第8章 非正弦周期电流电路

含理想变压器的非正弦周期电流电路如图8.5所示，已知
u S (t ) = [10 + 200 2 cos100t ]V ， 1 = 100Ω ， 2 = 25Ω, R3 = 100Ω ， R R
C1 = 0.5 × 10 −4 F , C 2 = 10 −4 F , L = 0.25H，试求电压源发出的有功功率P。
如果给定的函数是周期性的，同时又满足数学中的狄里赫利条件（即 在有限的区间内，只有有限个第一类间断点，有限个极大值和极小 值），那么，它就可以展开成一个收敛的傅氏级数， 即
f (t ) = a 0 + ∑ (a k cos kω t + bk sin kω t )
式中
∞
（8.1）
ω=
2π T
k =1
2 k 2 k
k
a 0 是f (t ) 在一个周期内的平均值，也称为恒定分量（或直流分量）。
f 频率为kω 的正弦量称为 (t ) 的 k 次谐波。 = 1 时，为基波 k 2 T 1 2π a k = ∫ f (t ) cos kω tdt = ∫ f (t ) cos kω tdt T 0 π 0 2 T 1 2π bk = ∫ f (t ) sin kω tdt = ∫ f (t ) sin kω tdt T 0 π 0
R1 = R2 = 10Ω, L = 2 H。试求（1）电压源电压u(t)和电流i(t)的有效值，
（2）电压源发出的平均功率P。
L u(t) R1 R2 i N
图8.3 例8.2图
解
U = U 02 + U12 + U 32 = 102 + 1002 + 102 = 101V
I = I 02 + I12 + I 32 = 12 + 22 = 2.24A
把一个周期函数展开称为谐波分析。
例 8.1 一个周期性电压信号u(t)其波形是矩形波, 如图8.1所示，试求 u(t) 傅里叶级数的展开式。
u (t )
Um
π
0 -Um
2π
ωt
T 2
T
t
图8.1 例8.1图
解 从波形可以看出u(t)是奇函数,u(t)在一个周期内的表达式为
T u (t ) = U m 0≤t ≤ 2 T u (t ) = −U m ≤ t ≤T 2 T 1 T 1 2 1 T a 0 = ∫ u (t )dt = ∫ U m dt + ∫T (−U m )dt = 0 T 0 T 0 T 2
=
1 2
∠45° A
电流的瞬时值为
i (t ) = cos(100t + 45°) A
电路的平均功率为
P = U 0 I 0 + U 1 I 1 cos ϕ 1 = 200 ×
1 2
cos(−45°) = 100W
例8.5
含互感的非正弦周期电流电路如图8.6所示，已知
R ， 1 = R2 = 100Ω ， C = 10 −4 F , L0 = 1H ，1 = L2 = 2 H， = 1H ，试求 i1 (t ), u 2 (t ) L M 及电压源发出的平均功率P。
I 10 = U 0 10 = = 0.1A R1 100
（2）当电压源的一次谐波分量作用于电路时，设U S 1 = 100∠0°V ，则有 1 jω L0 (− j ) ωC j100 × ( − j100) Z0 = =∞ = 1 j100 − j100 jω L0 − j ωC . 电路对于电源的一次谐波呈显出并联谐振。故 I 11 = 0 （3）当电压源的二次谐波分量作用于电路时，设U S 2 = 50∠ − 45°V ， 则有
电路消耗的平均功率为
P = U 0 I 0 + U 1 I 1 cos ϕ 1 + U 3 I 3 cos ϕ 3 = 10 × 1 + = 10 × 1 + = 22.5W 20 2 20 2 × 1 × cos 45° + 5 × 0.5 cos(30° − 30°) × 2 + 2.5 2
例8.4
i R3 C1 R1 u(t) C2 2:1 * * R2
i R3
C1
Z1
L
u(t)
(a) 图8.5 例8.4图
(b)
解 （1）当电压源的直流分量作用于电路时，由于电容对直流相当于开路， 则有 I 0 = 0 （2）当电压源的交流分量作用于电路时，将理想变压器付边阻抗折算 到原边，则有
Z in = n 2 ( R2 + jω L2 ) = 4( 25 + j25) = (100 + j100)Ω
U 02 U 12 U 32 10 2 100 2 10 2 P1 = + + = + + R1 R1 R1 10 10 10 = 10 + 1000 + 10 = 1020W
P2 = U 0 I 0 + U 1 I 1 cos ϕ 1 = 10 × 1 + 100 × 2 cos 60° = 10 + 100 = 110W
2U m
cos 当k为偶数时， kπ = 1，故得 bk = 0
4U m cos 当k为奇数时， kπ = −1 ，故得 bk = kπ
因此，得
1 1 u (t ) = [sin ω t + sin 3ω t + sin 5ω t + ⋅ ⋅ ⋅] π 3 5
可以看到其结果每项都是奇函数，而k也是奇数，所以其结果又是 奇谐波。
K =1
∞
上式右边平方后展开得
1 T 2 I 0 dt = I 02 T ∫0 2 I km 1 T 2 2 I km cos (kω t + ϕ k )dt = = I k2 T ∫0 2
1 T
∫
T
0
2 I km cos(kω t + ϕ k ) I µ m cos( µ ω t + ϕ µ )dt = 0
第八章 非正弦周期电流电路
非正弦周期电流电路在这里是指电路是线 性的，而激励是非正弦周期激励，其主要内容 有：周期函数分解为傅里叶级数，周期量的有 效值，平均值，非正弦周期电流电路的计算和 平均功率。
8．1 周期函数分解为傅里叶级数 ．
设周期电流，电压可用一个周期函数来表示，即
f (t ) = f (t + kT ) 其中 T为周期 K=0,1,2,3 ,· · ·
k≠µ
这样求得非正弦周期电流i 的有效值为
2 I = I 02 + I 12 + I 2 + I 32 + ⋅ ⋅ ⋅
同理得非正弦周期电压u的有效值为
2 U = U 02 + U 12 + U 2 + U 32 + ⋅ ⋅ ⋅
对于任一个无源一端口网络，如图8.2所示，若端口电压u和端口电流i 均为非正弦量，则无源一端口网络吸收的瞬时功率为
例8.3
非正弦周期电流电路如图8.4所示，已知
u (t ) = [10 + 20 cos ω t + 7.07 cos(3ω t + 30°)]V
R = 10Ω, ω L1 = 2.5Ω, ω L2 = 5Ω, 1 = 15Ω ωC
试求（1）电路消耗的有功功率；（2）电流 i(t)及其有效值I, 电阻电压uR(t) 及其有效值UR。
上式还可以写成另一种形式
f (t ) = A0 + ∑ Akm cos(kω t + ϕ k )
k =1
∞
（8.2）
公式（8.1）和公式（8.2）两式间的关系为
a0 = A0 , a k = Akm cos ϕ k , bk = − Akm sin ϕ
− bk Akm = a + b , ϕ k = arctan( ) ak 1 T 在（8-1）式中，系数 a 0 = ∫ f (t )dt T 0
= 10 + j7.5 − j7.5 = 10Ω
可见电路对三次谐波发生串联谐振，设 U 3 = 5∠30°V
. . U 3 5∠30° I3 = = = 0.5∠30° A, U R 3 = R I 3 = 10 × 0.5∠30° = 5∠30°V Z3 10 . .
.
电流的瞬时值为
i (t ) = [1 + 2 cos(ω t − 45°) + 2 0.5 cos(3ω t + 30°)] A
其有效值为
I = I 02 + I 12 + I 32 = 12 + 12 + (0.5) 2 = 2.25 = 1.5 A
电阻电压的瞬时值为
u R (t ) = [10 + 210 cos(ω t − 45°) + 2 5 cos(3ω t + 30°)]V
其有效值为
U R = 10 2 + 10 2 + 5 2 = 15V
.
.
U 20 20∠0° ∠0°V , I1 = 1 = = 1∠ − 45°V Z1 2 2 × 210∠45°
.
.
U R1 = R I 1 = 10 × 1∠ − 45° = 10∠ − 45°V
.
(3)当电压的三次谐波分量单独作用于电路时，由于感抗与频率成正比， 容抗与频率成反比，则有
Z 3 = R + j3ω L1 + j3ω L2 (− j 1 3ω C 1 j(ω L2 − ) 3ω C )
而
Z1 =
(100 − j100)(100 + j100) = 100Ω 100 − j100 + 100 + j100