同步讲台第一讲·集合及其运算

第一讲 集合及其运算
● 知点 考点 答点
（1）子集——集合问题的核心
研究集合，说到底是在研究集合的子集。

全集只是一个概念，如实数集R 。

真正有实际意义的事，是在R 上研究方程或不等式的解集，函数的定义域或值域，参数的取值范围等。

这些，都是在研究R 的某个子集。

【例1】设集合A ={x |2232+-x x =1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ⊆B ？
【思考】 集合A 、B 都是用“陈述法”表示的方程的解集，为了比较A 和B 的关系，先考虑将A 和B 分别化简。

【解答】 易得集合A ={1，2}。

B ={－1，1，a }，欲得A ⊆B ，必须且只须a =2。

【归纳】 已知A 是B 的子集，求“母集”B 中常数a 应满足的条件。

逆向运用子集的定义，常采用“比较法分析法”。

（2）交集——两集合间的“且运算”
【例2】设集合A ={x |2232+-x x
≤1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ∩
B ={1}？ 【思考】 A 是不等式的解集，B 是方程的解集。

已知A 和B 的交集，求B 中参数满足的条件，先考虑将A 和B 分别化简。

【解答】 易得A ={x |1≤x ≤2}，B ={－1，1，a }，欲使A ∩B ={1}，必须有a ∉(]2,1。

即a >2或－1＜a ≤1 或a ＜－1。

【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用。

分析法“由果索因”，比较法可以逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化。

（3）并集——两集合间的“或运算”
【例3】设集合A ={x |2232+-x x ≥1}，B ={x | |x －a |>0}，当a 为何值时，A ∪B =A ？
【解答】 欲使A ∪B =A ，则有B ⊆A ，易得A ={x |x ≤1或x ≥2}，B ={x |x ≠a ，a ∈R }，欲使A ∪B =A ，必须有a ∈（1，2）。

【说明】 本题中的集合B ，容易误解为在R 上去掉一个单元素a ，即B =()),(+∞⋃∞-a ，a ，实际上a 是个变数，当a ∈（1，2）时，B =(][)A ,,=+∞⋃∞-21
（4）补集——全集对子集的“差运算”
【例4】设集合B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，R B ={x | x 2≠1，0}？
【解答】 易知R B={x|x ≠－1，0，1}，B ={－1，1，a }，按补集的概念有0∈B ，故得a =0。

【点评】 求一个集合A 对于全集合I 的补集I A=A ，所用方法是“求差法”：即在I 中“减去”A 的各个元素，剩下的元素便组成集合A ，A 上的这个“—”，就是“减号”的意思。

（5）等集—— 一个集合的两种表示
【例5】设集合A ={x |2232+-x x >1}，B ={x | （x －a ）（x －1）<0}，当a 为何值时，A=B ？
【解答】 A ={x |x <1或x >2}，B ={x |a <x <1或1<x <a }，不管a 取什么实数，集合B 都是有限区间，而集合A 是无限区间，故有A ≠B 。

故使A=B 的a 值不存在。

【点评】 等集关系是子集关系的特例。

当集合A 、B 互为“母子关系”，即A B B A ⊆⊆且时，便有A =B 。

和“等式替换”一样，集合的化简和变形都是在进行“等集替换”。

检验这种替换的正确与否，方法仍然是“互为母子法”。

● 通法 特法 妙法
（1）列举法——集合表示的基本大法
【例6】 设{}
均为非负整数z •y x a a M z y x ,,,532|∙∙==的子集为 {}101,|≤≤∈=b M b b N ，则N 的子集中包含元素1和10的集合有（ ）个。

A ．10
B ．64
C ．128
D ．256
【分析】 虽然M 是无限集合，但因其元素a 都是整数，故其子集N 的元素b 也是整数。

又1≤b ≤10，故集合N 是有限集合。

考虑用列举法将集合N 元素具体化。

【解答】 当x=y=z =0时，a 1=1；
当x =1，y=z =0时，a 2=2；
当x=z =0，y =1时，a 3=3；
当x =2，y=z =0时，a 4=4；
当x=y =0，z =1时，a 5=5；
当x=y =1， z =0时，a 6=6；
当x =3，y=z =0时，a 7=8；
当x=z =0，y =2时，a 8=9；
当x=z =1，y =0时，a 9=10；
故集合N ={1，2，3，4，5，6，8，9，10} （注意N 中无7）
先求得N 的子集N ＇={2，3，4，5，6，8，9}的子集有27=128（个）。

故N 的含有元素1和10的子集也有128个。

答案为C 。

【点评】 列举法使“未知”的集合N 变得确定，如N 的元素个数确定为9个（前10个正整数缺7）。

除了1和10外还有7个元素。

正是依赖于元素个数“7”，而求得了答案27。

列举法对无限集合M 还能进行“有限的展望”，明白了M 中没有元素7的原因后，同样可知集合M 中也不含有质数11与合数14等。

列举法能使抽象的集合化为形象，使解题人在理性的迷茫中找到感性的知觉。

（2）分类法——子集思想的体现
【例7】设A ={x | x 2+mx +1=0，x ∈R }，B ={y | y <0}，若A ∩B =，求实数m 的取值范围。

【分析】 集合B 是非空实数集R －
，因此A ∩B =应分为： （1）A =和（2）A ≠这两种情况进行讨论。

【解答】 （1）当A =时，由Δ=m 2－4<0得－2<m <2。

（2）当A ≠时，则方程x 2+mx +1=0有大量负实数。

设其根为x １、x 2，因x ≠0，
故由⎩⎨⎧≥∆>-=+0
021m x x 得m ≤－2。

综上所述得 （－2，2）∪（－∞，－2）=（－∞，2）为m 的取值范围。

【点评】 “分类讨论”常出现的错误有二：一是“重”，二是“漏”。

本题容易漏掉A =时的情况。

容易漏掉的，往往是一些不在“一般”中的特例。

A ∩
B =逻辑分类的一般情况是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧不空无空不空不空无空空B B A B B A ）（ ）（ 按题设化简（除“无”）后便是：（1）A 空（B 不空）；（2）A 不空（B 不空）。

（3）轴序法——集合运算的数轴操作
【例8】设A ={y |y 2－3y +2≤0}，B ={x |x 2－4ax +（3a 2－2a －1）≤0}
（1）若A ⊆B ，求非负数a 的取值范围；
（2）是否存在a 值，使B ⊆A ?
【分析】 本题分别求集合A 、B 互相包含的条件，集合A 是“一个”二次不等式的解集（可确定的），集合B 是“无限个”二次不等式的解集（变动的）。

首先考虑利用解二次不等式的通法将集合A 、B 化简。

【解答】 由条件知：A =［1，2］，B =［a －1，3a +1］
（1）∵A ⊆B ，∴a －1≤1<2≤3a +1 （数轴图解如下）
故由312
1311⇒⎩⎨⎧≥+≤-a a ≤a ≤2 （2）若B ⊆A ， 则1≤a －1≤3a +1≤2 （数轴图解如下）
图1－2－2 故由⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤-≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≥-311121311311a a a a a a a 无解。

因而，不存在这样的a 值，使B ⊆A 。

【点评】 二次不等式的解集都是实数集的子集，通过实数轴上的“大小排序”能把抽象问题形象化，从而方便地进行集合的子、交、并、补的运算。

将实数集与实数轴对应，将实数的大小与数轴的方向对应，将实数区间与轴上的线段对应，于是有了解不等式（组）的特殊方法——轴序法。

实际上是数形结合思想的自然运用。

（4）韦恩图——集合运算的直观法
【例9】 设有集合A ={－3，4}，B ={x |x 2－2ax +b =0}，B ≠，且A ∩B =B ，求a ，b 的值。

【分析】 a ，b 两参数在一元二次方程x 2－2ax +b =0的系数中，
为此可考虑先求出该二次方程的根，再用韦达定理求a ，b 的值。

【解答】 A ∩B =B A B ⊆⇒，韦恩图如右
又B ≠。

故其韦恩图有如下的三种可能：
当B ={－3}时，方程x 2－2ax +b =0有重根－3，此时有a = －3，b =9。

当B ={4}时，方程有重根4，则a =－4，b =16。

当B ={－3，4}时，方程有相异两根－3，4，则有a =2
1，b =－12。

【点评】 本解的韦恩图呈现动态，把集合A 的2个元素－3和4分别进入集合B 的过程展现得一清二楚。

从而使解题人在“B 是A 的非空子集”的抽象困惑中找到了“实感”。

有道是：抽象集合不用愁，破题请画韦恩图。