
= a nα + L + a1α + a 0 = 0.
L L L
α 1 Lα n 1 + L + α 2 Lα n = ( 1)
α 1α
2
n 1
L α
n
= ( 1)
n
a a
a1 an
10
0 n
.
f A (λ ) = λ I A = λ + a n 1λ
n n 1
+ L + a1 λ + a 0
λ a11 K λI A =
M an1
= ( λ λ1 )( λ λ 2 ) L ( λ λ n )
. 定理6:F[ X ]是唯一析因整环 即任一非常数多项式 f ∈ F[ X ] 均可表为一些 不可约的多项式的乘积 f = p1 p2 L ps . 且若不计常数倍及 pi 的次序,是唯一的.
proof : (i )先证分解(析因)的存 在 性. 若 f 不可约,则取 f = p1 即可. 若 f 可约 , 设 f = f1 f 2 Q deg f i < deg f,
过度距阵是可逆的.
记 C = ( c1 , L , c n )
proof :Q det C ≠ 0 C 的列向量线性无关. k1 则 k1η1 + L + k nη n = (η1 , L ,η n ) M k n k1 k1 M = (ε , L , ε ) C M = (( ε 1 , L , ε n ) C ) 1 n k k n n k1 ∴ k1η1 + L + k nη n = 0 C M = 0 . k n
由归纳法可设 f 1与 f 2的分解存在 ∴ f = f 1 f 2 = p1 L p s .
( i = 1, 2 )
4
( ii ) 证分解的唯一性 .设 f = p1 L p s = q1 L qt Q p s q1 L qt 由引理 1 p s qi 不妨设 i = t ,
又 Q q t 不可约 ,
定理 8:复系数多项式 f ( X )(deg f ≥ 1)在复数域 C 上总可以唯一分解为一 次因式的乘积 :
f ( X ) = c ( X c1 ) ( X c2 ) L ( X c s )
n1 n2
ns
( c , ci ∈ C ,
∑n
i =1
s
i
= n)
7
§2-3 R[ R[X]上的因式分解
n
8
定理 2:实系数多项式 f ( X ) (deg f ≥ 1) 在实数域上总可以唯一 分解为一次和二次 不可约因子之积:
又Q( X α)(x α ) = x (α +α )x +αα ∈ R[ X ] 在R上不可约, 有 ∴
2
f ( X ) = a( x a1 ) L( x as )
n1 ns
试 证 : β 1 ,L , β t 线 性 无 关 r ( A) = t 证 ,β L t t 线 无关 故 : β 11,,L , ,ββ线 性性 无 关 A x = 0 只 有 零 解 x1 β 1 + L + x t β t = 0 仅 当 x1 = L = x t = 0 成 立
x1 M =0 即 ( β 1 ,L , β t ) 仅 当 x1 = L = x t = 0 成 立 x t ((α 1 , L , α s ) A ) x = 0 仅 当 x = 0 成 立 (α 1 , L , α s )( A x ) = 0 仅 当 x = 0 成 立 由 于 α 1 ,L ,α s 线 性 无 关 , 17 故 ( α 1 , L , α s )( A x ) = 0 Ax = 0 成 立
两边左加 α , 右加 β , 得 α + β = β +α.
α β = α + (β)
D
13
§2 线性相关与线性无关
n n i =1 i =1
定理.3.3的证明
λ1α1 + L + λnαn = ∑ λiαi = ∑ λi ( ∑ a ji β j )
j =1
m
= ∑ ( ∑ λi a ji ) β j
18
Q C的列为 η1 , Lη n 在基 ε 1 , L , ε n 上的坐标, ∴ 判断向量组是否线性无 关可以看它们的 坐标列是否无关 . 可以看坐标列构成的行 列式是否为 0.
个数 m < n时, 用 m 个分量来判断 . Q 短无关 , 长亦无关.
介绍求 (A (A A
1
B 的方法 A
1
( x b1x + c1 ) L( x bt x + ct )
2 e1 2
et
如:实正交方阵的复特征值 cosθ (根)成共轭对出现 A=
sin θ
sin θ cosθ
9
§2-4 多项式的根和系数的关系. Vieta 定理: n n 1 设 f ( x ) = a n x + a n 1 x + L + a1 x + a 0 = a n ( x α 1 )( x α 2 ) L ( x α n ) a n 1 则 α1 + α 2 + L + α n = an an 2 α 1α 2 + α 1α 3 + L + α n 1α n = an