黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期5月第四次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】

黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期5月第四次高考模拟考试试
题 理科数学【含答案】
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1.已知集合{|2}A x x =>，{0,1,2,3,4}B =，则B A ⋂的子集个数为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设i 是虚数单位，则复数()232z i i =-对应的点在复平面内位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3. 命题“2,20210x R x x ∀∈-+>”的否定是
A ．2
000,20210x R x x ∃∈-+< B ．2
000,20210x R x x ∃∈-+≤ C ．2,20210x R x x ∀∈-+< D ．2,20210x R x x ∀∈-+≤
4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用
2-2勾）
（股股勾+⨯⨯弦实黄实朱实=+⨯=4，化简，得222弦股勾=+，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（参考数据：732.13,414.12≈≈） A ．866
B ．500
C ．300
D ．134
5．已知直线1l ：10mx y +-=，2l ：(23)10m x my ++-=，m ∈R ，则“2m =-”是“12l l ⊥”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 下列命题中，不正确的是
A.线性回归直线ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x y ；
B.若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β；
（4题图）
C.若“
b
a 1
1<，则b a >”的逆命题为假命题； D.若ABC ∆为锐角三角形，则sin cos A B >. 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.
73 B.92 C. 94 D. 7
2
8.已知R x ∈,n x x )1
3(3
2
-
的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中
31
x
的系数是 A.7 B.-7 C.21 D.-21
9.黑龙江省即将进行高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 A.8种 B.12种 C.16种 D ．20种
10．已知函数()sin 2cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2θ=
A.
53 B. 54 C.55 D. 5
52 11．已知双曲线)0(1422
2
>=-b b
y x 的一条渐近线方程为03=-y x ，右焦点为，
F 点M 在 双曲线左支上运动，点N 在圆1)3(22
=++y x
上运动，则MF MN +的最小值为
A.6
B.7
C.8
D.9
12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，x
e x x
f 1
)(-=
，给出下列命题： ①当0x <时，x e x x f )1()(+=； ②函数()f x 有2个零点；
③0)(≤x f 的解集为(](]1,01--⋃∞，
； ④1x ∀，2x R ∈，都有2)()(21≤-x f x f . 其中正确的命题是 A. ①④
B. ②③
C. ①③
D. ②④
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13.设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ,若)2()(+<=>c P c P ξξ，则c 的值是__________．
14．铁人中学高三某班共有48人，学号依次为1,2,3，……，48，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为
6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么样本中还有一名同学的学号应为 ____________．
15.已知平面向量b a ,满足2,1==b a ，0=⋅b a ，设a 与b a k +的夹角为θ，若2
1
cos =
θ，则实数k 的值为____________．
16．如图，已知圆柱和半径为3的半球O ，圆柱的下底面在半球O 底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O ，则该圆柱体积的最大值为____________．
三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，且()121n n a a +=+()
*
N n ∈.
（Ⅰ）证明数列{}2+n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若122log 3n n a b ++⎛⎫
=
⎪
⎝⎭，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 18.（12分）2020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等
级为“基本满意”的市民有680人．
（Ⅰ）求频率分布于直方图中a 的值，并依据频率分布直
方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老
年人占
31，青年人占3
2
，现从该等级市民中按年龄分 层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3 人组成整改督导组，用X 表示督导组中青年人的人 数，求X 的分布列及数学期望)(X E .
19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，
2
,//π
=
∠ABC BC AD ，2=AD ，32=AB ，6=BC ．
（Ⅰ）求证：平面⊥PBD 平面PAC ；
（Ⅱ）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此
时该角的正弦值．
20.（12分）已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=． (Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；
(Ⅱ)证明：0ln 2>-x e e x (e 为自然对数的底数)恒成立．
21．（12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，
四边形1122A B A B 的面积为43，坐标原点O 到直线11B A 的距离为2
217
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 上一点P 作两条直线，分别与椭圆C 相交于异于点P 的点A ，B ，若四边形OAPB 为平
行四边形，探究四边形OAPB 的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极
坐标方程为θθρsin 2cos 6+=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t
x 2
2222
1（为参数t ）
．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设点)0，
3(Q ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点，求QB QA ⋅的值． 23. （10分）已知函数()22f x x a x =--+. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （Ⅱ）当2a =时，函数()f x 的最小值为t ，
11
4t m n
+=-（0,0m n >>），求m n +的最小值.
答案
一．选择题（60分）
二．填空题（20分）
13. 1 14. 27 15. 3
3
2 16.π2 三．解答题（70分）
17. （12分）（1）解：（Ⅰ）由()121n n a a +=+得()1222n n a a ++=+， 因为02≠+n a ，所以
22
2
1=+++n n a a ，又因为321=+a
所以数列{}2n a +是以3为首项，以2为公比的等比数列， ……………3分 可得1
232
n n a -+=⨯，从而1
32
2n n a -=⨯-()*
N n ∈. ………………6分
（Ⅱ）依题意，12+2log =3n n a b +⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
2log 2n n =， 故
()111
1n n b b n n +==+111
n n -+， ………………………………………9分 故1111223
n T =-
+-+1111
n n n n +
-=++.……………………………12分 18.（12分）（1）由频率分布直方图知，
0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++= 由100.075)1a ⨯
+=（解得0.025a =， 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ⨯⨯+=，解得2000N =人.
不满意的频率为10(0.0020.004)0.06⨯+=，所以共有20000.06120⨯=人，即不满意的人数为120人.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
B
A
B
B
D
C
C
A
C
A
（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则青年人抽取4人分别记为
1234A A A A 、、、，老年人抽取2人分别记为12B B 、，从6人中选取3人担任整改督导员，
X 的所有取值为1,2,3
51)1(361422===C C C X P ,53)2(362412===C C C X P ,51
)3(3
6
3402===C C C X P 所以X 的分布列为 X
1
2
3
P 51
53 5
1
25
1
3532511)(=⨯+⨯+⨯=X E
19. （12分）（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，
又3tan ,tan 33AD BC
ABD BAC AB AB
∠=
=∠==， 90,60,30=∠∴=∠=∠∴AEB BAC ABD ，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）
． 又A AC PA =⋂，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD （2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 设AP t =，则()()
()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ， 则()
23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()
23,6,PC t =-，设平面
PBD 法向量为(),,n x y z =，
则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即2320
20x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个
法向量为231,3,n t ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以
222
2
6333cos ,12
14448451PC n PC n PC n
t t t t ⋅=
=
=
++
++
，
因为2222144144
5151275t t t t
++
+=≥，当且仅当23t =时等号成立， 所以5
c 333
53os ,PC n ≤
=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤， 即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为3
5
． 20.(Ⅰ)解：函数的定义域为，
1分
当时，恒成立，所以在内单调递增； 2分 当时，令
，得，所以当
时
，
单调递增； 3分
当
时
，单调递减， 4分
综上所述，当时，在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递增，在
内单调递减 5分
(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，
特别地，取，有，即
，
所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证
恒成立，
只要证明在上恒成立即可 7分
设，则
， 8分
当时，单调递减，
当时，
单调递增． 10分 故当时，
，即
在
上恒成立
因此，有，又因为两个等号不能同时成立，
所以有恒成立 12分
或：令，则，
再令，则， 由知，存
， 使得，得，
由
可证
，进而得证．
21. （1）直线11A B 的方程为1x y
a b
-
+=，
由题意可得22243221711
ab a b ⎧=⎪⎪=+23a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 或)(23舍⎩⎨⎧==b a ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=
（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =±，此时3OAPB
S
=
当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立22
143
x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，可得222(43)84120k x kmx m +++-=， 则2248(43)0k m ∆=-+>，
122843km x x k +=-+，2122412
43m x x k -=+，
()12122
6243
m
y y k x x m k +=++=
+， ∵四边形OAPB 为平行四边形，∴OA OB OP +=，∴22
86,4343km m P k k ⎛⎫-
⎪++⎝⎭
， ∵点P 在椭圆上，∴2
2
22864343143
km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得2234
m k =+， 222
2
124343||11k m AB k x k ⋅-+=+-=+，
原点O 到直线AB 的距离2
1
d k =
+
2243||43
||3OAPB
m k m S
AB d -+=⋅==， 综上，四边形OAPB 的面积为定值3.
22.(Ⅰ)由ρ＝6cos θ＋2sin θ，得ρ2
＝6ρcos θ＋2ρsin θ，
又由222,sin ,cos ρθρθρ=+==
y x y x 2分
得曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝6x ＋2y ，即 10)1()3(2
2
=-+-y x 3分
由⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 22222
1，消去参数t ，
得直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0. ………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 的参数方程可化为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-
=t y t x 2222
3 (为参数t )， ………6分
代入曲线C 的直角坐标方程10)1()3(2
2
=-+-y x 得0922
=--t t
.… 8分
由韦达定理，得921-=⋅t t ，则由直线参数方程t 的几何意义得 |QA |·|QB |＝21t t ⋅＝9 ………10分
23解：（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥⇔-≥+ 两边平方得()()2
2
412x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][
),04,-∞⋃+∞
（2）当2a =时，()6,2,22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪
=--+=--<<⎨⎪-≥⎩
，可得4t =-，
∴
1144m n
+= (0,0)m n >> ∴()11144m n m n m n ⎛⎫+=
++ ⎪⎝⎭
1515914444416n m m n ⎛⎫⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，当且仅当2m n =，即3
16n =，3
8
m =
时取等号.。