第95讲 理论力学(五)(2010年新版)
理论力学第五章
r Fi
g rri q
0
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
x1
1 2
l1
sin
x2
l1 sin
1 2
l2
sin
y3 l1 cos l2 cos
P1 x1, y1 P2 x2, y2 B x3, y3
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
2.理想约束
虚功：作用在质点上的力F在任意虚位移上做的功
理想约束：质点上的所有约束反力的虚功之和为零
n
r Ri
g
rr
0
i 1
引入虚位移可以消去这些约束反力 3.虚功原理
受理想约束的力学体系的平衡充要条件是所有主动力 的虚功之和等于零。
W
n
r Fi
g
rri
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
速度 s&2 r&2 r2&2 r2 sin2 &2
动能 T 1 ms&2 1 m r&2 r2&2 r2 sin2 &2
2
2
注意 Qr Fr , Q rF , Q r sin F
1 2
m
d dt
s&2 r&
s&2 r
Fr
1
2
1 2
m m
d
dt
2．稳定约束时
ri t
0 a ,a 0 T1 ,T0 0, T
T2
H T V 常量(E ) 能量积分
说明： L 不显含时间，且稳定约束条件下，系统能量守恒. 具有可加性（广延量）的运动积分称为守恒量.
第95讲理论力学静力学(五)运动学(一)(2022年新版)
[例4—1—5] 在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧的装置——楔联结。
图4—1—25。
为坑道支柱中的楔联结结构装置。
它包括顶梁I、楔块Ⅱ、用于调节高度的螺旋Ⅲ及底座Ⅳ。
螺旋杆给楔块以向上的推力P。
楔块与上下支柱间的静摩擦系数均为f(或摩擦角φm)。
求楔块不致滑出所须顶角θ的大小。
[解] 以楔块为研究对象，其受力图如图4—1—25b所示。
楔块因有向左滑出的趋势，故除压力P和法向约束反力N外，还有朝右的静摩擦力F1及F2。
当楔块处于临界状态时，根据摩擦定律有同时，可写出平衡方程将式(1)、(2)代人式(3)、(4)，得由此得这就是θ的最大值。
因此，楔块不会滑出的条件为此题如用几何法求解，那么更能较清晰地看出结果。
如图4—1—26所示，当楔块平衡时，力P与F1的合力Rl，和力N与F2的合力R2：，应等值、反向、共线。
设Rl与P的夹角为φ1，R2与N的夹角为φ2，那么楔块不会滑出的条件，显然是根据图4—1—26的几何条件知所以这与解析法所求得的结果完全一致。
上述计算结果说明，不管主动力P的大小如何，只要楔块的顶角满足条件θ?2φm时，它总是可以保持平衡而不会滑出的，即楔块处于自锁状态八、重心无论将物体怎样放置，重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，称此点为物体的重心。
〔一〕物体的重心坐标公式式中x c，y c、z c和x i、y i、z i分别表示物体和任一微小局部的重心的坐标；ω和ωi分别表示物体和任一微小局部的重量。
假设以r c表示物体重心C对坐标原点O的矢径，以r i表示任一微小局部的重心对坐标原点O的矢径，那么物体重心的坐标公式可表示为矢量形式，即〔二〕均质物体的重心的坐标公式均质物体的重心也就是该物体的几何形体的形心，其重心C的坐标公式如表4—1—8各式所列。
应当注意，在表4—1—8各式中的x i、y i、z i或x、y、z均表示相应的微小单元重心的坐标，根据所取的坐标系，它们可以是正值，也可以是负值。
理论力学第五章
第一种情况： 第一种情况：
摩擦力阻止其向下运动
∑F
x
=0
Q min cos α + Fm − G sin α = 0
− Q min sin α + N − G cos α = 0
∑F
利用
y
=0
Fm = f s N
Q min sin α − f s cos α =G = 135.31 N cos α + f s sin α
[例4] 例
宽a，高b的矩形柜放置 ， 的矩形柜放置 a 在水平面上，柜重 ，重心C 在水平面上，柜重P，重心 在其几何中心，柜与地面间 在其几何中心， F h P C 的静摩擦因数是 fs，在柜的 b 侧面施加水平向右的力F， 侧面施加水平向右的力 ， 求柜发生运动时所需推力F 求柜发生运动时所需推力 的最小值。 的最小值。
再以整体为对象， 再以整体为对象，有平衡方程 整体为对象
∑X = 0
FAx − FBx = 0
FAx = FBx = 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 极限静摩擦力分别为 脚端 与B 的极限静摩擦力分别为 ：
r y
C
Fm A = f s A FAy = 75 N
r G
Fm B = f s B FBy = 75 N
解:
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
y
列平衡方程
∑F = 0,
x
F − FA − FB = 0
F P
C
∑F
FB
x
y
= 0,
FNA + FNB − P = 0
FB = fs × FNB
理论力学第五章
O
C
l
B
x
例题
点
的 运 动
例 题 4
小船受绳子牵引向河岸靠拢，开始时小船位于M0处，
离开河岸距离l0=12 (m)。已知河岸高h=5（m），牵引小船 的绳索绕过定滑轮A以匀速u=1（m/s）向右拉动，试建立小
船的运动方程，并求小船运动到中点时的速度和加速度。
例题
点
的 运 动
例 题 4
或参考系。
一般未经说明，在工程问题中都取与地面固连的坐标系作为 参考系。
2、瞬时、时间间隔 瞬时应理解为物体运动过程中的某一时刻，而时间间隔 则是指两个瞬时之间的一段时间。
()t
( )t t 2 t1
t1
t2
t
4
运动学的主要内容
（二）运动学研究内容
建立物体的运动方程 分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等
运动形式包括：
质点
直线运动 曲线运动
最一般的情形为三维变速曲线运动
7
刚体
定轴转动
平行移动
平面运动
8
三. 学习运动学目的
学习运动学除了为学习动力学打基础外，另一方面又有 其独立的意义，为分析机构的运动打好基础。 单个物体，如子弹、保龄球 运动物体 机构，如曲柄连杆机构 本章内容： 1 机构运动简图
Δr v Δt
2．点的速度
dr v dt
动点轨迹在瞬时t 的变化率
定义：点的速度是矢径对时间的一次导数 物理意义：表明了点沿轨迹运动的快慢和方向 单位： 米／秒（m／s） 大小:
dr v dt
方向：速度的方向沿着轨迹 的切线，指向与运动 方向一致
理论力学第五章习题答案
& = ak sin kt y
得
积分得 s = 4a (1 − cos
kt ) 2
5.3
根据下列点在极坐标系中的轨迹方程
试写出点的直角坐标轨迹方程
式中 p
e 均为正的常数
1
ρ=
p 1 + e cos ϕ p 1 − e cos ϕ p 1 − cos ϕ
e <1
2
ρ=
e >1
3 解
ρ=
直角坐标与极坐标有以下关系:
与 前 题 相 比 仅
e 差 一 符 号
→ (1 − e 2 ) x 2 + y 2 − 2 pex − p 2 = 0
3
ρ=பைடு நூலகம்
p 1 − cos ϕ
与 前 题 相 比
只 要 令 前 题 中 e =1 即 可
→ y 2 − 2 px − p 2 = 0
5.4 加速度 解
试以直角坐标及其导数表示 x = a ( kt − sin kt ) 切向加速度 法向加速度以及轨迹的曲率半径
sin γ = Rω / v
则由式 (**) 得 ρ = v / Rω = R / sin γ
2
2
2
5.8
如图所示
飞机 P 在任一时刻的经度为 ψ (t )
纬度为 λ (t )
高度为 h(t )
其在
地心坐标系中的球坐标运动方程为
r = R + h(t )
其中 R 是地球半径
θ = π / 2 − λ (t )
5.1 解
试写出点的柱坐标与球坐标之间的关系式 质点柱坐标系为 ρ
ϕ
z 球坐标为 r θ
ϕ
两者的 ϕ 坐标是相同的
理论力学课后答案第五章
第五章思考题5、1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题,有何优点与缺点？ 5、2 为什么在拉格朗日方程中,a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5、3广义动量a p 与广义速度a q &就是不就是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q &更富有意义？5、4既然aq T &∂∂就是广义动量,那么根据动量定理,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &就是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？您能说出它的物理意义与所代表的物理量不？5、5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5、6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个就是独立的？5、7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目与力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5、8多自由度力学体系如果还有阻尼力,那么它们在平衡位置附近的运动与无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5、9 dL 与L d 有何区别？a q L ∂∂与aq L ∂∂有何区别？ 5、10哈密顿正则方程能适用于不完整系不？为什么？能适用于非保守系不？为什么？ 5、11哈密顿函数在什么情况下就是整数？在什么情况下就是总能量？试祥加讨论,有无就是总能量而不为常数的情况？5、12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5、13哈密顿原理就是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5、14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5、15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤、5、16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5、17在研究机械运动的力学中,刘维定理能否发挥作用？何故？5、18分析力学学完后,请把本章中的方程与原理与牛顿运动定律相比较,并加以评价、第五章思考题解答5、1 答:作、用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功,而虚位移就是假想的、符合约束的、无限小的、即时位置变更,故虚功也就是假想的、符合约束的、无限小的、且与过程无关的功,它与真实的功完全就是两回事、从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知:虚功与选用的坐标系无关,这正就是虚功与过程无关的反映;虚功对各虚位移中的功就是线性迭加,虚功对应于虚位移的一次变分、在虚功的计算中应注意:在任意虚过程中假定隔离保持不变,这就是虚位移无限小性的结果、虚功原理给出受约束质点系的平衡条件,比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义;再者,考虑到非惯性系中惯性力的虚功,利用虚功原理还可解决动力学问题,这就是刚体力学的平衡条件无法比拟的;另外,利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时,由于约束反力自动消去,可简便地球的平衡条件;最后又有广义坐标与广义力的引入得到广义虚位移原理,使之在非纯力学体系也能应用,增加了其普适性及使用过程中的灵活性、由于虚功方程中不含约束反力、故不能求出约束反力,这就是虚功原理的缺点、但利用虚功原理并不就是不能求出约束反力,一般如下两种方法:当刚体受到的主动力为已知时,解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力;再者,利用拉格朗日方程未定乘数法,景观比较麻烦,但能同时求出平衡条件与约束反力、5.2 答 因拉格朗日方程就是从虚功原理推出的,而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力,故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系,αθ不含约束力;再者拉格朗日方程就是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动,而约束反作用力不能改变体系的动能,故αθ不含约束反作用力,最后,几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数,而几何约束限制力学体系的自由运动,使其自由度减小,这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标,故αθ不含约束反作用力、这里讨论的就是完整系的拉格朗日方程,对受有几何约束的力学体系既非完整系,则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正、广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标,它不一定就是长度,可以就是角度或其她物理量,如面积、体积、电极化强度、磁化强度等、显然广义坐标不一定就是长度的量纲、在完整约束下,广义坐标数等于力学体系的自由度数;广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以就是力也可以就是力矩或其她物理量,如压强、场强等等,广义力还可以理解为;若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变,且其余广义坐标不变,则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知,ααδθq 有功的量纲,据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲、若αq 就是长度,则αθ一定就是力,若αθ就是力矩,则αq 一定就是角度,若αq 就是体积,则αθ一定就是压强等、5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ,这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学
第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。
按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。
二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。
例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。
第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。
例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。
二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。
光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。
即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。
2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。
注电考试最新版教材-第95讲 理论力学：静力学(三)
（二）任意力系的合成 1．合成的一般结果以O 点为简化中心，任意力系合成的一般结果为力矢R ’称为原力系的主矢，它的大小和方向与简化中心位置无关；力偶矩矢M 0(或力偶矩M 0)称为原力系对简化中心O 点的主矩，一般地说与简化中心位置有关。
2．合成的最后结果任意力系(包括空间和平面)向一点简化后，其最后合成结果可能出现表4—1—5所列出的几种情况.表中，中心轴是指组成力螺旋的力的作用线。
因平面任意力系是空间任意力系的特殊情况，其向O 点简化的主矩可视为垂直于力系作用平面的一个主矩矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可适用于平面任意力系。
当任意力系合成为一合力R 时，则有即合力对任一点(或任一轴如z 轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或同一轴)之矩的矢量和(或代数和)，并称之为合力矩定理。
对于平面力系，合力矩定理可表示为在计算力对坐标轴之矩时，应用合力矩定理，常可使计算简化。
这时，可先将原力沿坐标轴分解为三个分力，然后计算各分力对坐标轴之矩。
由于平行力系是任意力系的特殊情况，故任意力系的合成结果也适用于平行力系。
（三）力系的平衡条件与平衡方程任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢与力系对任一点的主矩都等于零，即据此得出表4—1-6所列出的各组平衡方程。
但应当指出，在空间任意力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。
当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。
3．平行分布的线荷载的合成沿物体中心线分布的平行力，称为平行分布线荷载，简称线荷载。
沿单位长度分布的线荷载称为线荷载集度，以q表示。
其单位为N／m(牛／米)或kN／m(千牛／米)。
同向线荷载合成结果为一合力R，该合力的大小和作用线位置可通过求积分的方法和合力矩定理求得。
均匀分布和线性分布的线荷载的合成结果如图4—1—10所示。
六、物体系统的平衡（一）静定与静不定问题若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论，就可以求得全部未知量，这样的问题称为静定问题，如图4-1-11a。
理论力学第五章
M Z Fxy M 0 Fxy Fxy d
0 OA 0
'
有两种特殊情况使力对轴之矩为零：
1 2
当力F与转 轴z平行时， 即F=Fz， Fxy=0，力对 z轴之矩 Mz(F)=0.
当力F与转 轴z相交时， 即d=0，力 对z轴之矩 Mz(F)=0.
概括为
当力与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对轴之矩
力使物体绕该点转动效应的度量。
M O (F ) F d
M O (F ) =2⊿AOB=Fd ,
+
-
2倍⊿的面积。 在平面中：力对点的矩是代数量。
二、力对轴之矩
FZ对z轴 之矩为零。
Fx、Fy产生使 门绕z轴转动的 效应
力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，它等于力在垂 直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
三、合力矩定理在力对轴之矩计算中的应用
将F分解为
Fx、Fy、Fz
各分力对 轴之矩
计算其代数和
M x F M x Fx M x Fy M x Fz M x Fx M y Fy M z Fz M y F M y Fx M y Fy M y Fz
R Fi
mO ( R) mO ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
rC F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri R Fi
设 心 C的 标 重 坐 为 x C、y C、z C , 任 微 部 的 标 一 小 分 坐 x i、y i、z i , ， 即 对x、y、z轴 别 用 力 定 分 应 合 矩 理
Z F cosg F sin
理论力学第5版第一章
4、受力图上不能再带约束。
即受力图一定要画在分离体上。 5、受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同， 有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的 部分内力，就成为新研究对象的外力。
6、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一 致，相互协调，不能相互矛盾。
对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、 局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。 7 、正确判断二力构件。
公理2
二力平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条 件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
使刚体平衡的充分必要条件
F1 F2
最简单力系的平衡条件
公理3 加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对 刚体的作用。
推理1
力的可传性
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、 反向、共线，作用在相互作用的两个物体上．
在画物体受力图时要注意此公理的应用．
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体， 其平衡状态保持不变.
柔性体（受拉力平衡）
反之不一定成立．
刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
§1-2
约束和约束力
约束：对非自由体的位移起限制作用的物体.
约束力：约束对非自由体的作用力．
约 束 力
大小——待定 方向——与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点——接触处
工程中常见的约束
1.具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）
光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触 处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为 法向约束力，用 FN 表示．
理论力学全集
绪论一、研究对象理论力学——研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动——物体在空间的位臵随时间的改变，是人们生活、生产中最常见的一种运动，是物质各种运动形式中最简单的一种。
本课程研究速度远小于光速的宏观物体的机械运动，以枷利略和牛顿总结的基本定律(牛顿三定律)为基础，属古典力学的范畴，理论力学研究的是这种运动中最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。
二、研究内容1、静力学——研究物体在力系作用下平衡的规律。
2、运动学——从几何角度研究物体的运动。
（如轨迹、速度、加速度等，不涉及作用于物体上的力）3、动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
三、研究方法1、通过观察和实验，分析、归纳总结出力学最基本的规律。
2、经过抽象化建立力学模型，形成概念。
3、经过逻辑推理和数学演绎，建立理论体系。
4、将理论用于实践，又在实践中验证和发展理论。
四、学习目的1、为解决工程问题打下一定基础。
工程专业一般都要接触机械运动问题。
2、为后续课程打下基础。
（例：材料力学、机械原理、机械设计等）3、理论力学的研究方法有助于培养正确的分析、解决问题的能力。
静力学静力学——研究物体在力系作用下平衡条件的科学。
静力学研究的物体只限于刚体，又称刚体静力学。
刚体——物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。
它是一个理想化的力学模型。
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。
但是，这些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略去不计，这样可使问题的研究大为简化。
力 —— 物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。
实践表明，力对物体的作用效果决定于三个要素。
力的三要素：1、力的大小 ，2、力的方向，3、力的作用点。
可用一个矢量表示力的三要素：矢量的模——力的大小 矢量的方向——力的方向 矢量的始端（或终端）——力的作用点 常用黑体字母F 表示力的矢量，普通字母F 表示力的大小。
理论力学C5-1
A V1 VeAB V1 C
V2
B
Va
CD e
Va VeAB VrAB Va VeAB
大小：未知 已知
VrAB
未知
V
V2
方向：未知
已知
已知
以M为动点，CD为动系，M点的速度矢量图如上所示。 Va VeCD VrCD
Va
大小：未知 方向：未知
VeCD
已知 已知
VrCD
未知 已知
1
第五章 点的合成运动
5—1 点的合成运动的概念
5—2 点的速度合成定理 5—3 点的加速度合成定理
2
5—1 点的合成运动的概念
一. 研究点的合成运动的必要性
动点
v
动系
M
静系
通过引入动系， 可以将一个形式复 杂的运动分解成两 种形式简单的运动。
静坐标系（静系）：固连在地球上的参考系。
动坐标系（动系）：任何相对于定系运动的参考系。 3
25
Va Vr
Ve
无固定接触点，但其中一个刚体上可找到一特殊点（圆心） 作为动点。 第二类问题：选圆心 为动点。
26
注意牵连点的位置在O处 （想象AB杆扩大），不在 B点。 牵连速度应垂直于牵连点 的震动半径AO而非AB！
B
Vr
Va
Ve
27
例58：凸轮推杆机构，半径为R的凸轮以匀角速度ω逆时针转动。 如图所示位置，O’,O,圆心C处于水平位置一条线上，求O’A杆的角 速度。
例 54 ：小车沿水平面向右运动，速度为 U ，杆 AB 的 A 端与小车 斜面CD保持接触。研究杆AB上的A点的合成运动。
B
D
A
C
动点
理论力学 第5版 第三章 力系的平衡
第三章引 力系言的平衡 刘习军
例 塔式起重机如图所示。机架重
P1=700kN，最大起重量P2= 200kN， 几何尺寸如图所示。
试问：保证起重机在满载和空载
时都不致翻到，平衡重P3应为多少？
P3 6m
P1
12m ห้องสมุดไป่ตู้2
解：（1）满载时受力如图
FA
FB
M B (F ) 0 P3min(6 2) 2P1 P2 (12 2) 4FA 0
第三章引 力系言的平衡
第三章 力系的平衡 §3—1 力系的平衡条件与平衡方程 §3—2 单个物体平衡方程的应用 §3—3 静定问题与超静定问题 §3—4 物系平衡方程的应用
刘习军
Theoretical Mechanics
第三章引 力系言的平衡 刘习军
§3—1 力系的平衡条件与平衡方程 一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程
平衡方程Fy＝0成为恒等式
Theoretical Mechanics
第三章引 力系言的平衡
因为：
FT1 2FT2
Fn F tg
Fn 0.7279 kN
将已知数据代入得
FT2 0.8 kN FBx 0.2357 kN
FBz 0.2306 kN
FT1 1.6 kN
FAx 4.057 kN
MB (F ) 0 MC (F ) 0
FR
B A
C
其中A、B、C三点不能共线。
Theoretical Mechanics
第三章引 力系言的平衡 刘习军
§3—2单个物体平衡方程的应用 分析问题及解题步骤： (1)根据问题的已知条件和要求，选取研究对象。 (2)分析研究对象的受力情况，画受力图。 (3)根据平衡条件列出独立的平衡方程。
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第5章习题解答
5－1 凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 的A 端搁在凸轮上。
图示瞬时AB 杆处于水平位置，OA 为铅直。
试求该瞬时AB 杆的角速度的大小及转向。
解： r e a v v v += 其中，22e r v e -=ωe v v e a ωφ==tg所以 le l v a AB ωω==（逆时针）5－2. 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。
工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。
该凸轮半径为R ，偏心距e OC =，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角ϕ。
求当︒=0ϕ时，顶杆的速度。
（1）运动分析轮心C 为动点，动系固结于AB ；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕O 圆周运动。
（2）速度分析，如图b 所示5－3. 曲柄CE 在图示瞬时以ω0绕轴E 转动，并带动直角曲杆ABD 在图示平面内运动。
若d 为已知，试求曲杆ABD 的角速度。
解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：r e av v v +=0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v ==01e1ωω==AO v BC O （顺时针） 5－4. 在图示平面机构中，已知：AB OO =1，cm 31===r B O OA ，摇杆D O 2在D 点与套在AE 杆上的套筒铰接。
OA 以匀角速度rad/s 20=ω转动，cm 332==l D O 。
试求：当︒=30ϕ时，D O 2的角速度和角加速度。
解：取套筒D 为动点，动系固连于AE 上，牵连运动为平动 （1）由r e a v v v += ① 得D 点速度合成如图（a ） 得 ϕtg e a v v =， 而r v e 0ω= 因为 r v a 0331ω⨯=，所以 rad/s 67.02==lv aD O ω 方向如图(a)所示（2）由r e na a a a a a +=+τ ②得D 点加速度分析如图（b ） 将②式向DY 轴投影得θϕϕτsin sin cos e n a a a a a -=-错了 而r a la e D O n a 2022ωω==θϕsin sin r l =所以ϕθϕτcos sin sin e na a a a a -=2rad/s 05.2cos sin sin 2-=-==ϕθϕετl a a l a e n a a DO 什么东西？，方向与图(b)所示相反。
第96讲 理论力学(六)(2010年新版)
（三）点的运动的自然法在动点运动的轨迹上任取一定点O ’作为原点，并规定量取弧长s 的正方向(图4—2—1)，将此弧长的代数值称为弧坐标。
同时在动点M 处引入自然轴系，这样，以自然法表示的动点的运动方程、速度和加速度如表4—2—2所示。
表4—2—2中公式表明，动点的速度方向是沿着动点轨迹的切线方向。
若ds ／dt>0，则速度指向切线的正向；反之，速度指向切线的负向。
动点的加速度a 处于τ和n 组成的密切面内。
其中，法向加速度an 表明速度方向随时间的变化率，其方向沿着动点的主法线，且指向轨迹曲线的曲率中心。
切向加速度a τ表明速度的大小随时间的变化率，其方向沿着动点在轨迹上的切线方向。
若dv ／dt>0，则a τ指向τ的正向；若dv ／dt<0，则指向τ的负向。
当a τ与v 同号时，动点作加速曲线运动；反之为减速曲线运动。
（四）匀速和匀变速曲线运动速度v=常量的曲线运动，称为匀速曲线运动；切向加速度aτ=常量的曲线运动，称为匀变速曲线运动。
设t=0时，动点的初速度和初弧坐标分别为vo 和so ，则s 、v 、aτ、an 和t 等各运动量之间的关系式如表4—2—3所示。
当动点沿f 轴作匀速直线运动或匀变速直线运动时，表4—2—3所示的关系式仍可适用，只需在这些式中分别用a 、xo 、x 代替aτ、s0、s 。
显然，对直线运动而言，动点的曲率半径ρ＝无穷大，故恒有an ＝0。
（五）点的运动学问题的常见类型1．已知点的运动方程求点的速度、加速度和轨迹等。
这类问题的关键是如何正确建立点的运动方程。
为此，首先要选择适当的坐标系，并把动点置于一般位置。
为了避免符号上的差错，一般将动点放在直角坐标的第一象限或弧坐标的正向。
其次，根据约束的几何条件(包括不变的绳长、机构装配的几何关系等)，并运用几何学的知识建立动点的运动方程。
最后，对动点的运动方程作求导运算，即可得点的速度、加速度，并利用有关公式可解得曲率半径和其他未知量。
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（五）例题
[例4—1—5] 在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧的装置——楔联结。
图4—1—25。
为坑道支柱中的楔联结结构装置。
它包括顶梁I、楔块Ⅱ、用于调节高度的螺旋Ⅲ及底座Ⅳ。
螺旋杆给楔块以向上的推力P。
已知楔块与上下支柱间的静摩擦系数均为f(或摩擦角φm)。
求楔块不致滑出所须顶角θ的大小。
[解] 以楔块为研究对象，其受力图如图4—1—25b所示。
楔块因有向左滑出的趋势，故除压力P和法向约束反力N外，还有朝右的静摩擦力F1及F2。
当楔块处于临界状态时，根据摩擦定律有
同时，可写出平衡方程
将式(1)、(2)代人式(3)、(4)，得
由此得
这就是θ的最大值。
因此，楔块不会滑出的条件为
本题如用几何法求解，则更能较清晰地看出结果。
如图4—1—26所示，
当楔块平衡时，力P与F1的合力Rl，和力N与F2的合力R2：，应等值、反向、共线。
设Rl与P的夹角为φ1，R2与N的夹角为φ2，则楔块不会滑出的条件，显然是
根据图4—1—26的几何条件知
所以
这与解析法所求得的结果完全一致。
上述计算结果说明，不管主动力P的大小如何，只要楔块的顶角满足条件θ《2φm时，它总是可以保持平衡而不会滑出的，即楔块处于自锁状态
八、重心
无论将物体怎样放置，重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，称此点为物体的重心。
（一）物体的重心坐标公式
式中x c，y c、z c和x i、y i、z i分别表示物体和任一微小部分的重心的坐标；ω和ωi分别表示物体和任一微小部分的重量。
若以r c表示物体重心C对坐标原点O的矢径，以r i表示任一微小部分的重心对坐标原点O的矢径，则物体重心的坐标公式可表示为矢量形式，即
（二）均质物体的重心的坐标公式
均质物体的重心也就是该物体的几何形体的形心，其重心C的坐标公式如表4—1—8各式所列。
应当注意，在表4—1—8各式中的x i、y i、z i或x、y、z均表示相应的微小单元重心的坐标，根据所取的坐标系，它们可以是正值，也可以是负值。
物体的重心表4—1—8
（三）确定物体重心位置的方法
1．对称判别法
当均质物体具有对称面或对称轴或对称中心时，该物体的重心就在该对称面或对称轴或对称中心上。
2．积分法
当物体的形状易于用坐标的函数关系式表达时，该物体的重心坐标可用积分方法得到。
3．分割法
若均质物体是由几个简单形状的物体组成，则可选用表4—1—8所列的有限形式的坐标公式求得该物体的重心位置。
4．负面积法(或负体积法)
有些复杂形状的均质物体，可以看作为从某个简单形状物体中挖去一部分而成，则只要把被挖去的面积或体积取为负值，同样可以用分割法求该物体的重心位置。
（四）例题
【例4—1－6】求图4—1—32中所示的均质薄板的重心，已知e＝40cm，R1＝l0cm，R2=5cm，b=30cm。
[解] 取坐标轴如图示。
因x轴是对称轴，故该薄板的重心必在x轴上，即yc=0。
将板看作是由一个矩形板与一个半圆形板组合后挖去一个圆孔而成。
则该均质薄板的重心坐标为
第二节运动学
运动学只研究运动的几何性质，包括物体在空间的位置随时间变化的规律、物体的运动轨迹、速度和加速度等，而不涉及运动与作用力、质量等之间的关系。
在研究某一物体运动时，必须选择一个参考体。
在参考体上固结的坐标系称为参考坐标系或参考系。
在大多数工程实际中，一般将固结于地球上的坐标系作为参考系。
以后，如不加特别说明，就以此作为描述物体运动的参考系。
由于在运动学中不涉及到物体的质量，所以根据研究问题的性质将物体简化为点和刚体两种模型。
所谓点是指不计大小和质量的几何点。
而刚体是由无数个点组成的不变形的物体。
一、点的运动
点的运动是研究点相对于某一选定参考系的运动规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。
描述点的运动有矢量法、直角坐标法和自然法等。
矢量法常用于理论推导，具体计算时一般采用直角坐标法和自然法。
通常。
点的运动轨迹已知时，采用自然法；点的运动轨迹未知时，采用直角坐标法。
（一）点的运动的矢量法
设动点M在空间作曲线运动，任选某固定点O为参考点(图4—2—1)，由定点O向动点M引一矢径r，则动点的运动方程、速度和加速度为
（二）点的运动的直角坐标法
过定点O建立一直角坐标系Oxyz。
设动点M在瞬时t的坐标为x、y、z，其矢径为r(图4—2—1)，则以直角坐标表示的动点的运动方程、速度和加速度如表4—2—1所示。
表中的运动方程实际上就是以t为参数的轨迹参数方程。
如果从这些方程中消去t，则动点的轨迹方程可用下列两式表示，即
此两方程分别表示两个柱形曲面，它们的交线就是动点的轨迹。
若点作平面曲线运动时，取其轨迹所在平面为Oxy，则恒有z=0；相应地，若点作直线运动时，取其轨迹为x轴，则恒有y=z=0。
因此表4—2—1所列公式完全适用于这两种点的运动。