第三章 力矩 力偶系

第三章 力矩 力偶系理论
§3-1 力对点之矩（力矩） 力对点之矩（力矩） 力对刚体的移动效应用力矢量来度量 力对刚体的转动效应用力矩来度量 一、力对点之矩
B F O
定义：
r
h
A
Mo F = r×F
()
矢量积形式
Mo F = r × F
二、 合力矩定理
()
大小： r × F = ± F ⋅ h = ±2 ⋅ ∆OAB 方向： 由右手定则判定
Q dQ A x xC l dx C q
B
解：取微段 dx ，其上作 用力大小dQ=q(x) dx 用力大小dQ=q(x) ·dx ， q(x)=(x/l)·q 其中 q(x)=(x/l) q 。则分 布载荷的合力大小为
Q =
∫0
l
1 q ( x )d x = ql 2
设合力作用线距 A 端的距离为 xC ，根据合力矩定理
即：
MR = ∑Mi = 0
i=1
n
平面力偶系的平衡方程：
∑M = 0

例:曲柄连杆活塞机构的活塞上受力 F = 400 N。如 。
不计所有构件的重量， 不计所有构件的重量，试问在曲柄上应加多大的力 方能使机构在图示位置平衡？ 偶矩 M 方能使机构在图示位置平衡？
F F B B
FB
FOx = FB FOy = F
= rA ×F + rB ×F' = rA ×F + rB ×(−F) = (rA −rB)×F = rAB×F
M B rBA F A
A rA O
F' = −F
F’
结论: 结论:力偶的第二性质 力偶使刚体转动的效果，不因矩 心位置的不同而变化，而是完全 决定于力偶矩。— 决定于力偶矩。—力偶是自由矢 量。
M O ( F ) = r × F × sin θ
定理：如果力系存在合力,则合力对某一点的矩等于力 系中各分力对同一点的矩的矢量和。 即：若作用在刚体上 {F , F ,L F } ⇔{F } 若 , n 1 2 R
则：
MO (FR ) = ∑MO (F ) i
i=1
n
受按三角形分布的载荷作用。 例 水平梁 AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的最 试求合力作用线的位置。 大值为 q ，梁长为 l 。试求合力作用线的位置。
Q ⋅ xC =
∫0 q ( x ) ⋅ x ⋅ d x
xC
l
将 Q 和 q(x) 的数值代入可得
2 = l 3
§3-2 力偶理论
一.力偶和力偶矩
1、力偶 ·力偶的作用 效果 · 力偶的第一性质
力偶的定义： 力偶的定义：由大小相等，方 向相反且不共线的两个平行力 所组成的力系，称为力偶。记 之为： ( F, F ' )
25 N 0.4 m
M=10 Nm
25 N
§3-3 力偶系的合成与平衡
力偶系合成的结果为一合力偶
{ M1 , M 2 , L , M n } = { M R }
n
即：
MR = ∑ Mi
i =1
力偶平衡的充分必要条件: 力偶平衡的充分必要条件:
{ M 1 , M 2 ,L , M n } = { M R } = {0}
F
h
F
'
h——力偶臂
力与力偶的作用效果比较： 力与力偶的作用效果比较：
FA FB
F'
F
力既可以使刚体移动，还可以使之转动；而力偶对刚体只有唯 一的作用效果——使之发生转动。
力偶的第一性质： 力偶的第一性质：力偶的作用效果是使刚体发生转 动。力偶 力偶不能与一个力等效。——表明力偶没有合 力偶 力，不能用一个力与之平衡——力偶只能与力偶平 力偶只能与 衡。
力偶与力同属机械作用的范畴——两个基本的机械作用量。
二、力偶矩矢· 力偶的第二性质 力偶矩矢 力偶的三要素
（1）构成力偶的两个力的大小 （2）力偶臂的大小 （3）力偶的转向。 O a
F
h
F
如何度量力偶的转动效应？
'
力偶矩的一般定义 (矢量） F B h F’ rB
rBA
M O = M O ( F ) + M O ( F ')
FOx ⋅ O B − M = 0
A
M A O O M
FOy
FOx
推论1 力偶可在其作用面内任意移动（ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动（或移到 另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应. ),而不改变对刚体的作用效应 另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应.
⇔
⇔
推论2 只要保持力偶矩矢的不变， 推论2 只要保持力偶矩矢的不变，则力偶对刚 体的作用效应就不变. 体的作用效应就不变.