g3.1011函数的最值与值域及三性质
函数值域、最值,单调性,奇偶性,周期性知识总结
三、函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。
如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
高中数学必修一1.3.1函数的基本性质最大(小)值 课件(共22张PPT)
(Ⅰ)当a＝ 1 时，求函数f ( x)的最小值. 2
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
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讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
是函数f (x)的一个
.
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高一数学必修三知识点总结
高一数学必修三知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的定义：一个从集合A到集合B的映射，记作f: A → B。
2. 函数的表示方法：解析式、表格、图象。
3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
- 单调性：函数在某个区间内，值随自变量的增加而增加或减少。
- 奇偶性：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x)为奇函数。
- 周期性：存在正数T，使得对于所有x，f(x+T) = f(x)。
- 有界性：函数的值在某个范围内。
二、基本初等函数1. 幂函数：y = x^n (n为实数)。
2. 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
3. 对数函数：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。
4. 三角函数：正弦、余弦、正切等。
- 正弦函数：y = sin(x)。
- 余弦函数：y = cos(x)。
- 正切函数：y = tan(x)。
三、函数的应用1. 实际问题中的函数建模：如速度-时间关系、投资-收益关系等。
2. 函数的最值问题：通过函数的单调性、导数等求解最值。
3. 函数的图像分析：通过图像了解函数的性质和变化趋势。
四、函数的极限与连续性1. 极限的概念：描述函数值趋向于某一点的性质。
2. 极限的计算：利用极限的四则运算、夹逼定理等求解。
3. 连续函数：在某个区间内，函数值连续变化。
五、导数与微分1. 导数的定义：描述函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：利用导数的定义、导数公式、链式法则等。
3. 微分的概念：函数在某一微小区间内的线性变化。
六、导数的应用1. 函数的极值问题：通过导数求解函数的极大值和极小值。
2. 曲线的切线与法线：利用导数求曲线在某一點的切线和法线方程。
3. 函数的单调性：通过导数判断函数在某个区间内的单调性。
七、积分1. 不定积分：求函数原函数的过程。
2. 定积分：计算函数在某个区间内的积分值。
3. 积分的应用：求解面积、体积、弧长等问题。
1011函数的最值与值域
1011函数的最值与值域一、知识回顾：求函数值域（最值）的一般方法：1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x kx y 型函数）4、函数的单调性：特别关注)0(>+=k x kx y 的图象及性质5、部分分式法、判别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、反函数法9、数形结合法二、基本训练：1、函数的值域是131-=x y ( )(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞-(C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞2、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （） A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞3、函数2y =的值域为＿＿＿＿。
4、 ①223x x y +-= 的值域是______________.②12++=x x y 的最小值是______________.③312-+=x x y 的值域是______________.④函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______三、例题分析：1、①函数)1(11)(x x x f --=的最大值是 （ ）A ．54B ．45C ．43D ．34②函数1222--=x xy 的值域为 （ ）A ．（),1[]2,+∞--∞-B ．),1()2,(+∞---∞C ．}{R y y y ∈-≠,1D ．}{R y y y ∈-≠,2③已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为（ ）A 、[2, 5]B 、[)1,+∞C 、[2, 10]D 、[2, 13]④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________ 2、求下列函数的值域： ①()271011x x y x x ++=>-+ ② x x y -+=123、已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。
值域的方法习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+ 的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=-- ，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-， ∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数 3.1.1 指数函数概念教案2 北师大
高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1的全部内容。
§3.1。
1指数函数概念一。
教学目标：1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力。
3．过程与方法：展示函数图象,让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。
二．重、难点：重点：指数函数的概念和性质及应用。
难点:指数函数性质的归纳，概括及其应用。
三、学法与教法：①学法:观察法、讲授法及讨论法；②教法: 探究交流,讲练结合. 四、教学过程: （一)、情境设置①在本章的开头，问题(1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2,请问这两个函数有什么共同特征。
②这两个函数有什么共同特征:157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。
高中数学学习中如何掌握函数最值的性质
高中数学学习中如何掌握函数最值的性质作者：高文汉来源：《中学生数理化·教与学》2019年第01期在求某个数值的最值时，经常要应用函数思想来解决，部分同学因为对函数最值的性质不够了解，所以不能应用函数思想来解决问题.本文将说明在高中数学学习中掌握函数最值性质的方法.一、对应图像，宏观探讨函数最值的概念从函数最值的概念来看，在探讨函数的最值时，首先要确定一个函数的范围，其次要探讨函数的单调区间，再次要探讨函数的增减性，最后要探讨函数的最值.这是一种把函数与集合论结合起来，探讨函数最值的方法.图1如题1：图1所示是定义在区间[-5，5]上的函数y=f（x），请说明该图像函数的单调区间，及每个区间上它是增函数还是减函数.该函数共有四个单调区间[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数；在[-2，1]，[3，5]上是增函数.二、应用习题，明晰函数最值的探讨方法在了解了函数最值相关概念以后，要了解函数最值探讨的方法，就是用科学的数学语言来描述函数最值的问题，通过说明概念与概念的关联，来说明函数最值的计算方法.如题2：求函数y=2x-1在区间[2，6]上的最大值和最小值.应用函数最值的概念来分析函数的问题，建立数学关系.首先，确定函数最值的探讨范围.设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x10，（x1-1）（x2-1）>0，于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.这一步说明了该函数是个减函数，即x越大，y越小.最后，根据函数的最值探讨结合，把已知条件代入到数学关系中，根据数学关系得到函数的最值.根据已知条件获取函数y=2x-1在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，根据函数的单调性与增减性，可知当x=2时，ymax=2；当x=6时，ymin=25.三、结合性质，抓住函数最值的探讨特征在遇到实际数学应用问题时，要能捕捉到函数最值问题的特征.首先确定该数学问题是个函数问题，或者能够转化成函数问题.然后，要求探讨的是在某个区间中x值或y值的取值范围，或者探讨y值或x值的最大值或最小值，都可以应用函数最值的性质来探讨.如题3：中兴种子公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元的税率来纳税.现公司的成本原定计划收购a万担，然而此时因政策优惠，出台了将征税率降低x（x≠0）个百分点的政策，如在不增加成本的前提下，预测收购量可增加2x个百分点.（1）根据现有已知条件建立税收y与x的函数关系式；（2）在实施了税收政策以后，如果要让缴纳的税款不少于原计划税收的83.2%，那么x的取值范围是多少？该问题是一个函数问题，它探讨的是税收y与x的函数关系式，并且要了解在税收y为83.2%的前提下，税率的取值范围，这就是在函数区间y为（10-x）%的前提下x的取值，这就是函数最值问题的特征.应用函数最值的性质来分析习题.（1）降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，那么收购总金额为200a（1+2x%）.结合已知条件建立函数关系，得y=200a（1+2x%）（10-x）%=150a（100+2x）（10-x）（0总之，在探讨数学问题时，经常要应用函数最值的性质来探讨数学问题，该文说明了函数最值问题探讨的方法.。
新高考数学一轮复习知识点解析14---函数值域与最值
1．熟悉函数求值域的方法，能够灵活运用恰当的方法求函数的值域． 2．掌握函数求最值的方法，并且能够将恒成立问题，方程有解问题等转化成函数求最值问题．一、函数值域与最值的概念 1．函数值域的概念在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．函数最值的概念一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最大值．②对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最小值．二、常见函数的值域①一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．②二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a>第三章 函数的概念及基本初等函数第11讲 函数值域与最值时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦； ③反比例函数()0ky k x=≠的值域为()(),00,-∞+∞；④指数函数()0,1x y a a a =>≠且的值域为()0,+∞； ⑤对数函数()log 0,1a y x a a =>≠且的值域为R ； ⑥正、余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．【例1】已知函数()223f x x x =+-，则()f x 的值域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)3,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．[]0,4【答案】B【解析】()()222232314f x x x x x x =+-=+-=+-，[)0,x ∈+∞，故()()min 03f x f ==-，故函数值域为[)3,-+∞， 故选B ．【变式1．1】已知函数1()(12)f x x x =≤≤，则函数2()2()()g x f x f x =+的值域为（）A ．[3,2+B ．5[,3]4C ．9[,3]16D ．1[2+【答案】D【解析】1()(12)f x x x =≤≤，由21212x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得1x ≤≤2221()2()()(1g x f f x x x x x∴=≤+≤=+．令11)t t x =≤≤，∴函数222(1)1y t t t =+=+-．当2t =时，min 12y =+1t =时，max 3y =， ∴函数2()2()()g x f x f x =+的值域为1[2，故选D ．【变式1．2】函数()1423x x y x -=++∈R 的值域为（）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)9,+∞【答案】B【解析】令2,0x t t =>，可得()21320y t t t =++>，可得函数的对称轴为14t =-，故函数在(0,)t ∈+∞上单调递增，当0t =时，min 3y =，故函数的值域为()3,+∞， 故选B ．【例2】函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为________．【答案】(0,)+∞【解析】当1x <时，()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭；当1x >时，()()10,1f x x=∈， 综上可得21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(0,)+∞，故答案为(0,)+∞．【变式2．1】已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln 1y x x =≥的值域为[)0,+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有23(1)y a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->且1a ≥-，解得112a -≤<， 实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【例3】下列各式中，最小值为2的是（）A ．1xx+B +C ．y x x y+ D ．3x -【答案】D【解析】当0x <时，10x x+<不合题意，所以A 错误；4≥，当x =所以B 错误； 当0xy <时，0y xx y+<不合题意，所以C 错误； )2312x -=+1=时，取得最小值2，故选D ．【变式3．1】已知函数()[1,5]f x ∈，则函数1()()()g x f x f x =+的值域为_________． 【答案】26[2,]5【解析】设()t f x =，则[1,5]t ∈，()1h t t t=+，设121t t <<，则()()()()211212*********t t h t h t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又121t t <<时，()()120h t h t -<，所以函数1()h t t t =+在[1,)+∞上为增函数，所以函数1()h t t t=+在[1,5]上为增函数，则函数的最大值为()1265555h =+=，最小值为()1112h =+=，故函数的值域为26[2,]5，故答案为26[2,]5．【例4】（1）若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是_____． 【答案】[)1,1-【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++， 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+， 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-，故答案为[)1,1-．（2）函数12321x x y ++=+的值域为（）A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(2,3)D ．[1,2]【答案】C【解析】123122121x x xy ++==+++，10121x <<+，23y ∴<<，故选C ． （3）求函数2211x x y x ++=+的值域_____________．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2221111x x xy x x ++==+++， 当0x =时，1y =； 当0x >时，111y x x=++，12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），131122y ∴<≤+=；当0x <时，111y x x=++，12x x--≥=（当且仅当1x =-时取等号）， 12x x ∴+≤-，11012xx∴-≤<+，112y ∴≤<， 综上所述，函数2211x x y x ++=+的值域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最值．【答案】最小值9，无最大值． 【解析】∵1x >-，∴10x +>，401x >+，∴()()221514(5)(2)710111x x x x x x y x x x ++++++++===+++ 415591x x =+++≥=+， 当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立， ∴1x =时，函数y 有最小值9，无最大值． 【变式4．1】求下列函数的值域． （1）322xy x -=+； （2）2211x x y x x -+=++；（3）221xy x =+； （4）21x x y x ++=．【答案】（1）()(),22,-∞--+∞；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）[]1,1-；（4）(][),13,-∞-+∞．【解析】（1）327222x y x x -==-++，定义域为2x ≠-，所以其值域为()(),22,-∞--+∞．（2）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为2(1)(1)10y x y x y -+++-=在x ∈R 上有解，∴当10y -=，即1y =时，0x =显然成立；当10y -≠时，22(1)4(1)0Δy y =+--≥，整理得231030y y -+≤，解得133y ≤≤且1y ≠， ∴综上，函数的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为220yx x y -+=在x ∈R 上有解，∴当0y =时，0x =显然成立；当0y ≠时，2440Δy =-≥，整理得21y ≤，解得11y -≤≤且0y ≠， ∴综上，函数的值域为[]1,1-．（4）由解析式知：定义域为0x ≠，而2111x x y x x x ++==++，∴当0x >时，1113y x x =++≥=，当且仅当1x =时等号成立；当0x <时，1[()()]111y x x =--+-+≤-=-，当且仅当1x =-时等号成立， ∴综上，函数的值域为(][),13,-∞-+∞．【例5】（1）函数y =的定义域是_________，函数23)y x x =->的值域为__________．【答案】[3,1]-，(4,)+∞【解析】①由228401x x --≥，得2230x x +-≤，解得31x -≤≤，故函数y =[3,1]-．②令t =2t >，则21x t =-，所以原函数可化为22()2(1)22g t t t t t =--=--，其对称轴为14t =， 所以函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，所以()(2)4g t g >=，所以函数23)y x x =->的值域为(4,)+∞． 故答案为[3,1]-，(4,)+∞．（2）函数()f x x =的值域是___________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =-， 则22111()(1)1,0222f t t t t t =+-=+-≥，所以当0t =，即12x =-时，()f x 取得最小值，最小值为12-，因而()f x 的值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（3）函数y =的值域为_________．【答案】2⎤⎦【解析】由题意得3050x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得35x ≤≤，222y =+=+224y ∴≤≤，由y 的非负性知原函数的值域为2⎤⎦，故答案为2⎤⎦．（4）函数()f x =___________．【答案】)+∞【解析】由已知得2206100x x x -≥⎧⎨-+≥⎩，解得2x ≤，所以()f x 的定义域为{}2x x ≤，且2x ≤时，y =y =所以()f x 在(],2-∞上是减函数，()()2f x f ≥=所以()f x 的值域为)+∞，故答案为)+∞．【变式5．1】求下列函数的值域．（1）y x =；（2）4y =；（3）y x =+（4）y =【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[]2,4；（3）(],1-∞；（4）[]0,2．【解析】（1）函数y x =中，令120x -≥，得12x ≤，易见函数y =y x =-都是减函数，故函数y x =在12x ≤时是递减的，故12x =时，min 12y =-， 故值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）44y ==，[]1,3x ∈-， 而20(1)44x ≤--+≤，[]1,3x ∈-，02∴≤≤，42440∴-≤-， 即24y ≤≤，故值域为[]2,4．（3）函数y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令0t =≥，所以212t x -=，所以221,20221t t y t t t -=+=-++≥，对称轴方程为1t =，所以1t =时，函数max111122y =-++=，故值域为(],1-∞．（4）函数y ==[]5,1--，()[]24043,x +∈-+，故[]0,2y =，即值域为[]0,2．【变式5．2】已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()10,2g x h x x ⎫⎡⎫=+∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭的值域．【答案】（1）0m =；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5． 当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数； 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=．（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，t =，则21122x t =-+，(]0,1t ∈，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]0,1t ∈，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，()f t ∴的值域为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，故函数()g x 的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【例6】（多选）若函数()f x =(0,)+∞，则实数a 的取值可能是（） A ．0 B ．12C ．34D ．1【答案】CD【解析】当0a =时，()f x =，故不符合题意； 当0a ≠时，函数()f x =的值域为(0,)+∞，()204430a a a >⎧⎪∴⎨--⨯⨯≥⎪⎩，解得34a ≥， 故选CD ．【变式6．1】已知函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】要使函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则()22()1(21)1(0)g x a x a x a =-+++<的值域包含()0,∞+，①当210a -=，0a <，即1a =-时，()1g x x =-+值域为R 包含()0,∞+， 故符合条件；②当210a -≠，0a <时，2105014450a a a Δa ⎧->⎪<⇒-≤<-⎨⎪=+≥⎩， 综上，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例7】已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,4- B ．[)2,4-C ．(],2-∞-D ．{}2-【答案】B【解析】1≥x 时，3log 0y x =≥， 又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0-∞，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩，解得24a -≤<，故选B ．【变式7．1】已知函数()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域与值域相同，则常数a =（） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】A【解析】显然，()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域为R ，故值域为R ，3110333x y x x -==-++值域为{|3}y y ∈≠R ，3a ∴=， 故选A ．【例8】已知函数23()f x x =，[1,8]x ∈-，函数()2g x ax =+，[1,8]x ∈-．若对任意1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立．则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】若对任意的1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立， 只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．23()f x x =，[1,8]x ∈-的值域为[0,4]，下求()2g x ax =+的值域． ①当0a =时，()2g x =为常数，不符合题意舍去；②当0a >时，()g x 的值域为[2,28]a a -+，要使[0,4][2,28]a a ⊆-+， 得20a -≤且428a ≤+，解得2a ≥；③当0a <时，()g x 的值域为[28,2]a a +-，要使[0,4][28,2]a a ⊆+-， 得280a +≤且42a ≤-，解得2a ≤-， 综上所述，a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞，故答案为(][),22,-∞-+∞．【变式8．1】已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】26a -≤≤【解析】因为[1,1]x ∈-，所以()[2,2]f x a a ∈-++， 又因为2()(3)8g x x =--，[1,1]x ∈-，所以有()[4,8]g x ∈-，要想对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则有282624a a a +≤⎧⇒-≤≤⎨-+≥-⎩．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈， 记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ，()[],,y g x x c d =∈的值域为B ， ①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊆； ②若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊇； ③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，故A B ≠∅．【例9】已知()2220,1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则t 的取值范围为________． 【答案】[]0,2【解析】由于当0x >时，()1f x x t x=++在1x =时取得最小值为2t +，由题意当0x ≤时，()()2f x x t =-，若0t ≥，此时最小值为()20f t =，故22t t ≤+，即220t t --≤，解得12t -≤≤，此时02t ≤≤， 若0t <，则()()0f t f <，条件不成立， 故答案为[]0,2．【变式9．1】已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________．【答案】3⎫⎪⎣⎭【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =，由于函数()2,33log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()3log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且3log 31a +≤，则有013log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 32aa <<⎧⎨≤-⎩1a ≤<，因此，实数a的取值范围是3⎫⎪⎣⎭，故答案为3⎫⎪⎣⎭． 【例10】已知函数()11f x a x=-，()0,x ∈+∞． （1）求证()f x 在()0,∞+上递增；（2）若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，求实数a 的取值范围； （3）当()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）102a <<；（3）4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【解析】（1）设120x x <<，则()()2121211211110x x f x f x a x a x x x --=--+=>， 故()()21f x f x >，即函数单调递增．（2）∵()f x 在()0,∞+上单调递增，∴若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，则()()0n m f m m f n n ⎧>>⎪=⎨⎪=⎩，即11110m a m n an n m ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪>>⎪⎪⎩，故函数1y a =与1y x x=+（0x >）的图象有两个公共点， ∵当0x >时，12y x x =+≥（当且仅当1x x=，即1x =时取“=”），∴12a >，解得102a <<． （3）∵()11f x a x=-，()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立， ∴211212x a x x x≥=++在()0,∞+上恒成立， 令()112g x x x=+，则()4g x ≤=（当且仅当12x x =，即x =时取等号），要使()0,∞+上恒成立，故a 的取值范围是,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【变式10．1】已知函数()()2410f x ax ax b a =-++>的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，设()()6103f x x g x x+-=．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）3,12a b ==；（2）14k ≤． 【解析】（1）∵函数()()2410f x ax ax b a =-++>其图象对称轴为直线2x =，函数的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，∴()()24811391214f a a b f a a b ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得3a =，12b =．（2）由（1）得()231213f x x x =-+，()()26103631233f x x x x g x x xx x+--+===+-．若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，则2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立，[]22,4x∈，111,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1122x =，即1x =时，2112122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值14， 故14k ≤． 【例11】已知函数()4f x x x =+，()2g x x a =+，若11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈都有()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(],2-∞-【解析】由于132x ≤≤时，()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，也即()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4．由于23x ≤≤时，()g x 单调递增，所以最大值为()36g a =+，由于对11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈，都有()()12f x g x ≥，所以46a ≥+，解得2a ≤-．所以实数a 的取值范围是(],2-∞-， 故答案为(],2-∞-．【变式11．1】已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】任取12112x x ≤<≤，()()()()112212121212444x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 12121,14x x x x <<<，()()()()12120,f x f x f x f x ∴->>，即函数()4f x x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)5f x f ==， min ()(2)4g x g a ==+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥，即54,1a a ≥+≤， 故选A ．【变式11．2】已知二次函数()()220f x ax x a =->．（1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．【答案】（1）2；（2）[)8,+∞．【解析】由()f x 解析式知：()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a=的二次函数， （1）当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上单调递减， ()()max 00f x f ∴==，不合题意； 当102a <<，即12a >时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()(){}max max 0,2f x f f ∴=，又()00f =，()244f a =-，()f x 在[]0,2的最大值为4，()()max 2444f x f a ∴==-=，解得2a =， 综上所述：2a =．（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥， 则()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立， ①当1t a≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=+-=+-≥， 当1t a≥时，22y at a =+-单调递增，()min 12222at a a a a a ∴+-=⋅+-=，2a ∴≥；②当11t a ≥+，即11t a≤-时，()f x 在[],1t t +上单调递减， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=-+=--+≥， 当11t a≤-时，22y at a =--+单调递减， ()min 122212at a a a a a ⎛⎫∴--+=---+= ⎪⎝⎭，2a ∴≥；③当112t t a <≤+，即1112t a a -≤<时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()()()()2max min 1111212f x f x f t f a t t a a ⎛⎫∴-=+-=+-++≥ ⎪⎝⎭，当1112t a a -≤<时，又0a >，11111122t a a<+≤+<+， 令1m t =+，则212y am m a =-+在111,12a a ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭上单调递增， 2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥；④当1112t t a +<<+，即11112t a a -<<-时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()()2max min 1122f x f x f t f at t a a ⎛⎫∴-=-=-+≥ ⎪⎝⎭，当11112t a a -<<-时，212y at t a =-+在1111,2aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥，综上所述：a 的取值范围为[)8,+∞．【例12】已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-． （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域；（2）若函数()()2(2)g x f x k x =+-在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；（3）若关于x 的方程()20xf m -=有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21()log (11)1xf x x x-=-<<+，()()22log 1(11)g x x x =--<<；（2）(,0][4,)-∞+∞；（3）(,0)-∞．【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=．因为2()()2log (1)f x g x x +=-，①所以用x -取代x 代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，即2()()2log (1)f x g x x -+=+，②联立①②可得2221()log (1)log (1)log (11)1xf x x x x x-=--+=-<<+， ()()2222log (1)log (1)log 1(11)g x x x x x =-++=--<<．（2）因为()()22log 1g x x =-，所以()2(2)1f x x k x =-+-+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上为单调函数，所以212k -≤-或212k -≥， 所以所求实数k 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞． （3）因为21()log 1x f x x ，所以()2122log 12x xxf -=+． 设1212x x t -=+，则12211212x x xt -==-+++． 因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >，所以021x <<，1122x <+<，111212x <<+，201112x<-+<+， 即01t <<，则2log 0t <．因为关于x 的方程()20xf m -=有解，则0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞．【变式12．1】方程()12log 22x a x -=+有解，则a 的最小值为__________．【答案】1【解析】方程()12log 22x a x -=+有解，即方程222x x a --+=有解，即a 值属于222x x --+的范围内．由于2221x x --+≥=，当且仅当1x =-时取等号，a 的最小值为1，故答案为1．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <．一、选择题．1．若函数()1,1431x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<，则()f x 的值域为（）A．⎡⎣B ．150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D．154⎤⎥⎦【答案】C【解析】函数1,14()31x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<， 当14x ≤≤时，1()f x x x =-递增，可得15()[0,]4f x ∈； 当31x -≤<时，()f x ==， 当2x =-时，()f x 取得最大值4；1x =时，()1f =，即有()f x ⎤∈⎦，可得()f x 的值域为[0,4]，故选C ．2．点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x =值域为（）A．⎡⎣B．⎡⎣C．2⎤⎦D ．[]2,3【答案】B【解析】因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上， 所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =，故()g x =[]2,3x ∈，2()11g x =+=+，因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈，所以函数()g x =⎡⎣，故选B ．3．下列各函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．113x y +=B ．212x y --=C ．()22log 23y x x =++D ．y =【答案】B【解析】因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以()()1130,11,x y +=∈+∞，不满足条件，故A 错误； 因为21x --∈R ，()2120,x y --=∈+∞，即函数的值域为()0,∞+，满足条件，故B 正确；()2223122x x x ++=++≥，因为()22log 23y x x =++的值域是[)1,+∞，不满足条件，故C 错误；所以121x +>，∴1>y ，则函数的值域为()1,+∞，不满足条件，故D 错误， 故选B ．4．下列函数求值域正确的是（）A ．()1f x x =++[2,)+∞B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2,)+∞C ．()h x =)+∞D ．()w x =的值域为[2,【答案】D【解析】A 选项，原函数化为21,1()3,1221,2x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，其图象如图，原函数值域为[3,)+∞，错；B 选项，2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，∴值域为(,2][2,)-∞-+∞，错； C 选项，()h x 的定义域为[1,)+∞，()h x ===，均在[1,)+∞[1,)+∞上是增函数，[1,)+∞上恒不等于0[1,)+∞上是减函数，则()h x的最大值为(1)h =()h x 的最小值为x 最大时，此时()h x 无限接近于0，∴()h x的值域为，错； D 选项，()w x 的定义域为[]3,1-，()w x======设2(1)t x=-+，则[4,0]t∈-，则()m t=则()w x的值域为[2,，对，故选D．5．若函数()f x=0,，则实数m的取值范围是（）A．()1,4B．()(),14,-∞+∞C．(][)0,14,+∞D．[][)0,14,+∞【答案】D【解析】令t=1yt=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x=+-+的值域为A，则()0,A+∞⊆，若0m=，则()41g x x=-+，其值域为R，满足()0,A+∞⊆；若0m≠，则mΔ>⎧⎨≥⎩，即()24240mm m>⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m≥或01m<≤．综上所述，实数m的取值范围是[][)0,14,+∞，故选D．二、填空题．6．函数()8f x xx=+，[)2,8x∈的值域为__________．【答案】)⎡⎣【解析】由8xx=可得x=±，∴对勾函数()f x在2,⎡⎣上单调递减，在)⎡⎣上单调递增，又()26f =，(f =88968+=>，∴函数()f x 的值域为)⎡⎣，故答案为)⎡⎣．7．函数2221x x y -=+的值域为__________．【答案】(2,1)-【解析】()1232212121213xx x x xy -+-===-+++， 因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，则33021x-<-<+， 所以321121x-<-<+，即21y -<<， 所以函数的值域为(2,1)-．8．求函数()1y x =≥的值域____________．【答案】)+∞【解析】由()f x =()g x =[1,)x ∈+∞上均单调递增，∴y =在[1,)x ∈+∞上单调递增，而1x =时，y =)+∞，故答案为)+∞．9．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<， 故答案为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．10．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________． 【答案】10[2,]3【解析】因函数()y f x =的值域是1[,3]2，从而得函数(21)t f x =+值域为1[,3]2， 函数()F x 变为1y t t =+，1[,3]2t ∈，由对勾函数的性质知1y t t =+在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t =时，min 2y =；而12t =时，52y =；3t =时，103y =，即max 103y =，所以原函数值域是10[2,]3，故答案为10[2,]3． 11．已知函数||()2x f x =，11()2142xxg x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对于任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】24m ≤【解析】因为[1,2]x ∈-，对()2xf x =，当()1,0x ∈-单调递减，当()0,2x ∈单调递增，故min ()(0)1f x f ==，所以存在[1,2]x ∈-使得1()g x ≥成立．令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2[1,2]x ∈-，1,24t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则存在1,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2211mt t +-≤成立，即222t m t -≤成立，所以2max22t m t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．又因为2222111122,,42t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22max 22242424t t -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以24m ≤， 故答案为24m ≤．12．已知函数2()2(0)x f x ax a =+>，2()41g x x x =-+．若对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设2()2(0),[1,2]x f x ax a x =+>∈-的值域为A ， 设2()41[1,2]g x x x x =-+∈-，的值域为B ，因为()22()4123g x x x x =-+=--，所以()g x 在[1,2]-单调递减， 所以[]3,6B =-．因为对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =， 所以A B ⊆．因为024x <≤，0a >时，204ax a ≤≤，所以()0f x >在[1,2]x ∈-恒成立，所以只需max()6f x ≤，只需()02446a f a >⎧⎨=+≤⎩，解得102a <≤， 故实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为10,2⎛⎤⎥⎝⎦．13．已知函数()221f x x ax =++，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】令()2211f x x ax =++=，则10x =，22x a =-，则有122x x a -=，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =的两根间距大于1，所以21a ≥，解得12a ≤-或12a ≥，同理，令()2211f x x ax =++=-，则22a x -±=，则有12x x -=存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =-的两根间距小于1，1≤，即294a ≤，解得3322a -≤≤，综上所述，3113,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．三、解答题．14．已知函数()()()2lg 39f x x ax a =++∈R ．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,2-；（2）3⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为函数()()2lg 39f x x ax =++的定义域为R ，所以2390x ax ++>恒成立，所以29360Δa =-<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-．（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，则对于任意[)1,x ∈+∞，恒有2391x ax ++>成立， 即83a x x>--对于[)1,x ∈+∞恒成立， 记()8g x x x=--，[)1,x ∈+∞，则只需()max 3a g x >． 当[)1,x ∈+∞时，()(,g x ∈-∞-，所以()max g x =-所以3a >-3a >-， 所以实数a的取值范围是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．15．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数．若()32f =-．（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立， 求实数m 的取值范围．【答案】（1）2a =；（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()32f =-，()12log 1032a ∴-=-， 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2a =． （2）设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立， ()g x 在[]3,4上为增函数，()31min 2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭，178m ∴<-， m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 16．设指数函数()(2)x f x m =+，幂函数()23()1g x m m x =++． （1）求m ；（2）设0a <，如果存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(32,0)a ∈-．【解析】（1）根据题意得2212011m m m m +≠⎧⎪+>⎨⎪++=⎩，解得0m =．（2）由（1）知()2x f x =，3()g x x =，存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，等价于当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，又0a <，所以()1max (2)4a af x af ⎡⎤=-=⎣⎦， ()32min (2)(2)8g x g ⎡⎤=-=-=-⎣⎦， 所以84a >-，解得32a >-， 所以(32,0)a ∈-．江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育 ）郑重发表如下声明：维权 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函数的基本性质3最值与值域
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域
g3.2018-2019数的最值与值域
g3.1011函数的最值与值域一、知识回顾：求函数值域（最值）的一般方法： 1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xk x y 型函数）4、函数的单调性：特别关注)0(>+=k xk x y 的图象及性质5、部分分式法、判别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、反函数法9、数形结合法 二、基本训练： 1、函数的值域是131-=xy( )(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞- (C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞ 2、函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （ ） A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞ 3、函数2y =4、 ①223x x y +-= 的值域是______________. ②12++=x x y 的最小值是______________.③312-+=x x y 的值域是______________.④函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______三、例题分析： 1、①函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ） A ．54B ．45C ．43D ．34②函数1222--=xx y 的值域为（ ） A ．（),1[]2,+∞--∞- B ．),1()2,(+∞---∞ C ．}{R y y y ∈-≠,1 D ．}{R y y y ∈-≠,2③已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则A 、[2, 5]B 、[)1,+∞C 、[2, 10]D 、[2, 13] ④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________2、求下列函数的值域：①()271011x x y x x ++=>-+② x x y -+=123、已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。
高中数学中的函数的增减与最值
高中数学中的函数的增减与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个量之间的依存关系。
在高中数学中，我们经常需要分析函数的增减性以及确定函数的最值。
掌握这些概念和技巧，对于解决实际问题和应对高考数学是至关重要的。
本文将依次介绍函数的增减性和最值的求解方法。
一、函数的增减性函数的增减性描述了函数在其定义域内的变化趋势。
通常，我们通过函数的导数来判断函数的增减性。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过导函数的正负性来判断函数的增减性。
当导函数大于零时，函数单调递增；当导函数小于零时，函数单调递减。
对于开区间上的函数，我们可以通过导函数的增减性来判断函数的增减性。
当导函数的增减性与函数的增减性一致时，函数在该区间内是增加的；当导函数的增减性与函数的增减性相反时，函数在该区间内是减少的。
除了导数法，我们还可以利用零点与拐点来判断函数的增减性。
当函数在某点的导数为0时，该点就是函数的极值点或者拐点。
通过计算函数在极值点附近的导数符号来确定函数的增减性。
二、函数的最值函数的最值是指函数在其定义域中取得的最大值和最小值。
通过求解函数的最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而对函数的性质有更深入的认识。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过求解函数的导数为零的点来确定函数的最值。
当导函数由正数变为负数时，函数取得最大值；当导函数由负数变为正数时，函数取得最小值。
对于开区间上的函数，我们可以通过求解函数的极限来确定函数的最值。
当函数在区间的端点处取得最值时，我们需要进一步求解函数在区间内的极值。
另外，闭区间上的连续函数还可以利用上确界和下确界来求解最值。
通过将闭区间划分为若干个子区间，在每个子区间内找出函数的最值，然后比较这些最值来确定整个区间上函数的最值。
三、实例分析现以一个具体的函数为例，说明如何通过分析函数的增减性和求解最值来解决实际问题。
假设有一个开水器，它的工作原理可以用函数y = f(x)来描述，其中x表示加热时间（单位：分钟），y表示温度（单位：摄氏度）。
g3.1021数列的概念
第三章数列、极限与导数一、考试内容：（一）数列数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．（二）极限教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．（三）导数导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商和导数．复习函数的导数．基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．二、考试要求：（一）数列（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（二）极限（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则．会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．（三）导数（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．x的导数）；掌握（2）熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sinx，cosx,e x,a x,ln x,loga两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两则异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．g3.1021数列的概念一.知识回顾1. 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.2. 数列的通项公式.3. 求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n 二、基本训练：1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是A 、19B 、 20C 、 21D 、222、数列4，－１，1017，－1331 ，1649，…的一个通项公式是 A 、1212)1(21-+-+n n n B 、1213)1(21++-+n n n C 、1212)1(21++-+n n n D 、1213)1(21-+-+n n n 3、 已知数列{}n a 的通项公式为22log (3)2n a n =+-，那么2log 3是这个数列的A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项4、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为____________. 5、在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝9，则n ＝_____________.6、（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
g3.1012函数的奇偶性和周期性
g3.1012函数的奇偶性和周期性一、知识回顾：1、函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .2、函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.二、基本训练：1、以下五个函数：（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________变题：已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 的奇偶性如何？2、函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________3、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______4、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）以上均不对5、函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）不是奇函数也不是偶函数三、例题分析：例1、（1）如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____（2）若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______（4）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( )（A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1-例2、判断下列函数的奇偶性（1）2|2|1)(2-+-=x x x f ； （2）221()lg lg f x x x =+； （3）x x x x f -+-=11)1()(例3、设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果23lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f例4、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。
高中数学—13—函数值域和最值—教师版
一、函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； 二、函数的最值1、设函数()y f x =定义域为A ，则当x A ∈时总有()()0f x f x M ≤=，则称当0x x =时()f x 取最大值M ；当x A ∈时总有()()1f x f x N ≥=，则称当1x x =时()f x 取最小值N ；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。
三、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法5．分离常数法/部分分式法 6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*)一、特殊方法1．直接观察对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
【例1】求函数3y x =-的值域；【难度】★【答案】∵故函数的值域是： 【例2】求函数213y x x =-+-的值域【难度】★★【答案】5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞例题解析知识梳理函数值域和最值2．配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．对于求二次函数()20y ax bx c a =++≠或可转化为形如()()()()20f x a g x bg x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解； 【例3】求函数[]225,1,2y x x x =-+∈-的值域； 【难度】★【答案】将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【例4】求二次函数[]242,1,4y x x x =-+-∈的值域； 【难度】★【答案】函数的定义域为[]1,4，2242(2)2y x x x =-+-=--+，从而函数为对称轴为2x =的开口向下的二次函数，2min 44422y ∴=-+⨯-=-，max 2y =.即函数的值域为[]2,2-.注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。
求函数值域(最值)的方法大全
求函数值域（最值）的方法年夜全之蔡仲巾千创作时间：二O二一年七月二十九日函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常呈现,占有一定的位置,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文旨在通过对典范例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对年夜家有所帮手.一、值域的概念和罕见函数的值域函数的值域取决于界说域和对应法则,不论采纳什么方法球函数的值域均应考虑其界说域.罕见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数,那时的值域为,那时的值域为.,反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的经常使用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =的值域解：显然函数的值域是：例2、求函数y =2－的值域.解：≥0 －≤0 2－≤2故函数的值域是：[ -∞,2]2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型.配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.对形如或类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.解：将函数配方得：y=（x-1）+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知：当x = 1时,y = 4当x = - 1,时= 8故函数的值域是：[ 4,8 ]例4、求函数的值域：解：设,则原函数可化为：.又因为,所以,故,,所以,的值域为.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断.例5、求函数的值域解：恒成立,函数的界说域为R.由得.①立即时,；②立即时,时,方程恒有实根. 且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域.解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1）x R,△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的界说域由x（2-x）≥0,得：0≤x≤2.由△≥0,仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围年夜,故不能确定此函数的值域为[,].可以采用如下方法进一步确定原函数的值域.0≤x≤2,y=x+≥≥0,=0,y=1+代入方程（1）,解得：=[0,2],即当=时,原函数的值域为：[0,1+].注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的界说域不是实数集时,应综合函数的界说域,将扩年夜的部份剔除.4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型.例7、求函数的值域.分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数.反解得即知识回顾：反函数的界说域即是原函数的值域.故函数的值域为：.5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.适用类型：一般用于三角函数型,即利用等.例8、求函数y =的值域.解：由原函数式可得：=＞0,＞0解得：- 1＜y＜1.故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .例9、求函数y =的值域.解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：sinx（x+β）=3y即 sinx（x+β）=∵x∈R,∴sinx（x+β）∈[-1,1].即-1≤≤1解得：-≤y≤故函数的值域为[-,].6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值.（原理：同增异减）例10、求函数的值域.分析与解：由于函数自己是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成,故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：.例11、求函数y =（2≤x≤10）的值域解：令y=,=,则 y,在[ 2,10 ]上都是增函数.所以y= y +在[ 2,10 ]上是增函数.当x = 2时,y =+=,当x = 10时,= +=33.故所求函数的值域为：[,33].例12、求函数y=-的值域.解：原函数可化为： y=令y =,= ,显然y,在[1,+∞）上为无上界的增函数,所以y= y +在[1,+∞）上也为无上界的增函数.所以当x = 1时,y=y +有最小值,原函数有最年夜值=.显然y＞0,故原函数的值域为( 0 ,].7、换元法通过简单的换元把一个函数酿成简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等.例13、求函数y = x +的值域.解：令x-1=t,（t≥0）则x=+1∵y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y= 1,当t→→0时,y→→+∞.故函数的值域为[ 1,+∞）.例14、求函数y =x+2+的值域解：因1-≥0,即≤1故可令x+1=cosβ,β∈[0,∏].∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/ 4）+1∵0≤β≤∏,0≤≤β+∏/4≤5∏/4∴ -≤sin（β+∏/4）≤1∴ 0≤sin（β+∏/4）+1≤1+.故所求函数的值域为[0,1+].例15、求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=-可令x=tgβ,则有=sin2β,=cos2β∴y=-sin2βcos2β= -sin4β当β=k∏/2-∏/8时,=.当β=k∏/2+∏/8时,y= -而此时tgβ有意义.故所求函数的值域为[-,].例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1）,x∈[-∏/12∏/2]的值域.解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t,则sinxcosx=（-1）y =（-1）+t+1=由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏∏/12,∏/2]可得：≤t≤∴当t=时,=+,当t=时,y=+故所求函数的值域为[+,+].例17、求函数y=x+4+的值域解：由5-x≥0,可得∣x∣≤故可令x =cosβ,β∈[0,∏]y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+ 4∵00≤β≤∏,∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,=4+,当β=∏时,y=4-.故所求函数的值域为：[4-,4+].8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.适用类型:函数自己可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域.解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,B（- 8）间的距离之和.由上图可知：当点P在线段AB上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10,+∞）例19、求函数y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,故所求函数的值域为[,+∞）.例20、求函数y=-的值域解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点B（-2,1）到点P（x,0）的距离之差.即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P¹,则构成△ABP¹,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==即：-＜y ＜（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=.综上所述,可知函数的值域为：（-,-].注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧.如：例17的A,B 两点坐标分别为：（3,2）,（- 2,- 1）,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为：（3,2）,（2,- 1）,在x 轴的同侧. 例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单元圆的方程,从而问题就转化为求点（2,3）到单元圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值.（如：）其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和x B为定值,不外有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例22、求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为：y=（+）+1/+1/= 1+ += 3++≥≥≥≥≥≥3+2 =5当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时（k∈z）,等号成立.故原函数的值域为：[ 5,+∞）.例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=8（2-2）≤8（++2- ）=8[（++2- ）/3]=当且当=2-2,即当=时,等号成立.由≤,可得：-≤y≤故原函数的值域为：[-,）.例24、那时,求函数的最值,并指出取最值时的值.分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅立即时取”=”那时取得最小值12.例25、双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是（）.A B 4 C 2 D分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：,我们知道所以（当且仅那时取“=”）而故（当且仅那时取“=”）.10、导数法设函数在上连续,在上可导,则在上的最年夜值和最小值为在内的各极值与,中的最年夜值与最小值.要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法.导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视.例26、求函数,的最年夜值和最小值.解: ,令,方程无解.函数在上是增函数.故那时, ,那时,例27、求函数的最值.解析: 函数是界说在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时,,函数递增,时,,函数递加,故有最年夜值.【说明】本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定若界说在一个开区间上的函数有导函数存在,那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根,即,则无最值；（2）若导函数有唯一的根,即,则有最值.此时,导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.11、多种方法综合运用例28、求函数y=的值域解：令t=（t≥0）,则x+3=+1（1）当t＞0时,y==≤,当且仅当t=1,即x=-1时取等号所以0＜y≤.（2）当t=0时,y=0.综上所述,函数的值域为：[0,].注：先换元,后用不等式法.例29、求函数y=的值域.解：y=+=+令x=tg,则=,=sin,∴y=+sin=-+ sin+1=-+∴当sin=时,=.当sin=-1时,y=-2.此时tg都存在,故函数的值域为：［－2,］.注：此题先用换元法.后用配方法,然后再运用sin的有界性.总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.学生巩固练习1 函数y=x2+(x≤－)的值域是( )A(－∞,－B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C R D［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了平安,两列货车间距离不得小于()2千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根,当m=_________时,x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产物时,固定本钱为5000元,而每生产100台产物时直接消耗本钱要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产物售出的数量(单元百台)(1)把利润暗示为年产量的函数；(2)年产量几多时,企业所得的利润最年夜？(3)年产量几多时,企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的界说域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产物生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产物每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各几多台,才华使产值最高？最高产值是几多？(以千元为单元)8 在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的正面积之积为S1,△ABC 的内切圆面积为S2,记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的界说域(2)求函数f(x)的最小值参考谜底1 解析∵m1=x2在(－∞,－）上是减函数,m2=在(－∞,－）上是减函数,∴y=x2+在x∈(－∞,－)上为减函数,∴y=x2+(x≤－)的值域为［－,+∞谜底 B2 解析令=t(t≥0),则x=∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1谜底 A3 解析t=+16×()2/V=+≥2=8谜底 84 解析由韦达定理知x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,又x1,x2为实根,∴Δ≥0 ∴m≤－1或m≥2,y=(m－)2－在区间(－∞,1）上是减函数,在［2,+∞上是增函数,又抛物线y开口向上且以m=为对称轴故m=1时,ymin=谜底－15 解 (1）利润y是指生产数量x的产物售出后的总收入R(x)与其总本钱C(x)之差,由题意,当x≤5时,产物能全部售出,当x>5时,只能销售500台,所以y=(2）在0≤x≤5时,y=－x2+4 75x－0 5,当x=－=4 75(百台）时,ymax=10 78125(万元）,当x>5(百台）时,y＜12－0 25×5=10 75(万元）,所以当生产475台时,利润最年夜(3）要使企业不亏本,即要求解得5≥x≥4 75－≈0 1(百台）或5＜x＜48(百台）时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6 解 (1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,当a2－1≠0时,其充要条件是,∴a＜－1或a>又a=－1时,f(x)=0满足题意,a=1时分歧题意故a≤－1或a>为所求(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞）上的任何值,则f(x)的值域为R,故有,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时,t=2x+1符合题意而a=－1时分歧题意,∴1≤a≤为所求7 解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z 台,由题意得x+y+z=360①②x>0,y>0,z≥60 ③假定每周总产值为S千元,则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数S的最年夜值,由①②消去z,得y=360－3x ④将④代入①得x+(360－3x)+z=360,∴z=2x⑤∵z≥60,∴x≥30 ⑥再将④⑤代入S中,得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080由条件⑥及上式知,当x=30时,产值S最年夜,最年夜值为S=－30+1080=1050(千元）得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才华使产值最年夜,最年夜产值为1050千元8 解 (1）如图所示设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,∴S1=πah+πbh=,∴f(x)=①又代入①消c,得f(x)=在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则x==sinA+cosA=sin(A+) ∴1＜x≤(2)f(x)= +6,设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0,－1上是减函数,∴当x=(－1)+1=时,f(x)的最小值为6+8时间：二O二一年七月二十九日。
函数的单调性与最值基础知识(艺考生)
函数的单调性与最值思维导图知识梳理1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间.3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.题型归纳题型1 函数的单调性（区间）【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数2()1f x x x =-+-的单调递增区间为( ) A ．1[,)2-+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,]2-∞-D ．1(,]2-∞【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数y 的单调递增区间是( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【名师指导】判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 题型2 函数单调性的应用【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，若1(3),(2),2a f lnb f lnc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【例2-2】（2020•济南二模）已知函数221,1()|1|,1x x x f x x x ⎧-+-=⎨->⎩，若2(4)(3)f a f a ->，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,1)- B ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞C ．(1,4)-D ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数21,0()1()1,02x x x f x x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩，若2()(23)f a f a >+，则实数a 的取值范围是 ．【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数22,1()(21)24,1x ax x f x a x a x ⎧-+=⎨--+>⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 【名师指导】解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．题型3 函数的值域（最值）【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数(0,1)x y a a a =>≠在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a ，则a 的值为( ) A ．12B ．32C ．23或2 D ．12或32【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数21,2()(04,2a x x f x a log x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为3，则实数a 的取值范围是 ．【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用{min a ，}b 表示a ，b 两个数中的最小值．设(){4f x min x =--，6}x -，则()f x 的最大值为( )A ．4-B ．5-C ．6-D ．10-【名师指导】求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．配套练习1．（2021·浙江高一期末）（多选）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．sin y x =B ．12y x =C ．2log y x =D ．2yx2．（2021·全国高一）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的递增区间为（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(),0-∞D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3．（2021·全国高一）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．增区间是(0,)+∞ B ．减区间是(,1)-∞- C ．增区间是(,1)-∞D ．增区间是(1,1)-4．（2021·全国高一）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-5．（2021·全国高一）已知奇函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，若()()10+-≤f a f a ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2021·北京门头沟区·大峪中学高一期中）已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．（2021·云南省云天化中学高二期中（理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是 （ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2021·全国高一）已知函数()f x 在[]5,5-上是偶函数，且在[]0,5上是单调函数，若(4)(2)f f -<-，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(3)f f -< B ．(2)(3)f f < C ．(3)(5)f f -<D ．()0)(1f f >9．（2021·全国高一）已知偶函数()y f x =在区间(],0-∞上单调递减，那么下列式子成立的是（ ） A ．()()()2611f f f -<< B ．()()()1162f f f <<- C ．()()()6112f f f <<-D ．()()()1126f f f <-<10．（2021·福建厦门市·高一期末）若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞11．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（ ） A ．[1,3]-B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃12．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知321,0(),0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩， 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f c f b f a << B ．()()()f c f a f b << C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f b f c f a <<13．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上递减.若()0.72a f =，()ln 2b f =-，()3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<14．（2021·全国高一）如果奇函数()f x 在区间[]4,2--上单调递增且有最大值6，那么函数()f x 在区间[]2,4上（ ）A ．单调递增且最小值为﹣6B ．单调递增且最大值为﹣6C ．单调递减且最小值为﹣6D ．单调递减且最大值为﹣615．（2021·浙江宁波市·镇海中学高一期末）函数2y x =-____．16．（2021·北京高一期末）已知213211log ,2,33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________________.(用“<”连结)17．（2021·全国高一）已知函数(){}2max ,1M x x x x =-+（该函数表示{}内两个函数的较大者），则()M x 的最小值是__________；18．（2021·全国高一）函数()f x x =+_______．函数的单调性与最值解析题型1 函数的单调性（区间）【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数2()1f x x x =-+-的单调递增区间为( ) A ．1[,)2-+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,]2-∞-D ．1(,]2-∞【解析】解：根据题意，由已知213()()24f x x =---，所以函数在1(,]2-∞上为增函数，故选：D ．【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数y 的单调递增区间是( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【解析】解：令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =，由复合函数同增异减的原则，故函数y [4，)+∞， 故选：C ． 【名师指导】判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 题型2 函数单调性的应用【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，若1(3),(2),2a f lnb f lnc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】解：根据题意，1120324ln ln ln =<<<又由()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则有1(3)(2)2f f ln f ln <<，即c a b <<， 故选：B ．【例2-2】（2020•济南二模）已知函数221,1()|1|,1x x x f x x x ⎧-+-=⎨->⎩，若2(4)(3)f a f a ->，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,1)- B ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞C ．(1,4)-D ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞【解析】解：由分段函数的性质可知221,1()|1|,1x x x f x x x ⎧-+-=⎨->⎩，()f x 在R 上单调递增，若2(4)(3)f a f a ->， 则243a a ->，解可得，4a >或1a <-． 故选：D ．【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解析】解：根据题意，函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩， 区间(,0)-∞上，1()2f x x =-+为减函数，且1()2f x >， 区间[0，)+∞上，22()2(1)1f x x x x =--=-+-，为减函数，且()(0)1f x f =-， 故()f x 在R 上为减函数；又由111163*********()()()()1327243log =<=<<，则有b a c <<；故选：C ．【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数21,0()1()1,02x x x f x x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩，若2()(23)f a f a >+，则实数a 的取值范围是 ．【解析】解：21x y =-在[0，)+∞上是增函数，1()12x y =-+在(,0)-∞上是增函数，且00121()12-=-+，()f x ∴在R 上是增函数，∴由2()(23)f a f a >+得，223a a >+，解得1a <-或3a >，a ∴的取值范围是{|1a a <-或3}a >． 故答案为：{|1a a <-或3}a >．【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数22,1()(21)24,1x ax x f x a x a x ⎧-+=⎨--+>⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：()f x 是R 上的增函数，∴1210212412a a a a a ⎧⎪->⎨⎪--+-+⎩，解得12a ， ∴实数a 的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]． 【名师指导】解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．题型3 函数的值域（最值）【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数(0,1)x y a a a =>≠在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a ，则a 的值为( ) A ．12B ．32C ．23或2 D ．12或32【解析】解：当1a >时，x y a =在[1，2]上递增，y 的最大值为2a ，最小值为a ， 函数x y a =在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a， ∴22aa a -=，解得32a =或0a =（舍)．当01a <<时，x y a =在[1，2]上递减，y 的最大值为a ，最小值为2a ， 函数x y a =在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a， ∴22aa a -=，解得12a =或0a =（舍)．综上，32a =或12a =． 故选：D ．【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数21,2()(04,2a x x f x a log x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为3，则实数a 的取值范围是 ．【解析】解：函数21,2()(04,2a x x f x a log x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠，当2x 时，()213f x x =-，恒成立， 当2x >时，必须()4log 3a f x x =+恒成立， 即：log 1a x -，所以log a y x =在2x >时是减函数， 可得log 21a -，则1012a a-<<⎧⎨⎩，解得1(2a ∈，1)． 故答案为：1(2，1)．【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用{min a ，}b 表示a ，b 两个数中的最小值．设(){4f x min x =--，6}x -，则()f x 的最大值为( )A ．4-B ．5-C ．6-D ．10-【解析】解：画出函数4y x =--和6y x =-的图象如图所示：结合图象，(){4f x min x =--，6,16}4,1x x x x x -<⎧-=⎨--⎩，故()f x 的最大值是f （1）5=-， 故选：B ． 【名师指导】求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．配套练习1．（2021·浙江高一期末）（多选）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．sin y x = B ．12y x =C ．2log y x =D ．2yx【答案】BCD 【解析】选项A. sin y x =的值域为[]1,1-，故不正确. 选项B. 12y x ==[0,)+∞，故正确.选项C. 2log y x =的值域为[0,)+∞，故正确. 选项D. 2y x 的值域为[0,)+∞，故正确.故选：BCD2．（2021·全国高一）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的递增区间为（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．(),0-∞D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，因为0x >时，2()2f x x x =-， 所以22()()2()2()f x x x x x f x -=---=+=-，所以2()2(0)f x x x x =--<，为开口向下，对称轴为x=-1的抛物线， 所以()f x 的递增区间(),1-∞-，故选：A3．（2021·全国高一）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．增区间是(0,)+∞ B ．减区间是(,1)-∞- C ．增区间是(,1)-∞ D ．增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】根据题意，函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，当0x <时，22()2(1)1f x x x x =+=+-，在区间(,1)-∞-上为减函数，在区间(1,0)-上为增函数； 当0x ≥时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，在区间[)0,1上为增函数，在区间(1,)+∞上为减函数；综合可得：()f x 在区间(,1)-∞-和(1,)+∞上为减函数，在区间(1,1)-上为增函数， 故选：D.4．（2021·全国高一）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】 令13log y u =，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u =是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.5．（2021·全国高一）已知奇函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，若()()10+-≤f a f a ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 解：()f x 是奇函数，()()10+-≤f a f a()())11(f f a f a a ∴≤--=-()f x 是定义在(1,1)-上的增函数∴111111a a a a-<-<⎧⎪-<<⎨⎪≤-⎩解得：102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C6．（2021·北京门头沟区·大峪中学高一期中）已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2∴121x x +＜14∴a ≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．7．（2021·云南省云天化中学高二期中（理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是 （ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()(12a f f ->11112(2)(222a a a f f ---⇒->⇒-><111131122222a a a ⇒-<⇒-<-<⇒<<,选D. 8．（2021·全国高一）已知函数()f x 在[]5,5-上是偶函数，且在[]0,5上是单调函数，若(4)(2)f f -<-，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(3)f f -< B ．(2)(3)f f < C ．(3)(5)f f -< D ．()0)(1f f >【答案】D 【解析】函数()f x 在[]5,5-上是偶函数，且在[]0,5上是单调函数， 所以函数()f x 在[5-，0]上也是单调函数，根据(4)(2)f f -<-，可得函数()f x 在[5-，0]上是单调增函数， 故函数()f x 在[0，5]上是单调减函数， 故(0)f f >（1）， 故选：D ．9．（2021·全国高一）已知偶函数()y f x =在区间(],0-∞上单调递减，那么下列式子成立的是（ ） A ．()()()2611f f f -<< B ．()()()1162f f f <<- C ．()()()6112f f f <<- D ．()()()1126f f f <-<【答案】A 【解析】偶函数()y f x =在区间(],0-∞上单调递减， 所以()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，(2)(2)(6)(11)f f f f -=<<.故选:A.10．（2021·福建厦门市·高一期末）若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】B 【解析】∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ．11．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（ ） A ．[1,3]- B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃【答案】B【解析】因为函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数， 所以120a a --+=，解得1a =，(1)()f x f a -<可化为(1)(1)f x f -<，因为()f x 在区间[0,2]a 上单调递增，所以11x -<，解得02x <<. 故选：B12．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知321,0(),0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩， 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f c f b f a << B ．()()()f c f a f b << C ．()()()f b f a f c << D ．()()()f b f c f a <<【答案】A 【解析】由321,0(),0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩知，0x ≥时，3()1f x x =+，由幂函数性质知，()f x 在[)0,+∞上单调递增，值域为[)1,+∞； 0x <时，2()f x x =-，由二次函数性质可知，()f x 在(),0-∞上单调递增，值域为(),0-∞；故由两段的单调性及值的分布可知，()f x 在R 上单调递增. 又 1.22a =，1 1.22222<<，即24a <<；()0.80.810.81222b ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，00.81222<<，即12b <<；552log 2g 4lo c ==，555log 1log 4log 5<<，即01c <<；故c b a <<，故()()()f c f b f a <<. 故选：A.13．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上递减.若()0.72a f =，()ln 2b f =-，()3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】因为()f x 定义在R 上的偶函数在区间(),0-∞上递减，所以在(0,)+∞上递增，()0.72a f =，()()ln2ln2b f f =-=，()3log 2c f =，因为0.730log 2ln 212<<<<，()f x 在(0,)+∞上递增，所以()()0.73log 2(ln 2)2f f f <<，即c b a <<，故选:B.14．（2021·全国高一）如果奇函数()f x 在区间[]4,2--上单调递增且有最大值6，那么函数()f x 在区间[]2,4上（ ）A ．单调递增且最小值为﹣6B ．单调递增且最大值为﹣6C ．单调递减且最小值为﹣6D ．单调递减且最大值为﹣6【答案】A 【解析】因为()f x 为奇函数，则()f x 在对称区间上单调性相同， 所以()f x 在[]2,4上为单调递增函数， 根据()f x 的图像关于原点对称，且(2)6f -=所以()f x 在[]2,4上的最小值为(2)(2)6f f =--=-， 故选：A15．（2021·浙江宁波市·镇海中学高一期末）函数2y x =-____．【答案】1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】设)0t t =≥，则273t x -=，所以原函数可化为：()211033y t t t =-++≥， 由二次函数性质，当32t =时，函数取最大值1312，由性质可知函数无最小值，所以值域为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 16．（2021·北京高一期末）已知213211log ,2,33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________________.(用“<”连结) 【答案】a c b << 【解析】 解：221log log 103a =<<， 103221b =>=，21139c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故a c b <<.故答案为：a c b <<.17．（2021·全国高一）已知函数(){}2max ,1M x x x x =-+（该函数表示{}内两个函数的较大者），则()M x 的最小值是__________；【答案】2【解析】由题意可得()M x 的图象如下：∴如上图知：()M x 的最小值为2-故答案为：218．（2021·全国高一）函数()f x x =+_______． 【答案】2 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值. 【解析】设)0t t =≥，则21x t =-，所以原函数可化为：()2210y t t t =-++≥，由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2. 故答案为：2.。
高一函数第三章知识点归纳
高一函数第三章知识点归纳函数是数学中的重要概念，在高一数学中，函数的学习是一个重要的环节。
在高一函数第三章中，我们学习了一些与函数相关的知识点，下面我将对这些知识点进行归纳总结。
一、函数的性质1. 定义域和值域：对于一个函数，其定义域是指可以使函数有意义的变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所取得的全部函数值的集合。
2. 单调性：函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种类型。
如果对于定义域内的任意两个不同的实数，函数值满足随着自变量增大（减小）而增大（减小），则函数是单调递增（递减）的。
3. 奇偶性：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，函数为偶函数；当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，函数为奇函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，对于定义域内任意一点x，有$f(x+T)=f(x)$，则函数具有周期性。
5. 最值与最值点：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为最大值和最小值，在最值点处取得最大值和最小值的点称为最值点。
二、函数的图像与性质1. 基本型函数的图像：包括常函数、一次函数、二次函数和绝对值函数等基本型函数，我们需要了解这些函数的图像和性质。
2. 函数的平移和伸缩：通过对基本型函数进行平移和伸缩变换，可以得到其他种类的函数。
平移和伸缩的参数可以使函数的图像发生左右平移、上下平移、水平压缩、垂直拉伸等变化。
3. 函数的对称性：函数的对称性分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种情况。
通过函数的表达式可以确定函数是否具有对称性。
4. 零点和零点的个数：函数的零点是函数值为0的自变量的取值，函数可能存在一个或多个零点，我们可以通过方程的求解来确定函数的零点个数。
三、函数的运算1. 函数的加法和减法：两个函数的加法和减法的定义是将两个函数对应的函数值相加（或相减），而这两个函数在同一定义域上有意义。
2. 函数的乘法和除法：两个函数的乘法和除法的定义是将两个函数对应的函数值相乘（或相除），需要注意的是，当除法运算时，被除数函数的值不能为零。
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求函数值域（最值）的一般方法： 1、利用基本初等函数的值域；2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xk x y 型函数）4、函数的单调性：特别关注)0(>+=k xk x y 的图象及性质5、部分分式法、判别式法（分式函数）6、换元法（无理函数）7、导数法（高次函数）8、反函数法9、数形结合法 二、基本训练： 1、函数的值域是131-=xy ( ) (A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞-(C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞ 2、函数)2(log log2x x y x +=的值域是（ ）A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞3、函数2y =的值域为＿＿＿＿。
4、值域 ①223x x y +-=②12++=x x y ③312-+=x x y④函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______1、①函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34②函数1222--=xxy 的值域为 （ ）A ．（),1[]2,+∞--∞-B ．),1()2,(+∞---∞C ．}{R y y y ∈-≠,1D ．}{R y y y ∈-≠,2③已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为（ ）A 、[2, 5]B 、[)1,+∞C 、[2, 10]D 、[2, 13] ④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________2、求下列函数的值域： ①()271011x x y x x ++=>-+ ②x x y -+=123、二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。
4、已知函数21ax b y x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
变题：已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值。
1、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 （ ） A ．151+=-xy B ．xy 21-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31( 2、32()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上最大值3，在[]2,2-上的最小值是A ．5-B ．11-C ．29-D ．37-3、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A 、[ 1，+∞） B 、[0，2] C 、（-∞，2] D 、[1，2]4、函数)10(log)(<<=a x x f a在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（）A.42 B.22 C.41 D.215、函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为（）（A ）41 （B ）21 （C ）2 （D ）46、若122=+y x ，则12--x y 的最小值是__________43y x +的最大值是______________7、已知函数)12lg(2++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________8、下列函数的值域分别为： （1）11+-=eexx y （2） xx y 2225.0-= （3）33x x y -=（4）4522++=x x y9、已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。
10、二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足：)3()5(-=-x f x f 且x x f =)( 有等根， ⑴ 求)(x f ；⑵ 是否存在)(,n m n m <，使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]3,3[n m 。
11、已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值 ；若对任意),1[+∞∈x ，)(x f 0>恒成立，试求实数a 的取值范围。
1、函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．： 如果_____，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______，那么函数)(x f 为偶函数.（2）奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称. （3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .2、函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.二、基本训练：1、以下五个函数：（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ；（3）xy 2=；（4）x y 2log =；（5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________ 变题：已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 的奇偶性如何？ 2、函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________3、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______4、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）以上均不对 5、函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ ）（A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）可能是奇函数也可能是偶函数（D ）不是奇函数也不是偶函数 例1、（1）如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ （2）若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______（4）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( )（A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 例2、判断下列函数的奇偶性（1）2|2|1)(2-+-=x xx f ； （2）221()lg lgf x x x=+； （3）xx x x f -+-=11)1()(例3、设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果23lg)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f例4、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。
变题：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1=x 对称，求证：)(x f 是周期函数。
1、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是 （ ） （A ）))(,(a f a -（B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))1(lg,lg (af a --（D ）))(,(a f a --2、)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f（A ）0 （B ）2T （C ）T （D ）2T -3、已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是 （ ） （A ）奇函数（B ）偶函数（C ）可奇可偶函数 （D ）不能判定奇偶性4、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，0)2(=f ，则)(x f =0在（0，6）内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．25、 （05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2xxf x aa-=+（D ）2()ln 2xf x x -=+6、（04年全国卷一.理2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xx x f 则若（ ）A ．bB ．－bC ．b1 D ．－b17、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（）（A ）f(sin6π)<f(cos6π)（B ）f(sin1)>f(cos1)（C ）f(cos32π)<f(sin32π)（D ）f(cos2)>f(sin2)8、(97理科)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③(C)①与③(D)②与④9、函数)(x f y =在R 是奇函数，0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f =______10、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____11、下列函数的奇偶性为 （1）x ex f x-+=)1ln()(2 （2）⎩⎨⎧<+≥-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f12、已知)21121()(+-=xx x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f13、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。