2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第14练
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用课件理
小时)
答案 解析
设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
(2) 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费 为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季 节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝
程中不要忽略实际问题对变量的限制.
跟踪训练3 (1) 一个人喝了少量酒后， 血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，
在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交
通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不
5 得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________ 小时才能开车.(精确到1
于y＝xa(a>0)的增长速度.( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a· bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来
越快的形象比喻.( × )
考点自测
1.( 教材改编) 某商人将彩电先按原价提高 40%，然后“八折优惠”，结果
2 250 元. 是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________
成正比，其关系如图②所示(单位：万元).
分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 解答
思维升华
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型， 再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量 的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不 符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
江苏专用2018版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数第14练函数模型及其应用练习文
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数 第14练 函数模型及其应用练习 文1．(2016·扬州模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？2．(2016·广东江门普通高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格f (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝100(1＋kt)(k 为正常数)，日销售量g (t )(件)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝125－|t －25|，且第25天的销售金额为13 000元．(1)求实数k 的值；(2)试写出该商品的日销售金额w (t )关于时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；(3)该商品的日销售金额w(t)的最小值是多少？4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案精析1．解 设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000 ＝－12(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．2．解 设房屋地面长为y m ，宽为x m ，总造价为z 元(x ，y ，z ＞0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1200＋2×3x ×800＋5 200.∵y ＝12x， ∴z ＝12×3 600x＋4 800x ＋5 200. ∵x ＞0，y ＞0，∴z ≥2 12×3 600x×4 800x ＋5 200＝34 000. 当12×3 600x＝4 800x ，即x ＝3时，z 取最小值，最小值为34 000元． 答 当房屋地面长为4 m ，宽为3 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13 000，即100(1＋k 25)·125＝13 000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )＝100(1＋1t)(125－|t －25|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100 t ＋100t ＋101 ，1≤t ＜25，t ∈N ，100 149＋150t－t ，25≤t ≤30，t ∈N . (3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100t≥20， 所以当t ＝10时，w (t )有最小值12 100；②当25≤t ≤30时，因为150t－t 在[25,30]上单调递减， 所以当t ＝30时，w (t )有最小值12 400.因为12 100＜12 400，所以当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12 100元．4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.图②是一个二次函数的部分图象，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30＜t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t .由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30.当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在(30,40]上是减函数，得F (t )＜F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.7函数的图象课件理
cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能
④ 为_____. 答案
解析
二、函数图象的变换问题
典例
若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)
③ 的图象大致为______.
答案
解析
三、函数图象的应用
典例
|lg x|，x>0， (1)已知f(x)＝ |x| 则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数 2 ，x≤0，
1x 加上 y＝(2) 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，
1 |x| 即得 y＝(2) 的图象，如图①实线部分.
(2)y＝|log2(x＋1)|； 解答
将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，
再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
2x－1 (3)y＝ ； 解答 x－1
解析
(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x) ② 的图象为______. 答案
解析
思维升华
函数图象的识辨可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位臵；从函数的值域，判断图象的
上下位臵；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
答案 解析
设f(x)上任意一点为(x，y)， 关于y＝－x的对称点为(－y，－x)， 将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)， 由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，解得a＝2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数课件理
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) .
②顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) .
③零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) .
答案 解析
m2 m2 m f(x)＝2(x－ 4 ) ＋3－ 8 ，由题意 4 ＝2，
∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的
[1，2] 取值范围为________.
答案 解析
几何画板展示
如图，由图象可知m的取值范围是[1，2].
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有
1 ，＋ ∞ 2 f(x)>0，则实数a的取值范围为___________.
答案
解析
2 2 由题意得 a>x－x2对 1<x<4 恒成立，
1 1 2 2 1 1 1 2 又x －x2＝－2x－2 ＋2，4< x<1， 2 2 1 1 ∴x－x2max＝2，∴a>2.
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点
一定是原点.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 4ac－b 2 (1)二次函数y＝ax ＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( × )
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_5指数与指数函数教师用书理苏教版
第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。
江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文
考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义， B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求．
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
知识梳理
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定 义
t 在(0，＋∞)上是
减函数，∴函数 f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即 f(x)单调递增区间
为(－∞，－2)．
答案 (－∞，－2)
(2)解 法一 设－1<x1<x2<1， f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝ x1a－x12－xx2－1 1，由于－1<x1<x2<1， 所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递减； 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递增．
(1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－ x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数． ( ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．
2．(必修 1P44 习题 2 改编)如果二次函数 f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b 在 区间(－∞，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围为________． 解析 二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1， 由题意知－a－3 1≥1，即 a≤－2. 答案 (－∞，－2]
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义课件第二章
f(x)＝x＋2 为___________.
答案 解析
几何画板展示
由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段， 且过(－1，1)、(0，2)， 设f(x)＝kx＋b， 代入解得k＝1，b＝2.
所以f(x)＝x＋2.
5.(2016· 四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，
答案 解析
②y＝lg|x|；
④y＝2x.
②中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|， ∴函数y＝lg|x|是偶函数.
(2) 函数 f(x) ＝ loga(2 ＋ x) ， g(x) ＝ loga(2 － x)(a>0 且 a≠1) ，则下列关于函数 ② F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性的说法正确的是______.
§2.3 函数的奇偶性与周期性
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点
如果对于任意的x∈A，都有
偶函数
一般地，设函数
y＝f(x)的定义域
f(－x)＝f(x) ，那么称函数y 关于 y轴 对称 ＝f(x)是偶函数
如果对于任意的x∈A，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么称函数 关于原点对称 y＝f(x)是奇函数
1 3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_____.
答案 解析
∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立， ∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立， ∴1－a＝0，∴a＝1.
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第10练含解析
1．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．2．(2016·河北衡水故城高中开学检测)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________________．3．(2016·淮阴中学期中)下列幂函数：①y ＝x 12；②y ＝x －2；③y ＝x 43；④y ＝x 13，其中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填相应函数的序号)4．(2016·泰州质检)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．(填序号)5．(2016·南京三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，那么关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是______________．6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是____________．7．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．8．(2016·无锡模拟)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是__________．9．若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间1,5]上有解，则实数a的取值范围为________________．10．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋3(m∈R)，若关于x的方程f(x)＝0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1＋x2)·x1x2的最大值为________．11．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是__________．12．(2016·惠州模拟)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．13．(2016·重庆部分中学一联)已知f(x)＝x2＋kx＋5，g(x)＝4x，设当x≤1时，函数y＝4x－2x＋1＋2的值域为D，且当x∈D时，恒有f(x)≤g(x)，则实数k的取值范围是____________．14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x ∈a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b]上是“关联函数”，区间a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．答案精析1．3 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 3.③ 4.④ 5．{x |x ＜－3或1＜x ＜3}解析 若3－2x ≥0，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；若3－2x＜0，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3.故原不等式的解集为{x |x ＜－3或1＜x ＜3}．6．(－2,2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2.所以a 的取值范围是(－2,2]．7.14解析 令f (x 2)＋f (k －x )＝0，即f (x 2)＝－f (k －x )．因为f (x )为奇函数，所以f (x 2)＝f (x －k )．又因为f (x )为单调函数，所以x 2＝x －k ，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，即方程x 2－x ＋k ＝0只有一个根，故Δ＝1－4k ＝0，解得k ＝14.8．0,1]解析 ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，故f (x )＝x 2.当x ∈1,2)时，f (x )∈1,4)，g (x )∈2－k,4－k )，即A ＝1,4)，B ＝2－k,4－k )，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 方法一 由x 2＋ax －2＞0在x ∈1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2＜0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)＞0，即25＋5a －2＞0，解得a ＞－235.方法二 由x 2＋ax －2＞0在x ∈1,5]上有解，可得a ＞2－x 2x ＝2x －x 在x ∈1,5]上有解．又f (x )＝2x －x 在x ∈1,5]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝－235，只需a ＞－235.10．2解析 ∵x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m ＋3，∴(x 1＋x 2)·x 1x 2＝－2m (2m ＋3)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94.又Δ＝4m 2－4(2m ＋3)≥0，∴m ≤－1或m ≥3.∵t ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94在m ∈(－∞，－1]上单调递增，m ＝－1时最大值为2；t ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94在m ∈3，＋∞)上单调递减，m ＝3时最大值为－54，∴(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为2.11．(0，＋∞)解析 因为0＜0.71.3＜1,1.30.7＞1，所以0.71.3＜1.30.7，又因为(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，所以幂函数y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＞0.12.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎨⎧ f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎨⎧ 2k －1＞0，3k －2＜0，4k －1＞0，解得12＜k ＜23.13．(－∞，－2]解析 令t ＝2x ，由于x ≤1，则t ∈(0,2]，则y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1∈1,2]，即D ＝1,2]．由题意f (x )＝x 2＋kx ＋5≤4x在x ∈D 时恒成立．方法一 ∵x 2＋(k －4)x ＋5≤0在x ∈D 时恒成立，∴⎩⎨⎧ 1＋(k －4)＋5≤0，22＋2(k －4)＋5≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－2，k ≤－12，∴k ≤－2.方法二 k ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ＋4 在x ∈D 时恒成立，故k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ＋4min ＝－2. 14．(－94，－2]解析由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈0,3])的大致图象如图所示． 结合图象可知，当x ∈2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈－94，－2]，故当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈0,3])的图象有两个交点．即当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝f (x )－g (x )在0,3]上有两个不同的零点．。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.
图象描述
下降的 上升的 自左向右看图象是_______ 自左向右看图象是_______ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是 单调增函数 或 单调减函数 ，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得 对于任意的x∈A，都有 f(x)≤f(x0) __________ f(x0)为最大值 对于任意的x∈A，都有 f(x)≥f(x0) __________ f(x0)为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
fx1－fx2 fx1－fx2 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)， >0⇔f(x)在 D 上是增函数， x1－x2 x1－x2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数. a (2)对勾函数 y＝x＋ (a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间 x 为[－ a，0)和(0， a].
2 ax1x2 － ax － ax x ax2－x1x1x2＋1 2 1 2 1＋ax2 ∵－1<x1<x2<1， ＝ ＝ 2 2 2 2 x1－1x 2－1 x1－1x2－1
2 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x2 － 1)( x 1 2－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
2
1 ①当 a＝ 时，求函数 f(x)的最小值； 2
解答
几何画板展示
1 1 又x∈[1，＋∞)， 当 a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2， 2 2x
1 所以 f′(x)＝1－ 2>0，即 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 2x
精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书理苏教版
第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书理苏教版1.函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x －∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋若f (2)＝4，则a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]. 2.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析 要使原函数有意义，需满足3－2x －x 2≥0， 解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]. 3.(教材改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数， 则f (g (π))的值为________. 答案 0解析 由题意得，g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.4.(教材改编)如果f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，1时，f (x )＝________.答案1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.5.已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________. 答案 {x |x ≠－2且x ≠－1} 解析 因为f (x )＝1x ＋1， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2，所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________. 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2； ④f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2.答案 (1)2 (2)④解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.(2)①中两个函数的定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同. 题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 例2 (1)(教材改编)函数f (x )＝x －4－2x的定义域用区间表示为____________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________.答案 (1)[0，1)∪(1，2) (2)[0，1)解析 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.∴函数f (x )的定义域为[0，1)∪(1，2). (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0，1). 引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数g (x )＝f x x －1的定义域为________________.答案 [12，1)∪(1，32]解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32].命题点2 已知函数的定义域求参数范围例3 (1)若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________.(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)[－1，0] (2)[0，3) 解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以222x ax a+-－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a+-≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数t ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点. 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3).思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.(1)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y＝______________. (2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______________.答案 (1)[32，2) (2)[0，34)解析 (1)要使函数y需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log －x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立. ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m m－或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m m－解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34.题型三 求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x ). 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______________.(2)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意.当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 (1)－34 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.①y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3；②y ＝x 2－1与y ＝x －1； ③y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)； ④y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z . 答案 ③解析 ①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同. 2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f (x )＝x －x 2x －1的定义域为__________.答案 (0，1)∪(1，2)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2>0，x －1≠0，解得0<x <1或1<x <2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2). 3.给出下列函数：①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .其中满足f (2x )＝2f (x )的是________.(填序号) 答案 ①②④解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等. 对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于③，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于④，f (2x )＝－2x ＝2f (x ). 故只有③不满足f (2x )＝2f (x ).4.(2016·南通模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为________.答案 1或－22解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.5.设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为____________.答案 (－4，－1)∪(1，4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，∴所求的定义域为(－4，－1)∪(1，4).6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1，0，1，2}，则B 中至少有________个元素. 答案 3解析 根据映射的定义可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1，所以集合B 为{1，2，5}，故集合B 中至少有3个元素.7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2， x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.答案 2解析 当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)；当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解.8.(2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为____________. 答案 8或－83解析 当m >0时，2－m <2，2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.9.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________.答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足. 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值. 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第8练含解析
1．(2016·赣州于都实验中学大考三)若奇函数f (x )＝3sin x ＋c 的定义域是a ，b ]，则a ＋b ＋c ＝________.2．(2016·南京模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2014)＋f (2015)＝________.3．(2016·镇江模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在－1,3]上的解集为________________．4．(2016·扬州模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝____________.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.6．(2016·苏北四市一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(2－x )，那么f (0)＋f (2)的值为________．7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t )≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．9．(2016·南京、盐城一模)已知f (x )是定义在－2,2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，又已知函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈－2,2]，都存在x 2∈－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，那么实数m 的取值范围是____________．10．(2016·南京、淮安、盐城二模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为________．11．(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 12．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2015)＝________.13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x ＜0是奇函数，则实数a 的值为________．14．(2017·山东乳山一中月考)定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在－1,0]上是增函数，下面是关于f (x )的判断：①f (x )的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在0,1]上是增函数；④f (2)＝f (0)．其中正确的是________．(把你认为正确的序号都填上)答案精析1．0 2.3 3.(－1,0)∪(1,3)4.12(e x －e －x ) 5．－1解析 因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)， 则f (x )＝－f (－x )＝－2－x－15.因为f (x －2)＝f (x ＋2)， 所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数． 而4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2－(log 220－4)－15＝－242log 220－15＝－1.6．－2解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (2)＝－f (－2)＝－log 24＝－2，所以f (0)＋f (2)＝－2. 7．1e ，e]解析 f (ln t )＋f (ln 1t )＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (ln t )＝2f (|ln t |)，因为f (ln t )＋f (ln 1t )≤2f (1)，所以f (|ln t |)≤f (1)，所以|ln t |≤1，所以－1≤ln t ≤1，所以1e ≤t ≤e. 8．－10解析 由题意知f (12)＝b ＋43，f (32)＝f (－12)＝－12a ＋1，从而b ＋43＝－12a ＋1，化简得3a ＋2b ＝－2.又f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22， 所以⎩⎨⎧ b ＝－2a ，3a ＋2b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝－10.9．－5，－2]解析 由题意知，当x ∈－2,2]时，f (x )的值域为－3,3]．因为对任意的x 1∈－2,2]，都存在x 2∈－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以此时g (x 2)的值域要包含－3,3]．又因为g (x )max ＝g (－2)，g (x )min ＝g (1)，所以g (1)≤－3且g (－2)≥3，解得－5≤m ≤－2. 10．22－2解析 当1＜x ≤2时，令x ＝t ＋1，则f (x )＝f (t ＋1)＝f (t )＋f (1)＝t 2＋1＝(x －1)2＋1，由题意作出函数在－2,2]上的图象，根据奇函数图象的对称性，若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，当且仅当直线y ＝kx 与区间(1,2]上的一段函数y ＝(x －1)2＋1相切，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝(x －1)2＋1， 解得x 2－(k ＋2)x ＋2＝0，令Δ＝(k ＋2)2－8＝0，解得k ＝±22－2，舍去负值，得k ＝22－2.11．1解析 f (x )为偶函数， 则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，所以a ＝1. 12．1解析 由f (x ＋2)＝1f (x )， 得f (－1＋2)＝1f (－1)， 即f (1)f (－1)＝1， 而f (1)＝1，故f (－1)＝1， 又因为f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以f (2015)＝f (504×4－1) ＝f (－1)＝1. 13．－2解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (0)＝0，当x ＞0时，－x ＜0，由f (－x )＝－f (x )， 得－(－x )2＋a (－x )＝－(x 2－2x )， 则a ＝－2；当x ＜0时，－x ＞0， 由f (－x )＝－f (x )，得(－x )2－2(－x )＝－(－x 2＋ax )， 得x 2＋2x ＝x 2－ax ，则a ＝－2. 所以a ＝－2. 14．①②④解析 根据题意有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，结合偶函数的条件，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称，故①正确；式子还可以变形为f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，故②正确；根据对称性，可知函数在0,1]上是减函数，故③错；由②可知f (2)＝f (0)，故④正确．故答案为①②④.。
江苏专用2018版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数I第16练函数综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数I 第16练 函数综合练练习 理训练目标(1)函数概念、性质、图象知识的巩固深化；(2)解题过程的严谨性、规范化训练．训练题型 (1)函数中的易错题；(2)函数中的创新题；(3)函数中的综合题． 解题策略(1)讨论函数性质要注意定义域；(2)函数性质和图象相结合；(3)条件转化要等价.1．(2016·镇江模拟)已知函数y ＝xa 2－2a －3是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a ＝________.2．(2016·武汉调考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，且满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________.4．(2016·常州模拟)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为____________．5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt恒成立，则实数k 的取值范围是________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是____________．7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f －，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．(2016·十堰二模)对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，是“含界点函数”的是________．①f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )； ②f (x )＝2－|x －1|； ③f (x )＝2x－x 2； ④f (x )＝x －sin x .9．已知定义在R 上的函数f (x )满足1fx ＋1＝f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则f [f (112)]＝________.10．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，若f (x －1)≤0，则x 的取值范围为________________．11．(2016·北京东城区二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的像为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 如表：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y )n m －n m ＋n则f (3,5)＝．12．某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t4＋22，0≤t ＜40，t ∈N *，－t 2＋52，40≤t ≤100，t ∈N *，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为____________． 13．(2016·湖北优质高中联考)函数f (x )＝(12)|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．14．(2016·聊城一中期中)设定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件时称f (x )为“友谊函数”：(1)对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； (2)f (1)＝1；(3)若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列判断正确的序号为________． ①f (x )为“友谊函数”，则f (0)＝0；②函数g (x )＝x 在区间[0,1]上是“友谊函数”；③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f(x1)≤f(x2)．答案精析1．1 或－22 4.(12，14)解析 令y ＝x 3－2x 2＋x ，x ＜1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，令y ′＞0，即(x －1)(3x －1)＞0，解x ＜13或x ＞1.又因为x ＜1，所以x ＜13.令y ′＜0，得13＜x ＜1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y 极大值＝427.根据图象变换可作出函数y ＝－|x3－2x 2＋x |，x ＜1的图象．又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图象经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1x，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0，解得x 1＝e ，所以k 1＝1e.函数y ＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝y ′⎪⎪ x ＝0＝1.因为∀t ∈R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图象，数形结合可得1e≤k ≤1.解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ＞0在x ＜1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 此时，log a x 是减函数，符合题意． 7．c ＜b ＜a解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a ＝f (log 47)＝f (log 27)，b ＝f (log 123)＝f (－log 123)＝f (log 23)．又0＜log 27＜log 23＜2,－＝＞＞＝2，即0＜log 27＜log 23＜－， ∴a ＞b ＞c .8．①②③解析 因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，又Δ＝b 2＋4＞0，所以方程x 2＋bx －1＝0有一正一负两个不同的根，f (x )＝x 2＋bx －1是“含界点函数”；因为f (x )＝2－|x －1|有两个零点x ＝3和x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|是“含界点函数”；f (x )＝2x －x 2的零点即为y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象如图所示，故f (x )＝2x－x 2为“含界点函数”；因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，故f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．9．－1 解析 由1fx ＋1＝f (x )，得 f (x ＋2)＝1f x ＋1＝f (x )，所以f (x )为周期函数，T ＝2， 所以f (112)＝f (112－4)＝f (32)＝f (12＋1)＝1f 12＝－1， f (－1)＝f (1)＝－1.10．[－1,1)∪[3，＋∞)解析 作出f (x )的草图，如图所示，易知x －1≥2或－2≤x －1＜0，解得－1≤x ＜1或x ≥3.11．8 {1,2}解析 由表可知f (3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *) ⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)，当x ＝1时，2x＝2，x ＋4＝5， 2x≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x＝4，x ＋4＝6， 2x≤x ＋4成立；当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 12．解析 设日销售额为s (t )， 由题意知s (t )＝f (t )g (t )， 当0≤t ＜40时，s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝－t 212＋7t 4＋2 3983，此函数的对称轴为x ＝212，又t ∈N *，所以最大值为s (10)＝s (11)＝1 6172＝；当40≤t ≤100时，s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝16t 2－213t 6＋5 6683， 此时函数的对称轴为x ＝2132＞100，最大值为s (40)＝736.综上，这种商品日销售额s (t )的最大值为. 13．10解析 原问题可转化为求y ＝(12)|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4,6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点关于x ＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在[－4,6]上的图象(图略)，可知在x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.14．①②③解析①∵f(x)为“友谊函数”，则取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0，故①正确；②g(x)＝x在[0,1]上满足：(1)g(x)≥0；(2)g(1)＝1；若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足(3)．故g(x)＝x满足条件(1)(2)(3)，∴g(x)＝x为友谊函数，故②正确；③∵0≤x1＜x2≤1，∴0＜x2－x1＜1，∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，故有f(x1)≤f(x2)，故③正确．故答案为①②③.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第7练含解析
①y ＝－x 2；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝－1x ；④y ＝2x . 2．(2016·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈－1,2]的值域是____________．3．(2016·宿迁、徐州三模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是____________．4．(2016·南通一模)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意的实数t ，在闭区间t －1，t ＋1]上总存在两个实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．5．(2016·陕西西藏民族学院附中期末)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12ax －2，x ≤1，a x －a ，x ＞1在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．6．函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为______________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是____________．9．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________________．10．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则ff (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．11．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0.当x ∈－2,2]时不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立，则实数a 的最小值是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x (x ＜0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是____________．13．已知函数f (x )＝bx ＋c ax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数，若f (x )的最小值为－12，且f (1)＞25，则实数b 的取值范围是______________．14．对于函数f (x )，若存在区间A ＝m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“同域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝cos π2x ；②f (x )＝x 2－1；③f (x )＝|2x －1|；④f (x )＝log 2(x －1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________．答案精析1．③ 2.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729 3.{x |x ＞4}4．8解析 由题意得只需求当x ∈t －1，t ＋1]，f (x )max －f (x )min ≥8时a 的最小值．根据f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)的对称性可知：①当t ＝－10a 时，f (x )max －f (x )min ＝f (－10a ＋1)－f (－10a )＝a ，所以只需a ≥8即可；②当－10a ＜t ＜－10a ＋1时，f (x )max －f (x )min ＝f (t ＋1)－f (－10a )．当a ≥8时，上式≥f (－10a ＋1)－f (－10a )≥8成立；③当t ≥－10a ＋1时，f (x )max －f (x )min ＝f (t ＋1)－f (t －1)＝4at ＋40≥4a (－10a ＋1)＋40＝4a ，则4a ≥8，即a ≥2.综上知a ≥8，即a 的最小值为8.5．(1,2]解析 由f (x )＝x 2＋12ax －2在(0,1]上递增，则有－a 4≤0，即a ≥0，再由f (x )＝a x －a在(1，＋∞)上递增，则a ＞1，再由增函数的定义，得1＋12a －2≤a 1－a ，解得a ≤2，则有1＜a ≤2.6．(－∞，－1)解析 要使函数有意义，则x 2－2x －3＞0，即x ＞3或x ＜－1.设t ＝x 2－2x －3，则当x ＞3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增；当x ＜－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减．∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知：当x ＞3时，函数f (x )单调递增，即函数f (x )的递增区间为(3，＋∞)；当x ＜－1时，函数f (x )单调递减，即函数f (x )的递减区间为(－∞，－1)．7．(－2,1)解析 f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x ＜0， 由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.8．12，1)解析 由题意得⎩⎨⎧e 0－k ≤k ，1－k ＞0， 解得12≤k ＜1.9．(－∞，－1]，0,1]解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，0,1]上是增函数．10．0 22－3解析 ff (－3)]＝f (1)＝0.①当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号；②当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg1＝0.综上，f (x )的最小值为22－3.11．4解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2－4x ＋3，对称轴为直线x ＝2，故在区间内递减，f (x )≥f (0)＝3；当x ＞0时，f (x )＝－x 2－2x ＋3，对称轴为直线x ＝－1，故在区间内递减，f (x )＜f (0)＝3.可知函数f (x )在整个区间内递减．∴当x ∈－2,2]时，不等式f (x ＋a )≥f (2a －x )恒成立，∴x ＋a ≤2a －x ，∴2x ≤a ，∴a ≥4.12．(0，14]解析 由对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立， 知f (x )是减函数．于是⎩⎨⎧ 0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，所以0＜a ≤14.13．(12，2) 解析 显然函数f (x )的定义域为R .又函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，故c ＝0，从而f (x )＝bx ax 2＋1. 由f (1)＝b a ＋1＞25，a ＞0，得b ＞0. 由f (x )＝b ax ＋1x 得，当ax ＝1x ，即x ＝±1a 时，原函数有最值，从而－b 2a＝－12，即a ＝b 2，于是b b 2＋1＞25，化简得2b 2－5b ＋2＜0，解得12＜b ＜2.14．①②③解析 当x ∈0,1]时，cos π2x ∈0,1]，①正确；当x ∈－1,0]时，x 2－1∈－1,0]，②正确；当x ∈0,1]时，|2x －1|∈0,1]，③正确；因为y ＝log 2(x －1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log 2(x －1)＝x 有两个根，由图象可知y ＝x 与y ＝log 2(x －1)没有交点，④错误．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量
x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝1
2x
2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化
碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
2．某化工厂引进一条先进的生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与
年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x2
5－48x＋8000，已知此生产线
年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)
销售价格f(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝100(1＋k
t)(k为正常数)，日销
售量g(t)(件)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝125－|t－25|，且第25天的销售金额为13000元．
(1)求实数k的值；
(2)试写出该商品的日销售金额w(t)关于时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；
(3)该商品的日销售金额w(t)的最小值是多少？
4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
答案精析
1．解 设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－1
2x 2＋300x －80000
＝－1
2(x －300)2－35000， 因为400≤x ≤600，
所以当x ＝400时，S 有最大值－40000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损． 2．解 (1)由题意，得每吨平均成本为y
x (万元)， 则y x ＝x 5＋8000
x －48
≥2x 5·8000
x －48＝32，
当且仅当x 5＝8000
x ，即x ＝200时取等号．
∴当年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低为32万元． (2)设当年获得总利润为R (x )万元，
则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8000＝－x 25＋88x －8000＝－1
5(x －220)2＋1680(0≤x ≤210)．
∵R (x )在0,210]上是增函数，
∴当x ＝210时，R (x )有最大值为－1
5(210－220)2＋1680＝1660. ∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元． 3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13000， 即100(1＋k 25)·125＝13000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )
＝100(1＋1
t )(125－|t －25|)
＝⎩⎪⎨⎪⎧
100(t ＋100
t ＋101)，1≤t ＜25，t ∈N ，100(149＋150
t －t )，25≤t ≤30，t ∈N .
(3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100
t ≥20， 所以当t ＝10时，w (t )有最小值12100；
②当25≤t ≤30时，因为150
t －t 在25,30]上单调递减， 所以当t ＝30时，w (t )有最小值12400.
因为12100＜12400，所以当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12100元．
4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法， 得f (t )＝⎩⎨⎧
2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.
图②是一个二次函数的部分图象， 故g (t )＝－3
20t 2＋6t (0≤t ≤40)．
(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为 h (t )＝⎩⎨⎧
3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.
故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
3t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫
－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－320t 2
＋240，30＜t ≤40.
当0≤t ≤20时，
F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，
∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛
⎭⎪⎫48－2720t ≥0，
∴F (t )在0,20]上是增函数， ∴F (t )在此区间上的最大值为 F (20)＝6000＜6300. 当20＜t ≤30时，
F (t )＝60⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－320t 2＋8t .
由F (t )＝6300，得3t 2－160t ＋2100＝0， 解得t ＝70
3(舍去)或t ＝30. 当30＜t ≤40时， F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫
－320t 2＋240.
由F (t )在(30,40]上是减函数， 得F (t )＜F (30)＝6300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．。