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类比探究几何压轴题-教师版(1)

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2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

中考数学压轴题之类比探究(作业及答案)

中考数学压轴题之类比探究(作业及答案)

类比探究（作业）例：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ．（1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则CD的值是 ． EF CG（2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF= m （m >0），EF则 CD的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出解答 CG 过程．（3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB= a ，CDBC = b （a >0，b >0），则 AF的值是 （用含 a ，b 的 BE EF代数式表示）．【思路分析】根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，根据这些特征我们思考通过相似来传递比例关系，进而求 CD的值．CG构造相似我们采用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF= 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，EF故 CD = 3 ． CG 2类比第一问思路，解决第二问．分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m．CG 2照搬思路解决第三问．此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点 E 作 EH ∥ AB 交 BD 的延长线于点 H ，可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得 BC = CD ， AF = AB ，结合 AB = a ， BC= b ，BE EH EF EH CD BE可知 AF = AB = a ⋅CD = ab ．EF EH EH12 31.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当CE=1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（2）如图3，当CE= 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE=m时，EAEP 与EQ 满足的数量关系式为．图1图2图3，=2.如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B1C1⊥AC 于C1，交AB 的延长线于B1．（1）请你探究：AC =CD AC1 C1D 是否都成立？AB BD AB1DB1（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC=CD一定成立吗？并证明AB BD你的判断．图1 图2 （3）如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=40，3E 为AB 上一点且AE=5，CE 交其内角角平分线AD 于F．试求DF的值．FA3. 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1） 操作发现如图 2，固定△ABC ，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为 S 1 ，△AEC 的面积为 S 2 ，则 S 1 与S 2 的数量关系是．图 1图 2（2） 猜想论证当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3） 拓展探究如图 4 ， 已知∠ ABC =60°， 点 D 是其角平分线上一点， BD =CD =4，DE ∥AB 交 BC 于点 E ．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直．接．写．出．相应的 BF 的长．【参考答案】1.（1）EP=EQ，证明略（2）EP=1 EQ 2（3）EP=1 EQ m2.（1）都成立，证明略（2）结论仍然成立（3）DF=5 FA 83. （1）①DE∥AC，②S1=S2（2）证明略（3）BF 的长为或8 3 34 3 3。

以翻折旋转为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)

以翻折旋转为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)

以翻折旋转为背景的几何类比探究压轴问题1考向分析1(2023•海安市一模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是线段BO上一点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．(1)当∠BAE=15°时，求EF的长；(2)若△ABF是等腰三角形，求AF的长；(3)若EF=k•BE，求k的取值范围．​【分析】(1)根据菱形的性质以及折叠的性质可得△ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO=2，BO= 23，∠BAF=∠FBA=30°，则BF=AF=23-OF，根据勾股定理求出OF，根据等腰直角三角形的性质可得OE=OA=2，即可得EF的长；(2)分三种情况：①当AF=BF时，②当AF=AB时，③当AB=BF时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；(3)过点E作EM⊥AB于M，作EN⊥AF于N，根据三角形的面积公式可得ABAF=BEEF，则EF=AF⋅BEAB，由EF=k•BE得k=AFAB，由点F在BD上可得AF的最大值为4，当AF⊥BD，即点F与点O重合时，AF的值最小为OA=2，可得2≤AF≤4，即可得k的取值范围．【解答】解：(1)菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，∴△ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO=12AC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，∴AO=2，BO=23，由折叠得∠BAE=∠FAE=15°，∴∠BAF=∠FBA=30°，∴BF=AF=23-OF，在Rt△AOF中，OF2+OA2=AF2，∴OF2+22=(23-OF)2，∴OF=233，∵∠BAE=15°，∠FBA=30°，∴∠AEO=45°，∴△AEO是等腰直角三角形，∴OE =OA =2，∴EF =OE -OF =2-233；(2)若△ABF 是等腰三角形，分三种情况：①当AF =BF 时，由(1)知，BF =AF =23-OF ，OF =233，∴AF =23-233=433；②当AF =AB 时，∵AB =4，∴AF =4；③当AB =BF 时，如图1，∵AB =4，∴BF =4，∴OF =BF -OB =4-23，∴AF =OA 2+OF 2=22+(4-23)2=26-22；综上，AF 的长为433或4或26-22；(3)过点E 作EM ⊥AB 于M ，作EN ⊥AF 于N ，由折叠得∠BAE =∠FAE ，∴EM =EN ，∴S △ABES △AFE =12AB ⋅EM 12AF ⋅EN =AB AF ，又∵S △ABE S △AFE=BE EF ，∴AB AF =BE EF ，∴EF =AF ⋅BE AB，∵EF =k •BE ，∴k =AF AB，∵点F 在BD 上，∴AF 的最大值为4，当AF ⊥BD ，即点F 与点O 重合时，AF 的值最小为OA =2，∴2≤AF ≤4，∴12≤AF AB≤1，∴k 的取值范围为12≤k ≤1．【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键．2(2023•铁西区模拟)在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．(1)如图①将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由；(2)如图②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=8，AD=4，把△ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点，当E在BA延长线上时，求线段CP的长度(只求图中的情况)；(3)在(2)的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值．【分析】(1)证明△ABD≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ABD=∠ACE，证明△ABD∽△PCD，由相似三角形的性质得出ABPC=BDCD，求出CD的长，则可得出答案；(3)分两种情况画出图形，由正方形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE；(2)解：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ADB=∠PDC，∴△ABD∽△PCD，∴AB PC=BD CD，又∵AB=8，AD=4，∠BAC=90°，∴CD=AC-AD=AB-AD=8-4=4，BD=AB2+AD2=82+42=45，∴8PC=454，∴PC=855；(3)解：①当四边形ADPE为正方形时，点P在线段BD上，∵∠ADB=90°，AD=4，AB=8，∴BD=AB2-AD2=82-42=43，∴PB=43-4；②如图，当点P在线段BD的延长线上时，同理PB=BD+PD=43+4．综上所述可得PB的长为43+4或43-4．【点评】本题几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3(2023•南阳一模)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形CDEF 沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设∠EFC=α．(1)如图1，若∠EFC=75°，AD=AB，点F为BC的中点，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是PC'=PB，写出图中一个30°的角：∠BFC'；(2)如图2，若点F为BC的中点，AD=2AB，45°<α<90°，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若AB=3，AD=6，BF=1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出EFC'E的值．【分析】(1)证明Rt△PBF≌Rt△PC'F(HL)，由全等三角形的性质得出PB=PC'，由折叠的性质得出∠EFC=∠EFC'=75°，则可得出答案；(2)连接PF，方法同(1)，由全等三角形的性质得出PB=PC'；(3)①若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，由勾股定理可得出答案．【解答】解：(1)连接PF，∵F为BC的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD为矩形，AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵将正方形CDEF沿EF折叠，∴FC=FC'，∠C=∠D'C'F=90°，∴∠PC'F=90°，BF=C'F，又∵PF=PF，∴Rt△PBF≌Rt△PC'F(HL)，∴PB =PC '，∵∠EFC =75°，将四边形CDEF 沿EF 折叠，∴∠EFC =∠EFC '=75°，∴∠BFC '=180°-∠EFC -∠EFC '=30°，故答案为：PC '=PB ，∠BFC '；(2)PC '=PB ．理由：连接PF ，∵F 为BC 的中点，∴BF =CF ，∵将矩形CDEF 沿EF 折叠，∴FC =FC '，∠C =∠D 'C 'F =90°，∴∠PC 'F =90°，BF =C 'F ，∴Rt △PBF ≌Rt △PC 'F (HL )，∴PB =PC '；(3)①若点E 为AD 的三等分点，且AE =2DE ，∵AD =6，∴AE =4，ED =2，过点E 作EM ⊥BC 于M ，∴四边形ABME 为矩形，∴BM =AE =4，EM =AB =3，∴FM =BM -BF =4-1=3，∴EF =FM 2+EM 2=32+32=32，∵将矩形CDEF 沿EF 折叠，∴ED =ED '=2，C 'D '=CD =3，∠D =∠D '=90°，∴C 'E =C 'D '2+D 'E '2=22+32=13，∴EF C 'E =3213=32613；②若点E 为AD 的三等分点，且DE =2AE ，∴DE =4，EA =2，过点E 作EN ⊥BC 于N ，同理可得FN =1，EN =3，∴EF =FN 2+EN 2=12+32=10，同理由折叠可得ED =ED '=4，C 'D '=CD =3，∠D =∠D '=90°，∴C 'E =D 'E 2+C 'D '2=42+32=5，∴EF C 'E=105，综上所述，EF C 'E的值为105或32613．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4(2023•沈河区校级模拟)如图1，四边形ABCD中，∠BCD=90°，AC=AD，AF⊥CD于点F，交BD 于点E，∠ABD=2∠BDC．(1)判断线段AE与BC的关系，并说明理由；(2)若∠BDC=30°，求∠ACD的度数；(3)如图2，在(2)的条件下，线段BD与AC交于点O，点G是△BCE内一点，∠CGE=90°，GE=3，将△CGE绕着点C逆时针旋转60°得△CMH，E点对应点为M，G点的对应点为H，且点O，G，H在一条直线上直接写出OG+OH的值．【分析】(1)连接CE，可证得BC∥AF，进而得出DE=BE，运用直角三角形性质可得CE=DE，进而得出∠ECD=∠BDC，推出∠ABD=∠BEC，由平行线的判定定理可得AB∥CE，根据平行四边形的判定和性质可得AE=BC，AE∥BC．(2)根据已知条件可得出△BCE是等边三角形，BC=CE，∠BCE=60°，进而可得四边形ABCE是菱形，利用菱形性质可得∠ACB=12∠BCE=30°，再由∠ACD=∠BCD-∠ACB，即可求得答案；(3)由旋转变换的性质可得：CH=CG，CM=CE，∠GCH=∠ECM=60°，得出△CGH是等边三角形，∠CHG=60°，进而可得四边形BHCO是圆内接四边形，得出∠COH=∠CBH，过点C作CL⊥OH于点L，可证得△COL∽△CBH，利用相似三角形性质和解直角三角形可得OLBH=CL CH=sin∠CHG=sin60°=32，即OL=32BH=332，根据等边三角形性质可得GH=2GL，推出OG+OH=OG+OG+2GL=2(OG+GL)=2OL，即可求得答案．【解答】解：(1)AE=BC，AE∥BC．理由如下：如图1，连接CE，∵AC=AD，AF⊥CD，∴CF=FD，∠AFD=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCD=∠AFD，∴BC∥AF，∴DE BE=DFCF=1，∴DE=BE，∵∠BCD=90°，∴CE=DE，∴∠ECD=∠BDC，∵∠BEC =∠ECD +∠BDC ，∴∠BEC =2∠BDC ，∵∠ABD =2∠BDC ，∴∠ABD =∠BEC ，∴AB ∥CE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴AE =BC ，AE ∥BC ．(2)∵∠BDC =30°，∠BCD =90°，∴∠CBD =60°，∵CE =BE =DE ，∴△BCE 是等边三角形，∴BC =CE ，∠BCE =60°，∵四边形ABCE 是平行四边形，∴四边形ABCE 是菱形，∴∠ACB =12∠BCE =30°，∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =90°-30°=60°；(3)∵将△CGE 绕着点C 逆时针旋转60°得△CMH ，∴CH =CG ，CM =CE ，∠GCH =∠ECM =60°，∴△CGH 是等边三角形，∴∠CHG =60°，由(2)知：△BCE 是等边三角形，∴CB =CE ，∠ECB =60°，∴CE 与CB 重合，点M 与点B 重合，∴BH =EG =3，∠CHB =∠CGE =90°，∵四边形ABCE 是菱形，∴∠BOC =90°，∴∠BOC +∠CHB =90°+90°=180°，∴四边形BHCO 是圆内接四边形，∴∠COH =∠CBH ，如图2，过点C 作CL ⊥OH 于点L ，则∠CLO =90°=∠CHB ，∴△COL ∽△CBH ，∴OL BH =CL CH=sin ∠CHG =sin60°=32，∴OL =32BH =32×3=332，∵△CGH 是等边三角形，CL ⊥OH ，∴GH =2GL ，∵OH =OG +GH =OG +2GL ，∴OG +OH =OG +OG +2GL =2(OG +GL )=2OL ，∴OG+OH=2×332=33．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转变换的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考压轴题．2压轴题速练1(2023•襄都区校级一模)已知点M，N是直线l上自左向右的两点，且MN=8，点P是MN的中点，点Q是直线l上一点(不与点M，N重合)，直线m经过点Q，MA⊥直线m于点A，NB⊥直线m于点B，连接PA，PB．(1)如图1，当点Q在点P，N之间时，求证：PA=PB；(2)如图2，当点Q在点N的右侧时，若PN=2NQ，且∠AQM=30°，求AB和AP的长度．【分析】(1)过点P作PJ⊥直线m于点J．利用平行线等分线段定理证明即可；(2)过点P作PH⊥AB于点H．分别求出AQ．BQ，可得AB的长，再利用勾股定理求出AP．【解答】(1)证明：过点P作PJ⊥直线m于点J．∵MA⊥直线m，NB⊥直线m，PJ⊥直线m，∴MA∥NB∥PJ，∵PM=PN，∴AJ=JB，∵PJ⊥AB，∴PA=PB；(2)解：过点P作PH⊥AB于点H．∵MA⊥直线m，NB⊥直线m，PH⊥直线m，∴MA∥NB∥PH，∵PM=PN，∴AH=BH，∵MN=8，P是MN的中点，∴PM=PN=4，∵PN=2NQ，∴NQ=2，PQ=6，MQ=8，∵∠AQM=30°，∴PH=12PQ=3，BQ=NQ•cos30=3，AQ=MQ•cos30°=43，∴AB=AQ-BQ=33，∴AH=BH=332，∴PA=AH2+PH2=3322+32=372．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线等分线段定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2(2023•齐齐哈尔一模)综合与实践．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．观察猜想：(1)在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为AM=CN；实践发现：(2)当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，求证：CM-AM=2DM；拓展延伸：(3)当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，探究AM、CM、DM之间的数量关系是CM+AM=2DM；解决问题：(4)若△ABC中，AB=5，在△DMN旋转过程中，当AM=2且C、M、N三点共线时，DM=　6-22或6+22　．【分析】(1)结论：AM=CN．证明△ADM≌△CDN(SAS)，可得结论；(2)连接AD．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质证明即可；(3)结论：CM+AM=2DM．证明方法类似(2)；(4)分两种情形：利用图2，图3分别求出MN，可得结论．【解答】(1)解：结论：AM=CN．理由：连接AD ．∵AB =AC ，∠BAC =90°，BD =DC ，∴AD ⊥BC ，AD =DB =DC ，∵∠ADC =∠MDN =90°，∴∠ADM =∠CDN ，在△ADM 和△CDN 中，DA =DC ∠ADM =∠CDN DM =DN，∴△ADM ≌△CDN (SAS )，∴AM =CN ．故答案为：AM =CN ；(2)证明：连接AD ．由(1)可知AM =CN ，∵△DMN 是等腰直角三角形，∴MN =2DM ，∴CM -CN =CM -AM =MN =2DM ，即CM -AM =2DM ；(3)解：结论：CM +AM =2DM ．理由：由(1)可知AM =CN ，∵△DMN 是等腰直角三角形，∴MN =2DM ，∴CM +CN =CM +AM =MN =2DM ，即CM +AM =2DM ．故答案为：CM +AM =2DM ；(4)解：如图2中，设AD 交CM 于点O ．∵△ADM ≌△CDN ，∴AM =CN ，∠DAM =∠DCN ，∵∠AOM =∠COD ，∴∠AMO =∠CDO =90°，∵AB =AC =5，AM =2，∴CM =AC 2-AM 2=5-2=3，∴MN =CM -CN =3-2，∴DM =22MN =6-22，如图3中，同法可得DM =6+22．综上所述，DM 的长为6-22或6+22．故答案为：6-22或6+22．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3(2023•长安区一模)问题提出：(1)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AO是它的一条中线，则∠COA与∠B的数量关系是：∠COA=2∠B；(2)如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=6，CG⊥AB于点G，BH⊥AC于点H，O为BC边上一点，且OG=OB，连接GH，求GH的长；问题解决：(3)某次施工中，工人师傅需要画一个20°的角，但他手里只有一把带刻度的直角尺，工程监理给出了下面简易的作图方法：①画线段OB=15cm，再过它的中点C作m⊥OB；②利用刻度尺在m上寻找点A，使得OA=15cm，再过点A作l∥OB；③利用刻度尺过点O作射线，将射线与AC和l的交点分别记为点F、E，调节刻度尺使FE=□cm时(“□”内的数字被汗渍侵蚀无法看清)，则∠EOB=20°；你认为监理给的方法可行吗？如果可行，请写出“□”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案．【分析】(1)利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质证明即可．(2)连接OH，证明△OGH是等边三角形可得结论；(3)取EF是中点P，连接AP，证明AP=FP=EP=AO=15，推出∠AEF=∠EAP，∠AOP=∠APO，推出∠AOP=2∠AEF=2∠BOE，可得结论．【解答】解：(1)如图1中，∵∠CAB=90°，AO是中线，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠B，∵∠COA=∠OAB+∠B，∴∠COA=2∠B，故答案为：2；(2)如图2中，连接OH．∵OG=OB，∴∠GBO=∠BGO，∵∠CGB=90°，∴∠GBO+∠GCO=90°，∠BGO+∠CGO=90°，∴∠GCO=∠CGO，∴OH=BO=OG=OC=3，∴B，C，H，G在以O为圆心，OC为半径的圆上，∵∠A=60°，∴∠ACG=30°，∴∠GOH=60°，∴△GOH是等边三角形，∴GH=OG=3；(3)可行，30．理由：在Rt△ACO中，cos∠AOC=OCOA=12，∴∠AOC=60°，取EF是中点P，连接AP，∵AP∥直线l，AC⊥OB，∴AC⊥AE，∠AEF=∠BOE，∴∠FAE=90°，∵EP=PF，EF=30cm，∴AP=FP=EP=AO=15(cm)，∴∠AEF=∠EAP，∠AOP=∠APO，∴∠AOP=2∠AEF=2∠BOE，∴∠BOE=13∠AOB=20°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4(2023•南关区校级模拟)如图，在△ABC中，BA=10，BC=3，tan B=3，点D为边BC的中点．动点P从点B出发，沿折线BA-AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒10个单位长度和每秒13个单位长度．连结AD、PD，设点P的运动时间为t秒(t>0)．(1)线段AC的长为　13　；(2)用含t的代数式表示线段AP的长；(3)当∠APD为钝角时，求t的取值范围；(4)做点B关于直线PD的对称点B′，连结B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．【分析】(1)如图1中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ．解直角三角形求出AE ，BE ，再利用勾股定理求出AC 即可；(2)分两种情形：当0<t ≤1时．当1<t ≤2时，分别根据路程，速度，时间的关系求解；(3)求出两种特殊情形：如图1中，当DP ⊥AB 时，如图2中，当DP ⊥AC 时，t 的值，可得结论；(4)分两种情形：如图3中，当DB ′⊥BC 时，过点P 作PJ ⊥BC 于点J ．解直角三角形求出BP ．如图4中，当DB ′⊥BC 时，过点P 作PJ ⊥BC 于点J ．记住解阿三角形求出CP ，可得结论．【解答】解：(1)如图1中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ．∵tan B =AE BE=3，AB =10，∴AE =3，BE =1，∵BC =3，∴EC =2，∴AC =AE 2+CE 2=32+22=13．故答案为：13．(2)当0<t ≤1时，AP =10-10t ．当1<t ≤2时，AP =13(t -1)．综上所述，AP =10-10t (0<t ≤1)13(t -1)(1<t ≤2) ；(3)如图1中，当DP ⊥AB 时，∵12•AB •DP =12•BD •AE ，∴DP =3×3210=91020，∴BP =DB 2-DP 2=32 2-91020 2=31020，此时t =320．如图2中，当DP ⊥AC 时，DP =3×3213=91326，∴CP =CD 2-DP 2=32 2-91326 2=31313，此时t =1+1013=2313，观察图形可知满足条件的t 的值为：320<t <1或1<t <2313．(4)如图3中，当DB ′⊥BC 时，过点P 作PJ ⊥BC 于点J ．设BJ =x ，则PJ =DJ =3x ，∴4x =32，∴x =38，∴PB =3108，∴t =38．如图4中，当DB ′⊥BC 时，过点P 作PJ ⊥BC 于点J ．设DJ =PJ =3y ，则CJ =2y ，∴5y =32，∴y =310，∴PC =PJ 2+CJ 2=910 2+610 2=31310，∴t =1+710=1710．综上所述，满足条件的t 的值为38或1710．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积轴对称变换，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5(2023•盐田区二模)操作：如图1，点E 在矩形ABCD 边CD 上，沿AE 折叠，点D 恰落在BC 边上D '处．再将图1对折，使点E 与点A 重合，得多边形AC ′FBNM (图2)，点C 的对应点为点C ′．思考：若AB =6，AD =10．(1)求图1中CE 的长；(2)求证：△AC 'F ≌△ECD '．探究：若用一张A 4(AD =2AB )纸进行上述操作，判断C 'F 与BF 的数量关系，并说明理由．【分析】思考：(1)由折叠的性质得出AD '=AD =10，∠AD 'E =90°，证明△ED 'C ∽△D 'AB ，由相似三角形的性质得出CE BD '=CD 'AB，则可得出答案；(2)由折叠的性质得出∠AED =∠AED '，∠EAC '=∠AEC ，证出∠FAC '=∠CED '，根据ASA 可证明△AC 'F ≌△ECD '；探究：设AB=m，AD=2m，证明△ED'C∽△D'AB，由相似三角形的性质得出ED'D'A=D'CAB，求出ED'=(2-2)m，由全等三角形的性质得出C'F=CD'=(2-1)m，AF=ED'=(2-2)m，则可得出结论．【解答】解：思考：(1)由折叠的性质可得，AD'=AD=10，∠AD'E=90°，∵∠B=90°，AB=6，AD'=10，∴BD'=8，∴CD'=BC-BD'=10-8=2，∵∠AD'B+∠ED'C=90°，∠AD'B+∠BAD'=90°，∴∠ED'C=∠BAD'，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴△ED'C∽△D'AB，∴CE BD'=CD' AB，∴CE8=26，∴CE=83；(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AED=∠FAE，由折叠的性质得出∠AED=∠AED'，∠EAC'=∠AEC，∴∠FAE=∠AED'，∠EAC'-∠FAE=∠AEC-∠AED'，即∠FAC'=∠CED'，又∵AC'=EC，∠C'=∠C，∴△AC'F≌△ECD'(ASA)；探究：C'F=BF．理由：由AD=2AB，设AB=m，AD=2m，∴BD'=m，CD'=(2-1)m，∴△ED'C∽△D'AB，∴ED' D'A=D'C AB，∴ED'2m =(2-1)mm，∴ED'=(2-2)m，∵△AC'F≌△ECD'，∴C'F=CD'=(2-1)m，AF=ED'=(2-2)m，∴BF=AB-AF=m-(2-2)m=(2-1)m=C'F．【点评】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•白塔区校级一模)已知，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D在射线CB上，连接DA，将线段DA绕点D逆时针旋转90°后得到DE，过点E作EM⊥BC交直线BC于点M，连接AE，CE ．(1)如图①，若点D 在线段CB 上(且不与点C 、点B 重合)时，求证：①MC =BD ；②∠ACE =90°(2)延长AD 与直线CE 相交于点N ，①当点D 在线段CB 上(且不与点C 、点B 重合)时，如图②所示，若AD 平分∠BAC ，CD =2ME ，且AB =2+22，求线段NE 的长；②当点D 在射线CB 上(且不与点C 、点B 重合)时，若CE NE =37时，直接写出tan ∠MDE tan ∠NAC．【分析】(1)①证明ABD ≌△DME ，进而得出结论；②证明△ABD ∽△ACE ，进而得出结论；(2)①设AC 与DE 交于点F ，证明∠BAD =22.5°，在AB 上取一点T ，使得AT =DT ，证明BD =BT ，设BD =BT =m ，则DT =AT =2m ，可得m +2m =2+22，推出m =2，再证明△ABD ∽△ADF ，利用相似三角形的性质求出AF ，再证明EN =AF 可得结论；②证明∠MDE =∠CAE ，进而在Rt △ACN 和Rt △ACE 中，表示出tan ∠CAN 和tan ∠CAE ，进而求得结果．【解答】(1)证明：①∵∠ADE =90°，∴∠ADB +∠MDE =90°，∵∠ABD =90°，∴∠ADB +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠MDE ，在△ABD 和△DME 中，∠B =∠M =90°∠BAD =∠MDE AD =DE，∴△ABD ≌△DME (AAS )，∴AB =DM ，∵AB =BC ，∴BC =DM ，∴MC =BD ；②∵∠BAC=∠DAF，∴∠BAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，∵AC AB=AFAD=2，∴△ABD∽△ACE，∴∠ACE=∠B=90°；(2)解：①设AC与DE交于点F，∵△ABD≌△DME，∴AB=DM，BD=EM，∵AB=BC，∴BC=DM，∴MC=BD=EM，∴∠MCE=∠MEC=45°，∴EC=2ME，∵CD=2ME，∴CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠MCE=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=67.5°，∵∠B=90°，∴∠BAD=22.5°，在AB上取一点T，使得AT=DT，∴∠TAD=∠TDA=22.5°，∴∠BTD=∠TAD+∠TDA=45°，∵∠B=90°，∴∠BDT=∠BTD=45°，∴BD=BT，设BD=BT=m，则DT=AT=2m，∴m+2m=2+22，∴m=2，∴BD=2，∴AD=BD2+AB2=22+(2+22)2=16+82，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=∠ADF=90°，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD =AD AF，∴2+2216+82=16+82AF，∴AF =42，∵∠DEN =∠DAF =22.5°，DE =AD ，∠EDN =∠ADF =90°，∴△EDN ≌△ADF (ASA )，∴EN =AF =42；②当点D 在线段BC 上时，∵CE NE =37，∴CE CN=34，由上得，∠MDE =∠BAD =∠CAE ，∴tan ∠MDE tan ∠NAC =tan ∠CAE tan ∠NAC =CE AC ：CN AC=CE CN =34．如图，当点D 在CB 的延长线上时，同理可得：tan ∠MDE tan ∠NAC =tan ∠CAE tan ∠NAC =CE AC ：CN AC =CE CN =310综上所述，tan ∠MDE tan ∠NAC=34或310．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，锐角函数定义，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是转化线段和角．7(2023•天宁区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，点B 在x 轴正半轴上，点C 在第一象限内．(1)如图1，OB =4．①若△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，且tan ∠BAC =2．请在图(1)中利用圆规、无刻度直尺作出点C 的位置(不写作法，保留作图痕迹)，写出点C 的坐标：(8，8)；②若△ABC 是等边三角形．求点C 的坐标；(2)如图2，△ABC 是等边三角形，点C 在以P (33，6)为圆心，半径为r 的圆上．若存在两个△ABC 满足条件，求r 的取值范围．【分析】(1)①以点B 为圆心，AB 为半径画弧交AB 的延长线于点N ，分别以A 、N 为圆心，大于AB 的长度为半径画弧，交于第一象限内点W ，在射线BW 上截取BC =2AB ，连接AC ，点C 即为所求作的点；设C (x ，y )，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由tan ∠BAO =tan ∠CBE ，得OB OA=CE BE ，即42=y x -4，得出y =2x -8，即CE =2x -8，由勾股定理得BE 2+CE 2=BC 2，建立方程求解即可；②过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作FG ⊥x 轴于点G ，交CE 于点F ，设C(a ，b )，则CE =a ，FG =b ，由△DCF ∽△BDG ，可得CF DG =DF BG=CD BD ，即a -21=b -12=3，即可求得答案；(2)以OA 为边作等边三角形OAM ，使点M 落在第一象限，作射线MP 交⊙P 于点C 、C ′，分别以AC 、AC ′为边作等边△ABC 和等边△AB ′C ′，连接AP ，取BB ′的中点Q ，连接AQ 、PQ ，点B 、B ′均在x 轴正半轴上，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，可证得△BAB ′≌△CAC ′(SAS )，△ABQ ≌△ACP (SAS )，推出△PAQ 是等边三角形，可得AP =AQ ，利用勾股定理可求得OQ =39，即可得出0<r ≤39．【解答】解：(1)①如图1-①，点C 即为所求作的点．设C (x ，y )，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，则OE =x ，CE =y ，∴BE =OE -OB =x -4，∵点A (0，2)，∴OA =2，∵OB =4，∴B (4，0)，在Rt △AOB 中，AB =OA 2+OB 2=22+42=25，∵∠AOB =∠BEC =90°，∴∠BAO +∠ABO =90°，∵∠ABC =90°，∴∠CBE +∠ABO =90°，∴∠BAO =∠CBE ，∴tan ∠BAO =tan ∠CBE ，∴OB OA=CE BE ，即42=y x -4，∴y =2x -8，即CE =2x -8，∵tan ∠BAC =2，∴BC AB=2，∴BC =2AB =45，在Rt △BCE 中，BE 2+CE 2=BC 2，∴(x -4)2+(2x -8)2=(45)2，解得：x =0(舍去)或x =8，∴y =2x -8=2×8-8=8，∴点C 的坐标为(8，8)，故答案为：(8，8)；②如图1-②，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作FG ⊥x 轴于点G ，交CE 于点F ，设C (a ，b )，则CE =a ，FG =b ，∵△ABC 为等边三角形，CD ⊥AB ，∴AD =DB =12AB =5，∵DG ∥OA ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABO 的中位线，∴OG =BG =2，DG =12OA =1，∴FD =FG -DG =b -1，∵∠EOG =∠OEF =∠FGO =90°，∴四边形EFGO 是矩形，∴EF =OG =2，CF =CE -EF =a -2，在Rt △BCD 中，CD BD=tan ∠ABC =tan60°=3，∵∠DFC =∠BGD =∠BDC =90°，∴∠CDF +∠DCF =∠CDF +∠BDG =90°，∴∠DCF =∠BDG ，∴△DCF ∽△BDG ，∴CF DG =DF BG=CD BD ，即a -21=b -12=3，解得：a =2+3，b =1+23，∴点C 的坐标为(2+3，1+23)；(2)如图2，以OA 为边作等边三角形OAM ，使点M 落在第一象限，作射线MP 交⊙P 于点C 、C ′，分别以AC 、AC ′为边作等边△ABC 和等边△AB ′C ′，连接AP ，取BB ′的中点Q ，连接AQ 、PQ ，点B 、B ′均在x 轴正半轴上，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，则AB =AC ，AB ′=AC ′，∠BAC =∠B ′AC ′=60°，∴∠BAB ′+∠B ′AC =∠B ′AC +∠CAC ′，∴∠BAB ′=∠CAC ′，∴△BAB ′≌△CAC ′(SAS )，∴BB ′=CC ′=2r ，BQ =CP =r ，∠ABQ =∠ACP ，∴△ABQ ≌△ACP (SAS )，∴AQ =AP ，∠BAQ =∠CAP ，∴∠PAQ =∠CAP +∠CAQ =∠BAQ +∠CAQ =∠BAC =60°，∴△PAQ 是等边三角形，∴AP =AQ ，∵AP 2=PH 2+AH 2=(33)2+42=43，AQ 2=OA 2+OQ 2=22+OQ 2，∴22+OQ 2=43，∵OQ >0，∴OQ =39，∴0<r ≤39．【点评】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．8(2023•长春一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，sin A =35．点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD ⊥AB 交折线AC -CB 于点D ，连结BD ，将△DBP 绕点D 逆时针旋转90°得到△DEF ．设点P 的运动时间为t (秒)．(1)AC =4．(2)用含t 的代数式表示线段PD 的长．(3)当点E 落在AB 边上时，求t 的值．(4)当△DEF 与△ABC 重叠部分为三角形时，直接写出t 的取值范围．【分析】(1)在△ACB 中，sin A =BC AB =35，可得BC =3，再利用勾股定理求出AC ；(2)分两种情形：如图1-1中，当点D 在线段AC 上时，如图1-2中，当点D 在线段BC 上时，分别求出PD 即可；(3)如图2中，当点E 落在AB 上时，PD =PB =2t ，根据AP +PB =5，构建方程求解即可；(4)当E 或F 在△ABC 内部时，△DEF 与△ABC 重叠部分为三角形，求出几个特殊位置的t 的值，可得结论．【解答】解：(1)在△ACB 中，∠C =90°，AB =5，∴sin A =BC AB=35，∴BC =3，∴AC =AB 2-BC 2=52-32=4．故答案为：4；(2)如图1-1中，当点D 在线段AC 上时，0<t ≤85，∵AP =2t ，∴tan A =DP AP =34，∴PD =32t ．如图1-2中，当点D 在线段BC 上时，85<t ≤52．∵tan B =DP PB =43，∴PD =43(5-2t )，综上所述，PD =32t 0<t ≤85 43(5-2t )85<t ≤52；(3)如图2中，当点E落在AB上时，PD=PB=32t，∵AP+PB=5，∴2t+32t=5，解得t=10 7，∴t=107时，点E落在AB上；(4)如图3中，当点F落在AC边上时，CD+BD=3，∴35×43(5-2t)+53(5-2t)=3，解得，t=7037．观察图象可知当7037<t<52时，点F落在△ABC内部．综合(3)(4)可知，当E或F在△ABC内部时，△DEF与△ABC重叠部分为三角形，当点D与C重合时，2t=4×4 5，解得t=8 5，∴满足条件的t的值为：107≤t≤85或7037≤t<52．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．9(2023•市中区一模)(1)①如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，则BD与CE的数量关系为BD=CE；②如图2，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则sin∠DAC=　35　；(2)如图3，在(1)②的条件下，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF．当AE=32时，求CF的长度；(3)如图4，矩形ABCD中，若AB=23，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE的中点为G，CF的中点为H，若GH=13，直接写出DE的长．【分析】(1)①证明△BAD≌△CAE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；②由勾股股定理求出AC =5，由正弦的定义可得出答案；(2)连结EF ，延长AD 至M ，使得AM =AC ，连结MC ，证明△AFC ≌△AEM (SAS )，由全等三角形的性质得出CF =ME ，由勾股定理求出ME 的长，则可得出答案；(3)连接CG ，并延长交BA 的延长线于M ，连接MF ，证明△AMG ≌△ECG (AAS )，由全等三角形的性质得出MG =CG ，AM =CE ，由三角形中位线定理得出MF =2GH =213，得出∠BAC =60°，AC =2AB =43，延长AB 至N ，使AB =BN ，连接NF ，过点F 作FP ⊥AN 于点P ，设AN =NF =x ，由勾股定理求出x ，则可得出答案．【解答】解：(1)①∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠CAD =∠DAE -∠CAD ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，BA =CA∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ．故答案为：BD =CE ；②矩形ABCD 中，AB =CD =3，AD =4，∴AC =AD 2+CD 2=5，∴sin ∠DAC =CD AC=35，故答案为：35；(2)连结EF ，延长AD 至M ，使得AM =AC ，连结MC ，∵将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，∴AE =AF ，又∵∠DAC =∠EAF ，∴∠CAF =∠EAM ，∴△AFC ≌△AEM (SAS )，∴CF =ME ，在Rt △ADE 中，AE =32，AD =4，∴DM =AM -AD =1，DE =AE 2-AD 2=2，∴ME =DE 2+DM 2=3，∴CF =3；(3)43-4．连接CG ，并延长交BA 的延长线于M ，连接MF ，∵AB ∥CE ，G 为AE 的中点，∴∠AMG =∠ECG ，∠MAG =∠ECG ，AE =EG ，∴△AMG ≌△ECG (AAS )，∴MG =CG ，AM =CE ，∵H 是CF 的中点，GH =13，∴GH 是△CMF 的中位线，∴MF =2GH =213，∵矩形ABCD 中，AB =23，DC =AD =6，∴∠BAC =60°，AC =2AB =43，延长AB 至N ，使AB =BN ，连接NF ，∴AN =AC ，∠NAC =∠EAF =60°，同(1)①可知△ANF ≌△ACE ，∴NF =CE ，∠ANF =∠ACE =60°，∵AN =AC ，∠NAC =60°，∴∠ANC =60°，∴∠ANC =∠ANF ，∴点N ，F ，C 三点共线，过点F 作FP ⊥AN 于点P ，设AN =NF =x ，在Rt △PNF 中，∠N =60°，NF =x ，∴PN =12x ，PF =32x ，在Rt △MPF 中，PF 2+MP 2=MF 2，MP =MA +AN +PN =43+12x ，MF =213，∴32x2+43+12x 2=(213)2，解得x =4-23(负值舍去)，∴NF =CE =4-23，∴DE =CD -CE =23-(4-23)=43-4．【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10(2023•武汉模拟)问题提出：如图，△ABC 为等边三角形，D 为CB 的延长线上一点，∠DAE =∠DEA ，探究BD 与EC 的数量关系．问题探究：(1)现将问题特殊化，如图2，当E 为AC 的中点，DM ⊥AC 于点M ，探究DB 与EC 的数量关系，说明理由；(2)再探究一般情形，如图1，(1)中的结论还成立吗？问题拓展：(3)如图3，若AE =nEC ，AB 与DE 交于点F ，直接写出tan ∠DFB 的值(用含n 的式子表示)．【分析】(1)如图2，过点E 作EH ∥AB ，交BC 于H ，证明△ADB ≌△DEH (AAS )，可得结论；(2)如图1，过点E 作EH ∥AB ，交BC 于H ，同理可得结论；(3)如图3，过点E 作EH ∥AB ，交BC 于H ，过点A 作AG ⊥BC 于G ，则∠DEH =∠DFB ，设CE =a，证明∠ADB=∠DFB，根据三角函数的定义可解答．【解答】解：(1)DB=EC，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，如图2，过点E作EH∥AB，交BC于H，∴∠CHE=∠ABC=60°，∠CEH=∠BAC=60°，∴∠CHE=∠C=∠CEH=60°，∴EH=CE，∵∠ABC=∠CHE，∴∠ABD=∠DHE，∵∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，∵∠DAE=∠BAD+∠BAC，∠AED=∠CDE+∠C，∴∠BAD=∠CDE，∴△ADB≌△DEH(AAS)，∴BD=EH，∴BD=CE；(2)如图1，(1)中的结论还成立，理由如下：如图1，过点E作EH∥AB，交BC于H，同理可得：BD=CE；(3)如图3，过点E作EH∥AB，交BC于H，过点A作AG⊥BC于G，则∠DEH=∠DFB，由(2)知：△ADB≌△DEH，∴∠ADB=∠DEH，∴∠DFB=∠ADB，设CE=a，∵AE=nEC，∴AC=BC=(n+1)a，∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，∴BG=CG=(n+1)a2，∠CAG=30°，∴AG=3CG，Rt△ADG中，tan∠ADB=AGDG=tan∠DFB，∴tan∠DFB=3×(n+1)a2a+(n+1)a2=3(n+1)n+3．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11(2023•二道区校级模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，sin C=45．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ =90°，∠DQP =∠C ．设点P 的运动时间为t (秒)．(1)线段PQ 的长为2-2t (用含t 的代数式表示)；(2)当点D 落在AC 边上时，求PD 的长；(3)当△DPQ 与△ABC 重叠部分是轴对称图形时，求t 的值；(4)当点D 到△ABC 任意两边距离相等时，直接写出t 的值．【分析】(1)根据BP =4-4t ，再利用中点的定义可得答案；(2)首先求得AC =5，BC =3，再根据tan ∠DQP =∠tan C ，求出DP ，从而列出方程即可得出答案；(3)设QD 与AC 交于点E ，由重叠部分是轴对称图形时，则∠QEA =90°，QE =PQ =2-2t ，根据sin A =QE AQ=35，即可解决问题；(4)分点D 到AB 、BC 距离相等或点D 到BC 、AC 距离相等或点D 到AB 、AC 距离相等，分别列出关于t 的方程，解方程即可．【解答】解：(1)由题意知，AP =4t ，∴BP =4-4t ，∵点Q 为BP 的中点，∴PQ =12BP =2-2t ，故答案为：2-2t ；(2)在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴sin C =AB AC=45，∴AC =5，由勾股定理得，BC =3，∵∠DQP =∠C ，∴tan ∠DQP =∠tan C ，∴DP QP=43，∴DP =43(2-2t )=8-8t 3，∴PD =AP •tan A =4t ×34=3t ，∴3t =8-8t 3，解得t =817，∴PD =2417；(3)设QD 与AC 交于点E ，当△DPQ 与△ABC 重叠部分是轴对称图形时，则∠QEA =90°，QE =PQ =2-2t ，∴sin A =QE AQ=35，∴2-2t 4t +2-2t =35，解得t =14；(4)当点D 到AB 与BC 距离相等时，则DP =PB ，∴8-8t 3=4-4t ，解得t =1，∵0<t <1，∴t =1舍去，当点D 到BC 与AC 距离相等时，则DG ⊥BC 于G ，DH ⊥AC 于H ，连接DB 、DA 、DC ，则四边形BGDP 是矩形，∴DG =PB =4-4t ，∴S △ABD +S △ACD +S △BCD =S △ABC ，∴12×4×8-8t 3 +12×3×(4-4t )+12×5×(4-4t )=12×3×4，解得t =2332，当点D 到AB 与AC 距离相等时，同理可得12×4×8-8t 3 +12×3×(4-2t )+12×5×8-8t 3 =12×3×4，解得t =23，综上：t =2332或23．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角函数，三角形的面积等知识，运用面积法列方程是解决问题(3)的关键，同时注意分类讨论思想的运用．12(2023•惠水县一模)如图，平行四边形ABCD 中，AB =7，BC =10．点P 是BC 边上的一点，连接AP ，以AP 为对称轴作△ABP 的轴对称图形△AQP ．(1)动手操作当点Q 正好落在AD 边上时，在图①中画出△ABP 的轴对称图形△AQP ，并判断四边形ABPQ 的形状是菱形；(2)问题解决如图②，当点P 是线段BC 中点，且CQ =2时，求AP 的长；(3)拓展探究如图③，当点P 、Q 、D 在同一直线上，且∠PQC =∠PQA 时，求PQ 的长．。

几何难点突破之类比探究讲义及答案

几何难点突破之类比探究讲义及答案

几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。

人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究

人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究

四边形之类比探究（一）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合____________先解决第一问．②用解决__________的方法类比解决下一问．类比的关键是把握住变化过程中的__________． 2. 类比探究问题中常见不变特征举例ABCE MDA BMCNM C BA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BC=CF+CD ． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不 变，请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，求OC 的长．图1D F EC B A B E C FD A 图2图3DF E C BA 2. 如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =45°，则有结论EF =BE +DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠，那么结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，P 是DF 的中点，连接PE ，PC ．（1）如图1，当点E 在BC边上时，求证：PE =．（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC ，PE 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．图1EPDCBAABCDP E F图24. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA ，CD 的延长线分别交于点M ，N ，则∠BME =∠CNE ． （1）如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ，判断OM ，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）如图3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且AB =CD ．E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接DG ，若∠EFC =60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．GE F DCBA 图1图2图3E FNMOCBDANM FE DBA【参考答案】➢ 知识点睛 1．①分支条件②第一问，不变特征 ➢ 精讲精练 1．（1）证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ABD ≌△ACF （SAS ）， 得到BD =CF ，进而得证． （2）BC CF CD =-．（3）①BC CD CF =-；②2OC =． 2．（1）成立，证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ADF ≌△ABH （SAS ）， 得到DF =BH ，进而得证． （2）不成立，BE EF DF =+.提示：题目中有旋转结构，证明△ABH ≌△ADF （SAS ）， 得到AH =AF ，∠BAH=∠DAF ，可证△AHE ≌△AFE （SAS ）, EF =EH ，得到BE EF DF =+.3．（1）PE =，证明略．提示：延长EP ，交CD 于点H ．证明△EFP ≌△HDP （ASA ），得到FE DH =，EP HP =， 可得CE CH =，由三线合一得，CP ⊥EH ，进而可得PE =．（2）PE =．4．（1）OM ON =，证明略．提示：取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．则FG'∥AB ，12FG AB '=，EG'∥CD ，12EG CD '=， 由AB CD =得EG FG ''=，进而可得OM ON =．（2）△ADG 是含30°角的直角三角形，证明略． 提示：连接BD ，取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．四边形之类比探究（二）（讲义）➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合__________先解决第一问．②用解决第一问的方法类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找__________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. （1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线K H 交直线A B 于点H ，使∠A H K =∠A C D 1．作D1M ⊥K H ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）BCD 1E 1E 2D 2F 2F 1图2图1ABCD 1K 1K 2D 2MNH 2H 1NM KHD 2E 2E 1D 1CB A2. （1）问题背景如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E ．请探究线段BD 与CE 之间的数量关系． 结论：线段BD 与CE 之间的数量关系为_______________（请直接写出结论）． （2）类比探索在（1）中，如果把BD 改为△ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．DE AFAB CD图1 图23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_______________． （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图2图1C B (E )A (D )（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4， DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．4. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE =CF ；（2）如图2，若∠ABC =90°，G 是EF 的中点，求∠BDG 的 度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，求∠BDG 的度数．DFEC BA图1GDFEC BA图2G DFE C BA图3【参考答案】➢知识点睛①分支条件；②不变特征；③不变特征．➢精讲精练1．（1）D1M=D2N，证明略．提示：证明△CMD1≌△AHC，△CND2≌△BHC．（2）D1M=D2N仍成立，证明略．（3）D1M=D2N仍成立，图形略．2．（1）BD=2CE．提示：延长CE，交BA的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提示：延长CE，交AB的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．3．（1）①AC∥DE；②S1=S2．（2）证明略．提示：证明△ANC≌△DMC，可得AN=DM，根据等底等高即可得证．．（3）BF的长为334．（1）证明略．（2）∠BDG=45°．（3）∠BDG=60°．。

中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)

中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究的处理思路是什么？问题2：类比迁移的具体操作是什么？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究的处理思路是什么？答：①类比上一问，迁移解决下一问；②依据不变结构，分析特征解决问题．问题2：类比迁移的具体操作是什么？答：类比字母、类比辅助线、类比思路、类比结构．问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：类比探究中常见不变结构及处理方式分别为：①旋转结构，找等腰结构，借助全等整合条件；②中点结构，作倍长，通过全等转移边和角；③平行结构，找相似，转比例；④直角结构，作横平竖直的线，找全等或相似．中考数学类比探究实战演练（一）一、单选题(共6道，每道4分)1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．（1）小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A. B.C. D.答案：C解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.已知正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F，连接PB．（1）如图1，当点P在线段AO上时（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交CD于点E，则DF，EF之间有怎样的数量关系？线段PA，PC，CE之间有怎样的一个等量关系？请给出证明过程．（2）如图2，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），过点P作PE⊥PB，交直线CD 于点E，（1）中的两个结论是否仍成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的过程，推敲里面是如何踩点得分的）（1）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（1）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（2）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第3，4，5题）（2）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

(完整版)中考数学几何压轴题

(完整版)中考数学几何压轴题

1．（1)操作发现·如图,矩形ABCD中，E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．（2)问题解决Array AD的值；保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF,求AB（3）类比探究AD的值．保持（1）中的条件不变,若DC＝n·DF，求AB2．如图1所示，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．求 错误!的值．3。

如图①,在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动,使图形M 的形状发生改变，但面积始终．．为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm,解答下列问题： （1)直接写出当x ＝3时y 的值;（2)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (3）当x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．ABCDE 图1ABCDE图2FADA DP4．如图①，将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ,△A 1B 1C 1．（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放,使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．图 ①ABC A 1B 1C 1C 1C B 1B A(A 1)E图 ②5．将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合．已知AB ＝32，P 是AC 上的一个动点．（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长; （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数； （3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ,Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．A BCD6．如图1，已知长方形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由;（2）保持图1中ABC 的固定不变,绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；(3）保持图2中△ABC 的固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧)．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明．AB CDE图1ABC D E图3NM ABCDE图2NM7．如图1，梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝120°，∠MAN ＝60°,将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°),边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点． （1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变,如图2、如图3所示．①如图2，判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系,并直接写出结论；②如图3，①中的结论是否依然成立?若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变,请在图4中画出一个．．符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系．图1 AB C DMN 图2 ABC DMNE F图3ABCD M FEN图4ABCD。

中考数学类比探究型几何综合题专题训练(含答案与解析)

中考数学类比探究型几何综合题专题训练(含答案与解析)

中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF ﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ， ∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQ cos∠DEP ＝2√33，∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ． ∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°， ∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE ⊥CG ，理由如下：延长线段AE 、GC 交于点H ，∵AD ∥BC ，∴∠CEH ＝∠DAE ， 由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64，∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3， ∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°， ∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ， ∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°， ∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ， ∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°， ∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ，∵∠ABC＝90°，∴BH⊥HE，BH＝12ME＝HE；（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝EH；（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝MH ＝EH，在Rt△CBE中，BE＝√CB2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，∴BH＝√22BE＝6√2．12．解：（1）GF＝GC．理由如下：如图1，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝94．∴GC＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵矩形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE+∠CBE＝90°∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝2BE＝2BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH+∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠CHB﹣45°＝∠AEB﹣45°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝225°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝∠AEB﹣45°+225°﹣∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH＝√2BE；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

1、北师大版初三数学几何压轴题专项训练(探究题)

1、北师大版初三数学几何压轴题专项训练(探究题)

压轴题几何专项训练（一）——几何探究题渗透思想方法：特殊到一般、类比、化归解题策略：运用特殊情况解答中所积累的经验和知识，进一步完成一般情况。

1、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB, ∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．B C A G D FE图1 图2B CA DE3、（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：△△AEB的度数为；△线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断△AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且△BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

类比探究几何压轴题-合集版

类比探究几何压轴题-合集版

1．（1）尝试探究如图①，在△ABC 中，°90ACB ∠=，30A ︒∠=，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且//EF AB . ①AF BE的值为多少；②直线AF 与直线BE 的位置关系； （2）类比延伸如图②，若将图①中的△CEF 绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用若BC 3=，2CE =，在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长.【答案】（1），②AF BE ⊥；（2）AF BE=；AF BE ⊥，理由见解析；（3）或【解析】【分析】 （1）①利用三角函数可求出CFEC ，AC，再通过线段的差进行转化可得出AFBE ，即可得出答案；②根据°90ACB ∠=，即可得出直线AF 与直线BE 的位置关系；（2）先利用三角函数求出CF 与EC ，AC 与BC 的关系，再证出ACF ∽BCE ，利用相似的性质即可得出答案；（3）根据题意可画出两种满足题意的图形，再利用（2）中的结论即可求出答案.【详解】解：（1）①∵在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，EF //AB ,∴∠CFE =∠A =30°，∴CFEC ，AC，∴AF =AC -CF-BC -EC)= BE ，试卷第68页，总68页 ∴AF BE②∵°90ACB ∠=，∴AF ⊥BE ；（2）AF BE=AF BE ⊥ 理由如下：由（1）及旋转的性质知，30CFE CAB ︒∠=∠=，90FCE ACB ︒∠=∠=，在t R CEF中，tan CF CEF CE∠== 在t R CBA中，tan AC ABC BC∠==； =CF AC CE BC ∴， 又90FCE ACB ︒∠=∠=，FCA ACE FCE ∠+∠=∠，ACE BCE ACB ∠+∠=∠，ACF ∴∽BCE ，AF AC BE BC∴== 如图，延长BE 交AC 于点H ，交AF 于点G ，ACF ∽BCE ，CBE CAF ∴∠-∠，90CBE CHB ︒∠+∠=，CHB GHA ∠=∠，90CAF GHA ︒∴∠+∠=90AGH ︒∴∠=，即AF BE ⊥；（3）【点睛】本题主要考查了三角函数、旋转、相似的判定和性质等知识. 结合图形综合运用所学知识进行证明是解题的关键.2．()1尝试探究如图-①，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点E 、F 分别是BC 、AC 边上的点，且EF//BC . ① AF BE的值为 ；②直线AF 与直线BE 的位置关系为 ； ()2类比延伸如图②，若将图①中的CEF 绕点C 顺时针旋转，连接,AF BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直BE 线的位置关系，并说明理由； ()3拓展运用若3,2BC CE ==，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长.【答案】()1①②AF BE ⊥；()2AF BE=AF BE ⊥；（3）【解析】【分析】（1）①根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；②根据已知可直接得出答案；（2）只要证明△ACF ∼△BCE ，根据相似三角形的性质即可得AF BE的值，也可得∠BCE=∠CAF ，继而推导AGH 90∠=即可得；（3）分两种情况画出图形分别解决即可.【详解】 ()1 ①∵在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF//AB ，∴∠CFE=∠A=30°，∴CF=tan30CE ︒EC ，AC=tan30BC ︒， ∴AF=AC -BC -EC ）BE ， ∴AF BE试卷第68页，总68页；②∵∠ACB=90°，∴AF BE ⊥，即直线AF 与直线BE 的位置关系为垂直，故答案为：AF BE ⊥；()2AF BE = AF BE ⊥， 理由如下：由()1及旋转的性质知CFE CAB 30∠∠==，FCE ACB 90∠∠==，在Rt CEF中，CF tan CEF CE∠== 在Rt CBA中，AC tan CBA BC∠==， CF AC CE BC ∴=，又FCE ACB 90∠∠==， FCA ACE FCE ∠∠∠+=，ACE BCE ACB ∠∠∠+=，∴FCA ∠=BCE ∠ACF BCE ∴~，AF AC BE BC∴==， 如图，延长BE 交AC 于点H ，交AF 于点G ，ACF BCE ~，CBE CAF ∠∠∴=，CBE CHB 90∠∠+=，CHB GHA ∠∠=，CAF GHA 90∠∠∴+=，AGH 90∠∴=，即AF BE ⊥；()3 ①如图，∵△ECB ∽△FCA ，∴AF ：BE=CF ：，设BE=a ，则，∵B 、E 、F 共线，∴∠BEC=∠AFC=120°，∵∠EFC=30°，∴∠AFB=90°，在Rt △ABF 中，AB=2BC=6，，BF=EF+BE=4+a ，∴)()22246a ++=， ∴a=-或-1（舍去），∴a=②如图，当E 、B 、F 共线时，同法可证：BE ，∠AFB=90°，在Rt △ABF中，)()22246a +-=， ∴或1（舍去），∴a=综上，AF的长为【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，本题综合性较强，有一定的难度，正确寻找相似三角形、运用分类讨论思想是解题的关键.3．综合与实践数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形ABD 与等腰直角三角形ACE ，其中AB AD AC AE ===，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接BC ，M 、N 、G 分别为边BD 、CE 、BC 的中点，连接MG 、NG .操作发现：小红发现了：GM 、GN 有一定的关系，数量关系为_____________________________；位置关系为_________________.试卷第68页，总68页类比思考：如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形ABD 绕点A 旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接DC 、EB 并延长交于一点F ）深入探究：在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形ABC ，其中AB AC ，在三角形外侧以AB 为腰作等腰直角三角形ABD ，以AC 为腰作等腰直角三角形ACE ，分别取斜边BD 、CE 与边BC 的中点M 、N 、G ，连接GM 、GN 、MN ，试判断三角形GMN 的形状，并说明理由.【答案】操作发现：MG=NG ，MG ⊥NG ；类比思考：MG=NG ，MG ⊥NG 成立，理由见解析；深入探究：△MGN 是等腰直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】操作发现：利用SAS 判断出△ACD ≌△AEB ，得出CD=BE ，∠ADC=∠ABE ，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论； 类比思考：同操作发现的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论；深入探究：同操作发现的方法即可得出结论．【详解】解：操作发现：如图1，连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD= 90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG∥CD，MG=12CD，同理：NG∥BE，NG=12 BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由：如图2，连接DC、EB并延长交于一点F 同操作发现的方法得，MG=NG，同操作发现的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=9 0°，∴∠DFE=90°，同操作发现的方法得，MG⊥NG，∴MG=NG，MG⊥NG；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由：如图3，连接CD，BE相交于点H，同操作发现的方法得，MG=NG，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．故答案为：操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解题的关键．4．如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′，这时再分别求出∠BP′P和∠AP′P的度数．解答：（1）请你根据以上分析再通过计算求出图2中∠BPC的度数；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PB=4，PC=2，求∠BPC的度数．试卷第68页，总68页【答案】（1）135°；（2）120°.【解析】试题分析：(1)根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP=2 ，P′A=PC=1，∠BP ′A=∠BPC ，则△BPP ′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′= PB=2，∠BP ′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP ′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP ′A=45°+90°=135°；（2）把△BPC 绕点B 逆时针旋转120°，得到了△BP′A ，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP ′A=∠BPC ，则∠BP′P=∠BPP ′=30°，得到P′H=PH ，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=12BP′=2，，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP ′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP ′A=30°+90°=120°.试题解析：（1）如图2（（（BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了（BP′A（（（P′BP=90°（BP′=BP=2 （P′A=PC=1（（BP′A=（BPC（（（BPP′为等腰直角三角形，∴PP′=PB=2（（BP′P=45°（在（APP′中，AP=3（PP′=2（AP′=1（∵32=（）2+12，（AP2=PP′2+AP′2（（（APP′为直角三角形，且（AP′P=90°（（BP′A=45°+90°=135°（（（BPC=（BP′A=135°（（2）如图3（（六边形ABCDEF为正六边形，（（ABC=120°（把（BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了（BP′A（（（P′BP=120°（BP′=BP=4（P′A=PC=2（（BP′A=（BPC（（（BP′P=（BPP′=30°（过B作BH（PP′于H（（BP′=BP（（P′H=PH（在Rt（BP′H中，（BP′H=30°（BP′=4（∴BH=12BP′=2，，∴，在△APP′中，AP′=2，∵（2=（2+22，（AP2=PP′2+AP′2（（（APP′为直角三角形，且（AP′P=90°（（（BP′A=30°+90°=120°（（（BPC=120°（点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系．试卷第68页，总68页5．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG 和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．【解析】试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴==3，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．∴．故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴．∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴=2，∴CG=2EH．∴=．故答案为：．（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴=b，∴CD=bEH．又，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴=ab．故答案为：ab．考点：相似形综合题．6．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．．．. 如图1，在等腰△ABC中，A B=A C， AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可以得出结论：h= h1＋h2.类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=34x+3，l2：y=－3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标.【答案】（1）h = h1－h2（2）（13，2）或（－13，4）【解析】试题分析：（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．（2）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．试题解析：（1）h = h1－h2.证明：连接OA，∵S△ABC =12AC·BD=12AC·h，S△ABM =12AB·ME =12AB·h1，S△ACM=12AC·MF =12AC·h2，.又∵S△ABC=S△ABM－S△ACM，∴12AC·h =12AB·h1－12AC·h2.∵AB=AC，∴h = h1－h2.（2）在y =34x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：A（－4，0），B（0，3），同理求得C（1，0），OA=4，OB=3， AC=5，AB，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．设点M 的坐标为（x ，y ），①当点M 在BC 边上时，由h 1+h 2=h 得：OB = 1+y ，y =3－1=2，把它代入y =－3x +3中求得：x =13，∴M （13，2）②当点M 在CB 延长线上时，由h 1－h 2=h 得：OB = y －1，y =3+1=4，把它代入y =－3x +3中求得：x =－13，∴M （－13，4）.综上所述点M 的坐标为（13，2）或（－13，4）.点睛：解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角形面积的关系，利用面积求解在几何解答题中经常用到，同学们在答题时一定要灵活运用． 7．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，1PA =，PB =2PC =.求BPC ∠的度数.为利用已知条件，不妨把BPC ∆绕点C 顺时针旋转60︒得'AP C ∆，连接'PP ，则'PP 的长为_______；在'PAP ∆中，易证'90PAP ∠=︒，且'PP A ∠的度数为________，综上可得BPC ∠的度数为_______；（2）类比迁移如图，点P 是等腰Rt ABC ∆内的一点，90ACB ∠=︒，2PA =，PB =1PC =.求APC ∠的度数；（3）拓展应用如图，在四边形ABCD 中，5BC =，8CD =，12AB AC AD ==，2BAC ADC ∠=∠，请直接写出BD 的长.【答案】（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P 是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P 是直角三角形，继而可得答案． （2）如图2，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°得△AP'C ，连接PP′，同理可得△CP′P 是等腰直角三角形和△AP′P 是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG ，连接DG ．则BD=CG ，根据勾股定理求CG 的长，就可以得BD 的长． 【详解】（1）把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP'C ，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P 是等边三角形；∴CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P 中，∵AP 2+P′A 2=12+2=4=PP′2； ∴△AP′P 是直角三角形； ∴∠P′AP=90°．∵PA=12 PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、，，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=）2+）2=4=AP2；∴△AP′P是等腰直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴==，∴【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，8．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。

中考数学压轴题之几何中的类比探究讲义

中考数学压轴题之几何中的类比探究讲义

一、知识点睛几何中的类比探究（讲义）1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2.解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合先解决第一问；（2 ）用解决的方法类比解决下一问，如果不能，起来分析，找出不能类比原因和不变特征，依据，探索新的方法．二、精讲精练1.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G，若AF= 3 ，求CD 的值．EF CG（1）尝试探究：在图1 中，过点E 作EH∥AB 交BG 于点H，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD 的值是．CG （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF=m （m＞0），则CD 的值是EF CG （用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC∥AB，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F．若AB=a ，BC=b （a＞0，b＞0），则AF 的CD BE EF 值是（用含a、b 的代数式表示）．2.（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G．猜想线段GF 与GC 有何数量关系，并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB= 90o ，CD⊥AB，垂足为D，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G，EF⊥BE 交AB 于点F，AC=mBC，CE=nEA(m，n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m=1，n=1 时，求EF 与EG 的数量关系.（2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．（3）如图1，当m，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．4.（1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK=∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N，试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ ACD1，作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）5.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD、PC 为边作□PCQD，请问对角线PQ、DC 的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P 为AB 边上一点，以PD、PC 为边作□PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E，使DE＝PD，再以PE、PC 为边作□PCQE，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E，使AE＝nPA（n 为常数），以PE、PB 为边作□PBQE，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．6.如图1，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF= （用含α的代数式表示）；（2）当AB＝AD 时，猜想线段EB、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD 时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求EB 的值EF （用含m、n 的代数式表示）．三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛2．（1）分支条件（2）上一问，两问结合，不变特征二、精讲精练1. （1）AB=3EH，CG=2EH，32（2）m，解答过程略（3）ab22．（1）GF=GC （2）依然成立，理由略.3．（1）EG=EF （2）EG=nEF （3）EG=mnEF4．（1）D1M=D2N （2）依然成立，证明略（3）D1M=D2N 成立5．（1）PQ≠DC，理由略. （2）存在，最小值为4.（3）存在，最小值为5. （4）存在，最小值为2(n + 4) . 26．（1）180︒－2α （2）EB=EF （3）EB=（n＋m－1）EF。

类比探究(教师用)

类比探究(教师用)

类比探究(教师用)类比探究一）直角结构问题1：类比探究是几何综合题，类比（相似、全等、等腰）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变量。

若属于类比探究常见的结构类型，可以调用结构类比解决。

若不属于常见结构类型，可以先根据题干条件，结合已知条件先解决第一问，然后类比解决下一问。

如果不能，可以分析条件变化，寻找不变量。

结合所求目标，依据猜想、尝试、验证的思路大胆猜测，尝试，验证。

问题2：类比探究问题常见的不变结构有：勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理、函数背景下考虑、圆背景下考虑等。

处理方式是根据所求目标和已知条件，结合不变结构进行类比，寻找解题思路。

问题3：直角结构的思考角度有：1.边：勾股定理；2.角：直角三角形两锐角互余；3.面积：直角边看成高（等面积结构）；4.固定模型和用法：直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理；5.函数背景下考虑；6.圆背景下考虑：直径所对的圆周角是直角，垂径定理。

在类比探究之直角结构中，常用的结构有勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正等。

例如，对于Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，可以利用不变结构进行类比解题。

为折痕EF上的任一点P，作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H。

已知AD=8，CF=3，求PG+PH的值。

解题思路：根据垂足定理，PG=PE-EG，PH=PF-FH。

由于EF是折痕，所以PE=PF，EG=FC，FH=AD。

因此，PG+PH=PE+FC-AD=PE+CF-AD=PE-ED+CF。

九年级数学中考压轴题类比探究问题(附答案)

九年级数学中考压轴题类比探究问题(附答案)

专题四中考压轴试题——类比探究题多重训练1.类比探究题，一般在中考试卷第22题，分三个问题解答，属几何综合题；2.第（1）问比较简单，但一定要注意解题时所作的“工作”：①添加了什么样的辅助线？（线段的截长补短、旋转某一角度、作平行线或者连接等）②解题所用的知识点有哪些？（如全等三角形、相似三角形、勾股定理列方程等）③解题时先做了什么后做了什么？④解题的整体思路是什么？（如由SAS推出全等，再由全等得到边相等，然后再由线段间的等量代换得出结论，即贯穿解题全过程的思路）3.第（2）问题体现了“类比”的思想，即几乎“照搬”第（1）问题的解题全过程，即添加辅助线、所用知识点、解题全思路，包括添加的字母有时都可以保持一致；4.既然是类比，就必须注意在三个不同的问题中，哪些条件自始至终没有变化，这就是本题的“核心条件”，也是解题的关键。

5.第（3）问题往往让学生直接写出结果，不需证明，有时和前面的结论一致，有时是一个变化的结论，所以要根据前两个问题，大胆猜测。

1.在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，如图1，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN⑴如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN= ∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？写出猜想并证明．⑵如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？写出猜想并证明．(2)2.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。

探究：线段MD、MF的关系，并证明。

（2）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。

中考数学类比探究几何压轴题

中考数学类比探究几何压轴题
16．问题发现
已知：如图1，等边三角形A1A2A3，点P是A1A2下方的任意一点，∠A1PA3＝∠A1PA2＝60°，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到 是定值．
（1）这个定值是．
（2）请写出上述证明过程．
类比探究
如图2，把（1）中条件“等边三角形A1A2A3，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，”改为“正方形A2A1A3A4，∠A1PA4＝∠A4PA3＝∠A3PA2＝45°，”其余条件不变．
拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求 的值．
18．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．
15．（1）【特殊发现】如图1，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,连接BD,过A作AF⊥BD,交BD于E,交BC于F,若BF=1，BC=3，则AB·CD=；
10．如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．
（1）观察猜想：将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．
（2）类比探究：将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．

以相似为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

以相似为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

以相似为背景的几何类比探究压轴问题一、考向分析1(2023•青山区模拟)(1)已知，直线AC 与BD 交于点O ．①如图1，若∠A =∠D ，求证：AO •CO =BO •DO ；②如图2，若∠A +∠D =180°，求证：AB CD =BO CO；(2)如图3，在△ABC 中，∠A =60°，E 为BD 中点，且∠BEC =120°，DE ：CD =1：n ．则AB ：CE =2：n ．​【分析】(1)①证明△AOB ∽△DOC 即能得到结论；②在CA 的延长线上取一点T ，使得BT =BA ．证明△BOT ∽△COD ，推出BT CD =BO CO，可得结论；(2)如图3中，作∠ECT =60°，CT 交BD 的延长线于点T ．证明△ECT 是等边三角形，再利用相似三角形的性质解决问题．【解答】(1)①证明：∵∠A =∠D ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，∴AO DO =BO CO，∴AO •CO =BO •DO ；②证明：在CA 的延长线上取一点T ，使得BT =BA ．∵BA =BT ，∴∠T =∠BAT ，∵∠D +∠BAO =180°，∠BAO +∠BAT =180°，∴∠D =∠BTA =∠T ，∵∠DOC =∠BOT ，∴△BOT ∽△COD ，∴BT CD =BO CO ，∴AB CD =BP CO；(2)解：如图3中，作∠ECT =60°，CT 交BD 的延长线于点T ．∵∠BEC=120°，∴∠CET=60°，∵∠ECT=60°，∴△ECT是等边三角形，∴EC=CT，∠T=60°，∵∠A=60°，∴∠A=∠T，∵∠ADB=∠TDC，∴△ABD∽△TCD，∴AB CT=BD CD，∵DE=EB，DE：CD=1：n，∴AB EC=ABCT=2DEnDE=2n．故答案为：2：n．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．2(2023•慈溪市一模)【证明体验】(1)如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD•AB．(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE．【思考探究】①如图2，当∠ACD=∠DBE时，求AD的长．【拓展延伸】②如图3，当∠DEB=30°时，求AD的长．【分析】(1)由已知可证得△ACD∽△ABC，得出ACAD=ABAC，化为等积式即可；(2)①延长AB至F，使BF=BD，连接CF，由三角形中位线定理可得：BE∥CF，BE=12CF，进而证得△ACD ∽△AFC，得出AC2=AD•AF，设AD=x，则BF=BD=4-x，AF=AB+BF=8-x，建立方程求解即可得出答案；②延长AB至F，使BF=BD，连接CF，过点C作CG⊥AB于点G，同理可得FC2=FA•FD，设AD=x，则BF =BD=4-x，FA=8-x，FD=2BD=8-2x，即FC2=(8-x)(8-2x)，再利用解直角三角形可得CG=3，AG=3，BG=1，FG=5-x，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案．【解答】(1)证明：∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AC AD=AB AC，∴AC2=AD•AB．(2)解：①如图，延长AB至F，使BF=BD，连接CF，则B为DF的中点，∵E为CD中点，∴BE是△CDF的中位线，∴BE∥CF，BE=12CF，∴∠F=∠DBE，∵∠ACD=∠DBE，∴∠ACD=∠F，∵∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴AC AD=AF AC，∴AC2=AD•AF，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，则∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=AB•cos A=4•cos30°=23，设AD=x，则BF=BD=4-x，∴AF=AB+BF=4+4-x=8-x，∴(23)2=x(8-x)，解得：x1=2，x2=6，∵AB=4<6，∴x=6不符合题意，舍去，∴AD的长为2．②如图，延长AB至F，使BF=BD，连接CF，过点C作CG⊥AB于点G，则B为DF的中点，∵E为CD中点，∴BE是△CDF的中位线，∴BE∥CF，BE=12CF，∵∠DEB=30°，∴∠FCD=∠DEB=30°，由①知∠A=30°，AB=4，AC=23，∴∠A=∠FCD，∵∠CFD=∠AFC，∴△FCD∽△FAC，∴FC FA=FD FC，∴FC2=FA•FD，设AD=x，则BF=BD=4-x，∴FA=AB+BF=4+4-x=8-x，FD=2BD=8-2x，∴FC2=(8-x)(8-2x)，在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠A=30°，AC=23，∴CG=12AC=3，AG=AC•cos A=23cos30°=3，∴BG=AB-AG=4-3=1，∴FG=FB+BG=4-x+1=5-x，在Rt△CFG中，FC2=CG2+FG2，即(8-x)(8-2x)=(3)2+(5-x)2，解得：x1=7-13，x2=7+13，∵AD<AB=4，∴x=7+13不符合题意，舍去，∴AD的长为7-13．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．3(2023•温江区校级模拟)如图1，矩形ABCD中，∠ACB=30°，点E在对角线AC上，点F在边AD上运动，连接EF，作∠FEG=90°，交直线BC于点G，且AEAC=13，AB=6．(1)如图2，当点F与点D重合时，求EDEG的值；(2)点F在边AD上运动过程中，当△AEF成为以AE为腰的等腰三角形时，求BG的长；(3)记点F关于直线AC的轴对称点为点P，若点P落在∠EBC的内部(不含边界)，求DF的取值范围．【分析】(1)点C、D、E、G共圆，从而得出∠EDG=∠ACB=30°，进而得出结果；(2)分为两种情形：当EF=AE时，作ET⊥BC于T，交AD于H，可得出∠EFH=∠CAD，由AD∥BC，得出∠EFH=∠CAD=∠ACB=30°，进而得出∠GEF=30°，BT=AH=4•cos30°=23，EH=12AE=2，从而得出ET=HT-EH=AB-EH=6-2=4，进一步得出结果；当AE=AF时，作EN⊥BC于N，交AD与M，可得出∠NGE=∠MEF=15°，进而得出∠GEC=∠ACB-∠NGE=15°，从而CG=CE=8，进一步得出结果；(3)作EH⊥AB于H，作点D关于AC的对称点D′，连接AD′，交AE于G，交BC于K，作GT⊥AB于T，可求得BE=BH2+EH2=42+(23)2=27，可推出∠CAD′=∠BAD′，从而得出BGEG=32，BG=35BE=675，可求得sin∠ABF=EHBE=2327=37，从而tan∠ABF=32，设GT=3x，则BT=2x，AT=3x，AG=23x，由BT+AT=AB求得x的值，从而得出AG的值，进一步得出结果．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵∠FEG=90°，∴∠BCD+∠FEG=180°，∴点C、D、E、G共圆，∴∠EDG=∠ACB=30°，∴∠EGD=90°-∠EDG=60°，∴EDEG=tan∠DGE=tan60°=3；(2)如图1，当EF=AE时，作ET⊥BC于T，交AD于H，∴∠EFH=∠CAD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EFH=∠CAD=∠ACB=30°，∴∠FEH=60°，∵∠FEG=90°，∴∠GEF=30°，∵AB=6，∴AC=2AB=12，∴AE=13AC=4，∴BT=AH=AE•cos∠CAD=4•cos30°=23，EH=12AE=2，∴ET=HT-EH=AB-EH=6-2=4，∴GT=ET•tan∠GET=4×33=433，∴BG=BT+GT=23+433=1033，如图2，当AE=AF时，作EN⊥BC于N，交AD与M，∵∠CAD=30°，∴∠AEF=∠AFE=75°，∠AEM=60°，∴∠MEF=15°，同理上可得：∠NGE=∠MEF=15°，∴∠ACB=30°，∴∠GEC=∠ACB-∠NGE=15°，∴CG=CE=8，∴BG=BC+CG=8+63，综上所述：BG=1033或8+63；(3)如图3，作EH⊥AB于H，作点D关于AC的对称点D′，连接AD′，交AE于G，交BC于K，作GT⊥AB于T，∴AH=12AE=2，EH=32AE=23，∴BH=AB-AH=4，∴BE=BH2+EH2=42+(23)2=27，由对称得：∠CAD′=∠CAD=30°，∴∠BAD′=90°-∠CAD′-∠CAD=30°，∴∠CAD′=∠BAD′，∴AB AE=BG EG，∴BG EG=3 2，∴BG=35BE=675，∴sin∠ABF=EHBE=2327=37，∴tan∠ABF=32，设GT=3x，则BT=2x，AT=3x，AG=23x，由BT+AT=AB得，5x=6，∴x=65，∴AG=23x=1235，∵△AFG是等边三角形，∴AF=1235，∵AF′=AK=6cos∠BAK=6cos30°=43，∴63-43=23，63-1235=183 5，∴23<DF<1835．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的分类，矩形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．4(2023•广水市模拟)爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：ABAC=BD DC．小明的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，S△ABD S△ADC=12AB×DE12AC×DF=ABAC，∵S△ABDS△ADC=12BD×AG12CD×AG=BDCD，∴AB AC=BD DC．(2)【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：ABAC=BD DC；(3)【直接应用】如图3所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD=10，CD=6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB=20．(4)【拓展应用】如图4所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，B 点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分(即四边形ABDE)，再将余下部分(△CDE)沿∠DEC的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分(即四边形DEGF)，求出剩余部分△FCG的面积．【分析】(1)根据角平分线的性质可得答案；(2)过点D作DN⊥BA于N，过点D作DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．根据角平分线的性质得DN=DM，再利用面积法可得结论；(3)作DH⊥AB于H，由角平分线的性质得CD=DH=6，由勾股定理得，BH=8，再利用三角函数可得答案；(4)由(1)可得ABAC=BDDC=35，从而得出△DEC的面积，同理可求：EDEC=DFFC=34，进而解决问题．【解答】(1)解：根据角平分线的性质得，DE=EF，故答案为：DE=DF；(2)证明：过点D作DN⊥BA于N，过点D作DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．∵AD平分∠MAN，DN⊥BA，DM⊥AC，∴DN=DM．∴S△ABDS△ADC=12AB×DN12AC×DM=ABAC，S△ABDS△ADC=12BD×AP12CD×AP=BDCD，∴AB AC=BD CD；(3)解：作DH⊥AB于H，∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DH⊥AB ∴CD=DH=6，在Rt△BDH中，由勾股定理得，BH=8，∵cos B=BHBD=BC AB，∴810=16AB，∴AB=20，故答案为：20；(4)解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=AB2+BC2=10，∵将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，∴AB=AE=6，∠BAD=∠DAE，∠B=∠AED=90°，BD=DE，∴EC=4，由(1)可得ABAC=BDDC=35，∴BD =3=DE ，DC =5，∴S △DEC =12×3×4=6，同理可求：ED EC =DF FC =34，∴S △DEF =37×6=187，∴S △FCG =6-2×187=67．【点评】本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．二、压轴题速练1(2023•仪征市一模)已知菱形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，点F 是边AD 上一点，连接EF 、BE 、CF ．【特例探究】：(1)如图1，若∠ABC =60°且EF ∥CD ，线段BE 、CF 满足的数量关系是BE =CF ；(2)如图2，若∠ABC =90°且EF ⊥AC ，判定线段BE 、CF 满足的数量关系，并说明理由；【一般探究】(3)如图3，根据特例的探究，若∠BAC =α，AE =EF ，请求出CF BE 的值(用含α的式子表示)；【发现应用】(4)如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，CF BE=3，点F 在直线AD 上运动，则△CEF 面积的最大值为　3316　．【分析】(1)证明△ABE ≌△ACF (SAS )，即可得出结论；(2)证明△ABE ∽△ACF ，即可得出结论；(3)过点B 作BO ⊥AC 于点O ，先证明△ABC ∽△AEF ，得到AB AE =AC AF，再证明△ABE ∽△ACF ，得到CF BE =AC AB，推出AC =2AB •cos α，即可得出结论；(4)连接BD 交AC 于点O ，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，由(3)推出∠EFA =∠DAC =∠BAC =30°，设AE =x ，则EF =x ，求出S △ABE ，S △AEF ，根据△ABE ∽△ACF ，得到S △ACF S △ABE =CF BE2=(3)2=3，进而求出S △CEF =-34x 2+34x ，利用二次函数的性质，求出最值即可得出结果．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴AB =BC =CD =AD ，∠ADC =∠ABC =60°，∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∴AB =AC ，∠DAC =∠BAC =60°，∵EF ∥CD ，∴∠AFE =∠ADC =60°，∴△AEF 是等边三角形，∠BAE =∠CAF =60°，∴AE =AF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF ，AE =AF∴△ABE ≌△ACF (SAS )，∴BE =CF ；故答案为：BE =CF ，(2)CF =2BE ，理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =90°，∴AB =BC =CD =AD ，∠ADC =∠ABC =90°，∴∠BAC =∠DAC =45°，AC =2AB ，∵EF ⊥AC ，∴AF =2AE ，∴AC AB =AFAE，∴△ABE ∽△ACF ，∴BE CF =AB AC =AB 2AB，∴CF =2BE ；(3)如图3，过点B 作BO ⊥AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAC =α，∴AB =BC ，∠DAC =∠BAC =∠ACB =α，∵AE =EF ，∴∠AFE =∠DAC =α，∴△ABC ∽△AEF ，∴AB AE =AC AF，又∵∠DAC =∠BAC =α，∴△ABE ∽△ACF ，∴CF BE =AC AB，∵AB =BC ，BO ⊥AC ，∴AC =2AO ，AO =AB •cos ∠BAC ，∴AC =2AB •cos α，∴CF BE =2AB ⋅cos αAB=2cos α，(4)如图4，连接BD 交AC 于点O ，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，由(3)可得：△ABE ∽△ACF ，CF BE =2cos ∠BAC ，∠EAF =∠EFA ，∴CF BE=3，∴2cos ∠BAC =3，∴∠EFA =∠DAC =∠BAC =30°，设AE =x ，则EF =x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴BO =12AB =12×1=12，∴S △ABE =12AE •BO =12x •12=14x ，∵AE =EF =x ，∠DAC =30°，EH ⊥AD ，∴EH =12AE =12x ，AF =2AH ，∴AF =2AH =2AE 2-EH 2=2x 2-12x 2=3x ，∴S △AEF =12AF •EH =12×3x •12x =34x 2；∵△ABE ∽△ACF ，∴S △ACF S △ABE =CF BE2=(3)2=3，∴S △ACF =S △CEF +S △AEF =S △CEF +34x 2，∴S △CEF +34x 214x =3，∴S △CEF =-34x 2+34x ，即S △CEF =-34x -32 2+3316，∵-34<0，∴当x =32时，S △CEF 有最大值：3316．故答案为：3316．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及利用二次函数的性质求最值．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．2(2023•浦东新区二模)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E ，点G 在边AD上，连接BG 、CG ，对角线AC 与BE 、BG 分别交于点F 、H ，且AE •BG =AF •BE ．(1)求证：BG ⊥AC ；(2)如果∠DGC =2∠DCG ，且DC 是DG 与DA 的比例中项，求证：四边形ABCG是菱形．【分析】(1)利用直角三角形的相似的判定定理得到Rt △AEF ∽Rt △BEG ，则∠AFE =∠BGE ，利用垂直就的定义和直角三角形的性质解答即可得出结论；(2)利用相似三角形的判定与性质和角平分线的定义得到∠DCG =∠ACG ，利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCG =2∠BCG =2∠ACG ，则∠ACB =∠ACG =∠DCG ，利用等腰三角形的判定定理得到GA =GC ，利用全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质得到CG =CB ，GH =BH ，AB =AG ，利用四边线段的四边形是菱形即可得出结论．【解答】(1)证明：∵AE •BG =AF •BE ，∴AE AF=BE BG ．∵BE ⊥AD ，∴Rt △AEF ∽Rt △BEG ，∴∠AFE =∠BGE ．∵BE ⊥AD ，∴∠EAF +∠AFE =90°，∴∠EAF +∠BGE =90°，∴∠AHG =90°，∴BG ⊥AC ；(2)证明：∵DC 是DG 与DA 的比例中项，∴DG DC =DC DA，∵∠D =∠D ，∴△DCG ∽△DAC ，∴∠DCG =∠DAC ，∠DGC =∠∠DCA ．∵∠DGC =2∠DCG ，∴∠DCA =2∠DCG ，∴∠DCG =∠ACG ．∵AD ∥BC ，∴∠DGC =∠BCG ，∴∠BCG =2∠BCG =2∠ACG ，∴∠ACB =∠ACG =∠DCG ．∴∠ACG =∠DAC ，∴GA =GC ，在△CGH 和△CBH 中，∠ACG =∠ACB CH =CH ∠GHC =∠BHC =90°，∴△CGH ≌△CBH (ASA )，∴CG =CB ，GH =BH ，∴AC 是线段BG 的垂直平分线，∴AB =AG ，∴AB =AG =GC =CB ．∴四边形ABCG 是菱形．【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3(2023•周村区一模)如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一点，过点E 作BD 的垂线交BD 于点P ，交AB 于点F ，连接AP 并延长交BC 于点G ．(1)求证：PE =PF ；(2)若BG =CE ，求∠EPG 的度数；(3)若AB =6，EG =1，求△PGE的面积．【分析】(1)由正方形的性质得出PF =PB ，PE =PB ．则可得出结论；(2)作PM ⊥AG 交AB 于M ，证明△EPG ≌△BPM (ASA )，得出EG =BM ．证出PF =12AM =AF ，则可得出结论；(3)作FH ∥BC 交AG 于H ，证明△FHP ≌△EGP (ASA )，得出FH =EG =1．证明△AFH ∽△ABG ，由相似三角形的性质得出FH BG =AF AB．设CE =x ，则BG =5-x ，AF =CE =x ，求出BE =4或3，作PN ⊥BC 于N ，求出PN 的长，则可得出答案．【解答】(1)证明：∵EF ⊥BD 于P ，∴∠EPB =∠FPB =90°．在正方形ABCD 中，∠ABD =∠CBD =45°，∴∠PFB =∠PBF =45°，∠PEB =∠PBE =45°．∴PF =PB ，PE =PB ．∴PE =PF ；(2)解：过点P 作PM ⊥AG 交AB 于M ，∴∠MPG =∠EPB =90°．∴∠EPG =∠BPM ．∵∠PEG =45°，∠PBM =45°，∴∠PEG =∠PBM ．在△EPG 和△BPM 中，∠PEG =∠PBM EP =BP ∠EPG =∠BPM，∴△EPG ≌△BPM (ASA )，∴EG =BM ．∵∠BFP =∠BEP =45°，∴BF =BE ．∴AB -BF =BC -BE ，BF -BM =BE -GE ，∴AF =CE ，FM =BG ．∵BG =CE ，∴AF =FM ．∵∠APM =90°，∴PF =12AM =AF ，∴∠FPA =∠FAP =12∠PFB =22.5°，∴∠EPG =22.5°；(3)解：过点F 作FH ∥BC 交AG 于H ，∴∠HFP =∠GEP ，∠HPF =∠GPE ．在△FHP 和△EGP 中，∠HFP =∠GEP PF =PE ∠HPF =∠GPE，∴△FHP ≌△EGP (ASA )，∴FH =EG =1．又∵∠AFH =∠ABG ，∠FAH =∠BAG ，∴△AFH ∽△ABG ，∴FH BG =AF AB．设CE =x ，则BG =5-x ，AF =CE =x ，∴15-x =x 6，解得x 1=2，x 2=3，∴BE =4或3，作PN ⊥BC 于N ，∵∠BPE =90°，PE =PB ，∴点N 为BE 的中点，∴PN =12BE ，∴PN =2或32．∵S △PGE =12EG ⋅PN ，∴S △PGE =1或34．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．4(2023•市北区一模)如图所示，矩形ABCD ，AB =3cm ，BC =5cm ，E 为边AD 上一点，ED =1cm ．点P 从点B 出发，沿BE 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1cm/s ．设运动时间为t (s )(0<t <5)．解答下列问题：(1)当t 为何值时，以P 、Q 、B 为顶点的三角形和△ABE 相似；(2)设五边形PEDCQ 的面积为S (cm 2)，求S 与t 之间的函数关系式；(3)连接CE ，取CE 中点F ，连接DF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQ ∥DF ？若存在，请直接给出t 的值(不必提供求解过程)；若不存在，请说明理由．​【分析】(1)分∠BPQ =90°或∠PBQ =90°两种情形，分别利用cos ∠PBQ 列出方程即可；(2)作PH ⊥BC 于H ，将五边形面积转化为梯形面积减去APQ 的面积即可；(3)根据平行线的性质得∠QPM =∠CDF ，再利用直角三角形斜边上中线的性质得∠CDF =∠FCD ，再利用三角函数列出方程即可．【解答】解：(1)由题意得，AB =CD =3，AE =4，BC =5，DE =1，∠AEB =∠PBQ ，由勾股定理得，BE =AB 2+AE 2=5，∵BP =t ，QC =t ，∴PE =5-t ，BQ =5-t ，当∠BPQ =90°时，cos ∠PBQ =BP BQ=t 5-t =45，解得t =209，当∠PBQ =90°时，cos ∠PBQ =BQ BP =5-t t =45，解得t =259，综上所述，当t =209或259时，以P 、Q 、B 为顶点的三角形和△ABE 相似；(2)S 五边形PEDCQ =S 梯形BCDE -S △BPQ ，如图，作PH ⊥BC 于H ，则PH =BP •sin ∠PBQ =t ×35=35t ，BH =BP ⋅cos ∠PBQ =t ×45=45t ，∴S △PBQ =12BQ ⋅PH =-310t 2+32t ，S 梯形BCDE =12(DE +BC )⋅DC =9，∴S =9--310t 2+32t =310t 2-32t +9；(3)存在某一时刻，使得PQ ∥DF ，如图，作PM ⊥BC 于M ，则PM =35t ⋅QM =45t ，QM =95t -5，∵PM ∥CD ，PQ ∥DF ，∴∠QPM =∠CDF ，∵DF 为Rt △DEC 的中线，∴DF =FC ，∴∠CDF =∠FCD ，∴tan ∠QPM =QM PM =tan ∠FCD =DE DC ，∴QM PM =13，即95t -545t =13，∴t =258，即存在某一时刻t ，使PQ ∥DF ，t 的值为258．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角函数等知识，利用三角函数表示线段的长是解题的关键．5(2023•历下区一模)如图1，已知正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共顶点A ，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上(AG <AD )．(1)如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α(0°<α<90°)，DG和BF的数量关系是DG=BF，位置关系是DG⊥BF；(2)如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；(3)如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=22，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α(0°<α<360°)，点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH 的长度；如果改变，请说明理由．【分析】(1)如图所示，过点P作PB∥DG交DC于点P，证明△DAG≌△BAF，进而得出DG=BF，∠ADG=∠ABF，根据平行线的性质得出∠PBA+∠ADG=∠PBA+∠ABF=90°，进而即可得出结论；(2)连接AE，证明△ADG∽△ACE，得出CEDG=2，∠ADG=∠ACE，延长DG、CE交于点O，根据三角形的内角和定理，即可得出∠DOC=∠DAC=45°；(3)过点M作MN'⊥AC，得出CN=CN'，即可证明MN⊥NC，设∠ADG=θ，则∠GDC=90°-θ，连接AE，过点M作MO⊥DC交AC于点O，证明△ADG∽△ACE，得出∠ADG=∠ACE=θ，进而得出∠MOC=∠MHC= 45°，则M，C，H、O四点共圆，即可得出结论．【解答】解：(1)如图所示，过点P作PB∥DG交DC于点P，∵正方形AFEG与正方形ABCD，∴AG=AF，AD=AB，∠DAB=∠GAF=90°，∴∠DAG+∠GAB=∠GAB+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠BAF．∴△DAG≌△BAF(SAS)，∴DG=BF，∠ADG=∠ABF，∵PB∥DG，∴∠CDG=∠CPB，即90°-∠ADG=90°-∠PCB=∠PBA．又∵∠ADG=∠ABF，∴∠PBA+∠ADG=∠PBA+∠ABF=90°，∴BF⊥PB，∴BF ⊥DG ，∴DG 和BF 的数量关系是相等(DG =BF )，位置关系是垂直(DG ⊥BF )，故答案为：DG =BF ，DG ⊥BF ；(2)连接AE ，由旋转性质知∠CAE =∠DAG =α，在Rt △AEG 和Rt △ACD 中，AG AE =cos45°=22，AD AC =cos45°=22，∴AG AE =AD AC，∴△ADG ∽△ACE ，∴DG CE =AG AE =22，∴CE DG=2，∵△ADG ∽△ACE ，∴∠ADG =∠ACE ．延长DG 、CE 交于点O ，∵∠DPO =∠CPA ，∴∠DOC =∠DAC =45°；(3)∵AB =8，点M 是边CD 的中点，点N 在对角线AC 上，CN =22，∴MC =4，∠MCN =45°，过点M 作MN '⊥AC ，在Rt △MCN '中，CN =MC ×cos45°=22，∴CN =CN '，即点N ，N 重合，∴MN ⊥NC ，∴∠MNC =90°，设∠ADG =θ，则∠GDC =90°-θ．∵MH ∥DG ，∴∠HMC =90°-θ，如图所示，连接E ，过点M 作MO ⊥DC 交AC 于点O ，∴MO ∥AD ，∴∠MOC =∠DAC =45°，∴△MOC 是等腰直角三角形，又∵MN ⊥OC ，∴MN =NC =NO ，∴AD AC =AG AE =cos45°=12，∠DAG =∠CAE =α，∴△ADG ∽△ACE ，∴∠ADG =∠ACE =θ，∴∠MCH =45°+θ，∴∠MHC =180°-∠HMC -∠HCM =180°-(90°-θ)-(45°+θ)=45°，∴∠MOC =∠MHC =45°，∴M 、C 、H 、O 四点共圆，∴线段NH 是一个定值，NH =CN =22．【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023•碑林区校级三模)数学探究小组利用一些三角形彩纸裁剪面积最大的内接正方形，他们就有关问题进行了探究：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．作图：如图1，正方形DEFG 的顶点E ，F 在边AB 上，顶点D 在边AC 上，在△ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形DEFG 的位似正方形D ′E ′F ′G ′，且使正方形D ′E ′F ′G ′的面积最大．实践操作：(1)第一小组拿到的钝角三角形原材料，你认为在钝角三角形中存在1个内接正方形；(2)第二小组拿到的是直角三角形原材料，小明说：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．小丽同学认为他的结论不正确，她通过计算腰长为1的等腰直角三角形(如图2和图3)的情况给予说明，请你帮助小丽同学完成计算和说理过程；(3)第三小组拿到的是不等边锐角三角形原材料，小华同学认为：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．小华同学已经写出了题设条件，请你帮助他完成推理过程．如图4，设锐角△ABC 的三条边分别为a 、b 、c 不妨设a >b >c ，三条边上的对应高分别为h a 、h b 、h c ，内接正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ．【分析】(1)分别讨论内接正方形有两个顶点在钝角三角形的三边上，根据三角形内角和定理进行求解即可；(2)分别求出图2和图3中两个内接正方形的边长即可得到答案；(3)如图所示，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，过点A 作AH ⊥BC ，证明△ADG ∽△ABC ，△ABH ∽△DBE ，得到x a h a =BD AB ，x a a =AD AB，进而得到x a h a +x a a =1，则1x a =a 2S △ABC +1a 同理可得1x b =b 2S △ABC +1b ，1x c =c 2S △ABC +1c ，即可推出1x a -1x b =(a -b )1ah a -1ab，再由a >b ，b >h a ，推出1x a >1x b ，得到x a <x b ，同理可证x a <x c ，由此即可得到结论．【解答】解：(1)在钝角三角形中存在1个内接正方形，理由如下：不妨设△ABC为钝角三角形，∠A>90°，如图1-1所示，当内接正方形有两个顶点在BC上时，是可以得到1个内接正方形的；如图1-2所示，当内接正方形有两个顶点在AB上时，则在△AGF中，∠A>90°，∠AGF=90°，显然违背了三角形内角和定理，此种情形不成立；同理当当内接正方形有两个顶点在AC上时，此种情形不成立；综上所述，在钝角三角形中存在1个内接正方形；故答案为：1；(2)小明的结论不正确，理由如下：在等腰Rt△ABC中，AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=AB2+BC2=2；如图2所示，设DE=BE=a，∴AE=AB-BE=1-a，∵四边形DEBF是正方形，∴∠DEA=90°=∠B，∴DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴a1=1-a1，∴a=12；如图3所示，∵四边形D′E′F′G′是正方形，∴D′G′∥E′F′，D′G′=G′F′，∠AF′G′=90°，∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠C=45°，∴∠BG′D′=∠A=45°=∠BD′G′=∠C，∴BG'=22D'G'，在Rt△AF′G′中，∠AF′G′=90°，∠A=45°，∴AG =2G 'F '=2D 'G '，∵AB =AG ′+BG ′，∴22D 'G '+2D 'G '=1，∴D 'G '=23，∵12>23，∴小明的结论不正确；(3)如图所示，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，过点A 作AH ⊥BC ，∴DG ∥BC ，DE ∥AH ，∴△ADG ∽△ABC ，△ABH ∽△DBE ，∴xa h a =BD AB ，x a a =ADAB ，∴xah a +x a a =AD AB +BD AB =1，∴x a =aha a +h a ，∴1x a =a +ha ah a =a +2S △ABC a2S △ABC =a 2S △ABC +1a同理可得1x b =b2S △ABC +1b ，1x c =c2S △ABC +1c ，∴1x a -1x b =a 2S △ABC +1a -b 2S △ABC -1b=a -b 2S △ABC +b -aab=(a -b )12S △ABC -1ab=(a -b )1ah a -1ab ，∵a >b ，b >h a ，∴a -b >0，1ah a >1ab ，∴1ah a -1ab >0，∴(a -b )1ah a -1ab >0，即1x a -1x b >0，∴1xa >1xb，∴x a<x b，同理可证x a<x c，∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．7(2023•宁波一模)【基础巩固】(1)如图1，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，AC⊥DE交BC于点D，求证：ACDE=BC CE．【尝试应用】(2)如图2，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，作DF⊥AE交BC于点F，CE=EF，若AB=2，AD=4，求AEDF的值．【拓展提高】(3)如图3，菱形ABCD的边长为10，tan∠ACD=34，E为AD上的一点，作DG⊥CE交AC于点F，交AB于点G，且CE=2DF，求BG的长．【分析】(1)证明△ABC∽△DCE即可得出结论；(2)先证明△ABC∽△FCD，得AEDF=ABCF=BECD，再设CE=EF=x，则CF=2x，BE=BC-CE=4-x，即22x=4-x2，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解；(3)连接BD交CE于M，交AC于O，根据菱形性质和解直角△COD，求得OD=6，OC=8，再证明△OMC∽△OFD，得OMOF=CMDF=OCOD=86=43，从而得CM=43DF，继而求得EM=23DF，然后证明△BMC∽△DME，得到CMEM=BMDM，则BMDM=2，即可求得DM=4，BM=8，从而求得OM=2，则可求得OF=32，AF=132，CF=8+32=192，证明△AGF∽△CDF得AGCD=AFCF，即AG10=132192，则AG=13019，最后由BG=AB-AG求解即可．【解答】解：(1)∵AC⊥DE，∴∠DCA+∠CDE=90°，∵CE⊥BC，∴∠ECD=90°，∠CDE+∠E=90°，∴∠CDA=∠E，又∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠B=∠ECD，∴△ABC∽△DCE，∴AC DE=BC CE；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD =AB =2，BC =AD =4，∠B =∠C =90°，∴∠BAE +∠BEA =90°，∵DF ⊥AE ，∴∠DFC +∠BEA =90°，∴∠DFC =∠BAE ，∴△ABC ∽△FCD ，∴AE DF =AB CF =BE CD ，设CE =EF =x ，则CF =2x ，BE =BC -CE =4-x ，∴22x =4-x 2，解得：x 1=2-2，x 2=2+2(不符合题意，舍去)，∴AE DF =AB CF =22x =22(2-2)=2+22；(3)连接BD 交CE 于M ，交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC =90°，∴tan ∠ACD =OD OC =34，设OD =3k ，OC =4k ，由勾股定理，得(3k )2+(4k )2=102，解得：k =2，∴OD =6，OC =8，∵DG ⊥CE ，∴∠DFC +∠FCE =90°，∵∠DOC =90°，∴∠OMC +∠FCE =90°，∠DOF =∠COM ，∴∠OMC =∠DFO ，∴△OMC ∽△OFD ，∴OM OF =CM DF =OC OD =86=43，∴CM =43DF ，∵CE =2DF ，∴EM =23DF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴△BMC ∽△DME ，∴CM EM =BM DM ，∴BM DM =2，∵BM +DM =BD =2OD =12，∴DM =4，BM =8，∴OM =2，∵OM OF =CM DF =43，即2OF =43，∴OF =32，∴AF =8-32=132，CF =8+32=192，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∴△AGF ∽△CDF ，∴AG CD =AF CF ，即AG 10=132192，∴AG =13019，∴BG =AB -AG =10-13019=6019．【点评】本题考查矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目．8(2023•西湖区模拟)如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DF ∥BC ，EF ∥AB ．(1)求证：△FEC ∽△ADF ；(2)设CF =13AC ．①若EF =3，求线段AB 的长；②若S △FEC =1，求S △ADF 的值．【分析】(1)利用平行线判定相似的方法，分别说明△ADF 与△ABC 、△CEF 与△CBA 相似，得结论；(2)利用相似三角形的性质得结论．【解答】(1)证明：∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ．∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA ．∴△FEC ∽△ADF ．(2)解：∵△CEF ∽△CBA ，∴CF AC =EF AB=13．∴AB =3EF =9．∵CF =13AC ，∴CF AF=12．∵△FEC ∽△ADF ，∴S △FEC S △ADF =CF AF 2=14．∴S △ADF =4S △FEC =4．【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．9(2023•西湖区模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，E ，F 分别是线段AB 和AB 的延长线上的一点，且BF =BE ，连接CE ，DF 交于点G ，连接BG ．设AE EB=k (k >0)．(1)当k =1时，求CE 的长；(2)在(1)的条件下，求BG 的长；(3)求△DCG 的面积(用含k 的代数式表示)．【分析】(1)连接AC ，根据题意和菱形的性质可得△ABC 为等边三角形，AE =EB =12AB =1，在Rt △BCE 中，CE =BC •sin ∠CBE ；(2)根据理性的性质得AB ∥CD ，进而得∠DCG =∠FEG ，∠CDG =∠EFG ，由AE =EB =BF 可得EF =CD ，以此可通过ASA 证明△CDG ≌△EFG ，则EG =32，再根据勾股定理即可求解；(3)设点G 到CD 的距离为h 1，点G 到AB 的距离为h 2，则h 1+h 2=3，即h 2=3-h 1，易证明△CDG ∽△EFG ，得CD EF =h 1h 2，根据题意可得CD =(k +1)EB ，EF =2EB ，因此k +12=h 13-h 1，进而得到h 1=(k +1)3k +3，以此即可求解．【解答】解：(1)如图，连接AC ，在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，∴BC =AB =2，∴△ABC 为等边三角形，∵AE EB =k ，k =1，∴AE =EB =12AB =1，即E 为AB 中点，∴CE ⊥AB ，∴∠BEC =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC •sin ∠CBE =2×32=3；(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，∴∠DCG =∠FEG ，∠CDG =∠EFG ，由(1)知，AE =EB =1，∵BF =BE ，∴AB =EF =CD ，在△CDG 和△EFG 中，∠DCG =∠FEG CD =EF ∠CDG =∠EFG，∴△CDG ≌△EFG (ASA )，∴CG =EG =12CE =32，在Rt △BEG 中，BG =BE 2+EG 2=12+32 2=72；(3)设点G 到CD 的距离为h 1，点G 到AB 的距离为h 2，由(1)可知，h 1+h 2=3，即h 2=3-h 1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =CD =BC =2，AB ∥CD ，∴∠DCG =∠FEG ，∠CDG =∠EFG ，∴△CDG ∽△EFG ，∴CD EF =h 1h 2，∵AE EB=k ，∴AE =kEB ，∴CD =AB =AE +EB =kEB +EB =(k +1)EB ，∵BF =BE ，∴EF =EB +BF =2EB ，∴(k +1)EB 2EB =h 1h 2，即k +12=h 1h 2，∵h 2=3-h 1，∴k +12=h 13-h 1，∴h 1=(k +1)3k +3，∴S △DCG =12⋅CD ⋅h 1=12×2⋅(k +1)3k +3=(k +1)3k +3．【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识问题解决问题是解题关键．10(2023•包河区一模)如图1，AB =AC =2CD ，DC ∥AB ，将△ACD 绕点C 逆时针旋转得到△FCE ，使点D 落在AC 的点E 处，AB 与CF 相交于点O ，AB 与EF 相交于点G ，连接BF ．(1)求证：△ABE ≌△CAD ；(2)求证：AC ∥FB ；(3)若点D ，E ，F 在同一条直线上，如图2，求AB BC的值．(温馨提示：请用简洁的方式表示角)【分析】(1)首先说明CD =AE ，再利用SAS 即可证明结论；(2)由旋转可知EF =AD ，由(1)中全等可得BE =AD ，从而得出EF =BE ，进而得出∠8=∠7，则∠2=∠6，再利用三角形外角的性质得∠2=∠7，利用平行线的判定即可证明；(3)利用△FEC ∽△AED ，得EF EC =EA ED ，由△EAF ∽△FAC ，得AE AF =AF AC ，可知AB AF=2，再证明AF =BC ，即可解决问题．【解答】(1)证明：由旋转得，△FCE ≌△ACD ，∴CE =CD ，∵AC =2CD ，∴AC =2CE ，∵AC =CE +AE ，∴AC =2AE ，∴CD =AE ，∵DC ∥AB ，∴∠1=∠2，在△ABE 与△CAD 中，AB =CA ∠2=∠1AE =CD，∴△ABE ≌△CAD (SAS )；(2)证明：如图1，由(1)得△FCE ≌△ACD ，△ABE ≌△CAD ，∴FE =AD ，BE =AD ，∠4=∠5，∠3=∠5，∠6=∠1，∴FE =BE ，∠4=∠3，∵FE =BE ，∴∠EFB =∠EBF ，∴∠4+∠8=∠3+∠7，∴∠8=∠7，∵∠1=∠2，∠6=∠1，∴∠2=∠6，∵∠9=∠2+∠6，∠9=∠7+∠8，∴∠2+∠6=∠7+∠8，∴2∠2=2∠7，∴∠2=∠7，∴AC ∥FB ；(3)解：如图2，由(2)得∠4=∠5，∠1=∠6，∵∠4=∠5，∠FEC =∠AED ，∴△FEC ∽△AED ，∴EF EA =EC ED ，∴EF EC=EA ED ，又∵∠FEA =∠CED ，∴△FEA ∽△CED ，∴∠EFA =∠1，∴∠EFA =∠6，又∵∠EAF =∠FAC ，∴△EAF ∽△FAC ，∴AE AF =AF AC ，∴AF 2=AE •AC ，∵AE =12AC ，∴AF 2=12AC 2，∵AB =AC ，∴AF 2=12AB 2，∴AB 2AF 2=2，∴AB AF=2(负值已舍)，由(2)得∠2=∠6，∠7=∠8，∴AO =CO ，FO =BO ，在△AOF 与△COB 中，∵AO =CO ，∠AOF =∠COB ，FO =BO ，∴△AOF ≌△COB (SAS )，∴AF =CB ，∴AB BC=2．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，得出AB AF=2是解决问题(3)的关键．11(2023•沭阳县一模)我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．(1)定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为45°或72°；(2)性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现：在△ABC 中，如果∠A =2∠B =90°，那么BC 2=AC (AB +AC )，下面是小思同学的证明方法：已知：如图1，在△ABC 中，∠A =90°，∠B =45°．求证：BC 2=AC (AB +AC )．证明：如图1，延长CA 到D ，使得AD =AB ，连接BD ，∴∠D =∠ABD ，AB +AC =AD +AC =CD ；∵∠CAB =∠D +∠ABD =2∠D ，∠CAB =90°∴∠D =45°，∵∠ABC =45°，∴∠D =∠ABC ，又∠C =∠C ∴△ABC ∽△BCD ，∴BC CD =AC BC∴BC 2=AC •CD ∴BC 2=AC (AB +AC )根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：已知：如图2，在△ABC 中，∠A =2∠B ，求证：BC 2=AC (AB +AC )；(3)性质应用：已知：如图3，在△ABC 中，∠C =2∠B ，AB =6，BC =5，则AC =4；(4)拓展应用：已知：如图4，在△ABC 中，∠ABC =3∠A ，AC =5，BC =3，求AB 的长．【分析】(1)根据2倍角三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；(2)通过证明△ACD ∽△BCA ，可得AC BC =CD AC =AD AB，即AC 2=BC •CD ，AC •AB =BC •AD =BC •BD ，可得结论；(3)利用相似三角形的性质，结合已知条件即可证明；(4)应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可．【解答】(1)解：当等腰三角形的内角分别为x ，x ，2x 时，4x =180°，解得x =45°，当等腰三角形的内角分别为x ，2x ，2x 时，5x =180°，解得x =36°，2x =72°，∴底角的度数为45°或72°，故答案为：45°或72°；(2)如图1，作AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，∴∠BAC =2∠DAC =2∠BAD ，∵∠BAC =2∠B ，∴∠ABC =∠DAC =∠BAD ，∴BD =AD ，∵∠ABC =∠DAC ，∠ACD =∠ACB ，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC BC =CD AC =AD AB，∴AC 2=BC •CD ，AC •AB =BC •AD =BC •BD ，∴AC2+AC•AB=BC•CD+BC•BD=BC•(BD+CD)，∴BC2=AC(AC+AB)．(3)由性质探索可知：AB2=AC(BC+AC)，∴AC2+5AC-36=0，解得AC=4或-9(舍弃)．故答案为：4；(4)如图3，作∠CBD=∠A，交AC于点D，则∠ABD=2∠A，∴△ABD是2倍角三角形．∴AD2=BD(BD+AB)，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∴∠BDC=∠ABC=3∠A，又∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CB CA=BDAB=CDCB，∴CD=95，BDAB=3 5，∴AD=AC-CD=165，设BD=3x，则AB=5x，∴1652=3x(3x+5x)，∴x=4615或x=-4615(不合题意舍去)，∴AB=3x=465．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，2倍角三角形的定义以及性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．12(2023•庐阳区校级一模)已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．(1)求证：DA=DB；(2)如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求AFDE的值．【分析】(1)证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；。

中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练

中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练

中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练1．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A为边OM上一定点，点B为边ON上一动点，以AB为一边在∠MON的内部作正方形ABCD，过点C作CF⊥OM，垂足为点F（在点O、A之间），交BD于点E，试探究△AEF的周长与OA的长度之间的等量关系．该兴趣小组进行了如下探索．【动手操作，归纳发现】（1）通过测量图1、2、3中线段AE、AF、EF和OA的长，他们猜想△AEF的周长是OA长的倍．请你完善这个猜想．【推理探索，尝试证明】为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，则∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，则∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠GCB＝∠ABO．在△CBE与△ABE中，……【类比探究，拓展延伸】（3）如图5，当点F在线段OA的延长线上时，直接写出线段AE、EF、AF与OA长度之间的等量关系为．2．小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到AD与DE的数量关系．（1）AD与DE相等吗？请你说明理由；【类比探究】（2）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其它条件不变，如图2，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）当点D在BC的延长线上，且满足CD＝BC，连接AE，其它条件不变，如图3，若AD＝6，求DE的长．3．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是；（3）如图③，在（2）的条件下若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明．（4）如图④，已知BC＝4，AD＝2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B 作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．4．如图1，△ABC为等边三角形，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE 于点D．（1）直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数；（2）如图2，当射线AE与AC的夹角∠EAC为钝角时，其他条件不变，（1）中结论是否发生变化？如果不变，加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线AE交BC于点H，∠EAC＝15°，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点D．G，F分别是AH，AB 的中点．求证：CD＝GF．5．【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC 边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为．【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．6．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，把线段CP绕着点C逆时针旋转90°得到CQ，连接PQ，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，请直接写出P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系：；（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请给予证明；若不成立请说明理由；（3）若动点P满足＝，求的值．7．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，CP．点M是AB的中点，点N是AD的中点．（1）问题发现如图1，当α＝60°时，的值是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝120°时，请写出的值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题如图3，当α＝90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时的值．8．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是；∠CBQ＝；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．10．已知△ABC和△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE．（1）如图1，当点E在AB边上时，试判断线段BD，CE之间的关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A旋转至如图2所示位置时，探究线段BD，CE之间的关系，并说明理由；（3）将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直，直线BD交直线CE于点F，若AB＝15，AD＝5，请直接写出线段BF的长度．11．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图1，试猜想线段BD和CE的数量关系是；位置关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角，（0°＜α＜90°），如图2，（1）中的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立说明理由．12．如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C 逆时针旋转，旋转角为α．（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF ＝（直接写出结果即可）．13．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE．∠DAE＝∠BAC．【初步感知】（1）特殊情形：如图①．若点D，E分别在边AB，AC上，则DB EC．（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）发现证明：如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E 在△ABC内部时，求证：DB＝EC．【深入探究】（1）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB 的度数为线段CE，BD之间的数量关系为；（2）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高．则∠CDB的度数为；线段AM．BD，CD之间的数量关系为；【拓展提升】如图⑤，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BE、CD．当AB＝5．AD＝2时，在旋转过程中，△ADE与△ADC的面积和的最大值为．14．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．15．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．16．已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．（1）发现问题：如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系，位置关系；②线段CE、CD、BC之间的关系是；（2）尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．17．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．18．综合与实践动手操作如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．思考探究（1）∠CAF＝°，∠EAG＝°；（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝°；②＝，请证明你的结论；开放拓展（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为．19．如图，已知在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE，且满足＝＝k，将△DEC绕点C旋转．连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，GH．（1）当k＝1时，①如图（1），点D在AC边上时，判断FG，GH的数量关系是；②如图（2），点D不在AC边上时，①中的结论是否成立，并说明理由；（2）如图（3），当k＝时，探索FG，GH的数量关系．直接写出探究结论，不需证明．20．如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在线段AC上，点F为AB的中点，点M为BE的中点，点N为AD的中点．（1）如图1，请直接写出∠FMN的大小以及FM和MN之间的数量关系．（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转，此时（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请写出相应正确的结论．（3）如图3，若AB＝4，CE＝2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点G，△ABG的面积的最小值为．21．在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，△DEC绕点C逆时针旋转，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，FH，HG．（1）如图1，当∠A＝∠EDC＝45°，点D在AC边上时，直接猜想FG，HG的数量关系和位置关系是；（2）如图2，当∠A＝∠EDC＝45°，点D不在AC边上时，（1）猜想的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当∠A＝∠EDC＝30°时，猜想FG，HG的数量关系和位置关系，请直接写出猜想结论．。

类比探究几何压轴题-教师版

类比探究几何压轴题-教师版

1．（1）尝试探究如图①，在ABC 中，°90ACB ∠=，30A ︒∠=，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且//EF AB . ①AF BE的值为多少；②直线AF 与直线BE 的位置关系； （2）类比延伸如图②，若将图①中的CEF 绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用若BC 3=，2CE =，在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长.【答案】（1）②AF BE ⊥；（2）AF BE=AF BE ⊥，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）①利用三角函数可求出CF ，AC ，再通过线段的差进行转化可得出AF ，即可得出答案；②根据°90ACB ∠=，即可得出直线AF 与直线BE 的位置关系；（2）先利用三角函数求出CF 与EC ，AC 与BC 的关系，再证出ACF ∽BCE ，利用相似的性质即可得出答案；（3）根据题意可画出两种满足题意的图形，再利用（2）中的结论即可求出答案.【详解】解：（1）①∵在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，EF //AB ,∴∠CFE =∠A =30°，∴CF ，AC ，∴AF =AC -CF BC -BC -EC )= BE ，∴AF BE ②∵°90ACB ∠=，∴AF ⊥BE ；（2）AF BE=；AF BE ⊥ 理由如下：由（1）及旋转的性质知，30CFE CAB ︒∠=∠=，90FCE ACB ︒∠=∠=，在t R CEF 中，tan CF CEF CE∠==在t R CBA 中，tan AC ABC BC∠==； =CF AC CE BC ∴， 又90FCE ACB ︒∠=∠=，FCA ACE FCE ∠+∠=∠，ACE BCE ACB ∠+∠=∠，ACF ∴∽BCE ，AF AC BE BC∴==如图，延长BE 交AC 于点H ，交AF 于点G ，ACF ∽BCE ，CBE CAF ∴∠-∠，90CBE CHB ︒∠+∠=，CHB GHA ∠=∠，90CAF GHA ︒∴∠+∠=90AGH ︒∴∠=，即AF BE ⊥；（3）【点睛】本题主要考查了三角函数、旋转、相似的判定和性质等知识. 结合图形综合运用所学知识进行证明是解题的关键.2．()1尝试探究如图-①，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点E 、F 分别是BC 、AC 边上的点，且EF//BC . ① AF BE的值为 ；②直线AF 与直线BE 的位置关系为 ； ()2类比延伸如图②，若将图①中的CEF 绕点C 顺时针旋转，连接,AF BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直BE 线的位置关系，并说明理由； ()3拓展运用若3,2BC CE ==，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长.【答案】()1①②AF BE ⊥；()2AF BE=AF BE ⊥；（3）【解析】【分析】（1）①根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；②根据已知可直接得出答案；（2）只要证明△ACF ∼△BCE ，根据相似三角形的性质即可得AF BE的值，也可得∠BCE=∠CAF ，继而推导AGH 90∠=即可得；（3）分两种情况画出图形分别解决即可.【详解】()1 ①∵在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF//AB ， ∴∠CFE=∠A=30°，∴CF=tan30CE ︒，AC=tan30BC ︒BC ，∴（BC-EC ），∴AF BE②∵∠ACB=90°，∴AF BE ⊥，即直线AF 与直线BE 的位置关系为垂直，故答案为：AF BE ⊥；()2 AF BE = AF BE ⊥， 理由如下：由()1及旋转的性质知CFE CAB 30∠∠==，FCE ACB 90∠∠==，在Rt CEF 中，CF tan CEF CE∠==在Rt CBA 中，AC tan CBA BC∠==， CF AC CE BC ∴=，又FCE ACB 90∠∠==， FCA ACE FCE ∠∠∠+=，ACE BCE ACB ∠∠∠+=，∴FCA ∠=BCE ∠ACF BCE ∴~，AF ACBE BC∴==， 如图，延长BE 交AC 于点H ，交AF 于点G ，ACF BCE ~，CBE CAF ∠∠∴=，CBE CHB 90∠∠+=，CHB GHA ∠∠=，CAF GHA 90∠∠∴+=，AGH 90∠∴=，即AF BE ⊥；()3①如图，∵△ECB ∽△FCA ，∴AF ：BE=CF ：，设BE=a ，则，∵B 、E 、F 共线，∴∠BEC=∠AFC=120°，∵∠EFC=30°，∴∠AFB=90°，在Rt △ABF 中，AB=2BC=6，a ，BF=EF+BE=4+a ，∴)()22246a ++=，∴或（舍去），∴②如图，当E 、B 、F 共线时，同法可证：，∠AFB=90°，在Rt △ABF 中，)()22246a +-=，∴或（舍去），∴综上，AF 的长为【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，本题综合性较强，有一定的难度，正确寻找相似三角形、运用分类讨论思想是解题的关键.3．综合与实践数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形ABD 与等腰直角三角形ACE ，其中AB AD AC AE ===，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接BC ，M 、N 、G 分别为边BD 、CE 、BC 的中点，连接MG 、NG .操作发现：小红发现了：GM、GN有一定的关系，数量关系为_____________________________；位置关系为_________________.类比思考：如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形ABD绕点A旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接DC、EB并延长交于一点F）深入探究：在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形ABC， ，在三角形外侧以AB为腰作等腰直角三角形ABD，以AC为腰作等腰其中AB AC直角三角形ACE，分别取斜边BD、CE与边BC的中点M、N、G，连接GM、GN、MN，试判断三角形GMN的形状，并说明理由.【答案】操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】操作发现：利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；类比思考：同操作发现的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论；深入探究：同操作发现的方法即可得出结论．【详解】解：操作发现：如图1，连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD= 90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG∥CD，MG=12CD，同理：NG∥BE，NG=12 BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由：如图2，连接DC、EB并延长交于一点F同操作发现的方法得，MG=NG，同操作发现的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=9 0°，∴∠DFE=90°，同操作发现的方法得，MG⊥NG，∴MG=NG，MG⊥NG；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由：如图3，连接CD，BE相交于点H，同操作发现的方法得，MG=NG，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．故答案为：操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解题的关键．4．如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′，这时再分别求出∠BP′P和∠AP′P的度数．解答：（1）请你根据以上分析再通过计算求出图2中∠B PC的度数；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PB=4，PC=2，求∠BPC的度数．【答案】（1）135°；（2）120°.【解析】试题分析：(1)根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP=2 ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则△BPP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；（2）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含BP′=2，P′H=，得到30°的直角三角形三边的关系得到BH=1P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°.试题解析：（1）如图2．∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，∴∠P′BP=90°，BP′=BP=2 ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴PP′=PB=2，∠BP′P=45°，在△APP′中，AP=3，PP′=2，AP′=1，∵32=（）2+12，∴AP 2=PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°∴∠BP′A=45°+90°=135°，∴∠BPC=∠BP′A=135°；（2）如图3．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠ABC=120°，把△BPC 绕点B 逆时针旋转120°，得到了△BP′A ，∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC ，∴∠BP′P=∠BPP′=30°，过B 作BH ⊥PP′于H ，∵BP′=BP ，∴P′H=PH ，在Rt △BP′H 中，∠BP′H=30°，BP′=4，∴BH=12BP′=2，∴在△APP′中，，AP′=2，∵（2=（2+22，∴AP 2=PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，∴∠BP′A=30°+90°=120°，∴∠BPC=120°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系．5．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG 和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．【解析】试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴==3，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．∴．故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴．∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴=2，∴CG=2EH．∴=．故答案为：．（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴=b，∴CD=bEH．又，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴=ab．故答案为：ab．考点：相似形综合题．6．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．．．. 如图1，在等腰△ABC中，A B=A C， AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可以得出结论：h= h1＋h2.类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=34x+3，l2：y=－3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标.【答案】（1）h = h1－h2（2）（13，2）或（－13，4）【解析】试题分析：（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．（2）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．试题解析：（1）h = h1－h2.证明：连接OA，∵S△ABC =12AC·BD=12AC·h，S△ABM =12AB·ME =12AB·h1，S△ACM=12AC·MF =12AC·h2，.又∵S△ABC=S△ABM－S△ACM，∴12AC·h =12AB·h1－12AC·h2.∵AB=AC，∴h = h1－h2.（2）在y =34x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：A（－4，0），B（0，3），同理求得C（1，0），OA=4，OB=3， AC=5，AB，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．设点M 的坐标为（x ，y ），①当点M 在BC 边上时，由h 1+h 2=h 得：OB = 1+y ，y =3－1=2，把它代入y =－3x +3中求得：x =13，∴M （13，2）②当点M 在CB 延长线上时，由h 1－h 2=h 得：OB = y －1，y =3+1=4，把它代入y =－3x +3中求得：x =－13，∴M （－13，4）.综上所述点M 的坐标为（13，2）或（－13，4）.点睛：解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角形面积的关系，利用面积求解在几何解答题中经常用到，同学们在答题时一定要灵活运用． 7．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，1PA =，PB =2PC =.求BPC ∠的度数.为利用已知条件，不妨把BPC ∆绕点C 顺时针旋转60︒得'AP C ∆，连接'PP ，则'PP 的长为_______；在'PAP ∆中，易证'90PAP ∠=︒，且'PP A ∠的度数为________，综上可得BPC ∠的度数为_______；（2）类比迁移如图，点P 是等腰Rt ABC ∆内的一点，90ACB ∠=︒，2PA =，PB =1PC =.求APC ∠的度数；（3）拓展应用如图，在四边形ABCD 中，5BC =，8CD =，12AB AC AD ==，2BAC ADC ∠=∠，请直接写出BD 的长.【答案】（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3）【解析】 【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P 是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P 是直角三角形，继而可得答案． （2）如图2，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°得△AP'C ，连接PP′，同理可得△CP′P 是等腰直角三角形和△AP′P 是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG ，连接DG ．则BD=CG ，根据勾股定理求CG 的长，就可以得BD 的长． 【详解】（1）把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP'C ，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P 是等边三角形；∴、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P 中，∵AP 2+P′A 2=12+2=4=PP′2； ∴△AP′P 是直角三角形； ∴∠P′AP=90°．∵PA=12 PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、，，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=）2+）2=4=AP2；∴△AP′P是等腰直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴==，∴【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，8．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。

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【答案】操作发现：MG=NG，MG⊥NG；类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由见解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
操作发现：利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
3．综合与实践
数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形 与等腰直角三角形 ，其中 ， ，连接 ， 、 、 分别为边 、 、 的中点，连接 、 .
操作发现：
小红发现了： 、 有一定的关系，数量关系为_____________________________；位置关系为_________________.
②根据已知可直接得出答案；
（2）只要证明△ACF∼△BCE，根据相似三角形的性质即可得 的值，也可得∠BCE=∠CAF，继而推导 即可得；
（3）分两种情况画出图形分别解决即可.
【详解】
①∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF//AB，
∴∠CFE=∠A=30°，
∴CF= = EC，AC= = BC，
即 ；
①如图，∵△ECB∽△FCA，∴AF：BE=CF：CE= ，
设BE=a，则AF= a，
∵B、E、F共线，∴∠BEC=∠AFC=120°，
∵∠EFC=30°，∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，AB=2BC=6，AF= a，BF=EF+BE=4+a，
∴ ，
∴a=-1+ 或-1- （舍去），
∴AF= a= ；
பைடு நூலகம்（2） ；
理由如下：由（1）及旋转的性质知， ， ，
在 中， ，
在 中， ；
，
又 ，
， ，
∽ ，
.
如图，延长 交 于点 ，交 于点 ，
∽ ，
，
， ，
，
即 ；
（3） 或
【点睛】
本题主要考查了三角函数、旋转、相似的判定和性质等知识.结合图形综合运用所学知识进行证明是解题的关键.
2． 尝试探究
如图- ，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点E、F分别是BC、AC边上的点，且EF//BC.
的值为； 直线 与直线 的位置关系为；
类比延伸
如图 ，若将图 中的 绕点 顺时针旋转，连接 ，则在旋转的过程中，请判断 的值及直线 与直 线的位置关系，并说明理由；
拓展运用
若 ，在旋转过程中，当 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段 的长.
【答案】 ； ； ；（3） 或
【解析】
【分析】
（1）①根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；
②如图，当E、B、F共线时，同法可证：AF= BE，∠AFB=90°，
在Rt△ABF中， ，
∴a=1+ 或1- （舍去），
∴AF= a= ，
综上，AF的长为 或 .
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，本题综合性较强，有一定的难度，正确寻找相似三角形、运用分类讨论思想是解题的关键.
∴AF=AC-CF= BC- EC= （BC-EC）= BE，
∴ = ，
故答案为： ；
②∵∠ACB=90°，
∴ ，即直线 与直线 的位置关系为垂直，
故答案为： ；
，
理由如下：由 及旋转的性质知 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，又 ，
， ，
∴ =
，
，
如图，延长 交 于点 ，交 于点 ，
， ，
， ，
， ，
类比思考：同操作发现的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论；
深入探究：同操作发现的方法即可得出结论．
【详解】
解：操作发现：如图1，连接BE，CD相交于H，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
1．（1）尝试探究
如图①，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的点，且 .
① 的值为多少；②直线 与直线 的位置关系；
（2）类比延伸
如图②，若将图①中的 绕点 顺时针旋转，连接 ， ，则在旋转的过程中，请判断 的值及直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用
若 ， ，在旋转过程中，当 ， ， 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段 的长.
类比思考：
如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形 绕点 旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接 、 并延长交于一点 ）
深入探究：
在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形 ，其中 ，在三角形外侧以 为腰作等腰直角三角形 ，以 为腰作等腰直角三角形 ，分别取斜边 、 与边 的中点 、 、 ，连接 、 、 ，试判断三角形 的形状，并说明理由.
（3）根据题意可画出两种满足题意的图形，再利用（2）中的结论即可求出答案.
【详解】
解：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，EF//AB,
∴∠CFE=∠A=30°，
∴CF= EC，AC= BC，
∴AF=AC-CF= BC- EC= (BC-EC)= BE，
∴ = ，
②∵ ，
∴AF⊥BE；
【答案】（1）① ，② ；（2） ； ，理由见解析；（3） 或
【解析】
【分析】
（1）①利用三角函数可求出CF= EC，AC= BC，再通过线段的差进行转化可得出AF= BE，即可得出答案；②根据 ，即可得出直线 与直线 的位置关系；
（2）先利用三角函数求出CF与EC，AC与BC的关系，再证出 ∽ ，利用相似的性质即可得出答案；
类比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，
理由：如图2，连接 、 并延长交于一点
同操作发现的方法得，MG=NG，
同操作发现的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD，MG= CD，
同理：NG∥BE，NG= BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
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