相交线与平行线4——同位角、内错角、同旁内角
相交线与平行线知识概念
相交线与平行线知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
人教版七年级下册第五章5.1.3同位角、内错角、同旁内角
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
学习目标
1、理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并学会结合图形 来分辨同位角、内错角、同旁内角； 2、掌握同位角、内错角、同旁内角的相关应用，体会角之间的相互 关系； 3、从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简，化难为易 的化归思想；
如图所示，简记为：三线八角 E
B 被截线 D
A C
F 截线
合作探究
观察∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同侧（右侧） ②在直线AB、CD的同一方（上方） 同位角
E
21
B
A
34
65
C
78 D
1 5
F
思考：图中的同位角还有哪些？
∠2和∠6； ∠3和∠7； ∠4和∠8
合作探究
观察∠3与∠5的位置关系：
1 4
23 F C
当堂检测：
（2）如果把图看成是直线CD，EF被直线AB所截，那么∠1与∠5是一
对什么角？ (同旁内角)
DA
∠4与∠5呢？ (内错角)
1 4
5
E
23 F
B
C
当堂检测：
（3）哪两条直线被哪一条直线所截，∠2与∠5是同位角？
直线AB和CD被直线EF所截
DA
1 4
5
E B
23 F C
练习：
与与截截线线的关 系的关系
截线的同侧
截线的两侧
与被截直 线的关系
被截直线的 同一方向
被截直线之间
图形结
构特征
A 形如字母“F”
E 21
B
34 65
C 形如字母“Z”
7 8D F
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念（“三线八角”模型）如图1，直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.特别提醒：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.特别提醒：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别提醒：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【考点目录】【考点1】“三线八角”模型的认识；【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【考点1】“三线八角”模型的认识；【例1】（1）图1中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】（1）EF，CD；AB；（2）不是．【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；（2）根据三线八角的定义求解即可；解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．【变式1】如图，下列说法正确的是（）A．∠2与∠3是同旁内角B．∠1与∠2是同位角C．∠1与∠3是同位角D．∠1与∠2是内错角【答案】A【分析】根据同旁内角定义可判断A、根据同位角定义可判断B、根据内错角的定义可判断C、D即可．解：A、由图与同旁内角定义，∠2和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线内部的角可知：∠2和∠3是同旁内角，故选项A正确符合题意；B、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角，不是同位角，故选项B不正确不符合题意；C、∠1和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线内部的角是内错角，不是同位角，故选项C不符合题意；D、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角不是内错角，故选项D不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了同旁内角、同位角、内错角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键．【变式2】如图，有下列说法：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个；②能与BFE ∠构成同位角的角的个数有2个；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是．【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．解：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个，即EFA Ð和EDC ∠，故正确；②能与EFB ∠构成同位角的角的个数只有1个：即FAE ∠，故错误；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有5个：即CDE ∠，B ∠，CED ∠，CEF ∠，A ∠，故错误；所以结论正确的是①．故答案为：①．【点拨】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【例2】两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】（1）见分析；（2）36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．【变式1】下列四幅图中，1∠和2∠是同位角的是几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据同位角的定义（截线的同一侧，被截线的同一方位）解决此题．解：根据同位角的定义，第一张图和第四张图中的∠1和∠2是同位角．故选：B．【点拨】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．【变式2】如图，直线a，b被直线c所截，145∠=︒，2110∠=︒，则1∠的同位角的度数是；4∠的内错角的度数是；3∠的同旁内角的度数是．【答案】70︒/70度45︒/45度70︒/70度【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的概念以及邻补角求解即可．解：∵24180∠+∠=︒，2110∠=︒，∴470∠=︒，∵1∠和4∠是一组同位角，∴1∠的同位角的度数是70︒；∵145∠=︒，∴31801135∠=︒-∠=︒，∴4∠的内错角的度数是180318013545︒-∠=︒-︒=︒；3∠的同旁内角4∠的度数是70︒．故答案为：70︒；45︒；70︒．【点拨】此题考查了邻补角，同位角，内错角和同旁内角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【例3】如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，∠CHG =∠DHG =34∠AGE ．（1）CD 与EF 有怎样的位置关系？请说明理由．（2）求∠CHG 的同位角、内错角、同旁内角的度数．【答案】（1）CD ⊥EF ；（2）∠CHG 的同位角∠AGE =120°，内错角∠BGF =∠AGE =120°，同旁内角∠AGF =60°【分析】（1）先由∠CHG +∠DHG =180°及∠CHG =∠DHG ，可得∠CHG =∠DHG =90°，再根据垂直的定义得到CD 与EF 互相垂直；（2）先由∠CHG =∠DHG =34∠AGE ，可得∠AGE =120°，再根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求解．解：（1）CD ⊥EF ．理由如下：因为CD是直线，所以∠CHG+∠DHG=180°，又∠CHG=∠DHG，所以∠CHG=∠DHG=90°，所以CD⊥EF．（2）由（1）知∠CHG=∠DHG=90°，因为∠CHG=∠DHG=34∠AGE，所以∠AGE=120°，所以∠CHG的同位角∠AGE=120°，内错角∠BGF=∠AGE=120°，同旁内角∠AGF=180°-∠AGE=60°．【点拨】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．【变式1】如图，下列判断正确的是（）A．有2对同位角，2对内错角，2对同旁内角B．有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角C．有4对同位角，2对内错角，4对同旁内角D．以上判断均不正确【答案】B【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．解：观察图形可知，有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角．故选B．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复，不要遗漏．【变式2】如图两条直线被第三条直线所截，2∠是3∠的同旁内角，1∠是3∠的内错角，若243∠=∠，321∠=∠，则1∠的度数是．【答案】20︒/20度【分析】设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，根据邻补角互补可得方程，求解即可．解：如图，设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴8180x x ︒+︒=︒，解得：20x =，∴120∠=︒．故答案为：20︒．【点拨】本题考查了内错角、同旁内角、邻补角互补、角的计算，解本题的关键是掌握内错角的边构成“Z ”形，同旁内角的边构成“U ”。
同位角内错角同旁内角的概念区别和联系
同位角内错角同旁内角的概念区别和联系1. 引言概述：同位角内错角和同旁内角是平面几何中的重要概念，它们在解决角度关系问题时起着关键作用。
同位角内错角指的是处于平行线之间，同旁内角则是指两条穿过平行线的直线所形成的内部角。
本文将详细介绍同位角内错角和同旁内角的定义、性质以及它们之间的联系和区别。
文章结构：本文主要包括以下几个部分：引言、同位角的概念、内错角的概念、同旁内角的概念及关系以及总结与展望。
首先，我们将对同位角和内错角进行定义并介绍它们的特点和性质。
接下来，我们将探讨同旁内角的定义，并研究不同情况下同旁内角之间的关系。
最后，我们将总结所发现的重点，并展望未来可能的研究方向。
目的：本文旨在全面阐述同位角内错角和同旁内角这两个重要概念，并探索它们之间的区别和联系。
通过深入剖析其定义与性质以及实际应用示例，读者能够更好地理解这些概念在解决角度问题时的应用。
同时，本文也希望能够为未来相关研究提供一定的启示和方向。
致力于大纲中所给目录，本文将首先概述同位角内错角和同旁内角的整体框架，并明确文章结构。
接下来，我们将详细介绍同位角的定义与特点、性质以及举例说明。
然后，我们将深入探讨内错角的定义、性质和实际应用示例。
之后，我们将专注于同旁内角的定义并研究它们之间的关系。
最后，我们将总结所得，并对未来可能的研究方向进行展望。
通过阅读本文，读者将能够对同位角内错角和同旁内角有一个全面而清晰的认识，并能够准确理解它们在平面几何中的重要作用。
2. 同位角的概念:2.1 定义与特点:同位角是指两条平行线被一条截线所交，所形成的内角对。
这两个内角分别位于截线的同一侧，并且它们互为补角。
换句话说，同位角的和等于180度。
同位角具有以下特点：- 同位角都是内角，在两条平行线之间。
- 同位角相互补充，即一个角加上另一个角等于180度。
- 若直线与多组平行线相交，则同位角可以有多对。
2.2 同位角的性质:同位角满足以下性质：- 垂直定理: 若两条直线被一条截线所交，并且其中两个同位角是垂直的（即互为90度），则这两条直线必定是垂直的。
人教版七年级数学下册第五单元相交线与平行线第4课同位角内错角同旁内角
；
(3)同旁内角有 ∠4和∠5，∠3和∠6
.
2. (例1)如图，a，b被c所截. (1)与∠1是同位角的是___∠__5___； (2)与∠1是内错角的是___∠__2___； (3)与∠1是同旁内角的是__∠__4____.
3.如图： (1)∠1和∠D是___内__错___角； (2)∠2和∠C是___同__位___角； (3)∠C和∠BAC是_同__旁__内___角.
4. 如图： (1)∠1的同位角是__∠__A____； (2)∠1的内错角是__∠__C____； (3)∠D的同旁内角有∠__A__、__∠__C.
5. (例2)在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是( D )
6. 如图，∠1与∠2不是同位角的是( B )
7. (例3)如图： (1)∠1和∠B是___同__位___角； (2)∠2和∠3是___内__错___角； (3)∠1和∠2是___邻__补___角； (4)∠3的同位角有_∠__A_F__D_，__∠__C_.
三线八角
三种角 内错角
同旁内角
定义 位于直线a，b的 内部，被截线c错 开的两个角．
位于直线a，b的 内部，在截线c同 旁的两个角
举例
形状
∠ ∠34和 和______∠∠____65__；
“Z”字 形
∠ ∠34和 和______∠____5__；
“U”字 形
∠6
同位角
位于直线a，b的 同一方，截线c的 同侧的两个角
15. 如图，∠1和∠2，∠3和∠4分别是由哪两条直线被哪 一条直线所截而成的？它们各是什么角？
解：∠1和∠2是由直线AB，CD被直 线BC所截而成的，是同位角； ∠3和∠4是由直线AB，BC被直线AC 所截而成的，是同旁内角．
《同位角、内错角、同旁内角》的说课稿
《同位角、内错角、同旁内角》的说课稿一、教材分析1、《同位角、内错角、同旁内角》是人教版新课标实验教材初中数学七年级下学期第五章《相交线与平行线》的第一节第三课时内容。
2、地位和作用由于角的形成与两条直线的相互位置有关，学生已有的概念是两相交直线所形成的有公共顶点的角（邻补角、对顶角等）即两线四角，在此基础上引出了这节课：两直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的八个角的位置关系——同位角、内错角、同旁内角。
研究这些角的关系主要是为了学习平行线做准备，同位角、内错角、同旁内角的判定恰恰是后面顺利地学习平行线的性质与判定的基础和关键。
这一节内容起到了承上启下的作用：两线四角承上三线八角启下平行线的判定和性质。
二、教学目标设计由于本节课只有一课时，主要让学生理解同位角、内错角、同旁内角的概念，明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件。
所以，教学目标体现在：（一）1、明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角。
3、通过变式或复杂图形找出同位角、内错角、同旁内角，培养学生的识图能力。
让学生找到在千变万化的图形中的不变之处，能够抓住概念的重点。
（二）1、从复杂图形分解为基本图形过程中，渗透化繁为简，化难为易的化归思想，从图形变化过程中，使学生认识几何图形的位置美。
2、通过观察，探究“三线八角”的过程培养学生的观察、抽象能力；发展图形观念，积极参与数学活动与他人合作交流的意识。
三、教学重点及难点：（一）重点：根据图形识别哪两条直线被哪条直线所截构成的同位角、内错角、同旁内角。
（二）难点：在复杂图形中辨别同位角、内错角、同旁内角。
（三）教学疑点及解决办法：正确理解新概念，引导学生讨论、归纳三类角的特征，并以练习加以巩固。
四、教法、学法（一）教法：教学有法，但无定法，一节课中不能是单一的教法，在这节课中我主要采用的教法有：观察法、讲授法、启发教学法等。
七年级数学(下)第五章《相交线与平行线——同位角、内错角、同旁内角》练习题含答案
七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——同位角、内错角、同旁内角》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，以下说法正确的是A．∠1和∠2是内错角B．∠2和∠3是同位角C．∠1和∠3是内错角D．∠2和∠4是同旁内角【答案】C【解析】观察图形可得，∠1和∠2是同位角、∠2和∠3是对顶角、∠1和∠3是内错角、∠2和∠4是邻补角，所以正确的答案为C，故选C．2．如图，下列说法错误的是A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角【答案】D3．如图所示，∠1与∠2不是同位角的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；B中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意；C中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；D中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意.故选B．4．如图，属于内错角的是A．∠1和∠2 B．∠2和∠3C．∠1和∠4 D．∠3和∠4【答案】D5．∠1与∠2是直线a，b被直线c所截得的同位角，∠1与∠2的大小关系是A．∠1=∠2 B．∠1>∠2C．∠1<∠2 D．无法确定【答案】D【解析】因为不知道直线a、b之间的位置关系，所以∠1与∠2的大小关系无法确定．故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．如图，如果∠2=100°，那么∠1的同位角等于__________，∠1的内错角等于__________，∠1的同旁内角等于__________.【答案】80°，80°，100°7．如图，∠ABC 与__________是同位角；∠ADB 与__________是内错角；∠ABC 与__________是同旁内角．【答案】∠EAD ，∠DBC 和∠EAD ，∠DAB 和∠BCD 【解析】根据同位角，内错角和同旁内角的概念进行判断， （1）ABC ∠与EAD ∠是同位角；（2）ADB ∠与DBC EAD ∠∠，是内错角； （3）ABC ∠与DAB BCD ∠∠，是同旁内角.故答案为：∠EAD ，∠DBC 和∠EAD ，∠DAB 和∠BCD ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．如图，∠A 与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？【解析】根据内错角的边构成“Z ”形，同旁内角的边构成“U ”形进行分析即可．A ∠与ACD ∠是内错角，它是直线AB ，DE 被直线AC 所截形成的； A ∠与ACB ∠是同旁内角，它是直线AB ，BC 被直线AC 所截形成的； A ∠与ACE ∠是同旁内角，它是直线AB ，CD 被直线AC 所截形成的；A∠是同旁内角，它是直线BC，AC被直线AB所截形成的．∠与B9．如图：（1）找出直线DC，AC被直线BE所截形成的同旁内角；（2）指出∠DEF与∠CFE是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角；（3）试找出图中与∠DAC是同位角的所有角．10．如图所示，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由.【解析】∠1=∠2，与∠1互补的角有∠3和∠4.理由：因为∠1=∠5，∠5=∠2，所以∠1=∠2.因为∠1=∠5，且∠5与∠3和∠4互补，所以与∠1互补的角有∠3和∠4.。
平行线同位角,内错角,同旁内角的定义
平行线同位角,内错角,同旁内角的定义平行线是指在同一平面中没有交点且方向相同的两条直线。
在平行线的研究中，我们经常提到三个重要的概念，分别是平行线同位角，内错角和同旁内角。
这些概念在几何学中非常重要，对于理解各种几何定理及其应用也至关重要。
一、平行线同位角的定义：平行线同位角指的是在同一侧交平行线所得到的对应角。
例如，已知两条平行线l1和l2，其被交于点A和点B，那么∠1和∠2，∠3和∠4就是平行线同位角。
它们所对的直线是平行的。
因此，在平行线构成的图形中，如果我们知道其中一个平行线同位角的大小，就能够根据其它角的对应关系得出它们的大小。
二、内错角的定义：内错角指的是两条相交直线间，一条线上的一组对角线与另一条线上的一组对角线形成的角。
例如，对于被交于点O的两条直线l1和l2，它们所包含的4个角中，∠AOC和∠BOD就是内错角。
因为在正常情况下，如ABCD的四边形中，内错角的大小恒为180度，所以内错角也被称为互补角。
三、同旁内角的定义：同旁内角指的是一个多边形的任意两个相邻内角。
例如，对于下图中的多边形，∠DAB和∠ABC就是同旁内角。
因为它们都在角A的同一侧，而且是相邻的两个内角。
通过上述三个几何概念的介绍，我们可以得出以下几个结论：1、平行线同位角相等。
在平行线构成的图形中，如果两个角是同位角（对应的），它们一定是相等的。
2、内错角互补。
在直线交角构成的图形中，如果两个角是内错角（对着交点而言），它们的和等于180度。
3、同旁内角补角相等。
在多边形构成的图形中，如果两个角是同旁内角（在同一侧），它们的补角相等。
最后，需要指出的是，几何学中的平行线同位角、内错角和同旁内角概念虽然简单易懂，但其对于推导和证明各种定理具有重要的作用。
通过这些概念，我们能更加深入地理解几何形体的性质，从而应用它们来解决各种几何问题。
《相交线与平行线同位角、内错角、同旁内角》
04
05
如果两条相交直线互相垂直， 则它们所成的四个角都是直
角。
平行线定义及性质
01
定义：在同一平面内， 两条永不相交的直线叫 做平行线。
02
性质：平行线具有以下 性质
03
平行线之间的距离是恒 定的，即两平行线间的 任意两点间的距离都相 等。
04
平行线被第三条直线所 截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
《相交线与平行线同位角、 内错角、同旁内角》
contents
目录
• 引言 • 相交线与平行线基本概念 • 同位角、内错角、同旁内角概念解析 • 图形中的特殊角度关系探讨 • 典型例题解析与思路拓展 • 练习题与答案解析
01 引言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目的和背景
探究相交线和平行线 的性质
掌握相关定理和性质， 为解决几何问题提供 工具
练习题
两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分 线____。
练习题
已知直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=70°，则∠2=____°。
THANKS
感谢观看
研究同旁内角的关系。当两条平行线被 一条横线所截时，同旁内角的和等于 180°，这也是一个重要的定理。
通过以上的学习和拓展，我们可以进一 步探索平行线和相交线的其他性质和应 用，例如平行线的判定、相交线的角平 分线等。同时，也可以将这些知识应用 到实际生活中，例如在建筑设计、工程 测量等领域中利用平行线和相交线的性 质进行绘图和计算。
04
内错角
两条直线被第三条直线所截，位于这 两条直线之间且分别在第三条直线的 两侧的两个内角称为内错角。
02 相交线与平行线 基本概念
《相交线与平行线——同位角、内错角、同旁内角》数学教学PPT课件(3篇)
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
课堂巩固
2.如图，∠3和∠9是直线_A__D_、_B__D_被直线_A__C_所 截而成的_同_位__角；∠6和∠9是直线_B_C__、_A_C__被直 线_B_D__所截而成的_同__位_角．
课堂巩固
3.如图，直线a，b被直线c所截，与的位置关系是（ B ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角
图一
图二
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：识别同位角
活动1Biblioteka 同位角（1）如图，∠1和∠5，分别在直线AB、CD的
，在直
线EF的 .具有这种位置关系关系的一对角叫做同位角.
具有这种位置关系关系的一对角叫做同位角.
（2）找出图中还有哪几对角构成同位角？
同位角特征：两直线同旁，截线同侧，形如字母F或倒置
一条直线和两条直线分别相交能形成多少个角？这些角的 相对位置如何？
E
A
12
34
56
C
87
F
新知探究
1 直线AB和直线CD被直线EF所截， 形成几个角？
B 三线八角
➢ 截线：直线EF
D
➢ 被截线：直线AB和直线CD
2 ∠2和∠6是不是对顶角或邻补角？
不是
E
A
12
34
56
C
87
F
认识同位角
3 观察∠2和∠6
基本图形
图形结构特征
形如字母“F” 或“F”倒置 形如字母“Z” 或“Z”反置
形如字母“U”
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点突破
确定两个角的位置关系的有效方法——描图法： ①把两个角在图中“描画”出来； ②找到两个角的公共直线； ③观察所描的角，判断所属“字母”类型。
《同位角、内错角、同旁内角》相交线与平行线
同旁内角
两个角都在截线c的同一 侧，这样的两个角称为同 旁内角。
同位角、内错角、同旁内角在几何图形中的应用
在几何图形中，同位角、内错角和同旁内角是解决角度问题的关键。对于平行线和相交线 的证明和求解中，它们起到了至关重要的作用。
在平行线的证明中，常常需要利用同位角、内错角和同旁内角的关系来证明两条直线是否 平行。
计算
在计算两条直线的夹角时，通常我 们会使用三角函数或勾股定理来求 解。
两条直线的夹角与同位角、内错角、同旁内角的关系
01
02
03
同位角
如果两条直线平行，那么 它们所成的同位角是相等 的。
内错角
如果两条直线相交，那么 它们所成的内错角是互补 的。
同旁内角
如果两条直线相交，那么 它们所成的同旁内应用问题1
在城市规划中，两条街道平行，现要在街道之间修建一条人行道，使得人行道两侧的同位角相等。请根据此要 求设计一个方案，并解释其中的数学原理。
实际应用问题2
在一个矩形花园中，有两条平行的篱笆墙。现在要在篱笆墙之间栽种一排树，使得每两棵树之间的同位角相等 。如何设计这个方案？
利用平行线与相交线的性质解决实际问题
平行线的性质
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内 角互补。这些性质在证明角相等、平行线判定等方面有重要应用。
相交线的性质
两条直线相交，对顶角相等；两条直线相交，邻补角互补。这些性质在证明 角相等、垂直等方面有重要应用。
平行线与相交线在几何图形中的应用
判定2
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么 这两条直线也互相垂直。
符号语言
$\because$ $\perp l_{3}$，$\therefore$ $l_{1}\bot l_{2}$。
《同位角、内错角、同旁内角》相交线与平行线PPT课件
E
1
2
B
A
34
3
65
6
C
7 8D
F
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角。
图中的∠1与∠2是否都是同旁内角？
在形如“U”的图形中有同旁内角。
同位角、内错角和同旁内角的结构特征：
l3
21 34
65 78
l1
l2
同位角 内错角 同旁内角
截线
同旁 两旁 同旁
被截线
同侧 之间 之间
结构特征
F Z U
识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角。
同旁内角 被截直线之间
截线的同旁
知识Biblioteka 同位角、内错角、同旁内角的定义
考点
判定同位角、内错角、同旁内角
再见
（2）∠2和 ∠3是直线__A_D____与直线___B__C___被直线___B__D___所截形 成的__内__错__角___。
A
1 2
B
D
(1)
3
4
C
（2）
4 1
3 2
同位角、内错角、同旁内角的特点：
与被截直线的关系
与截线的关系
同位角 被截直线的同一方向 截线的同旁
内错角 被截直线之间
截线的两旁
E
1
2
B
A
34
65
C
78 D
3 7
4
F
8
图形特征：在形如“F”的图形中有同位角。
2 6
图中的∠1与∠2是否都是同位角？
1 2
(1)
2
1
(2)
(3)
在形如字母“F”的图形中有同位角。
2
(4)
平行线的判定--同位角、内错角、同旁内角
5.2.2(1)平行线的判定--同位角、内错角、同旁内角一．【知识要点】1.两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做领补角。
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。
其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
二．【经典例题】1．如图，由∠1=∠5，可以得出____∥______，理由是_______________________________；由∠2=∠6，可以得出______∥______，理由是__________________________；由∠1+∠2+∠3+∠4=180°，可以得出______∥______，理由是____________________．2．如图，已知：∠1=120°，∠C=60°。
说明AB∥CD的理由。
3.如图所示，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射，∠1=∠2，∠3=∠4，请你解释为什么开始进入潜望镜的光线AB和最后离开潜望镜的光线CD是平行的．三．【题库】【A】1.如图，若∠1与∠2互为补角，∠2与∠3互为补角，则一定有（）A. ɑ∥bB.c∥dC. ɑ∥cD.b∥d2.如图，已知：∠1=∠2，那么下列结论正确的是（）A．∠C=∠D B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3=∠43.如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°【B】【C】【D】。
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学习目标
1.知道三线八角的含义。
2.理解同位角、内错角、同旁内角的含 义。并能正确判断两个角的位置关系。 3.能说出两个同位角、内错角、同旁内 角是由那两条直线被那条直线截得。
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
复习：1.平面上两条直线有哪两种位置关系? （平行和相交） 2.两条直线相交有几个角? （4个） 3.两条直线被第三条直线所截呢？ （8个） 4.你能找出这8个角的
4
5 3 5
A C
7
8
D
∠4和∠6
F
观察
问题3：观察∠4与∠5的位置关系 ①在直线AB、CD的内侧
同旁内角：
E
2
②在直线EF的同侧
1
3 4
B
4
A657 85CD ∠3和∠6
F
如图：直线a、b被直线 l 截的8个角中
同位角：∠1与∠5；
l
1
a
2
4
5 b 6 7
3
∠2与∠6； ∠4与∠8； ∠3与∠7.
B
6
7
5
8
D F
观察
问题：1、观察∠1与∠5的位置关系
同位角：
E
2 1 3 6
①在直线EF的同侧
②在直线AB、CD的同方向
B
1
A
C
4
5 7 8 5
D
F ∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
观察
问题：2、观察∠3与∠5的位置关系
①在直线AB、CD的内侧 内错角： ②在直线EF的两侧
E
2 1 3 6
B
关系吗？ ∠1与∠3，∠2与∠4， ∠5与∠7，∠6与∠8 分别是对顶角。
l3
2 1 4 5
3 6 7
8
l1
l2
5.这些角还有其它的关系吗
观察
如图：1、怎样描述这三条直线 的位置关系？ 直线AB、CD被EF所截
截线 1
4
2、在两个 E 交点处形成 2 几个角？这 A 3 些角有哪些 与我们学过 的有关？ 被截直线 C
小 结
1、这节课研究的是两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点 处的两个角之间的位置关系，即同位角、内错角、同旁内角。
2、同位角、内错角、同旁内角的特点：
与被截直线的关系
同位角 内错角 同旁内角
与截线的关系
被截直线的同一方向 被截直线之间 被截直线之间
截线的同旁 截线的两旁 截线的同旁
4 3 7 8
1 2 5 6
如图：两只手的食子和拇 指在同一平面内，它们构 成的一对角可以看成是什 么角?类似地，你还能用 两只手的手指构成同位角 和同旁内角吗?
例2
如图：直线DE交∠ABC的边BA于 点 F. 如果内错角∠1与∠2相等，那么你 能找出图中其它相等的角吗？请说明理 同位角∠1与∠4相等 由。 有互补的角吗？
2
B
2
2
C
课内练习
1.（１）如果把图看成是直线ＡＢ，ＥＦ被 直线ＣＤ所截，那么∠１与∠２是一对什 么角？∠３与∠４呢？∠２与∠４呢？
A １ ４ E ５ ２ ３ F
∠１与∠２是一对同位角,
∠３与∠４是一对内错角, ∠２与∠４是一对同旁内角.
D
（2）如果把图看成是直线 CＤ，ＥＦ被直线ＡＢ所截， B C 那么∠１与∠５是一对什么 角？∠4与∠5呢？ (3) 哪两条直线被哪一条直线 ∠１与∠５是一对同旁内角, 所截, ∠ 2与∠ 5是同位角
E
D C
Q
B A F
2.看图填空： （1）若ED，BF被AB所截， 则∠ 1与 ∠2 是同位角；
B E 1 3 2
A
D 4 F C
（2）若ED，BC被AF所截， 则∠3与 ∠4 是内错角；
（3）∠1与∠3是AB和AF被 ED 所截 构成的 内错 角； （4）∠2 与∠4是 AB 和 AF BC所截构成的 同位 角。 被
AD BC BD （2） 2和 3是直线_____与直线____被直线______所截形成 内错角 的_________。 A D
4 41 4 1 4(1) 14 1 B 1 A
3 3 （2） 3 3 3
4
4
A 1 1 1 B 2 2 2 C 2 3 31 4 4 3
D 1 4 3
C
D
3
2
2
2
内错角：∠3与∠5；
∠4与∠6.
8
同旁内角： ∠4与∠5； ∠3与∠6.
课堂练习
1 2 （1）
同位角
识别哪些角是同位角、内错角、 同旁内角。
1 1 （4）
同位角
2 1
2 （5）
1 （2）
同位角
2
2 （3）
同位角
b
a
1
1 (6)
同位角
1 2 (8)
内错角
2 c
2 (7)
1 2 (9)
1 2 (10)
∠4与∠5是一对内错角.
直线ＡＢ，CD被直线EF所截
课内练习
P D 5
l
A 4 2 3
3..燕子风筝的骨架如图 所示，它是以直线 l 为 对称轴的轴对称图形。 已知∠1＝∠4＝45O问 ∠2为多少度? ∠5呢?你 还能说出哪些角的度数? 4.找出图中所有的同位 角、内错角、同旁内角.
E
1 C B
6 F
同旁内角∠1与∠3互补
B D F A 4
2
1
E
3
C
2、下列各图中 1 与 2 哪些是同位角？哪些不是？ 1 1
2
( ) （ 1
2
）
1 2
（ ）
2
（ ）
课堂练习： AB BD CD 1、如图，（1）1和 4是直线_____与直线____被直线______ 内错角 所截形成的__________。
同旁内角
例1 如图，直线DE截AB,AC,构成8个角。指出
所有的同位角、内错角和同旁内角。 1.若DE，AB被AC所截呢？
2.若DE，AC被AB所截呢？
关键：要先分 清哪两条直线 被哪一条直线 所截
D
2 3 4 1
A
5 6
8 7
E C
B
请用三根竹条或小木棍 制作一个如图的风筝骨架。 把它画成几何图形，并用适 当的方法表示图中的角，然 后分别指出其中所有的对顶 角、同位角、内错角和同旁 内角。