六同第三讲直线型面积计算.doc
六年级奥数 几何;第3讲;直线型面积_三_;教师版
第三讲 直线型面积（三）1. 相似模型的熟练运用；2. 燕尾定理模型的熟练运用.一、相似三角形性质(平行线分线段成比例)相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）ADAB=AE AC=DE BC=AG AFE DAG G E D BA相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方：22ABC ADE S AB S AD ΔΔ=. 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化． 二、燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ΔΔ=．具体关系如下：S ΔAGC :S ΔBGC =S ΔAGD :S ΔBGD =AD :DBS ΔAGB :S ΔCGB =S ΔAGF :S ΔCGF =AF :FC S ΔABG :S ΔAGC =S ΔBGE :S ΔCGE =BE :EC GFE DC B A上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO Δ和ACO Δ的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．板块一：相似模型【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =×=+．【巩固】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷×=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．【例 2】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFGS =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份． 所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．【例 3】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．FAEDCB【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BC AF CE EF =，::DC AE CF EF =，设正方形的边长为cm x ，所以有1BC DC CE CF AF AE EF EF +=+=，即11510x x+=，解得6x =，所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔列方程即151015x x−=，解得6x =【例 4】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？GNPAD CB【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN AP BC AB =，PH BPAD AB=，设正方形的边长为x 毫米，PN PHBC AD +=1AP BP AB AB+=，即112080x x +=，解得48x =，即正方形的边长为48毫米．【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △ 边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．E H GMFAD CB【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DE AD BC AB =，DG BDAH AB=，所以有1DE DG AD BD BC AH AB AB +=+=，设DG x =，则2DE x =，所以有21128x x +=，解得247x =，4827x =，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．【例 5】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO +的面积是ABO +面积的几倍？ABCDO EFAB CD O【解析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO +的面积等于CBO +的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==+++，即CDO +的面积是ABO +面积的3倍．【例 6】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ABCD E FGNABCDE FG【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且相似比为:4:121:3EF DC ==， 所以:1:3GN GM =，又因为12MN GM GN =−=，所以()18GM cm =，所以三角形GDC 的面积为()2112181082cm ××=．【例 7】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？B MNE【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：31223NF =++；12312EM =++， 则59NF =，53EM =， 19512225330S ⎛⎞⎛⎞=×−×−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠阴【例 8】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．DABC EFG【解析】因为DA ∥BE ，根据相似三角形性质知DG AGGB GE=， 又因为DF ∥AB ，DG FGGB GA=， 所以AG FGGE GA=，即2225922515AG GE FG =⋅=×==，所以15AG =．【例 9】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCB GFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==××÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =×÷=△，4441232247AEF S =×−×÷−×÷−=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==××÷=+△△．【例 10】 已知长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影EHO △的面积是多少厘米？HO DCBAABC DO H【解析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么3ED AD ==份、2BF FG GC ===份，大家能在图形中找到沙漏EOD △和BOG △：有34ED BG ∶=∶，所以34OD BO =∶∶，相当于把BD 分成(34+)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：EHD △和BHF △也是沙漏，32ED BF =∶∶，由此可以推出：32HD BH =∶∶, 相当于把BD 分成(32+)5份，那么我们就可以把BD 分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD 占15份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 则可知BED △的面积为357042÷=，在BD 为底的三角形中HO 占6份，则面积为：3563235×=(平方厘米).【例 11】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．D E GF【解析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =++．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =++，所以:1:18CFG ABC S S =++，那么18CFG aS =+．【例 12】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．ABCDEF GHO【解析】由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==， 又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==，而()()11534cm 22AO AF ==×+=，所以()10404cm 1313AG =×=．【例 13】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？SR CDAQ FPSR CAQFP【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MN DC =，所以2PC PM =，又MQ MBQC EC=，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =−=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =××++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S Δ=××=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB ABEF EF ==，22168333ABR ABE S S ΔΔ==×=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ΔΔ==×××=(2cm )，因为MN MPDC PC =，所以13MP MC =，则11424233MNP S Δ=×××=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ΔΔΔΔ−−+=−−+=(2cm )．板块二、燕尾模型【例 14】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCGS S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【例 15】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==×=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =×=××=×××=△△△△，而211323CDE ABC S S =××=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAF EDCBA【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△,设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =×=+△份，310623CDF S =×=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++×+=×+=【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =×=+△ 份,34 2.423EFC S =×=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC S =÷×=△【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?FE D CBA33FE D CBA213【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 16】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCGFED CA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGBS =△份，1BGC S =△份，则11126S =++×=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷×=【例 17】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．HGEDCB AHGEDCB A【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++×=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷×=(平方厘米).【例 18】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在ABC Δ中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ΔΔ==，即32AOB AOC S S ΔΔ=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ΔΔ=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ΔΔΔΔ==×=， 所以::2:1AOB AOE OB OE S S ΔΔ==．【例 19】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ΔΔ==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ΔΔ==，::3:2BCG ABG S S CE EA ΔΔ==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ΔΔΔ=，则419ACG S Δ=，919BCG S Δ=；那么2248551995AGE AGC S S ΔΔ==×=； 同样分析可得919ACH S Δ=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ΔΔ==，::4:19ACG ACB EG EB S S ΔΔ==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ΔΔ==×=，55111919519GHI BIE S S ΔΔ==×=．【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC Δ中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC Δ的面积是阴影三角形面积的 倍．BCDFGHIIHGFDCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ΔΔ==，::1:2BCI ABI S S CF AF ΔΔ==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ΔΔΔ=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ΔΔΔ==++．同理可知ACG Δ和ABH Δ的面积也都等于ABC Δ面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC Δ面积的211377−×=，所以ABC Δ的面积是阴影三角形面积的7倍．【例 20】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =×+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+−解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【巩固】(101中入学考题)一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图).修剪西部、东部、南部各需10分钟、16分钟、20分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？”162010y x FED BA【分析】 如右图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母．即有(10):20:16(16):20:10x y y x +=⎧⎨+=⎩，即有5404216y x x y =+⎧⎨=+⎩，解得2024x y =⎧⎨=⎩所以修剪北部草坪需要202444+=分钟.【例 21】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =×=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎞=−=×=⎜⎟⎝⎠△△△． 根据题意，有157.2528ABCABC S S −=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】（2007年四中分班考试题)如图，ABC Δ中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC Δ的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDEM NF ABC DEMN【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ΔΔ==，而2ACM ADM S S ΔΔ=，所以24ABM ACM ADM S S S ΔΔΔ==，那么4BM DM =，即45BM BD =．那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ΔΔ=××=××=，14721530CDMF S =−=四边形．另解：得出24ABM ACM ADM S S S ΔΔΔ==后，可得111155210ADM ABD S S ΔΔ==×=，则11731030ACF ADM CDMF S S S ΔΔ=−=−=四边形．【例 22】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =−=△，1213721AQG S =−=△． 同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =−−=四边形，139********MNED S =−−=四边形,1151321426NFCE S =−−=四边形,1115321642GFNQ S =−−=四边形【巩固】如图，ABC Δ的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ΔΔ==，::1:2ABK CBK S S AG CG ΔΔ==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ΔΔΔ=，那么111247ACK S Δ==++，11321AGK ACK S S ΔΔ==．类似分析可得215AGI S Δ=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ΔΔ==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ΔΔ==，可得14ACJ S Δ=．那么，111742184CGKJ S =−=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ΔΔ×++=×++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070−=．【例 23】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.IHED CBAINMQPHED CBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==×=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABC S S =△△所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎞=−−=−−=⎜⎟⎝⎠△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =−×−×=阴影【例 24】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHED CBAS RI NM QPGHEDCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =−−−=△同理17MNP S =△ 根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+−=六边形【例 25】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =乙甲baOEDC乙甲baMGOED C 【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =【例 26】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG Δ与CGF Δ的面积之和为 ．BEGH BE GBEG【解析】(法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==， 所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ΔΔ=××=××=-．且22313342EG HF EC EC ==×=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ΔΔ=××=．所以两三角形面积之和为10515+=．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ΔΔ==，::2:1BCG ACG S S BE AE ΔΔ==， 而1602ABC ABCD S S Δ==-，所以3321ABG S Δ=++，160302ABC S Δ=×=，2321BCG S Δ=++，160203ABC S Δ=×=，则1103AEGABG S S ΔΔ==，154CFG BCG S S ΔΔ==， 所以两个三角形的面积之和为15．练习1. 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【解析】根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421DBCE S =−=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△练习2. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？34OFE DB34OF E DB【解析】连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的14，所以431OEB S =−=△,所以:1:3OE EA =,所以:5:8CE CA =,由三角形相似可得阴影部分面积为25258()88×=．练习3. 如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC的中点，则三角形APD 的面积是 平方厘米．ABCDP MKN ABCDP M【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD 的中点N ，连接MN ，设MN 交PD 于K ．则三角形PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三角形PDM 的面积等于182MK BC ××=(平方厘米)，所以8MK=3(厘米)，那么84433NK =−=(厘米)．因为NK 是三角形APD 的中位线，所以823AP NK =×=(厘米)，所以三角形APD 的面积为186823××=(平方厘米)．练习4. 如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===练习5. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCx+3x773FED C【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=练习6. 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．4321【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.练习7. (2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =++，1126BPQ BCQ ABC S S S ==+++．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===++++，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==×==×=++++．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++×=△练习8. 如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==。
第三讲 基本直线形面积公式
正方形长方形平行四边形 三角形 梯形正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图：左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？24？3618在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形，在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：在有关直线形的计算中，计算周长和面积是最常见的两类，我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积。
如图，有一块长方形的田地被分成了五小块，分别种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上茄子地恰好是一个正方形，请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？如图，有一块长方形的田地被分成了四小块，分别种了冬瓜、西瓜、南瓜和黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形，请问：剩下的黄瓜地面积是多少？长宽 边长正方形的面积=边长*长方形的面积=长*宽如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如图： 要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高。
当然我们可以用另外一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下图所示，同样得到相对于这条底的若干条高这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽，长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫底和高。
于是我们有：如下图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离。
平行四边形面积=底*高高 高高底如图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出图中阴影部分的面积。
阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形，如果大正方形的边长是20cm，小正方形的边长是8cm，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？ 三角形中也有相对应的底和高。
第3讲 直线型综合
F，求三角形AEF的面积是多少？
A
D
【答案】： 1 8
【解析】：
F
B
EC
BE:EC＝2:1，所以 AD:EC＝3:1
根据沙漏模型，FD:EF＝AD:EC＝3:1
根据等高模型，S△AEF＝ 1 S△AED＝ 1 ×1× 1 ＝ 1
4
4
28
练习3
如图，正方形ABCD的面积为1，BE＝2EC，BA＝2FA，DE与
【答案】：30 【解析】：如下图，连接等边三角形每边的中点，将等边三角形平均分成4份， 连接正六边形的对角线，将正六边形平均分成6份。因为等边三角形周长和正 六边形周长相等，所以每个小三角形的面积相等，由等边三角形的面积是20 平方厘米，可以算出每个小三角形的面积为20÷4＝5（平方厘米），那么正 六边形的面积为5×6＝30（平方厘米）。
练习1
大长方形中如图摆放了四个小正方形，如果每个小正方形的边长 都是6厘米，那么图中阴影部分的面积是____________平方厘米。
【答案】：126 【解析】：如下图，将大长方形平均分成30份，其中空白部分占16份，阴影 部分占14份。空白部分的面积为6×6×4＝144（平方厘米），则每个小三角 形的面积为144÷16＝9（平方厘米），那么阴影部分的面积是9×14＝126 （平方厘米）。
第三讲
六年级寒假C版课件
直线型综合
数学教研组 编写
知识要点：
小热身
1． 一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别 是12平方厘米，8平方厘米，20平方厘米，整个大长方形的面积是 _________平方厘米。
【答案】：30
小热身
2． （1）如图1，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 6厘米和4厘米，那么图中阴影部分的面积是___________平方厘米。
003直线型面积
３３、一块正方形的钢板，先截去宽 ５ 分米的长方 形，又截去宽 ８ 分米的长方形（如下图），面积 比原来的正方形减少 １８１ 平方分米，原正方形的 边长是多少？
３４、如图 １６－５，长方形 ＡＢＣＤ 的面积是 ２ 平 方厘米，ＥＣ＝２ＤＥ，Ｆ 是 ＤＧ 的中点．阴影部分的 面积是多少平方厘米？ ３５、如图 １６－６，已知 Ｄ 是 ＢＣ 中点，Ｅ 是 ＣＤ 的中点，Ｆ 是 ＡＣ 的中点．三 角形 ＡＢＣ 由①～⑥这 ６ 部分组成，其中②比⑤多 ６ 平方厘米．那么三角 形 ＡＢＣ 的面积是多少平方厘米？
等
于多少？
３０、人民路小学操场长 90 米，宽 45 米，改造后，长增加 10 米，宽增 加 5 米。现在操场面积比原来增加多少平方米？
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31、一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平 方米，如果长不变，宽减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米，这个长 方形原来的面积是多少平方米？
３２、下图是一个养禽专业户用一段长 １８ 米的篱笆和一堵墙围成的一个长 方形养鸡场，求占地面积有最大有多大。
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２１、一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠（如图甲），阴影部分面积
占原纸片面积的 2 ；再把左下角往上折叠（如图乙），乙图中阴影部分面 7
积占原纸片面积的＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （答案用分数表示）．
２２、设正方形的面积为 ｌ，图中 E、F 分别为 AB、
AD 的 中 点 ， GC＝ 1 FC ，则阴影部分的面积 3
奥数几何问题求直线型面积解题方法
奥数几何问题求直线型面积解题方法奥数几何问题求直线型面积解题方法常见解题方法1、代数法将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！例、一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？(六年级7月4日天天练)2、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(7月5日天天练) 例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(四年级7月5日天天练)3、转化法此法就是通过等积变换（重点将在几何五大模型中介绍）、平移、旋转、对称等方法将不规则的图形转化成面积相等的`规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
4、割补拼接法将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式求出原不规则图形的面积。
5、差不变原理一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
6、容斥原理就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
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直线型三角形面积计算
直线型三角形面积计算直线型面积知识要点三角形面积公式：S=12a h 推导式：梯形面积：S= 12（a+b）×h 推导式：平行四边形面积：S=a×h 推导式：【组合图形】例1 下图由两个正方形组成，其边为6cm和4cm，求阴影面积是多少？例2 下图平行四边形的面积是多少？CD多长？例3 下图已知阴影部分的面积28cm2，求平行四边形的面积？例4 下图是一个梯形，面积为52 cm2，里面是一个空白长方形，求阴影部分的面积？练习：1、下图平行四边底边10cm，高5cm，求两个阴影面积之和是多少？2、求下图中阴影部分的面积？3、下图平行四边形ABCD的周长78cm，以CD为底时，它的高是18cm,BC=20cm，求它的面积。
4、下图平行四边形的面积是120cm2，求阴影部分图形中CD的长度。
5、求下图中阴影部分面积（cm2）。
6、求下图阴影部分面积（cm2）。
五大模型：一：等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比二：鸟头定理1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是一样的四、相似三角形模型1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方一：等积变换1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．GE D CBA GE D CBA5、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （6、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
2017年秋季教材-03-直线型图形面积2-S
第3讲直线型图形面积2思维启航一、训练目标知识传递：学会倍比、蝴蝶、鸟头、沙漏、燕尾等模型的几何问题。
能力强化：画图能力、操作能力、分析能力、观察能力。
思想方法：图形思想、转化思想、运动思想。
二、知识与方法归纳组合图形：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：（1）切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；（2）仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；（3）适当采用增加辅助线等方法帮助解题；（4）采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
思维进阶例1.如图所示，已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长为10厘米，正方形CEFG边长为8厘米。
则阴影部分的面积是多少平方厘米？例2.如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是8厘米和10厘米，求阴影部分的面积。
思维训练1.大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，阴影部分的面积是多少？例3.如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，已知三角形ADE的面积是36平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？例4.如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？思维训练2.如图，长方形ABCD 的面积是24，F 是AD 的中点，且E 为AB 的三等分点。
则阴影部分的面积是多少？例5.如右图所示，BE=2EC ，FC=FD ，△ABC 的面积是60平米厘米，那么四边形DBEF 的面积多少平方厘米？例6.如图，三角形ABC 被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，三角形ABC 的面积是多少？D思维深化（训练时间： 满分：120分，训练得分： ）1.计算题。
直线型不规则图形面积的计算方法
直线型平面图形的面积计算一姓名对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、 相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
例如，左图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面三角形的面积，再求出下面平行四边形的面积，然后把它们相加就可以了。
二、 相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例如左图，若求阴影部分的面积，只需先求出长方形的面积再减去三个三角形的面积即可。
三、 直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积，欲求阴影部分的面积15厘米104 231 3 1四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
五、 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、 割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边梯形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。
七、平移法：这种方法是将图形或图形中的一部分平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可将阴影部分往一个角移动，连成一个长方形。
102厘米八、补全法：这种方法是将图形被剪去的部分还原完整后，从而变成基本图形。
直线形的面积
直线形的面积知识要点各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．1．图16-1中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【分析与解】 ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有12ABDABCS BDS BC==,所以A B DS=1122A B CS⨯=⨯180=90(平方厘米)．同理有13A B E A B DA ES SA D=⨯=×90=30(平方厘米)，34A F E AB EF ES SBE=⨯=×30=22.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．2．如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有 EAD 、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADA B D A B D EA S S S AB==．同理36E A HE A D E A D A B DA H S S S S A D=== ．类似的，还可得6FCGBCDS S = ，有()66EAH FCG ABD BCD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB ABC S S = ，6D H G AC D S S = ，有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD ，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，E A A H A B A D⨯⨯=2×3=6，所以EAH S =6ABD S ．类似的，还可得FC G S =6BCD S ，有EAH S +FC G S =6（ABD S +BC D S )=6ABC D S =30平方厘米．连接AC ，还可得E F B S =6ABC S ，D H G S =6AC D S ，有E F B S +D H G S =6（ABC S +AC D S ）=6ABC D S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【分析与解】 方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有A D E D E CS S =A E E C，所以ADE S =A E E C×6.同理有ABE BC ES S =A E E C，所以A B E S =A E E C×7．所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)所以AD E S =767+×39=18(公顷)，ABE S =767+×39=21(公顷.)显然，最大的三角形的面积为21公顷．方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE ×DE)：(BE×EC)． 所以有A B E S ×C D E S =ADE S ×BC E S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即ABE S ×6=ADE S ×7，所以有△A BE 与△ADE 的面积比为7：6，ABE S =767+×39=21公顷，ADE S =667+×39=18公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.4.如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【分析与解】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCS S =A E A C，所以A B E S =A E A C×ABC S =15ABC S同理有AEF S =A F A BABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =16ABC S .类似的还可以得到C D E S =14×45ABCS =15ABCS ，BD F S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DS =ABC S -(AEF S +C D E S +BD F S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ．即DEF ABC三角形的面积三角形的面积为61120．5．如图16-5，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，连接FC ，△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为13y 平方厘米．BC D S =2x+2y=1，BD E S =x+13y=l ×13=13．所以有x+y=0.53x+y=1⎧⎨⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．而阴影部分面积为y+23y=53×0.25=512平方厘米．评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．类似的还有一道题：△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大1.2平方厘米，则△ABC 的面积是_______平方厘米?有兴趣的同学可以自己试试．6．如图16-6，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【分析与解】因为E是DC中点，F为Ac中点，有AD=2FE且阳平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A2D：F2E=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积的44-1=43，即为18×43=24．因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24=48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：运用比例知识，知道：①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比． ②左、右部分的面积相等．③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有∠ABC 为直角，而∠CED=∠ABC ，所以∠CED 也为直角.而CE=CB=5.△A DE 与△CED 同高，所以面积比为底的比，及A D E C E DS S =A E E C=13-55=85，设△ADE 的面积为“8”，则△CED 的面积为“5”．△CED 是由△CDB 折叠而成，所以有△CED、△CDB 面积相等，△ABC 是由△ADE、△CED、△CDB 组成，所以A B C S =“8”+“5”+“5”=“18”对应为12×5×12=30，所以“1”份对应为53，那么△ADE 的面积为8×53=1313平方厘米．即阴影部分的面积为1313平方厘米．8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【分析与解】 不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．所以梯形的面积为12×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x 下底为3x ．9．图16-10中ABCD 是梯形，三角形ADE 面积是1．8，三角形ABF 的面积是9,三角形BCF 的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【分析与解】 设△A DF 的面积为“上”，△BCF 的面积为“下”， △ABF 的面积为“左”，△DCF 的面积为“右”．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.△ADE 的面积为 1.8，那么△A EF 的面积为 1.2，则EF ：DF=AEF S ：A E D S =1.2：3=0.4．△CEF 与△CDF 的面积比也为EF 与DF 的比，所以有A C E S =0.4×AC DS =0.4×(3+9)=4.8．即阴影部分面积为4.8．10．如图16-11，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 △ADD 与△BCO 的面积比为AD 平方与BC 平方的比，即为9：81=19．而△DCO 与△ABO 的面积相等为12，又BCS ABS ×DC O S =ADO S ×BC O S =12×12=144，因为144÷9=4×4，所以AD O S =4，则BC O S =4×9=36，而梯形ABCD 的面积为△ADO、△BCO、△ABO、△CDO 的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．即梯形ABCD 的面积为64平方厘米．11．如图16-12，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【分析与解】 连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则 BFE 的面积与黄色 CDE 的面积相等为6. 6636FED BC E BFE C DE S S S S ⨯=⨯=⨯= ，所以364BCE S =÷= .9615BCD BEC CDE S S S =+=+= .又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABD BCD S S == 所以FED 15411ABD S S S =-=-= 绿色四边形ABEF 红色. 绿色四边形面积为11平方厘米．12．如图16-13，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积．【分析与解】 因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC =16 ×CD，即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米．13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?【分析与解】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：大正方形的面积为32111105510+++=，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为32:105=3：4，所以IG=47．下面两个长方形的面积之比为11:510=2：l ，所以IG=13．那么LI=4157321-=，那么阴影小正方形的面积为55252121441⨯=．14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH ．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．DGH 、 HMG 的面积相等， GCF 与 GPF ； FBE 与 EOF ， HAE 与 HNE 这3对三角形的面积也相等．阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100． 阴=(6+100)÷2=53．即阴影部分的面积为53平方厘米．15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：矩形的面积，(49+①+35)+(13+②)= 12①+阴+②=1矩形的面积．2比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．。
六年级奥数-直线形面积的计算B解答
六年级奥数－直线形面积的计算B 解答1 将任一个三角形分成面积相等的六个三角形，用四种不同的方法应怎么分？ 解答：2 大小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
解答：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了。
用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD 与三角形BEF 的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
3 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
解答：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。
4 下面左图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9厘米2，求ED 的长。
解答：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）5 右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE 比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD 的长。
解答：连结CB 。
三角形DCB 的面积为4×4÷2-2=6（厘米2）， CD=6÷4×2=3（厘米）。
06直线型面积1
第六讲 直线型面积（一）直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如左图12::S S a b =③两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特例：夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【典例1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E【变式1】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB【典例2】(2008年北京四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．A【变式2】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？BaS 2S 1DC BA【典例3】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．BA【变式3】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA二、鸟头定理（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 (或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A【典例4】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【变式4】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBA【典例5】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【变式5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB CDC EB A【典例6】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【变式6】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB A能力检测1.如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？2.(第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红F D ECB A3.(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN=.那么，阴影部分的面积是多少？4.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．F ED CBA5.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA6.如图，在ABC△中，延长AB至D，使B D A B=，延长BC至E，使12C E B C=，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多少？AB C D EF。
一直线等分面积课件
一直线等分面积的定义
1 定义
如果将一块平面图形分为两部分，其中间有一条直线等分了这两部分的面积，则这条直 线称为把这个平面图形等分的直线，或称分割线。
2 性质
等分线的相交点必在图形重心所在的垂线上。
3 实例
以正方形为例，如果将正方形沿一条对角线等分，我们可以得到两个面积相等的三角形。
等分面积问题的背景与实际应用
一直线等分面积ppt课件
本课件将为您介绍一直线等分面积的数学基础、背景与应用、解决等分面积 问题的方法，并提供实例示范和讨论总结。
数学基础
三角形面积公式
通过三角形面积公式，我们可以学 习面积计算的基本理论和方法。
积分法
利用积分法，我们可以解决一系列 复杂的曲边形面积问题。
勾股定理
勾股定理是关于直角三角形的定理， 它可以帮助我们更好地理解等分面 积问题。
历史背景
等分面积问题最早可以追溯到 公元前400年左右的希腊。统计 学和物理学领域中，等分面积 问题也有着广泛的应用。
日常生活
比如，如果在一个木板上装了 Fra bibliotek个不同重量的物品，我们希 望使用一根木棒，把它们平分 重量，那么我们就需要解决等 分面积问题。
工程应用
例如，在建筑设计领域，我们 需要分析建筑物不同楼层的面 积比例，同样也需要解决等分 面积问题。
解决等分面积问题的方法
1
图形对称法
通过图形的对称性，我们可以得到等分面积
区间法
2
线。经常使用于对正多边形等分的情况。
将图形分为多个小区间，通过积分法求出区
间面积差，得到等分面积线。此方法可以处
理一般曲形。
3
解析法
应用解析几何的原理，求出等分面积线的解 析式。此方法通用，使用广泛。
直线型面积
第一讲 直线型面积（一）卷Ⅰ这一讲我们主要介绍的知识点：1. 三角形和平行四边形的等积变换.2. 三角形面积公式1sin 2S ab c =的变形应用及几个重要规律. 3. 勾股定理及其应用.本讲的主线是介绍并反复运用三角形面积公式1s i n 2S a b c =的变形应用及几个重要规律，灵魂在于卷Ⅱ的知识点所渗透的思想及原创题目，我相信这也会是教师上课的亮点所在。
作业相对于例题来说比较简单。
【例1】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE=1，求△BEF的面积．分析：本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想. 连接AC.∵AB//CD ，∴S △ADE =S △ACE同理：AD//BC ，∴S △ACF =S △ABF又S △ACF =S △ACE +S △AEF ，S △ABF =S △BEF +S △AEF ∴ S △ACE =S △BEF ， 即S △BEF =S △ADE =1．专题精讲教学目标F E D C B A F ED C BA[前铺] 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．分析：本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE.（我们通过△ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.） ∵在平行四边形ABCD 中，12ABES AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABEABCD 1SS 2=（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）同理，ABEAEGF 1SS 2=.∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等.[拓展] 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？GFEDCBAGFEDCBA GFD B AGFD CB A分析：本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接AG.（我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）. ∵在正方形ABCD 中，G12AB S AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABGABCD1SS 2=（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，ABGEFGB 1SS 2=长. ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽=8×8÷10=6.4（厘米）.【例2】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．四边形EFGC 的面积是多少平方厘米?分析：连接FC.△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为13y 平方厘米．BCD S =2x+2y=1，BDE S =x+13y=l×13=13，所以有x+y=0.53x+y=1⎧⎨⎩①②． 解得x=0.25,y=0.25．四边形EFGC 的面积是为y+23y=53×0.25=512平方厘米． 本题主要体现出代数思想在几何题中的运用，面对棘手的几何题目我们借助于这样的思想就可以迎刃而解。
六同第三讲 直线型面积计算.
第三讲直线型面积计算教学目标：1.掌握等量代换和割补法的性质与特点2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。
3.培养学生分析问题解决问题的能力教学重难点：割补法在求图形面积中的应用。
教学方法：讲练教学用具：讲义教学过程:一、故事导入一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，认为围起半个地球总够大了。
（讲到这里，老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们各抒己见）揭晓答案，数学家好好嘲笑了他们一番。
他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。
”师：这个故事告诉我们想问题不能墨守成规，而要把思路发散开来。
就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，对于他们的面积公式肯定是熟记于心。
（这里可以带着学生复习一下面积公式：长方形S=a×b；正方形 S=a×a；梯形 S=(a+b) ×h÷2；三角形 S= a×h÷2。
另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了）下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习----直线型面积计算二、新课学习例1：（原例3）、已知长方形ABCD的面积是40平方厘米，AE=5cm，求BD的长。
解析：可以很容易发现BD是三角形ABD的一条边，又因为AE为BD的高，那么在已知高的情况下如何求底边？利用公式三角形 S= a×h÷2变形得a=s×2÷h。
可以求得BD。
三角形ABD的面积：40÷2=20平方厘米BD的长：20×2÷5=8厘米小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。
第三讲 基本直线形面积公式
正方形长方形平行四边形 三角形 梯形正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图：左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？24？3618在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形，在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：在有关直线形的计算中，计算周长和面积是最常见的两类，我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积。
如图，有一块长方形的田地被分成了五小块，分别种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上茄子地恰好是一个正方形，请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？如图，有一块长方形的田地被分成了四小块，分别种了冬瓜、西瓜、南瓜和黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形，请问：剩下的黄瓜地面积是多少？长宽 边长正方形的面积=边长*长方形的面积=长*宽如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如图： 要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高。
当然我们可以用另外一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下图所示，同样得到相对于这条底的若干条高这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽，长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫底和高。
于是我们有：如下图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离。
平行四边形面积=底*高高 高高底如图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出图中阴影部分的面积。
阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形，如果大正方形的边长是20cm，小正方形的边长是8cm，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？ 三角形中也有相对应的底和高。
初中数学《直线型面积》讲义及练习
1、 能够熟练运用任意四边型模型解题2、 熟练掌握梯形模型解决特殊的四边型一、任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．二、梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲教学目标知识点拨第三讲：直线型面积板块一、任意四边形模型【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7676EDCBA【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABE S ×CDE S =ADE S ×BCE S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即6ABE S ⨯=7ADE S ⨯，所以有ABE 与ADE的面积比为7:6，ABE S =7392167⨯=+公顷，ADE S =6391867⨯=+公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BDBD【解析】 连接AD 、CD 、BC ．则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABO ABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG的面积．ABCDEFGAB CDE FG【解析】 连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯=．因为12AED ABCD S S ∆=，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=．所以132221477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==，即三角形AEG 的面积是27．【例 7】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．AB AB【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEO OC S S=，而14BED ABCD SS =，12BCDABCDSS =，所以::1:2BEDBCDEO OC SS==，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1128BFD BED ABCD S S S ==，那么1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=（平方厘米）．【例 8】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．NM OCBA【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得 31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABMMNC MBCS S S S ∆∆∆∆=，33322312xx ++=++，解得22.5x =．【例 9】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．B 4B A 654A 3A AB 4B A 654A 3A A【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ∆一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA ∆的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接63A A 、61B B 、63B A ．设116A B B ∆的面积为”1“，则126B A B ∆面积为”1“，126A A B ∆面积为”2“，那么636A A B ∆面积为126A A B ∆的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A ∆的面积为”6“，123B A A ∆的面积为2．根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ∆∆===，故23616A OA S ∆=+，123127B A A S ∆=， 所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ∆=梯形，即23A OA ∆的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米)．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 10】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【例 11】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSab b ==，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ===．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 12】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．【例 13】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BCDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ∆∆===，所以()24cm AOD S ∆=．【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FE DCB AHG FEDCB A【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+=．【例 15】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．DA【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．【例 16】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=平方厘米．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =，所以34DEO DEF S S =，而2DEF ADE S S ==平方厘米，所以32 1.54DEO S =⨯=平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米． 方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =⨯=长方形平方厘米，所以 3.5S =阴影平方厘米【例 17】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABCACDS S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？B【解析】 因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积为5491696÷⨯=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375⨯÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).【例 18】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B CDEF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【巩固】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEOABCDEO【解析】 解法一：连接DE ，依题意1195422AOBSBO AO AO =⨯⨯=⨯⨯=，所以12AO =， 则1116129622AODSDO AO =⨯⨯=⨯⨯=． 又因为154162AOB DOE S S OE ===⨯⨯，所以364OE =，得113396302248BOE S BO EO =⨯⨯=⨯⨯=，所以()3554963011988OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．解法二：由于::16:9AOD AOB S S OD OB ==，所以1654969AOD S =⨯=，而54DOE AOB S S ==，根据蝴蝶定理，BOE AOD AOB DOE S S S S ⨯=⨯，所以3545496308BOE S =⨯÷=，所以()3554963011988OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．【例 19】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 20】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影AEC ∆面积是多少？FE DCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯，而AFB DFC S S ∆∆=(等积变换)，所以可得99327AFB CDF AFD BFC S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===，并且3 1.8 1.2AEF ADF AED S S S ∆∆∆=-=-=，而::9:271:3AFB BFC S S AF FC ∆∆===，所以阴影AEC ∆的面积是：4 1.24 4.8AEC AEF S S ∆∆=⨯=⨯=．练习1. (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSSa ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===，所以49DOCS=(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．练习2. 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；（2）据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．课后练习练习3. 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．练习4. 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．练习5. 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？64AB CDEF64AB C DEF【解析】 (法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)． (法2)由题意可知，4263EF EC ==，根据相似三角形性质，23ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2693÷=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．测试1、如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．月测备选ODCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOBACODSSa b ==，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．测试2、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．测试3、(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321 321【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645⨯=+，3的面积就是5362045⨯=+．测试4、如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．D【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+，510277DBC S ∆=⨯=．测试5、如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？FABCD E105 FAB CDE105【分析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()2010260+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．。
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第三讲直线型面积计算教学目标：1.掌握等量代换和割补法的性质与特点2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。
3.培养学生分析问题解决问题的能力教学重难点：割补法在求图形面积中的应用。
教学方法：讲练教学用具：讲义教学过程：一、故事导入一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，认为围起半个地球总够大了。
（讲到这里，老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们各抒己见）揭晓答案，数学家好好嘲笑了他们一番。
他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。
” 师：这个故事告诉我们想问题不能墨守成规，而要把思路发散开来。
就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，对于他们的面积公式肯定是熟记于心。
（这里可以带着学生复习一下面积公式：长方形S=aXb；正方形S=aXa；梯形S=（a+b） Xh4-2；三角形S= aXh《2。
另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了）下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习一一直线型面积计算二、新课学习例1：（原例3）、己知长方形ABCD的面积是40平方厘米，AE=5cm,求BD的长。
解析：可以很容易发现BD是三角形ABD的一条边，又因为AE为BD的高，那么在己知高的情况下如何求底边？利用公式三角形S= aXh!2变形得a二sX2!h。
可以求得BD。
三角形ABD的面积：404-2=20平方厘米BD的长:20X24-5=8厘米小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。
例2：（原例1）、三角形ABC的面积为36平方分米,DC二2BD,求阴影部分的面积。
解析：由题意DO2BD,可以理解成BD被分成3份，BD占1份，DC占2份，又因为三角形ADC和三角形ABD等高，所以三角形ADC是三角形ABD的2倍。
36：（1+2） X2=24 平方分米过渡：来看下一个例题可不可以用这个方法呢？例3、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，AE=3ED,三角形ABC的面积为96平方厘米，求阴影部分。
解析：D为三角形ABC的底边BC的中点，BD=CD,而且三角形ABD和ADC等高，所以三角形ABD和ADC 面积相等。
也可以理解为AD把三角形ABC分成了面积相等的两部分，三角形ABD占一份。
同样的，在三角形ABD中，底边AD上有这样的关系一一AE二3ED,说明AD被分成了4等分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分成了面积相等的4部分，三角形ABE占3份。
SABD=964-2=48 平方厘米484-4X3-36平方厘米小结：通过以上两个例题，我们知道了同高三角形面积的份数关系等于底的分数关系（因为有些学生不知道比，所以老师们可以视班里学生情况总结）下面我们看下练习7练习：如下图，已知在三角形ABC中，BE-3AE, CD=2AD。
若三角形ADE的面积为1平方厘米。
求三角形ABC的面积。
ABC 的而积。
解析：这一题和刚才的两题就有点区别了，题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE的而枳。
我们要求大三角形ABC 的面积。
连接BD,我们还是从大三角形开始分析：CD二2AD,说明AC被分成了3等份，CD占2份，即三角形ABC被分成了面积相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,说明AB被分成了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面积被分成了4等份，三角形ADE占一份。
这样我们就找到了SADE与SABC的关系。
IX （3+1） =4 （平方厘米）4X （2+1） =12 （平方厘米）例4、下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形解析：这个题目只有小正方形的边长是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，还有一部分在大正方形中。
如果我们能通过等量代换把三角形ABC全部都转换到小正方形中就好解决了。
连接AD,显然AD/7BC,接下来怎么转化呢？我们把梯形ABCD单独京出来讨论，发现，三角形ABD和ACD有公共的底AD,且它们的高相等（由于AD〃BC）。
所以，SABD二SACD,而这两个三角形有一个公共的部分-一三角形ADF,根据我们前面讲的，等式两边都减去SADF后所得结果仍然相等, 联系图形，即SABF=SCDF。
这是著名的蝶形定理中的一个性质。
然后，我们就可以把三角形ABC全部转化到小正方形中了，SABOSBCD。
SABC二SBCD=4X4!2二8 （平方厘米）答：三角形ABC的面积为8平方厘米。
小结：这一题我们连接AD,利用两个正方形的对角线，找出一个梯形，然后再进行等量代换。
把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中，这样就用到了我们今天要学习的第二种方法一一割补法，把不能直接求的面积转化为可以求的面积。
这一题还要注意蝶形定理的运用。
例5：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.解析：先看一个简单的加减法算式13=5+8，如果等式的两边都减去3,结果还会不会相等呢？（提问）其实这里面隐含着一个很重要的性质一一两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同减。
现在我们来看这一题，阴影部分的面积不能直接求出，可以转化为AABC与ADOC的面积差。
Z\ABC和ADEF 是相同的三角形，所以SAABC^SADEF；从图中看出，八。
是AABC和△DEF的公共部分。
根据我们前面的分析，可以得出SAABC-SADOC =SADEF -SADOC,所以S 阴二SOEFC。
SOEFC= （10+7） X24-2=17 （平方厘米）答：阴影部分的面积为17平方厘米。
例6、如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
解析：已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长，可是求三角形的面积需要知道直角边长，怎么办呢？能不能想办法把直角边转化为直角边呢？题目所给的三角形非常特殊，等腰直角三角形，其底角为45度。
我们将这个三角形沿着其中一条直角边旋转18。
度，之后得到下图：我们发现，三角形ABC和DEF仍然是等腰直角三角形，且这两个三角形的面积可以直接得出。
然后根据我们刚才学习的等量代换的思想，可以计算出阴影部分的面积，然后再得出题目所求。
SABO9X9/2=40. 5 （平方厘米）SDEF=5X54-2=12. 5 （平方厘米）S 阴=40. 5-12. 5=28 （平方厘米）S梯=284-2=14 （平方厘米）这种方法我们利用了这里特殊的45度角，除了利用补图形的办法外，还有没有别的办法呢？求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高，我们给这个等腰三角形作高，大家有没有什么发现呢？（引导学生，让他们学会利用等腰直角三角形特殊的45度角）如下图MN垂直于AC,三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC4-2M. 5 （厘米）MH=FH=CD4-2=2. 5 （厘米）HN=4. 5-2. 5=2 （厘米）5梯二（5+9） X2H-2-14 （平方厘米）ADM小结：这一题我们有两种方法，都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角，或者是旋转补图形，或者是作高。
下面大家看练习题8练习：在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。
A解析：这一题和例题的条件很相似，只是例题中平行于底边剪掉一个三角形，而本题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。
根据刚才的学习，大家应该对等腰直角三角形中特殊的45度角很有好感了！因为它对我们解题很有帮助。
与例题类似，我们先补图形，如下图：我们发现，三角形AOF, AEF, ABC都是等腰直角三角形。
因为题目中告诉了直角梯形的上底，即0F二0E=3, A0=3,所以三角形AEF的面积可求。
等腰梯形EFCB的面积也可求，这样就能求出三角形ABC的面积。
根据三角形的面积计算公式，可以求出BC, AD,然后再求CD, 0D,即下底和高。
（3+3） X34-2=9 （平方厘米）36X2+9=81 （平方厘米）BC X AD 4- 2=CD X AD=CD X CD=81 （平方厘米）CD= AD =9 （厘米）0D=9-3=6 （厘米）答：下底为9厘米，高为6厘米。
例7、在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
解析：求矩形的面积我们必须知道其长和宽，而题目给出的条件与所求没有任何关系，所以我们要想办法把己知条件转化为我们可以用的量。
因为题目给出的是一个直角三角形，我们给它补一个相同的直角三角形，让它变成一个矩形，如下图:我们发现，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH 中，三角形COF和COH相等。
根据等量代换的思想,SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG,即SBEOH^SDFOGo矩形D0FG的面积可以有已知条件求出，所以得解。
SBE0H二SDF0G=4 X6=24小结：在这一例中，我们利用对称的思想补图形，然后再进行等量代换，得出题目所求。
下面大家看练习题9,用类似的方法试试看。
练习：在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。
解析：这一题和例题非常的类似，只是把已知和求解调换了。
同样的，我们先要补图形，如图和例题类似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH 中，三角形CDF 和FHC 相等。
所以，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC,即SAEFD=SGMFH SGMFH二FM XHF二BE X CDCD=18：3=6（厘米）过渡：是不是所有的图形问题都W以用这种对称的思想解决呢？（提问）接下来我们看例8。
例8、在下图中，平行四边形ABCD的边KK 10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
解析：同样的，我们先来看一个加法算式10二8+2,现在我在等号的两边同时加上4,所得到的新式子仍然相等吗？在这个变化过程中同样的包含一个重要的性质一一两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同加。
现在我们看这一题，平行四边形的面积没办法直接求出，可以转化为阴影部分与梯形FGCB的和。