九年级数学相似三角形的应用3
相似三角形的性质在教育教学中的应用
相似三角形的性质在教育教学中的应用相似三角形是数学中的基础概念之一，具有广泛的应用价值。
在教育教学中，相似三角形的性质不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文将以几个具体案例，探讨相似三角形的性质在教育教学中的实际应用。
1. 求解高难度几何问题相似三角形的性质使得我们能够解决一些高难度的几何问题。
例如，给定一个复杂的几何图形，我们需要求解其中一些未知的边长或角度，这时我们可以利用相似三角形的性质进行推断和计算。
通过观察和比较各个三角形的边长比例或角度比例，我们可以利用相似三角形的比例关系得出所需的答案。
通过这种方法，我们能够辅助学生解决一些复杂的几何难题，提高他们的问题解决能力和思维灵活性。
2. 计算高度和距离在实际生活中，我们经常需要计算高度和距离，例如估算一座高楼的高度、测量不可达之处的距离等。
相似三角形的性质可以帮助我们快速并准确地计算这些值。
以估算高楼的高度为例，我们可以利用相似三角形的性质，在合适的位置测量楼影的长度和角度，然后通过相似三角形的比例关系，计算出楼的高度。
这种方法不仅简单高效，而且准确度也比较高，为我们提供了一种实用的计算手段。
3. 测量不可达之处的高度相似三角形的性质还可以应用在测量不可达之处的高度上。
例如，我们常常遇到需要测量河流宽度的情况，但由于河流宽度过大或者无法直接测量，我们无法使用传统的测量工具。
此时，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。
我们可以选择在河岸上找到一个能够直接测量的高度，再找到一个与之成相似三角形的目标物体，通过相似三角形的比例关系计算出目标物体的高度，从而间接得到河流的宽度。
这种方法充分利用了相似三角形的性质，解决了实际测量中的困难。
4. 做图形缩放和设计相似三角形的性质在图形缩放和设计中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要根据实际建筑比例进行设计，但我们又无法在纸上或电脑屏幕上直接按实际比例绘图。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
九年级数学《相似三角形(3)》教案
“三部五环”教学模式设计《27.2相似三角形（3）》教学设计活动六 回顾总结，反思提高通过归纳、作业，巩固自己所学知识，形成技能技巧。
教 学 程 序问题与情境师生互动设计意图 活动1：创设情境 导入新课问题：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．(3)观察两副三角尺，同样角度的两个三角尺的三个内角有什么关系？这两个三角形相似吗？如果两个三角形有两组对应角相等，它们相似吗？——引出课题．教师通过提出问题，引导学生复习学过的知识，在此基础上激发学生学习新知的欲望。
学生思考回答，同时教师将学生的回答整理板书到黑板上。
本次活动教师应重点关注：学生能否熟练回答三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法和性质是否熟练。
用已学的知识能否顺利完成练习。
复习旧知，承前启后；通过本环节的复习和情景创设，让学生达到复习旧知，为新课做好铺垫的目的。
明确本节课的任务，激发学生探究的欲望和学习积极性。
活动2 尝试实践 探究新知 1、投影显示问题：在△ABC 与△A`B`C`中，如果满足∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’,那么能否判定这两个三角形相似？ 2、 画图探究。
请同学们在练习本上作 △ABC 和△A ’B ’C ’，使得∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’,请回答下列问题：（1） 这两个三角形的第三个角∠C 与∠C ’相等吗? （2） 分别度量这两个三角形的边长，并计算''B A AB 、''C B BC 、''C A AC，你有什么发现？（3） 将你的发现用文字叙述出来。
学生探究。
通过猜想——验证（测量）——得出结论（相似）。
得出结论两个角对应相等的两个三角形相似。
（1）教师先将课前准备好的纸发给学生，并出示投影指导学生完成作图：“任意画△ABC ，再画△A`B`C`，使得∠A =∠A ’, ∠B =∠B ’”。
九年级数学上册《相似三角形的判定定理3》教案、教学设计
作业要求：
1.学生应独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.注意作业书写的规范性和整洁性，养成良好的学习习惯。
3.家长应关注学生的学习情况，协助学生按时完成作业，并对学生的学习给予鼓励和支持。
作业批改与反馈：
1.教师应及时批改作业，了解学生的学习情况，对存在的问题进行针对性辅导。
2.选取生活中的一个相似三角形的例子，画图并解释其相似关系，将所学知识应用到实际情境中，增强学生的几何直观。
3.小组合作完成一道综合性的几何证明题，要求运用相似三角形的判定定理3解决问题。通过合作交流，培养学生的团队协作能力和几何逻辑思维。
4.尝试研究相似三角形判定定理3在解决面积问题中的应用，并撰写一篇小论文，内容包括定理的应用方法、解题步骤和实际例题。
九年级数学上册《相似三角形的判定定理3》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的判定定理3，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2.熟练运用相似三角形的判定定理3解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.能够运用相似三角形的性质，解决与比例相关的问题，如线段比例、面积比例等。
4.掌握相似三角形的判定方法，形成严密的逻辑推理能力，为后续学习打基础。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
a.相似三角形的判定定理3的具体内容是什么？
b.如何运用判定定理3解决实际问题？
c.判定定理3在实际生活中的应用例子。
2.各小组汇报讨论成果，分享解题思路和经验。
3.教师点评各小组的表现，给予鼓励和指导。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。
本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。
相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。
例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。
2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。
例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。
3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。
例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。
2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。
例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。
3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。
通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。
4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。
这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。
总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。
准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计3
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计3一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章的教学内容，本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行进一步的探讨。
通过本节课的学习，使学生了解相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的定义和性质有一定的了解。
但是，学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会因为对性质的理解不深而出现错误。
因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解相似三角形的性质，并通过大量的练习来提高学生运用性质解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质。
2.难点：运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的性质，并通过示例来帮助学生理解和掌握性质。
3.操练（15分钟）让学生通过解决实际问题，运用相似三角形的性质。
在此过程中，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成，检验学生对相似三角形性质的掌握情况。
5.拓展（5分钟）引导学生运用相似三角形的性质解决更复杂的问题，提高学生的解决问题能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形性质的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
相似三角形的判定与运用
相似三角形的判定与运用相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及一些常见的运用场景。
一、相似三角形的判定方法相似三角形的判定有两种常见的方法：AAA相似判定法和AA相似判定法。
1. AAA相似判定法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似三角形。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得出它们相似。
2. AA相似判定法如果两个三角形的对应两个角度相等且对应两边成比例，则可以判定它们是相似三角形。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出它们相似。
二、相似三角形的运用相似三角形在几何学和实际生活中都有许多应用，下面将介绍其中的几个常见场景。
1. 测量高度或距离利用相似三角形的性质，可以通过测量已知物体的高度或距离，计算未知物体的高度或距离。
假设有一棵树和一根竖直杆子，若树的阴影长度和竖直杆子的阴影长度相等，且树的高度未知，可以通过测量竖直杆子的高度和阴影长度，利用相似三角形的比例关系计算出树的高度。
2. 观察远处物体的大小利用相似三角形，可以观察远处物体的大小。
例如，当我们看到远处的山脉或塔楼时，由于距离较远，无法直接测量其实际高度，但可以测量其与身边物体（如人、建筑等）的相对高度关系。
通过相似三角形的比例关系，可以推算出远处物体的实际高度。
3. 制作地图在制作地图或建筑图纸时，常常用到相似三角形的原理。
由于实际空间较大，无法完整地呈现在纸上，必须将其缩小比例绘制。
通过相似三角形的比例关系，将实际长度与图纸上的长度进行对应，可以保持地图的几何形状和尺寸的相似性。
4. 相机拍摄在摄影领域，相似三角形也有广泛的应用。
例如，远摄模式下，通过调整焦距和光圈，可以使远处景物保持相对清晰，从而利用相似三角形的性质，捕捉到远离镜头的物体。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在实际问题中，我们经常需要利用相似三角形来解决各种测量和计算问题。
本文将介绍相似三角形的性质，并通过实例说明其应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，并且对应边的比例相等。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC和一个等腰三角形DEF，它们的顶角和底边的比例相等。
根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
二、1. 相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等是相似性的基本性质之一。
这意味着如果两个三角形相似，它们的对应角一定相等。
例如，如果两个三角形的一个角分别为45°和45°，那么它们就是相似的。
2. 相似三角形的对应边比例相等相似三角形的对应边比例相等是相似性的另一个重要性质。
这意味着如果两个三角形相似，它们的对应边的比例一定相等。
例如，如果一个三角形的两条边的比例为2:3，而另一个三角形的对应边的比例也为2:3，那么这两个三角形就是相似的。
3. 相似三角形的周长比例相等相似三角形的周长比例相等是相似性的一个重要推论。
这意味着如果两个三角形相似，它们的周长的比例一定相等。
例如，如果一个三角形的周长为10厘米，而另一个三角形的周长为15厘米，那么这两个三角形的周长比例为10:15，即2:3。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有着广泛的应用。
下面通过几个实例来说明相似三角形的应用。
1. 测量高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。
首先，在地面上选择一个合适的位置，测量自己与高楼之间的距离。
然后，测量自己与地面上的一个物体之间的距离，如一个杆子的高度。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
它们不仅是数学中的重要概念，还具有广泛的实际应用价值。
一、测量物体的高度测量物体的高度是相似三角形常见的应用之一。
比如，我们想要测量一棵大树的高度，但直接测量非常困难。
这时候，我们可以利用相似三角形的原理来解决。
首先，在大树旁边立一根已知长度的杆子，比如一根2 米长的杆子。
然后，分别测量出杆子的影子长度和大树的影子长度。
假设杆子的影子长度为 1 米，大树的影子长度为 10 米。
因为太阳光是平行光，所以在同一时刻，杆子和大树与地面形成的夹角是相等的，那么杆子和大树与其影子分别构成的两个直角三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，对应边成比例。
设大树的高度为 h 米，则有：2/1 ＝ h/10通过交叉相乘可得：h ＝ 20（米）这样，我们就利用相似三角形求出了大树的高度。
二、测量河宽当我们面对一条无法直接测量宽度的河流时，相似三角形也能派上用场。
假设我们站在河的一岸，想要测量河的宽度。
我们可以在岸边选定一个点 A，然后沿着河岸向与河流垂直的方向走一段距离到达点 B。
接着，在点 B 处插上一根标杆。
然后，我们继续沿着与河岸垂直的方向走到点 C，使得点 A、标杆顶点和点 C 在同一条直线上。
测量出 AB 和 BC 的长度，以及从点 C 观测标杆顶点的仰角。
假设AB 为 50 米，BC 为 30 米，仰角为 60°。
我们可以构建两个相似的直角三角形，一个是由标杆、点 B 到标杆底部的垂线以及点 B 到观测点 C 的连线构成，另一个是由河宽、点 A 到河对岸的垂线以及点 A 到观测点 C 的连线构成。
因为这两个三角形的对应角相等，所以它们相似。
设河宽为 x 米，则有：（ x ／（50 ＋ 30) ）＝（标杆长度／ BC ）而标杆长度可以通过三角函数求出。
假设标杆长度为 h 米，因为仰角为 60°，所以 h ＝ BC × tan60°＝30√3 米。
九年级数学上册 29.8相似三角形的应用举例(3) 课件
(1)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同 时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算 小明测量这棵树的高． 由相似三角形性质得: A 树高 竿高 =
树影长 竿影长
A’
1
B
5.4
C
B’ 0.9 C’
(2) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米， 同 时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在 地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的 影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米. 请计算小王测量的这棵树的高. A
A
G
C
4m
30°
B
10m
D
E
(3)小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时， 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面 上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面 影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的 倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
A
C
4m
30°
B
10m
D
F
E
G
1.2m
C
∵AG:CG=1:0.9 ∴AG:2.7=1:0.9 ∴AG=3 ∴AB=AG+BG=4.2来自答:这棵树的高为4.2米.
B
2.7m
D
解：如图，过点D作DE∥AC交AB于E
点，AE=CD=1.2， ∵ BE 2.7 1 0.9
A E
∴BE=3， AB=BE+AE=4.2
C
1.2m
答:这棵树高有4.2米.
∴BG=CE=2，
G
B
C BE=BD+DE=10+2
由相似三角形的性质得: 4m AG:GC=1:2 30° ∴AG=5+ D E AB=BG+AG=7+ 答:这棵树的高为(7+ )米.
九年级数学相似三角形
如果两个多边形的对应角相等且对应 边成比例，则这两个多边形相似。
06
总结回顾与练习题解答
本节课重点知识点总结回顾
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
利用角平分线构造
角平分线将角平分，并且与对边相交，将对边分 为两段，这两段与角的两边构成的两个三角形与 原三角形相似。
05
拓展：高级几何中相似三角形相关知识点介绍
射影几何中相似三角形概念及性质
01
相似三角形的定义：在射影几何中，如果两个三角形的对 应角相等，则称这两个三角形相似。
04
对应角相等。
02
相似比：相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
05
对应边成比例。
03
相似三角形的性质
06
面积比等于相似比的平方。
解析几何中相似三角形表示方法
解析几何中的表示方法
在解析几何中，可以使用向量 或坐标来表示三角形，并通过 比较对应向量或坐标之间的关 系来判断两个三角形是否相似 。
向量表示法
通过三角形的三个顶点可以确 定三个向量，如果两个三角形 的对应向量之间的比值相等， 则这两个三角形相似。
1. 题目
解答
2. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A = ∠D， ∠B = ∠E，AB = 6，AC = 8，DE = 3。求DF和EF的长。
根据相似三角形的性质，我们有 $frac{AB}{DE} = frac{AC}{DF} = frac{BC}{EF}$。代入已知条件， 得$frac{6}{3} = frac{8}{DF} = frac{BC}{EF}$。解得$DF = 4$， $EF$可以通过勾股定理求得， $EF = sqrt{DE^2 + DF^2} = 5$。
湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计
湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》是本学期的重要内容。
本节内容通过引入实际问题，引导学生利用相似三角形的性质进行问题求解。
教材以生活中的实例为背景，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的判定和性质，具备了一定的数学思维能力和问题解决能力。
但学生在实际应用中，可能会对一些复杂问题进行分析遇到困难，因此需要通过实例引导学生分析问题，逐步提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的应用，能运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.培养学生的分析问题、解决问题的能力。
3.增强学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的应用，解决实际问题。
2.难点：对复杂问题进行分析，运用相似三角形的性质进行求解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实例引入，引导学生自主探究，小组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题。
2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在一条直线上，有一点A和两个相似的三角形ABC 和DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF。
问：点A到直线BC的距离是多少？2.呈现（10分钟）呈现类似的几个问题，让学生尝试解决。
引导学生发现这些问题都可以通过相似三角形的性质来解决。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例问题，运用相似三角形的性质进行求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组学生解决问题的结果，进行讲解和分析，巩固学生对相似三角形应用的理解。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些更复杂的问题，引导学生运用所学知识进行问题分解和求解。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形在实际问题中的应用。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是数学中重要的概念之一，它不仅有助于我们理解和解决各种几何问题，还在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨相似三角形的应用领域及其在实际问题中的作用。
一、地图测量地图测量是相似三角形的主要应用之一。
在地理学和土地测量学中，我们常常需要通过测量实际地理空间的长度、宽度和高度来绘制地图。
然而，由于实际地理空间往往非常庞大，直接进行测量是非常困难的。
这时，利用相似三角形的性质可以大大简化测量工作。
以测量高楼大厦为例，我们可以在地面上选择一个适当的位置，测量自己与建筑物顶部的距离，并测量自己与建筑物底部的距离。
通过计算这两个距离的比例，我们可以得到建筑物的实际高度。
这是因为相似三角形的对应边长之比是恒定的。
二、影视特效制作影视特效制作是另一个相似三角形的应用领域。
在电影和电视剧中，许多场景是通过特殊摄影技术合成的，其中相似三角形的原理被广泛使用。
例如，当我们在电影中看到一个巨大的怪物或者人物，实际上他们是通过在摄影棚中拍摄小模型或演员，然后利用相似三角形原理对其进行缩放而成的。
通过调整比例和透视，摄影师可以使观众看到与实际情况一样的景象，使画面更加真实和吸引人。
三、建筑设计相似三角形在建筑设计中的应用非常广泛。
建筑师通常需要在保持建筑物原有比例的前提下进行设计和规划，而相似三角形提供了实现这一目标的有效方法。
例如，在设计一栋大楼时，建筑师可能需要根据已有建筑物的高度来计算新楼层的高度。
通过利用相似三角形的原理，建筑师可以快速得到新楼层的高度，而无需进行实际测量。
此外，在建筑设计中，相似三角形还可以应用于计算建筑物的比例缩放，提供透视效果以及计算斜坡的倾斜角度等方面。
四、远距离测量相似三角形还可以用于远距离测量，如测量高山的高度或者河流的宽度。
以测量高山的高度为例，由于高山常常十分险峻且无法直接到达其顶峰，因此直接测量高度是困难的。
然而，我们可以选择一点较低的位置，在水平方向上测量与高山顶峰的距离，然后利用相似三角形的原理计算出高山的高度。
九年级数学相似三角形的性质及其应用3
B
C
3、相似三角形的周长之比等于相似比； 4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
讲解新课
校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
A
C B
D
E
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后 沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢 顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高 CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
A
C D B
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的 影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？ 你能解决这个问题吗？
例2
如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20 m ，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个 有效数字） Q A B C P O
CF
A
E
F
B D C
• 已知：如图， △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’ 的相似比是k,AD、 A’D’是对应高。求
S△ABC ———— S△A’B’C’
A
B
D
C A’
=?
B’ D’ C’
解：
S△ABC ———— S△A’B’C’
k2
1 / 2· BC · AD BC AD · ' k· k ' ' ' ' ' 1 / 2· BC · A D B' C A' D
根据相似三角形的定义我们可 以知道哪些性质？
对应角相等，对应边成比例。
• 我们来研究其它性质
J我们把对应边的比值称为相似比 猜想EQ相似三角形对应高的比是 否等于相似比
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
湘教版九年级数学 3.5 相似三角形的应用(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
1-1. [月考·涟源]如图，长为 2m 的竹竿与树的顶端的 影子恰好落 在地面的同一点，竹竿与这一点相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为__7_____m.
感悟新知
知1－练
例2 [母题 教材 P93 练习 T2]如图3.5-2，为了测量一棵树 CD的高度，测量者在B点立一根高为2 m 的标杆， 观测者在F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C 在同一条直线上. 若测得BD＝6.4 m，FB＝1.6 m， EF＝1.6 m，F， B， D 在同一直线上， 且 EF ⊥ FD， AB ⊥ FD， CD ⊥ FD，求树的高度.
知1－练
感悟新知
2-1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 知1－练 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜 边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上， 已知纸板的两条 边 DF=0.5 m， EF=0.3 m，测 得 边 DF 离地面的高度AC=1.5 m，CD=10 m，求树 高 AB.
A. 6.4 m B. 8 m C. 9.6 m D. 12.5 m
感悟新知
知识点 2 利用相似测量宽度
知2－讲
Байду номын сангаас
1. 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常 常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两 点间的距离.
感悟新知
解：在 Rt△ DEF 中，DF＝0.5 m，EF＝0.3 m， 知1－练 ∴DE＝ DF2－EF2＝0.4(m)． 由题意易知∠DEF＝∠DCB＝90°. 又∵∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB. ∴EBFC＝DDEC.即B0.C3＝01.04，∴BC＝7.5 m. ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9(m)． ∴树高 AB 是 9 m.
数学九年级相似三角形知识点
数学九年级相似三角形知识点
在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
下面是与相似三角形相关的主要知识点：
1. 相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边比例相等，即如果ABC和A'B'C'是相似三角形，那么AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 相似三角形的判定方法：
- AAA判定法：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形相似。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用：
- 求比例：已知两个相似三角形的一个边和它的对应边比例，可以求出其他对应边的比例。
- 求长度和面积：已知一个三角形及其相似三角形的一些边的长度，可以通过比例关系求出其他边的长度和面积。
- 证明定理：可通过相似三角形的性质证明一些重要的几何定理，如角平分线定理、四边形内角和定理等。
以上介绍了一些九年级数学中关于相似三角形的知识点，希望对您有帮助！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．两根电线杆
今年8月12日， “云娜”台风肆虐我市，我市受灾较为严 重，灾后，各部门组织人员进行各方面抢修．电力部门对刮斜 的电线杆进行加固，加固方法有多种，如图是其中的一种：分 别在高3米的Ａ处和５米的Ｃ处用钢索将两杆固定. （1）现测得两杆相距15米，问一般的人能否不弯腰不低头 地通过两钢索交叉点下方?
A M
5 b
MH CD
BH BD
MH c
3 a
B
c
H D
c c MH + MH =1 a + b =1 3 5 1 1 1 + = MH= a b c
b 5
BH BH BD 20
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不低 头地通过两钢索交叉点下方? (2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的 a﹑b﹑c的关系式. (5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
A F C
a c
B H
M
b
D
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不 低头地通过两钢索交叉点下方? (2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的 a﹑b﹑c的关系式. (5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
C
4m
30°
B
10m
D
2.测量树高
(3) 小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测 量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡 的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米， 斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高． 解:画CG⊥AB于G点，画 A CE ⊥BD于E，则 CE= CD=2， DE=2
∴BG=CE=2，
G
B
10m
CBE=BD+DE=10+2 由相似三角形的性质得: 4m AG:GC=1:2 30° ∴AG=5+ D E AB=BG+AG=7+ 答:这棵树的高为(7+ )米.
思考题：镜子问题
(1)一面镜子垂直地面放置于墙壁上，平常的镜子较 大能看到自己的全身像，现在想把镜子高度缩小，但要求 能看到全身像，问能否求出镜子上下边之间的最小高度？ (2)当镜子的高度取到最小值时，镜子下边挂在离地面多 高的位置时，恰好能看到自己的全身像？ M (1)镜面的最小高度是 1 A D P C C` PQ= AB F 2 Q (2)镜面的下边离地 面的距离是: E B N 1 像 QN= CB 人 镜 2 面
MH AB MH
M
DH BD BH
MH 3 MH
DH 15 BH
C A
5
CD
BD
5
15
3
B H D
MH MH =1 + 3 5
15
MH=
1．两根电线杆
今年8月12日， “云娜”台风肆虐我市，我市受灾较为 严重，灾后，各部门组织人员进行各方面抢修．电力部门 对 刮斜的电线杆进行加固，加固方法有多种，如图是其中的一 种：分别在高 3米的Ａ处和５米的Ｃ处用钢索将两杆固定 . （２）当两杆相距 20米时，一般的人能否通过？ （1）现测得两杆相距15米，问一般的人能否不弯腰不低 MH DH 头地通过两钢索交叉点下方? MH DH
C A M
AB MH
BD BH
3 MH
15 20 BH 15 20
5
CD
BD
5
3
B H
15 20
D
MH MH =1 &#杆进行加固，加固方法有多种，如图是其中的一 种：分别在高3米的Ａ处和５米的Ｃ处用钢索将两杆固定. （1）现测得两杆相距15米，问一般的人能否不弯腰不低 头地通过两钢索交叉点下方? （2）当两杆相距20米时，一般的人能否通过？ （3）设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a， CD=b，MH=c，写出a，b，c之间的关系式． c DH DH MH MH DH C BD 3a 20 AB BD
解:画CG⊥AB于G， CG=BD=2.7，CD=1.2
由相似三角形的性质得: AG:CG=1:0.9 ∴AG=2.7÷0.9=3 AB=AG+BG=4.2 答:这棵树的高为4.2米.
G
1.2m
C
B
2.7m
D
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测 得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高. 解：如图，过点D画DE∥AC A 交AB于E点，由平行四边形 ACDE得AE=CD=1.2， E 由相似三角形的性质得: BE 1 2.7 0.9 ∴BE=3， AB=BE+AE=4.2 答:这棵树高有4.2米.
C
1.2m
B
2.7m
D
南商所邮币卡交易中心
岺銵莒
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测 得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
由相似三角形性质得: 树高 树影长 竿高 竿影长
1 5.4
0.9
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测 得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面 上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在 墙上部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高. A
A F C
a c
B H
M
b
D
1
a
+
1
b
=
1 c
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不 低头地通过两钢索交叉点下方? (2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的 a﹑b﹑c的关系式. (5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
小结:
1、 实际问题
数学问题
检验
数学问题的解
2、 数学思想方法: 化归思想
C
1.2m
B
2.7m
D
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测 得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高. A
A
C
1.2m
解:延长AC交BD延长线于G， 由相似三角形的性质得: CD:DG=1:0.9 ∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78 由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2 答:这棵树的高为4.2米.
G
B
2.7m
D
2.测量树高
(3) 小明﹑小李二位同学再想利用树影测量树高. 小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量 一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的 坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米， 斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高． A
A C M F 由上题结论可得： A C MF=MH= HF a M b 1 1 2 + b = HF B a D
a c
B H
b
D
2.测量树高
小明﹑小李﹑小王三位同学想利用树影测量树高． (1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李 测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高．