1.2 数列的极限

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1
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2
0
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• • •
1
• •
•
在数学上如何来刻画与 1 无限接近这个现象呢？
答： 用 “距离” 来衡量
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xn 与 1 的距离
可见，n 越大，| xn1| 就越小，即 xn 与 1 就越接近. 给定 0.01,
即从第100项往后， xn与 1 间的距离就可以小于 0.01.
割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可 割，则与圆合体而无所失矣。
正24边形
正6边形
A1
正12边形
A2
基本思想是用内接正 6 2 n1 边形的面积 An 来近似圆 面积，而且随着 n 的无限增大，多边形的面积 An 将 无限接近圆面积 .
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前面两个古代事例都有一个共同点就是出现了“无 限接近”这个思想，这正是极限概念的原始面貌。极 限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的。杖棰 问题和割圆术使用的都是极限论的方法。第一个是杖 棰剩余问题， 看作一系列变化着的剩余趋向于一个确 定量的问题。而第二个则是把一个固定不变的量看作 是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面 积的大小。
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对于一般的数列{ x n }，总会出现两种情形： 当 n 时，x n a ， 当 n 时，x n 不趋于任何确定的数。
例如：
n x n 1n 0 . 2 n x n n 1 . n 1
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• 数列收敛的描述性定义 设有数列{ x n }，如果当 n 无限增大时，x n 无限接
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二、收敛数列的性质
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定理.
证:
若数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界. 取 = 1 则 正整数 N ,
当 n > N 时，有 | xn a | < 1, 从而有
再取
则有 注：数列收敛 故数列{xn}有界。 数列有界
如，数列
有界但不收敛.
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> 0, 正整数 N，当n > N 时, | x n a | < .
数列极限的几何意义
坐标为 xn ( n N +1 ) 的点都落在区间 ( a , a + ) 内，区间外最多有N 个点. 也就是说，除了有限个点外，在 a 的任何邻域内 含有数列{ xn } 的几乎所有的项.
因此， x n → a 的意义就是
| x 何表示| x n - a | 可任意地小？
x n 与 a 的接近程度可用不等式 | x n - a | < l 来表。
l 很小可表示 x n 与 a 很接近，然而，任何确定的很小的 数 l 均不能表示| x n - a | 可任意地小。
近于一个常数 a，则称当 n 无限增大时，数列{ x n }的极
限为 a 或数列{ x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列{ x n }的
极限，记作 lim x n a 或 x n a ,( n ).
n
如果当 n 无限增大时，x n 不趋向 于任何常数，就称数列{ x n }的极限不 存在或数列发散。
分析：
n 无法解出!
nπ | cos | 1 2 , 故只需要 注意到 n n
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证:
1 n
从而
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例3. 设
q 1 , 证明等比数列
的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
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什么叫做 x n无限接近于一个常数 a ？
x n 无限接近于一个常数 a 或 x n 趋向于a 都是定性的
描述，而非定量的和客观的表达，因为它依赖于考察者
的主观判断。
什么叫做 n无限增大？
n 10000，n 10 100 可否称作 n 无限增大？如果不
能，n 变化到什么样的值才能称为 n 无限增大？
中逐步实现的，即| x n - a |< 并非是 数列变化的初始状态，而是当 n 增大 到一定程度时才发生，为定量表达 n 变化的这一程度可用一个正数 N 来刻画，即存在某正
数 N，使得当 n > N 时有 | x n - a |< 成立。
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另一方面，表示 n 增大程度的具体值 N 又和预先给
时也开启了现代数学之门。 只有掌握极限理论才能深入的解释和理解 微积分理论乃至现代数学的思想和方法。
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一、数列
1. 数列的定义
若按照某法则，对每一个n N+，对应着一个确定 的实数 xn，则序列 x1, x2, … , xn , … 就叫做数列，简记 为数列{ xn }.
如，
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3

1 n1 1
2n 逐项写出该数列各项有 1, 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , , 0 , 1 , , 3 4 5 n 可见当 n 时，x n 趋于 0 ，故该数列收敛，其
.
极限为 0 .
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(1) 精确表达数列极限的必要性 微积分发展初期，人们往往从实际出发考虑问题，
给定0.0012 , 即从第833 项往后的所有项 与1 间的距离都小于 0.0012 . 给定 10 – 9 , 即从第10 9 项往后的所有项 与1 间的距离小于 10 – 9 .
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初步推断：无论有一个多么小的正数ε， 总可以找到一个正整数 N， 当n > N 时，| xn – 1| < ε .
因为当 n 时， 1n 0 ，故该数列收敛，且极
限为 0 .
2
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结束
2
1 n1 .
逐项写出该数列各项有
1 ,-1 ,„ ,(-1)n-1 ,„， 易见当 n 时，x n 始终在 1 和 -1 之间交替取值,
它不可能趋于一个确定数，故该数列发散。
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几何上，数列可看作是数轴上一个动点的轨迹.
3
0
•
1
•
2
• 5 • •
6
4
1
4
6
• •
5
3
•
2
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2. 有界数列
对于数列{ xn }，若存在 M > 0, 使得对数列中所 有的项 xn 都成立 | xn | M , 则称数列{ xn }有界，若 这样的 M 不存在，则称数列{ xn }无界.
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3. 中国古代的极限思想
(1) ―截杖说”（庄子）—— 一尺之棰，日取其半，万世不竭。
第一天剩下1/2， 第二天剩下1/4，第三天剩下1/8， …，第n 天剩下1/2n, … … 所以，所余杖棰长度组成数列
显然, 该数列中的项随着n 的增大越来越接近 0.
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(2) “割圆术”（刘徽）——
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例：试由定义判别下列数列的敛散性 1 , 1 n1 n1 1 1 , 3 1 2 2n 2n


.
考察数列通项的变化趋势
由定义判别数列的敛散性一般是通过观察法考察给
定数列的通项是否趋向于一个确定常数。
1
.
1 n 2
q n1 0
故
n
lim q n1 0
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用定义证明数列极限的证明思路
关键找 N !
a. 分析过程： 从最后的结论不等式 | xna | < 出发， i. 解出n 应大于怎样的数， 对此数取整即得 N. ii. 解不出n ，必须对结论不等式进行适当的放大， 使放大后的不等式能解出n . b. 证明过程： 取定上述 N ，将分析过程逆推.
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极限的 N 语言
> 0, 正整数 N，当n >N 时， | x n a | < . 说明： (1) 是任意的，这样才能表示无限接近。 (2) N 是相应于 的，只要 N 存在，而不必找其最小值。
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例1.
分析：
证:
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例2.
第一章
第一章 函数与极限
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
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结束
极限概念是由求某些实际问题的精确解而 产生的。正是由于极限的概念，建立了有限与 无限、变与不变的联系。由极限概念产生的极 限理论则构成了微积分的基础，而微积分的创
立不仅完成了常量数学到变量数学的跨越，同
小结
1. 数列，有界数列 2. 数列极限的定义及其“ — N ‖ 语言的描述， 收敛数列的几何意义。 3. 收敛数列的性质（有界性，保号性）
即 N = N( ). 为说明 x n → a 这一事实，
N 对 的依赖关系 N = N( )的具体形式 并不重要，重要的是 | x n - a |< 总能发 生或成立，即对 x n 的下标 n 变化而言， 重要的是这样的 N = N( )的存在性。