高中数学人教版必修1课时作业:模块A含解析

合集下载

高中人教A版数学必修1课时作业18 Word版含解析

高中人教A版数学必修1课时作业18 Word版含解析
()++-=×+
=×+=+=.
.已知=,求的值.
解:由=,得=-=,
∴==.
.设={},={,-},是否存在的值,使∩={}?
解:不存在的值,使∩={}成立.
若=,则=,此时-=,从而-==,与集合元素的互异性矛盾;
若=,则=,此时无意义;
若=,此时=,从而∩={},与条件不符;
若-=,则=,从而=,与集合元素的互异性矛盾.
.若=,则()
.=.=
.=.=
答案:解析:由=,得=,
∴()=(),则=.
-+的值为()Biblioteka ..答案:解析:-+=-·
=×=.
二、填空题
.[()]=.
答案:解析:原式=[()]=()==.
.已知=,=,则=.
答案:解析:由题意得,=,=,
∴==-=-=.
.设=,=,则+=.
答案:解析:∵=,=,∴=,=,
课时作业(十八)对 数
一、选择题
.已知=,则=()
.±.
..
答案:解析:由=,可知=,∴=±,
又>且≠,∴=.
.方程=的解是()

答案:解析:原方程即为=-,
∴=-,∴=-=.
.有以下四个结论:
①( )=;
②( )=;
③若=,则=;
④若=,则=.
其中正确的是()
.①③.②④.①②.③④
答案:解析:( )= =,( )= =,故①②正确;若= ,则=,故③错误;若= ,则=,故④错误.
∴+=()·=×=.
三、解答题
.已知=,=(>,且≠),求=的值.
解:由=,得=,
由=,得=,
所以==·[(·-)]
=·(·-)=·=()·()

2017-2018学年高一数学必修1全册同步课时作业含解析【人教A版】

2017-2018学年高一数学必修1全册同步课时作业含解析【人教A版】

2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业目录1.1.1-1集合与函数概念1.1.1-2集合的含义与表示1.1.1-3集合的含义与表示1.1.2集合间的包含关系1.1.3-1集合的基本运算(第1课时)1.1.3-2集合的基本运算(第2课时)1.1习题课1.2.1函数及其表示1.2.2-1函数的表示法(第1课时)1.2.2-2函数的表示法(第2课时)1.2.2-3函数的表示法(第3课时)1.2习题课1.3.1-1单调性与最大(小)值(第1课时)1.3.1-2单调性与最大(小)值(第2课时)1.3.1-3单调性与最大(小)值(第3课时)1.3.1-4单调性与最大(小)值(第4课时)1.3.2-1函数的奇偶性(第1课时)1.3.2-2函数的奇偶性(第2课时)函数的值域专题研究第一章单元检测试卷A第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数(Ⅰ)2.1.1-2指数与指数幂的运算(第2课时)2.1.2-1指数函数及其性质(第1课时)2.1.2-2指数函数及其性质(第2课时)2.1.2-3对数与对数运算(第3课时)2.2.1-1对数与对数运算(第1课时)2.2.1-2对数与对数运算(第2课时)2.2.1-3对数与对数运算(第3课时)2.2.2-1对数函数及其性质(第1课时)2.2.2-2对数函数的图像与性质(第2课时)2.2.2-3对数函数的图像与性质2.3 幂函数图像变换专题研究第二章单元检测试卷A第二章单元检测试卷B3.1.1函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例第三章单元检测试卷A第三章单元检测试卷B全册综合检测试题模块A全册综合检测试题模块B1.1.1-1集合与函数概念课时作业1.下列说法中正确的是()A.联合国所有常任理事国组成一个集合B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C.{1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合D.由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素答案 A解析根据集合中元素的性质判断.2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以是( ) A.3.14 B.-2 C.78 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数,故a 可以为7. 3.设集合M ={(1,2)},则下列关系式成立的是( ) A.1∈M B.2∈M C.(1,2)∈M D.(2,1)∈M 答案 C4.若以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ,则M 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 M ={-1,2,3}.5.若2∈{1,x 2+x},则x 的值为( ) A.-2 B.1 C.1或-2 D.-1或2 答案 C解析 由题意知x 2+x =2,即x 2+x -2=0.解得x =-2或x =1.6.已知集合M ={a ,b ,c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长,那么此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D解析 因集合中的元素全不相同,故三角形的三边各不相同.所以△ABC 不可能是等腰三角形.7.设a ,b ∈R ,集合{1,a}={0,a +b},则b -a =( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案 A解析 ∵{1,a}={0,a +b},∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,a +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1.∴b -a =1,故选A. 8.下列关系中①-43∈R ;②3∉Q ;③|-20|∉N *;④|-2|∈Q ;⑤-5∉Z ;⑥0∈N .其正确的是________. 答案 ①②⑥ 9.下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合;②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素;③集合Q 中的元素都是集合N 中的元素;④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素. 其中正确的个数是________. 答案 2解析 由数集性质知①③错误,②④正确.10.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合?________;集合{(1,2)}与集合{(2,1)}是否表示同一集合?______.(填“是”或“不是”) 答案 是,不是11.若{a ,0,1}={c ,1b ,-1},则a =______,b =______,c =________.答案 -1 1 0解析 ∵-1∈{a ,0,1},∴a =-1. 又0∈{c ,1b ,-1}且1b ≠0,∴c =0,从而可知1b=1,∴b =1.12.已知集合A 中含有两个元素1和a 2,则a 的取值范围是________. 答案 a ∈R 且a ≠±1解析 由集合元素的互异性,可知a 2≠1,∴a ≠±1,即a ∈R 且a ≠±1. 13.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的值是________. 答案 2或414.设A 表示集合{2,3,a 2+2a -3},B 表示集合{a +3,2},若已知5∈A ,且5∉B ,求实数a 的值. 答案 -4解析 ∵5∈A ,且5∉B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+2a -3=5,a +3≠5, 即⎩⎪⎨⎪⎧a =-4或a =2,a ≠2.∴a =-4. ►重点班·选做题15.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A ={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解析 (1)由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a =1a ,即a=±1,故可以取集合A ={1,2,12}或{-1,2,12}或{1,3,13}等.下面有五个命题:①集合N (自然数集)中最小的数是1;②{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合;③a ∈N ,b ∈N ,则a +b ≥2;④a ∈N ,b ∈N ,则a·b ∈N ;⑤集合{0}中没有元素. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 因为0是自然数,所以0∈N .由此可知①②③是错误的,⑤亦错,只有④正确.故选B.1.1.1-2集合的含义与表示含解析课时作业1.用列举法表示集合{x|x 2-2x +1=0}为( ) A.{1,1} B.{1}C.{x =1}D.{x 2-2x +1=0}答案 B2.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( ) A.{x|x 是不大于9的非负奇数} B.{x|x ≤9,x ∈N } C.{x|1≤x ≤9,x ∈N } D.{x|0≤x ≤9,x ∈Z }答案 A3.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x|-3<x<11,x ∈Q } B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x =2k ,x ∈Q }D.{x|-3<x<11,x =2k ,x ∈Z }答案 D4.集合{x ∈N *|x<5}的另一种表示法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案 B5.设集合M ={x|x ∈R 且x ≤23},a =26,则( ) A.a ∉M B.a ∈MC.a =MD.{a|a =26}=M答案 A解析 首先元素与集合关系只能用符号“∈”与“∉”表示.集合中元素意义不同的不能用“=”连接,再有a =24>23,a 不是集合M 的元素,故a ∉M.另外{a|a =26}中只有一个元素26与集合M 中元素不相同.故D 错误.6.将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x +y =5,2x -y =1表示成列举法,正确的是( ) A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x =2,y =3} D.(2,3)答案 B7.下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A.{x|x =1} B.{x =1} C.{1}D.{y|(y -1)2=0}答案 B解析A,C,D都是数集.8.下列集合表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}答案 C解析A中M是点集,N是点集,是两个不同的点;B中M是点集,N是数集;D中M是数集,N是点集,故选C.9.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 B解析由集合中元素的互异性,可知集合M={5,6,7,8},所以集合M中共有4个元素.10.坐标轴上的点的集合可表示为()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}答案 C解析坐标轴上的点的横、纵坐标至少有一个为0,故选C.11.将集合“奇数的全体”用描述法表示为①{x|x=2n-1,n∈N*}; ②{x|x=2n+1,n∈Z};③{x|x=2n-1,n∈Z};④{x|x=2n+1,n∈R};⑤{x|x=2n+5,n∈Z}.其中正确的是________.答案②③⑤12.已知命题:(1){偶数}={x|x=2k,k∈Z};(2){x||x|≤2,x∈Z}={-2,-1,0,1,2};(3){(x,y)|x+y=3且x-y=1}={1,2}.其中正确的是________.答案(1)(2)13.已知集合A={1,0,-1,3},B={y|y=|x|,x∈A},则B=________.答案{0,1,3}解析 ∵y =|x|,x ∈A ,∴y =1,0,3,∴B ={0,1,3}. 14.用∈或∉填空:(1)若A ={x|x 2=x},则-1________A ; (2)若B ={x|x 2+x -6=0},则3________B ; (3)若C ={x ∈N |1≤x ≤10},则8________C ; (4)若D ={x ∈Z |-2<x<3},则1.5________D. 答案 (1)∉ (2)∉ (3)∈ (4)∉ ►重点班·选做题15.用另一种方法表示下列集合. (1){x||x|≤2,x ∈Z };(2){能被3整除,且小于10的正数}; (3)坐标平面内在第四象限的点组成的集合. (4){(x ,y)|x +y =6,x ,y 均为正整数}; (5){-3,-1,1,3,5}. (6)被3除余2的正整数集合.答案 (1){-2,-1,0,1,2} (2){3,6,9}(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x>0,y<0 (4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} (5){x|x =2k -1,-1≤k ≤3,k ∈Z } (6){x|x =3n +2,n ∈N }16.已知集合{x|x 2+ax +b =0}={2,3},求a ,b 的值. 答案 -5 6解析 ∵{x|x 2+ax +b =0}={2,3}, ∴方程x 2+ax +b =0有两实根x 1=2,x 2=3. 由根与系数的关系得a =-(2+3)=-5,b =2×3=6.1.下列集合是有限集的是( ) A.{x|x 是被3整除的数}B.{x ∈R |0<x <2}C.{(x ,y)|2x +y =5,x ∈N ,y ∈N }D.{x|x 是面积为1的菱形}答案 C解析 C 中集合可化为:{(0,5),(1,3),(2,1)}.2.已知集合A ={x|x 2-2x +a>0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是( ) A.{a|a ≤1}B.{a|a ≥1}C.{a|a≥0}D.{a|a≤-1}答案 A解析因为1∉A,所以当x=1时,1-2+a≤0,所以a≤1,即a的取值范围是{a|a≤1}.1.1.1-3集合的含义与表示课时作业(三)1.设x ∈N ,且1x ∈N ,则x 的值可能是( )A.0B.1C.-1D.0或1答案 B解析 首先x ≠0,排除A ,D ;又x ∈N ,排除C ,故选B.2.下面四个关系式:π∈{x|x 是正实数},0.3∈Q ,0∈{0},0∈N ,其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 本题考查元素与集合之间的关系,由数集的分类可知四个关系式均正确. 3.集合{x ∈N |-1<x<112}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 答案 C解析 ∵x ∈N ,且-1<x<112,∴集合中含有元素0,1,2,3,4,5,故选C.4.已知集合A ={x ∈N *|-5≤x ≤5},则必有( ) A.-1∈A B.0∈A C.3∈A D.1∈A 答案 D解析 ∵x ∈N *,-5≤x ≤5,∴x =1,2,即A ={1,2},∴1∈A. 5.集合M ={(x ,y)|xy<0,x ∈R ,y ∈R }是( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集 答案 D解析 根据描述法表示集合的特点,可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合,这些点在第二、四象限内.6.若a ,b ,c ,d 为集合A 的四个元素,则以a ,b ,c ,d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形D.梯形答案 D解析 由于集合中的元素具有“互异性”,故a ,b ,c ,d 四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等.7.集合A ={x|x ∈N ,且42-x ∈Z },用列举法可表示为A =________.答案 {0,1,3,4,6}解析 注意到42-x ∈Z ,因此,2-x =±2,±4,±1,解得x =-2,0,1,3,4,6,又∵x ∈N ,∴x =0,1,3,4,6.8.一边长为6,一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 答案 1解析 这样的三角形只有1个,是两腰长为6,底边长为3的等腰三角形. 9.点P(1,3)和集合A ={(x ,y)|y =x +2}之间的关系是________. 答案 P ∈A解析 在y =x +2中,当x =1时,y =3,因此点P 是集合A 的元素,故P ∈A. 10.用列举法表示集合A ={(x ,y)|x +y =3,x ∈N ,y ∈N *}为________. 答案 {(0,3),(1,2),(2,1)}解析 集合A 是由方程x +y =3的部分整数解组成的集合,由条件可知,当x =0时,y =3;当x =1时,y =2;当x =2时,y =1.故A ={(0,3),(1,2),(2,1)}.11.若A ={-2,2,3,4},B ={x|x =t 2,t ∈A},用列举法表示集合B =________. 答案 {4,9,16}解析 由题意可知集合B 是由集合A 中元素的平方构成,故B ={4,9,16}.12.下列集合中:A ={x =2,y =1},B ={2,1},C ={(x ,y)|⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3,x -y =1},D ={(x ,y)|x =2且y =1},与集合{(2,1)}相等的共有________个. 答案 2解析 因为集合{(2,1)}的元素表示的是有序实数对,由已知集合的代表元素知,元素为有序实数对的是C ,D ,而A 表示含有两个元素x =2,y =1的集合,B 表示含有2个元素的集合.13.设A 是满足x<6的所有自然数组成的集合,若a ∈A ,且3a ∈A ,求a 的值. 解析 ∵a ∈A 且3a ∈A ,∴a<6且3a<6,∴a<2. 又∵a 是自然数,∴a =0或1.14.已知集合A 含有两个元素a 和a 2,若1∈A ,求实数a 的值.解析 本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A ,据集合中元素的特点需分a =1和a 2=1两种情况,另外还要注意集合中元素的互异性.若1∈A ,则a =1或a 2=1,即a =±1. 当a =1时,集合A 有重复元素,∴a ≠1;当a =-1时,集合A 含有两个元素1,-1,符合互异性. ∴a =-1. ►重点班·选做题15.已知集合A ={0,2,5,10},集合B 中的元素x 满足x =ab ,a ∈A ,b ∈A 且a ≠b ,写出集合B.解析 当⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0,b =0时,x =0; 当⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =5或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =2时,x =10; 当⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =10或⎩⎪⎨⎪⎧a =10,b =2时,x =20; 当⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =10或⎩⎪⎨⎪⎧a =10,b =5时,x =50. 所以B ={0,10,20,50}.1.已知A ={x|3-3x>0},则有( ) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.-1∉A答案 C解析 因为A ={x|3-3x>0}={x|x<1},所以0∈A.2.“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,小女三日一归,问三女何时相会”.(选自《孙子算经》),请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.解析 三女相会的日数,即为5,4,3的公倍数,它们的最小公倍数为60,因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60,120,180}.3.数集M 满足条件:若a ∈M ,则1+a 1-a ∈M(a ≠±1且a ≠0),已知3∈M ,试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.解析 ∵a =3∈M ,∴1+a 1-a =1+31-3=-2∈M ,∴1-21+2=-13∈M.∴1-131+13=12∈M ,∴1+121-12=3∈M.即M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫3,-2,-13,12.4.设集合A ={x ,y},B ={0,x 2},若集合A ,B 相等,求实数x ,y 的值. 解析 因为A ,B 相等,则x =0或y =0.(1)当x =0时,x 2=0,则B ={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当y =0时,x =x 2,解得x =0或x =1.由(1)知x =0应舍去. 综上知:x =1,y =0.5.集合A ={x|⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x 2}可化简为________. 以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确?试说明理由.学生甲:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x 2,得x =0或x =1,故A ={0,1}; 学生乙:问题转化为求直线y =x 与抛物线y =x 2的交点,得到A ={(0,0),(1,1)}. 解析 同学甲正确,同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ,因此满足条件的元素只能为x =0,1;而不是实数对⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0,⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.故同学甲正确.1.1.2集合间的包含关系课时作业(四)1.数0与集合∅的关系是()A.0∈∅B.0=∅C.{0}=∅D.0∉∅答案 D2.集合{1,2,3}的子集的个数是()A.7B.4C.6D.8答案 D3.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5}B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0}D.{x∈R|x2+x+1=0}答案 D解析∵A,B,C中分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∴不是空集;又∵x2+x+1=0无解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.4.已知集合P={1,2,3,4},Q={y|y=x+1,x∈P},那么集合M={3,4,5}与Q的关系是()A.M QB.M QC.Q MD.Q=M答案 A5.下列六个关系式中正确的个数为()①{a,b}={b,a};②{a,b}⊆{b,a};③∅={∅};④{0}=∅;⑤∅ {0};⑥0∈{0}.A.6B.5C.4D.3个及3个以下答案 C解析其中①②⑤⑥是正确的,对于③应为∅ {∅}或∅∈{∅};对于④应为{0} ∅.6.若集合A={-1,2},B={x|x2+ax+b=0},且A=B,则有()A.a=1,b=-2B.a=2,b=2C.a=-1,b=-2D.a=-1,b=2答案 C解析由A=B知-1与2是方程x2+ax+b=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1+2=-a ,(-1)×2=b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2. 7.集合P ={x|y =x 2},Q ={y|y =x 2},则下列关系中正确的是( ) A.P Q B.P =Q C.P ⊆Q D.P Q答案 D解析 P ,Q 均为数集,P ={x|y =x 2}=R ,Q ={y|y =x 2}={y|y ≥0},∴Q P ,故选D. 8.已知集合A {1,2,3},且A 中至少含有一个奇数,则这样的集合A 的个数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3答案 B解析 A ={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共5个.9.若A ={(x ,y)|y =x},B ={(x ,y)|yx =1},则A ,B 关系为( )A.A BB.B AC.A =BD.A B答案 B10.已知集合A ={-1,3,m},集合B ={3,4},若B ⊆A ,则实数m =________. 答案 4解析 ∵B ⊆A ,A ={-1,3,m},∴m =4.11.已知非空集合A 满足:①A ⊆{1,2,3,4};②若x ∈A ,则5-x ∈A.符合上述要求的集合A 的个数是________. 答案 3解析 由“若x ∈A ,则5-x ∈A ”可知,1和4,2和3成对地出现在A 中,且A ≠∅.故集合A 的个数等于集合{1,2}的非空子集的个数,即3个.12.设集合A ={x ∈R |x 2+x -1=0},B ={x ∈R |x 2-x +1=0},则集合A ,B 之间的关系是________. 答案 B A解析 ∵A ={-1-52,-1+52},B =∅,∴B A.13.已知M ={y|y =x 2-2x -1,x ∈R },N ={x|-2≤x ≤4},则集合M 与N 之间的关系是________. 答案 N M14.设A ={x ∈R |-1<x<3},B ={x ∈R |x>a},若A B ,求a 的取值范围. 答案 a ≤-1解析 数形结合,端点处单独验证.15.设集合A ={1,3,a},B ={1,a 2-a +1},B ⊆A ,求a 的值.解析 因为B ⊆A ,所以B 中元素1,a 2-a +1都是A 中的元素,故分两种情况. (1)a 2-a +1=3,解得a =-1或2,经检验满足条件. (2)a 2-a +1=a ,解得a =1,此时A 中元素重复,舍去. 综上所述,a =-1或a =2. ►重点班·选做题16.a ,b 是实数,集合A ={a ,ba ,1},B ={a 2,a +b ,0},若A =B ,求a 2 015+b 2 016.答案 -1解析 ∵A =B ,∴b =0,A ={a ,0,1},B ={a 2,a ,0}.∴a 2=1,得a =±1.a =1时,A ={1,0,1}不满足互异性,舍去;a =-1时,满足题意.∴a 2015+b 2 016=-1.1.设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a}={0,ba ,b},则b -a 等于( )A.1B.-1C.2D.-2答案 C解析 ∵a ≠0,∴a +b =0,∴ba =-1.∴b =1,a =-1,∴b -a =2,故选C.2.设集合A ={x|-3≤x ≤2},B ={x|2k -1≤x ≤k +1}且B ⊆A ,求实数k 的取值范围. 解析 ∵B ⊆A ,∴B =∅或B ≠∅.①B =∅时,有2k -1>k +1,解得k>2. ②B ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧2k -1≤k +1,2k -1≥-3,k +1≤2,解得-1≤k ≤1.综上,-1≤k ≤1或k>2.1.1.3-1集合的基本运算(第1课时)课时作业(五)1.(2014·广东)已知集合M ={-1,0,1},N ={0,1,2},则M ∪N =( ) A.{0,1} B.{-1,0,2} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}答案 C解析 M ∪N ={-1,0,1,2}.2.若集合A ={x|-2<x<1},B ={x|0<x<2},则集合A ∩B =( ) A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1} 答案 D3.设A ={x|1≤x ≤3},B ={x|x<0或x ≥2},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<0或x ≥1} B.{x|x<0或x ≥3} C.{x|x<0或x ≥2} D.{x|2≤x ≤3} 答案 A4.设集合A ={1,2},则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是( ) A.1 B.3 C.4 D.8答案 C解析 ∵A ={1,2},A ∪B ={1,2,3},∴B ={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.5.设集合M ={m ∈Z |-3<m<2},N ={n ∈Z |-1≤n ≤3},则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 答案 B解析 集合M ={-2,-1,0,1},集合N ={-1,0,1,2,3},M ∩N ={-1,0,1}. 6.若A ={x|x2∈Z },B ={y|y +12∈Z },则A ∪B 等于( )A.BB.AC.∅D.Z答案 D解析 A ={x|x =2n ,n ∈Z }为偶数集,B ={y|y =2n -1,n ∈Z }为奇数集,∴A ∪B =Z . 7.已知集合A ={-1,0,1},B ={x|-1≤x<1},则A ∩B =( )A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案 B解析集合B含有整数-1,0,故A∩B={-1,0}.8.如果A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|x=k+3,k∈Z},那么A∩B=()A.∅B.AC.BD.Z答案 B9.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是________.答案 2解析M={1,2,3}或M={2,3}.10.下列四个推理:①a∈(A∪B)⇒a∈A;②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B);③A⊆B⇒A∪B=B;④A∪B=A⇒A∩B=B.其中正确的为________.答案②③④解析①是错误的,a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B,不一定能推出a∈A.11.已知集合P,Q与全集U,下列命题:①P∩Q=P,②P∪Q=Q,③P∪Q=U,其中与命题P⊆Q等价的命题有______个.答案 2解析①②都等价.12.已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是________.答案a≤-113.若集合P满足P∩{4,6}={4},P∩{8,10}={10},且P⊆{4,6,8,10},求集合P. 解析由条件知4∈P,6∉P,10∈P,8∉P,∴P={4,10}.14.已知集合A={x|x+3≤0},B={x|x-a<0}.(1)若A∪B=B,求a的取值范围;(2)若A∩B=B,求a的取值范围.解析(1)∵A∪B=B,∴A⊆B,∴a>-3.(2)∵A∩B=B,∴B⊆A,∴a≤-3.►重点班·选做题15.已知A={x|2a<x≤a+8},B={x|x<-1或x>5},若A∪B=R,求a的取值范围.解析∵B={x|x<-1或x>5},A∪B=R,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a<-1,a +8≥5,解得-3≤a<-12.1.若A ={x|x 2-5x +6=0},B ={x|x 2-6x +8=0},则A ∪B =________,A ∩B =________. 答案 A ={2,3},B ={2,4}, ∴A ∪B ={2,3,4},A ∩B ={2}.2.设S ={x|2x +1>0},T ={x|3x -5<0},则S ∩T =( ) A.∅ B.{x|x<-12}C.{x|x>53}D.{x|-12<x<53}答案 D解析 S ={x|x>-12},T ={x|x<53},在数轴上表示出S 和T ,可知选D.3.设集合A ={x|-5≤x<1},B ={x|x ≤2},则A ∩B 等于( ) A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x ≤2} C.{x|x<1} D.{x|x ≤2} 答案 A4.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a =________. 答案 15.已知A ={|a +1|,3,5},B ={2a +1,a 2+2a ,a 2+2a -1},若A ∩B ={2,3},则A ∪B =________.答案 {2,3,5,-5}解析 由|a +1|=2,得a =1或-3,代入求出B ,注意B 中不能有5.6.已知M ={x|x ≤-1},N ={x|x>a -2},若M ∩N ≠∅,则a 的范围是________. 答案 a<1课时作业(六)1.1.3-2集合的基本运算(第2课时)1.已知U={1,3},A={1,3},则∁U A=()A.{1,3}B.{1}C.{3}D.∅答案 D2.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=()A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}答案 C3.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则(∁U A)∪(∁U B)=()A.{1,2,3,4,5}B.{3}C.{1,2,4,5}D.{1,5}答案 C解析∵∁U A={4,5},∁U B={1,2},故选C.4.若集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁R B)=()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案 D5.设P={x︱x<4},Q={x︱x2<4},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P答案 B6.已知全集U=Z,集合A={x|x=k3,k∈Z},B={x|x=k6,k∈Z},则()A.∁U A ∁U BB.A BC.A=BD.A与B中无公共元素答案 A解析∵A={x|x=26k,k∈Z},∴∁U A ∁U B,A B.7.设全集U={2,3,5},A={2,|a-5|},∁U A={5},则a的值为()A.2B.8C.2或8D.-2或8答案 C解析∁U A={5}包含两层意义,①5∉A;②U中除5以外的元素都在A中.∴|a-5|=3,解得a=2或8.8.设全集U=Z,A={x∈Z|x<5},B={x∈Z|x≤2},则∁U A与∁U B的关系是()A.∁U A ∁U BB.∁U A ∁U BC.∁U A=∁U BD.∁U A ∁U B答案 A解析∵∁U A={x∈Z|x≥5},∁U B={x∈Z|x>2}.故选A.9.设A={x||x|<2},B={x|x>a},全集U=R,若A⊆∁R B,则有()A.a=0B.a≤2C.a≥2D.a<2答案 C解析A={x|-2<x<2},∁R B={x|x≤a},在数轴上把A,B表示出来.10.已知全集U={1,2,3,4,5},S U,T U,若S∩T={2},(∁U S)∩T={4},(∁U S)∩(∁U T)={1,5},则有()A.3∈S∩TB.3∉S但3∈TC.3∈S∩(∁U T)D.3∈(∁U S)∩(∁U T)答案 C11.设全集U=Z,M={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=2k+1,k∈Z},则下列关系式中正确的有________.①M⊆P;②∁U M=∁U P;③∁U M=P;④∁U P=M.答案③④12.设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y≥1},则∁U A与∁U B的包含关系是________. 答案∁U A ∁U B解析∵∁U A={x|x<0},∁U B={y|y<1},∴∁U A ∁U B.13.已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},∁U A={2,4,6,8},∁U B={1,4,6,8,9},求集合B.解析 借助韦恩图,如右图所示, ∴U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. ∵∁U B ={1,4,6,8,9}, ∴B ={2,3,5,7}.14.设集合U ={1,2,3,4},且A ={x ∈U|x 2-5x +m =0},若∁U A ={2,3},求m 的值. 解析 ∵∁U A ={2,3},U ={1,2,3,4}, ∴A ={1,4},即1,4是方程x 2-5x +m =0的两根. ∴m =1×4=4.15.已知全集U ={2,0,3-a 2},P ={2,a 2-a -2}且∁U P ={-1},求实数a. 解析 ∵U ={2,0,3-a 2},P ={2,a 2-a -2},∁U P ={-1},∴⎩⎪⎨⎪⎧3-a 2=-1,a 2-a -2=0,解得a =2.1.如果S ={1,2,3,4,5},A ={1,3,4},B ={2,4,5},那么(∁S A)∩(∁S B)等于( ) A.∅ B.{1,3} C.{4} D.{2,5}答案 A解析 ∵∁S A ={2,5},∁S B ={1,3}, ∴(∁S A)∩(∁S B)=∅.2.设全集U ={1,2,3,4,5,6,7},P ={1,2,3,4,5},Q ={3,4,5,6,7},则P ∩(∁U Q)等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5}答案 A解析 ∵∁U Q ={1,2},∴P ∩(∁U Q)={1,2}.3.设全集U ={1,2,3,4,5,6,7},集合A ={1,3,5,7},B ={3,5},则正确的是( ) A.U =A ∪B B.U =(∁U A)∪B C.U =A ∪(∁U B) D.U =(∁U A)∪(∁U B)答案 C解析 ∵∁U B ={1,2,4,6,7}, ∴A ∪(∁U B)={1,2,3,4,5,6,7}=U.4.已知A ={x|x<3},B ={x|x<a}.若A ⊆B ,问∁R B ⊆∁R A 是否成立? 答案 成立5.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.答案126.如果S={x∈N|x<6},A={1,2,3},B={2,4,5},那么(∁S A)∪(∁S B)=________.答案{0,1,3,4,5}解析∵S={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},∴∁S A={0,4,5},∁S B={0,1,3}.∴(∁S A)∪(∁S B)={0,1,3,4,5}.课时作业(七)1.1习题课含解析(第一次作业)1.(2015·广东,理)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=() A.{1,4} B.{-1,-4}C.{0}D.∅答案 D2.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 A3.集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则下列关系中正确的是() A.M P B.P MC.M=PD.M P且P M答案 A解析P={x|x=1+(a-2)2,a∈N*},当a=2时,x=1而M中无元素1,P比M多一个元素.4.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁U B)=()A.{x|0≤x≤1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}答案 B5.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩(∁N B)=()A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}答案 A6.已知方程x2-px+15=0与x2-5x+q=0的解集分别为S与M,且S∩M={3},则p+q 的值是()A.2B.7C.11D.14答案 D解析 由交集定义可知,3既是集合S 中的元素,也是集合M 中的元素.亦即是方程x 2-px +15=0与x 2-5x +q =0的公共解,把3代入两方程,可知p =8,q =6,则p +q 的值为14.7.已知全集R ,集合A ={x|(x -1)(x +2)(x -2)=0},B ={y|y ≥0},则A ∩(∁R B)为( ) A.{1,2,-2} B.{1,2} C.{-2} D.{-1,-2}答案 C解析 A ={1,2,-2},而B 的补集是{y|y<0},故两集合的交集是{-2},选C. 8.集合P ={1,4,9,16,…},若a ∈P ,b ∈P ,则a ⊕b ∈P ,则运算⊕可能是( ) A.除法 B.加法 C.乘法 D.减法答案 C解析 当⊕为除法时,14∉P ,∴排除A ;当⊕为加法时,1+4=5∉P ,∴排除B ;当⊕为乘法时,m 2·n 2=(mn)2∈P ,故选C ; 当⊕为减法时,1-4∉P ,∴排除D.9.设全集U =Z ,集合P ={x|x =2n ,n ∈Z },Q ={x|x =4m ,m ∈Z },则U 等于( ) A.P ∪Q B.(∁U P)∪Q C.P ∪(∁U Q) D.(∁U P)∪(∁U Q)答案 C10.设S ,P 为两个非空集合,且S P ,P S ,令M =S ∩P ,给出下列4个集合:①S ;②P ;③∅;④S ∪P.其中与S ∪M 能够相等的集合的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.④答案 A11.设集合I ={1,2,3},A 是I 的子集,若把满足M ∪A =I 的集合M 叫做集合A 的“配集”,则当A ={1,2}时,A 的配集的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 A 的配集有{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4个. 12.已知集合A ,B 与集合A@B 的对应关系如下表:________.答案 {2 012,2 013}13.已知A ={2,3},B ={-4,2},且A ∩M ≠∅,B ∩M =∅,则2________M ,3________M. 答案 ∉ ∈解析 ∵B ∩M =∅,∴-4∉M ,2∉M. 又A ∩M ≠∅且2∉M ,∴3∈M.14.若集合A ={1,3,x},B ={1,x 2},且A ∪B ={1,3,x},则x =________. 答案 ±3或0解析 由A ∪B ={1,3,x},B A , ∴x 2∈A.∴x 2=3或x 2=x. ∴x =±3或x =0,x =1(舍).15.已知S ={a ,b},A ⊆S ,则A 与∁S A 的所有有序组对共有________组. 答案 4解析 S 有4个子集,分别为∅,{a},{b},{a ,b}注意有序性.⎩⎪⎨⎪⎧A ={a},∁S A ={b}和⎩⎪⎨⎪⎧A ={b},∁S A ={a}是不同的.16.已知A ⊆M ={x|x 2-px +15=0,x ∈R },B ⊆N ={x|x 2-ax -b =0,x ∈R },又A ∪B ={2,3,5},A ∩B ={3},求p ,a 和b 的值.解析 由A ∩B ={3},知3∈M ,得p =8.由此得M ={3,5},从而N ={3,2},由此得a =5,b =-6.(第二次作业)1.(2014·北京,理)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}答案 C解析解x2-2x=0,得x=0或x=2,故A={0,2},所以A∩B={0,2},故选C.2.(高考真题·全国Ⅰ)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析由题意得P=M∩N={1,3},∴P的子集为∅,{1},{3},{1,3},共4个,故选B.3.设集合A={x∈Z|0≤x≤5},B={x|x=k2,k∈A},则集合A∩B=()A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{0,1,3}D.B答案 A4.设M={1,2,m2-3m-1},P={1,3},且M∩P={1,3},则m的值为()A.4B.-1C.-4或1D.-1或4答案 D5.已知集合M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于()A.∅B.NC.MD.R答案 B解析∵M=R,N={y|y≥-1},∴M∩N=N.6.若A∪B=∅,则()A.A=∅,B≠∅B.A≠∅,B=∅C.A=∅,B=∅D.A≠∅,B≠∅答案 C7.设集合A={x|x∈Z且-15≤x≤-2},B={x|x∈Z且|x|<5},则A∪B中的元素个数是() A.10 B.11C.20D.21答案 C解析 ∵A ∪B ={x|x ∈Z 且-15≤x<5}={-15,-14,-13,…,1,2,3,4},∴A ∪B 中共20个元素.8.已知全集U ={0,1,2}且∁U A ={2},则集合A 的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 A解析 ∵A ={0,1},∴真子集的个数为22-1=3.9.如果U ={x|x 是小于9的正整数},A ={1,2,3,4},B ={3,4,5,6},那么(∁U A)∩(∁U B)等于()A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6}D.{7,8}答案 D解析 ∵∁U A ={5,6,7,8},∁U B ={1,2,7,8},∴(∁U A)∩(∁U B)={7,8}. 10.已知集合P ={x|-1≤x ≤1},M ={-a ,a},若P ∪M =P ,则a 的取值范围是( ) A.{a|-1≤a ≤1} B.{a|-1<a<1}C.{a|-1<a<1,且a ≠0}D.{a|-1≤a ≤1,且a ≠0}答案 D解析 由P ∪M =P ,得M ⊆P.所以⎩⎪⎨⎪⎧-1≤a ≤1,-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1.又由集合元素的互异性知-a ≠a ,即a ≠0, 所以a 的取值范围是{a|-1≤a ≤1,且a ≠0}.11.若A ,B ,C 为三个集合,且A ∪B =B ∩C ,则一定有( ) A.A ⊆C B.C ⊆A C.A ≠C D.A =∅答案 A12.已知集合A ={1,2,3},B ={2,m ,4},A ∩B ={2,3},则m =________. 答案 313.集合A 含有10个元素,集合B 含有8个元素,集合A ∩B 含有3个元素,则集合A ∪B 有________个元素. 答案 15解析 由A ∩B 含有3个元素知,仅有3个元素相同,根据集合元素的互异性,集合的元素个数为10+8-3=15,或直接利用韦恩图得出结果.14.已知集合A={-1,2},B={x|mx+1>0},若A∪B=B,求实数m的取值范围.思路首先根据题意判断出A与B的关系,再对m分类讨论化简集合B,根据A,B的关系求出m的范围.解析∵A∪B=B,∴A⊆B.①当m>0时,由mx+1>0,得x>-1m,此时B={x|x>-1m},由题意知-1m<-1,∴0<m<1.②当m=0时,B=R,此时A⊆B.③当m<0时,得B={x|x<-1m},由题意知-1m>2,∴-12<m<0.综上:-12<m<1.点评在解有关集合交、并集运算时,常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题.解答时应充分利用交集、并集的有关性质,准确转化条件,有时也借助数轴分析处理,另外还要注意“空集”这一隐含条件.已知全集U={a,1,3,b,x2-2=0},集合A={a,b},则∁U A=________.答案{1,3,x2-2=0}解析在全集U中除去A中的元素后所组成的集合即为∁U A,故∁U A={1,3,x2-2=0}.1.(2015·新课标全国Ⅰ,文)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案 D2.(2015·天津,理)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁U B)=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A3.(2016·天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D解析由题意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.4.(2014·辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D解析∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1},故选D.5.(2013·山东,文)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B ={1,2},则A∩(∁U B)=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅答案 A解析由题意知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中必有元素3,没有元素4,∁U B ={3,4},故A∩(∁U B)={3}.6.(2013·课标全国)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}答案 A7.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是() A.1 B.3C.5D.9答案 C解析逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时,x -y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.8.(2013·天津)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]答案 D解析解不等式|x|≤2,得-2≤x≤2,所以A=[-2,2],所以A∩B=[-2,1].9.(2012·福建)已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是()A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}答案 D解析A项,M={1,2,3,4},N={-2,2},M与N显然无包含关系,故A错.B项同A项,故B项错.C项,M∩N={2},故C错,D对.10.(2012·湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 D解析A={1,2},B={1,2,3,4},A⊆C⊆B,则集合C的个数为24-2=22=4,即C={1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故选D.11.(2012·山东)已知集合U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3,4},B={2,4},则(∁U A)∪B 为()A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}答案 C解析由题意知∁U A={0},又B={2,4},∴(∁U A)∪B={0,2,4},故选C.12.(2014·重庆,理)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,∁U A∩B=________.9},则()答案{7,9}解析由题意,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故∁U A={4,6,7,9,10},(∁U A)∩B ={7,9}.1.(2014·大纲全国理改编)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩(∁R N)=() A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0)答案 D解析∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},∴∁R N={x|x<0或x>5}.∴M∩(∁R N)={x|-1<x<0}.2.(2014·江西,文)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁R B)=() A.(-3,0) B.(-3,-1)C.(-3,-1]D.(-3,3)答案 C解析由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},∵B={x|-1<x≤5},∴∁R B={x|x≤-1或x>5}.∴A ∩(∁R B)={x|-3<x<3}∩{x|x ≤-1或x>5}={x|-3<x ≤-1}.3.(2010·北京)集合P ={x ∈Z |0≤x<3},M ={x ∈R |x 2≤9},则P ∩M =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3}答案 B4.(2016·浙江)已知集合P ={x ∈R |1≤x ≤3},Q ={x ∈R |x 2≥4},则P ∪(∁R Q)=( ) A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 答案 B解析 由于Q ={x|x ≤-2或x ≥2},∁R Q ={x|-2<x<2},故得P ∪(∁R Q)={x|-2<x ≤3}.选B.5.(2014·四川,文)已知集合A ={x|(x +1)(x -2)≤0},集合B 为整数集,则A ∩B =( ) A.{-1,0} B.{0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2} 答案 D解析 由二次函数y =(x +1)(x -2)的图像可以得到不等式(x +1)(x -2)≤0的解集A =[-1,2],属于A 的整数只有-1,0,1,2,所以A ∩B ={-1,0,1,2},故选D.6.(2012·北京)已知集合A ={x ∈R |3x +2>0},B ={x ∈R |(x +1)(x -3)>0},则A ∩B =( ) A.(-∞,-1) B.(-1,-23)C.(-23,3)D.(3,+∞)答案 D解析 A ={x|x>-23},B ={x|x>3或x<-1},则A ∩B ={x|x>3},故选D.课时作业(八) 1.2.1函数及其表示含解析1.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A.A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B.A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C.A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D.A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值 答案 A2.设集合M ={x|0≤x ≤2},N ={y|0≤y ≤2},下图所示4个图形中能表示集合M 到集合N 的函数关系的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 B3.函数f(x)=1+x +x1-x的定义域( ) A.[-1,+∞) B.(-∞,-1] C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1+x ≥0,1-x ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-1,x ≠1.故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),故选D. 4.设函数f(x)=3x 2-1,则f(a)-f(-a)的值是( ) A.0 B.3a 2-1 C.6a 2-2 D.6a 2答案 A解析 f(a)-f(-a)=3a 2-1-[3(-a)2-1]=0.5.四个函数:①y=x+1;②y=x3;③y=x2-1;④y=1x.其中定义域相同的函数有()A.①②和③B.①和②C.②和③D.②③和④答案 A6.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1) 答案 C7.已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于()A.π2B.πC.πD.不确定答案 B解析因为π2∈R,所以f(π2)=π.8.函数y=21-1-x的定义域为()A.(-∞,1)B.(-∞,0)∪(0,1]C.(-∞,0)∪(0,1)D.[1,+∞)答案 B9.将下列集合用区间表示出来.(1){x|x≥1}=________;(2){x|2≤x≤8}=________;(3){y|y=1x}=________.答案(1)[1,+∞)(2)[2,8] (3)(-∞,0)∪(0,+∞)10.若f(x)=5xx2+1,且f(a)=2,则a=________.答案12或211.已知f(x)=x2+x-1,x∈{0,1,2,3},则f(x)的值域为________.答案{-1,1,5,11}12.设函数f(n)=k(n∈N*),k是π的小数点后的第n位数字,π=3.141 592 653 5…,则f(3)=________.答案 113.若函数y =1x -2的定义域为A ,函数y =2x +6的值域是B ,则A ∩B =________. 答案 [0,2)∪(2,+∞)解析 由题意知A ={x|x ≠2},B ={y|y ≥0},则A ∩B =[0,2)∪(2,+∞). 14.已知函数f(x)=x +3+1x +2.(1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(23)的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a -1)的值.解析 (1)使根式x +3有意义的实数x 的集合是{x|x ≥-3},使分式1x +2有意义的实数x 的集合是{x|x ≠-2},所以这个函数的定义域是{x|x ≥-3}∩{x|x ≠-2}={x|x ≥-3,且x ≠-2}. (2)f(-3)=-3+3+1-3+2=-1; f(23)=23+3+123+2=113+38=38+333. (3)因为a>0,故f(a),f(a -1)有意义. f(a)=a +3+1a +2;f(a -1)=a -1+3+1(a -1)+2=a +2+1a +1.15.已知f(x)=13-x 的定义域为A ,g(x)=1a -x的定义域是B. (1)若B A ,求a 的取值范围; (2)若A B ,求a 的取值范围. 解析 A ={x|x<3},B ={x|x<a}.(1)若B A ,则a<3,∴a 的取值范围是{a|a<3}; (2)若A B ,则a>3,∴a 的取值范围是{a|a>3}.1.下列函数f(x)和g(x)中,表示同一函数的是( ) A.y =f(x)与y =f(x +1) B.y =f(x),x ∈R 与y =f(t),t ∈R C.f(x)=x 2,g(x)=x 3xD.f(x)=2x +1与g(x)=4x 2+4x +1答案 B2.下列式子中不能表示函数y =f(x)的是( ) A.x =2yB.3x +2y =1C.x =2y 2+1D.x =y答案 C3.已知函数f(x)=2x -1,则f(x +1)等于( ) A.2x -1 B.x +1 C.2x +1 D.1答案 C4.若f(x)=x 2-1x ,则f(x)的定义域为________.答案 {x|x ≤-1或x ≥1}5.下列每对函数是否表示相同函数? (1)f(x)=(x -1)0,g(x)=1; (2)f(x)=x ,g(x)=x 2; (3)f(t)=t 2t ,g(x)=|x|x .答案 (1)不是 (2)不是 (3)是6.已知A =B =R ,x ∈A ,y ∈B 对任意x ∈A ,x →y =ax +b 是从A 到B 的函数,若输出值1和8分别对应的输入值为3和10,求输入值5对应的输出值.解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a +b =1,10a +b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-2,所以对应关系f :x →y =x -2,故输入值5对应的输出值为3.7.已知f(x)=11+x ,求[f(2)+f(3)+…+f(2 016)]+[f(12)+f(13)+…+f(12 016)].答案 2 015解析 f(x)+f(1x )=11+x+11+1x=11+x +x1+x =1,则原式=⎣⎡⎦⎤f (2)+f (12)+⎣⎡⎦⎤f (3)+f (13)+…+⎣⎡⎦⎤f (2 016)+f (12 016)=2 015.8.已知函数g(x)=x +2x -6,(1)点(3,14)在函数的图像上吗? (2)当x =4时,求g(x)的值; (3)当g(x)=2时,求x 的值.答案(1)不在(2)-3(3)14课时作业(九)1.2.2-1函数的表示法(第1课时)1.下列结论正确的是( )A.任意一个函数都可以用解析式表示B.函数y =x ,x ∈{1,2,3,4}的图像是一条直线C.表格可以表示y 是x 的函数D.图像可表示函数y =f(x)的图像答案 C2.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示:A.成绩y 不是考试次数x 的函数B.成绩y 是考试次数x 的函数C.考试次数x 是成绩y 的函数D.成绩y 不一定是考试次数x 的函数答案 B3.函数f(x)=x +|x|x的图像是下图中的( )答案 C4.从甲城市到乙城市t min 的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出,其中t>0,[t]为t 的整数部分,则从甲城市到乙城市5.5 min 的电话费为( ) A.5.04元 B.5.56元 C.5.84元 D.5.38元答案 A解析 g(5.5)=1.06(0.75×5+1)=5.035≈5.04.。

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y =A sin(ωx +φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y =A sin(ωx +φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1.已知a ∈R ,且a ∉Q ,则a 可以为( ) A . 2 B .12 C .-2 D .-13[解析]2是无理数,所以2∉Q ,2∈R .[答案] A2.若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素,则a 的取值可以是( ) A .a =0 B .a =2019 C .a =1D .a =0或a =2019[解析] 若集合M 中有两个元素,则a 2≠2019a .即a ≠0,且a ≠2019.故选C . [答案] C3.下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数;②小于0的实数;③(2019,1)与(1,2019);④1,2,3,1. A .1组 B .2组 C .3组D .4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准,不满足集合中元素的确定性,所以不能构成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能构成集合;③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象,是确定的,能构成集合,注意该集合有两个元素;④中的对象是确定的,可以构成集合,根据集合中元素的互异性,可知构成的集合为{1,2,3}.[答案] C4.若方程ax2+ax+1=0的解构成的集合中只有一个元素,则a为( )A.4 B.2C.0 D.0或4[解析] 当a=0时,方程变为1=0不成立,故a=0不成立;当a≠0时,Δ=a2-4a =0,a=4,故选A.[答案] A5.下列说法正确的是________.①及第书业的全体员工形成一个集合;②2019年高考试卷中的难题形成一个集合;③方程x2-1=0与方程x+1=0所有解组成的集合中共有3个元素;④x,3x3,x2,|x|形成的集合中最多有2个元素.[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体,能形成一个集合,正确;②难题没有明确的标准,不能形成集合,错误;③方程x2-1=0的解为x=±1,方程x+1=0的解为x=-1,由集合中元素的互异性知,两方程所有解组成的集合中共有2个元素1,-1,故错误;④x=3x3,x2=|x|,故正确.[答案] ①④1.1.2集合的表示1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}[解析] ∵x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x=1,选B.[答案] B2.已知集合A={x∈N*|-5≤x≤5},则必有( )A.-1∈A B.0∈AC.3∈A D.1∈A[解析] ∵x∈N*,-5≤x≤5,∴x=1,2,即A={1,2},∴1∈A,选D. [答案] D3.一次函数y =x -3与y =-2x 的图象的交点组成的集合是( ) A .{1,-2} B .{x =1,y =-2} C .{(-2,1)}D .{(1,-2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x -3,y =-2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-2,∴交点为(1,-2),故选D.[答案] D4.若A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示集合B 为________. [解析] 当t =-2时,x =4; 当t =2时,x =4; 当t =3时,x =9; 当t =4时,x =16; ∴B ={4,9,16}. [答案] {4,9,16}5.选择适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于2的整数组成的集合;(2)方程(3x -5)(x +2)=0的实数解组成的集合; (3)一次函数y =x +6图象上所有点组成的集合.[解] (1)绝对值不大于2的整数是-2,-1,0,1,2,共有5个元素,则用列举法表示为{-2,-1,0,1,2}.(2)方程(3x -5)(x +2)=0的实数解仅有两个,分别是53,-2,用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53,-2. (3)一次函数y =x +6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x ,y )|y =x +6}.课内拓展 课外探究 集合的表示方法1.有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时,称之为有限集;而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集.当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合;对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合.对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.【典例1】 用列举法表示下列集合: (1)正整数集;(2)被3整除的数组成的集合.[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}.(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,-6,-3,0,3,6,…}.[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…};(2)此题中的省略号不能漏掉.2.集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的.对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等).【典例2】已知下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.问:它们是否为同一个集合?它们各自的含义是什么?[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合.集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,即满足条件y=x2+1中的所有x,∴{x|y=x2+1}=R.集合②{y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y =x2+1}={y|y≥1}.集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y=x2+1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y=x2+1.∴{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y=x2+1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样.1.2集合间的基本关系1.下列四个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②∅={∅};③∅{0};④0∈{0}.其中正确的个数是( )A.4 B.3C.2 D.1[解析] 对于①,任何集合是其本身的子集,正确;对于②,相对于集合{∅}来说,∅∈{∅},也可以理解为∅⊆{∅},错误;对于③,空集是非空集合的真子集,故∅{0}正确;对于④,0是集合{0}的元素,故0∈{0}正确.[答案] B2.集合A={x|-1≤x<2,x∈N}的真子集的个数为( )A .4B .7C .8D .16[解析] A ={-1,0,1},其真子集为∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},共有22-1=4(个).[答案] A3.已知集合A ={3,-1},集合B ={|x -1|,-1},且A =B ,则实数x 等于( ) A .4 B .-2 C .4或-2D .2[解析] ∵A =B ,∴|x -1|=3,解得x =4或x =-2. [答案] C4.已知集合A ⊆{0,1,2},且集合A 中至少含有一个偶数,则这样的集合A 的个数为________.[解析] 集合{0,1,2}的子集为:∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个.[答案] 65.设集合A ={x |-1≤x ≤6},B ={x |m -1≤x ≤2m +1},已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围;(2)当x ∈N 时,求集合A 的子集的个数.[解] (1)当m -1>2m +1,即m <-2时,B =∅,符合题意. 当m -1≤2m +1,即m ≥-2时,B ≠∅. 由B ⊆A ,借助数轴(如图),得⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥-1,2m +1≤6,解得0≤m ≤52.综上所述,实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <-2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时,A ={0,1,2,3,4,5,6}, ∴集合A 的子集的个数为27=128.1.3.1并集与交集1.设集合A ={-1,1,2,3,5},B ={2,3,4},C ={x ∈R |1≤x <3},则(A ∩C )∪B =( ) A .{2} B .{2,3} C .{-1,2,3}D .{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ={1,2},所以(A ∩C )∪B ={1,2,3,4},选D. [答案] D2.集合P ={x ∈Z |0≤x <3},M ={x ∈R |x 2≤9},则P ∩M 等于( ) A .{1,2} B .{0,1,2} C .{x |0≤x ≤3}D .{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ={0,1,2},M ={x |-3≤x ≤3}, 故P ∩M ={0,1,2}. [答案] B3.已知集合A ={x |x >2或x <0},B ={x |-5<x <5},则( ) A .A ∩B =∅ B .A ∪B =R C .B ⊆AD .A ⊆B[解析] ∵A ={x |x >2或x <0},B ={x |-5<x <5},∴A ∩B ={x |-5<x <0或2<x <5},A ∪B =R .故选B.[答案] B4.设集合M ={x |-3≤x <7},N ={x |2x +k ≤0},若M ∩N ≠∅,则实数k 的取值范围为________.[解析] 因为N ={x |2x +k ≤0}=⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤-k 2,且M ∩N ≠∅,所以-k2≥-3⇒k ≤6.[答案] k ≤65.已知集合M ={x |2x -4=0},集合N ={x |x 2-3x +m =0}, (1)当m =2时,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N =M 时,求实数m 的值.[解] (1)由题意得M ={2}.当m =2时,N ={x |x 2-3x +2=0}={1,2}, 则M ∩N ={2},M ∪N ={1,2}.(2)∵M ∩N =M ,∴M ⊆N .∵M ={2},∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2-3x +m =0的解,即4-6+m=0,解得m=2.由(1)知,M∩N={2}=M,适合题意,故m=2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}[解析] ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.[答案] D2.已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁U B)∩A=( )A.{3} B.{0,1,2,4,7,8}C.{1,2} D.{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以(∁U B)∩A={1,2}.[答案] C3.设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{1,2,7,8} B.{4,5,6}C.{0,4,5,6} D.{0,3,4,5,6}[解析] ∵U={x∈N|x≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},∴∁U A={0,2,4,5,6,8},∁U B={0,1,4,5,6,7},∴(∁U A)∩(∁U B)={0,4,5,6}.[答案] C4.全集U={x|0<x<10},A={x|0<x<5},则∁U A=________.[解析] ∁U A={x|5≤x<10},如图所示.[答案] {x|5≤x<10}5.设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且∁U A={5},求实数a的值.[解] ∵∁U A={5},∴5∈U,但5∉A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.当a=2时,|2a-1|=3,这时A={3,2},U={2,3,5}.∴∁U A={5},适合题意.∴a=2.当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},A⃘U,∴∁U A无意义,故a =-4应舍去.综上所述,a=2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合,它既不是有限集,也不是无限集.空集就像一个无处不在的幽灵,解题时需处处设防,提高警惕.空集是任何集合的子集,其中“任何集合”当然也包括了∅,故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立,原因是前面空集中无元素,不符合定义,因此知道这一条是课本“规定”.空集是任何非空集合的真子集,即∅A(而A≠∅).既然A≠∅,即必存在a∈A而a∉∅,∴∅A.由于空集的存在,关于子集定义的下列说法有误,如“A⊆B,即A为B中的部分元素所组成的集合”.因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论.在解决诸如A⊆B或A B类问题时,必须优先考虑A=∅时是否满足题意.【典例1】已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},求满足B⊆A 的a的值组成的集合.[解] 由已知得A={-2,4},B是关于x的一元二次方程x2+ax+a2-12=0(*)的解集.方程(*)根的判别式Δ=a2-4(a2-12)=-3(a2-16).(1)若B=∅,则方程(*)没有实数根,即Δ<0,∴-3(a2-16)<0,解得a <-4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅,则B ={-2}或{4}或{-2,4}.①若B ={-2},则方程(*)有两个相等的实数根x =-2, ∴(-2)2+(-2)a +a 2-12=0,即a 2-2a -8=0. 解得a =4或a =-2.当a =4时,恰有Δ=0; 当a =-2时,Δ>0,舍去.∴当a =4时,B ⊆A . ②若B ={4},则方程(*)有两个相等的实数根x =4, ∴42+4a +a 2-12=0,解得a =-2,此时Δ>0,舍去.③若B ={-2,4},则方程(*)有两个不相等的实数根x =-2或x =4,由①②知a =-2,此时Δ>0,-2与4恰是方程的两根.∴当a =-2时,B ⊆A .综上所述,满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <-4或a =-2或a ≥4}.[点评] ∅有两个独特的性质,即:(1)对于任意集合A ,皆有A ∩∅=∅;(2)对于任意集合A ,皆有A ∪∅=A .正因如此,如果A ∩B =∅,就要考虑集合A 或B 可能是∅;如果A ∪B =A ,就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】 设全集U =R ,集合M ={x |3a -1<x <2a ,a ∈R },N ={x |-1<x <3},若N ⊆(∁UM ),求实数a 的取值集合.[解] 根据题意可知:N ≠∅,又∵N ⊆(∁U M ). ①当M =∅,即3a -1≥2a 时,a ≥1. 此时∁U M =R ,N ⊆(∁U M )显然成立. ②当M ≠∅,即3a -1<2a 时,a <1.由M ={x |3a -1<x <2a },知∁U M ={x |x ≤3a -1或x ≥2a }.又∵N ⊆(∁U M ),∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1,3≤3a -1,或⎩⎪⎨⎪⎧a <1,2a ≤-1,得a ≤-12.综上可知,a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤-12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分,在后续内容中应用特别广泛,涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主,因此需要对相关的性质有深刻的理解.对于有限集,在处理包含关系时可列出所有的元素,然后依条件讨论各种情况,找到符合条件的结果.1.4.1充分条件与必要条件1.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件,也不是必要条件D.无法判断[解析] 因为a=2⇒(a-1)(a-2)=0,而(a-1)(a-2)=0不能推出a=2,故a=2是(a-1)(a-2)=0的充分条件,应选A.[答案] A2.设x∈R,则x>2的一个必要条件是( )A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3[解析] 因为x>2⇒x>1,所以选A.[答案] A3.下列命题中,是真命题的是( )A.“x2>0”是“x>0”的充分条件B.“xy=0”是“x=0”的必要条件C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件D.“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中,x2>0⇒x>0或x<0,不能推出x>0,而x>0⇒x2>0,故x2>0是x>0的必要条件.B中,xy=0⇒x=0或y=0,不能推出x=0,而x=0⇒xy=0,故xy=0是x=0的必要条件.C中,|a|=|b|⇒a=b或a=-b,不能推出a=b,而a=b⇒|a|=|b|,故|a|=|b|是a=b的必要条件.D中,|x|>1⇒x2不小于1,而x2不小于1不能推出|x|>1,故|x|>1是x2不小于1的充分条件,故本题应选B.[答案] B4.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的____________条件.[答案] 不必要(填必要、不必要)5.(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件,求m的取值范围.(2)已知M={x|a-1<x<a+1},N={x|-3<x<8},若N是M的必要条件,求a的取值范围.[解] (1)记A={x|x>2或x<1},B={x|x<m}由题意可得B⊆A,即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}.所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}. (2)因为N 是M 的必要条件,所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a -1≥-3,a +1≤8,从而可得-2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |-2≤a ≤7}.1.4.2充要条件1.设x ∈R ,则“x <-1”是“|x |>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 因为x <-1⇒|x |>1,而|x |>1⇒x <-1或x >1,故“x <-1”是“|x |>1”的充分不必要条件.[答案] A2.“x 2+(y -2)2=0”是“x (y -2)=0”的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] x 2+(y -2)2=0,即x =0且y =2,∴x (y -2)=0.反之,x (y -2)=0,即x =0或y =2,x 2+(y -2)2=0不一定成立.[答案] B3.已知A ,B 是非空集合,命题p :A ∪B =B ,命题q :A B ,则p 是q 的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .既不充分也不必要条件D .必要不充分条件[解析] 由A ∪B =B ,得A B 或A =B ;反之,由A B ,得A ∪B =B ,所以p 是q 的必要不充分条件.[答案] D4.关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________. [解析] 由题意知|x |>a 恒成立,∵|x |≥0,∴a <0. [答案] a <05.已知x ,y 都是非零实数,且x >y ,求证:1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一:①充分性:由xy >0及x >y ,得x xy >y xy ,即1x <1y.②必要性:由1x <1y ,得1x -1y <0,即y -xxy<0.因为x >y ,所以y -x <0,所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二:1x <1y ⇔1x -1y <0⇔y -xxy<0.由条件x >y ⇔y -x <0,故由y -xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0,即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1.下列命题中,不是全称量词命题的是( ) A .任何一个实数乘0都等于0 B .自然数都是正整数C .对于任意x ∈Z,2x +1是奇数D .一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题. [答案] D2.下列命题中,存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④任意x ∈R ,y ∈R ,都有x 2+|y |>0.A .0B .1C .2D .3[解析] 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④是全称量词命题.故有1个存在量词命题.[答案] B3.下列命题是“∀x ∈R ,x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A .有一个x ∈R ,使得x 2>3B .对有些x ∈R ,使得x 2>3 C .任选一个x ∈R ,使得x 2>3 D .至少有一个x ∈R ,使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ,x 2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. [答案] C4.对任意x >8,x >a 恒成立,则实数a 的取值范围是________. [解析] ∵对于任意x >8,x >a 恒成立,∴大于8的数恒大于a ,∴a ≤8. [答案] a ≤85.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题?并判断其真假. (1)∃x ∈R ,|x |+2≤0;(2)存在一个实数,使等式x 2+x +8=0成立;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )都对应一点. [解] (1)存在量词命题.∵∀x ∈R ,|x |≥0,∴|x |+2≥2,不存在x ∈R , 使|x |+2≤0.故命题为假命题. (2)存在量词命题.∵x 2+x +8=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+314>0,∴命题为假命题.(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题“∃x ∈R ,x 2-2x -3≤0”的否定是( ) A .∀x ∈R ,x 2-2x -3≤0 B .∃x ∈R ,x 2-2x -3≥0 C .∃x 0∈R ,x 2-2x -3>0 D .∀x ∈R ,x 2-2x -3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,一方面要改量词即“∃”改为“∀”;另一方面要否定结论,即“≤”改为“>”.故选D.[答案] D2.已知命题p :∀x >0,x 2≥2,则它的否定为( )A .∀x >0,x 2<2 B .∀x ≤0,x 2<2 C .∃x ≤0,x 2<2 D .∃x >0,x 2<2[答案] D3.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A .所有能被5整除的整数都不是奇数 B .所有奇数都不能被5整除C .存在一个能被5整除的整数不是奇数D .存在一个奇数,不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题,而选项A ,B 是全称量词命题,所以选项A ,B 错误.因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”,所以选项D 错误,选项C 正确,故选C.[答案] C4.对下列命题的否定,其中说法错误的是( )A .p :∀x ≥3,x 2-2x -3≥0;p 的否定:∃x ≥3,x 2-2x -3<0B .p :存在一个四边形的四个顶点不共圆;p 的否定:每一个四边形的四个顶点共圆C .p :有的三角形为正三角形;p 的否定:所有的三角形不都是正三角形D .p :∃x ∈R ,x 2+2x +2≤0;p 的否定:∀x ∈R ,x 2+2x +2>0[解析] 若p :有的三角形为正三角形,则p 的否定:所有的三角形都不是正三角形,故C 错误.[答案] C5.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)菱形是平行四边形;(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (3)存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)∃x ∈R ,使得x 2+x +1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”,这个命题为假命题. (2)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线;这个命题为假命题.(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”,这个命题为真命题.(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ,x 2+x +1>0”,这个命题为真命题.因为x 2+x +1=x 2+x +14+34=⎝⎛⎭⎪⎫x +122+34>0.2.1等式性质与不等式性质1.下列说法正确的为( ) A .若1x =1y,则x =yB .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =yD .若x <y ,则x 2<y 2[解析] ∵1x =1y,且x ≠0,y ≠0,两边同乘以xy ,得x =y .[答案] A2.设a ,b 为非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是( ) A .a 2<b 2B .ab 2<a 2b C .1ab 2<1a 2bD .b a <a b[解析] 用a =-1,b =1,试之,易排除A ,D.再取a =1,b =2,易排除B. [答案] C3.下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ,b ≠0,则a b>1; ②若a >b ,且a +c >b +d ,则c >d ; ③若a >b ,且ac >bd ,则c >d . A .0 B .1 C .2 D .3[解析] ①若a =2,b =-1,则不符合;②取a =10,b =2,c =1,d =3,虽然满足a >b 且a +c >b +d ,但不满足c >d ,故错;③当a =-2,b =-3,取c =-1,d =2,则不成立.[答案] A4.若x ≠2或y ≠-1,M =x 2+y 2-4x +2y ,N =-5,则M 与N 的大小关系为________. [解析] ∵x ≠2或y ≠-1,∴M -N =x 2+y 2-4x +2y +5=(x -2)2+(y +1)2>0,∴M >N . [答案] M >N5.若-1≤a ≤3,1≤b ≤2,则a -b 的范围为________. [解析] ∵-1≤a ≤3,-2≤-b ≤-1, ∴-3≤a -b ≤2. [答案] -3≤a -b ≤22.2.1基本不等式1.若ab >0,则下列不等式不一定能成立的是( ) A .a 2+b 2≥2ab B .a 2+b 2≥-2ab C .a +b2≥abD .b a +a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号,当a 、b 均为负号时,不成立. [答案] C 2.已知a >1,则a +12,a ,2aa +1三个数的大小顺序是( ) A.a +12<a <2a a +1 B.a <a +12<2aa +1C.2a a +1<a <a +12 D.a <2a a +1≤a +12 [解析] 当a ,b 是正数时,2ab a +b ≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22(a ,b ∈R +),令b =1,得2aa +1≤a ≤a +12.又a >1,即a ≠b ,故上式不能取等号,选C.[答案] C3.b a +ab≥2成立的条件是________.[解析] 只要b a 与a b都为正,即a 、b 同号即可. [答案] a 与b 同号4.设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式:b +c a +c +a b +a +bc≥6. [证明] 因为a >0,b >0,c >0, 所以b a +ab ≥2,c a +a c ≥2,b c +c b≥2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫b c +c b ≥6,当且仅当b a =a b ,c a =a c ,c b =bc, 即a =b =c 时,等号成立.所以b +c a +c +a b +a +bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1.已知y =x +1x-2(x >0),则y 有( )A .最大值为0B .最小值为0C .最小值为-2D .最小值为2[答案] B2.已知0<x <1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1,∴1-x >0.∴x (1-x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=14,当且仅当x =1-x ,即x =12时,等号成立.[答案] B3.已知p ,q ∈R ,pq =100,则p 2+q 2的最小值是________. [答案] 2004.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________. [解析] 由基本不等式,得4x +a x≥24x ·a x =4a ,当且仅当4x =a x,即x =a2时,等号成立,即a2=3,a =36.[答案] 365.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000,该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?[解] 由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x =12x +80000x-200≥212x ·80000x-200=200, 当且仅当12x =80000x,即x =400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1.不等式-x 2-5x +6≤0的解集为( ) A .{x |x ≥6或x ≤-1} B .{x |-1≤x ≤6} C .{x |-6≤x ≤1}D .{x |x ≤-6或x ≥1}[解析] 由-x 2-5x +6≤0得x 2+5x -6≥0, 即(x +6)(x -1)≥0, ∴x ≥1或x ≤-6. [答案] D2.一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为2,-1,则当a <0时,不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为( )A .{x |x <-1或x >2}B .{x |x ≤-1或x ≥2}C .{x |-1<x <2}D .{x |-1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象可得{x |-1≤x ≤2},故选D. [答案] D3.若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x |-7<x <-1},那么a 的值是( ) A .1 B .2 C .3 D .4[解析] 由题可知-7和-1为ax 2+8ax +21=0的两个根,∴-7×(-1)=21a,a =3.[答案] C4.不等式x 2-4x +5≥0的解集为________. [解析] ∵Δ=(-4)2-4×5=-4<0, ∴不等式x 2-4x +5≥0的解集为R . [答案] R5.当a >-1时,关于x 的不等式x 2+(a -1)x -a >0的解集是________. [解析] 原不等式可化为(x +a )(x -1)>0, 方程(x +a )(x -1)=0的两根为-a,1, ∵a >-1,∴-a <1,故不等式的解集为{x |x <-a 或x >1}. [答案] {x |x <-a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1.不等式x -2x +3>0的解集是( ) A .{x |-3<x <2} B .{x |x >2} C .{x |x <-3或x >2} D .{x |x <-2或x >3}[解析] 不等式x -2x +3>0⇔(x -2)(x +3)>0的解集是{x |x <-3或x >2},所以C 选项是正确的.[答案] C2.若集合A ={x |-1≤2x +1≤3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -2x ≤0,则A ∩B =( ) A .{x |-1≤x <0} B .{x |0<x ≤1} C .{x |0≤x ≤2}D .{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ={x |-1≤x ≤1},B ={x |0<x ≤2},∴A ∩B ={x |0<x ≤1}. [答案] B3.若不等式x 2+mx +m2>0的解集为R ,则实数m 的取值范围是( )A .m >2B .m <2C .m <0或m >2D .0<m <2[解析] 由题意得Δ=m 2-4×m2<0,即m 2-2m <0,解得0<m <2.[答案] D4.已知不等式x 2+ax +4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( ) A .-4≤a ≤4 B .-4<a <4 C .a ≤-4或a ≥4D .a <-4或a >4[解析] 依题意应有Δ=a 2-16≤0,解得-4≤a ≤4,故选A. [答案] A5.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y =3000+20x -0.1x 2(0<x <240,x ∈R ),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A .100台B .120台C .150台D .180台 [解析] 3000+20x -0.1x 2≤25x ⇔x 2+50x -30000≥0,解得x ≤-200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1.函数f (x )=x -1x -2的定义域为( ) A .[1,2)∪(2,+∞) B .(1,+∞) C .[1,2)D .[1,+∞)[解析] 由题意可知,要使函数有意义,需满足{ x -1≥0,x -2≠0,即x ≥1且x ≠2.[答案] A2.函数y =1-x 2+x 的定义域为( ) A .{x |x ≤1}B .{x |x ≥0}C .{x |x ≥1或x ≤-1}D .{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x ≥0,解得0≤x ≤1.[答案] D 3.函数f (x )=(x +2)(1-x )x +2的定义域为( )A .{x |-2≤x ≤1}B .{x |-2<x <1}C .{x |-2<x ≤1}D .{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧(x +2)(1-x )≥0,x +2≠0,解得-2≤x ≤1,且x ≠-2,所以函数的定义域是{x |-2<x ≤1}.[答案] C4.集合{x |-1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________. [解析] 结合区间的定义知,用区间表示为[-1,0)∪(1,2]. [答案] [-1,0)∪(1,2]5.已知矩形的周长为1,它的面积S 是其一边长为x 的函数,则其定义域为________(结果用区间表示).[解析] 由实际意义知x >0,又矩形的周长为1,所以x <12,所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,123.1.1.2函数概念的应用1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=(x -1)2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (m )=m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同;B 中y =x 0的x 不能取0;C 中两函数的对应关系不同,故选D.[答案] D2.设f (x )=x 2-1x 2+1,则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .1B .-1 C.35 D .-35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=22-122+1⎝ ⎛⎭⎪⎫122-1⎝ ⎛⎭⎪⎫122+1=35-3454=35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-1.[答案] B3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A .y =x B .y =1xC .y =1xD .y =x 2+1[解析] y =x 的值域为[0,+∞),y =1x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y =x 2+1的值域为[1,+∞).[答案] B4.已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域是( ) A .[0,1] B .[0,1) C .[0,1)∪(1,4]D .(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知,{ 0≤2x ≤2,x -1≠0, 解得0≤x <1,所以g (x )=f (2x )x -1的定义域为[0,1). [答案] B5.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为________. [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )=2x -3∈{-1,1,3,5,7}. ∴f (x )的值域为{-1,1,3,5,7}. [答案] {-1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1.y 与x 成反比,且当x =2时,y =1,则y 关于x 的函数关系式为( ) A .y =1xB .y =-1xC .y =2xD .y =-2x[解析] 设y =k x ,当x =2时,y =1,所以1=k 2,得k =2.故y =2x.[答案] C2.由下表给出函数y =f (x ),则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B .2 C .4 D .[解析] 由题意得f (1)=4,所以f [f (1)]=f (4)=2. [答案] B3.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.[答案] C4.若3f (x -1)+2f (1-x )=2x ,则f (x )的解析式为__________________. [解析] (换元法)令t =x -1,则x =t +1,t ∈R , 原式变为3f (t )+2f (-t )=2(t +1),①以-t 代替t ,①式变为3f (-t )+2f (t )=2(1-t ),②由①②消去f (-t )得f (t )=2t +25,∴f (x )=2x +25.[答案] f (x )=2x +255.已知f (x )=x +b ,f (ax +1)=3x +2,求a ,b 的值. [解] 由f (x )=x +b ,得f (ax +1)=ax +1+b . ∴ax +1+b =3x +2,∴a =3,b +1=2,即a =3,b =1.3.1.2.2分段函数1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10,x <0,10x ,x ≥0,则f [f (-7)]的值为( )A .100B .10C .-10D .-100[解析] ∵f (-7)=10,∴f [f (-7)]=f (10)=10×10=100. [答案] A2.下列图形是函数y =x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2,x <0,分别画出y =x 2(取x ≥0部分)及y =-x 2(取x <0部分)即可.[答案] D3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A .RB .[0,2]∪{3}C .[0,+∞)D .[0,3][解析] 当0≤x ≤1时,0≤f (x )≤2,当1<x <2时,f (x )=2,当x ≥2时,f (x )=3.故0≤f (x )≤2或f (x )=3,故选B.[答案] B4.下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A .y =32|x -1|(0≤x ≤2)B .y =32-32|x -1|(0≤x ≤2)C .y =32-|x -1|(0≤x ≤2)D .y =1-|x -1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入,排除选项A ,C ;再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32代入,排除D 项. [答案] B5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f [f (a )]=2,则a =________.[解析] 当a ≤0时,f (a )=a 2+2a +2>0,f [f (a )]<0,显然不成立;当a >0时,f (a )=-a 2,f [f (a )]=a 4-2a 2+2=2,则a =±2或a =0,故a = 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1.如图所示,函数y =f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A .[-4,4]B .[-4,-3]∪[1,4]C .[-3,1]D .[-3,4][解析] 观察题中图象知,函数在[-3,1]上是增函数. [答案] C2.下列函数中,在(-∞,0]内为增函数的是( ) A .y =x 2-2 B .y =3xC .y =1+2xD .y =-(x +2)2[解析] 选项A ,B 在(-∞,0)上为减函数,选项D 在(-2,0]上为减函数,只有选项C 满足在(-∞,0]内为增函数.故选C.[答案] C3.若函数f (x )=(2a -1)x +b 是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12 [解析] 由一次函数的性质得2a -1<0,即a <12.故选D.[答案] D4.已知函数f (x )为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________.[解析] 因为f (x )在区间[-1,1]上为增函数,且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,所以⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x <12,解得-1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,125.已知函数f (x )=x -1x +1,判断f (x )在(0,+∞)上的单调性并用定义证明. [解] f (x )在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:任取x 1>x 2>0,f (x 1)-f (x 2)=x 1-1x 1+1-x 2-1x 2+1=2(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),由x 1>x 2>0知x 1+1>0,x 2+1>0,x 1-x 2>0,故f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增.3.2.1.2函数的最大(小)值1.函数f (x )在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为( )A .3,0B .3,1C .3,无最小值D .3,-2[解析] 观察图象可以知道,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;另外从图象看,无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.[答案] C2.已知函数f (x )=|x |,x ∈[-1,3],则f (x )的最大值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3[解析] 作出函数f (x )=|x |,x ∈[-1,3]的图象,如图所示.根据函数图象可知,f (x )的最大值为3.[答案] D3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A .y =1x+2B .y =3x -2C .y =x 2D .y =1-x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数,A 、D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为________(m).[解析] 设矩形花园的宽为y m ,则x 40=40-y 40, 即y =40-x ,矩形花园的面积S =x (40-x )=-x 2+40x =-(x -20)2+400,当x =20时,面积最大.[答案] 205.已知二次函数y =x 2-4x +5,分别求下列条件下函数的最小值: (1)x ∈[-1,0];(2)x ∈[a ,a +1].[解] (1)∵二次函数y =x 2-4x +5的对称轴为x =2且开口向上, ∴二次函数在x ∈[-1,0]上是单调递减的. ∴y min =02-4×0+5=5.(2)当a ≥2时,函数在x ∈[a ,a +1]上是单调递增的,y min =a 2-4a +5;当a +1≤2即a ≤1时,函数在[a ,a +1]上是单调递减的,y min =(a +1)2-4(a +1)+5=a 2-2a +2;当a <2<a +1即1<a <2时,y min =22-4×2+5=1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a +2,a ≤1,1,1<a <2,a 2-4a +5,a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1.函数y =f (x ),x ∈[-1,a ](a >-1)是奇函数,则a 等于( ) A .-1 B .0 C .1D .无法确定[解析] 由-1+a =0,得a =1.选C. [答案] C2.下列函数是偶函数的是( ) A .y =x B .y =2x 2-3C .y =1xD .y =x 2,x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数;C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称,既不是奇函数,也不是偶函数;B 项中的函数为偶函数.故选B.[答案] B3.函数f (x )=1x-x 的图象( )A .关于y 轴对称B .关于直线y =x 对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =-x 对称[解析] 函数f (x )=1x-x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f (-x )=-1x -(-x )=x -1x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,图象关于原点对称.[答案] C4.若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________.[解析] 由f (x )=(x +a )(x -4)得f (x )=x 2+(a -4)x -4a ,若f (x )为偶函数,则a -4=0,即a =4.[答案] 45.已知y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示,求不等式f (x )g (x )<0的解集.[解] 由题知,y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数. 根据函数图象的对称性画出y =f (x ),y =g (x )在[-3,0]上的图象如图所示.由图可知f (x )>0⇔0<x <2或-2<x <0,g (x )>0⇔1<x <3或-1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0,g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0,g (x )>0,可求得其解集是{x |-2<x <-1或0<x <1或2<x <3}.3.2.2.2函数奇偶性的应用1.函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=-x +1,则当x <0时,f (x )的解析式为( )A .f (x )=-x +1B .f (x )=-x -1C .f (x )=x +1D .f (x )=x -1[解析] 设x <0,则-x >0.∴f (-x )=x +1,又函数f (x )是奇函数. ∴f (-x )=-f (x )=x +1, ∴f (x )=-x -1(x <0). [答案] B2.设f (x )是R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单凋递增,则f (-2),f (-π),f (3)的大小顺序是( )A .f (-π)>f (3)>f (-2)B .f (-π)>f (-2)>f (3)C .f (3)>f (-2)>f (-π)D .f (3)>f (-π)>f (-2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数, ∴f (-2)=f (2),f (-π)=f (π), 又f (x )在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π, ∴f (π)>f (3)<f (2), 即f (-π)>f (3)>f (-2). [答案] A3.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,23 [解析] 由于f (x )为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则不等式f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,即-13<2x -1<13,解得13<x <23.。

高中数学必修一 人教A版·数学·必修1课时作业1集合的含义 Word版含解析

高中数学必修一 人教A版·数学·必修1课时作业1集合的含义 Word版含解析
A.0∉MB.2∈M
C.-4∉MD.4∈M
【解析】当x>0,y>0,z>0时,代数式的值为4,所以4∈M,故选D.
【答案】D
12.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为________.
【解析】因为y=-x2+1≤1,且y∈N,
所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1,又t∈A,所以t=0或1.
10.数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,求集合中的其他元素.
【解析】因为 ∈A,所以 =2∈A,
所以 =-3∈A,
所以 =- ∈A,
所以 = ∈A.
故当 ∈A时,集合中的其他元素为2,-3,- .
|
11.已知x,y,z为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()
【解析】因为x2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0,当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1.
【答案】-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)大于3的所有自然数组成一个集合;
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合;
【答案】A
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.下列对象:①方程x2=2的正实根,②我校高一年级聪明的同学,③大于3小于12的所有整数,④函数y=2x的图像上的点.能构成集合的个数为___________________________________.
【解析】①③④中对象具有确定性,能构成集合;而②中对象含糊不清,不确定,故不能构成集合.
【答案】B
3.设A是方程x2-ax-5=0的解集,且-5∈A,则实数a的值为()

(人教A版)高中数学必修1(全册)课时同步作业汇总

(人教A版)高中数学必修1(全册)课时同步作业汇总

(人教A版 )高中数学必修1 (全册 )课时同步作业汇总活页作业(一) 集合的含义(时间:45分钟总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.以下几组对象可以构成集合的是( )A.充分接近π的实数的全体B.善良的人C.世|界著名的科学家D .某单位所有身高在1.7 m 以上的人 解析:A 、B 、C 中标准不明确 ,应选D. 答案:D2.下面有四个语句: ①集合N *中最|小的数是0; ②-a ∉N ,那么a ∈N ;③a ∈N ,b ∈N ,那么a +b 的最|小值是2; ④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中正确语句的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:N *是不含0的自然数 ,所以①错误; 取a = 2 ,那么-2∉N ,2∉N ,所以②错误;对于③ ,当a =b =0时 ,a +b 取得最|小值是0 ,而不是2 ,所以③错误;对于④ ,解集中只含有元素1 ,故④错误.答案:A3.集合A 含有三个元素2,4,6 ,且当a ∈A 时 ,有6-a ∈A ,那么a 为( ) A .2 B .2或4 C .4D .0解析:假设a =2∈A ,那么6-a =4∈A ;或a =4∈A ,那么6-a =2∈A ;假设a =6∈A ,那么6-a =0∉A .应选B.答案:B4.假设集合M 中的三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长 ,那么△ABC 一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等腰三角形解析:由集合中元素的互异性可知△ABC 的三边长满足a ≠b ≠c .应选D. 答案:D5.设a ,b ∈R ,集合A 中含有0 ,b ,ba三个元素 ,集合B 中含有1 ,a ,a +b 三个元素 ,且集合A 与集合B 相等 ,那么a +2b =( )A .1B .0C .-1D .不确定解析:由题意知a +b =0 ,∴b a=-1 ,∴a =-1 ,b =1 ,∴a +2b =1.答案:A二、填空题(每题5分 ,共15分)6.集合A中只含有1 ,a2两个元素 ,那么实数a不能取的值为________.解析:由a2≠1 ,得a≠±1.答案:±17.假设集合P含有两个元素1,2 ,集合Q含有两个元素1 ,a2 ,且P ,Q相等 ,那么a =________.解析:由于P ,Q相等 ,故a2=2 ,从而a=± 2.答案:± 28.集合P中元素x满足:x∈N ,且2<x<a ,又集合P中恰有三个元素 ,那么整数a =________.解析:∵x∈N ,且2<x<a ,∴结合数轴可得a=6.答案:6三、解答题(每题10分 ,共20分)9.假设所有形如3a+2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-22是不是集合A中的元素.解:∵3a+2b(a∈Z ,b∈Z)中 ,令a=2 ,b=-2 ,可得6-2 2 ,∴6-22是集合A中的元素.10.设集合A中含有三个元素3 ,x ,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)假设-2∈A ,求实数x.解:(1)由集合中元素的互异性可知 ,x≠3 ,且x≠x2-2x ,x2-2x≠3.解得x≠3 ,且x≠0 ,且x≠-1.(2)∵-2∈A ,∴x=-2或x2-2x=-2.由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1 ,∴x=-2.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.2a∈A ,a2-a∈A ,假设A只含这两个元素 ,那么以下说法中正确的选项是( ) A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D .a 可取除去0和3以外的所有实数解析:∵2a ∈A ,a 2-a ∈A ,∴2a ≠a 2-a .∴a (a -3)≠0.∴a ≠0且a ≠3.应选D. 答案:D2.集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y =-x 2+1 ,假设t ∈A ,那么t 的值为( ) A .0 B .1C .0或1D .小于等于1解析:∵y ∈N 且y =-x 2+1≤1 ,∴y =0或1.∵t ∈A ,∴t =0或1. 答案:C二、填空题(每题5分 ,共10分)3.集合A 是由m -1,3m ,m 2-1三个元素组成的集合 ,且3∈A ,那么实数m 的值为________.解析:由m -1=3 ,得m =4 ,此时3m =12 ,m 2-1=15 ,故m =4符合题意;由3m =3 ,得m =1 ,此时m -1=m 2-1=0 ,故舍去;由m 2-1=3 ,得m =±2 ,经检验m =±2符合题意.故填4或±2.答案:4或±24.假设a ,b ∈R 且a ≠0 ,b ≠0 ,那么|a |a +|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0 ,b >0时 ,|a |a +|b |b=2;当ab <0时 ,|a |a +|b |b =0;当a <0 ,b <0时 ,|a |a+|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0 ,-2.即集合中元素的个数为3. 答案:3三、解答题(每题10分 ,共20分)5.集合A 的元素由kx 2-3x +2=0的解构成 ,其中k ∈R ,假设A 中的元素只有一个 ,求k 的值.解:由题意知A 中元素即方程kx 2-3x +2=0(k ∈R )的解. 假设k =0 ,那么x =23 ,知A 中只有一个元素 ,符合题意;假设k ≠0 ,那么方程为一元二次方程.当Δ=9-8k =0 ,即k =98时 ,方程kx 2-3x +2=0有两个相等的实数解 ,此时A 中只有一个元素.综上所述 ,k =0或98.6.集合A 中的元素全为实数 ,且满足:假设a ∈A ,那么1+a1-a ∈A .(1)假设a =2 ,求出A 中其他所有元素. (2)0是不是集合A 中的元素 ?请说明理由. 解:(1)由2∈A ,得1+21-2=-3∈A .又由-3∈A, 得1-31+3=-12∈A .再由-12∈A ,得1-121+12=13∈A .由13∈A ,得1+131-13=2∈A . 故A 中除2外 ,其他所有元素为-3 ,-12 ,13.(2)0不是集合A 中的元素.理由如下: 假设0∈A ,那么1+01-0=1∈A ,而当1∈A 时 ,1+a1-a不存在 ,故0不是集合A 中的元素.活页作业(二) 集合的表示(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.集合A ={x ∈N |-3≤x ≤3} ,那么有( ) A .-1∈A B .0∈A C.3∈AD .2∈A解析:∵0∈N 且-3<0< 3 ,∴0∈A . 答案:B2.集合M ={y |y =x 2} ,用自然语言描述M 应为( ) A .函数y =x 2的函数值组成的集合B.函数y=x2的自变量的值组成的集合C.函数y=x2的图象上的点组成的集合D.以上说法都不对解析:从描述法表示的集合来看 ,代表元素是函数值 ,即集合M表示函数y=x2的函数值组成的集合.答案:A3.集合{-2,1}等于( )A.{(x-1)(x+2)=0} B.{y|y=x+1 ,x∈Z}C.{x|(x+1)(x-2)=0} D.{x|(x-1)(x+2)=0}解析:选项A是含有一个一元二次方程的集合 ,选项B是函数y=x+1 ,x∈Z的函数值组成的集合 ,有无数多个元素 ,选项C是方程(x+1)(x-2)=0的解的集合为{-1,2} ,选项D是方程(x-1)(x+2)=0的解的集合为{1 ,-2}.应选D.答案:D4.假设1∈{x ,x2} ,那么x=( )A.1 B.-1C.0或1 D.0或1或-1解析:∵1∈{x ,x2} ,∴x=1或x2=1 ,∴xx=1 ,那么x=x2=1 ,不符合集合中元素的互异性.答案:B5.以下集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)} ,N={(2,3)}B.M={3,2} ,N={2,3}C.M={(x ,y)|x+y=1} ,N={y|x+y=1}D.M={1,2} ,N={(1,2)}解析:A中M、N都为点集 ,元素为点的坐标 ,顺序不同表示的点不同;C中M、N分别表示点集和数集;D中M为数集 ,N为点集 ,应选B.答案:B二、填空题(每题5分 ,共15分)6.集合A={x|x2=a ,x∈R} ,那么实数a的取值范围是________.解析:当x∈R时 ,a=x2≥0.答案:a≥07.集合A={-1,0,1} ,集合B={y|y=|x| ,x∈A} ,那么B=____________.解析:∵|-1|=1 ,|0|=0 ,|1|=1 ,∴B={0,1}.答案:{0,1}8.集合A =⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫125-x ∈N x ∈N ,那么用列举法表示为__________________.解析:根据题意 ,5-x 应该是12的因数 ,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12 ,从而可得到对应xx ∈N ,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{4,3,2,1}三、解答题(每题10分 ,共20分) 9.用另一种方法表示以下集合. (1){绝|对值不大于2的整数}; (2){能被3整除 ,且小于10的正数}; (3){x |x =|x | ,x <5 ,且x ∈Z }; (4){(x ,y )|x +y =6 ,x ∈N *,y ∈N *}; (5){-3 ,-1,1,3,5}. 解:(1){-2 ,-1,0,1,2}. (2){3,6,9}.(3)∵x =|x | ,∴x ∵x ∈Z ,且x <5 , ∴x =0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){(1,5) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,2) ,(5,1)}. (5){x |x =2k -1 ,-1≤k ≤3 ,k ∈Z }.10.集合A ={x |ax 2-3x -4=0 ,x ∈R } ,假设A 中至|多有一个元素 ,求实数a 的取值范围.解:当a =0时 ,A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-43;当a ≠0时 ,关于x 的方程ax 2-3x -4=0应有两个相等的实数根或无实数根 , ∴Δ=9+16a ≤0 ,即a ≤-916. 综上 ,所求实数a 的取值范围是a =0或a ≤-916.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.设x =13-52 ,y =3+2π ,集合M ={m |m =a +2b ,a ∈Q ,b ∈Q } ,那么x ,y 与集合M 的关系是( )A .x ∈M ,y ∈MB .x ∈M ,y ∉MC .x ∉M ,y ∈MD .x ∉M ,y ∉M 解析:x =13-52=3+523-523+52=-341-2×541∈M ,y ∉M .应选B. 答案:B2.用描述法表示如下图阴影局部的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A .{-2≤x ≤0且-2≤y ≤0}B .{(x ,y )|-2≤x ≤0且-2≤y ≤0}C .{(x ,y )|-2≤x ≤0且-2≤y <0}D .{(x ,y )|-2≤x ≤0或-2≤y ≤0}解析:阴影局部为点集 ,且包括边界上的点 ,所以-2≤x ≤0且-2≤y ≤0. 答案:B二、填空题(每题5分 ,共10分)3.集合A ={(x ,y )|y =2x +1} ,B ={(x ,y )|y =x +3} ,a ∈A 且a ∈B ,那么a 为________.解析:∵a ∈A 且a ∈B ,∴a 是方程组⎩⎨⎧y =2x +1 y =x +3的解.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x =2 y =5 ∴a为(2,5).答案:(2,5)4.A ={1,2,3} ,B ={1,2} ,定义集合间的运算A +B ={x |x =x 1+x 2 ,x 1∈A ,x 2∈B } ,那么集合A +B 中元素的最|大值是________.解析:当x 1=1 ,x 2=1或2时 ,x =2或3;当x 1=2 ,x 2=1或2时 ,x =3或4;当x 1=3 ,x 2=1或2时 ,x =4或5.∴集合A +B 中元素的最|大值是5.答案:5三、解答题(每题10分 ,共20分)5.集合A ={(x ,y )|2x -y +m >0} ,B ={(x ,y )|x +y -n ≤0} ,假设点P (2,3)∈A ,且P (2,3)∉B ,试求m ,n 的取值范围.解:∵点P ∈A ,∴2×2-3+m >0.∴m >-1. ∵点P ∉B ,∴2+3-n >0.∴n <5.∴所求m ,n 的取值范围分别是{m |m >-1} ,{n |n <5}.6.集合P ={x |x =2k ,k ∈Z } ,M ={x |x =2k +1 ,k ∈Z } ,a ∈P ,b ∈M ,设c =a +b ,那么c 与集合M 有什么关系 ?解:∵a ∈P ,b ∈M ,c =a +b , 设a =2k 1 ,k 1∈Z ,b =2k 2+1 ,k 2∈Z , ∴c =2k 1+2k 2+1=2(k 1+k 2)+1. 又k 1+k 2∈Z , ∴c ∈M .活页作业(三) 集合间的根本关系(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分) 1.以下关系中 ,表示正确的选项是( ) A .1∈{0,1} B .1{0,1} C .1⊆{0,1}D .{1}∈{0,1}解析:、⊆表示集合之间的关系 ,故B 、C 错误;∈表示元素与集合之间的关系 ,故D 错误.答案:A2.假设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x } ,B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xy ⎪⎪⎪y x =1 ,那么A ,B 的关系为( ) A .A B B .A B C .A =BD .A ⊆B解析:集合A 表示函数y =x 图象上所有点组成的集合 ,集合B 中要求x ≠0 ,所以集合B 表示除点(0,0)以外的y =x 图象上的点组成的集合 ,A B 成立.答案:B3.全集U =R ,那么正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={x |x 2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析:∵M={-1,0,1} ,N={0 ,-1} ,∴N M.应选B.答案:B4.集合A={x|0≤x<3 ,x∈N}的真子集的个数是( )A.16 B.8C.7 D.4解析:易知集合A={0,1,2} ,∴A的真子集为∅ ,{0} ,{1} ,{2} ,{0,1} ,{0,2} ,{1,2} ,共有7个.答案:C5.设A={x|1<x<2} ,B={x|x<a} ,假设A⊆B ,那么a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2解析:如图 ,在数轴上表示出两集合 ,只要a≥2 ,就满足A⊆B.答案:D二、填空题(每题5分 ,共15分)6.右图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,那么A ,B ,C ,D ,E分别代表的图形的集合为______________.解析:由以上概念之间的包含关系可知:集合A={四边形} ,集合B={梯形} ,集合C ={平行四边形} ,集合D={菱形} ,集合E={正方形}.答案:A={四边形} ,B={梯形} ,C={平行四边形} ,D={菱形} ,E={正方形}7.设集合M={(x ,y)|x+y<0 ,xy>0}和P={(x ,y)|x<0 ,y<0} ,那么M与P的关系为________.解析:∵xy>0 ,∴x ,y同号.又x+y<0 ,∴x<0 ,y<0 ,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点 ,故M=P.答案:M=P8.集合A={x|-2≤x≤3} ,B={x|x≥m} ,假设A⊆B ,那么实数m的取值范围为_________________________________.解析:集合A ,B 在数轴上的表示如下图.由图可知 ,假设A ⊆B ,那么m ≤-2. 答案:m ≤-2三、解答题(每题10分 ,共20分)9.集合A ={(x ,y )|x +y =2 ,x ,y ∈N } ,试写出A 的所有子集. 解:∵A ={(x ,y )|x +y =2 ,x ,y ∈N } , ∴A ={(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}. ∴A 的子集有:∅ ,{(0,2)} ,{(1,1)} ,{(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1)} ,{(0,2) ,(2,0)} ,{(1,1) ,(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}.10.集合A ={x |1<ax <2} ,B ={x |-2<x <2} ,求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围. 解:B ={x |-2<x <2}. (1)当a =0时 ,A =∅ ,显然A ⊆B . (2)当a >0时 ,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2a . ∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥-2 2a ≤2 解得a ≥1.(3)当a <0时 ,A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a<x <1a .∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤22a ≥-2 解得a ≤-1.综上可知 , a =0 ,或a ≥1 ,或a ≤-1时 ,A ⊆B .一、选择题(每题5分 ,共10分)1.集合A ={x |x 2-3x +2=0 ,x ∈R } ,B ={x |0<x <5 ,x ∈N } ,那么满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:因为集合A ={1,2} ,B ={1,2,3,4} ,所以当满足A ⊆C ⊆B 时 ,集合C 可以为{1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,2,3,4} ,故满足条件的集合C 有4个.答案:D2.集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x =m +16 m ∈Z,N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x =n 2-13 n ∈Z ,那么集合M ,N 的关系是( )A .M ⊆NB .M NC .N ⊆MD .N M解析:设n =2m 或2m +1 ,m ∈Z , 那么有N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x =2m 2-13或x =2m +12-13m ∈Z =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ x =m -13或x =m +16 m ∈Z . 又∵M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x =m +16 m ∈Z ,∴M N .答案:B二、填空题(每题5分 ,共10分)3.假设A ={1,2} ,B ={x |x ⊆A } ,那么B =________.解析:∵x ⊆A ,∴x =∅ ,{1} ,{2} ,{1,2} ,∴B ={∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}.答案:{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}4.集合A ={x |ax 2+2x +a =0 ,a ∈R } ,假设集合A 有且仅有2个子集 ,那么a 的取值构成的集合为________________.解析:∵集合A 有且仅有2个子集 ,∴A 仅有一个元素 ,即方程ax 2+2x +a =0(a ∈R )仅有一个根.当a =0时 ,方程化为2x =0 , ∴x =0 ,此时A ={0} ,符合题意.当a ≠0时 ,Δ=22-4·a ·a =0 ,即a 2=1 ,∴a =±1. 此时A ={-1} ,或A ={1} ,符合题意. ∴a =0或a =±1. 答案:{0,1 ,-1}三、解答题(每题10分 ,共20分)5.设集合A =⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x +4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=0 x ∈Z ,B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0} ,假设B ⊆A ,求实数a 的值.解:由题意得A ={0 ,-4}.(1)当B =∅时 ,方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0无解 , ∴Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0. ∴a <-1. (2)当BA (B ≠∅)时 ,那么B ={0}或B ={-4} ,即方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0只有一解 , ∴Δ=8a +8=0. ∴aB ={0}满足条件.(3)当B =A 时 ,方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0 有两实根0 ,-4 ,∴⎩⎨⎧16-8a +1+a 2-1=0 a 2-1=0.∴a =1.综上可知 ,a ≤-1 ,或a =1.6.设集合A ={x |-1≤x +1≤6} ,B ={x |m -1<x <2m +1}. (1)当x ∈Z 时 ,求A 的非空真子集的个数; (2)假设A ⊇B ,求m 的取值范围. 解:化简集合A 得A ={x |-2≤x ≤5}. (1)∵x ∈Z ,∴A ={-2 ,-1,0,1,2,3,4,5} ,即A 中含有8个元素.∴A 的非空真子集的个数为28-2=254(个). (2)①当m ≤-2时 ,B =∅⊆A ;②当m >-2时 ,B ={x |m -1<x <2m +1} , 因此 ,要B ⊆A ,那么只要⎩⎨⎧m -1≥-22m +1≤5⇒-1≤m ≤2.综上所述 ,m 的取值范围是{m |-1≤m ≤2或m ≤-2}.活页作业(四)并集、交集(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.设集合M ={m ∈Z |-3<m <2} ,N ={n ∈Z |-1≤n ≤3} ,那么M ∩N =( ) A .{0,1} B .{-1,0,1} C .{0,1,2}D .{-1,0,1,2}解析:由题意 ,得M ={-2 ,-1,0,1} ,N ={-1,0,1,2,3} ,∴M ∩N ={-1,0,1}. 答案:B2.假设集合M ={x |-2≤x <2} ,N ={0,1,2} ,那么M ∩N 等于( ) A .{0} B .{1} C .{0,1,2}D .{0,1}解析:M ={x |-2≤x <2} ,N ={0,1,2} ,那么M ∩N ={0,1} ,应选D. 答案:D3.以下各组集合 ,符合Venn 图所示情况的是( )A .M ={4,5,6,8} ,N ={4,5,6,7,8}B .M ={x |0<x <2} ,N ={x |x <3}C .M ={2,5,6,7,8} ,N ={4,5,6,8}D .M ={x |x <3} ,N ={x |0<x <2}解析:因为{4,5,6,8}⊆{4,5,6,7,8} ,即M ⊆N ,所以选项A 错误.又因{x |0<x <2}⊆{x |x <3} ,所以选项B 错误 ,选项C 显然错误 ,选项D 正确.答案:D4.设集合A ={1,2} ,那么满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是( ) A .1 B .3 C .4D .8解析:∵A ={1,2} ,且A ∪B ={1,2,3} ,∴B ={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}. 答案:C5.设集合A ={x ∈N |1≤x ≤10} ,B ={x ∈R |x 2+x -6=0} ,那么图中阴影表示的集合为( )A .{2}B .{3}C .{-3,2}D .{-2,3}解析:∵A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,B ={-3,2} ,∴图中阴影表示的集合为A ∩B ={2}.答案:A二、填空题(每题5分 ,共15分)6.集合M ={x |-3<x ≤5} ,N ={x |-5<x <-2 ,或x >5} ,那么M ∪N =____________ ,M ∩N =__________________.解析:借助数轴可知:M ∪N ={x |x >-5} ,M ∩N ={x |-3<x <-2}.答案:{x |x >-5} {x |-3<x <-2}7.集合A ={(x ,y )|y =x 2,x ∈R } ,B ={(x ,y )|y =x ,x ∈R } ,那么A ∩B 中的元素个数为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2y =x 得⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =0 或⎩⎨⎧x =1y =1.答案:28.设集合A ={x |-1<x <2} ,B ={x |x <a } ,假设A ∩B ≠∅ ,那么a 的取值范围是________.解析:利用数轴分析可知 ,a >-1.答案:a >-1三、解答题(每题10分 ,共20分)9.集合A ={1,3,5} ,B ={1,2 ,x 2-1} ,假设A ∪B ={1,2,3,5} ,求x 及A ∩B . 解:∵B ⊆(A ∪B ) , ∴x 2-1∈(A ∪B ).∴x 2-1=3或x 2-1=5 ,解得x =±2或x =± 6. 假设x 2-1=3 ,那么A ∩B ={1,3}; 假设x 2-1=5 ,那么A ∩B ={1,5}.10.设集合A ={x |x 2-3x +2=0} ,B ={x |x 2-4x +a =0} ,假设A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.解:A ={1,2} ,∵A ∪B =A ,∴B ⊆A .集合B 有两种情况:B =∅或B ≠∅. (1)B =∅时 ,方程x 2-4x +a =0无实数根 , ∴Δ=16-4a <0.∴a >4. (2)B ≠∅时 ,当Δ=0时 ,a =4 ,B ={2}⊆A 满足条件;当Δ>0时 ,假设1,2是方程x 2-4x +a =0的根 , 由根与系数的关系知1+2=3≠4 ,矛盾 ,∴a =4. 综上 ,a 的取值范围是a ≥4.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.集合A ={1,2} ,B ={x |mx -1=0} ,假设A ∩B =B ,那么符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 12 B .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-1 12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 0 12D .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 -12解析:当m =0时 ,B =∅ ,A ∩B =B ;当m ≠0时 ,x =1m ,要使A ∩B =B ,那么1m =1或1m=2 ,即m =1或m =12,选C.答案:C2.定义集合{x |a ≤x ≤b }的 "长度〞是b -a .m ,n ∈R ,集合M =xm ≤x ≤m +23 ,N =xn-34≤x ≤n ,且集合M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,那么集合M ∩N 的 "长度〞的最|小值是( )A.23B.12C.512D .13解析:集合M ,N 的 "长度〞分别为23 ,34 ,又M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,如图 ,由图可知M ∩N 的 "长度〞的最|小值为53-54=512.答案:C二、填空题(每题5分 ,共10分)3.集合A ={1,3 ,m } ,B ={1 ,m } ,A ∪B =A ,那么m =________.解析:由A ∪B =A 得B ⊆A ,所以有m =3或m =m .由m =m 得m =0或1 ,经检验 ,m =1时 ,B ={1,1}矛盾 ,m =0或3时符合题意.答案:0或34.设集合A ={5 ,a +1} ,集合B ={a ,b }.假设A ∩B ={2} ,那么A ∪B =______________. 解析:∵A ∩B ={2} ,∴2∈A .故a +1=2 ,a =1 ,即A ={5,2};又2∈B ,∴b =2 ,即B ={1,2}.∴A ∪B ={1,2,5}.答案:{1,2,5}三、解答题(每题10分 ,共20分)5.A ={x |2a ≤x ≤a +3} ,B ={x |x <-1或x >5} ,假设A ∩B =∅ ,求a 的取值范围. 解:A ∩B =∅ ,A ={x |2a ≤x ≤a +3}. (1)假设A =∅ ,有2a >a +3 ,∴a >3. (2)假设A ≠∅ ,如下图.那么有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1a +3≤5 2a ≤a +3解得-12≤a ≤2.综上所述 ,a 的取值范围是-12≤a ≤2或a >3.6.集合M ={x |2x -4=0} ,N ={x |x 2-3x +m =0}. (1)当m =2时 ,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N =M 时 ,求实数m 的值. 解:由得M ={2}. (1)当m =2时 ,N ={1,2}. ∴M ∩N ={2} ,M ∪N ={1,2}. (2)假设M ∩N =M ,那么M ⊆N , ∴2∈N . ∴4-6+m =0. ∴m =2.活页作业(五) 补集及集合运算的综合应用(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.全集U ={0,1,2} ,且∁U A ={2} ,那么A 等于( ) A .{0} B .{1} C .∅D .{0,1}解析:∵∁U A ={2} ,∴A ={0,1}. 答案:D2.A ={x |x +1>0} ,B ={-2 ,-1,0,1} ,那么(∁R A )∩B =( ) A .{-2 ,-1} B .{-2} C .{-1,0,1}D .{0,1} 解析:解不等式求出集合A ,进而得∁R A ,再由集合交集的定义求解. 因为集合A ={x |x >-1} ,所以∁R A ={x |x ≤-1}. 那么(∁R A )∩B ={x |x ≤-1}∩{-2 ,-1,0,1} ={-2 ,-1}. 答案:A3.如下图 ,U 是全集 ,A ,B 是U 的子集 ,那么图中阴影局部表示的集合是( )A.A∩B B.B∩(∁U A)C.A∪B D.A∩(∁U B)解析:阴影局部在B中且在A的外部 ,由补集与交集的定义可知阴影局部可表示为B∩(∁U A).答案:B4.设集合M={x|x=3k ,k∈Z} ,P={x|x=3k+1 ,k∈Z} ,Q={x|x=3k-1 ,k∈Z} ,那么∁Z(P∪Q)=( )A.M B.PC.Q D.∅解析:x=3k ,k∈Z表示被3整除的整数;x=3k+1 ,k∈Z表示被3整除余1的整数;x=3k-1表示被3整除余2的整数 ,所以∁Z(P∪Q)=M.答案:A5.集合A={x|x<a} ,B={x|1<x<2} ,且A∪(∁R B)=R,那么实数a的取值范围是( ) A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2解析:如下图 ,假设能保证并集为R ,那么只需实数a在数2的右边 ,注意等号的选取.选C.答案:C二、填空题(每题5分 ,共15分)6.集合U={2,3,6,8} ,A={2,3} ,B={2,6,8} ,那么(∁U A)∩B=________.解析:(∁U A)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}.答案:{6,8}7.设全集U=R ,集合A={x|x≥0} ,B={y|y≥1} ,那么∁U A与∁U B的包含关系是______________.解析:∵∁U A={x|x<0} ,∁U B={y|y<1} ,∴∁U A∁U B.如图.答案:∁U A∁U B8.设全集S={1,2,3,4} ,且A={x∈S|x2-5x+m=0} ,假设∁S A={2,3} ,那么m=________.解析:因为S={1,2,3,4} ,∁S A={2,3} ,所以A={1,4} ,即1,4是方程x2-5x+m=0的两根 ,由根与系数的关系可得m=1×4=4.答案:4三、解答题(每题10分 ,共20分)9.全集U={2,3 ,a2-2a-3} ,A={2 ,|a-7|} ,∁U A={5} ,求a的值.解:由|a-7|=3 ,得a=4或a=10.当a=4时 ,a2-2a-3=5 ,当a=10时 ,a2-2a-3=77∉U ,所以a=4.10.集合A={x|3≤x<7} ,B={x|2<x<10} ,C={x|x<a}.(1)求(∁R A)∩B;(2)假设A⊆C ,求a的取值范围.解:(1)∵A={x|3≤x<7} ,∴∁R A={x|x<3或x≥7}.∴(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.(2)∵C={x|x<a} ,且A⊆C ,如下图 ,∴a≥7.∴a的取值范围是{a|a≥7}.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3} ,B={x|x<-2或x>4} ,那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A.{x|3<x≤4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|3≤x<4} D.{x|-1≤x≤3}解析:∵∁U A={x|x<-2或x>3} ,∁U B={x|-2≤x≤4} ,如图 ,∴(∁U A)∩(∁U B)={x|3<x≤4}.应选A.答案:A2.设A ,B ,I均为非空集合 ,且满足A⊆B⊆I ,那么以下各式中错误的选项是( ) A.(∁I A)∪B=I B.(∁I A)∪(∁I B)=IC.A∩(∁I B)=∅D.(∁I A)∩(∁I B)=∁I B解析:方法一符合题意的Venn图 ,如图.观察可知选项A ,C ,D 均正确 ,(∁I A )∪(∁I B )=∁I A ,应选项B 错误.方法二 运用特例法 ,如A ={1,2,3} ,B ={1,2,3,4} ,I ={1,2,3,4,5}.逐个检验只有选项B 错误.答案:B二、填空题(每题5分 ,共10分)3.全集U =R ,A ={x |x <-3 ,或x ≥2} ,B ={x |-1<x <5} ,那么集合C ={x |-1<x <2}=______________.(用A ,B 或其补集表示)解析:如下图 ,由图可知C ⊆∁U A ,且C ⊆B ,∴C =B ∩(∁U A ). 答案:B ∩(∁U A )4.某班共50人 ,参加A 项比赛的共有30人 ,参加B 项比赛的共有33人 ,且A ,B 两项都不参加的人数比A ,B 都参加的人数的13多1人 ,那么只参加A 项不参加B 项的有____人.解析:如下图 ,设A ,B 两项都参加的有x 人 ,那么仅参加A 项的共(30-x )人 ,仅参加B 项的共(33-x )人 ,A ,B 两项都不参加的共⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +1人 ,根据题意得x +(30-x )+(33-x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +1=50 ,解得x =21 ,所以只参加A 项不参加B 项的共有30-21=9(人).故填9.答案:9三、解答题(每题10分 ,共20分)5.设全集是实数集R ,A ={x |2x 2-7x +3≤0} ,B ={x |x 2+a <0}. (1)当a =-4时 ,求A ∩B 和A ∪B ;(2)假设(∁R A )∩B =B ,求实数a 的取值范围.解:(1)∵A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤3,当a =-4时 ,B ={x |-2<x <2} ,∴A ∩B =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x <2 ,A ∪B ={x |-2<x ≤3}.(2)∁R A =⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <12 或x >3 ,当(∁R A )∩B =B 时 ,B ⊆∁R A .①当B =∅ ,即a ≥0时 ,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠∅ ,即a <0时 ,B ={x |--a <x <-a }. 要使B ⊆∁R A ,需-a ≤12 ,解得-14≤a <0.综上可得 ,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥-14.6.设全集I =R ,集合M ={x |(x +3)2≤0} ,N ={x |x 2+x -6=0}. (1)求(∁I M )∩N ;(2)记集合A =(∁I M )∩N ,集合B ={x |a -1≤x ≤5-a ,a ∈R } ,假设B ∪A =A ,求实数a 的取值范围.解:(1)∵M ={x |(x +3)2≤0}={-3} ,N ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}.∴∁I M ={x |x ∈R 且x ≠-3}. ∴(∁I M )∩N ={2}. (2)A =(∁I M )∩N ={2} , ∵B ∪A =A ,∴B ⊆A . ∴B =∅或B ={2}.当B =∅时 ,a -1>5-a ,∴a >3;当B ={2}时 ,⎩⎪⎨⎪⎧a -1=25-a =2解得a =3.综上所述 ,所求a 的取值范围是{a |a ≥3}.活页作业(六) 函数的概念(时间:30分钟 总分值:60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1.设f:x→x2是集合A到集合B的函数 ,如果集合B={1} ,那么集合A不可能是( ) A.{1} B.{-1}C.{-1,1} D.{-1,0}解析:假设集合A={-1,0} ,那么0∈A ,但02=0∉B.应选D.答案:D2.各个图形中 ,不可能是函数y=f(x)的图象的是( )解析:因垂直x轴的直线与函数y=f(x)的图象至|多有一个交点.应选A.答案:A3.假设函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2} ,值域为N={y|0≤y≤2} ,那么函数y=f(x)的图象可能是( )解析:选项A ,定义域为{x|-2≤x≤0} ,不正确.选项C ,当x在(-2,2]取值时 ,y 有两个值和x对应 ,不符合函数的概念.选项D ,值域为[0,1] ,不正确 ,选项B正确.答案:B二、填空题(每题4分 ,共8分)4.假设(2m ,m+1)表示一个开区间 ,那么m的取值范围是________.解析:由2m<m+1 ,解得m<1.答案:(-∞ ,1)5.函数y=f(x)的图象如下图 ,那么f(x)的定义域是________________;其中只与x 的一个值对应的y值的范围是________________.解析:观察函数图象可知f (x )的定义域是[-3,0]∪[2,3]; 只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]. 答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] 三、解答题6.(本小题总分值10分)求以下函数的定义域. (1)y =2x +1+3-4x . (2)y =1|x +2|-1.解:由得⎩⎪⎨⎪⎧2x +1≥0⇒x ≥-12 3-4x ≥0⇒x ≤34∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1234. (2)由得 ,|x +2|-1≠0 , ∴|xx ≠-3 ,x ≠-1.∴函数的定义域为(-∞ ,-3)∪(-3 ,-1)∪(-1 ,+∞).一、选择题(每题5分 ,共10分)1.四个函数:(1)y =x +1;(2)y =x 3;(3)y =x 2-1; (4)y =1x.其中定义域相同的函数有( )A .(1) ,(2)和(3)B .(1)和(2)C .(2)和(3)D .(2) ,(3)和(4)解析:(1) ,(2)和(3)中函数的定义域均为R ,而(4)函数的定义域为{x |x ≠0}. 答案:A2.函数f (x )=-1 ,那么f (2)的值为( ) A .-2 B .-1 C .0D .不确定解析:∵f (x )=-1 ,∴f (2)=-1. 答案:B二、填空题(每题5分 ,共10分)3.集合A ={1,2,3} ,B ={4,5} ,那么从A 到B 的函数f (x )有________个.解析:抓住函数的 "取元任意性 ,取值唯一性〞 ,利用列表方法确定函数的个数.f (1) 4 4 4 4 5 5 5 5 f (2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f (3)45454545由表可知 ,这样的函数有8个 ,故填8. 答案:8 4.函数y =x +26-2x -1的定义域为________.(并用区间表示)解析:要使函数解析式有意义 ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x +2≥06-2x ≥0 6-2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-2x ≤3x ≠52⇒-2≤x ≤3 ,且x ≠52.∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3.答案:⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3三、解答题5.(本小题总分值10分)将长为a 的铁丝折成矩形 ,求矩形面积y 关于边长x 的解析式 ,并写出此函数的定义域.解:设矩形一边长为x ,那么另一边长为12(a -2x ) ,所以y =x ·12(a -2x )=-x 2+12ax .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <a 2 0<12a -2x <a2解得0<x <a2,即函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 a 2.活页作业(七) 函数概念的综合应用(时间:30分钟 总分值:60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1.函数f (x )=x +1x,那么f (1)等于( ) A .1 B .2 C .3D .0解析:f (1)=1+11=2.答案:B2.以下各组函数表示相等函数的是( )A .y =x 2-9x -3与y =x +3B .y =x 2-1与y =x -1 C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0) D .y =2x +1 ,x ∈Z 与y =2x -1 ,x ∈Z解析:A 中两函数定义域不同 ,B 、D 中两函数对应关系不同 ,C 中定义域与对应关系都相同.答案:C3.函数y =x +1的值域为( ) A .[-1 ,+∞) B .[0 ,+∞) C .(-∞ ,0]D .(-∞ ,-1]解析:∵x +1≥0 ,∴y =x +1 ≥0. 答案:B二、填空题(每题4分 ,共8分) 4.函数y =x +1x的定义域为________. 解析:要使函数式有意义 ,需使⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0x ≠0 ,所以函数的定义域为{x |x ≥-1且x ≠0}.答案:{x |x ≥-1且x ≠0}5.函数f (x )=2x -3 ,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5} ,那么函数的值域为__________________. 解析:函数的定义域为{1,2,3,4,5}. 故当x =1,2,3,4,5时 ,y =-1,1,3,5,7 ,即函数的值域为{-1,1,3,5,7}. 答案:{-1,1,3,5,7} 三、解答题6.(本小题总分值10分)假设f (x )=ax 2- 2 ,且f (f (2))=- 2 ,求a 的值. 解:因为f (2)=a (2)2-2=2a - 2 ,所以f (f (2))=a (2a -2)2-2=- 2.于是a (2a -2)2=0,2a -2=0或a =0 ,所以a=22或a =0.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.以下函数中 ,值域为(0 ,+∞)的是( ) A .y =x B .y =100x +2C .y =16xD .y =x 2+x +1解析:A 中y =x 的值域为[0 ,+∞); C 中y =16x的值域为(-∞ ,0)∪(0 ,+∞);D 中y =x 2+x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 +∞;B 中函数的值域为(0 ,+∞) ,应选B. 答案:B2.假设函数f (x )=(a 2-2a -3)x 2+(a -3)x +1的定义域和值域都为R ,那么a 的值是( )A .-1或3B .-1C .3D .不存在解析:由⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a -3=0 a -3≠0得a =-1.答案:B二、填空题(每题5分 ,共10分)3.函数f (x )=x -1.假设f (a )=3 ,那么实数a =________. 解析:因为f (a )=a -1=3 ,所以a -1=9 ,即a =10. 答案:104.给出定义:假设m -12<x ≤m +12(其中m 为整数) ,那么m 叫做离实数x 最|近的整数 ,记作{x } ,即{x }=m .在此根底上给出以下关于函数f (x )=|x -{x }|的四个结论.①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=12; ②f (3.4)=-0.4;③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14; ④y =f (x )的定义域为R ,值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-1212. 那么其中正确的序号是________.解析:由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-12--12=-12-(-1)=12 ,①正确; f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4 ,②错误; f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=-14--14=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-14-0=14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=14-14=⎪⎪⎪⎪⎪⎪14-0=14, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ,③正确; y =f (x )的定义域为R ,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤-1212 ,④错误.答案:①③ 三、解答题5.(本小题总分值10分)函数f (x )=x 21+x2.(1)求f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ,f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值. (2)求证:f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值.(3)求f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+…+ f (2 017)+f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017的值.(1)解:∵f (x )=x 21+x2 ,∴f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=221+22+⎝ ⎛⎭⎪⎫1221+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=1. f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=321+32+⎝ ⎛⎭⎪⎫1321+⎝ ⎛⎭⎪⎫132=1. (2)证明:f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x 21+x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 =x 21+x 2+1x 2+1=x 2+1x 2+1=1. (3)解:由(2)知f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1 ,∴f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1 ,f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=1 ,f (4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1 ,… ,f (2 017)+f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017=1.∴f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+…+f (2 017)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017=2 016.活页作业(八) 函数的表示法(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.小明骑车上学 ,开始时匀速行驶 ,途中因交通堵塞停留了一段时间 ,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最|好的图象是( )解析:方法一:出发时距学校最|远 ,先排除A ,中途堵塞停留 ,距离不变 ,再排除D ,堵塞停留后比原来骑得快 ,因此排除B ,选C.方法二:由小明的运动规律知 ,小明距学校的距离应逐渐减小 ,由于小明先是匀速运动 ,故前段是直线段 ,途中停留时距离不变 ,后段加速 ,直线段比前段下降得快 ,故应选C.答案:C 2.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =x ,那么f (x )=( )A.x +1x -1B .1-x 1+x C.1+x1-xD .2x x +1解析:设t =1-x 1+x ,那么x =1-t 1+t ,f (t )=1-t 1+t ,即f (x )=1-x1+x .答案:B3.函数f (x )是一次函数 ,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1 ,那么f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3D .2x -3解析:设f (x )=kx +b (k ≠0) ,那么⎩⎨⎧22k +b -3k +b =52b --k +b =1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =3 b =-2∴f (x )=3x -2. 答案:B4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x +3 ,且f (m )=6 ,那么m 等于( )A .-14B.14C.32D .-32解析:设12x -1=m ,那么x =2m +2 ,∴f (m )=2(2m +2)+3=4m +7=6 ,∴m =-14.答案:A5.函数f (2x +1)=3x +2 ,且f (a )=2 ,那么a 的值等于( ) A .1 B .3 C .5D .-1解析:由f (2x +1)=3x +2 ,令2x +1=t , ∴x =t -12.∴f (t )=3·t -12+2.∴f (x )=3x -12+2.∴f (a )=3a -12+2=2.∴a =1.答案:A二、填空题(每题5分 ,共15分)6.如图 ,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0) ,(1,2) ,(3,1) ,那么f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________.解析:∵f (3)=1 ,1f 3=1 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3=f (1)=2.答案:27.函数f (x ) ,g (x )分别由下表给出:x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321那么f (g (1))=____________. 解析:∵g (1)=3 ,∴f (g (1))=f (3)=1. 又∵x ,f (g (x )) ,g (f (x ))的对应值表为x 1 2 3 f (g (x ))131g (f (x ))3 1 3∴f (g (x ))>g (f (x ))答案:1 28.假设f (x )是一次函数 ,f (f (x ))=4x -1 ,那么f (x )=______.解析:设f (x )=kx +b (k ≠0) ,那么f (f (x ))=kf (x )+b =k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =4x ⎩⎪⎨⎪⎧k 2=4 kb +b =-1解得⎩⎪⎨⎪⎧k =2b =-13或⎩⎨⎧k =-2b =1.所以f (x )=2x -13或f (x )=-2x +1.答案:2x -13或-2x +1三、解答题(每题10分 ,共20分) 9.下表表示函数y =f (x ).x0<x <5 5≤x <1010≤x <1515≤x ≤20y =f (x )-46810(1)写出函数的定义域、值域; (2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合.解:(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]=(0,20].函数的值域为{-4,6,8,10}.(2)由于当5≤x <10时 ,f (x )=6 ,因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤xx ∈Z ,故x ∈{5,6}.10.函数f (x )=g (x )+h (x ) ,g (x )关于x 2成正比 ,h (x )关于x 成反比 ,且g (1)=2 ,h (1)=-3 ,求:(1)函数f (x )的解析式及其定义域; (2)f (4)的值.解:(1)设g (x )=k 1x 2(k 1≠0) ,h (x )=k 2x(k 2≠0) , 由于g (1)=2 ,h (1)=-3 , 所以k 1=2 ,k 2=-3. 所以f (x )=2x 2-3x,定义域是(0 ,+∞). (2)由(1)得f (4)=2×42-34=612.一、选择题(每题5分 ,共10分)1.正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,那么y 关于x 的解析式为( )A .y =12xB .y =24xC .y =28x D .y =216x 解析:正方形边长为x4 ,而(2y )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42,∴y 2=x 232.∴y =x 42=28x .答案:C2.以下函数中 ,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +1D .f (x )=-x解析:对于A ,f (2x )=|2x |=2|x |=2f (x );对于B ,f (2x )=2x -|2x |=2(x -|x |)=2f (x );对于C ,f (2x )=2x +1≠2f (x );对于D ,f (2x )=-2x =2f (x ).答案:C二、填空题(每题5分 ,共10分)3.观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题:梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长58111417…当梯形个数为. 解析:由表格可推算出两变量的关系 ,或由图形观察周长与梯形个数关系为l =3n +2(n ∈N *).答案:l =3n +2(n ∈N *)4.R 上的函数f (x )满足:(1)f (0)=1;(2)对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1) ,那么f (x )=________.解析:因为对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1) ,所以令y =x ,有f (0)=f (x )-x (2x -x +1) ,即f (0)=f (x )-x (x +1) ,又f (0)=1 ,所以f (x )=x (x +1)+1=x 2+x +1 ,即f (x )=x 2+x +1.答案:x 2+x +1三、解答题(每题10分 ,共20分)5.画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象 ,并根据图象答复以下问题: (1)比拟f (0) ,f (1) ,f (3)的大小;(2)假设x 1<x 2<1 ,比拟f (x 1)与f (x 2)的大小;(3)求函数f (x )的值域.解:因为函数f (x )=-x 2+2x +3的定义域为R ,列表:x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y…-5343-5…连线 ,描点 ,得函数图象如图:(1)根据图象 ,容易发现f (0)=3 ,f (1)=4 ,f (3)=0 ,所以f (3)<f (0)<f (1). (2)根据图象 ,容易发现当x 1<x 2<1时 ,有f (x 1)<f (x 2).(3)根据图象 ,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点 ,开口向下的抛物线 ,因此 ,函数值域为(-∞ ,4].6.函数f (x )=xax +b(a ,b 为常数 ,且a ≠0)满足f (2)=1 ,方程f (x )=x 有唯一解 ,求函数f (x )的解析式 ,并求f (f (-3))的值.解:由f (x )=x ,得xax +b=x , 即ax 2+(b -1)x =0.因为方程f (x )=x 有唯一解 , 所以Δ=(b -1)2=0 ,即b =1. 又f (2)=1 , 所以22a +1=1 ,a =12.所以f (x )=x 12x +1=2x x +2.所以f (f (-3))=f (6)=128=32.活页作业(九) 分段函数、映射(时间:45分钟 总分值:100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1.集合M ={x |0≤x ≤6} ,P ={y |0≤y ≤3} ,那么以下对应关系中 ,不能构成M 到P 的映射的是( )A .f :x →y =12xB .f :x →y =13xC .f :x →y =xD .f :x →y =16x解析:由映射定义判断 ,选项C 中 ,x =6时 ,y =6∉P . 答案:C2.在给定映射f :A →B ,即f :(x ,y )→(2x +y ,xy )(x ,y ∈R )的条件下 ,与B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 -16对应的A 中元素是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 -136 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 -12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-14 23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫136 -16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 -13或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-23 14 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +y =16 xy =-16 得⎩⎪⎨⎪⎧ x =13y =-12或⎩⎪⎨⎪⎧x =-14y =23.应选B.答案:B3.以下图象是函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2x <0x -1 x ≥0的图象的是( )解析:由于f (0)=0-1=-1 ,所以函数图象过点(0 ,-1);当x <0时 ,y =x 2,那么函数图象是开口向上的抛物线y =x 2在y 轴左侧的局部.因此只有图象C 符合.答案:C4.f (x )=⎩⎨⎧ x -5x ≥6f x +2x <6那么f (3)为( )A .2B .3C .4D .5解析:f (3)=f (5)=f (7)=7-5=2. 答案:A5.f (x )=⎩⎨⎧2xx >0f x +1x ≤0那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43等于( ) A .-2 B .4 C .2D .-4解析:∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43=2×43=83 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43+1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13+1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=2×23=43 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=83+43=4.答案:B二、填空题(每题5分 ,共15分)6.函数f (x )的图象如下图 ,那么f (x )的解析式是____________________.解析:由图可知 ,图象是由两条线段组成.当-1≤x <0时 ,设f (x )=ax +b ,将(-1,0) ,(0,1)代入解析式 ,那么⎩⎨⎧ -a +b =0 b =1.∴⎩⎨⎧a =1b =1.∴f (x )=x +1.当0≤x ≤1时 ,设f (x )=kx ,将(1 ,-1)代入 ,那么k =-1 ,∴f (x )=-x .。

高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)

高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)

第一章集合与函数概念§1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.1.元素与集合的概念(1)把________统称为元素,通常用__________________表示.(2)把________________________叫做集合(简称为集),通常用____________________表示.2.集合中元素的特性:________、________、________.3.集合相等:只有构成两个集合的元素是______的,才说这两个集合是相等的.4.元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素,就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素,就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1.下列语句能确定是一个集合的是()A.著名的科学家B.留长发的女生C.2010年广州亚运会比赛项目D.视力差的男生2.集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈A B.a∉AC.a∈A D.a=A3.已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.25.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可6.由实数x、-x、|x|、x2及-3x3所组成的集合,最多含有()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素二、填空题7.由下列对象组成的集体属于集合的是______.(填序号)①不超过π的正整数;②本班中成绩好的同学;③高一数学课本中所有的简单题;④平方后等于自身的数.8.集合A中含有三个元素0,1,x,且x2∈A,则实数x的值为________.9.用符号“∈”或“∉”填空-2_______R,-3_______Q,-1_______N,π_______Z.三、解答题10.判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合;(2)未来世界的高科技产品构成一个集合;(3)1,0.5,32,12组成的集合含有四个元素;(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合.11.已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a.能力提升12.设P、Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q 中元素的个数是多少?13.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则11-a∈A (a≠1).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(2)集合A不可能是单元素集.1.考查对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),能确定一个个体是否属于这个总体,如果有,能构成集合,如果没有,就不能构成集合.2.集合中元素的三个性质(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如由元素a,b,c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.第一章集合与函数概念§1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1.(1)研究对象小写拉丁字母a,b,c,…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A,B,C,… 2.确定性互异性无序性3.一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N+Z Q R作业设计1.C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合.] 2.C[由题意知A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应用“=”,故选C.]3.D[集合M的三个元素是互不相同的,所以作为某一个三角形的边长,三边是互不相等的,故选D.]4.C[因A中含有3个元素,即a2,2-a,4互不相等,将选项中的数值代入验证知答案选C.]5.B[由2∈A可知:若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A={0,3,2},符合题意.]6.A[方法一因为|x|=±x,x2=|x|,-3x3=-x,所以不论x取何值,最多只能写成两种形式:x、-x,故集合中最多含有2个元素.方法二令x=2,则以上实数分别为:2,-2,2,2,-2,由元素互异性知集合最多含2个元素.] 7.①④解析①④中的标准明确,②③中的标准不明确.故答案为①④. 8.-1解析当x=0,1,-1时,都有x2∈A,但考虑到集合元素的互异性,x≠0,x≠1,故答案为-1.9.∈∈∉∉10.解(1)正确.因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的,明确的.(2)不正确.因为高科技产品的标准不确定.(3)不正确.对一个集合,它的元素必须是互异的,由于0.5=12,在这个集合中只能作为一元素,故这个集合含有三个元素.(4)不正确.因为个子高没有明确的标准.11.解由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,∴a=-1或a=-3 2.则当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,∴a=-3 2.12.解∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个.13.证明(1)若a∈A,则11-a∈A.又∵2∈A,∴11-2=-1∈A.∵-1∈A,∴11-(-1)=12∈A.∵12∈A,∴11-12=2∈A.∴A中另外两个元素为-1,1 2.(2)若A为单元素集,则a=11-a,即a2-a+1=0,方程无解.∴a≠11-a,∴A不可能为单元素集.第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.1.列举法把集合的元素____________出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________.不等式x-7<3的解集为__________.所有偶数的集合可表示为________________.一、选择题1.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示()A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法,正确的是()A.{2,3}B.{(2,3)}C.{x=2,y=3}D.(2,3)4.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}5.已知集合A={x∈N|-3≤x≤3},则有() A.-1∈A B.0∈AC.3∈A D.2∈A6()A.BC.{1,2}D.{(1,2)}二、填空题7.用列举法表示集合A={x|x∈Z,86-x∈N}=______________.8.下列各组集合中,满足P=Q的有________.(填序号)①P={(1,2)},Q={(2,1)};②P={1,2,3},Q={3,1,2};③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}.9.下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是________.(填序号)①M={π},N={3.14159};②M={2,3},N={(2,3)};③M={x|-1<x≤1,x∈N},N={1};④M={1,3,π},N={π,1,|-3|}.三、解答题10.用适当的方法表示下列集合①方程x(x2+2x+1)=0的解集;②在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合;③不等式x-2>6的解的集合;④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.11.已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},它们三个集合相等吗?试说明理由.能力提升12.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{y|(y-1)2=0}C.{x=1}D.{1}13.已知集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=k4+12,k∈Z},若x0∈M,则x0与N的关系是()A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或x0∉ND.不能确定1.在用列举法表示集合时应注意:①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④列举法可表示有限集,也可以表示无限集,若元素个数比较少用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示.2.在用描述法表示集合时应注意:(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式?(2)元素具有怎样的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.第2课时 集合的表示知识梳理1.一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x =2k ,k ∈Z } 作业设计1.B [{x ∈N +|x -3<2}={x ∈N +|x <5}={1,2,3,4}.]2.D [集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D.]3.B [解方程组⎩⎨⎧ x +y =5,2x -y =1.得⎩⎨⎧x =2,y =3.所以答案为{(2,3)}.]4.B [方程x 2-2x +1=0可化简为(x -1)2=0, ∴x 1=x 2=1,故方程x 2-2x +1=0的解集为{1}.] 5.B6.C [方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一对有序实数对,故C 不符合.]7.{5,4,2,-2} 解析 ∵x ∈Z ,86-x∈N , ∴6-x =1,2,4,8.此时x =5,4,2,-2,即A ={5,4,2,-2}. 8.②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标; ②中P =Q ;③中P 表示的是点集,Q 表示的是数集. 9.④解析 只有④中M 和N 的元素相等,故答案为④. 10.解 ①∵方程x (x 2+2x +1)=0的解为0和-1, ∴解集为{0,-1};②{x |x =2n +1,且x <1000,n ∈N };③{x|x>8};④{1,2,3,4,5,6}.11.解因为三个集合中代表的元素性质互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由如下:集合A中代表的元素是x,满足条件y=x2+3中的x∈R,所以A=R;集合B中代表的元素是y,满足条件y=x2+3中y的取值范围是y≥3,所以B={y|y≥3}.集合C中代表的元素是(x,y),这是个点集,这些点在抛物线y=x2+3上,所以C={P|P是抛物线y=x2+3上的点}.12.C[由集合的含义知{x|x=1}={y|(y-1)2=0}={1},而集合{x=1}表示由方程x=1组成的集合,故选C.]13.A[M={x|x=2k+14,k∈Z},N={x|x=k+24,k∈Z},∵2k+1(k∈Z)是一个奇数,k+2(k∈Z)是一个整数,∴x0∈M时,一定有x0∈N,故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集,并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中,了解空集的含义.1.子集的概念一般地,对于两个集合A、B,如果集合A 中________元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作______(或______),读作“__________”(或“__________”).2.Venn图:用平面上______曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.3.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________,就说集合A与B相等A=B真子集如果集合A⊆B,但存在元素__________,称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义:______________的集合叫做空集.(2)用符号表示为:____.(3)规定:空集是任何集合的______.5.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集,即________.(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么___________________________.一、选择题1.集合P={x|y=x+1},集合Q={y|y=x-1},则P与Q的关系是()A.P=Q B.C.Q D.P∩Q=∅2.满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A.3B.6C.7D.83.对于集合A、B,“A⊆B不成立”的含义是()A.B是A的子集B.A中的元素都不是B中的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A4.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A,则A≠∅.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是()6.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是()A.S P M B.S=MC.S P=M D.P=S题号二、填空题7.已知M={x|x≥22,x∈R},给定下列关系:①π∈M;②{π}M;③πM;④{π}∈M.其中正确的有________.(填序号)8.已知集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若B,则实数a的取值范围是________.9.已知集合{2,3,7},且A中至多有1个奇数,则这样的集合共有________个.三、解答题10.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B⊆A,求实数a 的取值范围.11.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B⊆A,求实数m的取值范围.能力提升12.已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围.13.已知集合{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个.1.子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为当A=∅时,A⊆B,但A中不含任何元素;又当A=B时,也有A⊆B,但A中含有B中的所有元素,这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时,我们记作“A B”(或A).2.对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系,这种关系用符号“∈”或“∉”表示.(2)集合与集合之间的关系有包含关系,相等关系,其中包含关系有:含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等,用这些符号时要注意方向,如A⊆B与B⊇A是相同的.1.1.2 集合间的基本关系知识梳理1.任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3.A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ,且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1.B [∵P ={x |y =x +1}={x |x ≥-1},Q ={y |y ≥0} ∴Q ,∴选B.]2.C [M 中含三个元素的个数为3,M 中含四个元素的个数也是3,M 中含5个元素的个数只有1个,因此符合题意的共7个.] 3.C4.B [只有④正确.] 5.B [由N ={-1,0},知M ,故选B.]6.C [运用整数的性质方便求解.集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集,集合S 表示成被6整除余1的整数集.] 7.①②解析 ①、②显然正确;③中π与M 的关系为元素与集合的关系,不应该用”符号;④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系,不应该用“∈”符号. 8.a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合,可得a ≥2. 9.6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数, 则A ={2,3}或{2,7}或{3}或{7}; (2)若A 中没有奇数,则A ={2}或∅. 10.解 A ={-3,2}.对于x 2+x +a =0, (1)当Δ=1-4a <0,即a >14时,B =∅,B ⊆A 成立; (2)当Δ=1-4a =0,即a =14时,B ={-12},B ⊆A 不成立;(3)当Δ=1-4a >0,即a <14时,若B ⊆A 成立, 则B ={-3,2}, ∴a =-3×2=-6.综上:a 的取值范围为a >14或a =-6. 11.解 ∵B ⊆A ,∴①若B =∅, 则m +1>2m -1,∴m <2.②若B ≠∅,将两集合在数轴上表示,如图所示.要使B ⊆A ,则⎩⎨⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得⎩⎨⎧m ≥2,m ≥-3,m ≤3,∴2≤m ≤3.由①、②,可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12.解 (1)当a =0时,A =∅,满足A ⊆B . (2)当a >0时,A ={x |1a <x <2a }. 又∵B ={x |-1<x <1},A ⊆B , ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥-1,2a ≤1,∴a ≥2.(3)当a <0时,A ={x |2a <x <1a }.∵A ⊆B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1,1a ≤1,∴a ≤-2.综上所述,a =0或a ≥2或a ≤-2.13.5解析若A中有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2},若A中有2个奇数,则A={1,3}.1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.(1)定义:一般地,________________________的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作________.(2)并集的符号语言表示为A∪B=_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分:(4)性质:A∪B=________,A____,A∪B=A⇔________,A____A∪B.2.交集(1)定义:一般地,由________________________元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作________.(2)交集的符号语言表示为A∩B=_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质:A∩B=______,A∩____,A∩B=A⇔________,1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩B等于()A.{x|x<1}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1≤x<1}3.若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是()A.A⊆B B.B⊆CC.A∩B=C D.B∪C=A4.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N 为()A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}5.设集合A={5,2a},集合B={a,b},若A∩B={2},则a+b等于() A.1B.2C.3D.46.集合M={1,2,3,4,5},集合N={1,3,5},则()A.N∈M B.M∪N=MC.M∩N=M D.M>N二、填空题7.设集合A={-3,0,1},B={t2-t+1}.若A∪B=A,则t=________.8.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.9.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2}且集合A∩(B ∪C)={x|a≤x≤b},则a=______,b=______.三、解答题10.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根分别为α,β,集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=∅.求p,q的值.11.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.能力提升12.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.613.设U={1,2,3},M,N是U的子集,若M∩N={1,3},则称(M,N)为一个“理想配集”,求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M,N)与(N,M)不同).1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ,或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ,且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1.A2.D [由交集定义得{x |-1≤x ≤2}∩{x |x <1}={x |-1≤x <1}.]3.D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员,因此A =B ∪C .] 4.D [M 、N 中的元素是平面上的点,M ∩N 是集合,并且其中元素也是点,解⎩⎨⎧ x +y =2,x -y =4,得⎩⎨⎧x =3,y =-1.] 5.C [依题意,由A ∩B ={2}知2a =2, 所以,a =1,b =2,a +b =3,故选C.] 6.B [∵M ,∴M ∪N =M .] 7.0或1解析 由A ∪B =A 知B ⊆A , ∴t 2-t +1=-3① 或t 2-t +1=0② 或t 2-t +1=1③①无解;②无解;③t =0或t =1. 8.1解析 ∵3∈B ,由于a 2+4≥4,∴a +2=3,即a =1. 9.-1 2解析 ∵B ∪C ={x |-3<x ≤4},∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )=A ,由题意{x |a ≤x ≤b }={x |-1≤x ≤2}, ∴a =-1,b =2.10.解 由A ∩C =A ,A ∩B =∅,可得:A ={1,3}, 即方程x 2+px +q =0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1+3=-p 1×3=q ,∴⎩⎨⎧p =-4q =3. 11.解 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A . ∵A ={-2}≠∅,∴B =∅或B ≠∅.当B =∅时,方程ax +1=0无解,此时a =0.当B ≠∅时,此时a ≠0,则B ={-1a },∴-1a ∈A ,即有-1a =-2,得a =12.综上,得a=0或a=1 2.12.D[x的取值为1,2,y的取值为0,2,∵z=xy,∴z的取值为0,2,4,所以2+4=6,故选D.] 13.解符合条件的理想配集有①M={1,3},N={1,3}.②M={1,3},N={1,2,3}.③M={1,2,3},N={1,3}.共3个.第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算.1.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为________,通常记作________.2.补集自然语言对于一个集合A,由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作________符号语言∁U A=____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U=____;(2)∁U∅=____;(3)∁U(∁U A)=____;(4)A∪(∁U A)=____;(5)A∩(∁UA)=____.一、选择题1.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则∁U A等于()A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}2.已知全集U=R,集合M={x|x2-4≤0},则∁U M等于()A.{x|-2<x<2}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|x<-2或x>2}D.{x|x≤-2或x≥2}3.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则A∩(∁U B)等于() A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}4.设全集U和集合A、B、P满足A=∁U B,B=∁U P,则A与P的关系是() A.A=∁U P B.A=PC.A P D.P5.如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩∁I S D.(M∩P)∪∁I S6.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是()A.A∪B B.A∩BC.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B)二、填空题7.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁U A={1,2},则实数m=________.8.设全集U={x|x<9且x∈N},A={2,4,6},B={0,1,2,3,4,5,6},则∁U A=____________________,∁U B=________________,∁B A=____________.9.已知全集U,B,则∁U A与∁U B的关系是____________________.三、解答题10.设全集是数集U={2,3,a2+2a-3},已知A={b,2},∁U A={5},求实数a,b的值.11.已知集合A={1,3,x},B={1,x2},设全集为U,若B∪(∁U B)=A,求∁U B.能力提升12.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁U B)∩A={9},则A等于()A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}13.学校开运动会,某班有30名学生,其中20人报名参加赛跑项目,11人报名参加跳跃项目,两项都没有报名的有4人,问两项都参加的有几人?1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R就是全集.因此,全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A的数学意义包括两个方面:首先必须具备A⊆U;其次是定义∁U A={x|x ∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁U A,再由∁U(∁U A)=A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1.全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U,且x∉A}3.(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1.D[在集合U中,去掉1,5,7,剩下的元素构成∁U A.]2.C[∵M={x|-2≤x≤2},∴∁U M={x|x<-2或x>2}.]3.D[由B={2,5},知∁U B={1,3,4}.A∩(∁U B)={1,3,5}∩{1,3,4}={1,3}.]4.B[由A=∁U B,得∁U A=B.又∵B=∁U P,∴∁U P=∁U A.即P=A,故选B.]5.C[依题意,由图知,阴影部分对应的元素a具有性质a∈M,a∈P,a ∈∁I S,所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S,故选C.]6.D[由A∪B={1,3,4,5,6},得∁U(A∪B)={2,7},故选D.]7.-3解析∵∁U A={1,2},∴A={0,3},故m=-3.8.{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},用Venn图表示出U,A,B,易得∁A={0,1,3,5,7,8},∁U B={7,8},∁B A={0,1,3,5}.U9.∁U∁U A解析画Venn图,观察可知∁U∁U A.10.解∵∁U A={5},∴5∈U且5∉A.又b ∈A ,∴b ∈U ,由此得⎩⎨⎧a 2+2a -3=5,b =3.解得⎩⎨⎧ a =2,b =3或⎩⎨⎧a =-4,b =3经检验都符合题意.11.解 因为B ∪(∁U B )=A ,所以B ⊆A ,U =A ,因而x 2=3或x 2=x . ①若x 2=3,则x =±3.当x =3时,A ={1,3,3},B ={1,3},U =A ={1,3,3},此时∁U B ={3}; 当x =-3时,A ={1,3,-3},B ={1,3},U =A ={1,3,-3},此时∁U B ={-3}.②若x 2=x ,则x =0或x =1.当x =1时,A 中元素x 与1相同,B 中元素x 2与1也相同,不符合元素的互异性,故x ≠1;当x =0时,A ={1,3,0},B ={1,0}, U =A ={1,3,0},从而∁U B ={3}. 综上所述,∁U B ={3}或{-3}或{3}.12.D [借助于Venn 图解,因为A ∩B ={3},所以3∈A ,又因为(∁U B )∩A ={9},所以9∈A ,所以选D.]13.解 如图所示,设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ,b ,x .根据题意有⎩⎨⎧a +x =20,b +x =11,a +b +x =30-4.解得x =5,即两项都参加的有5人.§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.1.若A={x|x+1>0},B={x|x-3<0},则A∩B等于()A.{x|x>-1}B.{x|x<3}C.{x|-1<x<3}D.{x|1<x<3}2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N等于() A.{x|x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<5}C.{x|-3<x<5}D.{x|x<-3或x>5}3.设集合A={x|x≤13},a=11,那么()A.A B.a∉AC.{a}∉A D.{a A4.设全集I={a,b,c,d,e},集合M={a,b,c},N={b,d,e},那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A.∅B.{d}C.{b,e}D.{a,c}5.设A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k-3,k∈Z},则集合A与B的关系为____________.6.设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求:(1)A∪(B∩C);(2)A∩(∁A(B∪C)).一、选择题1.设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()A.P⊆Q B.Q⊆PC.P⊆∁R Q D.Q⊆∁R P2.符合条件{a P⊆{a,b,c}的集合P的个数是()A.2B.3C.4D.53.设M={x|x=a2+1,a∈N*},P={y|y=b2-4b+5,b∈N*},则下列关系正确的是()A.M=P B.PC.M D.M与P没有公共元素4.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩S)∩(∁S P) D.(M∩P)∪(∁V S)5.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.∅二、填空题6.已知集合A={x|x≤2},B={x|x>a},如果A∪B=R,那么a的取值范围是________.7.集合A={1,2,3,5},当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则A中孤立元素的个数为____.8.已知全集U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|},∁U A={5},则a=________.9.设U=R,M={x|x≥1},N={x|0≤x<5},则(∁U M)∪(∁U N)=________________.三、解答题10.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.11.某班50名同学参加一次智力竞猜活动,对其中A,B,C三道知识题作答情况如下:答错A者17人,答错B者15人,答错C者11人,答错A,B 者5人,答错A,C者3人,答错B,C者4人,A,B,C都答错的有1人,问A,B,C都答对的有多少人?能力提升12.对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有几个?13.设数集M={x|m≤x≤m+34},N={x|n-13≤x≤n},且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的长度的最小值.1.在解决有关集合运算题目时,关键是准确理解交、并、补集的意义,并能将题目中符号语言准确转化为文字语言.2.集合运算的法则可借助于Venn图理解,无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴,运用数形结合思想.3.熟记一些常用结论和性质,可以加快集合运算的速度.4.在有的集合题目中,如果直接去解可能比较麻烦,若用补集的思想解集合问题可变得更简单.§1.1习题课双基演练1.C[∵A={x|x>-1},B={x|x<3},∴A∩B={x|-1<x<3},故选C.]2.A[画出数轴,将不等式-3<x≤5,x<-5,x>5在数轴上表示出来,不难看出M∪N={x|x<-5或x>-3}.]3.D4.A[∵∁I M={d,e},∁I N={a,c},∴(∁I M)∩(∁I N)={d,e}∩{a,c}=∅.]5.A=B解析4k-3=4(k-1)+1,k∈Z,可见A=B.6.解∵A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.(2)又∵B∪C={1,2,3,4,5,6},∴∁A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}∴A∩(∁A(B∪C))={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.作业设计1.B[Q={x|-2<x<2},可知B正确.]2.B[集合P内除了含有元素a外,还必须含b,c中至少一个,故P={a,b},{a,c},{a,b,c}共3个.]3.B[∵a∈N*,∴x=a2+1=2,5,10,….∵b∈N*,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1,2,5,10,….∴P.]4.C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分,因此为(M ∩S )∩(∁S P ).]5.B [根据题意可画出下图.∵a +2>a -1,∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a -1≤3,a +2≥5.解得3≤a ≤4.]6.a ≤2解析 如图中的数轴所示,要使A ∪B =R ,a ≤2. 7.1解析 当x =1时,x -1=0∉A ,x +1=2∈A ; 当x =2时,x -1=1∈A ,x +1=3∈A ; 当x =3时,x -1=2∈A ,x +1=4∉A ; 当x =5时,x -1=4∉A ,x +1=6∉A ; 综上可知,A 中只有一个孤立元素5. 8.4解析 ∵A ∪(∁U A )=U , 由∁U A ={5}知,a 2-2a -3=5, ∴a =-2,或a =4.当a =-2时,|a -7|=9,9∉U ,∴a ≠-2. a =4经验证,符合题意. 9.{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ={x |x <1},∁U N ={x |x <0或x ≥5}, 故(∁U M )∪(∁U N )={x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ={x |1≤x <5},(∁U M )∪(∁U N )=∁U (M ∩N ) ={x |x <1或x ≥5}. 10.解 (1)∵B ={x |x ≥2}, ∴A ∩B ={x |2≤x <3}.(2)∵C={x|x>-a2},B∪C=C⇔B⊆C,∴-a2<2,∴a>-4.11.解由题意,设全班同学为全集U,画出Venn图,A表示答错A的集合,B 表示答错B的集合,C表示答错C的集合,将其集合中元素数目填入图中,自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5,因此A∪B∪C中元素数目为32,从而至少错一题的共32人,因此A,B,C全对的有50-32=18人.12.解依题意可知,“孤立元”必须是没有与k相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.因此,符合题意的集合是:{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.13.解在数轴上表示出集合M与N,可知当m=0且n=1或n-13=0且m+34=1时,M∩N的“长度”最小.当m=0且n=1时,M∩N={x|23≤x≤34},长度为34-23=112;当n=13且m=14时,M∩N={x|14≤x≤13},长度为13-14=112.综上,M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念,明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集,表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域.1.函数(1)设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的__________,使对于集合A 中的____________,在集合B中都有________________和它对应,那么就称f:________为从集合A到集合B的一个函数,记作__________________.其中x叫做________,x的取值范围A叫做函数的________,与x的值相对应的y值叫做________,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.(2)值域是集合B的________.2.区间(1)设a,b是两个实数,且a<b,规定:①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间,表示为________;②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间,表示为________;③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为______________.(2)实数集R可以用区间表示为__________,“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“__________”,“-∞”读作“________”.我们把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为________,________,________,______.一、选择题1.对于函数y=f(x),以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x,y的值也不同③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A.1个B.2个C.3个D.4个2.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②3.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.y=x-1和y=x2-1 x+1B.y=x0和y=1C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=(x)2x和g(x)=x(x)24.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A.10个B.9个C.8个D.4个5.函数y=1-x+x的定义域为()A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0}D.{x|0≤x≤1}6.函数y=x+1的值域为()A.[-1,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0] D.(-∞,-1]二、填空题7.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表:8.如果函数f (x )满足:对任意实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )f (b ),且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+f (4)f (3)+f (5)f (4)+…+f (2011)f (2010)=________. 9.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为______________.10.若函数f (x )的定义域是[0,1],则函数f (2x )+f (x +23)的定义域为________. 三、解答题11.已知函数f (1-x 1+x )=x ,求f (2)的值.能力提升12.如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:(1)最初到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时,离家多远?(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米?(5)他在9∶00~10∶00和10∶00~10∶30的平均速度分别是多少?(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐?13.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2m,渠深为1.8m,斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;(2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.1.函数的判定判定一个对应关系是否为函数,关键是看对于数集A中的任一个值,按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定,如果唯一确定,就是一个函数,否则就不是一个函数.2.由函数式求函数值,及由函数值求x,只要认清楚对应关系,然后对号入座就可以解决问题.3.求函数定义域的原则:①当f (x )以表格形式给出时,其定义域指表格中的x 的集合;②当f (x )以图象形式给出时,由图象范围决定;③当f (x )以解析式给出时,其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成;④在实际问题中,函数的定义域由实际问题的意义确定.§1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念知识梳理1.(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y =f (x ),x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2.(1)①a ≤x ≤b [a ,b ] ②a <x <b (a ,b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ,b ),(a ,b ] (2)(-∞,+∞) 正无穷大 负无穷大 [a ,+∞) (a ,+∞) (-∞,b ] (-∞,b ) 作业设计1.B [①、③正确;②不对,如f (x )=x 2,当x =±1时y =1;④不对,f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来,如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示.]2.C [①的定义域不是集合M ;②能;③能;④与函数的定义矛盾.故选C.]3.D [A 中的函数定义域不同;B 中y =x 0的x 不能取0;C 中两函数的对应关系不同,故选D.]4.B [由2x 2-1=1,2x 2-1=7得x 的值为1,-1,2,-2,定义域为两个元素的集合有4个,定义域为3个元素的集合有4个,定义域为4个元素的集合有1个,因此共有9个“孪生函数”.] 5.D [由题意可知⎩⎨⎧1-x ≥0,x ≥0,解得0≤x ≤1.]6.B 7.3 2 1解析 g [f (1)]=g (2)=3,g [f (2)]=g (3)=2,g [f (3)]=g (1)=1. 8.2010解析 由f (a +b )=f (a )f (b ),令b =1,∵f (1)=1, ∴f (a +1)=f (a ),即f (a +1)f (a )=1,由a 是任意实数, 所以当a 取1,2,3,…,2010时,得f (2)f (1)=f (3)f (2)=…=f (2011)f (2010)=1.故答案为2010.9.{-1,1,3,5,7}解析 ∵x =1,2,3,4,5,∴f (x )=2x -3=-1,1,3,5,7. 10.[0,13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1,0≤x +23≤1,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12,-23≤x ≤13,即x ∈[0,13].11.解 由1-x 1+x=2,解得x =-13,所以f (2)=-13.12.解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时,离家30千米. (2)10∶30开始第一次休息,休息了半小时. (3)第一次休息时,离家17千米. (4)11∶00至12∶00他骑了13千米.(5)9∶00~10∶00的平均速度是10千米/时;10∶00~10∶30的平均速度是14千米/时.(6)从12时到13时停止前进,并休息用午餐较为符合实际情形.13.解 (1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2m ,上底为(2+2h )m ,高为h m ,∴水的面积A =[2+(2+2h )]h 2=h 2+2h (m 2).。

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第一章1-2函数及其表示

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第一章1-2函数及其表示

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念,明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集,表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域.1.函数(1)设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的__________,使对于集合A中的____________,在集合B中都有________________和它对应,那么就称f:________为从集合A到集合B的一个函数,记作__________________.其中x 叫做________,x的取值范围A叫做函数的________,与x的值相对应的y值叫做________,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.(2)值域是集合B的________.2.区间(1)设a,b是两个实数,且a<b,规定:①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间,表示为________;②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间,表示为________;③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为______________.(2)实数集R可以用区间表示为__________,“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“__________”,“-∞”读作“________”.我们把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为________,________,________,______.一、选择题1.对于函数y=f(x),以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ,y 的值也不同③f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A .1个B .2个 C .3个D .4个2.设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A .①②③④B .①②③C .②③D .②3.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x(x )24.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y =2x 2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A .10个B .9个C .8个D .4个 5.函数y =1-x +x 的定义域为( )A .{x |x ≤1}B .{x |x ≥0}C .{x |x ≥1或x ≤0}D .{x |0≤x ≤1} 6.函数y =x +1的值域为( ) A .[-1,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,0] D .(-∞,-1]二、填空题7.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表:8.如果函数f (x )满足:对任意实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )f (b ),且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+f (4)f (3)+f (5)f (4)+…+f (2011)f (2010)=________. 9.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为______________.10.若函数f (x )的定义域是[0,1],则函数f (2x )+f (x +23)的定义域为________. 三、解答题11.已知函数f (1-x1+x )=x ,求f (2)的值.能力提升12.如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:(1)最初到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时,离家多远?(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米?(5)他在9∶00~10∶00和10∶00~10∶30的平均速度分别是多少?(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐?13.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2m,渠深为1.8m,斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;(2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.1.函数的判定判定一个对应关系是否为函数,关键是看对于数集A 中的任一个值,按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定,如果唯一确定,就是一个函数,否则就不是一个函数.2.由函数式求函数值,及由函数值求x ,只要认清楚对应关系,然后对号入座就可以解决问题.3.求函数定义域的原则:①当f (x )以表格形式给出时,其定义域指表格中的x 的集合;②当f (x )以图象形式给出时,由图象范围决定;③当f (x )以解析式给出时,其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成;④在实际问题中,函数的定义域由实际问题的意义确定.§1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念知识梳理1.(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y =f (x ),x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2.(1)①a ≤x ≤b [a ,b ] ②a <x <b (a ,b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ,b ),(a ,b ] (2)(-∞,+∞) 正无穷大 负无穷大 [a ,+∞) (a ,+∞) (-∞,b ] (-∞,b ) 作业设计1.B [①、③正确;②不对,如f (x )=x 2,当x =±1时y =1;④不对,f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来,如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示.]2.C [①的定义域不是集合M ;②能;③能;④与函数的定义矛盾.故选C.] 3.D [A 中的函数定义域不同;B 中y =x 0的x 不能取0;C 中两函数的对应关系不同,故选D.]4.B [由2x 2-1=1,2x 2-1=7得x 的值为1,-1,2,-2,定义域为两个元素的集合有4个,定义域为3个元素的集合有4个,定义域为4个元素的集合有1个,因此共有9个“孪生函数”.]5.D [由题意可知⎩⎨⎧1-x ≥0,x ≥0,解得0≤x ≤1.]6.B 7.3 2 1解析 g [f (1)]=g (2)=3,g [f (2)]=g (3)=2, g [f (3)]=g (1)=1. 8.2010解析 由f (a +b )=f (a )f (b ),令b =1,∵f (1)=1, ∴f (a +1)=f (a ),即f (a +1)f (a )=1,由a 是任意实数,所以当a 取1,2,3,…,2010时,得f (2)f (1)=f (3)f (2)=…=f (2011)f (2010)=1.故答案为2010. 9.{-1,1,3,5,7}解析 ∵x =1,2,3,4,5,∴f (x )=2x -3=-1,1,3,5,7. 10.[0,13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1,0≤x +23≤1,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12,-23≤x ≤13,即x ∈[0,13].11.解 由1-x 1+x=2,解得x =-13,所以f (2)=-13.12.解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时,离家30千米. (2)10∶30开始第一次休息,休息了半小时. (3)第一次休息时,离家17千米. (4)11∶00至12∶00他骑了13千米.(5)9∶00~10∶00的平均速度是10千米/时;10∶00~10∶30的平均速度是14千米/时.(6)从12时到13时停止前进,并休息用午餐较为符合实际情形.13.解 (1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2m ,上底为(2+2h )m ,高为h m ,∴水的面积A=[2+(2+2h)]h2=h2+2h(m2).(2)定义域为{h|0<h<1.8}.值域由二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}.(3)由于A=(h+1)2-1,对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0)两点,又考虑到0<h<1.8,∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如下图所示.1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系; (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系; (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系.一、选择题1.一个面积为100cm 2的等腰梯形,上底长为x cm ,下底长为上底长的3倍,则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A .y =50x (x >0) B .y =100x (x >0)C .y =50x (x >0)D .y =100x (x >0)2.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.如果f (1x )=x1-x,则当x ≠0时,f (x )等于( )A.1xB.1x -1C.11-xD.1x-1 4.已知f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )等于( )A .2x +1B .2x -1C .2x -3D .2x +75.若g (x )=1-2x ,f [g (x )]=1-x 2x 2,则f (12)的值为( ) A .1B .15C .4D .306.在函数y =|x |(x ∈[-1,1])的图象上有一点P (t ,|t |),此函数与x 轴、直线x =-1及x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ,则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7.一个弹簧不挂物体时长12cm ,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ,则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________.8.已知函数y =f (x )满足f (x )=2f (1x )+x ,则f (x )的解析式为____________. 9.已知f (x )是一次函数,若f (f (x ))=4x +8,则f (x )的解析式为__________________.三、解答题10.已知二次函数f (x )满足f (0)=f (4),且f (x )=0的两根平方和为10,图象过(0,3)点,求f (x )的解析式.11.画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小;(2)若x 1<x 2<1,比较f (x 1)与f (x 2)的大小; (3)求函数f (x )的值域.能力提升12.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于..6·时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A .y =[x10] B .y =[x +310]C .y =[x +410]D .y =[x +510]13.设f (x )是R 上的函数,且满足f (0)=1,并且对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),求f (x )的解析式.1.如何作函数的图象一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数),再列表描出图象,并在画图象的同时注意一些关键点,如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等. 2.如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定义域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1.C [由x +3x2·y =100,得2xy =100.∴y =50x (x >0).]2.B [由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.]3.B [令1x =t ,则x =1t ,代入f (1x )=x1-x,则有f (t )=1t 1-1t=1t -1,故选B.] 4.B [由已知得:g (x +2)=2x +3,令t =x +2,则x =t -2,代入g (x +2)=2x +3,则有g (t )=2(t -2)+3=2t -1,故选B.]5.B [令1-2x =12,则x =14,∴f (12)=1-(14)2(14)2=15.] 6.B [当t <0时,S =12-t 22,所以图象是开口向下的抛物线,顶点坐标是(0,12);当t >0时,S =12+t 22,开口是向上的抛物线,顶点坐标是(0,12).所以B 满足要求.]7.y =12x +12解析 设所求函数解析式为y =kx +12,把x =3,y =13.5代入,得13.5=3k+12,k =12.所以所求的函数解析式为y =12x +12.8.f (x )=-x 2+23x (x ≠0)解析 ∵f (x )=2f (1x )+x ,①∴将x 换成1x ,得f (1x )=2f (x )+1x .②由①②消去f (1x ),得f (x )=-23x -x3,即f (x )=-x 2+23x (x ≠0).9.f (x )=2x +83或f (x )=-2x -8 解析 设f (x )=ax +b (a ≠0), 则f (f (x ))=f (ax +b )=a 2x +ab +b .∴⎩⎨⎧a 2=4ab +b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =83或⎩⎨⎧a =-2b =-8.10.解 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由f (0)=f (4)知⎩⎨⎧f (0)=c ,f (4)=16a +4b +c ,f (0)=f (4),得4a +b =0.① 又图象过(0,3)点, 所以c =3.②设f (x )=0的两实根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=ca . 所以x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-b a)2-2·c a=10.即b 2-2ac =10a 2.③由①②③得a =1,b =-4,c =3.所以f (x )=x 2-4x +3.11.解 因为函数f (x )=-x 2+2x +3的定义域为R ,列表:x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -5 0 3 4 3 0 -5 …连线,描点,得函数图象如图:(1)根据图象,容易发现f (0)=3,f (1)=4,f (3)=0, 所以f (3)<f (0)<f (1).(2)根据图象,容易发现当x 1<x 2<1时,有f (x 1)<f (x 2). (3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数的值域为(-∞,4].12.B [方法一 特殊取值法,若x =56,y =5,排除C 、D ,若x =57,y =6,排除A ,所以选B.方法二 设x =10m +α(0≤α≤9),0≤α≤6时, [x +310]=[m +α+310]=m =[x 10],当6<α≤9时,[x +310]=[m +α+310]=m +1=[x10]+1, 所以选B.]13.解 因为对任意实数x ,y ,有 f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1), 所以令y =x ,有f (0)=f (x )-x (2x -x +1),即f (0)=f (x )-x (x +1).又f (0)=1, ∴f (x )=x (x +1)+1=x 2+x +1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题.2.了解映射的概念.1.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的____________的函数.(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______;各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时,应_____________________________________.2.映射的概念设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中____________确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的__________.一、选择题1.已知,则f(3)为()A.2B.3C.4D.52.下列集合A到集合B的对应中,构成映射的是()3.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:A.100元B.90元C.80元D.60元4.已知函数,使函数值为5的x的值是()A.-2B.2或-5 2C.2或-2D.2或-2或-5 25.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为() A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米6.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不能表示从P到Q的映射的是()A.f:x→y=12x B.f:x→y=13xC.f:x→y=23x D.f:x→y=x二、填空题7.已知,则f(7)=____________.8.设则f {f [f (-34)]}的值为________,f (x )的定义域是______________.9.已知函数f (x )的图象如下图所示,则f (x )的解析式是__________________.三、解答题 10.已知,(1)画出f (x )的图象; (2)求f (x )的定义域和值域.11.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.能力提升12.设f:x→x2是集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B一定是() A.∅B.∅或{1}C.{1}D.∅13.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数).1.全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况,以决定这些点的实虚情况.2.对映射认识的拓展映射f:A→B,可理解为以下三点:(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应;(2)对A中不同的元素,在B中可以有相同的元素与之对应;(3)A中元素与B中元素的对应关系,可以是:一对一、多对一,但不能一对多.3.函数与映射的关系映射f:A→B,其中A、B是两个“非空集合”;而函数y=f(x),x∈A为“非空的实数集”,其值域也是实数集,于是,函数是数集到数集的映射.由此可知,映射是函数的推广,函数是一种特殊的映射.第2课时 分段函数及映射知识梳理1.(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2.都有唯一 一个映射 作业设计 1.A [∵3<6,∴f (3)=f (3+2)=f (5)=f (5+2)=f (7)=7-5=2.] 2.D3.C [不同的房价对应着不同的住房率,也对应着不同的收入,因此求出4个不同房价对应的收入,然后找出最大值对应的房价即可.] 4.A [若x 2+1=5,则x 2=4,又∵x ≤0,∴x =-2, 若-2x =5,则x =-52,与x >0矛盾,故选A.]5.A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y =⎩⎨⎧mx , 0≤x ≤10,2mx -10m ,x >10. 由y =16m ,可知x >10.令2mx -10m =16m ,解得x =13(立方米).]6.C [如果从P 到Q 能表示一个映射,根据映射的定义,对P 中的任一元素,按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应,选项C 中,当x =4时,y =23×4=83∉Q ,故选C.] 7.6解析 ∵7<9,∴f (7)=f [f (7+4)]=f [f (11)]=f (11-3)=f (8). 又∵8<9,∴f (8)=f [f (12)]=f (9)=9-3=6. 即f (7)=6.8.32 {x |x ≥-1且x ≠0}解析 ∵-1<-34<0,∴f (-34)=2×(-34)+2=12.而0<12<2,∴f (12)=-12×12=-14.∵-1<-14<0,∴f (-14)=2×(-14)+2=32.因此f {f [f (-34)]}=32.函数f (x )的定义域为{x |-1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}={x |x ≥-1且x ≠0}.9.f (x )=⎩⎨⎧ x +1, -1≤x <0,-x ,0≤x ≤1解析 由图可知,图象是由两条线段组成,当-1≤x <0时,设f (x )=ax +b ,将(-1,0),(0,1)代入解析式,则⎩⎨⎧ -a +b =0,b =1.∴⎩⎨⎧a =1,b =1.当0<x <1时,设f (x )=kx ,将(1,-1)代入,则k =-1. 10.解 (1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f (x )的定义域为R .由图象知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1],当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].11.解 当点P 在BC 上运动,即0≤x ≤4时,y =12×4x =2x ;当点P 在CD 上运动,即4<x ≤8时,y =12×4×4=8;当点P 在DA 上运动,即8<x ≤12时,y =12×4×(12-x )=24-2x .综上可知,f (x )=⎩⎨⎧ 2x , 0≤x ≤4,8,4<x ≤8,24-2x ,8<x ≤12.12.B [由题意可知,集合A 中可能含有的元素为:当x 2=1时,x =1,-1;当x 2=2时,x =2,- 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合.无论含有几个元素,A ∩B =∅或{1}.故选B.]13.解 根据题意可得d =k v 2S .∵v =50时,d =S ,代入d =k v 2S 中,解得k =12500.∴d =12500v 2S .当d =S 2时,可解得v =25 2.∴d =⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解,加深对映射概念的了解.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例,理解简单的分段函数,并能简单应用.1.下列图形中,不可能作为函数y=f(x)图象的是()2.已知函数f:A→B(A、B为非空数集),定义域为M,值域为N,则A、B、M、N的关系是()A.M=A,N=B B.M⊆A,N=BC.M=A,N⊆B D.M⊆A,N⊆B3.函数y=f(x)的图象与直线x=a的交点()A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上4.已知函数,若f(a)=3,则a的值为()A.3B.- 3C.±3D.以上均不对5.若f(x)的定义域为[-1,4],则f(x2)的定义域为()A.[-1,2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-2,0]6.函数y=xkx2+kx+1的定义域为R,则实数k的取值范围为() A.k<0或k>4B.0≤k<4C.0<k<4D.k≥4或k≤0一、选择题1.函数f (x )=xx 2+1,则f (1x )等于( )A .f (x )B .-f (x )C.1f (x )D.1f (-x )2.已知f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则f (x )的定义域为( )A .[-2,2]B .[0,2]C .[-1,2]D .[-3,3]3.已知集合A ={a ,b },B ={0,1},则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4.与y =|x |为相等函数的是( )A .y =(x )2B .y =x 2C .D .y =3x 35.函数y =2x +1x -3的值域为( )A .(-∞,43)∪(43,+∞)B .(-∞,2)∪(2,+∞)C .RD .(-∞,23)∪(43,+∞)6.若集合A ={x |y =x -1},B ={y |y =x 2+2},则A ∩B 等于( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .[2,+∞)D .(0,+∞)二、填空题7.设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},点(x,y)在映射f:A→B的作用下对应的点是(x-y,x+y),则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________.8.已知f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析式为___________________________________.9.已知函数,则f(f(-2))=______________________________.三、解答题10.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).11.已知,若f(1)+f(a+1)=5,求a的值.能力提升12.已知函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x-a)+f(x+a)(0<a<12)的定义域为()A.∅B.[a,1-a] C.[-a,1+a]D.[0,1]13.已知函数(1)求f(-3),f[f(-3)];(2)画出y=f(x)的图象;(3)若f(a)=12,求a的值.1.函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素.事实上,如果函数的定义域和对应关系确定了,那么函数的值域也就确定了.两个函数是否相同,只与函数的定义域和对应关系有关,而与函数用什么字母表示无关.求函数定义域时,要注意分式的字母不能为零;偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零.2.函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法,它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势.函数的图象可以是直线、光滑的曲线,也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等.3.函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种.根据解析式画函数的图象时,要注意定义域对函数图象的制约作用.函数的图象既是研究函数性质的工具,又是数形结合方法的基础.§1.2习题课双基演练1.C[C选项中,当x取小于0的一个值时,有两个y值与之对应,不符合函数的定义.]2.C[值域N应为集合B的子集,即N⊆B,而不一定有N=B.]3.C[当a属于f(x)的定义域内时,有一个交点,否则无交点.]4.A[当a≤-1时,有a+2=3,即a=1,与a≤-1矛盾;当-1<a<2时,有a2=3,∴a=3,a=-3(舍去);当a≥2时,有2a=3,∴a=32与a≥2矛盾.综上可知a = 3.]5.B [由-1≤x 2≤4,得x 2≤4,∴-2≤x ≤2,故选B.]6.B [由题意,知kx 2+kx +1≠0对任意实数x 恒成立,当k =0时,1≠0恒成立,∴k =0符合题意.当k ≠0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4,综上,知0≤k <4.]作业设计1.A [f (1x )=1x 1x 2+1=x 1+x 2=f (x ).] 2.C [∵x ∈[-3,3],∴0≤x 2≤3,∴-1≤x 2-1≤2,∴f (x )的定义域为[-1,2].]3.C [C 选项中,和a 相对应的有两个元素0和1,不符合映射的定义.故答案为C.]4.B [A 中的函数定义域与y =|x |不同;C 中的函数定义域不含有x =0,而y =|x |中含有x =0,D 中的函数与y =|x |的对应关系不同,B 正确.]5.B [用分离常数法.y =2(x -3)+7x -3=2+7x -3. ∵7x -3≠0,∴y ≠2.] 6.C [化简集合A ,B ,则得A =[1,+∞),B =[2,+∞).∴A ∩B =[2,+∞).]7.(52,-12)解析 由题意⎩⎨⎧ x -y =3x +y =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =52y =-12.8.f (x )=x 2-1(x ≥1)解析 ∵f (x +1)=x +2x=(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1,∴f (x )=x 2-1. 由于x +1≥1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).9.4解析 ∵-2<0,∴f (-2)=(-2)2=4,又∵4≥0,∴f (4)=4,∴f (f (-2))=4.10.解 令t =x -1,则1-x =-t ,原式变为3f (t )+2f (-t )=2(t +1),①以-t 代t ,原式变为3f (-t )+2f (t )=2(1-t ),②由①②消去f (-t ),得f (t )=2t +25. 即f (x )=2x +25.11.解 f (1)=1×(1+4)=5,∵f (1)+f (a +1)=5,∴f (a +1)=0.当a +1≥0,即a ≥-1时,有(a +1)(a +5)=0,∴a =-1或a =-5(舍去).当a +1<0,即a <-1时,有(a +1)(a -3)=0,无解.综上可知a =-1.12.B [由已知,得⎩⎨⎧ 0≤x +a ≤1,0≤x -a ≤1⇒⎩⎨⎧-a ≤x ≤1-a ,a ≤x ≤1+a . 又∵0<a <12,∴a ≤x ≤1-a ,故选B.]13.解 (1)∵x ≤-1时,f (x )=x +5,∴f (-3)=-3+5=2,∴f [f (-3)]=f (2)=2×2=4.(2)函数图象如右图所示.(3)当a ≤-1时,f (a )=a +5=12,a =-92≤-1; 当-1<a <1时,f (a )=a 2=12,a =±22∈(-1,1); 当a ≥1时,f (a )=2a =12,a =14∉[1,+∞),舍去. 故a 的值为-92或±22.。

人教A版高中数学必修一全册同步课时作业含解析

人教A版高中数学必修一全册同步课时作业含解析

人教A版高中数学必修一全册同步课时作业含解析[课时作业][A组基础巩固]1.已知集合M={3,m+1},且4∈M,则实数m等于( )A.4 B.3C.2 D.1解析:由题设可知3≠4,∴m+1=4,∴m=3.答案:B2.若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形解析:由集合中元素互异性可知,a,b,c,d互不相等,从而四边形中没有边长相等的边.答案:A3.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为( )A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}解析:∵x-3<2,∴x<5,又∵x∈N+,∴x=1,2,3,4.答案:B4.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ) A.5 B.4C.3 D.2解析:利用集合中元素的互异性确定集合.当x=-1,y=0时,z=x+y=-1;当x=1,y=0时,z=x+y=1;当x=-1,y=2时,z=x+y=1;当x=1,y=2时,z=x+y=3,由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素个数为3.答案:C5.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合中,最多含有的元素个数为( )A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析:确定集合中元素的个数,应从集合中元素的互异性入手考虑.若是相同的元素,则在集合中只能出现一次.因为x2=|x|,-3x3=-x,所以当x=0时,这几个数均为0.当x >0时,它们分别是x,-x,x,x,-x.当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,-x.均最多表示两个不同的数,故所组成的集合中的元素最多有2个.故选A.答案:A6.设a,b∈R,集合{0,ba,b}={1,a+b,a},则b-a=________.解析:由题设知a≠0,则a+b=0,a=-b,所以ba=-1,∴a=-1,b=1,故b-a=2.答案:27.已知-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为________.解析:由-5∈{x|x2-ax-5=0}得(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4,所以{x|x2-4x+4=0}={2},所以集合中所有元素之和为2.答案:28.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q ={1,2,6},则P+Q中元素的个数为________.解析:∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5}, Q={1,2,6},∴当a=0时,a+b的值为1,2,6;当a=2时,a+b的值为3,4,8;当a=5时,a+b的值为6,7,11.∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},故P+Q中有8个元素.答案:89.集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解析:(1)当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.(2)当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有一个实根.只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.10.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,(1)若-3∈A,试求实数a的值;(2)若a∈A,试求实数a的值.解析:(1)因为-3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意,综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1.当a=a-3时,有0=-3,不成立.当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.[B组能力提升]1.有以下说法:①0与{0}是同一个集合;②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}是有限集.其中正确说法是( )A.①④ B.②C.②③ D.以上说法都不对解析:0∈{0};方程(x-1)2(x-2)=0的解集为{1,2};集合{x|4<x<5}是无限集;只有②正确.答案:B2.已知集合P={x|x=a|a|+|b|b,a,b为非零常数},则下列不正确的是( )A.-1∈P B.-2∈PC.0∈P D.2∈P解析:(1)a>0,b>0时,x=a|a|+b|b|=1+1=2;(2)a<0,b<0时,x=a|a|+b|b|=-1-1=-2;(3)a,b异号时,x=0.答案:A3.已知集合M={a|a∈N,且65-a∈N},则M=________.解析:5-a整除6,故5-a=1,2,3,6,a∈N所以a=4,3,2.答案:{4,3,2}4.当x∈A时,若x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”,则集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________.解析:由“孤立元素”的定义知,对任意x∈A,要成为A的孤立元素,必须是集合A中既没有x-1,也没有x+1,因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”,1,2则是前后的元素都有,3有2“相伴”,只有5是“孤立的”,从而集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}.故填{5}.答案:{5}5.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.(1)若1∈A,求a的值;(2)若集合A中只有一个元素,求实数a组成的集合;(3)若集合A中含有两个元素,求实数a组成的集合.解析:(1)因为1∈A,所以a×12+2×1+1=0,所以a=-3.(2)当a=0时,原方程为2x+1=0,解得x=-12,符合题意;当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有两个相等实根,即Δ=22-4a=0,所以a=1.故当集合A只有一个元素时,实数a组成的集合是{0,1}.(3)由集合A中含有两个元素知,方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根,即a≠0且Δ=22-4a>0,所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时,实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}.6.设S是由满足下列条件的实数所构成的集合:①1∉S;②若a∈S,则11-a∈S.请解答下列问题:(1)若2∈S,则S中必有另外两个数,求出这两个数;(2)求证:若a∈S,且a≠0,则1-1a∈S.解析:(1)∵2∈S,2≠1,∴11-2=-1∈S.∵-1∈S,-1≠1,∴11--=12∈S. 又∵12∈S,12≠1,∴11-12=2∈S.∴集合S中另外两个数为-1和12.(2)由a∈S,则11-a∈S,可得11-11-a∈S,即11-11-a=1-a1-a-1=1-1a∈S.∴若a∈S,且a≠0,则1-1a∈S.[课时作业][A组基础巩固]1.(2016•高考全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B =( )A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1, 2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.答案:C2.设S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则S∩T=( )A.∅ B.{x|x<-12}C.{x|x>53} D.{x|-12<x<53}解析:S={x|2x+1>0}={x|x>-12},T={x|3x-5<0}={x|x<53},则S∩T={x|-12<x <53}.答案:D3.已知集合A={(x,y)|x+y=0,x,y∈R},B={(x,y)|x-y=0,x,y∈R},则集合A ∩B的元素个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:解方程组x+y=0x-y=0,x=0y=0.∴A∩B={(0,0)}.答案:B4.设集合M={x∈Z|-10≤x≤-3},N={x∈Z||x|≤5},则M∪N中元素的个数为( ) A.11 B.10C.16 D.15解析:先用列举法分别把集合M,N中的元素列举出来,再根据并集的定义写出M∪N.∵M={x∈Z|-10≤x≤-3}={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3},N={x∈Z||x|≤5}={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},∴M∪N={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.∴M∪N中元素的个数为16.答案:C5.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠∅,若A∪B=A,则( ) A.-3≤m≤4 B.-3<m<4C.2<m<4 D.2<m≤4解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.又B≠∅,∴m+1≥-22m-1≤7m+1<2m-1即2<m≤4.答案:D6.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________.解析:由M={0,1,2},知N={0,2,4},M∩N={0,2}.答案:{0,2}7.已知集合A={(x,y)|y=ax+3},B={(x,y)|y=3x+b},A∩B={(2,5)},则a=________,b=________.解析:∵A∩B={(2,5)}.∴5=2a+3.∴a=1.∴5=6+b.∴b=-1.答案:1 -18.若集合A={1,3,x},集合B={x2,1},且A∪B={1,3,x},则这样的x值的个数为________.解析:∵A∪B=A,∴B⊆A,∴x2∈A.令x2=3,得x=±3,符合要求.令x2=x,得x=0或x=1.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.∴x=±3或x=0.答案:39.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.解析:如图所示:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.10.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B⊆A,求实数m的取值范围.解析:由x2+x-6=0,得A={-3, 2},∵B⊆A,且B中元素至多一个,∴B={-3},或B={2},或B=∅.(1)当B={-3}时,由(-3)m+1=0,得m=13;(2)当B={2}时,由2m+1=0,得m=-12;(3)当B=∅时,由mx+1=0无解,得m=0.∴m=13或m=-12或m=0.[B组能力提升]1.定义A-B={x|x∈A且x∉B},若A={1,2,4,6,8,10},B={1,4,8},则A-B=( ) A.{4,8} B.{1,2,6,10}C.{2,6,10} D.{1}解析:由题设信息知A-B={2,6,10}.答案:C2.(2016•高考全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.-3,-32 B.-3,32C.1,32D.32,3解析:∵x2-4x+3<0,∴1<x<3,∴A={x|1<x<3}.∵2x-3>0,∴x>32,∴B=xx>32.∴A∩B={x|1<x<3}∩xx>32=x32<x<3.故选D.答案:D3.已知集合A={x||x+2|<3},集合B={x|m<x<2},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.解析:A={x||x+2|<3}={x|-5<x<1},由图形直观性可知m=-1,n=1.答案:-1 14.已知A={x|-2<x<a+1},B={x|x≤-a或x≥2-a},A∪B=R,则实数a的取值范围是________.解析:本题给出了两个待定的集合,且已知A∪B=R,结合数轴表示可求出参数a的取值范围.如图所示,因为A∪B=R,所以应满足-a≥-22-a≤a+1,解得a≤2a≥12,所以12≤a≤2.答案:a12≤a≤25.设方程x2+px-12=0的解集为A,方程x2+qx+r=0的解集为B,且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求p,q,r的值.解析:∵A∩B={-3},∴-3∈A,代入x2+px-12=0得p=-1,∴A={-3,4}∵A≠B,A∪B={-3,4},∴B={-3}即方程x2+qx+r=0有两个相等的根x=-3,∴q=6,r=9.6.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a、m的值或范围.解析:x2-3x+2=0得x=1或2,故A={1,2},∵A∪B=A,∴B⊆A,B有四种可能的情况:∅,{1},{2},{1,2}.∵x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)]∴必有1∈B,因而a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又∵A∩C=C,∴C⊆A.故C有四种可能的情况:∅,{1},{2},{1,2}.①若C=∅,则方程x2-mx+2=0(※)的判别式Δ=m2-8<0,得-22<m<22;②若C={1},则方程(※)有两个等根为1,∴1+1=m1×1=2不成立;③若C={2},同上②也不成立;④若C={1,2},则1+2=m1×2=2.得m=3.综上所述,有a=2或a=3;m=3或-22<m<22.[课时作业][A组基础巩固]1.已知M={1,2,3,4},N={2,3},则有( )A.M⊆N B.N MC.N∈M D.M=N解析:由子集的概念可知N M.答案:B2.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若B⊆A,则m=( )A.0或3 B.0或3C.1或3 D.0或1或3解析:(1)m=3,此时A={1,3,3},B={1,3},满足B⊆A.(2)m=m,即m=0或m=1.①m=0时,A={0,1,3},B={0,1},满足B⊆A;②m=1时,A={1,3,1},B={1,1},不满足互异性,舍去.答案:B3.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是( ) A.1 B.-1C.-1或0或1 D.0或1解析:由题设可知集合A中只有一个元素,(1)a=0时,原方程等价转化为2x=0,即x=0,满足题设;(2)a≠04-4a2=0得a=±1.答案:C4.已知集合A={x|x=k2+14,k∈Z},集合B={x|x=k4+12,k∈Z},则A与B的关系为( )A.A B B.B AC.A=B D.以上答案都不对解析:对两集合中的限制条件通分,使分母相同.观察分子的不同点及其关系.集合A中:x=k2+14=2k+14;集合B中:x=k4+12=k+24;而{2k+1}表示奇数集,{k+2}表示整数集,∴A B.答案:A5.满足{x|x2+1=0}A⊆{x|x2-1=0}的集合A的个数是( )A.1 B.2C.3 D.4解析:{x|x2+1=0}=∅,{x|x2-1=0}={-1,1},故集合A是集合{-1,1}的非空子集,所以A的个数为22-1=3.故选C.答案:C6.已知集合M={(x,y)|x+y<0,且xy>0},集合P={(x,y)|x<0,且y<0},那么集合M与P之间的关系是________.解析:M中的元素满足x+y<0xy>0,即x<0y<0,∴M=P.答案:M=P7.已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且A⊆B,则实数a的取值范围是________.解析:因为A={x||x|≤2,x∈R}={x|-2≤x≤2,x∈R},B={x|x≥a},A⊆B,所以a≤-2.答案:a≤-28.已知集合A{1,2,3},且A中至多有一个奇数,则所有满足条件的集合A为________.解析:集合A是集合{1,2,3}的真子集,且A中至多有一个奇数,那么当集合A中有0个奇数时,集合A=∅,{2};当集合A中有1个奇数时,集合A={1},{3},{1,2},{2,3}.综上,A=∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3}.答案:∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3}9.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.解析:A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A.①若B=∅,则m+1>2m-1,解得m<2,此时有B⊆A;②若B≠∅,则m+1≤2m-1,即m≥2,由B⊆A,得m≥2m+1≥-22m-1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.10.已知集合M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},若M=N,求实数a的值.解析:因为M=N,所以(a-3)+(2a-1)+(a2+1)=-2+(4a-3)+(3a-1),即a2-4a +3=0,解得a=1或a=3.当a=1时,M={-2,1,2},N={-2,1,2},满足M=N;当a=3时,M={0,5,10},N={-2,9,8},不满足M=N,舍去.故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1.集合A={x|x=(2n+1)π,n∈N}与B={x|x=(4n±1)π,n∈N}之间的关系是( ) A.A B B.B AC.A=B D.不确定解析:对于集合A,当n=2k时,x=(4k+1)π,k∈N;当n=2k+1时,x=[4(k+1)-1]π=(4m-1)π,m∈N,其中m=k+1.所以A中的元素形如(4k±1)π,k∈N.答案:C2.定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:由题意知A*B={1,3},∴A*B的子集个数为22=4个.答案:D3.已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是________.解析:∵y=(x-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2}.∴N M.答案:N M4.定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则集合A*B中的最大元素为________,集合A*B的所有子集的个数为________.解析:当x1=1时,x1+x2的值为2,3;当x1=2时,x1+x2的值为3,4;当x1=3时,x1+x2的值为4,5;∴A*B={2,3,4,5}.故A*B中的最大元素为5,所有子集的个数为24=16.答案:5 165.已知集合A={x∈R|x2-2x-8=0},B={x∈R|x2+ax+a2-12=0},B⊆A,求实数a 的取值集合.解析:A={-2,4},因为B⊆A,所以B=∅,{-2},{4},{-2,4}.若B=∅,则a2-4(a2-12)<0,即a2>16,解得a>4或a<-4.若B={-2},则(-2)2-2a+a2-12=0且Δ=a2-4(a2-12)=0,解得a=4.若B={4},则42+4a+a2-12=0且Δ=a2-4(a2-12)=0,此时a无解;若B={-2,4},则-a=4-2a2-12=-2×4.所以a=-2.综上知,所求实数a的集合为{a|a<-4或a=-2或a≥4}.6.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},(1)若B⊆A,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围;(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1,m为常数},求实数m的取值范围.解析:(1)由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}.∵B⊆A,∴①若B=∅,则m-6>2m-1,即m<-5,此时满足B⊆A;②若B≠∅,则m-6≤2m-12≤m-62m-1≤5,解得-5≤m≤3.由①②可得,m<-5或-5≤m≤3.(2)若A⊆B,则依题意应有2m-1>m-6m-6≤-22m-1≥5,解得m>-5m≤4m≥3,故3≤m≤4. (3)若A=B,则必有m-6=-22m-1=5,此方程组无解,即不存在m的值使得A=B.。

高中数学 1.1.1第1课时 集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1

高中数学 1.1.1第1课时 集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1

课时作业(一) 集合的含义[学业水平层次]一、选择题1.(2014·遵义高一检测)以下各组对象不能组成集合的是( )A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x2-1=0的实数解D.周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流,故地球上的小河流不能组成集合.【答案】 B2.设集合A只含有一个元素a,则有( )A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A【解析】∵集合A中只含有一个元素a,故a属于集合A,∴a∈A.【答案】 C3.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合,最多含( )A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素【解析】由于|x|=±x,x2=|x|,-3x3=-x,并且x,-x,|x|之中总有两个相等,所以最多含2个元素.1【答案】 A4.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为( )A.2 B.2或4 C.4 D.0【解析】若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A若a=6,则6-6=0∉A,故选B【答案】 B二、填空题5.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.【解析】方程x2-5x+6=0的解是2,3;方程x2-x-2=0的解是-1,2.由集合元素的互异性知,以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素.【答案】 36.(2014·石家庄高一检测)集合P中含有两个元素分别为1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若P与Q相等,则a=________ 【解析】∵P与Q相等,∴a2=4,∴a=±2,经检验知a=±2满足题意,故a=±2,【答案】±27.(2014·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为________.【解析】因为y=-x2+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1.又t∈A,所以t=0或1.23 【答案】 0或1三、解答题8.集合A 是由形如m +3n (m ∈Z,n ∈Z)的数构成的,判断12-3是不是集合 A 中的元素.【解】 由分母有理化,得12-3=2+ 3.由题意可知m =2,n =1,均有m ∈Z,n ∈Z ,∴2+3∈A ,即12-3∈A .9.已知集合A 含有两个元素1,2,集合B 表示方程x 2+ax +b =0的解的集合,且集合A 与集合B 相等,求a ,b 的值.【解】 ∵集合A 与集合B 相等,且1∈A ,2∈A ,∴1∈B ,2∈B ,∴1,2是方程x 2+ax +b =0的两个实数根,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+2=-a ,1×2=b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =2.[能力提升层次]1.若一个集合中的三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长,则此三角形一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形【解析】 △ABC 的三边长两两不等,故选D.【答案】 D2.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 为( )4 A .2 B .3C .0或3D .0,2,3均可【解析】 由2∈A 可知:若m =2,则m 2-3m +2=0,这与m 2-3m +2≠0相矛盾;若m 2-3m +2=2,则m =0或m =3,当m =0时,与m ≠0相矛盾,当m =3时,此时集合A 的元素为0,3,2,符合题意.【答案】 B3.已知集合A 中含有两个元素1和a 2,则a 的取值范围是________.【解析】 由集合中元素的互异性,可知a 2≠1,所以a ≠±1,即a ∈R 且a ≠±1.【答案】 a ∈R 且a ≠±14.已知数集A 满足条件:若a ∈A ,则11-a ∈A (a ≠1),如果a =2,试求出A 中的所有元素.【解】 ∵2∈A ,由题意可知,11-2=-1∈A .由-1∈A 可知,11-(-1)=12∈A ;由12∈A 可知,11-12=2∈A .故集合A 中共有3个元素,它们分别是-1,12,2.。

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第一章 集合与函数的概念 1.1.2 Word版含解析.doc

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第一章 集合与函数的概念 1.1.2 Word版含解析.doc

1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集,并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中,了解空集的含义.1.子集的概念一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中________元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作______(或______),读作“__________”(或“__________”).2.Venn图:用平面上______曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.3.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________,就说集合A与B相等A=B真子集如果集合A⊆B,但存在元素__________,称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义:______________的集合叫做空集.(2)用符号表示为:____.(3)规定:空集是任何集合的______.5.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集,即________.(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么___________________________.一、选择题1.集合P={x|y=x+1},集合Q={y|y=x-1},则P与Q的关系是()A.P=Q B.P QC.P Q D.P∩Q=∅2.满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A.3B.6C.7D.83.对于集合A、B,“A⊆B不成立”的含义是()A.B是A的子集B.A中的元素都不是B中的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A4.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是()6.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是()A.S P M B.S=P MC.S P=M D.P=M S题号12345 6答案二、填空题7.已知M={x|x≥22,x∈R},给定下列关系:①π∈M;②{π}M;③πM;④{π}∈M.其中正确的有________.(填序号)8.已知集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A B,则实数a的取值范围是________.9.已知集合A{2,3,7},且A中至多有1个奇数,则这样的集合共有________个.三、解答题10.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B⊆A,求实数a的取值范围.11.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B⊆A,求实数m的取值范围.能力提升12.已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围.13.已知集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个.1.子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为当A=∅时,A⊆B,但A中不含任何元素;又当A=B时,也有A⊆B,但A中含有B 中的所有元素,这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时,我们记作“A B”(或B A).2.对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系,这种关系用符号“∈”或“∉”表示.(2)集合与集合之间的关系有包含关系,相等关系,其中包含关系有:含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等,用这些符号时要注意方向,如A⊆B与B⊇A是相同的.1.1.2集合间的基本关系知识梳理1.任意一个A⊆B B⊇A A含于B B包含A 2.封闭3.A⊆B且B⊆A x∈B,且x∉A 4.(1)不含任何元素(2)∅(3)子集 5.(1)A⊆A(2)A⊆C作业设计1.B[∵P={x|y=x+1}={x|x≥-1},Q={y|y≥0}∴P Q,∴选B.]2.C[M中含三个元素的个数为3,M中含四个元素的个数也是3,M中含5个元素的个数只有1个,因此符合题意的共7个.]3.C4.B[只有④正确.]5.B[由N={-1,0},知N M,故选B.]6.C[运用整数的性质方便求解.集合M、P表示成被3整除余1的整数集,集合S表示成被6整除余1的整数集.]7.①②解析①、②显然正确;③中π与M的关系为元素与集合的关系,不应该用“”符号;④中{π}与M的关系是集合与集合的关系,不应该用“∈”符号.8.a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合,可得a ≥2. 9.6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数, 则A ={2,3}或{2,7}或{3}或{7}; (2)若A 中没有奇数,则A ={2}或∅. 10.解 A ={-3,2}.对于x 2+x +a =0, (1)当Δ=1-4a <0,即a >14时,B =∅,B ⊆A 成立; (2)当Δ=1-4a =0,即a =14时,B ={-12},B ⊆A 不成立; (3)当Δ=1-4a >0,即a <14时,若B ⊆A 成立, 则B ={-3,2}, ∴a =-3×2=-6.综上:a 的取值范围为a >14或a =-6. 11.解 ∵B ⊆A ,∴①若B =∅, 则m +1>2m -1,∴m <2.②若B ≠∅,将两集合在数轴上表示,如图所示.要使B ⊆A ,则⎩⎨⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得⎩⎨⎧m ≥2,m ≥-3,m ≤3,∴2≤m ≤3.由①、②,可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12.解 (1)当a =0时,A =∅,满足A ⊆B . (2)当a >0时,A ={x |1a <x <2a }.又∵B ={x |-1<x <1},A ⊆B , ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥-1,2a ≤1,∴a ≥2.(3)当a <0时,A ={x |2a <x <1a }.∵A ⊆B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1,1a ≤1,∴a ≤-2.综上所述,a =0或a ≥2或a ≤-2. 13.5解析 若A 中有一个奇数,则A 可能为{1},{3},{1,2},{3,2}, 若A 中有2个奇数,则A ={1,3}.。

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第一章1-1集合

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第一章1-1集合
1.在用列举法表示集合时应注意: ①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④列举法可表示有 限集,也可以表示无限集,若元素个数比较少用列举法比较简单;若集合中的 元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列 举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意: (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、 还是集合、还是其他形式? (2)元素具有怎样的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时, 要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.
高中数学人教版 A 版必修一第一章 集合与函数概念 §1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示 第 1 课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性.2.体会 元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.
1.元素与集合的概念
(1)把________统称为元素,通常用__________________表示.
____
____
一、选择题 1.下列语句能确定是一个集合的是( )
A.著名的科学家 B.留长发的女生 C.2010 年广州亚运会比赛项目 D.视力差的男生 2.集合 A 只含有元素 a,则下列各式正确的是( ) A.0∈AB.a∉A C.a∈AD.a=A 3.已知 M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.由 a2,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是 () A.1B.-2C.6D.2 5.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实 数 m 为( ) A.2B.3 C.0 或 3D.0,2,3 均可

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第二章2-1指数函数

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析:第二章2-1指数函数

∴原式=--24x1-≤2x<3 -3<x<1 .
12.解
1
1
1
原式=
a3
2
a 8b
1
2
a3
2b3
1
1
×a3
4b3 2a3 a 3
a3
13.解 ∵x- xy-2y=0,x>0,y>0, ∴( x)2- xy-2( y)2=0, ∴( x+ y)( x-2 y)=0, 由 x>0,y>0 得 x+ y>0, ∴ x-2 y=0,∴x=4y, ∴y2+x-2 xxyy=8yy+-42yy=65.
6
1
-32>0, 33
<0,C
选项错.故选
D.]
6.B [①中,当 a<0 时,
a2
3 2
a2
1 2
3
=(-a)3=-a3,
∴①不正确;
②中,若 a=-2,n=3,
则3 -23=-2≠|-2|,∴②不正确;
x-2≥0, ③中,有3x-7≠0,
即 x≥2 且 x≠73,
故定义域为[2,73)∪(73,+∞),∴③不正确; ④中,∵100a=5,10b=2, ∴102a=5,10b=2,102a×10b=10,即 102a+b=10.
1 2
3
xy
1 2
·(xy)-1
12
= x3 ·y 3
1
x6
y
1 6
x
1 2
y
1 2
=x1 3·x1 31, =-1,x<0
x>0
.
(2)原式= 1 + 1 + 2+1-22 22
=2 2-3.

高中人教A版数学必修1课时作业14 Word版含解析

高中人教A版数学必修1课时作业14 Word版含解析

课时作业(十四)根式
一、选择题
.下列各式正确的是( )
.=
=-=-
答案:解析:=-.
.化简-的结果是( )
..
.或-.-或或
答案:解析:原式=+-(-)
=(\\(,≥-,,-,<-.))
.若<,则化简的结果是( )
.-.-
答案:解析:∵<,∴-<,
∴=.
·有意义,则的取值范围是( )
.{≥} .{≤}
.{≤≤} .答案:解析:由题意,知-≥且-≥,
所以≤≤.
.化简:(-)=( )
.-
..
答案:解析:由知<,
又当<时,==-,
因此(-)==-.
.当有意义时,化简:-=( )
.-.--
.-.-答案:解析:∵有意义,∴-≥,即≤.

=-
=---=--(-)
=--+=-.
二、填空题
.化简:=.
答案:-解析:==-=-.
.化简:+=.
答案:或-解析:原式=(-)+-=或-.
.若+(-)有意义,则实数的取值范围是.答案:[)∪(,+∞) 解析:由-≥且-≠,得≥且≠.
.如果,是实数,则下列等式:
①+=+;
②(+)=++;
③=+;
④=+.
其中一定成立的是.(写出所有成立的式子的序号)答案:②③解析:∵=±,∴①不一定成立;
根据根式的性质,②③都一定成立;
=+,∴④不一定成立.
三、解答题。

高中人教A版数学必修1课时作业19 Word版含解析

高中人教A版数学必修1课时作业19 Word版含解析
()试列出分贝与声压的函数关系式;
()某地声压=帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良?
解:()由已知得=(其中=×-).
()当=时,===(分贝).
由已知条件知,分贝小于分贝,
所以此地为噪音无害区,环境优良.
尖子生题库
.已知,,为正数,===.
()求的值;
()证明:-=.
()解:设===(显然>,且≠),
=×=.
三、解答题
.求下列各式的值:
()+--;
()[(-)+·ห้องสมุดไป่ตู้÷.
解:()原式=+-+
=+=-=.
()原式=[(-)+·(×)]÷
=÷
=[()+()+·]÷
=+=(×)=.
.若,是方程( )-+=的两个实根,求()·(+)的值.
解:∵,是方程( )-+=的两个实根,
∴+=,·=.
∴()·(+)
=(+)·
=(+)·
=(+)·
=×=,
即()·(+)=.
.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压=×-帕作为参考声压,把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝().分贝值在以下为无害区,~为过渡区,以上为有害区.
..
答案:解析:由题意得, + =, · =,
则=( - )=( + )- ·
=-×=.
.若(-)=+(,∈),则=()
..或
.或.
答案:解析:∵(-)= + (,∈),
∴(-)= ,∴(-)=,
∴-+=,
∴(-)(-)=,∴=或=.
∵->,且>,>,

2017-2018学年人教A版高中数学必修1课时作业:模块A Word版含解析

2017-2018学年人教A版高中数学必修1课时作业:模块A Word版含解析

必修一 模块综合测评(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果A ={x|x>-1},那么( ) A.0⊆A B.{0}∈A C.∅∈A D.{0}⊆A答案 D解析 ∵0∈A ,∴{0}⊆A.2.若集合A ={y|y =2x ,x ∈R },B ={y|y =x 2,x ∈R },则( ) A.A ⊆B B.ABC.A =BD.A ∩B =∅答案 A解析 ∵x ∈R ,∴y =2x >0,即A ={y|y>0}.又B ={y|y =x 2,x ∈R }={y|y ≥0},∴A ⊆B. 3.已知f(12x -1)=2x +3,f(m)=6,则m 等于( )A.-14B.14C.32D.-32答案 A解析 令12x -1=t ,则x =2t +2,所以f(t)=2×(2t +2)+3=4t +7.令4m +7=6,得m =-14.4.设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 等于( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析 由2a =5b =m 得a =log 2m ,b =log 5m ,∴1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10.∵1a +1b=2,∴log m 10=2,∴m 2=10,m =10. 5.设函数f(x)满足:①y =f(x +1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( )A.f(-1)>f(2)B.f(-1)<f(2)C.f(-1)=f(2)D.无法确定答案 A解析 由y =f(x +1)是偶函数,得到y =f(x)的图像关于直线x =1对称;∴f(-1)=f(3).又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).6.已知a =0.3,b =20.3,c =0.30.2,则a ,b ,c 三者的大小关系是( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a答案 A解析 因为a =0.3=0.30.5<0.30.2=c<0.30=1,而b =20.3>20=1,所以b>c>a. 7.函数f(x)=log 3x -8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 答案 B解析 f(3)=log 33-8+2×3=-1<0,f(4)=log 34-8+2×4=log 34>0. 又f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4).8.已知函数f(x)=a x +log a x(a>0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( ) A.12 B.14 C.2 D.4 答案 C解析 依题意,函数f(x)=a x +log a x(a>0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性,因此a +a 2+log a 2=log a 2+6,解得a =2.9.函数y =|lg(x +1)|的图像是( )答案 A解析 将y =lgx 的图像向左平移一个单位,然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方,就得到y =|lg(x +1)|的图像.10.若函数f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g(x)=4x -b2x 是奇函数,则a +b 的值是( )A.12 B.1 C.-12D.-1答案 A解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即lg(10-x +1)-ax =lg 1+10x10x -ax =lg(10x +1)-(a +1)x =lg(10x +1)+ax ,∴a =-(a +1),∴a =-12,又g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即2-x -b 2-x=-2x +b 2x,∴b =1,∴a +b =12. 11.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有( ) A.f(13)<f(2)<f(12)B.f(12)<f(2)<f(13)C.f(12)<f(13)<f(2)D.f(2)<f(12)<f(13)答案 C解析 由f(2-x)=f(x)知f(x)的图像关于直线x =2-x +x 2=1对称,又当x ≥1时,f(x)=lnx ,所以离对称轴x=1距离大的x 的函数值大, ∵|2-1|>|13-1|>|12-1|,∴f(12)<f(13)<f(2).12.函数f(x)=πx +log 2x 的零点所在区间为( ) A.[0,18]B.[18,14]C.[14,12]D.[12,1] 答案 C解析 ∵f(x)在其定义域(0,+∞)上是单调递增函数,而在四个选项中,只有f(14)·f(12)<0,∴函数f(x)的零点所在区间为[14,12],故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上)13.已知f(x 5)=lgx ,则f(2)=________. 答案 15lg2解析 令x 5=t ,则x =t 15.∴f(t)=15lgt ,∴f(2)=15lg2.14.函数y =f(x)是定义域为R 的奇函数,当x<0时,f(x)=x 3+2x -1,则x>0时函数的解析式f(x)=________. 答案 x 3-2-x +1解析 ∵f(x)是R 上的奇函数,∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+2-x -1]=x 3-2-x +1. 15.若幂函数f(x)的图像过点(3,427),则f(x)的解析式是________. 答案 f(x)=x 34解析 设f(x)=x n ,则有3n =427,即3n =334,∴n =34,即f(x)=x 34.16.已知关于x 的函数y =log a (2-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是________. 答案 (1,2)解析 依题意,a>0且a ≠1,∴2-ax 在[0,1]上是减函数,即当x =1时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a>1,2-a>0,解得1<a<2.三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)(1)计算:(279)12+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程:log 3(6x -9)=3.解析 (1)原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]-13=53+1+43=4.(2)由方程log 3(6x -9)=3得6x -9=33=27,∴6x =36=62, ∴x =2.经检验,x =2是原方程的解. 18.(12分)已知函数f(x)=log 12(x -1)的定义域为集合A ,函数g(x)=3m -2x -x 2-1的值域为集合B ,且A ∪B =B ,求实数m 的取值范围. 解析 由题意得A ={x|1<x ≤2},B =(-1,-1+31+m ].由A ∪B =B ,得A ⊆B ,即-1+31+m ≥2,即31+m ≥3, 所以m ≥0.19.(12分)已知函数f(x)=-3x 2+2x -m +1.(1)当m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点; (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m 的值. 解析(1)函数有两个零点,则对应方程-3x 2+2x -m +1=0有两个根,易知Δ>0,即Δ=4+12(1-m)>0,可解得m<43;Δ=0,可解得m =43;Δ<0,可解得m>43.故m<43时,函数有两个零点;m =43时,函数有一个零点;m>43时,函数无零点.(2)因为0是对应方程的根,有1-m =0,可解得m =1.20.(12分)A 、B 两城相距100 km ,在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电.为保证城市安全,核电站与城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.设A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月. (1)求x 的范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远的地方,才能使供电费用最小? 解析 (1)x 的取值范围为[10,90]. (2)y =0.25×20x 2+0.25×10(100-x)2 =5x 2+52(100-x)2(10≤x ≤90).(3)y =5x 2+52(100-x)2=152x 2-500x +25 000=152(x -1003)2+50 0003. 当x =1003时,y 最小.故当核电站距A 城1003 km 时,才能使供电费用最小.21.(12分)设函数f(x)=ax -1x +1,其中a ∈R .(1)若a =1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a 的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数.解析 f(x)=ax -1x +1=a (x +1)-a -1x +1=a -a +1x +1,设x 1,x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=a +1x 2+1-a +1x 1+1=(a +1)(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1). (1)当a =1时,f(x)=1-2x +1,设0≤x 1<x 2≤3,则f(x 1)-f(x 2)=2(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),又x 1-x 2<0,x 1+1>0,∴f(x 1)-f(x 2)<0, ∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在[0,3]上是增函数, ∴f(x)max =f(3)=1-24=12,f(x)min =f(0)=1-21=-1.(2)设x 1>x 2>0,则x 1-x 2>0,x 1+1>0,x 2+1>0. 若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x 1)-f(x 2)<0, 而f(x 1)-f(x 2)=(a +1)(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),∴当a +1<0,即a<-1时,有f(x 1)-f(x 2)<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴当a<-1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数.22.(12分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=a x -1.其中a>0且a ≠1. (1)求f(2)+f(-2)的值; (2)求f(x)的解析式;(3)解关于x 的不等式-1<f(x -1)<4,结果用集合或区间表示. 解析 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),即f(2)+f(-2)=0. (2)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=a -x -1. 由f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x), ∵f(-x)=a -x -1,∴f(x)=-a -x +1(x<0).∴所求的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a x -1 (x ≥0),-a -x +1 (x<0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x -1<0,-1<-a -x +1+1<4或⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,-1<a x -1-1<4. 即⎩⎪⎨⎪⎧x -1<0,-3<a -x +1<2,或⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,0<a x -1<5.当a>1时,有⎩⎪⎨⎪⎧x<1,x>1-log a 2,或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x<1+log a 5.注意此时log a 2>0,log a 5>0,可得此时不等式的解集为(1-log a 2,1+log a 5).同理可得,当0<a<1时,不等式的解集为R .综上所述,当a>1时,不等式的解集为(1-log a 2,1+log a 5);当0<a<1时,不等式的解集为R .。

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第一章 集合与函数的概念 1.2习题课 Word版含解析

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业:第一章 集合与函数的概念 1.2习题课 Word版含解析

§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解,加深对映射概念的了解.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例,理解简单的分段函数,并能简单应用.1.下列图形中,不可能作为函数y=f(x)图象的是()2.已知函数f:A→B(A、B为非空数集),定义域为M,值域为N,则A、B、M、N的关系是()A.M=A,N=B B.M⊆A,N=BC.M=A,N⊆B D.M⊆A,N⊆B3.函数y=f(x)的图象与直线x=a的交点()A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上4.已知函数,若f(a)=3,则a的值为()A.3B.- 3C.±3D.以上均不对5.若f(x)的定义域为[-1,4],则f(x2)的定义域为()A.[-1,2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-2,0]6.函数y=xkx2+kx+1的定义域为R,则实数k的取值范围为() A.k<0或k>4B.0≤k<4C.0<k<4D.k≥4或k≤0一、选择题1.函数f (x )=xx 2+1,则f (1x )等于( )A .f (x )B .-f (x )C.1f (x )D.1f (-x )2.已知f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则f (x )的定义域为( )A .[-2,2]B .[0,2]C .[-1,2]D .[-3,3]3.已知集合A ={a ,b },B ={0,1},则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4.与y =|x |为相等函数的是( )A .y =(x )2B .y =x 2C .D .y =3x 35.函数y =2x +1x -3的值域为( )A .(-∞,43)∪(43,+∞)B .(-∞,2)∪(2,+∞)C .RD .(-∞,23)∪(43,+∞)6.若集合A ={x |y =x -1},B ={y |y =x 2+2},则A ∩B 等于( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .[2,+∞)D .(0,+∞)二、填空题7.设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},点(x,y)在映射f:A→B的作用下对应的点是(x-y,x+y),则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________.8.已知f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析式为___________________________________.9.已知函数,则f(f(-2))=______________________________.三、解答题10.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).11.已知,若f(1)+f(a+1)=5,求a的值.能力提升12.已知函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x-a)+f(x+a)(0<a<12)的定义域为()A.∅B.[a,1-a] C.[-a,1+a]D.[0,1]13.已知函数(1)求f(-3),f[f(-3)];(2)画出y=f(x)的图象;(3)若f(a)=12,求a的值.1.函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素.事实上,如果函数的定义域和对应关系确定了,那么函数的值域也就确定了.两个函数是否相同,只与函数的定义域和对应关系有关,而与函数用什么字母表示无关.求函数定义域时,要注意分式的字母不能为零;偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零.2.函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法,它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势.函数的图象可以是直线、光滑的曲线,也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等.3.函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种.根据解析式画函数的图象时,要注意定义域对函数图象的制约作用.函数的图象既是研究函数性质的工具,又是数形结合方法的基础.§1.2习题课双基演练1.C[C选项中,当x取小于0的一个值时,有两个y值与之对应,不符合函数的定义.]2.C[值域N应为集合B的子集,即N⊆B,而不一定有N=B.]3.C[当a属于f(x)的定义域内时,有一个交点,否则无交点.]4.A[当a≤-1时,有a+2=3,即a=1,与a≤-1矛盾;当-1<a<2时,有a2=3,∴a=3,a=-3(舍去);当a≥2时,有2a=3,∴a=32与a≥2矛盾.综上可知a = 3.]5.B [由-1≤x 2≤4,得x 2≤4,∴-2≤x ≤2,故选B.]6.B [由题意,知kx 2+kx +1≠0对任意实数x 恒成立,当k =0时,1≠0恒成立,∴k =0符合题意.当k ≠0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4,综上,知0≤k <4.]作业设计1.A [f (1x )=1x 1x 2+1=x 1+x 2=f (x ).] 2.C [∵x ∈[-3,3],∴0≤x 2≤3,∴-1≤x 2-1≤2,∴f (x )的定义域为[-1,2].]3.C [C 选项中,和a 相对应的有两个元素0和1,不符合映射的定义.故答案为C.]4.B [A 中的函数定义域与y =|x |不同;C 中的函数定义域不含有x =0,而y =|x |中含有x =0,D 中的函数与y =|x |的对应关系不同,B 正确.]5.B [用分离常数法.y =2(x -3)+7x -3=2+7x -3. ∵7x -3≠0,∴y ≠2.] 6.C [化简集合A ,B ,则得A =[1,+∞),B =[2,+∞).∴A ∩B =[2,+∞).]7.(52,-12)解析 由题意⎩⎨⎧ x -y =3x +y =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =52y =-12.8.f (x )=x 2-1(x ≥1)解析 ∵f (x +1)=x +2x=(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1,∴f (x )=x 2-1. 由于x +1≥1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).9.4解析 ∵-2<0,∴f (-2)=(-2)2=4,又∵4≥0,∴f (4)=4,∴f (f (-2))=4.10.解 令t =x -1,则1-x =-t ,原式变为3f (t )+2f (-t )=2(t +1),①以-t 代t ,原式变为3f (-t )+2f (t )=2(1-t ),②由①②消去f (-t ),得f (t )=2t +25. 即f (x )=2x +25.11.解 f (1)=1×(1+4)=5,∵f (1)+f (a +1)=5,∴f (a +1)=0.当a +1≥0,即a ≥-1时,有(a +1)(a +5)=0,∴a =-1或a =-5(舍去).当a +1<0,即a <-1时,有(a +1)(a -3)=0,无解.综上可知a =-1.12.B [由已知,得⎩⎨⎧ 0≤x +a ≤1,0≤x -a ≤1⇒⎩⎨⎧-a ≤x ≤1-a ,a ≤x ≤1+a . 又∵0<a <12,∴a ≤x ≤1-a ,故选B.]13.解 (1)∵x ≤-1时,f (x )=x +5,∴f (-3)=-3+5=2,∴f [f (-3)]=f (2)=2×2=4.(2)函数图象如右图所示.(3)当a ≤-1时,f (a )=a +5=12,a =-92≤-1; 当-1<a <1时,f (a )=a 2=12,a =±22∈(-1,1); 当a ≥1时,f (a )=2a =12,a =14∉[1,+∞),舍去. 故a 的值为-92或±22.。

高中数学 模块综合测试课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

高中数学 模块综合测试课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

模块综合测试一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知集合A ={1,2},B ={2,2k },若B ⊆A ,则实数k 的值为( D )A .1或2 B.12 C .1 D .2解析:∵集合A ={1,2},B ={2,2k },B ⊆A ,∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k =1,解得k =2.故选D.2.设U 是全集,M ,P ,S 是U 的三个子集,则图中阴影部分所示的集合为( D )A .(M ∩P )∩SB .(M ∩P )∪(∁U S )C .(M ∩P )∪SD .(M ∩P )∩(∁U S )解析:由题图知,阴影部分在集合M 中,在集合P 中,但不在集合S 中,故阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁U S ).3.已知锐角α的终边上一点P (sin40°,1+cos40°),则锐角α=( B )A .80°B .70°C .20°D .10°解析:点P 到坐标原点的距离为sin 240°+(1+cos40°)2=2+2cos40°=2+2×(2cos 220°-1)=2cos20°,由三角函数的定义可知cos α=sin40°2cos20°=2sin20°cos20°2cos20°=sin20°.∵点P 在第一象限,且角α为锐角,∴α=70°.故选B.4.lg2-lg 15-e ln2-(14)-12 +(-2)2的值为( A )A .-1 B.12 C .3 D .-5解析:原式=lg2+lg5-2-2+2=lg10-2=1-2=-1.故选A.5.设角α=-35π6,则2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+sin (π-α)-cos 2(π+α)的值为( D )A.12B.32C.22D. 3解析:因为α=-35π6,所以2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+sin (π-α)-cos 2(π+α)=2sin αcos α+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos αsin α=cos (-35π6)sin (-35π6)=cos π6sin π6=3.故选D.6.设a ,b ,c 均为正数,且2a=log 12 a ,(12)b =log 12 b ,(12)c =log 2c ,则( A )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c解析:因为a ,b ,c 均为正数,所以由指数函数和对数函数的单调性得log 12 a =2a >1⇒0<a <12,log 12b =(12)b ∈(0,1)⇒12<b <1,log 2c =(12)c >0⇒c >1,所以a <b <c ,故选A.7.设函数f (x )=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f (-x )=f (x ),则( D )A .f (x )在(0,π2)上单调递增B .f (x )在(π4,3π4)上单调递减C .f (x )在(π4,3π4)上单调递增D .f (x )在(π2,π)上单调递增解析:f (x )=2cos(ωx +φ-π4),因为T =π,所以ω=2.又因为f (-x )=f (x ),|φ|<π2,所以φ=π4,所以f (x )=2cos2x ,经检f (x )在(π2,π)上单调递增,故选D.8.若关于x 的方程f (x )-2=0在(-∞,0)内有解,则y =f (x )的图象可以是( D )解析:因为关于x 的方程f (x )-2=0在(-∞,0)内有解,所以函数y =f (x )与y =2的图象在(-∞,0)内有交点,观察题中图象可知只有D 中图象满足要求.9.若函数f (x )=log 12(x 2-ax +3a )在区间(2,+∞)上是减函数,则a 的取值X 围为( D )A .(-∞,-4]∪[2,+∞)B .(-4,4]C .[-4,4)D .[-4,4]解析:令t =x 2-ax +3a >0,则y =log 12t ,由t =x 2-ax +3a 图象的对称轴为直线x =a 2,且y =log 12t 在(0,+∞)上单调递减,函数f (x )=log 12(x 2-ax +3a )在区间(2,+∞)上是减函数,可得t =x 2-ax +3a 在区间(2,+∞)上为增函数,则2≥a 2,4-2a +3a ≥0,解得a ∈[-4,4],故选D.10.如果将函数f (x )=sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,函数g (x )=cos(2x -π6)的图象向右平移φ个单位长度后,二者能够完全重合,则φ的最小值为( C )A.π3B.2π3C.π12D.5π12解析:将函数f (x )=sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y =sin[2(x +φ)]=sin(2x +2φ)的图象,将函数g (x )=cos(2x -π6)的图象向右平移φ个单位长度后,可得函数y =cos[2(x -φ)-π6]=cos(2x -2φ-π6)=sin[π2-(2x -2φ-π6)]=sin(2π3-2x +2φ)=sin(2x -2φ+π3)的图象.二者能够完全重合,由题意可得2x +2φ=2x -2φ+π3+2k π,k ∈Z ,解得φ=12k π+π12(k ∈Z ),又φ>0,故当k =0时,φmin =π12.故选C.11.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (13)=0,则满足f (log 18x )>0的x 的取值X 围是( B )A .(0,+∞)B .(0,12)∪(2,+∞)C .(0,18)∪(12,2)D .(0,12)解析:由题意知f (x )=f (-x )=f (|x |),所以f (|log 18x |)>f (13).因为f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以|log 18x |>13,又x >0,解得0<x <12或x >2.12.具有性质f (1x )=-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换.给出下列函数:①y =ln 1-x 1+x ;②y =1-x 21+x 2;③y =⎩⎨⎧ x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的是( C )A .①②B .①③C .②③D .①解析:①f (1x )=ln 1-1x 1+1x=ln x -1x +1,-f (x )=-ln 1-x 1+x =ln 1+x 1-x ,f (1x )≠-f (x ),不满足“倒负”变换.②f (1x )=1-(1x )21+(1x )2=x 2-1x 2+1=-1-x 21+x 2=-f (x ),满足“倒负”变换. ③当0<x <1时,1x >1,f (x )=x ,f (1x )=-x =-f (x );当x >1时,0<1x<1,f (x )=-1x ,f (1x )=1x =-f (x );当x =1时,1x =1,f (x )=0,f (1x )=f (1)=0=1x =-f (x ),满足“倒负”变换.综上,②③是符合要求的函数,故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.函数y =3-2x -x 2的定义域是[-3,1].解析:要使函数有意义,必须使3-2x -x 2≥0,即x 2+2x -3≤0,∴-3≤x ≤1.14.如图所示,已知A ,B 是单位圆上两点且|AB |=3,设AB 与x 轴正半轴交于点C ,α=∠AOC ,β=∠OCB ,则sin αsin β+cos αcos β=32.解析:由题意得∠OAC =β-α,因为A ,B 是单位圆上两点且|AB |=3,所以sin αsin β+cos αcos β=cos(β-α)=cos ∠OAC =12|AB |1=32.15.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤0,log 2x ,x >0,那么函数y =f (f (x ))-1的零点的个数为2.解析:当x ≤0时,f (f (x ))=f (2x )=log 22x =x ;当0<x ≤1时,f (f (x ))=f (log 2x )=2log 2x =x ;当x >1时,f (f (x ))=f (log 2x )=log 2(log 2x ).所以由f (f (x ))=1得x =1,或x =4,即函数有2个零点.16.给出以下四个命题:①若集合A ={x ,y },B ={0,x 2},A =B ,则x =1,y =0; ②若函数f (x )的定义域为(-1,1),则函数f (2x +1)的定义域为(-1,0);③函数f (x )=1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞);④若f (x +y )=f (x )f (y ),且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (4)f (3)+…+f (2 014)f (2 013)+f (2 016)f (2 015)=2 016.其中正确的命题有①②.(写出所有正确命题的序号)解析:①由A ={x ,y },B ={0,x 2},A =B 可得⎩⎨⎧ y =0,x =x 2或⎩⎨⎧ x =0,y =x 2.(舍)故x =1,y =0正确;②由函数f (x )的定义域为(-1,1),则函数f (2x +1)中x 应满足-1<2x +1<1,解得-1<x <0,即函数f (2x +1)的定义域为(-1,0),正确;③函数f (x )=1x 的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不能用并集符号,错误;④由题意f (x +y )=f (x )·f (y ),且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (4)f (3)+…+f (2 014)f (2 013)+f (2 016)f (2 015)=f (1)·f (1)f (1)+f (3)·f (1)f (3)+…+f (2 013)·f (1)f (2 013)+f (2 015)·f (1)f (2 015)=f (1)+f (1)+…+f (1)=1+1+…+1=1 008,错误.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)如图,以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P ,Q 两点,已知点P 的坐标为(-35,45).(1)求sin2α+cos2α+11+tan α的值; (2)若cos αcos β+sin αsin β=0,求sin(α+β)的值.解:(1)由三角函数定义得cos α=-35,sin α=45,∴原式=2sin αcos α+2cos 2α1+sin αcos α=2cos α(sin α+cos α)sin α+cos αcos α=2cos 2α=2×(-35)2=1825. (2)∵cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=0,且0<β<α<π,∴α-β=π2,∴β=α-π2,∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35,cos β=cos(α-π2)=sin α=45.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×45+(-35)×35=725.18.(本小题12分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤0,log a x ,x >0,且点(4,2)在函数f (x )的图象上.(1)求函数f (x )的解析式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象;(2)求不等式f (x )<1的解集;(3)若方程f (x )-2m =0有两个不相等的实数根,某某数m 的取值X 围.解:(1)∵点(4,2)在函数的图象上,∴f (4)=log a 4=2,解得a =2.∴f (x )=⎩⎨⎧ x +2,x ≤0,log 2x ,x >0.函数的图象如图所示.(2)不等式f (x )<1等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,log 2x <1或⎩⎨⎧ x ≤0,x +2<1,解得0<x <2或x <-1,∴原不等式的解集为{x |0<x <2或x <-1}.(3)∵方程f (x )-2m =0有两个不相等的实数根,∴函数y =2m 的图象与函数y =f (x )的图象有两个不同的交点.结合图象可得2m ≤2,解得m ≤1.∴实数m 的取值X 围为(-∞,1].19.(本小题12分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式;(2)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )的单调递增区间;(3)当x ∈[-π2,5π12]时,求函数y =f (x +π12)-2f (x +π3)的最值.解:(1)由题图得34T =116π-π3=96π=32π,∴T =2π,∴ω=2πT =1.由f (116π)=0,得A sin(116π+φ)=0,∴116π+φ=2k π,k ∈Z ,解得φ=2k π-116π,k ∈Z .∵0<φ<π2,∴当k =1时,φ=π6.又由f (0)=2,得A sin φ=2,∴A =4.∴f (x )=4sin(x +π6). (2)将f (x )=4sin(x +π6)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到y =4sin(2x +π6)的图象,再将图象向右平移π6个单位长度得到g (x )=4sin[2(x -π6)+π6]=4sin(2x -π6)的图象.由2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),∴g (x )的单调递增区间为[k π-π6,k π+π3](k ∈Z ).(3)y =f (x +π12)-2f (x +π3)=4sin[(x +π12)+π6]-2×4sin[(x +π3)+π6]=4sin(x +π4)-42sin(x +π2)=4(sin x cos π4+cos x sin π4)-42cos x =22sin x +22cos x -42cos x =22sin x -22cos x =4sin(x -π4).∵x ∈[-π2,512π],∴x -π4∈[-34π,π6],∴sin(x -π4)∈[-1,12],∴4sin(x-π4)∈[-4,2],∴函数的最小值为-4,最大值为2.20.(本小题12分)某工厂现有职工320人,平均每人每年可创利20万元.该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人,将有一名职工下岗).据测算,如果购进智能机器人不超过100台,每购进一台机器人,所有留岗职工(机器人视为机器,不作为职工看待)在机器人的帮助下,每人每年多创利2千元,每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元,工厂为体现对职工的关心,给予下岗职工每人每年4万元补贴;如果购进智能机器人数量超过100台,则工厂的年利润y =8 202+lg x 万元(x 为机器人台数且x <320).(1)写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系.(2)为获得最大经济效益,工厂应购进多少台智能机器人?此时工厂的最大年利润是多少?(参考数据:lg2≈0.301 0)解:(1)当购进智能机器人台数x ≤100时,工厂的年利润y =(320-x )(20+0.2x )-4x -2x =-0.2x 2+38x +6 400,∴y =⎩⎨⎧ -0.2x 2+38x +6 400,0≤x ≤100,x ∈N ,8 202+lg x ,100<x <320,x ∈N .(2)由(1)知,当0≤x ≤100时,y =-0.2(x -95)2+8 205, 当x =95时,y max =8 205;当x >100时,y =8 202+lg x 为增函数,8 202+lg x <8 202+lg320=8 202+1+5lg2≈8 204.505<8 205.综上可得,工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益,此时的最大年利润为8 205万元.21.(本小题12分)已知函数f (x )=1x 2-x 是定义在(0,+∞)上的函数.(1)用定义法证明函数f (x )的单调性;(2)若关于x 的不等式f (x 2+2x +m x)<0恒成立,某某数m 的取值X 围.解:(1)证明:任取0<x 1<x 2,∴f (x 1)-f (x 2)=(1x 21-x 1)-(1x 22-x 2)=x 22-x 21x 21x 22+(x 2-x 1)=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 21x 22+(x 2-x 1)=(x 2-x 1)(x 2+x 1x 21x 22+1). ∵0<x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1x 21x 22+1>0,即f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x 1)>f (x 2). 故f (x )在(0,+∞)上单调递减.(2)由(1)知函数f (x )在其定义域内是减函数,且f (1)=0,∴当x ∈(0,+∞)时,原不等式恒成立等价于f (x 2+2x +m x)<f (1)恒成立,即x 2+2x +m x>1恒成立,即m >-x 2-x . ∵当x ∈(0,+∞)时,-x 2-x =-(x +12)2+14<0,∴m ≥0,即实数m 的取值X 围是[0,+∞).22.(本小题12分)已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a ≠0,b <1)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f (x )=g (x )x .(1)求a ,b 的值;(2)若不等式f (2x )-k ·2x ≥0在x ∈[-1,1]时恒成立,某某数k 的取值X 围.解:(1)g (x )=a (x -1)2+1+b -a ,当a >0时,g (x )在[2,3]上为增函数,故⎩⎨⎧ g (2)=1,g (3)=4,即⎩⎨⎧4a -4a +1+b =1,9a -6a +1+b =4,解得⎩⎨⎧ a =1,b =0. 当a <0时,g (x )在[2,3]上为减函数,故⎩⎨⎧ g (2)=4,g (3)=1,即⎩⎨⎧4a -4a +1+b =4,9a -6a +1+b =1,解得⎩⎨⎧ a =-1,b =3. ∵b <1,∴a =1,b =0. (2)由(1)知,g (x )=x 2-2x +1,f (x )=x +1x -2. 不等式f (2x )-k ·2x ≥0可化为2x+12x -2≥k ·2x ,即1+(12x )2-22x ≥k .令12x =m ,则k ≤m 2-2m +1.∵x ∈[-1,1],∴m ∈[12,2].记h (m )=m 2-2m +1,则h (m )min =0.∴k ≤0. ∴k 的取值X 围是(-∞,0].。

2019-2020学年人教A版高中数学必修1课时作业:3章A Word版含解析

2019-2020学年人教A版高中数学必修1课时作业:3章A Word版含解析

第三章 章末检测题(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若函数f(x)=x -1x ,则函数g(x)=4f(x)-x 的零点是( )A.-2B.2C.-12D.12答案 B解析 g(x)=4x -4x -x =4x -4-x2x =-(x2-4x +4)x =0,则x =2.2.方程x -1=lgx 必有一个根的区间是( ) A.(0.1,0.2) B.(0.2,0.3) C.(0.3,0.4) D.(0.4,0.5) 答案 A解析 设f(x)=lgx -x +1,f(0.1)=lg0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg0.2-0.2+1≈0.1>0,f(0.1)f(0.2)<0. 3.实数a 、b 、c 是图像连续不断的函数y =f(x)定义域中的三个数,且满足a<b<c ,f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数y =f(x)在区间(a ,c)上零点个数为( ) A.2 B.奇数 C.偶数 D.至少是2 答案 D解析 ∴f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,∴f(a)·f(c)>0,即图像在区间(a ,c)上至少有两个交点.4.若函数y =f(x)在区间(-2,2)上的图像是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f(1)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于零 答案 C解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.5.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过的小时数为( ) A.12 B.4 C.3 D.2 答案 C解析 设需要经过x 次分裂,则4 096=2x ,解得x =12, ∴时间t =12×1560=3小时.6.函数f(x)=e x +x -2的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2)解析 ∵f(0)=e 0+0-2=-1<0,f(1)=e +1-2=e -1>0,f(0)·f(1)<0, ∴零点所在区间为(0,1).7.若函数f(x)唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),(1,32)内,则与f(0)符号相同的是( )A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f(32)答案 C 解析 画图可知.8.按复利计算利率的储蓄,存入银行5万元,年息为6%,利息税为20%,4年后支取,可得利息为人民币( )A.5(1+0.06)4万元B.(5+0.06)4万元C.4[(1+0.06)4-1]万元D.4[(1+0.06)3-1]万元 答案 C解析 由已知4年利息和为5×(1+6%)4-5,扣去20%的利息税余5×[(1+6%)4-1]×(1-20%)=4[(1+6%)4-1]. 9.储油30m 3的油桶,每分钟流出34m 3的油,则桶内剩余油量Q(m 3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为( ) A.[0,+∞) B.[0,452]C.(-∞,40]D.[0,40]答案 D解析 Q =30-34t ,由于30-34t ≥0,∴t ≤40.又∵t ≥0,∴定义域为[0,40],故选D. 10.方程lnx +2x -8=0根的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 在同一坐标系中做出函数y =lnx 和y =8-2x 的图像,图像只有一个交点,所以方程只有一个根. 11.从盛满20升酒精的容器里倒出1升后用水加满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续进行,若倒第k(k ≥1)次倒出酒精f(k)升,则f(k)的表达式为( ) A.f(k)=1920kB.f(k)=(1920)k -1C.f(k)=k20D.f(k)=k20+1答案 B解析 第1次倒出1升酒精,第2次倒出1×(1920)升酒精,第3次倒出1×(1920)2升酒精……故第k 次倒出(1920)k12.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( ) A.17 000元 B.17 540元 C.17 500元 D.17 580元答案 C解析 这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20=2 800元奖励券再消费又可得到28×20=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20=120元. 120元奖励券消费时又得20元奖励券.∴他总共会得到14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上) 13.函数y =x 2与函数y =xlnx 在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________. 答案 y =x 2解析 对数函数增长速度较为缓慢.14.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时的面积最大,此时x =________,面积S =________.答案 1252解析 S =(4+x)(3-x 2)=-x22+x +12=-12(x 2-2x -24)=252-12(x -1)2,当x =1时,S max =252.15.已知y =x(x -1)(x +1)的图像如图所示,现考虑f(x)=x(x -1)(x +1)-0.01,则方程f(x)=0,①有三个实根;②当x<-1时,恰有一实根; ③当-1<x<0时,恰有一实根; ④当0<x<1时,恰有一实根;⑤当x>1时,恰有一实根.其中,正确的有________(把正确的序号都填上). 答案 ①⑤解析 将y =x(x -1)(x +1)的图像向下平移0.01个单位长度会得到f(x)的图像,因此①正确,⑤正确. 16.若函数f(x)=|4x -x 2|-a 的零点个数为3,则a =________. 答案 4解析 作出函数y =|x 2-4x|与函数y =4的图像,发现它们恰有3个交点. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)有一批单放机原价为每台80元,在两个商场降价销售,甲商场优惠的办法是:买一台少收4元,买两台每台少收8元,买三台每台少收12元……依次类推,直到减到半价为止,乙商场的优惠办法是:一律按原价的70%销售,某单位为每名职工买一台,问买哪一个商场的单放机较合算. 解析 设某单位职工为x 人,即购买x 台,则甲商场:该单位的花费为y 1=⎩⎪⎨⎪⎧(80-4x )x , 0<x≤10,40x ,x>10,(x ∈N *)乙商场:该单位的花费为y 2=80×x ×70%=56x. 若x>10,则y 2>y 1,购买甲商场的单放机合算;若0<x ≤10,y 1-y 2=80x -4x 2-56x =-4x 2+24x ≥0,0≤x ≤6. 即0<x<6时,y 1>y 2,购买乙商场的单放机合算; 6<x ≤10时,y 1<y 2,购买甲商场的单放机合算; x =6时,在两个商场购买单放机一样;综合当0<x<6时,在乙商场买合算,当x =6时,在两个商场买单放机一样;当x>6时,在甲商场购买合算. 18.(12分)麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为200元,某种食品每份的成本价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:解析 设定价为x 元,利润为y 元.y =(x -5)[440-40(x -6)]-200=-40x 2+880x -3 600=-40(x -11)2+1 240,x ∈(5,12), 当x =11时,y max =1 240.定价为11元时,利润最大.19.(12分)经市场调查,某商品在120天内的日销售量和售价均为时间t(天)的函数,日销售量与时间的关系用下图(1)的一条折线表示,售价与时间的关系用下图(2)的一条折线表示.(1)写出图(1)表示的日销售量(千克)与时间t 的函数关系式Q =g(t);写出图(2)表示的售价(元/千克)与时间t 的函数关系式P =f(t).(2)求日销售额y(元)与时间的函数关系式,并求出日销售额最高的是哪一天?最高销售额是多少?(注:日销售额=日销售量×售价)解析 (1)g(t)=⎩⎨⎧14t +15,0<t<60,-t 2+60,60≤t≤120,f(t)=⎩⎨⎧-13t +40,0<t<60,112t +15,60≤t≤120.(2)0<t<60时,y =(14t +15)(-13t +40)=-112t 2+5t +600=-112(t -30)2+675,∴当t =30时,y max =675(元).当60≤t ≤120时,y =(-t 2+60)(112t +15)=-124t 2-52t +900=-124(t +30)2+1 8752,∴当x ∈[60,120]时,y =f(x)为减函数. ∴当t =60时,y max =600(元).综上得日销售额与时间的函数关系为y =⎩⎨⎧-112t2+5t +600,0<t<60,-124t2-52t +900,60≤t≤120.∴第30天日销售额最高,最高销售额为675元. 20.(12分)对于函数f(x),若存在x 0∈R ,使f(x 0)=x 0成立,则称x 0为f(x)的不动点.已知f(x)=ax 2+(b +1)x +(b -1)(a ≠0). (1)当a =1,b =-2时,求f(x)的不动点;(2)若对b ∈R ,函数f(x)恒有两个相异的不动点.求实数a 的取值范围.解析 (1)f(x)=x 2-x -3,若x 0是不动点,则f(x 0)=x 0,即x 02-2x 0-3=0, ∴x 0=-1或x 0=3,∴3和-1是f(x)的不动点.(2)f(x)恒有两个不动点,则f(x)=ax 2+(b +1)x +(b -1)=x ,即ax 2+bx +(b -1)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b 2-4a(b -1)>0恒成立,即b 2-4ab +4a>0恒成立.∴(-4a)2-4×4a<0,即a 2-a<0.∴0<a<1. 21.(12分)已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c.若任意x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),求证:关于x 的方程f(x)=12[f(x 1)+f(x 2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于(x 1,x 2).解析 ∵f(x)=12[f(x 1)+f(x 2)],∴ax 2+bx +c =12(ax 12+bx 1+c +ax 22+bx 2+c),整理得:2ax 2+2bx -a(x 12+x 22)-b(x 1+x 2)=0,∴Δ=4b 2+8a[a(x 12+x 22)+b(x 1+x 2)]=2[(2ax 1+b)2+(2ax 2+b)2]. ∵x 1,x 2∈R ,x 1<x 2,∴2ax 1+b ≠2ax 2+b. ∴Δ>0,故方程有两个不相等的实数根.令g(x)=f(x)-12[f(x 1)+f(x 2)],则g(x 1)g(x 2)=-14[f(x 1)-f(x 2)]2.又f(x 1)≠f(x 2),则g(x 1)g(x 2)<0,故方程f(x)=12[f(x 1)+f(x 2)]有一个根属于(x 1,x 2).22.(12分)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,自来水厂每小时可向蓄水池中注入60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断地供水,t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24). (1)从供水开始后几个小时,蓄水池中的水量最少?最少水量有多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨,就会出现供水紧张现象.试问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?并说明理由.解析 (1)设蓄水池中的总水量为y ,则y =400+60t -1206t(0≤t ≤24), 配方整理得y =60(t -6)2+40(0≤t ≤26), 当t =6时,y 有最小值40,即从供水开始后6小时,蓄水池水量最少,最少量有40吨. (2)据题意当y<80时,会出现供水紧张现象.即400+60t -1206t<80,3t -66t +16<0,令6t =m ,则t =16m 2,∴12m 2-6m +16<0,∴4<m<8.∴166<16m 2<646,即166<t<646.∴一天中有646-166=8小时出现供水紧张现象.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

必修一 模块综合测评(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果A ={x|x>-1},那么( ) A.0⊆A B.{0}∈A C.∅∈A D.{0}⊆A答案 D解析 ∵0∈A ,∴{0}⊆A.2.若集合A ={y|y =2x ,x ∈R },B ={y|y =x 2,x ∈R },则( ) A.A ⊆B B.ABC.A =BD.A ∩B =∅答案 A解析 ∵x ∈R ,∴y =2x >0,即A ={y|y>0}.又B ={y|y =x 2,x ∈R }={y|y ≥0},∴A ⊆B. 3.已知f(12x -1)=2x +3,f(m)=6,则m 等于( )A.-14B.14C.32D.-32答案 A解析 令12x -1=t ,则x =2t +2,所以f(t)=2×(2t +2)+3=4t +7.令4m +7=6,得m =-14.4.设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 等于( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析 由2a =5b =m 得a =log 2m ,b =log 5m ,∴1a +1b =log m 2+log m 5=log m 10.∵1a +1b=2,∴log m 10=2,∴m 2=10,m =10. 5.设函数f(x)满足:①y =f(x +1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( )A.f(-1)>f(2)B.f(-1)<f(2)C.f(-1)=f(2)D.无法确定答案 A解析 由y =f(x +1)是偶函数,得到y =f(x)的图像关于直线x =1对称;∴f(-1)=f(3).又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).6.已知a =0.3,b =20.3,c =0.30.2,则a ,b ,c 三者的大小关系是( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a答案 A解析 因为a =0.3=0.30.5<0.30.2=c<0.30=1,而b =20.3>20=1,所以b>c>a. 7.函数f(x)=log 3x -8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 答案 B解析 f(3)=log 33-8+2×3=-1<0,f(4)=log 34-8+2×4=log 34>0. 又f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4).8.已知函数f(x)=a x +log a x(a>0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( ) A.12 B.14 C.2 D.4 答案 C解析 依题意,函数f(x)=a x +log a x(a>0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性,因此a +a 2+log a 2=log a 2+6,解得a =2.9.函数y =|lg(x +1)|的图像是( )答案 A解析 将y =lgx 的图像向左平移一个单位,然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方,就得到y =|lg(x +1)|的图像. 10.若函数f(x)=lg(10x +1)+ax是偶函数,g(x)=4x -b2x 是奇函数,则a +b 的值是( )A.12B.1C.-12D.-1答案 A解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即lg(10-x+1)-ax =lg 1+10x10x-ax =lg(10x +1)-(a +1)x =lg(10x +1)+ax ,∴a =-(a +1),∴a =-12,又g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即2-x -b 2-x =-2x+b 2x ,∴b =1,∴a +b =12. 11.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有( ) A.f(13)<f(2)<f(12)B.f(12)<f(2)<f(13)C.f(12)<f(13)<f(2)D.f(2)<f(12)<f(13)答案 C解析 由f(2-x)=f(x)知f(x)的图像关于直线x =2-x +x 2=1对称,又当x ≥1时,f(x)=lnx ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大, ∵|2-1|>|13-1|>|12-1|,∴f(12)<f(13)<f(2).12.函数f(x)=πx +log 2x 的零点所在区间为( ) A.[0,18]B.[18,14]C.[14,12]D.[12,1] 答案 C解析 ∵f(x)在其定义域(0,+∞)上是单调递增函数,而在四个选项中,只有f(14)·f(12)<0,∴函数f(x)的零点所在区间为[14,12],故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上) 13.已知f(x 5)=lgx ,则f(2)=________.答案 15lg2解析 令x 5=t ,则x =t 15.∴f(t)=15lgt ,∴f(2)=15lg2.14.函数y =f(x)是定义域为R 的奇函数,当x<0时,f(x)=x 3+2x -1,则x>0时函数的解析式f(x)=________. 答案 x 3-2-x +1解析 ∵f(x)是R 上的奇函数,∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+2-x -1]=x 3-2-x+1.15.若幂函数f(x)的图像过点(3,427),则f(x)的解析式是________. 答案 f(x)=x 34解析 设f(x)=x n ,则有3n =427,即3n =334,∴n =34,即f(x)=x 34.16.已知关于x 的函数y =log a (2-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是________. 答案 (1,2)解析 依题意,a>0且a ≠1,∴2-ax 在[0,1]上是减函数,即当x =1时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a>1,2-a>0,解得1<a<2.三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)(1)计算:(279)12+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程:log 3(6x -9)=3.解析 (1)原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]-13=53+1+43=4.(2)由方程log 3(6x -9)=3得6x -9=33=27,∴6x =36=62, ∴x =2.经检验,x =2是原方程的解. 18.(12分)已知函数f(x)=log 12(x -1)的定义域为集合A ,函数g(x)=3m -2x -x 2-1的值域为集合B ,且A ∪B =B ,求实数m 的取值范围. 解析 由题意得A ={x|1<x ≤2}, B =(-1,-1+31+m].由A ∪B =B ,得A ⊆B ,即-1+31+m≥2,即31+m≥3,所以m ≥0.19.(12分)已知函数f(x)=-3x 2+2x -m +1.(1)当m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点; (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m 的值.解析 (1)函数有两个零点,则对应方程-3x 2+2x -m +1=0有两个根,易知Δ>0,即Δ=4+12(1-m)>0,可解得m<43;Δ=0,可解得m =43;Δ<0,可解得m>43.故m<43时,函数有两个零点;m =43时,函数有一个零点;m>43时,函数无零点.(2)因为0是对应方程的根,有1-m =0,可解得m =1.20.(12分)A 、B 两城相距100 km ,在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电.为保证城市安全,核电站与城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.设A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月.(1)求x 的范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远的地方,才能使供电费用最小? 解析 (1)x 的取值范围为[10,90]. (2)y =0.25×20x 2+0.25×10(100-x)2 =5x 2+52(100-x)2(10≤x ≤90).(3)y =5x 2+52(100-x)2=152x 2-500x +25 000=152(x -1003)2+50 0003. 当x =1003时,y 最小.故当核电站距A 城1003 km 时,才能使供电费用最小.21.(12分)设函数f(x)=ax -1x +1,其中a ∈R .(1)若a =1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a 的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数. 解析 f(x)=ax -1x +1=a (x +1)-a -1x +1=a -a +1x +1,设x 1,x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=a +1x 2+1-a +1x 1+1=(a +1)(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1). (1)当a =1时,f(x)=1-2x +1,设0≤x 1<x 2≤3,则f(x 1)-f(x 2)=2(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),又x 1-x 2<0,x 1+1>0,∴f(x 1)-f(x 2)<0, ∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在[0,3]上是增函数, ∴f(x)max =f(3)=1-24=12,f(x)min =f(0)=1-21=-1.(2)设x 1>x 2>0,则x 1-x 2>0,x 1+1>0,x 2+1>0. 若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,只要f(x 1)-f(x 2)<0, 而f(x 1)-f(x 2)=(a +1)(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),∴当a +1<0,即a<-1时,有f(x 1)-f(x 2)<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴当a<-1时,f(x)在定义域(0,+∞)内是单调减函数.22.(12分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=a x -1.其中a>0且a ≠1. (1)求f(2)+f(-2)的值; (2)求f(x)的解析式;(3)解关于x 的不等式-1<f(x -1)<4,结果用集合或区间表示. 解析 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),即f(2)+f(-2)=0. (2)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=a -x -1. 由f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x), ∵f(-x)=a -x -1,∴f(x)=-a -x +1(x<0).∴所求的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a x -1 (x ≥0),-a -x +1 (x<0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x -1<0,-1<-a -x +1+1<4或⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,-1<a x -1-1<4. 即⎩⎪⎨⎪⎧x -1<0,-3<a -x +1<2,或⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,0<a x -1<5. 当a>1时,有⎩⎪⎨⎪⎧x<1,x>1-log a 2,或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x<1+log a 5. 注意此时log a 2>0,log a 5>0,可得此时不等式的解集为(1-log a 2,1+log a 5).同理可得,当0<a<1时,不等式的解集为R .综上所述,当a>1时,不等式的解集为(1-log a 2,1+log a 5);当0<a<1时,不等式的解集为R .。

相关文档
最新文档