§15.2.2 完全平方公式(1)
人教版数学-八年级上册：15.2.2完全平方公式
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b
a
a
b
b
A
D
a
B
C
b a
数学表达式
(乘法的）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
a2 2ab b2
结论
完全平方公式
数学表示式 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾倍在中央， 加减看两前方。
文字表述
特点
两项和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）的积的2 倍
1、左边 右边
两项的和（或差）的平方 二次三项式
3、字母指数：当公式中的a、b所代表的 单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2。
=〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例: 用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2 (2) (y- 1 )2
2
(4m+n)2 =(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程数学是一门非常有趣的科目，不过有些朋友对于数学这门课程不太感兴趣，想要学习好数学?其实也是比较简单的，只要记住好一些计算公式口诀就可以了，今天就让来给大家分享一下关于完全平方公式基本知识。
完全平方公式完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b;我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)=(a+b)x(a+b)=(a+b)。
同理，a-2ab+b=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)=(a-b)x(a-b)=(a-b)。
完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积：那么，大正方形的面积=a+ab+ab+b(a+b)=a+2ab+b，同样，我们再来证明(a-b)=a-2ab+b。
大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)。
①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
一起分别计算下②③④的面积吧。
大正方形的面积为a，小正方形①的面积=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb 即，(a-b)=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb展开后，得(a-b)=a-2ab+b完全平方式又常常写成：(a±b)=a±2ab+b。
完全平方公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是:首平方，尾平方，积的二倍放中央。
完全平方公式是什么?以上就是给大家解答的相关的疑问，大家平时不妨现在熟悉一下这个完全平方公式的口诀，只要记熟了完全平方公式口诀就可以轻松的计算出完全平方算式。
1522 完全平方公式(一)教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校15.2.2 完全平方公式（一）教学目标1．知识与技能会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力．2．过程与方法利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．3．情感、态度与价值观培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：完全平方公式的推导和应用．2．难点：完全平方公式的应用．3．关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式，•利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性．教具准备制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．教学过程一、创设情境，导入新知【激趣辅垫】寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．【教师活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）【学生发言】比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货．【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：（1）（2x－3）2；（2）（x+y）2；（3）（m+2n）2；（4）（2x－4）2．【学生活动】先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，（1）（2x－3）2=4x2－12x+9；（2）（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2；（4）（2x－4）2=4x2－16x+16．【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．【学生活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）•右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2•倍就为“－”号，其余都为“＋”号．【教师提问】那我们就利用简单的（a+b）2与（a－b）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．【学生活动】计算出（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2，完成后，•一位学生上讲台板演．【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式．归纳：完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2．语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．【拼图游戏】解释：（1）现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，•并探究所拼出的正方形的代数意义．（2）你能根据图2，谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2吗？【课堂活动】第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到（a－b）2=a2－b2－2b（a－b）=a2－2ab+b2．二、范例学习，应用所学【例1】运用完全平方公式计算：（1）（－x－y）2；（2）（2y－13）2（1）解法一：（－x－y）2=[（－x）+（－y）] 2=（－x）2+2（－x）（－y）+（－y）2=x2+2xy+y2；解法二：（－x－y）2=[－（x+y）] 2=（x+y）2=x2+2xy+y2．（2）解法一：（2y－13）2=（2y）2－2·2y·13+（13）2=4y 2－43y+19． 解法二：（2y －13）2=[2y+（－13）] 2 =（2y ）2+2·2y ·（－13）+（－13）2 =4y 2－43y+19． 【例2】运用乘法公式计算99992．解：99992=（104－1）2=108－2×104+1=100000000－20000+1=99980001．三、随堂练习，巩固新知【基础训练】 （1）（3a －2b ）2； （2）（2xy+3）2； （3）（－ab+13）2； （4）（7ab+2）2． 【拓展训练】（1）（－2x －3）2； （2）（2x+3）2；（3）（2x －3）2； （4）（3－2x ）2．【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律．【学生活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是负的．【探研时空】已知：x+y=－2，xy=3，求x 2+y 2．四、课堂总结，发展潜能本节课学习了（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2，两个乘法公式，在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．五、布置作业，专题突破课本P156习题15．2第3、4、8、9题．板书设计。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
1 5.2.2完全平方公式
1 5．2．2完全平方公式教学目标①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．教学重点与难点重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．难点：公式的结构特征及教科书P184例5．教学准备投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．教学设计引入同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．探究计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=(2)(m+2)2=(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=(4)(m-2)2=注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．验证我们再来计算(a+6)2，(a-b)2．公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．概括完全平方公式及其形式特征．注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释：(a-b )2={a+(-b)]2=a 2+2a(-b)+(-b)2=a 2-2ab+b 2(3)对公式(a-b)2=a 2-2ab+b 2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a 、b 的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-12)2 引导学生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，(2)∵(y -12)2是__与__和的平方，注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a 、b 进行对照，进一步体会字母a 、b 的含义，加深对字母含义广泛性的理解．(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m 2，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．教科教科书第154页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．巩固教科书第155页练习1、2练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。
15.2.2完全平方公式(第1课时).doc
§15.2.2完全平方公式主备人许冬荣预习自测：1.两数和（或差）的平方，等于它们的加（或减）它们的 .2.()2-= .a b+= . ()2a b3. ()23y-= .x+= . ()254.()21--= . ()2a+= .4m n5.x2+4x+ =（x+2）2. 9x2+ +49y2=（3x-7y）2..一、学习目标: 经历探索完全平方公式的推导过程；会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的运算；培养自己的思维条理性和表达能力．重点：完全平方公式的灵活应用。
难点：完全平方公式的推导过程、结构特点.二、预习提纲：1.根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 =__________________.2.思考并完成P153的探究⑴（p+1）2=（p+1）（p+1）=___________；⑵（m+2）2=__________；⑶（p-1）2=（p-1）（p-1）=____________；⑷（m-2）2=__________.结果中有两个数的________，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数____的______,计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___你发现了：_____________________________________________________ .用公式表示为：_____________________ ,这个公式叫做______________.3.完成P154的思考______________________________________________.4.细读P154的例3、4，完成P155的练习1解：⑴___________________________⑵_____________________________________________________ ___________________________⑶__________________________⑷_____________________________________________________ __________________________5.完成P155的思考，完成P155的练习2解：⑴__________________________⑵_____________________________________________________ __________________________三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容.四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充.五、当堂检测：A 组：1.下列计算正确的是（ ）A ．（m-1）2=m 2-1B ．（x+1）（x+1）=x 2+x+1C ．（12x-y ）2=14x 2-xy-y 2 D ．（x+y ）（x-y ）（x 2-y 2）=x 4-y 42.（1）（-3x+4y ）2=_________（2）x 2-4xy+________=（x-2y ）2．3.将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）A ．36cm 2B ．12acm 2C ．（36+12a ）cm 2D ．以上都不对4.（1）（-2a-b ）2=_________ （2）a 2+b 2=（a+b ）2+_________． （3）-x 5( ）2= 4210y xy +-.B 组：5.运用完全平方公式计算：⑴ 2)4(y x - ⑵ （y-12）2 ⑶2)1(x x +⑷ )3)(3(b a b a --+ ⑸2104 ⑹299.996.计算 （1）（x+3）2-x 2 （2）（x+5）2 -（x-2）（x-3）C 组：7.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？224139y xy x +-，442+-x x ,2161a +，12-x , 22y xy x ++8.如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？六、小结：你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨论交流。
15.3.2完全平方公式(一)学案用
鸡西市第四中学2012-2013年度上学期初三数学导学案第二十一章第二节 乘法公式（完全平方公式）编制人：林淑波 复核人： 使用日期：2012.11.23编号：30 教学目标：1.学会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单的运算.2.会用几何拼图方式验证平方差公式3..培养数学语言表达能力和运算能力.重点：掌握完全平方公式并灵活运用公式进行简单的计算难点：公式的变形应用思维导航： 1、完全平方公式的左边是两数的和或差的平方右边是这两数的平方和加上或减去这两数之积2、公式中的a 、b 可以表示数也可以表示单项式、多项式3、要防止出现(a+b)2=a 2+b 2,(a-b)2=a 2-b 2等错误学习过程;一、课前复习1.填空：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 ，即(a +b )(a -b )= ，这个公式叫做 公式.2.用平方差公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x -1)(3x +1)(3) (y +3x )(3x -y ) (4) (-2+ab )(2+ab )二、自学探索 归纳法则问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？（1）()()()=++=+1112p p p __________________________. （2）()____________22=+m ＝_______________________. (3) ()()()=--=-1112p p p _____ _______________. (4) ()____________22=-m =_________________________. (5) ()____________2=+b a =_________________________ . (6) ()____________2=-b a =________________________.问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？问题３.写出两个类似这样的题验证你的结论.（1） （2）问题４．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出()2b a +和()2b a -的结果. 即：2()a b +＝2()a b -＝问题5. 得到结论:(1)用文字叙述：（2）用字母表述：()____________2=+b a ()____________2=-b a 这两个公式是完全平方公式.（3）完全平方公式的结构特征： .问题7：请思考如何用图１５.２－２和图１５.２－３中的面积说明完全平方公式吗？问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异完全平方公式：平方差公式：三、应用提高例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来.(1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ）(2)(a -b )2=a 2-b 2； （ ）(3)(a +b )2=(-a -b )2； （ ）(4)(a -b )2=(b -a )2. （ ）解题心得：例2.利用完全平方公式计算(1) ()24n m + (2)221⎪⎭⎫ ⎝⎛-y .(3) (x +6)2(4) (-2x +3y )(2x -3y )例3.运用完全平方公式计算：(5) 2102 (6) 299四、提升训练(1) (2x -3)2 (2) (13x +6y )2（３）（-x + 2y ）2 （４）（-x - y ）2(5) (-2x +5)2 (6) (34x -23y )2２.先化简，再求值：()()()2112322,,22x y x y x y x y +-+-==-其中３.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值五、检测反馈1.运用完全平方公式计算：（1）()252b a + （2）()234y x - （3）()212--m（4）2325,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a （5）263 （6）2982. (y +1)(y -5)-(y +2)2+2(y +3)(y -3)3.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少？4.已知5=+b a 3ab =，求22b a +和 2)(b a -的值六、中考连接1、（2010•宁波）若x+y=3，xy=1，则x 2+y 2= _________ ．2、（2010•桂林）已知，则代数式的值为 _________ ． 七、总结反思：本节课你收获的方法是：课后你要解决的疑惑是：。
完全平方公式(一)
作业：教材 156 页习题第 2 题、第 4 题、第 7 题 教材
§15．2．2 完全平方公式（一） （ 一） 、1．提出问题： 问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写成什么样的形 式呢？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1） （p+1）2=（p+1） （p+1）=_______； （m+2）2=_______； 2 （2） （p-1） =（p-1） （p-1）=________； （m-2）2=___ 2
(2) (y-5)2; (4) (
3 2 2. xy) 4 3
2.下面各式的计算错在哪里 应当怎样改正 下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正 下面各式的计算错在哪里 应当怎样改正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2. 简便计算： 例 2：运用完全平方公式计算： 运 （1）1022 （2）992 思考： 思考： (a+b)2 与(-a-b)2 相等吗 相等吗? 2 2 (a-b) 与(b-a) 相等吗 相等吗? 为什么? 为什么
2 (a+b) =a2+2ab+b2
施教时间
年
月 日
(a-b)2=a2-2ab+b2
即：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍． 或减） 2. 几 何 分 析 ： 你 能 根 据 图 形 的 面 积 ， 写 出 完 全 平 方 公 式 吗 ？ （/page/09-12-21/40141.html）
•
拓展延伸：用完全平方公式计算 拓展延伸： 延伸 xy=3 已知 : x+y=4, 2 2 • (1)x +y 的值 (2) (x-y)2 的值 求 : （四）小结：1、完全平方公式 1 • 完全平方和式：(a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方和式： • 完全平方差式：(a-b)2 =a2-2ab+b2 完全平方差式： • 2、应用公式时注意公式的结构特点 • 3、有关数字计算题运用完全平方公式可以使计算简便
15.2.2完全平方公式(1)
例4 运用完全平方式计算：
(1)1022 (2)992
口答
(3) (2m－1)2 (1) 2－4m+1 2+60ab+25b2 =4m =36a (2) (4x－3y)2 (4) (－2m－1)2 2+4m+1 =16x2－24xy+9y2 =4m (6a+5b)2
拓展延伸
已知x＋y＝5，xy＝6，求 （1）x2＋y2 （2）x－y的值 练习拓展
桦甸五中吕艳杰
学习目标：
1 理解完全平方公式，掌握两个 公式的结构特征。
2 熟练运用公式进行计算。
自学指导： 看教材153页探究，完成下列问题： 1 .如何用字母表示完全平方公式， 怎样用语言叙述呢？ 2. 看154页思考：你能完成吗？ 3. 认真看例3的解题格式。 六分钟后比一比看谁能做出与例题类似 的题目。
(A)-6 (B)6 (C) ±6
(D) ±9
这节课你学到了什么知识？
通过这节课的学习你有何感想 与体会？
小结：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 3、公式的逆向使用；
2
(4) ( 2a －b )( b－2a )
1.下列计算中正确的是（ D ）
(A) (B) (C) (D) (p+q)2=p2+q2 (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (a2+1)2=a4+2a+1 (－s+t)2=s2－2st+t2
15.2.2完全平方公式(1)
(4)
(m-2)2
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 公式特点：
(1) 1022；
例题解析 例2 运用完全平方公式计算：
(2) 992
变形
解: (1)
1022
(100+2)2 =1002+2×100×2+22 = =10000+400+4 =10404
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算: 1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ 为什么？ (a-b)² -b² 与a² 相等吗？
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
应用新知
利用完全平方公式计算：
①
2 = (200 -2) 2 198
= 2002 -2×200×2 + 22 = 40 000 -800 +4 = 39 204 .
数学：15.2.2《完全平方公式》课件1(人教新课标八年级上)
[单选]脉来重手推筋着骨始得，甚则伏而不见，其主病是A.邪闭厥证B.阴寒内盛C.脏气衰微D.气血俱虚E.阳气衰微 [单选,A1型题]关于正常产褥的叙述，哪项是错误的()A.出汗较多，睡眠和初醒时更为明显B.产后约2周经腹部检查不易摸到子宫底C.子宫复旧主要是肌细胞数目减少及体积缩小D.浆液性恶露内含细菌E.一般在产后24小时内体温轻度升高，不超过38℃ [判断题]在冷凝器内，制冷剂从气体变成液体。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于扳机点注射的神经阻滞疗法叙述不正确的是（）A.扳机点有好发部位B.扳机点位于肌腹中C.许多肌筋膜痛都有"扳机点"D.扳机点一般固定，但不同于运动点E.注射后，可以进行肌肉的主被动牵伸 [多选]在左心室形态和功能正常的情况下，测定左心室容积参数的方法有（）。A.M型超声B.单平面面积长度法C.单平面Simpson法D.双平面Simpson法E.组织多普勒成像 [单选]航路、航线地带和民用机场区域设置：（）。A.高空管制区、中低空管制区、机场塔台管制区B.航路管制区、终端（进近）管制区、机场塔台管制区C.高空管制区、中低空管制区、终端（进近）管制区、机场塔台管制区 [单选]飞机在平飞过程中，当速度减小至比最大升阻比对应的速度小的速度范围时，总阻力将如何变化？（）A.由于诱导阻力增加而引起总阻力增加B.由于寄生阻力增加而引起总阻力增加C.由于诱导阻力减小而引起总阻力减小 [单选]《证券投资基金销售管理办法》规定：（）可以办理其募集的基金产品的销售业务。A.监管机构B.基金托管人C.基金管理人D.证券登记结算公司A.监管机构B.基金托管人C.基金管理人D.证券登记结算公司 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不属于心理测量标准化要求的内容（）A.有固定施测条件B.标准的指导语C.统一的记分方法D.符合实际情况E.使用标准化工具 [填空题]在一定压力下，蒸汽的温度高于对应压力下的饱和温度，称为（）。 [多选]特殊路基类型包括有()。A．沿河路基B．岩溶地区路基C．黄土地区路基D．涎流冰地段路基E．岩溶地区器基 [单选,A1型题]乳腺癌患者乳腺皮肤出现“酒窝征”的原因是（）。A.肿瘤侵犯了胸大肌B.肿瘤侵犯了Cooper韧带C.瘤细胞堵塞了局部皮下淋巴管D.肿瘤侵犯了周围腺体E.肿瘤侵犯了局部皮肤 [单选]小肠的消化在整个消化过程中占有极其重要的地位，下列选项中不作用于小肠内的化学性消化的是？（）A、胰液B、胆汁C、胃液D、小肠液 [单选]哪项不是早产原因（）A.子宫畸形B.宫颈内口松弛C.胎儿生长受限D.妊娠期高血压疾病E.前置胎盘 [单选]Aluminumlifeboatsaresubjecttodamagebyelectrolyticcorrosion(thealuminumbeingeatenaway).Inworkingaroundboatsofaluminumyoumustbeverycareful（）.A.tokeeptheboatscoveredatalltimesB.nottoleavesteelorirontoolslyinginorneartheseboatsC.tokeepanelectricchargeonth [单选]飞机在下滑终了时所容许获得的最大速压，称为（）。A.强度限制速压B.使用限制速压C.最大使用速压D.刚度限制速压 [单选]铁路旅客运输合同是明确承运人与（）之间权利义务关系的协议。A.托运人B.收货人C.旅客D.押运人 [单选]糖尿病最常见的神经病变是（）A.周围神经病变B.神经根病变C.自主神经病变D.脊髓病变E.颅神经病变 [单选]方位投影大多是透视投影，视点在球面的方位投影称为（）。A．心射投影B．极射投影C．外射投影D．日晷投影 [问答题,简答题]高温加氢－精馏生产纯苯工艺中，白土塔的作用是什么？ [多选]关于基础设施项目融资的经济特征和需求的叙述中，正确的有（）。A．属于低风险低回报的行业B．其经营项目产品或服务的价格是未来政府或市民支付费用的重要依据C．价格竞争类型取决于特许经营项目融资招标类型和招标方案策划D．招标人制作投标文件的前期投入费用较少E．基础 [单选]该病房楼内设有上下层相连通的走廊、敞开楼梯、自动扶梯、传送带等开口部位时，应按上下连通层作为一个防火分区，其允许最大建筑面积之和不应超过《高层民用建筑设计防火规范(2005年版)》(GB50045--1995)的规定。当上下开口部位设有（）等分隔设施时，其面积可不叠加计算。 [单选]下列哪项不是产时保健的内容（）。A.防滞产B.防出血C.防胎膜早破D.防感染E.防新生儿窒息 [单选]某公司没有发行优先股，当前的利息保障倍数为5，则财务杠杆系数为（）。A.1.25B.1.5C.2.5D.0.2 [问答题]用于测定绝对地质年代的放射性同位素必须具备哪些条件？ [单选,A1型题]28岁初产妇，妊娠39周胎儿经阴道娩出后，立即出现多量阴道流血，色鲜红，持续不断。最可能的病因诊断应为（）A.子宫收缩乏力B.软产道裂伤C.凝血功能障碍D.植入胎盘部分剥离E.以上都不是 [单选]胡桃夹综合征是A.肠系膜下静脉受压迫综合征B.右肾静脉受压迫综合征C.左肾静脉受压迫综合征D.肠系膜上静脉受压迫综合征E.下腔静脉受压迫综合征 [单选]环境卫生学的基本理论是()A.机体与环境在物质上的统一性B.环境因素对机体影响的作用机制C.机体对环境的适应能力D.环境因素对健康影响的复杂性E.环境中有益因素和有害因素对机体的综合作用 [名词解释]拖延比赛 [单选]心境障碍一般具有以下特点（）。A.一次发作，永不缓解B.发作一次，加重一次，残留阴性症状C.反复发作，从无缓解期D.反复发作，大多数能缓解E.-次发作，终生不发 [单选,A1型题]有关血栓闭塞性脉管炎，不恰当的是（）A.病变以下肢为多B.病变局限于小动脉C.为一种慢性、持续性、进行性疾病D.由于血栓形成而导致血管腔闭塞E.间歇性跛行为早期症状之一 [单选]仓储管理的目标是（）。A.适时适量保证库存B.仓库空间利用与库存货品的处置成本之间的平衡C.实现库存最低、费用最省D.管理协调供应商，管理供应链 [单选]在WAIS-RC的实施中，（）测验是以反应的速度和正确性作为评分依据的。A.知识B.领悟C.相似性D.图画填充 [多选]下列各项中，影响利润表“所得税费用”项目金额的有()。A.当期应交所得税B.递延所得税收益C.递延所得税费用D.代扣代交的个人所得税 [单选]判断中骨盆是否狭窄的重要指标是（）.A.髂棘间径B.髂睛间径C.坐骨切迹宽度D.骶耻外径E.坐骨结节横径 [单选,A2型题,A1/A2型题]为提高出血病因诊断的准确性，选择胃镜检查的时间宜为（）A.6～8小时B.8～12小时C.24～48小时D.48～72小时E.出血停止后 [单选]超限车辆行驶公路的危害，一是严重损害路桥等道路基础设施；二是诱发了大量的（）安全事故；三是导致运输市场的恶性竞争；四是影响了汽车生产工业的健康发展，造成“大吨小标”车辆泛滥。A、交通运输B、道路管理C、道路交通 [单选]下列纳税人申请变更纳税定额的核准程序符合《服务规范》2.0版基本规范的的是（）。A、办税服务厅制作《核定（调整）定额通知书》交纳税人。B、本事项在15个工作日内办理。C、办税服务厅收到反馈后1个工作日通知纳税人领取办理结果。D、根据纳税人报送的资料，制作相关表单脚 [单选,B型题]减压病的病因是（）。A.高气压B.低气压C.高气温D.高气湿E.高气流 [填空题]能溶解其它物质的液体称为（）。被溶解的物质叫（）。所形成的均匀状态的液体叫做（）。
15.2.2完全平方公式1学案
《完全平方公式》(一)武汉市友谊路中学 高俊一、合作交流，探索新知相信同学们都玩过拼图游戏，其实很多古代中外的学者们也用拼图来探索数学王国的奥妙。
那么今天，我和同学们一起，就由拼图开始，来探索新的数学知识。
有四张图片，它们分别是边长为a 的正方形，边长为b 的正方形（a>b ）和2个长为a 、宽为b 的长方形。
你能用这四张图片拼成一个大的正方形吗？观察所拼得的大正方形的面积及构成，你能得到一个什么样的等量关系呢？我们把得到的这个式子称为：两数和的完全平方公式据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对两数和的完全平方公式的一个几何解释。
那么，我们能不能从代数运算的角度也能推导出这样的公式呢？代数推导：我们用几何拼图和代数推导两种方式推导了(a+b)2，那么，现在同学们能不能够利用我们已经掌握的方法来探索两数差的完全平方公式，即：(a －b)2呢？你有几种方法？你能用语言描述上述公式吗？二：例题与应用1、利用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2; (2)(y-21)2;2、错误辨析：请你找出下列运算的错误，并改正(1) (x+y)2＝x 2+y 2(2))212( y 2＝(2y)2+2y ·21+(21)2＝4y 2+y+41(3) (3x －2y)2＝3x 2－12xy+2y 2(4) (－t －1)2 ＝(－t)2－2(－t)(－1)+(－1)2＝t 2－2t+13、练习：(1) (21x －2y )2 (2) (2xy +51x )2; (3) (n +1)2－n 2.4、运用公式计算(1) 1022 (2) 992 (3) 19×21×399三、巩固及延伸 1、填空(1)(－3x +4y )2= .(2)(－2a －b )2= .(3)x 2－4xy + =(x －2y )2.(4)k x x ++42是完全平方式，则____=k ．若922++mx x 是完全平方式，则____=m(5)a 2+b 2=(a —b )2+ ，5)(,9)(22=-=+y x y x ，则.______=xy2、解答题：(1)、已知81=+x x ，求221xx +(2)、已知x+y ＝7，xy ＝12，且x>y ，求（1）22y x + （2）2)(y x - （3）x 、y 的值四、学习收获。
15.2.2完全平方公式(1)课件
(a ± b)2=a2±2ab+b2
2=a2+b2 (1)（a+b)
(2)
2=a2-b2 (a-b)
(a ± b)2=a2±2ab+b2 运用完全平方公式计算 (1) (4m+n)2 (2)(y 1 2 2)
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
(a ± b)2=a2±2ab+b2
完全平方公式的应用: (1) 1022 ; (2)992
解:(1) 1022 =(100+2)2
(2) 992
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1=9801
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
请同学们完成导学案P93 问题探究一 问题探究二
预习检测
请同学们完成导学案P预习自测
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)= p2+2p+1 2= (m+2)(m+2)=m2+4m+4 (2) (m+2) 2 =(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (3) (p-1) 2 = (m-2)(m-2)=m2- 4m+4 (4) (m-2)
《完全平方公式(1)》参考课件
达标检测
1、下列运算正确的是（ ）
A、(a+b)2=a2+b2
B、a3·a2=a5
C、a6÷a3=a2
D、2a+3b=5ab
2、若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
(1) 公式左边是两个数的和（差）的平方。
特征 结构
(2) 公式右边是两个数的平方和，再加上 （减去）两数积的2倍。
可简单记：前平方，后平方， 积2倍，在中央
这两个公式统称完全平方公式。
完全平方公式与平方差公式都叫乘法公式
例1 利用完全平方公式计算：
你自己能做这 一题目吗？相
(1) (1 x + 2 y)2
33x - y2
5- 1 a 5b2
2
754 2
44p - 2q2
6
-
3
x
-
2
y
2
4 3
8997 2
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
完全平方公式的结果 是三项，
结果不同： 即 (a+b)2＝a2+2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
a - b2 a - b2 a2 2a b b2
由此得到公式
a2 - 2ab b2
a - b2 a2 - 2ab b2
就是说，两数差的平方等于这两个数的平方和减去它 们乘积的2倍。
完全平方公式1
利用完全平方公式计算：
若x+y=11,xy=2, 求x2-2xy+y2的值.
选择
D 1、代数式2xy-x2-y2= ( )
A.(x-y)2
B.(-x-y)2
C.(y-x)2
D.-(x-y)2
2、如果x2-6xy+n y 2是一个完全平方式, 那么n是( B )
(A )12 (B)9 (C)-12 (D)-9
(1)( x 1)2 x2 ( -2x ) 1
(2)(a 4 )2 a2 8a 16 (3)(a 2b)2 a2 ( -4ab ) 4b2
(4)(a b)2 (-2ab) a2 b2
例2、运用完全平方公式计算：
( 4a2 - b2 )2
分析：(4aa-b2)2=
a2
- 2ab+b2
巩固练习:
1.下列各式哪些可用完全平方公式计算
(1)(2a-3b)(3b-2a) (2)(2a-3b)(-3b-2a) (3)(-2m+n)(2m+n) (4)(2m+n)(-2mn)
例题1 计算:
(1)(2x 3y)2
(2)(6x 5)2
(3)(2a b)2
(4)(3a 2b)2
综合尝试,实践应用
做一做:用两数完全平方公式计算(填空):
(1)(a+1)2=( a )2+2( a )( 1 )+( 1 )2 =( a2+2a+1 )
(2)(2a-3b)2=( 2a )2-2( 2a)( 3b)+( 3b)2 =( 4a2-12ab+9b2 )
加油 思考！
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
数学：15.2.2《完全平方公式》课件1(人教新课标八年级上)
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b a a b
b
a 图 15.2-2 b a 图15.2-3
尝试应用
1.运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(2) (y-
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
1.下列各式中与(x+1)² 相等的是( B )
A.x² +1 B.x² +2x+1 C.x² -2x+1 D.x² -1
2.下列各式中是完全平方式的（ D）
A.x² +xy+y² B.y² +2y+2 C.x² +xy+y²D.m² -2m+1
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
展示交流
1.运用完全平方公式计算: (1)(x+6)2; (3) (-2x+5)2; (2) (y-5)2; (4) ( xy ) 2.
收获与感悟
1、通过本节课的学习, 你有哪些收获与体会? 2、你还有什么困惑？
完全平方公式
完全平方公式（1）
一、教材分析：1本节内容属数与代数领域，是基本而重要的代数知识，在后续的学习
中具有重要意义。
乘法公式是建立在已经学习了的有理数运算、整式的加减运算等知识的基
础上。
2．乘法公式是以后学习根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，同时也是学习其它学科不可或缺的重要工具。
二、学情分析：教学对象是八年级班学生。
从认知的角度来看，八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题本质的能力，通过探究、类比等活动抽象出问题的规律。
在学习本内容之前，已经经历了有理数运算、整式的加减运算等数与代数知识的学习，在前面的学习过程中，积累了自主探究、合作学习的的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。
这节课的教学，本着从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，
四、教学过程：
五、板书设计
15．2.2 完全平方公式
2
b)
(a+=2a+2ab+ 2b
2
a(-=2a-2ab+ 2b
)b
六、学习评价
七、教学反思
1．完全平方公式是以后进一步学习数学或不可缺的重要工具，必须熟记。
2．完全平方公式的探索与推导，向学生揭示了从特殊到一般的认识事物规律。
3．力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学数学活动经验，教师应
注意引导。
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用完全平方公式运算
1、记忆公式的口诀： “首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”. 2、从(3)(4)的计算可以发现：(a+b)2=(-a-b)2, (a-b)2=(b-a)2.
1、下列各式计算正确的是 ( D )
A、(a+b)2=a2+b2 B、(2a-b)2=4a2-2ab+b2
C、(a+2b)2=a2+4b2
D、(a+3)2=a2+3a+9
【解析】(a+b)2=a2+2ab+b2; (2a-b)2=4a2-4ab+b2; (a+2b)2=a2+4ab+4b2.
±6 ±3 2、若(x+m)2=x2+nx+9,则m=_____, n=_____. 3、计算：(1) (2a+3b)2；(1)(2a+3b)2=(2a)2+2· 3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2. 2a· (2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2· x+x2=4y2-4xy+x2. 2y·
灵活运用完全平方公式化简、求值 【例2】(9分)已知y+2x=1，求代数式(y+1)2-(y2-4x)的值.
【规范解答】
原式=y2+2y+1-y2+4x=2y+4x+1=2(y+2x)+1. 当y+2x=1时，原式=2×1+1=3.
(1)混淆完全平方公式、平方差公式；
(2)运用完全平方公式易出现符号错误.如(-x+y)2=x2+2xy+y2等.
4、计算：10022的值为 1004004 .
【解析】10022=(1000+2)2=10002+2×1000×2+22=1004004.
5、x+y=7,xy=10,求(x-y)2的值.
【解析】∵ (x+y)2=x2+2xy+y2=49,
又∵xy=10,
∴x2+y2=29,
∴(x-y)2=x2-2xy+y2=29-2×10=9.
6、先化简，再求值：
2-x2-2y2，其中x= 1，y=3. y(x+y)+(x-y)
3
【解析】 原式=xy+y2+x2-2xy+y2-x2-2y2=-xy,
yonghongschool
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积说明 完全平方公式吗?
b a a b
b
a 图 15.2-2 b a 图15.2-3
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2 平方和
2倍
用完全平方公式运算
【例1】利用完全平方公式计算： 2 (1) (3 x 2 y)2 (2) (2m )2 ；(3)(a b)2 ； (4) (b a )2. ； 3 【自主解答】
1 1 当x= ,y=3时，原式=-( )×3=1. 3 3
正确运用乘法公式，注意运算符号.
课 时 小 结
总结收获，畅谈体会
※对自己说，你有什么收获？
※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？