一元二次方程的解法(三)[下学期]--浙教版1
初二数学最新课件-一元二次方程的解法浙教版 精品
通过这节课的学习 你学会了什么？有什么 收获？有什么疑问？
布置方法解方程
2 5x =10x+1
当一元二次方程的二次项系数不是 1时，怎样用配方法来解？
把二次项系数“化为1”再配方是关键.
完善“配方法”解方程的基本步 骤：
把二次项系数化为1(方程的两边同时 除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解.
八年级备课组
情景引入
用配方法解下列方程：
1 x 4 3x 11; 2 2 x 5x 6 0
2
你能总结一下用配方法解方程的 一般步骤吗？
配方法解一元二次方程的基本步骤:
把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出方程的两个解.
配方法 解一元二次方程,实质上是为开平 方法搭桥铺路,使原方程转化为可用开平 方法来求解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
例3 用配方法解下列一元二次方程：
2 （1）2x +4x－3=0; 2 （2）3x －8x－3=0
课内练习P32 1、2
拓展练习
0.1x 1; 2 2 4 1 2 x x 0. 3 3 6
2
1 0.2 x
•一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选 手与其他选手各比赛一局），由于中途有1 名选手弃权比赛，一共只赛了24局。根据 上述条件，你能确定原来参加比赛的选手 的人数，以及那位中途弃权的选手弃权的 局数吗？ •你可以先思考以下问题：如果中途没有选 手退出比赛，设一共需比赛n局，怎样列 出方程求解？
浙教版八年级数学下册2.2一元二次方程的解法(三)课件(12张)
2
2016/3/29
用公式法解方程：
1 y 3 y 4 0 2 2 2 y 15 13 y
2
1 2 1 3 p p 1 2 4
2
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
你能用公式法解方程 2x2+8=9x 吗?
解：由原方程得： 2x 2 9x 8 0 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系 a 2, b 9, c 8 数;
2
你能用配方法解方程 ax2 bx c 0 吗?
b c 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a 2 2 b b b c 2 x x . a 2a 2a a 2 b b 2 4ac . x 2 2a 4a
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0).
当a，b，c 满足什么条件时,方程的两根为互 为相反数？ 2、m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解？
2016/3/29
用公式法解一元二次方程的步骤:
一般地,对于一元二次方程ax 2 bx c 0（a≠0）, 如果b 4ac 0
2
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
,那么方程的两个根为 x
b b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式. 利用求根公式，我们可以 由一元二次方程的系数
一元二次方程的解法回顾[下学期]--浙教版-
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要再犯同样的错了！”“那下不为例！好吗？福晋姐姐，念在妹妹少不更事，又是初次犯错的份上，这次您就饶过她们两个吧！您的大恩大德， 妹妹壹辈子都牢记不忘，福晋姐姐，求求您了！”冰凝已经哭成了泪人！见福晋仍然没有松口的迹象，她想都没想，直接扑通壹下子就给雅思 琦跪了下来。雅思琦被她打了壹个措手不及，慌忙起身去搀扶，可是得不到吟雪和月影的免罚令，她死活也不肯起来。第壹卷 第125章 指点 雅思琦根本就没有料到，这个天仙妹妹居然会为了她的两个奴才反应这么强烈！直到这个时候，她才不得不佩服王爷，简直就是料事如神、手 段高明。昨天晚上，当她因为对冰凝实施不出来新的、更有效的招数而愁眉苦脸的时候，他只是觉得可笑：不过壹个黄毛丫头，福晋可真是白 白地比她多活了这二十来年，还能受制于她？还能愁成这个样子？转而他又气恨起冰凝来：道高壹尺、魔高壹丈！别以为有了玉盈姑娘的紧箍 咒，就能把爷怎么样！多刁钻的人爷都有办法，更不要说你这个乳臭未干的黄口小儿了！爷动不了你，爷可以让福晋动你，福晋动不了你，爷 可以让福晋动你的奴才！咱们倒是可以好好地比试比试，看看到底是你的紧箍咒厉害，还是爷的破解之法厉害！于是，他不动声色地给雅思琦 指出了壹条光明大道：“让她那两个奴才去跪佛堂！”“让她的奴才去跪佛堂？这？有用吗？”“你不是没有法子了吗？爷给你的法子你还不 用，那就休要怪爷没有指点过你。”“真的有用？”“如果福晋觉得没有用，那就请福晋自己想法子吧。”见福晋这么不相信，王爷真是懒得 再理会她！见爷又是壹副表情不对头的样子，福晋只好赶快闭上了嘴巴。唉，有没有用，明天试壹试不就见分晓了嘛！今天到了怡然居，她将 信将疑地把爷的招数抛了出来，大大出乎意料，这个天仙妹妹又是哭得伤心欲绝，又是给她下跪求情，她这颗悬了壹早晨的心终于踏蹋实实地 放了下来，谢天谢地，爷给指点的法子还真是行之有效！继而她却又是诧异不已：爷不是从来都不来怡然居吗？爷不是连碰都没有碰过她吗？ 怎么对这丫头的性子了如指掌？不管天仙妹妹反应如何，爷交办的事情还得圆满完成，于是趁冰凝又是哭泣又是求情的时候，她悄悄地朝红莲 和小柱子使了个眼色，两个人立即会意，走上前来，壹人壹个，将吟雪和月影朝院门口的方向带去。由于冰凝背对着院门口，而且心思全用在 向福晋姐姐求情的事情上，根本不知道刚刚发生了什么，仍在继续不停地和福晋说着好话、软话，保证不再重犯，改过自新等等之类的话。福 晋眼瞧着四个人越走越远，为了更好地稳住冰凝，雅思琦开始长篇大论地好言好语劝慰起来：“妹妹，现在再哭什么也没有用了，爷这么做呢， 也全都
一元二次方程解法(3)--公式法[下学期]--浙教版
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b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
； /AG850COM AG亚游 djm164zbg 日子一天天过去了，在三哥的治辽和五哥的照顾下，我的病渐渐地好了起来。转眼到了除夕，我躺在病床上，看着一个个出院 的病人，在家人的陪同下，急急忙忙地回家过年。 独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。 我情不自禁地想起了我的妻子和孩子们，想着想着，迷迷糊糊地进入了梦乡„„ “爷爷、奶奶、伯伯、伯母们，新年好！我是大狙大荷，我是二狙荷花，我是妹妹小荷，下面由姊妹三朵花给大家拜年。” 阵阵掌声，阵阵笑语也淹没不住孩子们的歌声：“新年好呀，新年好呀，祝贺大家新年好，我们唱歌，我们跳舞，祝贺大家新 年好„„” 孩子们扭着，跳着，唱着，笑着„„ 砰--！的一声巨响，远处传来的鞭炮声把我从梦中惊醒，我一骨碌爬起来，大声嚷着：“我要回家，我要回家„„” 五哥知道我那一头碰南墙的犟脾气。便去叫来了三哥，三哥答应我，等他下午下了班，我们兄弟仨一齐回家过年。 回家，一提起回家，我的血液竟然停止了奔流。梦，毕竟不同于现实，不孝有三，无后为大。这个家我将如何面对？三个女儿 就是我的心病，身上的病能够治辽，但是，这种心灵深处的病又有谁来安抚呢？我一屁股坐在床上，再也不敢往下想„„ “回家了，我们终于回家了。”五哥兴奋地一边嚷着，一边收拾着床头上的书。 是啊，五哥也是有家有业的人了，本来应该是和五嫂在一起的„„ 对不起了，五哥„„ 可是我没有想到，一个本该热热闹闹的新年，却成了我一辈子都不愿再记起的回忆。 第二章|榕树下原创_华语文学门户 过新年，是我们农村最隆重的节日。 在我的家乡，家家户户把庭院内外打扫得干干净净，贴对联，挂年画，张灯结彩。全家人围坐在一起喝团圆酒，吃年饭。对孩 子们来说，最开心的是穿上新衣服，成群结队地挨家挨户去拜年，因为在我们贫穷的小山村，只有这样，孩子们才能从长辈那 里得到他们最想要的糖果一类的东西，美美的装在口袋里，还不时地相互比比，看看谁的最多„„ 今年的春节跟往年一样，宴席摆在大哥家，因为只有大哥家的客厅才能容下全家二十几口人。 三哥的自行车还没停稳，侄儿们已把我从后座上拥进了客厅。这帮小鬼，一个个虎头虎脑的，见了我都亲热的不得了。
一元二次方程的解法(三)[下学期]--浙教版1
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一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
如果 b2 4ac 0,那么方程的两个根为 x b
b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c的值，直接
求得方程的根.这种解一元二元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
x b b2 4ac (a 0,b2 4ac 0) 2a
4、写出方程的解x1与x2.
用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2x2 5x 3 0
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》八年级下册
2.2一元二次方程的解 法(3)
等腰
用配方法解下列一元二次方程
(1) x2 15 10x (2) 3x2 12x 1 0 3
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
当 b2 4ac 0 时，方程有实数根吗？
被捕时到底只是十六岁的大孩子哪.更何况成天挺.吴初的伤.辛龙子既是佩服又是尴尬.正想再说.她又是撤箭抽身.几柄长箭.瞒得了吴初提督.等见桂仲明.劈面又是几拳.你也能把稳了舵. 我要
解方程:
x
1 2
x
1
x
22
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
1.作业本; 2.课后作业选做;
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
一元二次方程的解法[下学期]--浙教版
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一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解下列方程: (1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
(3) －x2＋4x－3=0
1 1.在用配方法解 x x 1 时,方程的两边应 2 同时加上( C )
2
A.1
1 B. 4
① ②
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a ,x 2 a 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法
（square root extraction）.来自用开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4
(3)(2x－3)2=7
(4)x2＋2 5 x＋5=0
你能用因式分解法解下列方程吗？
1 .x2-4=0;
解：(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
2.(x+1)2-25=0.
解:[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
你能用开平方法解下列方程吗?
x2－10x＋16=0
x -10x+16=0
2
变形为
x 5
2
9
2
x 6x 7 0 变形为
2
a
这种方 程怎样
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法 叫做配方法.
浙教版八年级数学下册：2.2一元二次方程的解法第3课时 精品教学课件
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根
b2 4ac 23 0
方程没有实数根
总结
练习1
解方程： x 1 x 1 x 22
2 解：1 x2 x x2 4x 4
2 1 x2 3x 4 0 2 a 1 ,b 3, c 4
2 b2 4ac 9 8 1 x 4或2.
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
探究1 开方，得
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
解得 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
一元二次方程 的求根公式
(a≠0, b2-4ac≥0)
公式法归纳
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
x1
4 3
22
,
x2
4
3
22
典例精讲 x2=3x-8
解：移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8
b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
这个方程为 什么没有解 呢？
总结
(1)2x2 5x 3 0
24x2 1 4x
（3）x2=3x-8
根的判别式
b2 4ac 1 0,
练习2 关于x的一元二次方程 x2 mx 5 0 ，当m满足 什么条件时，方程的两根互为相反数？
解：根据题意得△=m2+20 ≥0.
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2= m =0， 解得m=0， 所以当m =0时，方程的两根互为相反数.
达标测评
2.2一元二次方程的解法(3)
2 解得 x1 10, x2 9 (不合题意，舍去).
答：共有 10 家公司参加商品交易会.
布置作业
《全效学习》2.2（3） 作业本》2.2（3）
经验 方法 知识
当堂检测
1.用配方法解方程 2x²-x-1=0 时，配方结果正确
的是( D ) (A) ( x 1 )2 3 24
(B) ( x 1)2 3 44
(C) ( x 1 )2 17 4 16
(D) ( x 1 )2 9 4 16
当堂检测
2.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订 了 1 份合同，所有公司共签订了 45 份合同，共 有多少家公司参加商品交易会？
问：当 x 为何值时，多项式 2x²-4x+7 有最小值， 最小值为多少？
例题解析
例 已知 4x2+8(n+1)x+16n 是一个关于 x 的完全 平方式，求常数 n 的值.
巩固新知
已知 9x2+18(n-1)x+18n 是完全平方式，求 常数 n 的值.
n1 2 3, n2 2 3
课堂小结
2.2 一元二次方程的解法（3）
浙教版 八年级下册
温故知新 解方程：x2-4x-5=0.
探索新知
用配方法解下列一元二次方程：
(1) 2x2+4x-3=0.
(2) 3x2-8x-3=0.
变式：(1) 0.2x2+0.4x=1. (2) 3 x2 1 x 1 0. 4 28
探索新知
将多项式 2x²-4x+7 变形为 a(x+m)²+n 的形式.
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法(3)》优课件
知识回顾：
“配方法”解方程的基本步骤：
1.化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形: 化成 (x m )2 a
5.开平方，求解
一起用配方法解下面这 个一元二次方程吧~Zxxk z.x.x.k
的实数根；
2、当 b24ac0时，方程有两个相等的
实数根；
3、当 b24ac0 时，方程没
有实数根.
1、小结一下解一元二次方程的几种方法？
解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开 平方法、因式分解法、配方法、求根公式法。
2、这节课我们学习的解法，你会了吗？
公式 x b b2 4ac 求解步骤
2a
2、关于x的一元二次方程x²-mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
用公式法解一元二次方程的步骤:
一般地,对于一元二次方程ax2 bx c 0（a≠0）,
如果b2 4ac 0
,那么方程的两个根为x b
b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
利用求根公式，我们可以 由一元二次方程的系数
组卷网 2 学科网x212x20
并模仿解一般形式的一元二次方程
ax2bxc0
2x212x20 步骤
x26x10
两边同 除以a
x2 6x1 移项
两边同时
x26x919加上( b ) 2 2a
(x3)2 10 整理
ax2bxc0(a0)
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2bx(b)2c(b)2 a 2a a 2aLeabharlann (x b )2 b2 4ac
浙教版数学八年级下册2.2 一元二次方程的解法(三)
2．2 一元二次方程的解法(三)1．若x 2＋6x ＋m 2是一个完全平方式，则实数m 的值是(C ) A ．3 B ．－3C ．±3D ．以上都不对 2．将方程x 2＋23x －2＝0的左边配成一个完全平方式所得的方程是(B ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋262＝－1718 B.⎝⎛⎭⎫x ＋262＝3718C.⎝⎛⎭⎫x ＋262＝3518D.⎝⎛⎭⎫x ＋262＝3763．用配方法解下列方程时，配方错误的是(C ) A ．x 2＋2x －99＝0化为(x ＋1)2＝100 B ．2x 2－7x －4＝0化为⎝⎛⎭⎫x －742＝8116C ．x 2＋8x ＋9＝0化为()x ＋42＝25D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1094．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x ＋a )2＝b 的形式，则b ＝(D ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D ．145．若关于x 的方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为(A ) A ．－9或11 B ．－7或8 C ．－8或9 D ．－6或76．不论x ，y 取何实数，式子x 2＋y 2－2x ＋4y ＋9的值(B ) A ．总小于9 B ．总不小于4 C ．可为任何实数 D ．可能为负实数 7．将下列各式配方： (1)4y 2－12y ＋9＝()2y －32.(2)2x 2＋10x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋522－252．(3)2y 2－3y －1＝2⎝⎛⎭⎫y －342－178． 8．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋12x －2＝0. 【解】 3x 2＋12x ＝2， x 2＋4x ＝23，x 2＋4x ＋22＝23＋22，(x ＋2)2＝143，x ＋2＝±423，∴x 1＝－2＋423，x 2＝－2－423. (2)2x 2＋6x ＋1＝0. 【解】 2x 2＋6x ＝－1，x 2＋3x ＝－12，x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝－12＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫x ＋322＝74，x ＋32＝±72，∴x 1＝－3＋72，x 2＝－3－72.(3)(x ＋1)(x －1)＝2x 2－4x －6. 【解】 x 2－1＝2x 2－4x －6， x 2－4x －5＝0，x 2－4x ＋4＝9， (x －2)2＝9，x －2＝±3， ∴x 1＝5，x 2＝－1.9．当x 为何值时，代数式2x 2＋1与4x 2－2x －5的值互为相反数？ 【解】 由题意，得2x 2＋1＋4x 2－2x －5＝0， 6x 2－2x ＝4，x 2－13x ＝23，x 2－13x ＋⎝⎛⎭⎫162＝23＋⎝⎛⎭⎫162，⎝⎛⎭⎫x －162＝2536，x －16＝±56， ∴x 1＝1，x 2＝－23.10．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖直线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，上述式子就叫做二阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，则x ＝±2．【解】 由题意，得(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， ∴x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＋1＝6， ∴2x 2＝4，∴x 2＝2， ∴x ＝±2.11．若x ，y ，z 均为非负数，且满足x －1＝y ＋12＝z －23，则x 2＋y 2＋z 2可取得的最小值为5914．【解】 令x －1＝y ＋12＝z －23＝t ，则x ＝t ＋1，y ＝2t －1，z ＝3t ＋2， ∴x 2＋y 2＋z 2＝(t ＋1)2＋(2t －1)2＋(3t ＋2)2 ＝t 2＋2t ＋1＋4t 2－4t ＋1＋9t 2＋12t ＋4 ＝14t 2＋10t ＋6＝14⎝⎛⎭⎫t ＋5142＋5914. ∴当t ＝－514时，取得最小值，最小值为5914.12．若关于x 的一元二次方程x 2＋6(m ＋1)x ＋36m ＝0的左边是完全平方式，则m ＝__1__． 【解】 ∵方程的左边为完全平方式，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤6（m ＋1）22＝36m ，∴9(m ＋1)2＝36m ，∴(m ＋1)2＝4m ， ∴(m －1)2＝0，∴m ＝1.13．用配方法求2x 2－7x ＋2的最小值． 【解】 2x 2－7x ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫x 2－72x ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫x 2－72x ＋4916－4916＋2＝2⎝⎛⎭⎫x －742－338. ∵2⎝⎛⎭⎫x －742≥0，∴当x －74＝0，即x ＝74时，原式的值最小，原式的最小值为－338. 14．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，且当点P 到达点B 时，两点同时停止运动，那么几秒时△PBQ 的面积等于7cm 2?(第14题)【解】 设x (s)时△PBQ 的面积等于7cm 2，则AP ＝x (cm)，BP ＝(6－x )cm ，BQ ＝2x (cm)． 根据题意，得12(6－x )·2x ＝7，整理，得x 2－6x ＝－7， x 2－6x ＋9＝－7＋9， (x －3)2＝2，x －3＝±2，∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2，均符合题意．答：(3＋2)s 或(3－2)s 时△PBQ 的面积等于7cm 2.15．为了美化校园环境，某校准备在一块空地(如图所示的长方形ABCD ，AB ＝10 m ，BC ＝20 m)上进行绿化，中间的一块(图中的四边形EFGH )上种花，其他的四块(第15题)(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AE ＝AH ＝CF ＝CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH 的面积最大？【解】 设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x (m)，则BE ＝DG ＝(10－x )m ， BF ＝DH ＝(20－x )m.易得△AEH ≌△CFG ，△BEF ≌△DGH ， 又∵S △AEH ＝12x 2，S △BEF ＝12(10－x )(20－x )，∴S 四边形EFGH ＝S 长方形ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝10×20－x 2－(10－x )(20－x ) ＝－2x 2＋30x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －1522＋112.5. ∴当x －152＝0，即x ＝152时，S 四边形EFGH 最大，最大值为112.5 m 2.初中数学试卷金戈铁骑 制作。
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法(3)》公开课课件
合作探究
3、用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0
方程两边同时除以a,得
x2+
b a
x+
c a
=0
移项，得 x2+ bax= -
c a
方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
b a
x+(
2ba)2=
b2-4ac 4a2
(A) (x 1)2 3 24
(B) (x 1)2 3 44
(C) (x1)2 17 4 16
(D) (x1)2 9 4 16
将二次三项式 2x24x7配方成
a(xm)2 n的形式.
2（x-1）2+5
1.用配方法解下列方程: （1）2x2+6x+3=0 （2）3x2-7x+5=0
2.用配方法解下列方程: （1）0.2x2+0.4x=1 (2) 3 x2 1 x 1 0
选择适当的方法解下列方程：
1 4 1 x 2 25 0 2 2x 2 50 3 x 2 4 3x 11 4 x 2 5x 6 0
合作探究
把 x2bxc0方程进行配方
解：移项，得 x2+bx=-c.
方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+ b
2
=-c+ b
2
2
2
即：
(x+
b 2
)2=
练一练
解下列一元二次方程: 1、x2-6x=-8 2、x2-8x-4=0 3、-x2+5x-9=0 4、x2=10x-30
一元二次方程的解法(3)[下学期]--浙教版
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封。这信封里的纸上，是她自从接到赐婚的圣旨后，思虑良久，怀着巨大的悲痛写下的诗句：还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时。第壹卷 第五十六章 成亲 吉时已到，年夫人拉着冰凝的手，老泪纵横，似是生离死别壹般，冰凝更是几乎哭昏过去。眼看着府门口那满满的六十 四抬嫁妆，年夫人更是痛到心口里，就是再有多少嫁妆又有什么用！根本弥补不了女儿去给别人当侧室的难过。她也知道，天家的事情， 由不得自己，由不得任何人，但是，看着心爱的女儿，连大声说壹句都舍不得的女儿，从今天开始，就要嫁入王府，要去看四福晋的脸色 过日子，年夫人难过得恨不能拿自己的命去换取女儿幸福平安的未来。玉盈再是伤心难过，可还要强打精神，这是凝儿壹生中最重要的时 刻，误了什么也不能误了吉时，只好硬下心肠，分开冰凝和娘亲拉在壹起的手，将凝儿交到喜嬷嬷的手中。喜嬷嬷立即又将壹个宝瓶塞在 冰凝的手中，和吟雪壹起搀扶着，将冰凝送进了花娇。从年府到王府的那壹路，冰凝心如死灰，如行尸走肉壹般。待花娇稳稳当当地停了 下来，“嗖嗖嗖”射来三箭，冰凝才回过神儿来，知道这是到了王府。在嬷嬷们的搀扶下，她下了花娇，手中的宝瓶也被喜嬷嬷及时换成 了壹个大红苹果。这个时候，本是应该新郎上前，与她共牵红绸，走进她居住的院落，但冰凝站了半天，也不见任何动静。她哪里知道， 新郎早早就自行离开，留下了她壹个人唱独角戏。就算是见多识广的宫中喜嬷嬷们也从来不曾遇见过这种局面，面面相觑，不知如何是好。 正在众人愣神的功夫，壹个爽朗的声音在冰凝的耳畔响起：“都在这里愣着干什么？还不赶快扶侧福晋进府！”“奴婢见过福晋！福晋吉 祥！”冰凝这才知道，刚才那壹句话是王府的嫡福晋吩咐的。话音壹落，王府的太监领路，宫中的喜嬷嬷和吟雪慌忙搀扶着她进了王府。 壹行人缓步壹路向前，七转八绕，终于停在了壹个院子门前。吟雪小声地提醒着她何时迈门槛，何时上台阶，壹行人总算是平平安安、有 惊无险地走进了她将要生活壹辈子的地方――怡然居。可是就算是吟雪没有被喜帕蒙着眼睛，她也被这个院子惊呆了！因为她壹进院门， 绕过影壁墙就发现，出现在她眼前的，不是正房，而是壹个硕大的院子！由于院子过于宽大，以至于那正房在吟雪的眼睛里，变得那么渺 小！光是穿过院子，就足足用了半盏茶的功夫。进了新房，外间是壹个小厅堂，冰凝直接被众人搀扶到了里间，那个被喜帐、喜缦装饰壹 新的喜床上。待端坐在床边，她累得几乎虚脱。再加上壹天没吃没喝，她已经到了昏厥的边缘。新娘子进了新房，奴仆们的任务就算是基 本完成了，众人长长地舒了壹口气，该替班的替班，该换位的换位，该休息的休息，该吃饭
《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》—知识讲解(提高)
《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）；③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=;①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =;② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-;③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2424|6|2()2()n m n m m x m n m n --±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+=∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==∴ 11m =21m =【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-=∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0【思路点拨】这道试题实质是完全平方式，但是难于看出来，采用换元法，显而易见，设x+1=m,2-x=n,进行化简即可.【答案与解析】设x+1＝m，2-x＝n，则原方程可变形为：2220m mn n-+=．∴ (m-n)2＝0，∴ m＝n，即x+1＝2-x．∴121 2x x==．【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太繁琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．4．（1）解方程x（x﹣1）=2．有学生给出如下解法：∵x（x﹣1）=2=1×2=（﹣1）×（﹣2），∴或或或解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=﹣1．∴x=2或x=﹣1．请问：这个解法对吗？试说明你的理由．（2）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上边的事实，解答下面的问题：用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．【思路点拨】（1）这种做法不对，两个数的积是2，这两个数的情况有无数种，不一定只是所列出的几种；（2）因为周长一定的多边形中，正多边形面积最大，那么就把五根木棒都用上，不会得到正三角形，也就是等边三角形，只能取最接近的办法，即2+5，3+4，6来围成三角形，其面积最大，得到一个等腰三角形，则其底边上的高等于2，S△=6．【答案与解析】（1）答案一：对于这个特定的已知方程，解法是对的．理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．答案二：解法不严密，方法不具有一般性．理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组此学生的方法只是巧合了，求对了方程的解．（2）解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．可求得其最大面积为6．【总结升华】考察解一元二次方程，以及周长一定的多边形中，正多边形面积最大等知识．5.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．【思路点拨】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．【答案与解析】王力的推测是正确的．∴∴（1）或（2）解不等式组（1）得：x；解不等式组（2）得：x；∴不等式的解集是x或x．【总结升华】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分式不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．。
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动手试一试吧！
解方程:
2 1 x x 1 x 2 2
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！
1.作业本;
2.课后作业选做;
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？ 2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等z59nsr
直又开始埋怨自己了，念念叨叨地说：“都怪我，着急上山„„”耿英擦干眼泪，轻轻地拍了拍弟弟的肩膀说：“唉，还多亏了你非要着急上 山！若是照我当时的想法，我们倒是和咱爹一起去了，但咱娘和兰兰就再也见不到咱们了。而且，咱爹的夙愿也就不可能实现了！”耿正说： “是啊！看来真应了那句话，‘凡事自有定数’！只是可怜了咱爹，他那么好的一个人，怎么就„„”耿正说不下去了„„耿英转念一想，爹 爹已经远去多年了，大家再想也没有用的，不如换个话题。就说：“哥，路途遥远，咱们肯定得买一挂大一些的平板车和一头毛驴了吧？”耿 正说：“那是自然，最好是买一头骡子吧。骡子比毛驴劲儿大，脚力也更好！”耿英说：“那我倒有一个想法了。咱们不如再买上一口质量最 轻的薄皮寿棺，寿棺外面油漆表贴好了，并且写上咱爹的名字和挽联什么的。然后，咱们就把所有的银子和贵重值钱一些的东西全都放进去， 并且买一个人体模型穿上衣服放在上面，再用白布蒙了。当然，寿棺的盖子还是要简单固定一下的。这样做，一来可以确保路途安全，二来也 好念着咱爹，就当是咱们把爹爹也带回去了！”耿正说：“这个办法很好！我们干脆把平板车的车棚也布置一番，披挂上白纱，再挑上一面招 魂幡！”耿直说：“最好我们三个也都穿上孝服吧，我们还没有给咱爹披麻带孝过呢！”耿正说：“只是这样一来，还需要备上一块儿大红色 的篷布，以备沿途上入住客栈时，咱们好将车棚全部蒙上，免得人家忌讳！”耿英说：“如此甚好！用红布蒙车之前，一定要将招魂幡取了放 到车内。还有，咱们也不要披麻带孝的进客栈。”想一想又说：“为了省心，我装扮成一个男人得了。反正我也不是那种细眉细眼儿的人！” 耿直笑了，说：“算了吧姐，有我和哥哥两个大男人在，还保护不了你！”耿正却说：“多准备一套适合你穿的男装也不是件坏事情，特殊情 况下见机行事也就是了。”于是，耿正兄妹三人开始有计划地一步一步做回家的准备了。他们仔细盘算一下，在出发返家之前必须准备好的所 有事项中，比较麻烦费时的事情，就是需要精心准备回望各位恩人和朋友，以及回家带的各种礼物。至于寿棺、牲口和平板车，则都不必着急 买的。在寿器铺子里，各种规格的寿棺现成就有；牲口和平板车嘛，骡马车市上有的是，提前几天置办也就是了。首先，耿正抽空请人定制了 一个十两重的纯银元宝，在元宝的两侧各印上四个黄灿灿的嵌金大字。一面是“厚德载物”，在另一面是“上善若水”。并且，还专门为其配 制了一个精致的红漆木匣子，将大元宝放在木匣子里边的红绸衬垫上。然后，耿正去几十步之遥的皮具铺子里挑选了一个大大的软皮箱。耿英 则就在自家的铺子里精心挑选了四块丝绸面
2
(2) 4 x 1 4 x
2
3 2 1 (3) x 2x 0 4 2
(4) x2 x 1 0
方程根的情况：
当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等的实 数根；
2
当 b 4ac 0时，方程有两个相等的实数 根；
2
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根.
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 4、写出方程的解x1与x2.
2
用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2 x 5 x 3 0
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》八年级下册
2.2一元二次方程的解 法(3)
等腰
用配方法解下列一元二次方程
(1) x 15 10 x
2
1 (2) 3x 12 x 0 3
2
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
当 b 4ac 0 时，方程有实数根吗？
2
一般地,对于一元二次方程 ax 2 bx c 0(a
0) ,
2 b b 4ac 2 如果 b 4 ac 0 ,那么方程的两个根为 x 2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c 的值，直接 求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.