黑龙江省大庆市铁人中学高考数学复数习题及答案百度文库
高考数学试卷复数题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)），若 \( z \) 在复平面上对应的点与原点的距离为2，则 \( a^2 + b^2 \) 的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 02. 设 \( z_1 = 1 + i \)，\( z_2 = 2 - i \)，则 \( |z_1 - z_2|^2 \) 的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 23. 已知 \( z = 3 + 4i \)，则 \( \overline{z} \) 的值为（）A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 + 4iD. -4 + 3i4. 若复数 \( z \) 满足 \( |z - 1| = |z + 1| \)，则 \( z \) 所对应的点在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 直线D. 圆5. 设 \( z_1 = 1 + 2i \)，\( z_2 = 3 - 4i \)，则 \( z_1 \cdot z_2 \) 的值为（）A. 7 + 10iB. 7 - 10iC. -7 + 10iD. -7 - 10i6. 设 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)），若 \( z \) 在复平面上对应的点到点 \( (1, 1) \) 的距离等于到点 \( (-1, 1) \) 的距离，则 \( a \) 的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在7. 若复数 \( z \) 满足 \( z^2 + 2z + 5 = 0 \)，则 \( z \) 的值为（）A. \( 1 + i \)B. \( -1 + i \)C. \( 1 - i \)D. \( -1 - i \)8. 设 \( z_1 = 1 + i \)，\( z_2 = 2 - i \)，则 \( \frac{z_1}{z_2} \) 的值为（）A. \( \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \)B. \( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i \)C. \( \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i \)D. \( \frac{3}{2} -\frac{1}{2}i \)9. 若复数 \( z \) 满足 \( z^2 = 1 \)，则 \( z \) 的值为（）A. \( 1 \)B. \( -1 \)C. \( 1 \pm i \)D. \( -1 \pm i \)10. 设 \( z_1 = 1 + i \)，\( z_2 = 2 - i \)，则 \( \frac{z_1}{z_2} \) 的模为（）A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)B. \( \sqrt{2} \)C. \( \sqrt{3} \)D. \( \sqrt{5} \)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 设复数 \( z = 2 - 3i \)，则 \( \overline{z} \) 的值为__________。
黑龙江省大庆市铁人中学届高三模拟训练数学(理)试题(五).docx
高中数学学习材料唐玲出品铁人中学模拟训练(五)数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A. )2()1()23(f f f <-<- B. )2()23()1(f f f <-<-C. )23()1()2(-<-<f f fD. )1()23()2(-<-<f f f3、若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是( )A.ββα⊥⊥a ,B.b a b //,=βαC.α//,//b b aD.ββα⊂a ,//4. 已知P 为边长为2的正方形ABCD 及其内部一动点，若PBC PAB ∆∆,面积均不大于1，则BPAP ⋅取值范围是( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21B. ()2,1-C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D. []1,1-5. 同时抛掷三颗骰子一次，设=A “三个点数都不相同”，=B “至少有一个6点”则)|(A B P 为( ) A. 21 B. 9160 C. 185D.21691 6右面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为( )开始S =1，i =2S = S ×i 3 i =2 i + 1 是 否A. ?90≤iB. ?100≤iC. ?200≤iD. ?300≤i 7. 下列命题中正确的是( )A. 函数[]π2,0,sin ∈=x x y 是奇函数B. 函数)26sin(2x y -=π在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上是单调递增的 C. 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值是1- D. 函数x x y ππcos sin ⋅=是最小正周期为2的奇函数8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( ) A.π949 B.π37 C.π328 D.π9289. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则()106262a a a a ++ 的值是( )A.9- B.9 C.6- D.3 10.二项式nxx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为( ) A.61 B. 41 C.31 D.125 11．已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C. ()21,1+ D. ()+∞+,21 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的范围是( ) A.),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.2222正视图俯视图侧视图13. 已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名铁中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅=,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 21c o s c o s =-，当)t a n (B A -取最大值时，角C 的值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（1）. 已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．17（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足)1(22--=n n a n S n n , 且211=a . (Ⅰ) 令n n S nn b 1+=, 证明:)2(1≥=--n n b b n n ；(Ⅱ) 求{}n a 的通项公式. 18. (本小题满分12分)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽 取6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知频率组距0.020.04 0.06 0.080.03 0.05 0.07甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望. 19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点. （I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ； （II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ， 点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20. 在平面直角坐标系中，已知()()()()()2,,1,,,,0,2,0,221--x N x M y x P A A ,若实数λ使得⋅=⋅P A ON OM 12λP A 2（O 为坐标原点）.(Ⅰ) 求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型(Ⅱ) 当22=λ时，是否存在过点()2,0B 的直线l 与(Ⅰ)中P 点的轨迹交于不同的两点F E ,（E 在F B ,之间），且1>∆∆EOFOBES S . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 21.（本小题满分12分） 设a R ∈，函数21()(1)xf x x ea x -=--．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （Ⅱ）设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．） 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.BACDP Q23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.OBAC EFDG铁人中学模拟训练(五)一、选择题：1.A2.D3.D4.D5.A6.B7.C8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：13.nn 14. 20 15. 6 16.2π 三、解答题：17（1）.解：[解析] (1)f (α)＝3－21－2sin 2α4sin α＝1＋4sin 2α4sin α.(2)∵0<α<π，∴sin α>0.∴f (α)＝sin α＋14sin α≥214＝1，又f (α)＝sin β≤1，∴f (α)＝1，此时sin α＝14sin α，即sin α＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sin β≤1，f (α)≥1，所以f (α)＝sin β＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.17（2）. 解：(Ⅰ)()()1212---=-n n S S n S n n n ,n S nn S n n n n -+=--111,)2(1≥=--n n b b n n (Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得22n n b n +=22n S n =∴()22121≥-=-=-n n S S a n n n 经检验211=a 符212-=n a n ,212-=∴n a n …………… 12分 18. 解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（Ⅱ）设事件A =甲同学面试成功，则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分（Ⅲ）由题意得，0,1,2,3=ξ频率组距O成绩0.020.04 0.06 75 80 85 90 95 1000.080.01 0.03 0.050.070333361(0)20===C C P C ξ， 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………12分 19. （I ）PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD , ∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分（II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,设−→−−→−=PC PM λ(10<<λ), 所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ，设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM取=2n )3,0,233(λλ-，-----------------------------------------9分B 由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：||||||212121n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM --------------------------------12分20. 解：(Ⅰ) 化简得： ()()2222121λλ-=+-y x ①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λy x 轨迹为椭圆 ④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λy x 轨迹为双曲线. ……………………………… 6分zyxACDP Q(Ⅱ)P ∴=,22λ 点轨迹方程为1222=+y x .21::x x S S OBF OBE =∆∆ 由已知得1>-∆∆∆OBE OBF OBE S S S ,则1121>-x x x ,12121<<∴x x .设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：()0682122=+++kx xk23,02>∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴221221216,218k x x k k x x +=+-=+ ………………………… 8分设m x x =21 ,则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=+=+29,46332122221221k k m m x x x x 1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈26,1030310303,26k ．．…………………… 12分 21.解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)xf x x ex -=--，则211(2)()x x x x e f x e ----'=，令21()(2)x h x x x e-=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为4311()042h e'=-<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<， 所以()h x 在3(,2)4上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减,当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x 3(,1)4１ (1,2))('x f +0 －)(x f极大所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（Ⅱ）由题可知21()()xg x x a e-=-，则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <， 所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)xf x x x ea -'=--，可得1111222111()[(2)]x xx x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得11111[2(1)]0x x x ee λ---+≤.--------------------------------------------------8分即不等式11111[2(1)]0x x x ee λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立(1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x xx e e λ---+≤恒成立，即R λ∈；(2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+令11121()2(1)11x xx e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数， 所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+； (3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+； 综上所述，21ee λ=+.-------------------------------------12分 22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆. ………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分 23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x ---------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(ab f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab。
黑龙江大庆铁人中学高考数学复数专题复习(专题训练)
一、复数选择题1．已知复数1z i =+，则21z+=（ ）A ．2B C ．4D ．52．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 3．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5B C ．D ．5i4．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6 BC ．5D 5．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-6．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-27．若复数z 满足421iz i+=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i -C ．3i +D ．3i -8．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D9．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．43π12．122ii-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i13．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-14．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．715．题目文件丢失！二、多选题16．若复数351iz i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =21．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A ．234i i i i 0+++= B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 24．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为225．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=28．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】先求出，再计算出模. 【详解】 ， ， . 故选：B. 解析：B 【分析】先求出21z +，再计算出模. 【详解】1z i =+，()()()21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-，21z∴+==. 故选：B.2．B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B.解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.3．B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 ，所以， 故选：B解析：B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B4．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】 ， ， 所以，， 故选：C.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =， 故选：C.5．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部． 【详解】 因为，所以复数z 的虚部是． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．6．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.7．C 【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】 ，故. 故选：C.解析：C 【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z . 【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+.故选：C.8．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.9．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点 【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点 【详解】 因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D10．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.11．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )332Z i O OZ ππ=+=2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.12．D 【分析】利用复数的除法求解. 【详解】. 故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法求解. 【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D13．A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A14．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则， 模的性质：，，．【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ．【详解】 解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai ++++====+--，解得7a =. 故选：D ．【点睛】 本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R=+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nn z z n N =∈，1122z z z z =． 15．无二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.21．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确； 2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确； 22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛-⎝⎭，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i=+可得，11iz ii+==-，所以12z i+=-==，z虚部为1-；因为2422,2z i z=-=-，所以()5052020410102z z==-，2211z z i i i z+=-++=-=．故选：ACD．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．28．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
2020年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学考前模拟试卷2 (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学考前模拟试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.已知复数z满足(1+2i)z=3−4i，则|z|=()A. √55B. 1C. √5D. 53.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0(12,√32)，12秒旋转一周，则动点的纵坐标关于时间(单位：秒)的函数解析式为()A. y=sin(π3t+π6) B. y=cos(π6t+π3)C. y=sin(π6t+π3) D. y=cos(π3t+π6)4.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±√33x，则该双曲线的焦距为()A. √2B. 2C. 2√2D. 45.设有两条直线a、b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是()A. 若a//α，且a//b，则b⊂α或b//αB. 若a//b，且a⊥α,b⊥β，则α//βC. 若α//β，且a⊥α,b⊥β，则a//bD. 若a⊥b，且a//α，则b⊥α6.甲盒子中装有2个编号分别为1，2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，从甲、乙个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之和为奇数的概率为()A. 23B. 12C. 13D. 167.一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰()A. 252盏B. 256盏C. 508盏D. 512盏8.已知a=2−13，，c=log1213，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a9.已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A. a2B. √3πa3π C. 2√3πa3π D. 2√3a3π10. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7 C. 25 D. −711. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−8，(3n −5)a n+1=(3n −2)a n −9n 2+21n −10，若n ，m ∈N ∗，n >m ，则S n −S m 的最大值为( )A. 10B. 15C. 18D. 2612. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点P(5,0)的直 线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF|=5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS△ACF=( )A. 56B. 2033C. 1531D. 2029二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足条件{y ⩾xx +y ⩾4x −3y +12⩾0，则z =2x +y 的最大值为__________.14. 若 a ≥√55，则 (x 2y 2−ay x)6的展开式中的常数项的最小值为______． 15. 某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发9本不同的课外书，若甲只分得1本书，则其余3个小朋友每人至少分得2本书的不同分法数为________． 16. 已知函数f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosB =(3c −b)cosA ．(1)求cos A 的值；(2)若b =3，点M 在线段BC 上，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，求AB 的长度．18. 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB =BE =EC =2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(Ⅰ)求证：GF//平面ADE ；(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：吨)的影响，对近六年的年宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2，3，4，5，6)的数据作了初步统计，得到如下数据： 年份2011 2012 2013 2014 2015 2016年宣传费x(万元) 38 48 58 68 78 88 年销售量y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5经电脑模拟发现年宣传费x(单位：万元)与年销售量y(单位：吨)之间近似满足关系式：y =a ⋅x b (a,b >0)，即lny =b ⋅lnx +lna ，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：∑(6i=1lnx i ⋅lny i ) ∑(6i=1lnx i ) ∑(6i=1lny i ) ∑(6i=1lnx i )275.3 24.6 18.3 101.4(Ⅰ)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(Ⅱ)规定当产品的年销售量y(单位：吨)与年宣传费x(单位：万元)的比值在区间(e 9,e7)内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．(其中e 为自然对数的底数，e ≈2.7183) 附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =β⋅u +a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=ni=1i i )−n(u⋅v)∑u 2n −n(u)2，a ∧=v −β∧⋅u ．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，椭圆C 上任一点P 都满足|PF 1|+|PF 2|=4，并且该椭圆过点 (−1,−32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点 R(4,0)的直线l 与椭圆C 交于 A,B 两点，过点A 作x 轴的垂线，交该椭圆于点M ，求证：M,F 2,B 三点共线．21.已知．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,0≤θ<2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA 的延长线上，且满足|OA|·|OB|=6，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)设点C的极坐标为(2,0)，求△ABC面积的最小值．23.已知函数f(x)=|1−2x|−|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a+|1+x|>f(x)恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题【解答】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：C解析：解：∵(1+2i)z=3−4i，=−1−2i，∴z=3−4i1+2i∴z=−1+2i，∴|z|=|−1+2i|=√1+4=√5，故选：C．化简复数，即可求出|z|．本题考查复数的化简，考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．3.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，属于基础题．设y关于t的函数y=sin(ωt+θ)，根据周期求出ω，再根据点A0求出θ，问题得以解决．【解答】解：设y关于t的函数：y=sin(ωt+θ)，，∵12秒旋转一周，∴T=2πω=12，∴ω=π6，∵当t=0时，点A0(12,√32)，将该点代入，得到θ=π3，∴y=sin(π6t+π3).故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的焦距即可．【解答】解：曲线x2a2−y2=1的渐近线方程为y=±√33x，则b=1，ba =√33，∴a=√3，∴c2=a2+b2=1+3=4，则c=2，双曲线的焦距为4．故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间中线面，面面间的位置关系，是基础题．根据空间中线面，面面间的位置关系逐一分析判断即可．【解答】解：两条直线a、b和两个平面α、β，对于A，若a//α，且a//b，则b⊂α或b//α，正确；对于B，若a//b，且a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，则α//β，正确；对于C，若α//β，且a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，则a//b，正确；对于D，若a⊥b，且a//α，则b与α相交，或b⊂α，或b//α，故D错误．故选D．6.答案：B解析：【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个小球，共有2×3种结果，满足条件的事件是取出的两个小球编号之和是奇数，可以列举出有(1,2)(2,1)(2,3)共有3种结果，得到概率．本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法列举出符合条件的事件，解决等可能事件的概率的关键是看清题目中所包含的事件数，可以用排列组合数表示，也可以用列举法来表示．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个小球，共有2×3=6种结果，满足条件的事件是取出的两个小球编号之和是奇数，可以列举出有(1,2)(2,1)(2,3)共有3种结果，∴要求的概率是36=12，故选B．7.答案：C解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．根据题目所给条件a1=4，n=7，公比q=2.利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：数列{a n}为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2，∴S7=4(27−1)2−1=508．故选：C．8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数式与对数式的比较大小，属于基础题．【解答】解：0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213>log1212=1，即0<a<1,b<0,c>1，所以c>a>b．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查圆锥的表面积公式以及应用，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．利用圆锥的表面积公式即可求出圆锥的底面直径．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr=πl，∴l=2r，∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=a，∴r2=a3π，即r=√a3π，∴直径为2√3πa3π．故选C．10.答案：D解析：解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可．本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积的运算，考查计算能力．11.答案：C解析： 【分析】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n 项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题．由条件可得a n+13n−2−a n3n−5=−1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值． 【解答】解：(3n −5)a n+1=(3n −2)a n −9n 2+21n −10， 即为(3n −5)a n+1−(3n −2)a n =−(3n −5)(3n −2)， 可得a n+13n−2−a n3n−5=−1，设b n =an3n−5，即b n+1−b n =−1， 且b 1=a 13−5=−8−2=4， 可得{b n }是以4为首项、−1为公差的等差数列， 可得b n =4−(n −1)=5−n ， 即a n =(3n −5)(5−n)，可得a n ：−8，3，8，7，0，−13，−32，−57，−88，…，(n >5，各项递减，且为负的)， 由n ，m ∈N ∗，n >m ，则S n −S m 的最大值为(−8+3+8+7+0)−(−8)=18． 故选：C ．12.答案：D解析：解：抛物线的准线方程为l ：x =−1， 分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ，则|BN|=|BF|=5，∴B 点横坐标为4，不妨设B(4,−4)，则直线AB 的方程为：y =4x −20， 联立方程组{y =4x −20y 2=4x ，得4x 2−41x +100=0，设A 横坐标为x 0，则x 0+4=414，故而x 0=254．∴|AM|=x 0+1=294，∴S △BCF S △ACF=|BC||AC|=|BN||AM|=2029．故选：D ．分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ，根据|BF|求出B 点坐标，得出直线AB 的方程，从而得出A 点坐标，于是S △BCFS△ACF=|BC||AC|=|BN||AM|．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.答案：18解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，求出最优解即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最大， 此时z 最大，由{y =x x −3y +12=0，解得{x =6y =6，即A(6,6)，此时z =2×6+6=18， 故答案为18.14.答案：35解析：解：(x 2y 2−ay x)6展开式的通项公式为 T r+1=C 6r⋅(x 2y 2)6−r ⋅(−ay x)r =(−a)r ⋅C 6r⋅x 12−3r ⋅y 3r−12，令12−3r =0，解得r =4； ∴(x 2y 2−ay x)6展开式中的常数项为 a 4⋅C 64=15a 4≥15×(√55)4=1525=35，∴该二项式展开式中的常数项最小值为35． 故答案为：35．利用二项式展开式的通项公式求出常数项，再求常数项的最小值．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．15.答案：26460解析： 【分析】本题主要考查了排列组合的综合应用，需要分类讨论，计算量大，属于基础题． 【解答】解：其余3个小朋友的分配方案有2种：第1种，3，3，2，共有C 91C 83C 53A22A 33=15120种，第2种，2，2，4，共有C 91C 82C 62A 22A 33=11340种，故所求分法数为15120+11340=26460． 故答案为26460．16.答案：(0,2)解析： 【分析】作出y =|x 2−2|的函数图象，令y =a 与函数图象有4个交点得出a 的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查数形结合的应用，属于基础题． 【解答】解：令f(x)=0得|x 2−2|=a ， 作出y =|x 2−2|的函数图象如图所示：∵f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，∴直线y =a 与y =|x 2−2|的图象有4个交点，∴0<a <2． 故答案为：(0,2)．17.答案：解：(1)因为acosB =(3c −b)cosA ，由正弦定理得：sinAcosB =(3sinC −sinB)cosA ，即sinAcosB +sinBcosA =3sinCcosA ，可得：sinC =3sinCcosA ，在△ABC 中，sinC ≠0，，(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，由b =3，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，可得c 2+9+2×c ×3×13=4×18， 解得：c =7或c =−9(舍)， 所以AB 的长度是7．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，平面向量数量积的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． (1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC =3sinCcosA ，结合sinC ≠0，可求cos A 的值;(2)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c 的值，即AB 的值． 18.答案：(1)证明：如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，∵G 是BE 的中点， ∴GH//AB ，且GH =12AB ，又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF//AB ，且DF =12AB ， 即GH//DF ，且GH =DF ， ∴四边形HGFD 是平行四边形， ∴GF//DH ，又∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴GF//平面ADE ．(2)解：如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ//CE ， ∵BE ⊥EC ， ∴BQ ⊥BE ， 又∵AB ⊥平面BEC ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BQ ，以B 为原点，分别以BE ⇀,BQ ⇀,BA ⇀的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0，2)，B(0,0，0)，E(2,0，0)，F(2,2，1) ∵AB ⊥平面BEC ，∴BA ⇀=(0,0,2)为平面BEC 的法向量， 设n ⇀=(x,y ，z)为平面AEF 的法向量． 又AE ⇀=(2,0，−2)，AF ⇀=(2,2，−1)， 由垂直关系可得{n ⇀·AE ⇀=2x −2z =0n ⇀·AF ⇀=2x +2y −z =0，取z =2可得n ⇀=(2,−1,2)． ∴cos <n ⇀，BA ⇀>=n ⇀·BA ⇀|n ⇀|·|BA|⇀=23∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解析：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．(1)取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF//DH ，由线面平行的判定定理可得；(2)以B 为原点，分别以BE ⇀,BQ ⇀,BA ⇀的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．19.答案：解：(Ⅰ)对y =a ⋅x b ，(a >0,b >0)两边取对数，得lny =b ⋅lnx +lna ，令μi =lnx i ，v i =lny i ，得v =b ⋅μ+lna ， 由题所给的数据得： μ=24.66=4.1，v =18.36=3.05，∑(6i=1μi ⋅v i )=∑(6i=1lnx i ⋅lny i )=75.3， ∑(6i=1lnx i )2=101.4，∴β̂=ni=1i i )−n(μ⋅v)∑μ2n −n(μ)2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=12，α̂=v −β̂⋅μ， lna =v −b ⋅μ=3.05−12×4.1=1，得a =e ，∴y 关于x 的回归方程为y =e ⋅√x ．(Ⅱ)由(Ⅰ)中所求回归方程，得y x =√x ∈(e 9,e7)，则x ∈(49,81)， ∴x =58，68，78，∴ξ的可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 30C 33C 63=120， P(ξ=1)=C 31C 32C 63=920， P(ξ=2)=C 32C 31C 63=920， P(ξ=3)=C 33C 30C 63=120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，是中档题．(Ⅰ)对y =a ⋅x b ，(a >0,b >0)两边取对数，得lny =b ⋅lnx +lna ，令μi =lnx i ，v i =lny i ，得v =b ⋅μ+lna ，利用最小二乘法求出得a =e ，由此能求出y 关于x 的回归方程．(Ⅱ)由题意得到ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．20.答案：解：(1)依题意，|PF 1|+|PF 2|=4，故a =2．将(−1,−32)代入x 24+y 2b 2=1中，解得b 2=3，故椭圆C ：x 24+y 23=1．(2)由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为y =k(x −4)． 点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)，联立{y =k(x −4)3x 2+4y 2=12，得3x 2+4k 2(x −4)2=12． 即(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0 ， Δ>0，x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 ，由题可得直线MB 方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)．又∵y 1=k(x 1−4)，y 2=k(x 2−4)． ∴直线MB 方程为 y +k(x 1−4)=k(x 2−4)+k(x 1−4)x 2−x 1(x −x 1).令y =0，整理得x =x 1x 2−4x 2−x 12+4x 1x 1+x 2−8+x 1=2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8=2×64k 2−123+4k 2−4×32k 23+4k 232k 23+4k 2−8=−243+4k 232k 2−24−32k 23+4k 2=1，即直线MB 过点(1,0).又∵椭圆C 的左焦点坐标为F 2(1,0)， ∴三点M ，F 2，B 在同一直线上.解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，属较难题．(1)根据|PF 1|+|PF 2|=4求出a ，再将点(−1,−32)代入椭圆方程得到b 2，即可求出结果；(2)由(Ⅰ)确定F 2的坐标，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)，以及直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求出直线MB 的方程，即可证明结论成立．21.答案：解：(1)由，则f ′(x)=e x +1x ，f ′(1)=e +1．f(1)=e，则切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)原不等式等价于e x>m(x−1),(x>1),所以m<e xx−1,令g(x)=e xx−1,g′(x)=e x(x−2)(x−1)2,当g′(x)<0,解得1<x<2；当g′(x)>0,解得x>2，所以x=2时g(x)取极小值，也是最小值，即g(x)min=g(2)=e2.所以m<e2.故m<e2.解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x>m(x−1),(x>1),分离参数，记g(x)=e xx−1,通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，转化求解m的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为：x2+(y−1)2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ，设点B的极坐标为(ρ,θ)，点A的极坐标为(ρ0,θ0)则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，且满足|OA|⋅|OB|=6，整理得：6ρ=2sinθ，即：ρsinθ=3．(2)点C的极坐标为(2,0)，则：|OC|=3，所以：S△ABC=12|oc||ρB sinθ−ρA sinθ|=|3−2sin2θ|当sinθ=1时，S△ABC的最小值为1．解析：本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)=|1−2x|−|1+x|，故f(x)≥4，即|1−2x|−|1+x|≥4．∴{x<−11−2x+x+1≥4①，或{−1≤x≤121−2x−x−1≥4②，或{x>122x−1−x−1≥4③.解①求得x≤−2，解②求得x∈⌀，解③求得x≥6，综上可得，不等式的解集为{x|x≤−2，或x≥6}．(2)关于x的不等式a2+2a+|1+x|>f(x)恒成立，即a2+2a>|2x−1|−|2x+2|，而|2x−1|−|2x+2|≤|2x−1−(2x+2)|=3，故有a2+2a>3，求得a<−3，或a>1．即实数a的取值范围为{a|a<−3，或a>1}．解析：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．(1)把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)由题意可得a2+2a>|2x−1|−|2x+2|，再利用绝对值三角不等式求得|2x−1|−|2x+2|的最大值为3，可得a2+2a>3，求得a的范围．。
高中复数练习题及讲解及答案
高中复数练习题及讲解及答案### 高中复数练习题及讲解及答案#### 练习题1. 复数的加减法- 计算以下复数的和：\(3 + 4i\) 和 \(1 - 2i\)。
2. 复数的乘法- 求 \((2 + 3i)(1 - i)\) 的乘积。
3. 复数的除法- 计算 \(\frac{2 + i}{1 + i}\)。
4. 复数的共轭- 找出 \(3 - 4i\) 的共轭复数。
5. 复数的模- 求 \(5 + 12i\) 的模。
6. 复数的幂运算- 计算 \((2 + i)^2\)。
7. 复数的指数形式- 将 \(8\) 表示为 \(2\) 的幂次形式。
8. 复数的极坐标形式- 将 \(-3 - 4i\) 转换为极坐标形式。
9. 复数的三角函数- 求 \(\sin(3 + 4i)\)。
10. 复数的对数- 计算 \(\log(-8 + 0i)\)。
#### 讲解复数是实数和虚数的组合，形如 \(a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\)是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。
1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行加减。
2. 乘法：使用分配律，然后合并同类项。
3. 除法：将分母的实部和虚部合并，然后乘以共轭复数，简化表达式。
4. 共轭复数：改变虚部的符号。
5. 模：计算 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)。
6. 幂运算：使用二项式定理或幂的性质。
7. 指数形式：使用欧拉公式 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。
8. 极坐标形式：表示为 \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\)，其中 \(r\) 是模，\(\theta\) 是辐角。
9. 三角函数：使用复数的指数形式和欧拉公式。
10. 对数：首先将复数转换为极坐标形式，然后应用对数的性质。
#### 答案1. \(4 + 2i\)2. \(2 + 5i\)3. \(3 - i\)4. \(3 + 4i\)5. \(13\)6. \(3 + 4i\)7. \(2^3\)8. \(5(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))\)9. 无实数解，因为 \(\sin\) 函数在复数域内没有定义。
复数试题及答案高中数学
复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是（）A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i，z₂ = 1 + 3i，求z₁z₂的值是（）A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是（）A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______，虚部是______。
5. 若复数z满足|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是______。
三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数，并计算|z|。
7. 已知复数z₁ = 2 + i，z₂ = 1 - 2i，求z₁ + z₂，z₁ - z₂，z₁z₂。
8. 证明：对于任意复数z，都有|z|² = z * z的共轭复数。
答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i （(2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i）3. D. 1 + i （1/(1 - i) = (1 + i)/2）二、填空题4. 3，-45. ±4 （因为|z|² = 3² + 虚部²，所以虚部² = 25 - 9 = 16，虚部= ±4）三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i，|z| = √(2² + 3²) = √13。
7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明：设z = a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。
高中数学复数试卷专项训练11套含答案
一、选择题1、若Z,与Z2互为共轴虚数，则满足条件Z-Z1|2-|Z-Z2|2=Z-Z2|2的复数z在平面上表示的图形是(A)双曲线(B)平行于x轴的直线(C)平面于y轴的直线(D)一个点2、设z是纯虚数，则()(A)z2=z2(B)z12=-z2(C)，=-z2(D)z2=-z23、已知全集C=｛复数｝,Q=｛有理数｝,S=｛无理数｝,R=｛实数｝,P=｛虚数｝,那么&U产为()(A)S(B)C(C)R(D)Q4、已知M=｛1,2,m2-3m-l+(m2-5m-6)i｝,N=｛T,3｝,MClN=｛3｝,则实数m为(A)-l或6(B)-l或4(C)-l(D)4翰林5、若(m2-3m-4)+(m2-5tn-6)i是纯虚数，则实数m的值为()(A)-l(B)4(C)T或4(D)不存在6、设集合C=｛复数｝,R=｛实数｝，畛｛纯虚数｝,其中C为全集，则()(A)MUR=C(B)RU&=C(c)MnR=｛o｝(D)cn2?=m7、在复平面内，与复数z=-l-i的共轴复数对应的点位于()(A)第一象限(B)第二角限(C)第三象限(D)第四象限8、如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(A)&=crn(B)Rni={o}(c)Rni=f(D)C=RUT19、复数(i-1)3的虚部是(A)-8(B)-8i(C)8(D)010、设z为复数，且(z-l)2=|z-H2那么z是()(A)纯虚数(B)实数(C)虚数(D)l11、在复平面内，复数z满足l<|z|<2,则z所对应的点P的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)线段(D)圆环12、下列命题中正确的是()(A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值(B)复数与复平面内的点是一一对应的(C)共轴虚数的n次方仍是共轴复数(D)任何两个复数都不能比较大小113>设复数z=sin50°-icos50°则arg i等于(A)10°(B)80°(C)260°(D)350°14、已知7r<e<2,复数Z=|cos0|+i IsinO|的辐角主值是()(A)n-0(B)n+。
黑龙江大庆市实验中学高考数学复数习题及答案
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限4．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 BC．D ．5i 5．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ）A ．－1B ．1C ．－iD ．i6．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-27．设()2211z i i=+++，则||z =（ ） AB ．1C ．2D8．若复数1z i =-，则1zz=-（ ） AB ．2C．D ．49．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -10．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 13．设21iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-14．复数22(1)1i i-+=-（ ） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i15．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．1二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．若复数351iz i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =20．设复数z 满足1z iz+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =21．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =22．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 25．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z26．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为227．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1B ．4-C ．0D ．528．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：， . 故选：D. 解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．C 【分析】根据复数的几何意义得． 【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴， ∴． 故选：C ．解析：C 【分析】根据复数的几何意义得,a b ． 【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=． 故选：C ．3．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.4．B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】，所以， 故选：B解析：B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B5．B 【分析】 ，然后算出即可. 【详解】由题意，则复数的虚部为1 故选：B解析：B 【分析】1iz i -+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B6．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.7．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．8．A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则，故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--==-，故选：A.9．A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A10．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.11．B 【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】 设复数， 由得， 所以，解得，因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的解析：B 【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为31x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.12．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.13．C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以其虚部为. 故选：C.解析：C根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.14．C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C15．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD. 18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．BCD【分析】计算出，即可进行判断.，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案.由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.24．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．25．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 26．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围27．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
黑龙江省大庆铁人中学高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i + 4．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．0或1 5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 6．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．2C ．2D ．8 7．若复数()41i 34i z +=+，则z =（ ） A ．45B ．35C ．25D ．25 8．若1ii z，则2z z i ⋅-=（ ） A ．2B ．4 C ．25D ．89．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+10．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i - 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -14．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1- B ．12- C ．13 D ．115．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z i =（ ） A ．1i -B ．1i --C ．1i -+D ．1i +二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限20．下列结论正确的是（ ） A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥21．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>23．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于127．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1 B ．4- C ．0 D ．528．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：，.故选：D.解析：D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-， ()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B3．C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】 由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C 4．C【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得，故选：C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数z ，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为()()22m m m iz m m mi i --==--为纯虚数，所以200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，故选：C.5．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．B 【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知，，则，故.故选:B.解析：B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .7．A【分析】首先化简复数，再计算求模.【详解】，.故选：A解析：A【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i ⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==. 故选：A8．A【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．【详解】因为，所以，所以故选：A解析：A【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --．【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+， 所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-=故选：A9．D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D10．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．11．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.12．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，13．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.14．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B15．A【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以,所以,故选：A解析：A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选：A 二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.20．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 21．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.22．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．23．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 27．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
2025届黑龙江大庆铁人中学高考数学三模试卷含解析
2025届黑龙江大庆铁人中学高考数学三模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若2nx ⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-5．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．7．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-8．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．4510．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．2012．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共60分.） 1．若复数z =1+i1−i，则|z |＝（ ） A ．1B ．0C ．12D ．√22．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题正确的是（ ） A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β3．已知|a →|=2|b →|，若a →与b →的夹角为120°，则2b →−a →在a →上的投影向量为（ ） A ．3−3a →B ．−32a →C ．−12a →D ．3a →4．中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本．意思为：现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余．现要用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．205．甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表：下列说法正确的是（ ） A ．甲的平均数大于乙的平均数 B ．甲的中位数等于乙的中位数C ．甲、乙的众数都是7D ．乙的成绩更稳定6．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为（ ）A ．4093πcm 3B ．4082πcm 3C ．4063πcm 3D ．4282πcm 37．在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点（不包括端点A ，B ，C ），且M ，N ，G 三点共线，若AM →=λAB →，AN →=μAC →，则λ+4μ的最小值为（ ） A ．32B ．52C ．2D ．948．若向量a →，b →，c →满足：a →≠b →，|c →|=1，且(a →−c →)⋅(b →−c →)=0，则|a →+b →|+|a →−b →|的最小值为（ ） A ．52B ．2C ．1D ．12二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D '是△A 'B 'C '中B 'C '边上的一点，且D 'C '＜D 'B '，A 'D '∥y '轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中（ ）A ．最长的是AB B ．最长的是ACC ．最短的是ACD ．最短的是AD10．已知复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，下列说法中正确的是（ ） A ．若|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→B ．若(OZ 1→+OZ 2→)⊥(OZ 1→−OZ 2→)，则|z 1|＝|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2＝|z 1z 2|D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12=z 2211．已知点P 在△ABC 所在平面内，则（ ）A ．满足PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →时，P 是△ABC 的外心 B ．满足PA →+PB →+PC →=0→时，P 是△ABC 的重心C ．满足sin A •PA →+sin B •PB →+sin C •PC →=0→时，P 是△ABC 的内心 D ．满足sin2A ⋅PA →+sin2B •PB →+sin2C •PC →=0→时，P 是△ABC 的垂心12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段AA 1的中点，AP →=λAB →+μAD →，其中λ，μ∈[0，1]，则下列选项正确的是（ ） A ．μ=12时，A 1P ⊥ED 1 B ．λ=14时，B 1P +PD 的最小值为√132C ．λ＝μ时，三棱锥D 1﹣EBP 的体积为定值D ．λ+μ＝1时，直线A 1P 与面B 1D 1E 的交点轨迹长度为√24三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI =体重(单位：千克)身高2(单位：米)．我国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦，18.5≤BMI ＜24为正常，24≤BMI ＜28为偏胖，BMI ≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI 数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1．则该组数据的第70百分位数为 ．14．若非零向量a →，b →满足2|a →|=|b →|=2，(a →−2b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角的余弦值为 ． 15．某同学为了测量天文台CD 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A ，A 到地面的距离AB 为(15−5√3)m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得阳台A ，天文台顶C 的仰角分别是15°和60°，在阳台A 处测得天文台顶C 的仰角为30°，假设AB ，CD 和点M 在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD 的高度为 m ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的各棱长都相等，2AP →=PD →，Q 为AC 上一点，且BQ +QP 的最小值为√13，则该棱锥外接球的体积为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10分）如图，在圆柱OO 1中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面⊙O 的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的点．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若BD ＝2，CD ＝4，AC ＝6，求圆柱OO 1的侧面积．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（b +c ）（sin B +sin C ）＝a sin A +3b sin C ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =√6，且△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长． 19．（12分）如图：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点． （1）试判断直线BD 1与平面AMC 的位置关系，并说明理由； （2）若N 为CC 1的中点，求证：平面AMC ∥平面BND 1．20．（12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，2），…，[8，9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a ＝b ．（1）求直方图中a ，b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，AB ＝2，AC ∩BD ＝O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，点E 在棱PD 上，且CE ⊥PD ． （1）证明：平面PBD ⊥平面ACE ； （2）求二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值； （3）求四面体A ﹣CDE 的体积．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知c ＝2且a 2+c 2﹣b 2＝（23−2cos A ）bc ，AD =65√5．（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG →•EF →的最小值．2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共60分.） 1．若复数z =1+i1−i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．0C ．12D ．√2解：z =1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i ，则|z |＝1， 故选：A ．2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题正确的是（ ） A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β解：对于A ，α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能是平行或者垂直，A 错误； 对于B ，m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或者n ⊂α，B 错误；对于C ，m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交，异面或者平行都有可能，C 错误； 对于D ，m ⊥α，m ⊥β，且α，β是不同平面，故α∥β，D 正确． 故选：D ．3．已知|a →|=2|b →|，若a →与b →的夹角为120°，则2b →−a →在a →上的投影向量为（ ） A ．3−3a →B ．−32a →C ．−12a →D ．3a →解：∵|a →|=2|b →|，a →与b →的夹角为120°，∴(2b →−a →)⋅a →=2a →⋅b →−a →2=2|a →|⋅(12|a →|)⋅cos120°−a →2=−32a →2， ∴2b →−a →在a →上的投影向量为：(2b →−a →)⋅a→|a →|⋅a→|a →|=−32a →．故选：B ．4．中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本．意思为：现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余．现要用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．20解：由题意得：学生共有94÷（13+14+15）＝94÷4760=120（人），则《毛诗》有120×13=40本， 《春秋》30本，《周易》24本，∴用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为：47×4040+30+24=20本，故选：D ．5．甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表：下列说法正确的是（ ） A ．甲的平均数大于乙的平均数 B ．甲的中位数等于乙的中位数C ．甲、乙的众数都是7D ．乙的成绩更稳定解：计算得甲、乙的平均数都是8，故A 错误；甲从小到大进行排序：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10， 乙从小到大进行排序，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9， 所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故B 错误； 乙的众数是8，故C 错误；甲的方差为s 12=110[(7−8)2×4+(6−8)2+(9−8)2×2+(10−8)2×2]=1.8， 乙的方差为s 22=110[(7−8)2×3+(9−8)2×3]=0.6，所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故D 正确． 故选：D ．6．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为（ ）A ．4093πcm 3B ．4082πcm 3C ．4063πcm 3D ．4282πcm 3解：由题意可知，圆台的高度为40﹣24＝16，上端圆台的体积为：V 1=13×π（142+92+14×9）×16≈2149π， 下端圆柱的体积为：V 2＝π×24×92＝1944π，∴该“何尊“的体积V ＝V 1+V 2≈2149π+1944π＝4093π． 故选：A ．7．在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点（不包括端点A ，B ，C ），且M ，N ，G 三点共线，若AM →=λAB →，AN →=μAC →，则λ+4μ的最小值为（ ） A ．32B ．52C ．2D ．94解：由题意AG →=12AD →=12(AB →+BD →)=12（AB →+12BC →）=12AB →+14（AC →−AB →）=14AB →+14AC →，设MG →=xMN →，0＜x ＜1，则AG →=AM →+MG →=AM →+xMN →=AM →+x(AN →−AM →)=x AN →+（1﹣x ）AM →=λ（1﹣x ）AB →+μxAC →， 所以λ(1−x)=14，μx =14，得14(1λ+1μ)=1，所以λ+4μ=14（λ+4μ）（1λ+1μ）=14（5+4μλ+λμ）≥14(5+4)=94，当且仅当4μλ=λμ，即λ=34，μ=38时等号成立，∴λ+4μ的最小值为94．8．若向量a →，b →，c →满足：a →≠b →，|c →|=1，且(a →−c →)⋅(b →−c →)=0，则|a →+b →|+|a →−b →|的最小值为（ ） A ．52B ．2C ．1D ．12解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，设M 为AB 的中点，已知向量a →，b →，c →满足：a →≠b →，|c →|=1，且(a →−c →)⋅(b →−c →)=0，则|OC →|=1，CA →⊥CB →， 则|a →+b →|+|a →−b →|=2|OM →|+|BA →|=2|OM |+2|CM |＝2（|OM |+|CM |）≥2|OC |＝2， 当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即|a →+b →|+|a →−b →|的最小值为2． 故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D '是△A 'B 'C '中B 'C '边上的一点，且D 'C '＜D 'B '，A 'D '∥y '轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中（ ）A ．最长的是AB B ．最长的是ACC ．最短的是ACD ．最短的是AD解：根据题意，原△ABC 的平面图为： 其中，AD ⊥BC ，BD ＞DC ， 则有AB ＞AC ＞AD ，故ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中最长的是AB ，最短的是AD ；10．已知复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，下列说法中正确的是（ ） A ．若|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→B ．若(OZ 1→+OZ 2→)⊥(OZ 1→−OZ 2→)，则|z 1|＝|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2＝|z 1z 2|D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12=z 22解：A ．因为|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，所以|OZ 1→+OZ 2→|＝|OZ 1→−OZ 2→|，则|OZ 1→+OZ 2→|2＝|OZ 1→−OZ 2→|2，即4OZ 1→•OZ 2→=0，则OZ 1→⊥OZ 2→，故A 正确；B ．因为（OZ 1→+OZ 2→）⊥（OZ 1→−OZ 2→），所以（OZ 1→+OZ 2→）•（OZ 1→−OZ 2→）＝0，即OZ 1→2=OZ 2→2，|z 1|＝|z 2|，故B 正确；C ．设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），因为z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 2＝a ﹣bi （a ，b ∈R ），所以z 1z 2＝a 2+b 2，|z 1z 2|＝a 2+b 2，则z 1z 2＝|z 1z 2|，故C 正确；D ．如z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12≠z 22，故D 错误； 故选：ABC ．11．已知点P 在△ABC 所在平面内，则（ ）A ．满足PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →时，P 是△ABC 的外心 B ．满足PA →+PB →+PC →=0→时，P 是△ABC 的重心C ．满足sin A •PA →+sin B •PB →+sin C •PC →=0→时，P 是△ABC 的内心 D ．满足sin2A ⋅PA →+sin2B •PB →+sin2C •PC →=0→时，P 是△ABC 的垂心 解：对于A ，点P 满足 PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →时，可得PA →⋅(PB →−PC →)=0，PB →⋅(PA →−PC →)=0，则PA →⊥CB →，PB →⊥CA →，所以点P 是△ABC 的垂心，故A 错误； 对于B ，因为PA →+PB →+PC →=0→，所以PA →+PB →=CP →， 取AB 中点为D ，则PA →+PB →=2PD →=CP →，故P 在AB 边的中线CD 上，同P 也在AC 、BC 边的中线上， 故P 为△ABC 的重心，故B 正确；对于C ，因为sin A •PA →+sin B •PB →+sin C •PC →=0→， 所以由正弦定理有a ⋅PA →+b ⋅PB →+c ⋅PC →=0→， 所以a ⋅PA →=−b(PA →+AB →)−c ⋅(PA →+AC →)， 所以（a +b +c ）•PA →=−b ⋅AB →−c ⋅AC →，即（a +b +c ）•PA →=−bc •AB→|AB →|−bc •AC→|AC →|=−bc •（AB→|AB →|+AC →|AC →|），所以PA →=−bc a+b+c ⋅(AB →|AB →|+AC→|AC →|)，故P 在∠A 的角平分线上，同理可证P 点在∠B 、∠C 的角平分线上，故P 为△ABC 的内心，故C 正确； 对于D ，先证明点P 为△ABC 所在平面内上一点，则满足xPA →+yPB →+zPC →=0→，x ，y ，z 不全为0的点P 是唯一的， 假设还有一点Q 满足xQA →+yQB →+zQC →=0→，则有xQP →+yQP →+zQP →=0→， 即（x +y +z ）QP →=0→，故QP →=0→，此时Q 、P 重合，所以点P 是唯一的． 再证若P 为△ABC 外心时，sin2A ⋅PA →+sin2B •PB →+sin2C •PC →=0→， 因为2sin2A •sin2B •cos2C +2sin2B •sin2C •cos2A +2sin2C •sin2A •cos2B ＝sin2A •sin （2B +2C ）+sin2B •sin （2A +2C ）+sin2C •sin （2A +2B ） ＝﹣sin ²2A ﹣sin ²2B ﹣sin ²2C ， 设△ABC 的外接圆半径为r ，则（sin2A ⋅PA →+sin2B ⋅PB →+sin2C ⋅PC →）²＝r ²（sin ²2A +sin ²2B +sin ²2C ）+r ²（2sin2A •sin2B •cos2C +2sin2B •sin2C •cos2A +2sin2C •sin2A •cos2B ） ＝r ²（sin ²2A +sin ²2B +sin ²2C ）＝0， 即sin2A •PA →+sin2B •PB →+sin2C •PC →=0→， 综上，P 为△ABC 的外心．故D 错误． 故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段AA 1的中点，AP →=λAB →+μAD →，其中λ，μ∈[0，1]，则下列选项正确的是（ ） A ．μ=12时，A 1P ⊥ED 1 B ．λ=14时，B 1P +PD 的最小值为√132C ．λ＝μ时，三棱锥D 1﹣EBP 的体积为定值D ．λ+μ＝1时，直线A 1P 与面B 1D 1E 的交点轨迹长度为√24解：由题意，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段AA 1的中点，且AP →=λAB →+μAD →，其中λ，μ∈[0，1]，对于A 中，取M ，N 分别为AD ，BC 的中点，当μ=12时，可得点P 在线段MN 上运动， 如图（1）所示，在正方形ADD 1A 1中，因为M ，E 的中点，可得D 1E ⊥A 1M ， 又由A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，D 1E ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1E ⊥A 1B 1， 因为A 1M ∩A 1P ＝A 1，所以D 1E ⊥平面A 1B 1NM ，又因为A 1P ⊂平面A 1B 1NM ，所以A 1P ⊥ED 1，所以A 正确；对于B 中，在AB ，CD 上分别取点G 和点H ，使得AG =DH =14，连接GH ，当λ=14时，可得点P 在线段GH 上运动，在直角△BB 1G 中，BB 1=1，BG =34，可得B 1G =√BB 12+BG 2=54，如图（2）所示，沿GH 将平面B 1C 1HG 旋转到与平面ABCD 重合，得到平面AB 2C 2D ，连接B 2D ，则B 2D =√AB 22+AD 2=√(54+14)2+12=√132，即B 1P +PD 的最小值为√132，所以B 正确；对于C 中，如图（3）所示，取CC 1的中点F ，分别连接EF ，BF ，FD 1，AC ， 当λ＝μ时，可得点P 在线段AC 上运动，由AC ∥EF 且AC ⊄平面BFD 1E ，所以AC ∥平面BFD 1E ，所以点P 到平面BFD 1E 的距离为定值，即三棱锥P ﹣BD 1E 的高h 为定值，又由△BED 1的面积为定值，所以V D 1−EBP =V P−BD 1E =13S △BD 1E ⋅ℎ（定值），所以C 正确；对于D 中，如图（4）所示，连接BD ，A 1B ，A 1D ，交B 1E ，D 1E 于点K 和点L ， 当λ+μ＝1时，可得点P 在线段BD 上运动，因为BD ∥B 1D 1且BD ⊄平面B 1D 1E ，所以BD ∥平面B 1D 1E ， 又因为平面B 1D 1E ∩平面ABD ＝KL ，所以KL ∥BD ， 由△A 1EK 与△BB 1K 相似，且相似比为1：2，所以KL =13BD =√23，即直线A 1P 与面B 1D 1E 的交点轨迹长度为√23，所以D 不正确．综上可得，选项正确的是ABC ． 故答案为：ABC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI =体重(单位：千克)身高2(单位：米)．我国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦，18.5≤BMI ＜24为正常，24≤BMI ＜28为偏胖，BMI ≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI 数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1．则该组数据的第70百分位数为 23.7 ．解：15名员工的BMI 数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，由15×70%＝10.5，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7． 故答案为：23.7．14．若非零向量a →，b →满足2|a →|=|b →|=2，(a →−2b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角的余弦值为 14．解：∵(a →−2b →)⊥a →，∴(a →−2b →)⋅a →=0， ∴a →⋅b →=12a →2=12|a →|2=12， ∴cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=121×2=14，即a →，b →夹角的余弦值为14．故答案为：14．15．某同学为了测量天文台CD 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A ，A 到地面的距离AB 为(15−5√3)m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得阳台A ，天文台顶C 的仰角分别是15°和60°，在阳台A 处测得天文台顶C 的仰角为30°，假设AB ，CD 和点M 在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD 的高度为 30 m ．解：在Rt △ABM 中，有AM =ABsin15°， 在△ACM 中，∠CAM ＝30°+15°＝45°，∠AMC ＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∠ACM ＝180°﹣105°﹣45°＝30°， 由正弦定理得AM sin∠ACM=MC sin∠CAM ，故MC =sin∠CAM sin∠ACM ⋅AM =sin45°sin30°⋅ABsin15°=√2⋅ABsin15°， 在Rt △CDM 中，CD =MC ⋅sin60°=√2⋅ABsin15°⋅sin60°， 又sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24，则CD =√2⋅ABsin15°⋅sin60°=√215−5√36−24×√32=30．故答案为：30．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的各棱长都相等，2AP →=PD →，Q 为AC 上一点，且BQ +QP 的最小值为√13，则该棱锥外接球的体积为278√6π．解：将三棱锥A ﹣BCD 的侧面ABC 和ADC 展开到同一平面中，如图1所示，设AP ＝x ，则三棱锥A ﹣BCD 的各棱长均为3x ，在△BAP 中，AB ＝3x ，AP ＝x ，∠BAP =2π3，由余弦定理得BQ +QP 的最小值为BP =√9x 2+x 2−2⋅3x ⋅x ⋅cos 2π3=√13x =√13，解得x ＝1，如图2，在三棱锥A ﹣BCD 中，设底面三角形BCD 的中心为O ′，外接球的球心为O ，连接DO ′，AO ′，DO ，则DO ′=√3，AO ′=√6，设三棱锥A ﹣BCD 的外接球的半径为R ，则（√6−R ）2+（√3）2＝R 2，解得R =3√64， 所以外接球的体积为V =43πR 3=27√68π．故答案为：27√68π．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10分）如图，在圆柱OO 1中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面⊙O 的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的点．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若BD ＝2，CD ＝4，AC ＝6，求圆柱OO 1的侧面积．证明：（1）∵AB ⊥底面BCD ，∴AB ⊥CD ， 又CD ⊥BD ，且AB ∩BD ＝B ， ∴CD ⊥平面ABD ；解：（2）在Rt △BCD 中，由BD ＝2，CD ＝4， 得BC =√22+42=2√5，又在Rt △ABC 中，AC ＝6，得AB =√62−(2√5)2=4． ∴圆柱的底面半径为√5，母线长为4， ∴圆柱OO 1的侧面积为2π×√5×4=8√5π．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（b+c）（sin B+sin C）＝a sin A+3b sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=√6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．解：（Ⅰ）由正弦定理及（b+c）（sin B+sin C）＝a sin A+3b sin C，知（b+c）（b+c）＝a2+3bc，即b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12bc sin A=12bc sinπ3=√3，所以bc＝4，由（Ⅰ）知，b2+c2﹣a2＝bc，因为a=√6，所以b2+c2﹣6＝bc＝4，所以b2+c2＝10，所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝10+2×4＝18，所以b+c＝3√2，所以△ABC的周长为a+b+c=√6+3√2．19．（12分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点．（1）试判断直线BD1与平面AMC的位置关系，并说明理由；（2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1．解：（1）直线BD1∥平面AMC，理由如下：连接BD，交AC于点O，连接OM，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点，又M为DD1中点，∴OM∥BD1，∵OM ⊂平面AMC ，BD 1⊄平面AMC ，∴BD 1∥平面AMC ．（2）证明：∵M ，N 分别为DD 1，CC 1中点，∴D 1M ＝CN ，又D 1M ∥CN ， ∴四边形CMD 1N 为平行四边形，∴CM ∥D 1N ，∵CM ⊂平面AMC ，D 1N ⊄平面AMC ，∴D 1N ∥平面AMC ，由（1）知：BD 1∥平面AMC ，又BD 1∩D 1N ＝D 1，BD 1，D 1N ⊂平面BND 1， ∴平面AMC ∥平面BND 1．20．（12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，2），…，[8，9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a ＝b ．（1）求直方图中a ，b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．解：（1）由题意得：{0.4a =b 0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1，解得a ＝0.15，b ＝0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1﹣0.04﹣0.08＝0.88，∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：400000×（1﹣0.04﹣0.08）＝352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，∴5≤x＜6，由0.15×（x﹣5）＝0.85﹣0.73，解得：x＝5.8，因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AC∩BD＝O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．（1）证明：平面PBD⊥平面ACE；（2）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；（3）求四面体A﹣CDE的体积．解：（1）证明：∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO＝O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD；（2）连接OE，则平面ACE∩平面PBD＝OE，由（1）知AC⊥平面PBD，则AC⊥OE，AC⊥OP，OC⊥PD，故∠POE是二面角P﹣AC﹣E的平面角．∵CE ⊥PD ，CE ∩OE ＝E ，CE 、OE ⊂平面OCE ， ∴PD ⊥平面OCE ， ∴PD ⊥OE ．在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，则△ABC 是等边三角形， 则易知OD =OB =√3， 又OP ＝2，∴PD =√22+(√3)2=√7， 故OE =OP⋅OD PD =23√7=2√217， ∴cos ∠POE =OE OP =√217， 即二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为√217． （3）由（2）可知，PE =√OP 2−OE 2=4√77，ED ＝PD ﹣PE =3√77， ∵PO ⊥底面ABCD ，∴点E 到底面的距离为E 到直线BD 的距离，为OE⋅ED OD=2√217⋅3√77√3=67，而S △ACD =√34×22=√3， ∴V A−CDE =V E−ACD =13×√3×67=2√37．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知c ＝2且a 2+c 2﹣b 2＝（23−2cos A ）bc ，AD =65√5．（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG →•EF →的最小值．解：（1）由余弦定理可得：a 2+c 2﹣b 2＝2ac cos B ，则2ac cos B ＝（23−2cos A ）bc ，∴a cos B ＝（13−cos A ）b ，由正弦定理得：sin A cos B =13sin B ﹣cos A sin B ，∴sin A cos B +cos A sin B ＝sin （A +B ）＝sin （π﹣C ）＝sin C =13sin B ，则c =13b ，又c ＝2，∴b ＝6，∵AB sin∠ADB =BDsin ∠BAC 2，AC sin∠ADC =CDsin ∠BAC 2，又sin ∠ADC ＝sin （π﹣∠ADB ）＝sin ∠ADB ，∴c b =AB AC =BD CD =13， 设BD ＝t ，则CD ＝3t ，∵cos ∠BAC 2=AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD =AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC ，即4+365−t 24×6√55=36+365−9t 212×6√55，解得：t =2√105，∴BC ＝4t =8√105， ∴cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =4+36−128524=35，则sin ∠BAC =45， ∴S △ABC =12AB •AC sin ∠BAC =12×2×6×45=245； （2）设|AE →|＝m （0＜m ≤2），|AF →|＝n （0＜n ≤6），由（1）知：BD →=13DC →， ∴AD →=AB →+BD →=AB →+14BC →=AB →+14（AC →−AB →）=34AB →+14AC →，设AG →=λAD →，则AG →=34λAB →+14λAC →，∵E ，F ，G 三点共线，∴可令AG →=μAE →+（1﹣μ）AC →=mμ2AB →+(1−μ)n 6AC →，则{3λ4=mμ2λ4=(1−μ)n 6，解得：μ=n m+n ，∴AG →=mn 2m+2n AB →+mn 6m+6n AC →， 又EF →=AF →−AE →=n 6AC →−m 2AB →，AB →•AC →=|AB →|•|AC →|cos ∠BAC =365，∴AG →•EF →=（mn 2m+2n AB →+mn 6m+6n AC →）•（n 6AC →−m 2AB →）=−m 2n 4m+4n AB →2+mn 236m+36n AC →2+mn(n−m)12m+12nAB →•AC → =−m 2n m+n +mn 2m+n +3mn(n−m)5m+5n =−8m 2n+8mn 25m+5n =85•mn(n−m)m+n，∵S △AEF =12S S △ABC =12S m n sin ∠BAC =25mn =125，∴mn ＝6，∴AG →•EF →=485•n−m m+n =485•6−m 26+m 2=485•（126+m 2−1），∵0＜m ≤2，∴当m ＝2时，（AG →•EF →）min =4825．。
黑龙江省大庆市高考数学真题分类汇编专题02：复数
黑龙江省大庆市高考数学真题分类汇编专题02：复数姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·新疆月考) 已知是虚数单位，则复数，若是实数，则实数的值为（）A . -2B . 2C . 0D .2. （2分）(2017·铜仁模拟) 已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A . ﹣6B . 6C .D . ﹣3. （2分）复数A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·凯里期末) 已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（）A . 2B .C .D . 45. （2分）(2017·榆林模拟) 设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（1+z）• |等于（）A .B . 2C . 5D .6. （2分）(2019·乌鲁木齐模拟) 设是虚数单位，则复数（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·凯里模拟) 已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内，的共轭复数对应的点所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分）如果复数在复平面内的对应点在第二象限，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2017高二下·榆社期中) 若复数z= ，则|z|=________．10. （1分） (2017高二下·肇庆期末) i是虚数单位，若复数（x2﹣5x+6）+（x﹣3）i是纯虚数，则实数x 的值为________．11. （1分） (2017高二下·鞍山期中) 已知i是虚数单位，计算的结果为________．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、。
黑龙江省大庆市铁人中学高考数学复数习题及答案百度文库
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2．i是虚数单位，复数1i +=-（ ） A．i - B．iCi - Di 3．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6 BC ．5 D4．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<< 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 7．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 9．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） AB ．3C ．5 D．10．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．复数12i z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．复数2i i-的实部与虚部之和为（ ）A ．35B ．15- C ．15 D ．3514．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限15．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =19．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =20．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 21．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为224．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 27．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 28．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数29．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：，.故选：D.解析：D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-， ()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()21i i i+==-. 故选：B. 3．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =，故选：C.4．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题. 5．A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．6．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .7．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.8．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 9．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A10．B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.11．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 12．B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.13．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .14．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ． 解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 15．D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.19．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题20．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 23．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 27．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
黑龙江大庆铁人中学高考数学复数专题复习(专题训练)
一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1B ．1C ．－iD ．i 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．2C ．2D ．8 5．设()2211z i i =+++，则||z =（ ） A 3B ．1 C ．2 D 2 6．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+ 7．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 8．复数12i z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 11．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-112．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1B C D ．2 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 18．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 20．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限22．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B2．B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为1故选：B解析：B【分析】1i z i-+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B 3．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．4．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知，，则，故.故选:B.解析：B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .5．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．6．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A7．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B 8．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题 解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.9．A【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部.【详解】，所以，则的虚部为.故选：A解析：A【分析】 先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z i ，则z 的虚部为1.故选：A10．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ．11．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 12．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.13．B【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠，则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误； 对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．BD先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.24．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
大庆市必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆2．设i 为虚数单位，复数23iz i+=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i5．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限6．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,87．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -8．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ-B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．下列命题（i 为虚数单位）中：①已知,a b ∈R 且a b =，则()()a b a b i -++为纯虚数；②当z 是非零实数时，12z z+≥恒成立；③复数3(1)z i =-的实部和虚部都是－2；④如果|2||2|a i i +<-+，则实数a 的取值范围是11a -<<；⑤复数1z i =-，则13122z i z +=+；其中正确的命题的序号是__________. 14．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．计算12z ==_______.17．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.18．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.19．若复数z满足5z z +=，则复数z =________________. 20．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________ 三、解答题21．已知复数z满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 22．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．（Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若mz z+是实数，求实数m 的值． 23．设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 24．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？25．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥. 26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．B解析：B 【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可. 【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+，故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．C解析：C 【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.5．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x =9．D解析：D 【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可. 详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．②③④【分析】①当时不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成立；③化简复数得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式求解即可；⑤根据复数代数运算法则化简计算即可【详解】对于①且若时则不是纯虚数解析：②③④ 【分析】 ①当0ab 时，()()0a b a b i -++=不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知1||2z z+恒成立； ③化简复数z ，得z 的实部和虚部都是2-； ④根据模长公式得关于a 的不等式，求解即可； ⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可． 【详解】对于①，a ，b R ∈且a b =，若0ab 时，则()()a b a b i -++不是纯虚数，①错误；对于②，当z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知1||2z z+恒成立，②正确； 对于③，复数3(1)22z i i =-=--，z ∴的实部和虚部都是2-，③正确；对于④，如果|2||2|a i i +<-+，则2441a +<+，解得11a -<<，所以实数a 的取值范围是11a -<<，④正确；对于⑤，复数1z i =-，则1131(1)122z i i z i +=+-=--，∴⑤错误． 综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④． 【点睛】本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题．14．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题 解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i + 【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.15．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511 【分析】利用复数的运算公式，化简求值. 【详解】原式1212369100121511()i =+=+=-+=--. 故答案为：511- 【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值.17．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故解析：1【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221． 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.18．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈2222(2)(2)x y x y +=++-简即可求解. 【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈， 则22z x y =+2222(2)(2)(2)(2)z i x y i x y +-=++-=++-2222(2)(2)x y x y +=++-20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=. 故答案为：20x y -+=. 【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.19．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用 解析：1135i 【分析】由z 一定为实数,由题可知z设()a a R z =∈,进而求解即可 【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =, 故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用20．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复解析：3：4：5 【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案. 【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a b d i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B AC A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则43BC AC ==，所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5, 故答案为：3:4:5. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.三、解答题21．(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =. 【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值 【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <， 所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 22．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m = 【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值． 【详解】解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-．所以33z i =-为所求 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭m z z +是实数，306m∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题 23．（1）1；（2）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b biu a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220bb a b -=+，由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 24．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数． 【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数． 【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.25．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析.【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥. 【详解】（1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩ ，解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a bb a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等. 26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。
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黑龙江省大庆市铁人中学高考数学复数习题及答案百度文库一、复数选择题1．已知复数1z i =+，则21z +=（） A ．2 B ．5 C ．4 D ．5 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（）A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55??-D ．43,55??- 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（） A ．12 B ．22 C ．2 D ．24．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（） A ．3 B ．1 C ．2 D ．35．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（）A 2B ．2C ．2D ．8 6．设()2211z i i =+++，则||z =（） A 3B ．1 C ．2 D 2 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（） A ．3i - B ．3i -- C ．3i +D ．3i -+ 8．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（）A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i += 10．复数2i i-的实部与虚部之和为（）A ．35B ．15- C ．15 D ．3511．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（） A ．4B ．2C ．0D ．1- 14．复数21i i +的虚部为（） A ．1-B ．1C ．iD ．i - 15．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．若复数351i z i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限20．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称21．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>22．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >23．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z24．已知复数122,2z i z i =-=则（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．下列命题中，正确的是（）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数26．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=27．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=28．以下为真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数29．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -30．已知复数z ，下列结论正确的是（）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ?∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】先求出，再计算出模.【详解】，，.故选：B.解析：B【分析】先求出21z+，再计算出模. 【详解】 1z i =+，()()()21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-，21z∴+==. 故选：B.2．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.【详解】所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ?+-===-+--+，所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55??-. 故选：D3．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】由于，则.故选：B解析：B【分析】先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B4．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值.【详解】，由已知条件可得，解得.故选：A.解析：A利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.5．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知，，则，故.故选:B.解析：B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .6．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．7．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ?=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ?=-，所以()13133i z i i i i-==-=+-，复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A8．A【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部.【详解】，所以，则的虚部为.故选：A解析：A【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-，所以z i ，则z 的虚部为1. 故选：A9．B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B10．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 12．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-，所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D13．A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】，故选：A解析：A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+3,1a b ==，4a b +=故选：A14．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD. 17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ??-+=?=??，解得0,0a b =??=?或0,2a b =??=?或0,2,ab =??=-? ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误，复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.20．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．21．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω==---=--= ??? ???，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．22．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.23．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ?+-=?--≠?，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ?=-?=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 25．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．26．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102zz ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 27．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z=，则满足(()21210m m m ?-=??-=?，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足(()21010m m m ?-=??--≠??，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m=，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.28．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=，但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 29．AB 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；。