湖南省长郡中学2011届高三第四次月考理科数学
长郡中学2011届高三第三次月考试卷(文科数学)
湖南省长郡中学2011届高三第三次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 2. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-3. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →4. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞5. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π7. 阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. －10B. 0C. 10D. 20 8. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则______.10. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s结束NY(1)ns s n=+-11. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = .12. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 ．13. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+= .14. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ . 15. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a = .（2）数列{}n a 的通项n a =三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=.（Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 16. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ B ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 17. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ B ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-18. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ D ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →19. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ C ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞【解析】 由已知得122α=，所以1α=-，11()f x xx-==，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .20. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ A ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ B ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π【解析】 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3.22. 阅读如图所示的程序框图，则输出的结果是（ C ）A. －10B. 0C. 10D. 20 【解析】由题意得，1234s =-+-+-192010-+= ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s 结束NY(1)ns s n=+-23. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ B ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 24. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则___1___.25. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a 27 ．26. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = 2 .27. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 1 ．【解析】 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝sin(15°＋15°)＝12.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×12＝1.∴|a －b |＝1.28. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=20102011.29. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ 1 . 【解析】 因为f (x )＝|3x －1|的值域为[2a ，2b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|3x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有|31|2|31|2a b a b ⎧-=⎨-=⎩，解得01,0a b =⎧⎨=⎩或或1∵0,.1a b a b =⎧>∴⎨=⎩ 所以有a ＋b ＝1.30. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a =129.（2）数列{}n a 的通项n a =(1)21n n -⨯+【解析】（1）5129a =， （2）依题意，23112232422n n a n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ① 由①⨯2得，2342122232422n n a n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ②将①-②得 23411222222n nn a n --=+++++⋅⋅⋅+-⨯1(12)212nn n -=-⨯-212n nn =--⨯所以 (1)21nn a n =-⨯+.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.【解析】（I ）2()(2cos sin )(cos sin )(cos sin )f x a b x x x x x x ωωωωωω=⋅=++- ………………2分 sin 2cos 2x x ωω=+2sin(2)4x πω=+ ………………4分因为函数()f x 的最小正周期为π，所以212ππωω=⇒=.()2sin(2)4f x x π=+. (6)分 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（I ）设等差数列,}{d a n 的公差为 (0)d ≠由1313,,a a a 成等比数列，得 23113a a a =⋅ ………………2分即2(12)112d d +=+得2d =或0d =（舍去）. 故2d =，所以21n a n =- ……………… 6分 （II ） 2122n a n n b -==，所以数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列. ………………8分∴35212222n n S -=+++⋅⋅⋅+2(14)2(41)143nn-==-- ………………… 12分18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.【解析】（I ）由//m nsin sin cos cos 0A B A B ⇒-=cos()0A B ⇒+=，因为0180A B <+<，所以90A B +=，180()90C A B =-+=. ………………6分（Ⅱ）由m n ⊥sin cos sin cos 0A A B B ⇒+=sin 2sin 20A B ⇒+=，已知15B = ，所以sin 2sin 300A +=，1sin 22A =-，因为023602330A B <<-= ，所以2210A =，105A =.1801510560C =--=.根据正弦定理sin sin a c AC=62sin 105sin 60c +⇒=(62)sin 60sin 105c +⇒=.因为62sin 105sin(4560)4+=+=，所以3(62)223(62)4c +⨯==+. (12)分19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.【解析】（I）由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. ……………………1分①当0a >时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<，解得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(0,)a上递减. …………3分②当0a <时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<可得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(,0)a上递减. …………………5分 综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 单调递减区间为2(,0)a…………………6分（Ⅱ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+-1(0,]2x ∈. ……………………8分对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-， ……………………9分因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x '=+->，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则m ax 1()()2F x F =.……………………11分 依题意，只需max ()0F x >，即211111038423a a a ⨯-⨯+⨯->，即2680a a +->，解得317a >-+或317a <--（舍去）. 所以正实数a 的取值范围是(317,)-++∞. ……………………13分20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）. 【解析】（I ）依题意，1110(1)52a b b =⨯-+=+， (1)分*11()2n n a a b n N +=+∈ ……………………4分（Ⅱ）当10b =时，11102n n a a +=+，1120(20)2n n a a +⇒-=-，所以{20}n a -是首项为-5，公比为12的等比数列. (7)分 故11205()2n n a --=-⨯，得111205()2010()22n nn a -=-⨯=-⨯ ………………9分若第n 年初无效，则12010()19.52n -⨯>220n⇒>⇒5n ≥.所以5n ≥，则第5年初开始无效. (12)分即2014年初开始无效. …………………………………………13分21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=. （Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x ax b x'=-+ ，(1)10f a b '=-+=，1b a ∴=-. ……………2分 代入1()f x ax b x'=-+，得1()f x ax x'=-(1)(1)1ax x a x+-+-=-.当()0f x '>时，(1)(1)0ax x x+-->，由0x >，得(1)(1)0ax x +-<，又0a >，01x ∴<<，即()f x 在(0,1)上单调递增； 当()0f x '<时，(1)(1)0ax x x+--<，由0x >，得(1)(1)0ax x +->， (4)分又0a >，1x ∴>，即()f x 在(1,)+∞上单调递减.()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以，当1x =时，()f x 的极大值为1(1)ln 1122a f ab =-+=- ………………6分（Ⅱ）在函数()f x 的图象上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，不妨设120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-，2121AB y y k x x -==-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+---211221ln ln 1()12x x a x x a x x -=-++--，在函数图象1202x x x +=处的切线斜率120122()()2x x k f x f a x x +''===-⋅+12(1)2x x a ++-，由211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++-=-12122(1)2x x a a x x +-⋅+-+化简得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+，21lnx x =221122112(1)2()1x x x x x x x x --=++. 令21x t x =，则1t >，上式化为：2(1)ln 1t t t -==+421t -+，即4ln 21t t +=+，若令4()ln 1g t t t =++， 22214(1)()(1)(1)t g t tt t t -'=-=++，由1t ≥，()0g t '≥，()g t ∴在[1,)+∞在上单调递增，()(1)2g t g >=. 这表明在(1,)+∞内不存在t ，使得4ln 1t t ++=2.综上所述，在函数()f x 上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. ……………13分。
湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考——数学(理)
湖南省长沙长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（aR ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为A ．-2B ．-1C ．1D ．22．若S n ，是等差数列{a n }的前n 项和，有S 8－S 3=10，则S 11的值为A ．12B ．18C ．44D ．223．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎰a x dt t x x gx 020,30.,1，若f （f （1））=l ，则a 的值是 A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-25．已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“⊥”是 “m ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．△ABC 中，锐角A 满足sin 4A －cos 4A≤sin A －cos A ，则A ．0A≤B ．0A≤C ．≤A≤D ．≤A≤7．斜率为的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．8．已知等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且，若··，则实数的值为A ．2B ．C ．1－D ．9．已知方程kx+3－2k =有两个不同的解，则实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．的展开式中的常数项为 。
2011届高三年级第四次月考数学试卷(理科)
2011届高三年级第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列命题中的假命题是（ ） A.02, 1>∈∀-x R x B. 1lg , <∈∃x R xC ．()01 , 2>-∈∀*x N x D. 2tan , =∈∃x R x2.设集合}log ,5{)63(22+-=a a A ，集合},,1{b a B =若}2{=B A 则集合B A 的非空真子集的个数是（ ） A ．3个 B ．7个 C ．14个 D ．15个3．已知命题p ：存在xxx 32),,0(≥+∞∈；命题q ：ABC ∆中，若B A sin .sin >，则B A >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 且qB ．（﹁p ）且qC ．p 或（﹁q ）D ．p 且（﹁q ）4．给定函数①52x y =，②)1(21log +=x y ，③|1|y x =-，④12+=x y ，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④ 5．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若6,11641-=+-=a a a ,则当n S 取最小值时, n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97. 已知A ，B ，C 三点的坐标分别是3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,)22A B C ππααα∈若1-=⋅，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（ ）A. 95-B.3C.2D. 59-8、已知定义在R 上的奇函数满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<9、已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点，O 为坐标原点，1(,0)2OA =，则OA OP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．32C ．1D ．210．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足=++，BC QC QB QA =++，CA RC RB RA =++，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 ( )A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
湖南长郡中学2011届高三第四次月考(数学理)
湖南长郡中学 2011届高三第四次月考数 学 试 题（理）（考试范围：集合与逻辑、算法与框图、函数、三角函数、平面向量、数列、推理与证明、不等式、计数原理、概率与统计、空间几何及空间向量、4—1、4—4、4—5）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时间120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|},{|12},A x x a B x x R =<=<<表示实数集，且()U A C B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >2．已知函数()22()xxf x P x R -=+∈为奇函数，则下列结论正确的是 （ ）A ．1,()P f x =为R 上的减函数B ．1,()P f x =-为R 上的减函数C ．P=1，f （x ）为R 上的增函数D ．P=-1，f （x ）为R 上的增函数3．函数2sin()cos()((0,))36y x x x πππ=--+∈，则y（ ）A ．有最小值-1，无最大值B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值 1D ．有最小值-14．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。
由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是 （ ）A ．900件B ．800件C ．90件D ．80件5．如图，AC 为⊙O 的直径，BD AC ⊥于P 点，PC=2，AP=8，则BC 的长为 （ ）A B ．3C ．4D ．6．已知,,l m n 是三条不重合的直线，,,αγβ是三具不重合的平面，给出下列四个命题：①若,//,m m αβαβ⊥⊥则；②若直线m ，n 与平面α所成的角相等，则m//n ；③存在异面直线m ，n ，使得m//α，m//β，n//β，则α//β； ④若,,,//,l m n l αββγγαγ===则m//n ；A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量(,),(1,2),(,),//,a m n b c k t a b b ===且⊥c ，|a+c 则mt 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．[—1，1]D ．（—1，1）8．将正整数排成下表：1 2 3 4 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 则数表中的数2010出现在 （ ） A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列 D ．第45行第74列二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
长郡中学第四次月考试题理科数学doc
长郡中学高三数学（理科）第四次月考试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、定义集合A 与B 的新运算，}|{B A x B x A x x B A ⋂∉∈∈=⋅且或，则=⋅⋅A B A )(（ ）A 、B A ⋂ B 、B A ⋃C 、AD 、B2、函数x x x y 2sin 3)4sin()4sin(2+-+=ππ的最小正周期为（ ）A 、4πB 、2π C 、π D 、π23、双曲线222=-y x 上一点到双曲线的中心距离为2，则该点到双曲线两焦点的距离之积为（ ）A 、2B 、4C 、52D 、34 4、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，x x f 2)(=，则)41(1--f 的值为（ ）A 、－2B 、21-C 、21 D 、25、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值为（ ）A 、36-B 、3C 、36+D 、66、过原点O 作直线交圆C ：1)2()3(22=-+-y x 于P 、Q 两点，则⋅的值为（ ）A 、32-B 、32C 、－12D 、127、已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则|42|-+=y x z 的最大值为（ ）A 、21B 、20C 、19D 、188、设α、β是两个不同的平面，m l 、为两条不同的直线，命题p ：若平面βα//，α⊂l ，β⊂m ，则m l //一定成立；命题q ：α//l ，l m ⊥，β⊂m ，则αβ⊥一定成立，则下列命题为真的是（ ）A 、p 或qB 、p 且qC 、7p 或qD 、p 且7q9、已知数列ΛΛ,,,,21n a a a ，满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a )(*∈N n ，且31=a ，则)2(lim n nn a ⋅→∞的值为（ ）A 、2B 、1C 、23 D 、310、已知P 在直线1+=x y 上的一点，M 、N 分别为圆C 1：4)1()4(22=-+-y x 与C 2：1)2(22=-+y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知1||=，2||=，⊥+=,，则与夹角为 。
湖南长沙一中2011高三第四次月考(数学理) doc
湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学理）考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、推理与证明时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算复数=z 211ZT ZTZT+-+的值为（ ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ．1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（ ） A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ ） A ．36B ．45C ．55D ．66第5题图第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC＝，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =<2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数 11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,20-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有CBOA12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ） A ．2009B ．2010C ．4018D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上） 9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 ． 10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b ++=，则ab 的最大值为 ． 12．观察下列不等式474131211353121123*********<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 （用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是 ．14．定义*(1)(2)(1)(,)nxM x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是（写成开区间或闭区间都给全分）．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x mn ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a+-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 ；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =，90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度； （2）求sin BAD ∠的值．17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01b a≤<，曲线()y f x =在x =1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值D ABC′20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为b n 、c n 和a n (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b n + 1 = aa n ，c n + 1 = a n +b a n 2 （其中a 、b 为常数），已知a 1 = 1万件，a 2 = 1.5万件，a 3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出a n + 1与a n 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内； （3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量a n 关于n 的表达式．21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = 2ln ,(1)0.b ax x f x--=（1）若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x )的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{n a }满足11()11n n n a f na a +'=-++． ①若a 1≥3，求证：a n ≥n + 2)(*N n ∈；②若a 1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算复数=z 211ZT ZTZT+-+的值为（ C ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ．1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ D ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（ C ） A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ B ） A ．36B ．45C ．55D ．66CBOA是第5题图 第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC＝，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ B ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ A ）A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =<2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数 11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,20-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ C ）A ．2009B ．2010C ．4018D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上） 9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 2 ． 10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为2-解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b++=，则ab 的最大值为 4 ． 12．观察下列不等式474131211353121123*********<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 n n 12-（用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是7[,)4+∞．解：∵(1)y f x =+关于y 轴对称，∴()y f x =关于x =1成轴对称．).,47[)(1)(),47[]41(12)(12+∞>+∞∈-∞+-=<的递增区间为时调递增，即单时单调递减，从而可知，在时，当x f x x f x x x x f x 14．定义*(1)(2)(1)(,)nxM x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是([或（写成开区间或闭区间都给全分）． 解：∵3()(1)(1)f x x x x x x =-+=-， 又由2()310f x x '=-<，得x <<即()f x的单调减区间为(．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x mn ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a+-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 增函数 ；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是(0,1)(1,2)． 解：（1）1'()ln 0ln x x f x a a a a==>, ()f x ∴在R 上是增函数． （2）()f x 为等射函数3()ln x a a f x x a+-⇒==有两个不等实根．即ln 30x a x a a -+-=有两个不等实根．令()ln 3x g x a x a a =-+-'()ln ln ln (1)x x g x a a a a a ∴=-=-,令'()00g x x =⇒=1︒ 当1a >时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)1302g x g a a ∴==+-<⇒<12a ⇒<<2︒当01a <<时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)001g x g a ∴=<⇒<<，综上：(0,1)(1,2)a ∈三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =， 90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度； （2）求sin BAD ∠的值．解：（1）由已知||13AB =，||10AC AD == 50AB AC =||||cos 50AB AC BAC ⇒∠=∴5cos 13BAC ∠=， ……………………………………………3分∴12sin 13BAC ∠=，则1112sin 1310602213ABC S AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯⨯= …………5分 由余弦定理得cos 13BC AC ∠…………………………7分 （2）在Rt △CAD 中，63sin 105CD CAD AC ∠===，4cos 5AD CAD AC ∠==．…………9分 ∴sin sin()BAD BAC CAD ∠=∠+∠63sin cos cos sin 65BAC CAD BAC CAD =∠∠+∠∠=．………………………………12分 17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：（1）由11cos sin cos sin sin 22a c cb A C C B +=⇒+=……………………2分DABC1sin cos sin sin()sin cos cos sin 2A C C A C A C A C ∴+=+=+1sin cos sin 2C A C ∴=…………………4分(0,)C π∈，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，又0A π<< 3A π∴=……………………………………………6分（2）由正弦定理得：sinsin a B b B A ==，C c sin 32=1sin )l a b c B C ∴=++=++……………………………8分1sin()]B A B =++1B =+1cos )2B +12sin()6B π=++ …………10分 3A π=，)320(π，∈∴B ，5(,)666B πππ∴+∈ 1sin()(,1]62B π∴+∈ …………………………………………11分(2,3]l ∴∈……………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q 由341b b q =，得354272q ==，从而3q = 因此11123n n n b b q --== ………………………………………3分 又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=从而216d a a =-=，故1(1)664n a a n n =+-=- ……………………………6分 （2）14(32)3n n n n c a b n -==- 令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+-12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-……………………………9分两式相减得12312133333333(32)3n nn T n --=+⨯+⨯+⨯++⨯-- 13(31)1331n --=+-(32)3nn --19(31)1(32)32n n n --=+--73(67)44n n n T -∴=+，又47(67)3n n n S T n ==+- ……………………………12分 19．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01ba≤<，曲线()y f x =在x =1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值解：（Ⅰ）∵2()2f x ax bx c '=++，∴(1)20f a b c '=++=又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0a <，0c >．则判别式2440b ac ∆=-≥知方程2()20f x ax bx c '=++=（*）有两个不等实根，设为12x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根， 又由根与系数的关系得122b x x a +=-，21210bx x a=--<<．………………………3分 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增函数区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2bs t x x a-=-=+， …………………………………………………6分由（1）知01ba≤<，得||s t -的取值范围为[2,4)． …………………………………8分 （Ⅱ）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<． 因0a <，得2220b b x x a a +->，整理得2(22)0b x x a-+>． ………………………9分 设2()(22)b b g x x a a =-+，它可以看作是关于ba的一次函数．由题意，函数y =()b g a对于01ba ≤<恒成立．故(1)0(0)0g g ≥⎧⎨>⎩即22220x x x ⎧+-≥⎪⎨>⎪⎩得1x ≤或1x ≥-．…………………………11分由题意[,)(,1)[31,)k +∞⊆-∞-+∞，故1k ≥．2 ′>因此k 1． …………………………………………………13分20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为b n 、c n 和a n (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b n + 1 = aa n ，c n + 1 = a n +b a n 2 （其中a 、b 为常数），已知a 1 = 1万件，a 2 = 1.5万件，a 3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出a n + 1与a n 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内； （3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量a n 关于n 的表达式． 【解析】（1）依题意：a n + 1 = b n + 1 + c n + 1 = a a n + a n + b a n 2，则a 2 = a a 1 + a 1 + b a 12∴a + 1 + b = 32① 则a 3 = a a 2 + a 2 + b a 22∴233315()2228a b ++= ②解①②得a = 1，b = –12 从而a n + 1 = 2a n –12a n 2 (n ∈N *) ………………………5分 （2）证法（Ⅰ）由于a n + 1 = 2a n –12a n 2= –12(a n – 2)2+ 2≤2．但a n + 1≠2，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a 2 = 1.5矛盾．故a n + 1＜2 于是a n ＜2 又a n + 1– a n = –12a n 2+ 2a n – a n = –12a n (a n – 2) ＞0， 所以a n + 1＞a n 从而a n ＜a n + 1＜2 …………………………………9分证法（Ⅱ）由数学归纳法（i ）当n = 1时，a 1 = 1，a 2 = 1.5，显然a 1＜a 2＜2成立 （ii ）假设n = k 时， a k ＜a k + 1＜2成立．由于函数f (x ) = –12x 2+ 2x = –12(x – 2)2+ 2在[0，2]上为增函数，则f (a k ) ＜f (a k + 1) ＜f (2)即12a k (4 – a k ) ＜12a k + 1(4 –a k + 1) ＜12×2×(4 – 2) 即 a k + 1＜a k + 2＜2成立． 综上可得n ∈N *有a n ＜a n + 1＜2 …………………………9分（3）由a n + 1 = 2a n –12a n 2得2 (a n + 1– 2) = – (a n – 2)2即(2 – a n + 1) = 12(2 – a n )2又由（2）a n ＜a n + 1＜2可知2 – a n + 1＞0，2 – a n ＞0则lg (2 – a n + 1) = 2 lg (2 – a n ) – lg 2 ∴lg (2 – a n +1) – lg2 = 2[lg (2 – a n ) – lg2]即{lg (2 – a n + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a 1) – lg 2 = –lg 2 故lg (2 – a n ) – lg 2 = (–lg 2)·2n – 1∴a n = 2 – 2121()2n - (n ∈N *)为所求 ……………13分21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = 2ln ,(1)0.bax x f x--=（1）若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x )的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{n a }满足11()11n n n a f na a +'=-++． ①若a 1≥3，求证：a n ≥n + 2)(*N n ∈；②若a 1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由． 【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b ，∴f ′(x ) = 22a a xx +-．要使函数f (x )在其定义域内为单调函数，则∈∀x (0，+∞)内f '(x ) = 22a a xx +-恒大于等于零，或恒小于等于零． 222()ax a xf x x+-'= 由()0f x '≥得221x a x ≥+而222112x x x x ≤=+ 1a ∴≥ 由()0f x '≤得221x a x ≤+ 而2201xx >+ 0a ∴≤ 经验证a =0及a=1均合题意，故01a a ≤≥或 ∴所求实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤0． ………………………5分（2）∵函数f (x )的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f ′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a= 1，∴f ′(x ) = 211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴a n + 1 = f ′211 1.1n n n n na a na a ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭………7分①用数学归纳法证明：（i ）当n = 1时，a 1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii ）假设当n = k 时不等式成立，即2,k a k ≥+那么a k – k ≥2＞0，∴a k + 1 = a k (a k – k ) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，a k + 1≥(k + 1) + 2．根据（i ）和（ii ），对于所有n ≥1，有a n ≥n + 2．……………………………………10分②由a n + 1 = a n (a n – n ) + 1及①，对k ≥2，有a k = a k – 1 (a k –1 – k + 1) + 1≥a k –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2a k –1 + 1，∴a k+ 1)≥22(a k – 2 + 1)≥23(a k –3 + 1)≥…≥2k –1(a 1 +1)而11115a =+，于是当k ≥2112311111,11112k na a a a -∴+++++++ 211111112122)(1).1255522212n n n --++++=⨯=-<- …………………………13分。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试卷 理 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M N M = C.M N N = D.{}2MN =2．下列命题中，真命题是 A ．00,0x x R e∃∈≤B. 3,3xx R x ∀∈>C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1ab=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件 3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2π，那么下列结论中一定成立的是 A.a b = B.a=b C.a b ⊥ D.a ∥b 4．设以13434(),(),log 43xx a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<c ．B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 3B. 5C. 7D. 96．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为A．77 B ．277 C ．714D ．57147．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F分别为边AB ，AD 的中点，当正方形AB CD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范 围是A ．82,82⎡⎤-⎣⎦B ．[]8,8-C ．42,42⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．已知(0,)2x π∈，且函数212sin ()sin 2xf x x +=的最小值为b ，若函数()g x =21(),42864(0),4x x bx x πππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为A ．2,22π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3,42π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．2,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为(2,)2π，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是_______. 11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.（二）必做题（12至16题）12．在281()x x-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答） 13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________． 14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．15.已知函数()3xf x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),,()f x f x k k f x k≤⎧⎨>⎩,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为__________．16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=3cos 2ab C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且43A ππ≤≤，求b 的取值范围．18.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为23． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考：19.（本小题满分12分）如图，△BCD 是等边三角形，AB=AD ，90BAD ∠=，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥.(l)求证：'AD AC ⊥；(2)若M 、N 分别为BD ，'C B 的中点，求二面角N-AM-B 的正弦值． 20.（本小题满分13分）如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线 型模具，上口AB 宽2m ，纵深OC 为1.5 m. (l)当浇铸零件时，钢水面EF 距AB 0．5m ， 求截面图中EF 的宽度；(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.221212121(),,3V h r r rr r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 为高，参考数据4433≈ 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=的一个顶点坐标为(2,0)A ，且抛物线214y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224:3C x y +=相切，求直线l 的方程． ②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值．22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n 、m 、k ，使得三(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上？请说明理由．。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试卷 文 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5），集合{}{}3,4,1,2,3A B ==，则等于A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,3D ．{}1,2,3 2．在极坐标系中，曲线4cos ρθ=围成的图形面积为A ．πB ．4C ．4πD ．16 3．已知a R ∈，则“a>2”是“22a a <”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 。
值为5，则输出的y 值为A ．-2B ．-1C ．2D ．125.点(,)P x y 满足10,10,,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为1，则实数a 的值是 A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．16．若单位向量a ，b 满足a b a b -=+，则a 与a-b 的夹角大小为A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A ．2B ．4C ．25+D ．425+8．抛物线24y x =的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，O 为坐标原点，则PF PO的最小值是A ．22 B ．32 C ．52D ．2 9．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(2)2()f x f x =，且当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，若12,x x 是方程()(01)f x a a =<≤的两个实数根，则12x x -不可能是A. 30B. 56 C ．80 D ．112选择题答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 10．若复数2a ii+的实部与虚部相等，则实数a=__________. 11．等差数列{}n a 中，34259,18a a a a +==，则16a a =_________.12.设P 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为_________. 13.如图所示，M ，N 是函数2sin()(0)y x ωϕω=+>图 象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运 动，当△MPN 面积最大时0PM PN ⋅=，则ω= _________14.设点A ，B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=，则线段AB 长度的最大值为_________．15.对于各数互不相等的正整数数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于3的正整数），若对任意的p ，q ∈{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅，当p<q 时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组(2，3，1)的逆序数等于2．则数组(4，2，3，1)的逆序数等于__________；若数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -⋅⋅⋅的逆序数为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1 6．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c,已知a=2c ，且2A C π-=．(1)求cos C 的值；(2)当b=l 时，求△ABC 的面积S 的值． 1 7．（本小题满分12分）某市政府为了了解居民的生活用电情 况，以使全市在用电高峰月份的居民 生活不受影响，决定制定一个合理的 月均用电标准．为了确定一个较为合 理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，其样本统计结果如下图表：(1)分别求出n ，a 的值；(2)若月用电紧张指数y 与月均用电量x （单位：度）满足如下关系式：10.3100y x =+，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率． 18.（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将△ADM 沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C 得四棱锥'D ABCM -. (1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB; (2)若'3D EF π∠=，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π，求直线AD'与平面ABCM 所成角的正弦值．19.（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，14,0n a a =>，前n 项和为n S，若n a =+(,2)n N n *∈≥.(l)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,求证132020nT ≤≤． 20.（本小题满分13分）已知圆222:((0)M x y r r -+=>．若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M 的同心，离心率为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围． 21.（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中a ≤2． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0,2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．。
湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考——数学(文)
湖南省长沙长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则等于A ．{1，3，5}B ．{1，5}C ．{l ，6}D ．{2，4，6}2．“x<0”是“1n （x+1）<0，，的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下图所示的算法流程图中，若输出的T= 720，则正整数a 的值为A ．5B ．6C ．7D ．84．一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于A ．B ．2C ．3D ．6 5．在区间[一，]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数222()44f x x ax b π=+-+2有零点的概率为A ．B ．1一C ．D ．l －6．已知双曲线=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．7．设()1(101)xf xg ax =++是偶函数，是奇函数，那么a 十6的值为A ．1B ．一1C ．一D ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为39．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，D 、E分别是BC 、AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一点，则的取值范围是A ．[-7，7]B ．[-8，8]C ．[-9，9]D ．[-10，J ．O]10．已知函数321,(,1],12()111,0,.362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在，使得成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．已知直线的参数方程：（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：，则直线和圆C 的位置关系为12．在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是（11，-7），（1，-2），且（其中为虚数单位），则z+y的值为 .13．如图，函数的图象在点P （5，F （5））处的切线方程是y=ax 十8，若，则实数a= .14．若向量a=（x 一1，2），b=（4，y ）相互垂直，则9x +3y 的最小值为15．如图，直线与抛物线y 2 =2px （p>0）交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D ，若点D 的坐标为（2，1），则p 的值等于.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样．．．．抽取10名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职 工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获 得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边之长依次为a ，b,c ，且cos A=，2225()a b c +-=（1）求cos 2C 和角B 的值；（2）若a-c=，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=B D ．（1）求证：CD ⊥平面PAB ；（2）求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．19．（本小题满分13分）已知无穷数列{a n }中，a 1、a 2、…a m 构成首项为2，公差为－2的等差数列，a m+1、a m+2、…a 2m 构成首项为，公比为的等比数列，其中m ≥3，m ∈N *．（1）当1≤n ≤2rn ，m ∈N*时求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的m ∈N*，都有a n+2m =a n 成立，①当时，求m 的值；②记数列{a n }的前n 项和为S n 判断是否存在m ，使得S 4m ＋3≥2成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由，20．（本小题满分13分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过 点，离心率e=直线的方程为x=4．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3问：是否存在常数，使得k 1+k 2=k 3若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）设函数22()(1)(x e f x k nx k x x=-+为常数，e=2．718 28…是自然对数的底数）． （1）当k ≤0时，求函数的单调区间；（2）若函数在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围。
2011届长郡中学高三月考试卷5理数(答案)
炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-1炎德·英才大联考长郡中学2011届高三月考试卷(五)数学(理科)参考答案一㊁选择题题 号12345678答 案D C D A C C B D 二㊁填空题9.102 10.14 11.12 12.45 13.3 14.(2b ,2a ) 14a b s i n α15.S n -S n -1=22n -2(n ≥2) S n =4n 3+23三㊁解答题16.解:(1)由条件,→O P =(12,c o s 2θ),→O Q =(s i n 2θ,-1),∴→O P ㊃→O Q =12s i n 2θ-c o s 2θ=-12,∴12(1-c o s 2θ)-c o s 2θ=-12,∴c o s 2θ=23,∴c o s 2θ=2c o s 2θ-1=13.(6分)…………………………………………………………………………………(2)由(1)知c o s 2θ=23,s i n 2θ=13,∴P (12,23),Q (13,-1).又点P 在角α的终边上,点Q 在角β的终边上,∴由三角函数的定义,s i n α=2314+49=45,c o s α=35,s i n β=-119+1=-31010,c o s β=1010,∴s i n (α+β)=s i n αc o s β+c o s αs i n β=45×1010+35×(-31010)=-1010.(12分)…………………………17.解:(1)由该几何体的三视图知A C ⊥面B C E D ,且E C =B C =A C =4,B D =1,∴S 梯形B C E D =12×(4+1)×4=10,∴V =13㊃S 梯形B C E D ㊃A C =13×10×4=403,即该几何体的体积V 为403.(5分)………………………………………………………………………………(2)解法1:D E 上存在点Q ,使得A Q ⊥B Q ,取B C 中点O ,过点O 作O Q ⊥D E 于点Q ,则点Q 满足题设.连结E O ㊁O D ,在R t △E C O 和R t △O B D 中,∵E C C O =O B B D =2,∴R t △E C O ∽R t △O B D ,∴∠C E O =∠D O B .∵∠E O C +∠C E O =90°,∴∠E O C +∠D O B =90°,∴∠E O D =90°.∵O E =C E 2+C O 2=25,O D =O B 2+B D 2=5,∴O Q =O E ㊃O D E D =25㊃55=2,∴以O 为圆心㊁以B C 为直径的圆与D E 相切,切点为Q ,∴B Q ⊥C Q .∵A C ⊥面B C E D ,B Q ⊂面C E D B ,∴B Q ⊥A C ,∴B Q ⊥面A C Q .又∵A Q ⊂面A C Q ,∴B Q ⊥A Q .(12分)…………………………………………………………………………解法2:以C 为原点,以C A ,C B ,C E 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,m ,n ),则→A Q =(-4,m ,n ),→B Q =(0,m -4,n ),→E Q =(0,m ,n -4),→Q D =(0,4-m ,1-n ).∵A Q ⊥B Q ,∴m (m -4)+n 2=0. ①炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-2∵点Q 在E D 上,∴存在λ∈R (λ>0)使得→E Q =λ→Q D ,∴(0,m ,n -4)=λ(0,4-m ,1-n )⇒m =4λ1+λ,n =4+λ1+λ. ②②代入①得(λ+41+λ)2=16λ(1+λ)2⇒λ2-8λ+16=0,解得λ=4.∴满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,165,85).(12分)………………………………………………………18.解:记 小球落入A 袋中”为事件A , 小球落入B 袋中”为事件B ,则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P (A )=(12)3+(12)3=14,P (B )=1-P (A )=34.(3分)……………………(1)获得两次一等奖的概率为P =P (A )㊃P (A )=116.(5分)…………………………………………………(2)X 可以取20,30,40,P (X =20)=(34)2=916;P (X =30)=C 1214㊃34=38;P (X =40)=(14)2=116.(9分)…………………………………………………………………………………分布列为:X203040P 91638116所以E X =20×916+30×38+40×116=25.(11分)……………………………………………………………(3)参加摇奖,可节省25元;打折优惠,可节省24元.故参加摇奖.(13分)…………………………………19.解:(1)P x =1000+5x +110x 2x (3分)……………………………………………………………………………=1000x +x 10+5≥25(当且仅当x =100时,取等号),∴生产100套时,每套成本费用最低.(6分)……………………………………………………………………(2)由题设,利润f (x )=(a x +b )x -(1000+5x +110x 2)=-110x 2+(b -5)x +a -1000,x ∈(0,200].(8分)…………………………………当5(b -5)≤200,即b ≤45时,f m a x (x )=f [5(b -5)]=52(b -5)2+a -1000,∴当产量为5b -25套时,利润最大.(11分)……………………………………………………………………当5(b -5)>200,即b >45时,函数f (x )在(0,200]上是增函数,∴当产量为200套时,f m ax (x )=200b +a -6000.综上所述,当b ≤45时,产量为5b -25套时,最大利润为52(b -5)2+a -1000元;当b >45时,产量为200套时,最大利润为200b +a -6000元.(13分)………………………………………20.解:(1)由2b =2,得b =1.又由点M 在直线x =a 2c 上,得a 2c =2.故1+c 2c =2,∴c =1,从而a =2.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(3分)………………………………………………………………………………(2)以O M 为直径的圆的方程为x (x -2)+y (y -t )=0,即(x -1)2+(y -t 2)2=t 24+1,炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-3 其圆心为(1,t 2),半径r =t 24+1.(5分)……………………………………………………………………因为以O M 为直径的圆被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x -4y -5=0的距离d =r 2-1=t 2,所以|3-2t -5|5=t 2,解得t =4.所求圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=5.(8分)…………………………………………………………………(3)方法一:由平几知:|O N |2=|O K ||O M |,其中K 为F N 与O M 的交点.直线O M :y =t 2x ,直线F N :y =-2t (x -1).由y =t 2x y =-2t(x -1ìîíïïïï)得x K =4t 2+4,∴|O N |2=1+t 24x K ㊃1+t 24x M =(1+t 24)㊃4t 2+4㊃2=2.所以线段O N 的长为定值2.(13分)……………………………………………………………………………方法二:设N (x 0,y 0),则→F N =(x 0-1,y 0),→O M =(2,t ),→MN =(x 0-2,y 0-t ),→O N =(x 0,y 0).∵→F N ⊥→O M ,∴2(x 0-1)+t y 0=0,∴2x 0+t y 0=2. ①又→MN ⊥→O N ,∴x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t )=0,∴x 20+y 20=2x 0+t y 0. ②∴由①②可得x 20+y 20=2.所以,|→O N |=x 20+y 20=2为定值.(13分)……………………………………………………………………21.解:(1)∵f '(x )=2x -a x ,∴f '(1)=2-a =0,∴a =2.(2分)………………………………………………………………………………∴g (x )=x -2x .由g '(x )=1-1x >0⇒x >1,g '(x )=1-1x <0⇒0<x <1,∴g (x )的单调减区间是(0,1),单调增区间是[1,+∞).(4分)…………………………………………………………………………………(2)证明:∵1<x <e 2,∴0<l n x <2,∴2-l n x >0.欲证x <2+l n x 2-l n x ,只需证明2x -x l n x <2+l n x ,即只需证l n x >2(x -1)x +1.记h (x )=l n x -2(x -1)x +1,则h '(x )=(x -1)2x (x +1)2.当1<x <e 2时,h '(x )>0,∴h (x )在(1,e 2)上是增函数.又h (x )在[1,e 2)上是连续的,∴h (x )>h (1)=0,∴h (x )>0,即l n x -2(x -1)x +1>0,∴l n x >2(x -1)x +1,故结论成立.(8分)……………………………………………………………………………(3)由题意知C 1:H (x )=x -2x +6.问题转化为G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上解的个数.(10分)……………………∵G '(x )=2x -21x -1+1x =2x 2-2-x +x x =(x -1)(2x x +2x +x +2)x ,∴G '(x )>0⇒x >1,G '(x )<0⇒0<x <1,∴G (1)是G (x )在x >0上的最小值.又G (1)=-4<0,G (1e 4)>0,G (e 2)>0,且G (x )在x >0上是连续的,所以G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上有2个解,即C 1与f (x )对应曲线C 2的交点个数是2个.(13分)………………………………………………………。
湖南省名校2024届高三上学期月考数学题型分类汇编(单选题)第1辑PDF版含答案
湖南省名校2024届高三上学期月考数学题型分类汇编单选题（第1辑）目录湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案说明：本套资源是2024届高三上学期数学学科月考试卷题型分类汇编，本辑为单选题，试题来源于湖南省长郡中学和雅礼中学两所名校上学期月考试卷，可供高三学生上学期进行数学总复习时学习和参考。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2log 1B x x =<，则A B = （）A.()2,3- B.(),3-∞ C.()2,2- D.()0,22.已知λ∈R ，向量()3,a λ= ，()1,2b λ=- ，则“3λ=”是“a b ∥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.复数i z a b =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），z 表示z 的共轭复数，z 表示z 的模，则下列各式正确的是（）A.z z =- B.z z z ⨯=C.22z z= D.1212z z z z +≤+4.若直线l ：3sin 20x y θ⋅-=与圆C：2250x y +--=交于M ，N 两点，则MN的最小值为（）A.B.C.D.5.数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2023a 等于（）A.15B.25C.35D.456.现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段()2n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（）A.8B.9C.10D.117.已知函数()()211sinsin 0222x f x x ωωω=+->，x ∈R .若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦8.已知函数()2242af x x x x =---在区间(),2-∞-，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.0a <≤B.04a <≤C.0a <≤D.0a <≤湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）1.若集合{}()(){}41,,190A x x k k B x x x ==-∈=+-≤N ，则A B ⋂的元素个数为（）A.2B.3C.4D.52.设a ∈R ，若复数20231i ia -的虚部为3（其中i 为虚数单位），则=a （）A.13-B.3- C.13 D.33.已知非零向量a ，b满足)b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A.14bB.12b C.D.b4.设抛物线C ：22x py =的焦点为F ，(),4M x 在C 上，5MF =，则C 的方程为（）A.24x y =B.24x y =-C.22x y =-D.22x y=5.若函数()1e x af x x -+=-在区间()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(],1-∞-B.(),1-∞C.[)0,∞+ D.(],1-∞6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB 的面积为12”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.34-B.34C.1-D.18.若实数a b c d ,,,满足2e 111a a cb d --==-，则22()()ac bd -+-的最小值是（）A.8 B.9 C.10D.11湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）1．已知集合{}2430,{ln 1}A x x x B x x =-+<=≤∣∣，则A B = （）A ．(1,e]B ．[1,3]C ．(0,e]D ．(0,3]2．若i 是虚数单位，则复数23i1i ++的实部与虚部之积为（）A ．54-B ．54C ．5i 4D ．5i4-3．函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（）A ．2B ．0C ．2D ．2+4．已知函数()2()lg 45f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞-5．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A B ．132C ．72D 6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角的正切值为（）A ．22B ．1C D ．7．设正实数,,x y z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数3ln ()2xf x a ax x=+-，若存在唯一的整数0x ，使()00f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(ln 2,ln 3)B ．ln 3ln 2,52⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 3ln 2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2ln 3,23⎛⎫⎪⎝⎭湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）1.设集合{}{13},2,1,0,1M xx N =-<<=--∣，则M N ⋂=（）A.{}1,0,1- B.{}0,1C.{11}x x -<<∣ D.{11}xx -<≤∣2.已知i 是虚数单位，若()()2i 1i 4i a ++=，则实数=a （）A.2B.0C.1- D.2-3.设随机变量2(,)X N μσ ，且()3()P X a P X a <=≥，则()P X a ≥=（）A.0.75B.0.5C.0.3D.0.254.已知43log log 5,log 2a b c ===，则下列结论正确的是（）A.<<b c aB.c b a <<C.b a c<< D.<<c a b5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（）A.6πB. C.9πD.12π6.已知角π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且满足cos 4παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα+=（）A.2- B.2516 C.2516-D. 27.在等腰ABC 中，2,30,AC CB CAB ABC ∠===︒ 的外接圆圆心为O ，点P 在优弧AB 上运动，则2PA PB PO PC PA PB⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪-+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的最小值为（）A.4B.2C.-D.6-8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A.221189x y += B.2212718x y +=C.2213627x y += D.2214536x y +=湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）1.若i 为虚数单位，则()()2i 1i +-的虚部为（）A.iB.1C.i- D.-12.若集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=∣∣ ，则A B ⋃=R ð（）A.{01}x x <<∣B.{12}xx -<<∣C.{10xx -<<∣或02}x << D.{2}xx <∣3.已知不共线的两个非零向量,a b ，则“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度C.向右平移π6个单位长度D.向左平移π6个单位长度5.已知()()4223,0,,0,x x x f x g x x ⎧-->⎪=⎨<⎪⎩若()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，()0(0)g a a =<，则a =（）A.2±B.32-C.2-D.-16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点分别为12,,A A F 为C 的右焦点，C的离心率为2，若P 为C 右支上一点，2PF FA ⊥，记12π02A PA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.12B.1D.27.已知二面角l αβ--的平面角为π0,,,,,,2A B C l D l AB l AB θθαβ⎛⎫<<∈∈∈∈⊥ ⎪⎝⎭与平面β所成角为π3.记ACD 的面积为1,S BCD 的面积为2S ，则12S S 的取值范围为（）A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.12⎡⎢⎣C.32⎣D.3,12⎫⎪⎪⎣⎭8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有()*5n ∈N根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.64315B.256315C.32315D.128315湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）1.若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（）A.{}08x x ≤< B.182x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}216x x ≤< D.1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（）A.2B.1C.D.24.函数sin exx x y =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（）A.1B.2C.-1D.-26.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m7.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-38.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A.6πB.9πC.31π4D.21π湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i-- B.24i-+ C.62i- D.62i+2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A.B.C.D.4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3B.3- C.4- D.45.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1B ．22C ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}0x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++=A ．12B ．14C ．0D ．2湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-2.已知复数z 满足2(1i)z 24i -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.i-3.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为n a （9n ≤，*n ∈N ），已知11a =，21a =，按规则有1221n n n a a a --++=（3n ≥，*n ∈N ），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（）A.31B.16C.11D.74.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数与6x 的系数之比为（）A.6B.-6C.15D.-155.函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.6.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-37.若点G 是ABC 所在平面上一点，且0,AG BG CG H →++=是直线BG 上一点，AH xAB =+ y AC ，则224x y +的最小值是（）．A.2 B.1C.12D.148.已知0.05a e =，ln1.112b =+，c =）A.a b c >> B.c b a >>C.b a c>> D.a c b>>参考答案湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案1.A【解析】解不等式260x x --<，得23x -<<，则{}23A x x =-<<，解不等式2log 1x <，得02x <<，即{}02B x x =<<，所以()2,3A B =- ，故选A.2.B【解析】若向量a b ∥ ，则()3210λλ⨯--=，即260λλ--=，解得2λ=-或3λ=，所以“3λ=”是“a b ∥”的充分不必要条件，故选B.3.D【解析】因为i z a b =-，所以i z a b -=-+，故A 错误；()()22i i z z a b a b a b ⨯=+-=+，z =，故B 错误；2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故C 错误；由复数的几何意义可知，()1212z z z z --≤+-，则1212z z z z +≤+，故D 正确.故选D.4.C【解析】依题意，圆C ：(2218x y +-=，故圆心(C 到直线l ：3sin 20x y θ⋅-=的距离d =，故MN =≥，当且仅当2sin 0θ=时等号成立，故min MN = C.5.C【解析】因为12152a =<，所以245a =，335a =，415a =，525a =，所以数列具有周期性，周期为4，所以202333$5a a ==.故选C.6.B【解析】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形，所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，又因为每段的长度尽可能小，所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35，这时n 达到最大为9.故选B.7.D【解析】由题设有()1cos 11sin 22224x f x x x ωπωω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,令()0f x =，则有4x k πωπ-=，k ∈Z ，即4k x ππω+=，k ∈Z .因为()f x 在区间(),2ππ内没有零点，故存在整数k ，使得5442k k ππππππωω++≤<≤，即1,45,28k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩因为0ω>，所以1k ≥-且15428k k +≤+，故1k =-或0k =,所以108ω<≤或1548ω≤≤，故选D.8.D【解析】设()242a g x x x =--，其判别式21604a =+>△，∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，由2402a x x --=，得1x =2x =，∴()121224,,224,,24,.2ax x x a f x x x x x x ax x x ⎧+<⎪⎪⎪=--≤⎨⎪⎪+>⎪⎩≤①当0a ≤时，()f x 在()1,x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2-∞-不可能单调递增，故0a >；②当0a >时，()20g a -=>，故12x >-，则120x -<<，∵()f x 在()1,x -∞上单调递增，∴()f x 在(),2-∞-上也单调递增，102ga =--<2x <，由()f x 在2,8a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴()f x 在,8a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，欲使()f x在)+∞上单调递增，只需8a≤，得a ≤，综上，实数a的范围是0a <≤故选D.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案1.B 【解析】集合{}19B x x =-≤≤，{}1,3,7,11,15,A =- ，则{}1,3,7A B ⋂=-，即元素个数为3.故选：B 2.A 【解析】复数()20231i i 1i 1i 1i 1i i i +-+-+====---a a a a a a，因为其虚部为3，所以13-=a ，可得13=-a .故选：A.3.A 【解析】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又)b =，所以2b ==，∴1a =或0a = （舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4.A 【解析】抛物线22x py =的开口向上，由于(),4M x 在C 上，且5MF =，根据抛物线的定义可知45,22pp +==，所以抛物线C 的方程为24x y =.故选：A 5.D 【解析】由()1ex a f x x -+=-，得()1e 1x a f x -+=-'，因为函数()1e x af x x -+=-在区间()0,∞+上单调递增，所以()1e10x a f x -+'=-≥在区间()0,∞+恒成立，所以10x a -+≥在区间()0,∞+恒成立，即1a x ≤+在区间()0,∞+恒成立，所以1a ≤.故选：D 6.A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对称性，当1k =-时,OAB 的面积为12.所以必要性不成立.故选A.7.B 【解析】π2sin()4αα=+Q ，)222(sin cos )2cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.8.A 【解析】由2e 1a a b-=，得2e a b a =-，令()2e x f x x =-，则()'12e x f x =-，令()'0fx =得ln 2x =-，当ln 2x >-时，()()'0,f x f x <单调递减，当ln 2x <-时，()()'0,f x f x >单调递增；由111cd -=-，得2d c =-+，令()2g x x =-+，()(),f x g x 的图像如下图：则22()()a c b d -+-表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，显然，当过M 点的()f x 的切线与()g x 平行时，MN 最小，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y ，由()0'012e 1xf x =-=-，解得00x =，所以切点为()00,2M -，切点到()y g x =的距离的平方为28=，即22()()a c b d -+-的最小值为8；故选：A.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案1．A【解析】{}2430(1,3),{ln 1}(0,e],(1,e]A x x x B x x A B =-+<==≤=∴= ∣∣，故选A ．2．B 【解析】因为23i (23i)(1i)51i 1i (1i)(1i)22++-==+++-，所以实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54．故选B ．3．D【解析】因为09x ≤≤，所以9066x ππ≤≤，所以73636x ππππ-≤-≤，所以当633x πππ-=-时，有最小值为2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当632x πππ-=时，有最大值为2sin 22π=，所以最大值与最小值之差为2，故选D ．4．A【解析】由于()2()lg 45f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，而lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以2450,2,a a a ⎧--≥⎨≥⎩所以5a ≥，故a 的取值范围是[5,)+∞，故选A ．5．C【解析】由双曲线的定义得，12||||||2PF PF a -=，又123PF PF =，所以21,3PF a PF a ==，所以在12F PF △中，有222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即2224923cos 60c a a a a =+-⋅⋅︒，化简得2247c a =，即2274c a =，所以离心率72c e a ===，故选C ．6．D【解析】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(1,0,2),(2,1,2),(2,0,1),(2,1,0),(1,0,0)E F G H K ，设平面EFG 的法向量为(,,),(1,1,0),(1,0,1)m x y z EF EG ===-，所以0,0,EF m x y EG m x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1,1,1x y z ==-=，所以(1,1,1)m =- ，设平面GHK 的法向量为(,,),(0,1,1),(1,0,1)n a b c GH GK ==-=--，所以0,0,GH n b c GK n a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令1,1,1a b c ==-=-，所以(1,1,1)n =-- ，设平面EFG 和平面GHK 的夹角为θ，则1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅，因为平面EFG 和平面GHK 的夹角为锐角，所以1cos |cos ,|3m n θ=〈〉= ，所以22sin sin ,tan 3cos θθθθ====，故选D ．7．B【解析】2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-．8．C【解析】由()0f x >，得3ln 2x a ax x >-+，令3ln (),()2xg x h x a ax x==-+，则23(1ln )()x g x x -'=，则()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，作出()g x 的大致图象如图所示，易知()h x 的图象是恒过，点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线，若0a ≤，则显然不符合题意；若0a >，则(2)(2),(3)(3),g h g h >⎧⎨≤⎩即3ln 24,23ln 36,3a a a a ⎧>-+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩解得ln 3ln 252a ≤<．故选C ．湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案1.B 【解析】由已知得{}0,1M N = ．故选：B 2.A 【解析】因为R a ∈，()()()2i 1i 22i 4i a a a ++=-++=，所以2024a a -=⎧⎨+=⎩，解得2a =．故选:A 3.D 【解析】随机变量2(,)X N μσ ，显然()()1P X a P X a <+≥=，而()3()P X a P X a <=≥，所以()0.25P X a ≥=.故选：D 4.B 【解析】因为2234422log 62log log 21log 5log 6==log log 42c b a =<<=<=，即c b a <<．故选：B ．5.C【解析】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知111,2O D SO ==，可知130O SD ∠=，所以圆锥的轴截面为正三角形，因为3SO =，所以圆锥底面圆半径tan 30AO SO =⋅=cos 06AOSA ==o，则圆锥的表面积为2ππ9πS =⨯+=．故选：C ．6.D 【解析】由已知得π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3(sin cos )cos ααα-=，∴4tan 3α=，∵π(0,2α∈，∴43sin ,cos ,sin 2cos 255αααα==+=.故选：D.7.D 【解析】由已知2,30AC CB CAB ∠===︒，所以圆O 的外接圆直径为24sin BCR A==，因为30APC ABC BPC BAC ∠∠∠∠====︒，所以PA PB PA PB += ，所以2223112|2(2622PA PB PO PC PO PC PC PC PA PB PC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ -+⋅=-⋅=-=--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2AC PC R <≤ ，即24PC <≤，所以PC = 时，取到最小值6-．故选：D ．8.A 【解析】根据题意设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程可得22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，整理可得2221211122y y x x b a x x y y --++=-；又因为AB 的中点坐标为()1,1-，可得12122,2x x y y +=+=-；因此过,A B 两点的直线斜率为212212ABy y b k x x a -==-，又()3,0F 和AB 的中点()1,1-在直线上，所以101132AB k --==-，即2212b a =，可得222a b =；又易知3c =，且22229a b c b =+=+，计算可得2218,9a b ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=，代入AB 的中点坐标为()1,1-，得()22113118918-+=<，则其在椭圆内部，则此时直线AB 与椭圆相交两点.故选：A.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）参考答案1.D【解析】因为()()2i 1i 22i i 13i +-=-++=-，故选D.2.B【解析】不等式2log 1x <解得02x <<，则{02}A xx =<<∣，{1},{1}{11},{12}B x x B x x x x A B x x ==<=-<<∴⋃=-<<R R∣∣∣∣ ，故选B.3.C【解析】因为,a b 不共线，可知a b + 与a b - 不共线，则a b + 与a b - 所成角为锐角等价于()()0a b a b +⋅-> ，即22a b > ，即a b > ，所以“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的充分必要条件.故选C.4.B【解析】()()π5π5πsin2,sin 2sin212612f x x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πππ12123-=，故选B.5.C【解析】由题意可得当0a <时，()()0f a g a ==，因为()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，所以()()f a f a =--，所以()()()()4222230,1230g a f a a a a a =--=-++=+-=，所以21a =-（舍去），或232a =，因为0a <，所以2a =-.故选C.6.A【解析】设C 的焦距为2c ，点()00,P x y ，由C 的离心率为2可知2,c a b ==，因为2PF FA ⊥，所以0x c =，将()0,P c y 代入C 的方程得220221y c a b-=，即0y =，所以()2133tan 3,tan 1PA F PA F c a c a ∠∠====---，故()21311tan tan 1312PA F PA F θ∠∠-=-==+⨯.故选A.7.C【解析】作AE CD ⊥，垂足为E ，连接BE ，因为AB l ⊥，即,,,AB CD AE AB A AE AB ⊥⋂=⊂平面AEB ，故CD ⊥平面,AEB BE ⊂平面AEB ，故CD BE ⊥，又CD ⊂平面β，故平面AEB ⊥平面β，平面AEB ⋂平面BE β=，则AB 在平面β内的射影在直线BE 上，则ABE ∠为AB 与平面β所成角，即π3ABE ∠=，由于,AE CD CD BE ⊥⊥，故AEB ∠为二面角l αβ--的平面角，即π02AEB ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，121212AE CD S AE S BEBE CD ⨯==⨯，在ABE 中，sin sin sin AE BE ABABE BAE AEB∠∠∠==，则sin 1sin 2sin AE ABE BE BAE BAE∠∠∠==⋅，而π02θ<<，则π2ππ33BAE ∠θθ=--=-，则π2π1,,sin ,1632BAE BAE ∠∠⎛⎫⎛⎤∈∴∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故sin 313sin 2sin 2AE ABE BE BAE BAE ∠∠∠==⋅∈⎣，故选C.8.D【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n ，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有22n -种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下1n -根绳子进行打结，令()*n n ∈N根绳子打结后可成圆的种数为na，那么经过一次打结后，剩下1n -根绳子打结后可成圆的种数为1n a -，由此可得，()122,2n n a n a n -=- ，所以()1212122,24,,2n n n n a a an n a a a ---=-=-= ，所以()()()112224221!n na n n n a -=-⨯-⨯⨯=⋅- ，显然11a =，故()121!n n a n -=⋅-；另一方面，对2n 个绳头进行任意2个绳头打结，总共有()()()222222224222122212!C C C C ;!2!2!n n n nn n n n n N n n n --⋅-⋅-⋅⋅⋅===⋅⋅ 所以()()()()12121!2!1!2!2!2!n n n n n n n a P n N n n --⋅-⋅-===⋅.所以当5n =时，128315P =，故选D .湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案1.D 【解析】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2.A 【解析】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3.C 【解析】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=，所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=，所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++.故选：C .4.D 【解析】令()sin exx x f x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin eexxx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx x y =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx x y =>，排除C 选项.故选：D.5.B 【解析】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，所以2k m +=．故选:B ．6.B 【解析】设球的半径为R，,tan10R AB AC ==，100tan10RBC =-=- ，25250.760.985R R ==故选:B.7.B【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8.B 【解析】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠==设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案1.C 【解析】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.C 【解析】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.A 【解析】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.A【解析】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =-- ，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-= .故选：A.5.C【解析】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g⨯≈⨯=故选：C.6.A【解析】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n n n n a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A.7.C【解析】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.D【解析】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案1．B2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2UA B x x => ð．故选D ．3．D 【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b 同向共线，所以1a b a b -=-= ，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C ．6．B【解析】∵2333332log 3log log log 23c a ===>=，∴c a >，又23442log 4log 3c ===44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A 【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x x π+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++= ，故选A ．湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案1.B【解析】因为21x ≤，所以11x -≤≤，即{}|11A x x =-≤≤，所以A B = {}|11x x -≤≤.故选：B.2.B【解析】由题意，化简得224i 24i 2i 42i (1i)2i 2z --+====+--，则2i z =-，所以复数z 的虚部为1-．故选：B3.D【解析】由题意，11a =，21a =，1221n n n a a a --++=（3n ≥，*n ∈N ），解下第4个圆环，则4n =，即43221a a a =++，而321211214a a a =++=++=，因此44217a =++=，所以解下第4个圆环最少需要移动的次数为7.故选：D.4.B【解析】由题设6621661C ()(1)C r r r r r r r T x x x--+=-=-，所以含4x 项为()1144261C 6T x x =-=-，含6x 项为()0066161C T x x =-=，，则系数之比为-6.故选：B.5.C【解析】解：根据题意，对于函数()()e e 2cos x xx f x x-+=+，有函数()()()()e e e e 2cos 2cos x xx xx x f x f x x x---++-==-=-++，即函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ､B ；当0x >时，cos [1,1]x ∈-，则恒有()()e e 02cos x x x f x x -+=>+，排除D ；故选：C.6.B【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．7.C【解析】设()G x y ,，112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，因为0AG BG CG ++= ，所以1233x x x x ++=，1233y y y y ++=，所以点G 是ABC 的重心，设点D 是AC 的中点，则2AC AD =，B 、G 、D 共线，如图，又2AH x AB y AD =+ ．因为B 、H 、D 三点共线，所以21x y +=，所以()()22222214222x y x y x y ++=+≥=，当且仅当2x y =，即12x =，14y =时取等号，即224x y +的最小值是12.故选：C ．8.D【解析】令()()10x f x e x x =-->，则()10x f e x ='->，()f x \在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x >+，0.1 1.1e ∴>，0.05e ∴>，即a c >；令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，ln 1x x ∴≤-（当且仅当1x =时取等号），1∴≤-，即ln 12x +≤1x =时取等号），ln1.112∴+<，即b c <；综上所述：a c b >>.故选：D.。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试题
长郡中学2016届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题（共60分）1．若集合A=｛|2xy y =｝，B=｛x ｜2230x x -->，x R ∈｝，那么A I （B ）＝A 、［一1，3］B 、（0，3］C 、（3，十∞）D 、（0，一1）U （3，＋∞）2．若复数z 满足3一i ＝（z ＋1）i ，则复数z 的共扼复数z 的虚部为 A 、3 B 、3i C 、一3 D 、一3i3．已知随机变量X 服从正态分布N （3，l ），且p （2≤X ≤4）＝0.6826，则 P （X ＞4）＝A 、0.158 8B 、0.1587C 、0.1586D 、0.1585 4．下列说法中，不正确的是A 、已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若22am bm <，则a ＜b ”为真命题B 、命题：“2000,x R x x ∃∈-＞0”的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤”C 、命题“p 或q ”为真命题，则命题P 和命题q 均为真命题D 、“x ＞3”是“x ＞2”的充分不必要条件5．若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是 A 、k ＜14？ B 、k ＜15？C 、k ＜16？D 、k ＜17？6．若26(1)x ax ++（a ＞0）的展开式中2x 的系数是66，则实数a 的值为A 、4B 、3C 、2D 、l7．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（125,1313-）， “∠AOC ＝α”，若｜BC ｜＝1，则233cos sincos222ααα--的值为 A 、－513 B 、513 C 、－1213 D 、12138．若f （x ）＝ln （3xe ＋1）＋a x 是偶函数，则a 的值等于 A 、52 B 、－52 C 、32 D 、－329、如图是函数f（x）＝Asin（2x＋ϕ）（｜ϕ｜2π≤）图像的一部分，对不同的x 1，x2 [,]a b∈，若f（x l）＝f（x2），有f（x l＋x2）＝3，则A、f（x）在（一5,1212ππ）上是减函数B、f（x）在（5,36ππ）上是减函数C、f（x）在（一5,1212ππ）上是增函数D、f（x）在（5,36ππ）上是增函数10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为11．已知椭圆C1：2211xy+＝1，双曲线C2：22221(0,0)x ya ba b-=>>，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为A、5B、5C、17、214712．已知定义在R上的函数f（x），当x∈［0,2］时，f（x）＝8（l一｜x一1｜），且对任意的实数，都有f（x）＝，若g（x）＝有且仅有三个零点，则a的取值范围为A、［2，10］B、［2,10］C、（2，10）D、（2,10）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13·已知直线y＝－x＋1是曲线f（x）＝－1xeag的切线，则实数a＝．14．设实数x，y满足621x yy xx≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，向量a＝（2x一y，m），b＝（一1，1）若a／／b，则实数m的最小值为15．过抛物线C：22(y px p=＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为16．如图，在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222,3a b c bc a=++=，S 为△ABC的面积，圆O是△ABC的外接圆，P是圆O上一动点，当S＋3cos cosB C取得最大值时，PA PBu u u r u u u rg的最大值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X l，生产一件乙品牌家电的利润为X2，如果该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a的前n项和为n S，561124,a a S+=＝143．数列{}n b的前n项和为nT，满足112(1)(*)nanT a n Nλ-=--∈．（I）求数列{}n a的通项公式及数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和；（II）是否存在非零实数λ，使得数列{}n b为等比数列？并说明理由．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面AB CD是梯形，AD／／BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB ＝∠DAA1。
湖南省长郡中学高三第四次月考作文
湖南省长郡中学高三第四次月考作文导读：【作文题目】阅读寓言《风与火柴》，根据要求作文。
一根纤细的火柴被主人划着了，火苗欢舞着，异常兴奋。
远处的风看见火柴纤弱的生命，在顷刻间即将灰飞烟灭，感到十分惋惜，便疾速跑过去，一口气吹灭了燃烧的火苗，救了火柴。
熄灭了的火柴被主人扔在了地下，火柴抬头对着风说：“风婆婆，你怎么吹灭了我啊?”风回答说：“孩子，我是不忍心看着你短暂的生命那么快就完结了啊!”火柴听后，叹息道：“唉，风婆婆，我短暂的生命最大的价值就是在于燃烧啊!可您却扼杀了我短暂生命中的闪光点。
”有时，爱也是一种伤害。
请根据上面的材料，白选角度，白拟题目，写一篇不少于800字的记叙文或议论文。
【作文范文】“为什么?为什么我的未来要由你来主宰?为什么我不能自己决定。
”19岁的女儿对着我大闹。
这也不能怪她，也都怨我，但我不得不这样做。
快高考了，她想出国留学。
而我，却要她留在中国，考艺术方面的专业，这是他爸爸临死前唯一的愿望。
“为什么??!”她发疯般地尖叫，然后摔门而去。
我一下子坐在沙发上，回想从前……“爸，我们要高考了!”一位年轻的姑娘对自己的父亲说。
“哦。
林，你准备考哪个专业?”“啊?爸，我想当个警察，跟妈妈一样!”父亲慈祥的面孔就在那一瞬间变得严肃起来，他说：“不行。
绝对不行。
你无论当什么我都同意，就是不能当一个警察!”年轻女孩嘟着嘴：“为什么?为什么?为什么?”父亲的脸沉了下来。
“原因你不是不知道。
你妈就是干着行把命都干掉了!我不想再失去我唯一的女儿!不想再白发人送黑发人!”年轻姑娘摇了摇头大喊：“父亲你简直是不可理喻!正是因为妈妈被犯人杀害，所以我才要当警察，我要除暴安良。
我要把妈生前没有做完做好的事完成了。
”她边说边落泪，跑出那间小屋，任双腿残疾的父亲在后面叫喊……“爸，我回来了。
”眼角依然残留着泪水的年轻姑娘回来了。
父亲和蔼地望着她，让她坐下。
“父亲，我想通了。
我不会……”“不孩子，我给你讲一个故事吧。
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长郡中学高三第四次月考数学理科试卷一．选择题（每题5分，共50分）：1. 若向量AB =(3，－1)，n =(2，1)，且n AC ⋅=7，那么n BC ⋅= （ B ） A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D ．02.如果10,a c a b c d e S b d e<<<<<=++，仅将a 、b 、c 、d 、e 中的某个变量增加1，则把变量（ A ）的值增加1会使S 的值增加最大。
A ． a B.b C.c D.d 3. 一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n 层与第n +1层花盆总数分别为f （n ）和f （n +1），则f （n ）与f （n +1）的关系为（ C ）A. f （n +1）－f （n ）=1B.f （n +1）－f （n ）=nC. f （n +1）－f （n ）=n +1D. f （n +1）=f （n ）+2n 4. 以椭圆上一点和椭圆的两焦点为顶点的三角形面积最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（ C ） A ．2B ．2C．D ．45. 设n 为满足4502210<+⋅⋅⋅+++nn n n n nC C C C 的最大自然数，则n 等于 ( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 6. 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是（ A ）A. 82B.28±C.24D.24± 7. 如图，目标函数y ax P +=仅在封闭区域OACB 内（包括边界）的点)54,32(C 处取得最大值，则a 的取值范围是( B )A.)125,310(--B. )512,103( C.)103,512(-- D.)103,512(-8. 对于任意整数x 、y ，函数f (x )满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )＋xy ＋1 ，若f (1)=1，那么f (－8)= （ D ）A ．－1B ．1C ．43D ．19 9.一正方体1111ABCD ABC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA =++114AD +，那么点M 一定在平面（ C ）内。
湖南省长沙市重点中学一中学2011届高三第四次月考(数学文)
湖南省雅礼中学2011届高三第四次月考数学试题(文科）（考试范围：全部高考内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置。
1．已知集合2{||2|1},{|40}A x x B x x x =-<=-<，则“a A ∈”是“a B ∈”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．下列函数中周期为1的奇函数是（ )A ．22cos1y x π=-B ．sin 2cos 2y x x ππ=+C ．tan 2x y π=D ．sin cos y x x ππ=⋅3．下列不等式中恒成立的个数有（ ）①12(0)x x x+≥≠②(0)c c a b c a b<>>>③(,,0,)a m a a b m a b b m b+>><+④||||2a b b a a ++-≥A ．4B ．3C ．2D ．14．等差数列{}na 中，若14736939,27aa a a a a ++=++=，则前9项的和9S 等于( )A ．66B ．99C ．144D ．2975．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的倾斜角为α，且222cos 2sin 1αα=+,则双曲线的离心率为 （ ）A ．233B ．2C ．3D ．26．下列四个正方体图形中,A 、B 为正方体的两个顶点,M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①、③B ．①、④C ．②、③D ．②、④7．已知,a b 是两个相互垂直的单位向量, 而||13,3,4c c a c b =⋅=⋅=，则对于任意实数1212,,||t t c t a t b --的最小值是（ ）A ．5B ．7C ．12D ．138．设1212(,),(,)a a a b b b ==。
湖南省长郡中学高三数学第四次月考 文 新人教A版
湖南长郡中学2011届高三第四次月考数学试题（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设全集U R =，集合{|22}M x x =-≤≤，集合N 为函数ln(1)y x =-的定义域，则()U M C N ⋂等于（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|2}x x ≥-C ．{|21}x x -≤≤D ．{|2}x x ≤2．已知条件p ：a ﹤0，条件q ：2a ﹥a ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．极坐标θρcos 2=和参数方程)(3231为参数t t y tx ⎩⎨⎧+=--=所表示的图形分别是（ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线4．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。
由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是 （ ）A ．900件B ．800件C ．90件D ．80件5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．3C ．547．设a ＞0，b ＞0，是4a 与2b 的等比中项，则21a b+的最小值为 （ ）A ．B ．8C ．98．已知点C 为抛物线)0(22>=p px y 的准线与x 轴的交点，点F 为焦点，点A 、B 是抛物线上的两个点。
湖南长沙市一中2011届高三第四次月考(数学文)
湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学文）时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、 三角函数、平面向量、复数、数列、不等式）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U R =，集合{}210A x x =-≤ ，则UA =ð ( )A ．{}11x x -<<B ．{}11x x x ≤-≥或C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -≤≤2．复数zT z +=13，在复平面内，z 对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a 、b 不共线，e1 =ka －b ，e2 =2a+b ，若e1// e2，则实数k 的值为 ( )A ．12k =B ．2k =-C ．2k =D ．12k =-4．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( )A ．2±B ．3C ．2D ．1 5．下列命题为真命题的是 ( )A ．a b >是11a b <的充分条件B ．a b >是11a b <的必要条件 C ．a b >是22a b >的充要条件 D ．0a b >>是22a b >的充分条件 6．右图是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 ( )A ．2sin(2)3y x π=-B ．2sin(2)3y x π=+ C ．22sin(2)3y x π=-D ．12sin()23y x π=+3π2 －2x712πOy7．已知411x y y x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 ( )A ．－7B ． 211C ．－1D ．－88．把正整数按“S ”型排成了如图所示的三角形数表，第n 行有n 个数，设第n 行左侧第一个数为na ，如515a =，则该数列{}n a 的前n 项和nT （n 为偶数）为（ ）A ．(1)(21)10n n n n T ++=B ．32643n n n nT =++C32646n n n nT =+-D ．(1)(2)6n n n n T ++=243nn ++二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．三进制数121(3)化为十进制数为 ． 10．已知向量(2,1)a =-，(3,1)b =--，若单位向量c 满足()c a b ⊥+，则c = ．11．若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ．12．右图为定义在zT ·i+T 上的函数()f x 的导函数()f x '的大致图象，则函数()f x 的单调递增区间为 ，()f x 的极大值点为x = ．13．111133520092011S =+++=+++ ．14．若函数()cos 2cos f x x a x =+（x R ∈）的最小值为－4，则a 的值为 ．15．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥在实数集上恒成立，且a b <，则xy()y f x '=O －11 2 3 4第12题12 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 16 17 18 19 20 21… … … 第8题图a b cT b a ++=-的最小值为 .三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设集合2{|(1)0}A x x a x a =-++<，21{|0}2x B x x +=>-．（1）当a=3时，求A B ；（2）若R A B⊆ð，求a 的取值范围．17．（本小题满分12分）设函数()cos cos ,3f x x x x Rπ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()0f B =，b=1，c=3，求a的值.18. （本小题满分12分）已知{}n a 为等比数列，11a =，前n 项和为n S ，且6328S S =，数列{}n b 的前n 项和为nT ，且点(,)n n T 均在抛物线21122y x x =+上．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n nc a b =⋅，求{}n c 的前n 项和nS '．19．（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米． （1）分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？x 米a 米a 米 y 米20．（本小题满分13分）已知函数21()(1)ln2f x x ax a x=+-+（1a<-）．（1）若函数()f x在2x=处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；（2）已知函数2()4ln2ln(2)g x x x b b=-+-，在（1）的条件下，若()()f xg x>恒成立，求b的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数3211()32f x ax bx cx=++（0a>）.（1）若函数)(xf有三个零点分别为123,,x x x，且3321-=++xxx，129x x=-，求函数)(xf的单调区间；（2）若1(1)2f a'=-，322a c b>>，证明：函数)(xf在区间(0，2)内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数)(xf 的两个极值点之间的距离不小于3，求ba的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U R =，集合{}210A x x =-≤ ，则UA =ð ( C )A ．{}11x x -<<B ．{}11x x x ≤-≥或C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -≤≤2．复数zT z +=13，在复平面内，z 对应的点位于 ( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a 、b 不共线，e1 =ka －b ，e2 =2a+b ，若e1// e2，则实数k 的值为 ( B )A ．12k =B ．2k =-C ．2k =D ．12k =-4．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( C )A ．2±B ．3C ．2D ．1 5．下列命题为真命题的是 ( D )A ．a b >是11a b <的充分条件B ．a b >是11a b <的必要条件 C ．a b >是22a b >的充要条件 D ．0a b >>是22a b >的充分条件 6．右图是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 ( B )A ．2sin(2)3y x π=- B ．2sin(2)3y x π=+ C ．22sin(2)3y x π=-D ．12sin()23y x π=+7．已知411x y y x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 ( A )A ．－7B ． 2113π2 －2x712πOyC ．－1D ．－88．把正整数按“S ”型排成了如图所示的三角形数表，第n 行有n 个数，设第n 行左侧第一个数为na ，如515a =，则该数列{}n a 的前n 项和nT （n 为偶数）为（ B ）A ．(1)(21)10n n n n T ++=B ．32643n n n n T =++ C ．32646n n n n T =+- D ．(1)(2)6n n n n T ++=243n n++ 【解析】方法一：（特值法）因为2T =123a a +=，把n=2代入选项，排除C 、D ，再代入n=4，因为416T =，B 选项满足，故选B ．方法二：因为当n 为奇数时，(1)122n n n a n +=+++=，当n 为偶数时，11n n a a -=+，故n 是偶数时，)1()1()1(113311+++++++++=--n n n a a a a a a T121212131++++++=-n a a a 2)(2131na a a n ++++=-1234(1)2nn n =⨯+⨯++-+222(11)(33)[(1)(1)]n n =+++++-+-2n +2222[135(1)][13(1)]n n =++++-++++-2n +令222212(1)S n n =+++-+，2222135(1)A n =++++-，2222246B n =++++，22222222123456(1)A B n n -=-+-+-++--1234(1)n n=--------(1)2n n +=-，又(1)(21)6n n n A B +++=，得(1)(21)(1)622n n n n n A +++-=(1)(1)6n n n +-=则n T (11)(1)(1)262nn n n n +-⋅+-=+2n +22(1)64n n n -=+2n +32643n n n=++． 二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9．三进制数121(3)化为十进制数为 16 ．10．已知向量(2,1)a =-，(3,1)b =--，若单位向量c 满足()c a b ⊥+，则c =(0,1)(0,-或．11．若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 3 ．12．右图为定义在zT ·i+T 上的函数()f x 的导函数()f x '的大致图象，则函数()f x 的单调递增区间为(1,2),(4,)-+∞，()f x 的极大值点为x =2 ．13．111133520092011S =+++=+++201112- ．14．若函数()cos 2cos f x x a x =+（x R ∈）的最小值为－4，则a 的值为5±． 15．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥在实数集上恒成立，且a b <，则a b cT b a ++=-的最小值为 3 .三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设集合2{|(1)0}A x x a x a =-++<，21{|0}2x B x x +=>-．（1）当a=3时，求A B ；（2）若R A B⊆ð，求a 的取值范围．【解析】（1）xy()y f x '=O －11 2 3 4第12题21{|0}{|(21)(2)0}2x B x x x x x +=>=+->-1{|,2}2x x x =<->或 ………2分当a=3时，{|(3)(1)0}(1,3)A x x x =--<=， …… ………4分A B =(2,3)． …… ………6分（2）因R B ð1[,2]2=-，R A B ⊆ð，122a ∴-≤≤，∴a 的取值范围为1[,2]2-． …… ………12分17．（本小题满分12分）设函数()cos cos ,3f x x x x Rπ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()0f B =，b=1，c=3，求a的值.【解析】（1）()cos (cos cossin sin )33f x x x x ππ=-+13cos sin 22x x =-cos()3x π=+，3分 则()max 1f x =， ……………4分此时x 的取值集合为},23|{Z k k x x ∈=+ππ，即},32|{Z k k x x ∈-=ππ．6分（2）()f B cos()03B π=+=，得6B π=， ………8分 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2221(3)23cos6a a π=+-， …10分即 2320a a -+=，得1a =或2a =． ……………12分18. （本小题满分12分）已知{}n a 为等比数列，11a =，前n 项和为n S ，且6328S S =，数列{}n b 的前n 项和为nT ，且点(,)n n T 均在抛物线21122y x x =+上．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n nc a b =⋅，求{}n c 的前n 项和nS '．【解析】（1）因{}n a 为等比数列，6363311281S q q S q -==+=-，得3q =，得13n n a -= (3)分对数列{}n b ，因点(,)n n T 均在抛物线21122y x x =+上，则21122n T n n =+，所以111b T ==，当2n ≥时，2211111()[(1)(1)]2222n n n b T T n n n n -=-=+--+-n =， …………5分 所以n b n=（*n N ∈）． ……………6分（2）n n n c a b =⋅13n n -=⋅，nS '=01211323333n n -⋅+⋅+⋅++⋅，3nS '=1211323(1)33n n n n -⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减，得2nS '-=013⋅+1211313133n n n -⋅+⋅++⋅-⋅ ……………8分=1313n --3n n -⋅=312n -3nn -⋅(12)312n n --=， ……………10分 得 n S '(21)314n n -+=． ……………12分19．（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米． （1）分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？ 【解析】（1）由已知3000xy =，26a y +=，则3000y x =（6500x ≤≤）， ……2分(4)(6)S x a x a =-+-(210)x a =-x 米a 米a 米y 米6(210)(5)(6)2y x x y -=-⋅=--1500030306x x =--（6500x ≤≤）. ……6分（2）150001500030306303026S x x x x =--≤-⋅303023002430=-⨯= ………………10分当且仅当150006x x =，即50x =时，“=”成立，此时50x =，60y =，max 2430S =． ……12分即设计50x =米，60y =米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米． ……………13分20．（本小题满分13分）已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =+-+（1a <-）．（1）若函数()f x 在2x =处的切线与x 轴平行，求a 的值，并求出函数的极值；（2）已知函数2()4ln 2ln(2)g x x x b b =-+-，在（1）的条件下，若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)()a x ax a f x x a x x ++-+'=+-=， ………………1分因()f x 在2x =处的切线与x 轴平行，则(2)0f '=，得3a =-， ……3分 此时()f x '(1)(2)x x x --=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，则当1x =时，()f x 有极大值5(1)2f =-，当2x =时，()f x 有极小值(2)42ln 2f =-+．……6分（2）令()()()F x f x g x =-，则()F x 的定义域为(0,)+∞，()F x =2132ln 2x x x -+24ln 2ln(2)x x b b -+-- =212ln 2x x x --2ln(2)b b --（0x >），则()F x '=21x x --22(2)(1)x x x x x x ---+==． ………………8分当02x <<时，()0F x '<，所以()F x 在(0,2)上单调递减；当2x >时，()0F x '>，所以()F x 在(2,)+∞上单调递增．当2x =时，min ()222ln 2F x =---2ln(2)b b -2ln 2=--2ln(2)b b -，只需要min ()F x 2ln 2=--2ln(2)0b b ->，得2ln(2)b b -<12ln 2ln 4-= ………………11分 得2220124b b b b ⎧->⎪⎨-<⎪⎩20252522b b b ><⎧⎪⇒⎨-+<<⎪⎩或25250222b b -+⇒<<<<或 ………13分21．（本小题满分13分）已知函数3211()32f x ax bx cx =++（0a >）.（1）若函数)(x f 有三个零点分别为123,,x x x ，且3321-=++x x x ，129x x =-，求函数)(x f 的单调区间；（2）若1(1)2f a '=-，322a c b >>，证明：函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点； （3）在（2）的条件下，若函数)(x f 的两个极值点之间的距离不小于3，求ba 的取值范围.【解析】（1）因为211()()32f x x ax bx c =++，又1233x x x ++=-，129x x =-，则30x =，123,x x +=-129x x =- ……………1分因为x1，x2是方程211032ax bx c ++=的两根， 则332b a -=-，39c a =-，得2b a =，3c a =-， ……………3分 所以22()()b c f x ax bx c a x x a a '=++=++2(23)a x x =+-(1)(3)a x x =-+.令0)(/=x f 解得：1,3x x ==- 故()f x 的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是(,3),(1,)-∞-+∞．……5分（2）因为2()f x ax bx c '=++，1(1)2f a '=-，所以12a b c a ++=-，即3220a b c ++=. 又0a >，322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><. … 7分 于是(1)02a f '=-<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. … 8分①当0c >时，因为(0)0,(1)02a f c f ''=>=-<，而()f x '在区间(0,1)内连续，则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点，设为x=m ，则在(0,)x m ∈，()f x '>0，()f x 单调递增，在(,1)x m ∈，()f x '<0，()f x 单调递减，故函数()f x 在区间(0,1)内有极大值点x=m ； ……………9分②当0c ≤时，因为(1)0,(2)02a f f a c ''=-<=->，则()f x '在区间（1，2）内至少有一零点.同理，函数()f x 在区间(1，2)内有极小值点.综上得函数)(x f 在区间(0，2)内一定有极值点． …… 10分 （3）设m ，n 是函数)(x f 的两个极值点，则m ，n 也是导函数2()f x ax bx c '=++的两个零点，由（2）得3220a b c ++=，则b m n a +=-，32c b mn a a ==--. 所以2223||()4()4()(2)22b b b m n m n mn a a a -=+-=----=++. 由已知，2(2)23b a ++≥，则2(2)23b a ++≥，即2(2)1b a +≥. 所以2121b a +≥+≤-b 或a ，即1b a ≥-或3b a ≤-. ………… 12分又232c a b =--，322a c b >>，所以3322a a b b >-->，即334a b a -<<-. 因为0a >，所以334b a -<<-. 综上分析，b a 的取值范围是3[1,)4--. ……13分。
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湖南省长郡中学2011届高三第四次月考
数学（理）试题
（考试范围：集合与逻辑、算法与框图、函数、三角函数、平面向量、数列、推理与证明、不等式、计数原理、概率与统计、空间几何及空间向量、4—1、4—4、4—5）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时间120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合{|},{|12},A x x a B x x R =<=<<表示实数集，且()U A C B R = ，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．2a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
2．已知函数()22()x x f x P x R -=+∈为奇函数，则下列结论正确的是 （ ）
A ．1,()P f x =为R 上的减函数
B ．1,()P f x =-为R 上的减函数
C ．P=1，f （x ）为R 上的增函数
D ．P=-1，f （x ）为R 上的增函数
3．函数2sin()cos()((0,))36
y x x x π
π
π=--+∈，则y
（ ）
A ．有最小值-1，无最大值
B ．有最大值1，无最小值
C ．有最小值 1
D ．有最小值-14．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如
下的统计表格。
由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是 （ ）
A ．900件
B ．800件
C ．90件
D ．80件
5．如图，AC 为⊙O 的直径，BD AC ⊥于P 点，PC=2，
AP=8，则BC 的长为 （ ）
A B ．3
C ．4
D ．6．已知,,l m n 是三条不重合的直线，,,αγβ是三具不重合的平面，给出下列四个命题：
①若,//,m m αβαβ⊥⊥则；
②若直线m ，n 与平面α所成的角相等，则m//n ；
③存在异面直线m ，n ，使得m//α，m//β，n//β，则α//β； ④若,,,//,l m n l αββγγαγ=== 则m//n ；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知向量(,),(1,2),(,),//,a m n b c k t a b b ===且⊥c ，|a+c 则mt 的取值（ ）
A ．(,1]-∞
B ．(0,1]
C ．[—1，1]
D ．（—1，1）
8．将正整数排成下表：
1 2 3 4 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 则数表中的数2010出现在 （ ） A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列 D ．第45行第74列
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
9．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已
知从学生中抽取的人数为150人，那么该校老师人数为 人。
10．定义其种新运算“⊗”：S=a b ⊗的运算原理为如图的程序框图所示，则式子54⊗－
36⊗= 。
11．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到直线cos()4
2
π
ρθ+
=
的距离为 。
12．已知函数 ()f x x =-2+ax －b ，若a,b 均在区间[0，4]
内取值，则(1)0f >成立的概率是 。
13．如图所示，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体
的外接球的表面积为 。
14．设x ，y ，z
的最大值为 。
15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1。
棱长为1，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，
以下结论正确的是 （请写出所有正确结论的序号） （1）四边形BFD 1E 一定是平行四边形 （2）四边形BFD 1E 有可能为正方形
（3）四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 （4）四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D
（5）四边形BFD 1E 最小面积为
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
在3
,1,cos .4
ABC AB BC C ∆===中
（1）求sin A 的值；
（2）求BC CA ⋅
的值。
17．（本小题满分12分） 甲、乙两位工人参加技术培训，现分别从他们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，
（1）有茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（2）若将频率视为概率，对甲工人在今后的3次技术竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于
80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。
18．（本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在AB 上移动。
（1）证明：11D E A D ⊥；
（2）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为45°。
19．（本小题满分13分） 如图所示，三台机器人M 1、M 2、M 3和检测台M （M 与
M 1、M 2、M 3均不能重合）位于一条直
线上三台机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测，送检程序设定；当M 1把零件送达M 处时，M 2即刻自动出发送检，当M 2把零件送达M 处时，M 3即刻自动出发送检，设M 2的送检速度，且送检速度是M 1的2倍，M 3的3 倍。
（1）求三台机器人M 1、M 2、M 3把各自生产的零件送达检测台M 的时间总和；
（2）现要求三台机器人M 1、M 2、M 3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M 在该直线上
位置。
20．（本小题满分13分）
已知数列1111
{},(1).44
n n n a a a a +=
-=满足 （1）计算23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：312123
.4
n n a a a n a a a ++++<+
21．（本小题满分13分） 已知实数1
,[l n 3,0)3
x a y e a x ≥
=-函数是区间上的增函数，设函数13
2
2
()
,()[3(
)2].
3
f x a x
g x f x x =-=+ （1）求a 的值并写出()g x 的表达式； （2）求证：当()
10,[1]()
g x x e g x >+
<时； （3）设1
*11
[()],,{}n n n a g n n N a +=∈其中问数列是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等
的两项；若不存在，请说明理由。
参考答案
三、解答题
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分13分）
20．（本小题满分13分）
21．（本小题满分13分）。