1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

6.
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ， AD⊥BC 于 D，点 E 是 AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于 F. AB DF 求证：AC＝AF.
证明：∵E 是 Rt△ADC 斜边 AC 上的中点， ∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又∵AD⊥BC 且∠BAC＝90° ， ∴∠BAD＝∠C. ∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， DB DF ∴AD＝ AF. AB DB 又在 Rt△ABD 与 Rt△CBA 中，AC＝AD， AB DF ∴AC＝ AF.
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证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD. 又∵点 F 在 BA 的延长线上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. CD DE 由△CDE∽△FAE，得 FA ＝AE. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH. 求证：GH∥AB. [思路点拨] GE EH 根据此图形的特点可先证比例式DE＝ EB 成
立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
[证明] ∵DE∥BC， GE AG DG GE CF ∴FC ＝ AF＝ FB ，即DG＝FB. EH CF 又∵DF∥AC，∴HB＝FB. GE EH GE EH ∴DG＝HB.∴ED＝ EB . 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB.
[思路点拨]
已知AB＝AC，
∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分 线，因此，可以考虑使用判定定理1.
[证明] ∵∠A＝36° ，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72° . 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36° ， ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
个直角三角形 相似 ．
[说明]
对于直角三角形相似的判定，除了以上方法
外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分 成的两个直角三角形与原三角形相似． 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含 条件的利用．
[例1]
如图，已知在△ABC中，
AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线， 证明：△ABC∽△BCD.
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
的
．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的
三边 三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似，简述为： [说明] 对应成比例，两三角形相似．
在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，
即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻 求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定
定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此
定理的情况较多．
3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果两个直角三角形有一个 锐角对应相等，
那么它们相似；
②如果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 那么 它们相似． (2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ，那么这两
两角 三角形相似，简述为：
对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形
的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 第三边
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平
行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对
等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例， ③找一对直角．
1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形．
不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比 例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证 明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．
4．如图，△ABC 的三边长是 2、6、7，△DEF 的三边长是 4、 12、14，且△ABC 与△DEF 相似，则∠A＝__________， ∠B＝__________，∠C＝________. AB AC ＝ EF ＝ ＝________.
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，

连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC
＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫
做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数)． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ．
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个