江西省宜春市2013届高三数学4月模拟考试试题 理 新人教A版 2

1江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示的韦恩图中，若{|02}A x x =≤<，{|1}B x x =>，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|01x x ≤≤或2}x ≥D ．{|01x x ≤≤或2}x > 2．设a 与b 是异面直线，下列命题正确的是（ ）A ．过空间任意一点必可作一直线与a 、b 相交B ．a 、b 的公垂线有无数多条C ．不存在两条相交直线与a 、b 都相交D ．过直线a 有且仅有一个平面与b 平行3．函数1()|5|2x f x x -=--+的零点所在的区间是 （ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(4．设函数na x x f )()(+=，其中⎰+=πππ2)sin(3dxx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中2x 的系数为 （ ）A ．240-B ．60-C ．240D ．605．使命题“对任意的2[1,2],0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件为（ ） A ．5a ≥ B ．4a ≤ C ．4a ≥ D ．5a ≤6．设不等式组 1230x x y y x ≥,⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称．对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值等于（ ）A ．285 B ．4C ．125 D ．27．已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,ωπϕπ>-<≤．若()f x 的最小正周期为26π，且当2x π=时, ()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间],3[ππ--上是减函数B ．()f x 在区间]0,2[π-上是增函数C ．()f x 在区间]2,0[π上是减函数 D ．()f x 在区间]3,[ππ上是增函数8．已知函数()cos f x x x =+，则()f x 的大致图象是（ ）9．在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012S S -=，则2013S 的值等于（ ）A ．2013-B ．2012-C ．2012D ．2013 10．定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象上两点(,()),(,())A a f a B b f b ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1),[0,1]x a b λλλ=+-∈．已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式 对任意[0,1]λ∈恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”．若函数1y x x =-在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为 （ ）A ．[0,)+∞B ．1[,)12+∞C ．3[)2+∞D ．3[)2-+∞二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25案填在题中横线上） 11．i 为虚数单位，如果22221iz a a i =+-+-为纯虚数，那么实数a = ．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S = ．13．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的 体积为 ．第12题图314．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双 曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 ． 15．按所做的第一题评分） （1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，曲线42sin 22cos x y αα=-⎧⎨=--⎩（α为参数）与曲线0cos 42=-θρρ的交点个数为 ．（2）（不等式选讲）不等式|2||1|x x a -++≤对任意]1,2[-∈x 恒成立的实数a 的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）16．（本小题满分12分）已知函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减．ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角AB C 、、所对的边，且满足A CB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω．（1）证明：a c b 2=+；（2）如图，点O 是ABC ∆外一点，设θ=∠AOB (0)θπ<<，22OA OB ==，当c b =时，求平面四边形OACB 面积的最大值．17．（本小题满分12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：根据上表信息解答以下问题：左视图俯视图 第13题图 BCθoA第16题图4（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率1P ；（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．18．（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，060DAB ∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C D 、不重合，EF AC ⊥，翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）当PB 取得最小值时，若点Q满足AQQP λ=(0λ>)，试探究：直线OQ 与平面PBD 所成的角是否一定大于4π？并说明理由．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：232121...2n n a a a a n n λλλ-++++=+（其中常数*0,n N λ>∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：对于任意*n N ∈，(1)3n n S a λλ-+≥．20．（本小题满分13分）如图，ABC ∆中，090C ∠=，B C 、在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC ∆的周长为12．若一双曲线E 以B C 、为焦点，且经过A D 、两点．（1）求双曲线E 的方程；（2）若一条过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线A 第18题图第20题图5E 相交于不同于双曲线顶点的两点M N 、，且MP PN λ=，问 在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样的定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本大题满分14分）已知函数x xx f ln 1)(+=.（1）若函数()f x 在区间)0)(31,(>+a a a 上存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式1)(+≥x kx f 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：1222)1(])!1[(++-+>+n n en n *(N n ∈,e 为自然对数的底数）．6江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（理）试题 参考答案一、选择题： CDCCA ，BBBAD 二、填空题11. 1或－3，12．20142013,13.14. 152022=+y x ,15.（1）2， ⑵),5[+∞ 三、解答题16. （本小题满分12分）解：（1）由题意知：243ππω=，解得32ω=， ……2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分 a c b A BC 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（2）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB ABθ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+⋅435cos 3-sin +=θθ2sin(-)34πθ=+(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2………………12分17．解:(１) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间45)（，上有且只有一个零点， 则必有(4)<0(5)>0f f ⎧⎨⎩即：16-4-1<025-5-1>0ηη⎧⎨⎩，解得：1524<<45η 所以，4η= …………3分7当4η=时，211201015125068245C C C P C +==， …………6分 (２) 从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++=== 1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+=== ，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：222103510123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分18.（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ∵ E F A C ⊥，∴PO EF ⊥∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥∵A O P OO = ，∴BD ⊥平面POA . 5分（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -.设.AO BD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形，故4BD =，2,HB HC ==.又设PO x =，则OH x =，OA x =.所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，,2,0)B x -，故,2,)PB OB OP x x =-=-， 所以PB =8当x =min PB此时POOH 7分设点Q 的坐标为(),0,a c ，由前知，OP，则A，B，2,0)D -，P .所以()AQ a c=-，()QP a c=-，∵AQ =QP λ ，∴,a a c c λλ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩⇒a c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．∴Q ，∴OQ = ． 10分设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +=-=⎪⎩ ， 取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n = . 10分 设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，∴sin cos ,OQ n OQ n OQ nθ⋅=<>=⋅= 又∵0λ>∴sin θ． ∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>． 因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． 12分19.解：(1)当1n = 时,13a =9当2n ≥时，232121...2nn a a a a n nλλλ-++++=+2312122...(1)2(1)n n a a a a n n λλλ--∴++++=-+- ,两式相减得：12+1nn a n λ-=1=2n+1)(2,)n n a n n N λ+-∴≥∈（ 又13a =也适合上式1=2n+1)()n n a n N λ+-∴∈（ ……… 6分（2）Sn ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)n-1λ当λ＝1时，Sn ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n2＋2n ． 当λ≠1时，Sn ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)n-1λ，λSn ＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)n λ当=1λ时，左=(1)n n s a λλ-+=213n a n =+≥，结论显然成立。