第8章 弹性薄板弯曲
薄板弯曲问题
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz
h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
薄板弯曲问题
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
17
各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
弹性力学板弯曲
（x，y，xy）～qb2/t2
（xz，xz y）～qb/t
z～q
由内力表示的平衡微分方程
Qx Q y q0 x y M x M yx Qx 0 x y M xy x M y y Qy 0
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 2 2 x xy y
Qy D
应力与内力的关系
x 12 z Mx 3 t y 12 z My 3 t xy 12 z M xy 3 t
yz
6 t ( z 2 )Q y 3 t 4
2
6 t2 zx 3 ( z 2 )Qx t 4
1 z z z 2q ( ) 2 (1 ) 2 t t
（3）中面各点没有平行于中面的位移。
假定的推论
假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）
z=0
z w 0 z
w=w(x,y)
假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0，
w u y ＋ ＝0 y z
w ux z f1 x, y x
w u x ＋ ＝0 x z
RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
d 4w 2 q ( x) 1 EI dx 4
与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。 其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）
薄板横截面上的内力
M x z x dz M xy
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
弹性力学08板的弯曲B
C2 0
C3
2(1
Mb 2
)D(a2
b2 )
Ma 2b2
Ma 2b2
C4 2(1 )D(a2 b2 ) 1 D(a2 b2 ) ln a
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
（3）周边简支沿内缘受均布剪力的环板
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
)
1
r2 a2
Mr M
M M
M
Qr 0
M
a z
例题2：周边简支圆板在外边界受均布力矩作用，在中心有链杆。
解：
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0
无均布载荷 q0 0
w(r) C2r 2 ln r C3r 2 C4
w r0 0 w ra 0
2w x 2
2w y 2
My
D
2w x 2
2w y 2
M xy
M
yx
D1
2w
xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
x
r
Mr
y
Mr
z
M Q Qr
x r, y
2w 2w x2 r 2
2w y 2
1 r
w r
1 r2
2w
2
2w 1 w
xy r r
❖薄板横截面上的内力：
Mr
D
2w r 2
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0, C2 0
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
薄板弯曲挠度计算公式
薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。
薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。
通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。
薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。
一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。
静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。
我们需要了解一些基本概念。
在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。
这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。
该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。
下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。
假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。
我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。
如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。
除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。
弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。
有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。
弹性力学 薄板弯曲55页PPT
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
板弯曲详细讲解
2 －t
2
Zdt
板上、下表面的边界条件变成
z zt 0 2
z z－t q 2
z z
2(1
E
v
2
)
t2 4
z2
2 w
z
Et 2(1
3
v
2
)
t2 4
z
z3 3
4w
f
(x,
y)
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0 2
z
Et 3 1
6(1
v
2
)
2
-
z 2 1 t
垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题
▪ 薄膜：
其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的轴向力 和板面内的剪切力来承担；
▪ 厚板：
其内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，应按照三维问 题处理；对于厚度比较小的薄板。
▪ 薄板的基本假定：
（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面 保持垂直；
力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由式求得 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求
即：
RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，
2w xy
xa,
y b
0
2w x 2
2w y 2
特点：
y
1
Ez
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，
在板的上、下板面达到最大。
zx x yx z x y
zy y xy z y x
弹性薄板的小挠度弯曲课件
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
薄板弯曲问题
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y3
3w yx2
)
1
Ez
2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z
Et3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0
工程弹塑性力学课件：第八章薄板弯曲
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
得
u w 0, v w 0.
z x
z y
对 z积分，
w
w
u x z f1(x, y), v y z f2 (x, y).
z
x y
zy σ y xy ,
z
y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
zx
Ez2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y),
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y),
其中
2
2 x2
2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应
变分量 x;,主 x要, x应y 力分量
；σ次x ,要σ x应, x力y
分量 及最次 要zx ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
取 ε，z 0由
， 得w 0
z z
w w(x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy和远小z 于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。
薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：
弯应力 σx ,σ（y 合成弯矩 M x ,M y）
及扭应力
（合成扭矩
08板的弯曲 弹塑性力学
xy
2 E Ez w xy 2(1 ) 1 xy
8
3. 平衡方程：（设体力为零，用 w(x,y) 表示应力分量）
Ez x 1 2 2w 2w 2 2 x y Ez y 1 2 2w 2w 2 2 y x
xy
Ez 2 w 1 xy
xz x xy z x y
第八章
板的弯曲
§ 8-1 弹性薄板的基本方程 § 8-2 矩形薄板的弹性分析 § 8-3 圆形薄板的弹性分析
1
§8-1 弹性薄板的基本方程
板面
一、基本概念 1. 板的几何特征： b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a x
两个平行平面和垂直于 两平行平面的柱面所围 成的物体称为平板。
h a, b
h z
侧面 （板边 ）
薄板：
2 2
1 h/2
1
Mx Myx
x
M xy D1 M yx
w xy
2
h2
y
M xy M yx
My
Mxy
Qy z
Qx
2w D1 yx
Qx D 2 w x 2 Qy D w y
薄板横截面上的内力~变形的关系 薄板弯曲问题的弹性方程。
Ez x 1 2
x
y
x
Mx
h/ 2
dzz
Eh3 12 1 2
2w 2w 2 2 x y
薄板的弹性曲面微分方程
3.弯曲内力与挠度的关系
是w的二阶偏导数 是w的二阶偏导数 是w的三阶偏导数
5.内力与应力的显式关系
例
梁与板的对照
A
A
M
y
AA
z
x
M
A yA
二.建立(13-10)的第二条路径 ——内力与横向载荷平衡
得到 (13-10)
板弯曲问题基本方程
(1310)
板的边界条件分类
板的边界 支撑情况 图示
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
§ 13-2 弹性曲面的微分方程
wq
三个位移 六个应变 六个应力
u(w), v(w), w
x (w), y (w), xy (w) z xz yz
x (w), y (w), z (w), xy (w), xz (w), yz (w)
x y z
zx
w y zy xy Y 0
zy
y z x
z
z
xz
x
yz
y
Z
z w z t 2
0
定Fz x, y
板壳力学
7
（三）薄板的弹性曲面微分方程
下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠 曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶 面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正， 而底面不承受荷载。
板壳力学
2
（一）用w表示应变
x y
xy
u x v y u y
v x
2
2w x2 2w y 2
2w xy
z
x y
2 xy
z
板壳力学
3
则
y
x y
z
xy
薄板弯曲
k e e {B}T D{B}dxdy
S
(3)节点荷载 当单元上作用有分布载荷 p( x, y ) 单元等效结点力
Q e N pdxdy
e S
T
见书5.17
z, w n (wn,xn,yn) 2b 2a k (wk,xk,yk) y() 3m ) (wm,xm,ym) x（） l (wl,xl, yl)
2 2w z 2 2 x x x 2w 2 y z 2 z w 2 y y xy 2 2w 2 z 2 xy xy
二、几何关系
法线转角和挠度的关系
w w z x y x u z y w v z z w x y w w x w x y
M x x zdz
h 2 h 2
M y
M xy M yx xy zdz
Mx M My M xy
1 Mx h 3 3 h 1 h 2 M y h zσdz D p 2 12 12(1 ) 2 M xy 0
2w 2 x 0 2w 1 0 2 y 1 0 2w 2 2 xy
h3 1 1 M Dp D 12
其中 称为板的弯曲刚度，D为弹性薄板的 弹性系数矩阵。
由于是平面的小变形，称
1 为曲率。
三、物理关系
x y z xy yz zx T
弹性力学第八章 薄板弯曲
t 2
0
zy z t 2
0
2 t2 2 Ez zx z w 2 2(1 ) 4 x 2 t2 2 Ez zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
即
y xz yx z x y
z Ez t 2 2 4 z w 2 z 2(1 ) 4
2 3 Ez t z 4 积分得 z w F3 ( x, y ) z 2 2(1 ) 4 3
根据薄板下面内的边界条件： 可求得F3(x,y), 最后得到：
其中：
Et 3 D 12(1 2 )
4 w 2 2 w
§8-3 薄板横截面上的内力
x
z
yx
y
x
z
My
xy
xz
x
M xy
M yx
Mx
Qx
Qy
yz
y
t 2 t 2
y
t Ez 2 w 2w 2 2 M x z x dz z dz t 2 2 2 1 x y 2 2w 2w D 2 2 y x
yx
y b
0
Q
y
y b
0
因为薄板的挠度方程为一四阶偏微分方程，根据偏微 分方程的理论，在每个边界上只能有两个独立的边界 条件，这里的三个边界条件中后两个是有联系。根据 圣维南原理，可将扭矩和剪力用静力等效来代替。
M yx
M yx
M yx dx x
M yx d xd x M yx x
2 2 2 2 w w w 1 w 1 w 2 w 2 2 2 2 2 x y r r r r
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Ez 1 Ez 1 Ez
2 2
2 2w w x 2 y 2 2 2w w y 2 x 2
w
2
1 xy
平衡方程:
下面求用 w 表示的
τzy 及τzx 的表达式，由平衡方程得
yx y zy z y y xy x
My+
¶My ¶y ¶y
dy
Qx +
¶ Qx ¶x
dx
dy
Qy +
¶ Qy
dy
薄板的平衡方程
S Fz = 0 SMy = 0 SMx = 0
dx dy
Qy y q 0
即
Qx x M x x M xy x
M yx y M y y
Qx 0 Qy 0
消去Qx 、 Qy
wx 0 wx a wy 0 wy b
2w 0, 0 x 2 x 0 2w 0, 0 x 2 xa w 0, 0 y 2 y 0
2
中面 支座
2w 0, 0 y 2 y b
Mx
My
2 h 2
w w y zdz - D 2 2 y x
2 2
y
x
z
h
M xy M yx
h
2 h 2
yx zdz - D 1-
x y w
2
w
2
xy
Qx Qy
2 h 2 h
xz dz - D yz dz - D
位移函数:
w v w 由上节中的（1）式 ， , z x z y
分别对 z 进行积分后得
u
u= -
抖 w 抖 x
z + f1 ( x, y ) , v = -
w y
z + f 2 ( x, y )
再由（2）式
u z 0 0, v z 0 0 得
z, v= w y z, w = w( x, y )
固支边： w
0 w x
x 0
简支边 D b
y=0
x
a C
x 0
0
2
x=0
A y
x=a
B y=b 自由边
固支边
简支边： w y 0 0
w x
2 y 0
0
自由边：x = a : M x = 0, M xy = 0, Qx = 0
y = b : M y = 0, M yx = 0, Qy = 0
(ex )z= 0 = 0,
(e y )z= 0 =
0,
(g xy )z= 0 =
0
3.不计垂直于中面的正应变 z ，
即不考虑板的压缩。 在物理方程中
z z x y
E
则 s z = m(s x + s y )，因为是薄板所以仍忽略的 z 大小，
但建立边界平衡时, 要考虑 z 的大小。
yz平面
xz平面
小挠度薄板弯曲理论是以下 面的三个假设为基础的：
1. Kirchihoff直法线假设：
变形前与中面垂直的直线段，变形后仍保持直线段 并与中面垂直。 由此假设可知：在yz,xz平面内无角变形，即不考的 竖向平面内的剪切变形。 所以有
γyz = 0
γxz = 0
因为 由几何方程得
u z
现在将q 展开成与上式左边相同的形式，即
q Cmn sin
m 1 n 1
m x a
sin
n y b
(c )
(c)两边同乘以 sin
ix a
2 1
E
2
下面来推导用w 表示的σz 的表达式，如果体力分量 fz=0
可得下面平衡方程式： xz z
z x
yz y
和上面的推导方法相同，利用边界条件 可得
z z h
2
0
σz 的表达式
z
E 2 1 Eh
2
3 h2 h 1 3 h 4 w z z 2 3 8 4 2
Mx
2
x
2
2
M xy
2
xy
My
2
y
2
q
把弯矩和扭矩的表达式代入得
D w q
2 2
上式就是用第二种方法推得的薄板弯曲微分方程或挠度方 程。
8.4
基本方程
薄板弯曲问题的边界条件
D
2
w q 为四阶偏微分方程
2
矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
如右图所示边界条件：
自由边：
x a : M x 0, Vx Qx y b : M y 0, V y Q y M xy y M yx x 0 0
8.5
薄板弯曲问题解例
本节首先通过介绍简支矩形薄板的纳维解法，来 理解一下求解薄板弯曲问题的思路。 四边简支的矩形薄板，当无支座沉陷时，边界条件如下：
z 4 1 z 1 w 6 1 2 h h
3
现在导出用w 表示的平衡微分方程,在薄板的上面
有边界条件
z z h
2
q
其中q 是薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力 及横向体力。将σz 的表达式代入上述边界条件可得
2 2
Mx D My D
s
y
=
t
M xy
xy
1+ m D
以上的内力，都是作用在薄板每单位宽度上的内 力,因此弯矩和扭矩的量纲都是[力] ，横向剪力 的量纲是 力长度－1 。在薄板弯曲问题中，一定 荷载所引起的弯曲应力 σx σy 和剪应力 xy 在 τ 数值上最大,因而是主要应力；横向应力τxz ,τyz 在数值上较小，是次要应力；厚向应力 σz 在数 值上更小，是更次要的应力。
4 2
2
w
4 (z 2
s
y
= -
Ez 1- m
2
(
抖w 抖 y
2 2
w
2
) t
x
zx
=
h
2
w h
3
4 (z z h h 2 )-
t
xy
= -
Ez
¶ w
1+ m 抖 y x
s
z
=
2(1- m ) Eh
4
3
2
(z -
3
)]
4
w
4 [ 1 2
8 w
= -
] [1 +
6(1- m) 2
弹性曲面平衡微分方程
D w q
My
M xy M yx - D 1-
w
2
xy
D 1- xy
应力与广义应变（广义应力）的关系
sx= Ez 1- m Ez 1- m = Ez 1+ m
2 2
(κ x + mκ y ) = (κ y + mκ x ) = κ xy = Ez
Ez 1- m Ez 1- m
zx z
将上式对
x x
z
积分后,利用薄板在下面和上面的边界条件
zx z h
2
0, zy
z
h 2
0
可得以下表达式
zx zy
2 1
E
2
2 h2 2 z w 4 x 2 h2 2 z w 4 y
u= -
抖 w 抖 x
O
Z
A
M
x
w = w(x,y)
A’
M’
Z
θ
u
z
u= -
¶w ¶x
z
几何方程:
Qu = 抖 w 抖 x z, v= w y z, w = w( x, y )
由几何方程
ij
1 2
(u i ,
j
u j, i )
得用w 表示的应变分量表达式:
ex = 抖w 抖 x
2 2 2
因为不计
z 引起的变形，所以本构方程为
1 E 1 E
x y xy
x
y x
y
21 E
xy
该薄板的本构方程与平面应力问题的本构方程相同。 所以小挠度薄板弯曲的问题属于弹性力学平面问题
8.2弹性曲面的基本微分方程
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的， 即取挠度w(x,y)为基本未知函数。因此，要 用w (x,y)来表示其他物理量，来建立所谓的 弹性曲面微分方程。
zx 0
u z
w x ,
yz 0
0 w y
w y
w x
v z
0
从而有
v z
(1)
由物理方程 zx
2 1 E
zx
yz
2 1 E
yz
但容许 zx 和 yz 不等于零，以满足平衡方程的需要。
内力的平衡
如右图所示,由于 在六个平衡方程
S Fx = 0 S Fy = 0 S MZ = 0
M xy Qy M yx
Qx
dx
My
Mx+
M xy +
x
¶Mx ¶x ¶ M xy
¶x
dx
dx