数理金融期末复习
数理金融总结期末报告
数理金融总结期末报告第一部分：数理金融的基本概念和发展历程数理金融是应用数学和统计学的方法研究金融市场和金融资产的定价、风险管理、投资组合选择等问题的学科。
数理金融的发展源于20世纪70年代，起初主要应用于期权定价和投资组合管理方面。
然而随着计算机技术的发展和金融工程的兴起，数理金融的应用领域逐渐扩展到其他金融资产和金融市场。
在数理金融的发展历程中，Black-Scholes期权定价模型、CAPM（资本资产定价模型）和风险价值模型等成为数理金融领域的经典模型。
Black-Scholes期权定价模型是数理金融的基石，它描述了欧式期权的定价公式。
CAPM模型解释了证券的期望收益与其系统性风险之间的关系，为投资组合的选择提供了理论依据。
而风险价值模型则用于评估投资组合的风险水平和金融市场的动态风险。
数理金融的发展受到计算机技术的极大推动。
随着计算机硬件和计算速度的提升，金融市场的交易和价格数据的收集和处理变得更加迅捷和高效。
同时，数学和统计方法的推动和应用也使得金融市场的模型和算法更加精确和有效。
第二部分：数理金融在金融市场中的应用数理金融在金融市场中的应用非常广泛，包括资产定价、风险管理、投资组合选择、衍生品定价和金融市场的建模等方面。
在资产定价方面，数理金融利用数学模型和统计方法分析金融资产的市场价格，并预测未来价格的变动。
这些模型包括Black-Scholes期权定价模型、CAPM模型和随机波动模型等。
通过这些模型，投资者可以根据市场价格选择合适的投资策略。
在风险管理方面，数理金融可以评估投资组合的风险水平，并制定相应的风险管理策略。
风险价值模型是常用的风险管理工具，它可以度量投资组合在不同的风险水平下的损失概率。
投资组合选择是数理金融的另一个重要应用领域。
数理金融通过最优化模型和统计方法，为投资者提供合理的投资组合选择策略。
通过分析资产的历史价格和波动性，数理金融可以帮助投资者选择合适的资产组合、权重和分散度，以达到预期风险和收益的平衡。
数理金融复习题(含答案)
V
t 1
P m t 1 r 1 r m m
c
mT
代入数据得：
2 20
V
(1
t 1
90 2 0.12 t 2
)
1000 774.30 12 2 20 (1 0.2 )
11．企业 1 在时期 t 1 将发行 100 股股票，该种股票在时期 t 2 的价 值为随机变量 V1 (2) 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以 至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
各股票之间的相关系数为 甲乙 =0.8，乙丙 =0.75，丙甲 =0.85， 银行在 0 时刻
-4-
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
发行债券，价格为 10 元，1 时刻赎回价为 12.5 元。求 (1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差； (3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为 求 的期望收益率和方差。
(2)?
(3)?
bx 14.若某投资者的效用函数为V ( x ) e , b 0 ，
(1)判断该投资者的风险类型； (2)计算阿罗—伯瑞特(Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数。
解：(1) V ( x) be
bx
0, V ( x) b 2 e bx 0, 所以该投资者为风险厌恶型。
T T 16.已知两种股票 A，B 的期望回报率向量为 r (r1 , r2 ) (0.1, 0.2) ，协
0.1 0.12 V 0.12 0.2 方差矩阵为
计算(1)最小方差证券组合中两种股票 A，B 投资比例； (2) 最小方差证券组合的回报率。
数理金融期末复习
数理金融期末复习资料【名词解释】1、数理金融：数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。
2、绝对风险规避系数：一条效用函数的曲线如果凹度越大，则表示投资者越是规避风险，曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量，用二阶导数除以一阶导数，得到一个衡量度。
称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。
公式见书p833、期望效用函数：见书p84定理4-24、β系数：衡量一个证券系统性风险的指标，是指证券的收益率和市场组合的收益率的协方差再除以市场组合的收益率方差。
5、有效集：能同时满足预期收益率最大，风险最小的投资组合的集合。
有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了高风险高收益的原则，有效集是一条向上凸的曲线，有效集曲线上不可能有凹陷的地方。
6、套利：利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。
换句话说，套利是利用资产定价的错误，价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。
套利有五种基本形式：空间套利，时间套利，工具套利，风险套利和税收套利。
7、分离定理：所有投资者都持有相同的风险证券组合，投资者的风险偏好与风险证券构成的选择无关，即一个投资者的最佳风险证券组合，可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。
8、期权的价值：期权的价值等于内在价值和时间价值之和，内在价值等于零和期权立即执行时所具有的价值这两者中的较大者。
期权的时间价值在内在价值为零时最大，并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。
随着时间延长，期权的时间价值递增，但增幅是递减的。
9、期权价格的影响因素：标的资产价格，期权的协定价格，期权的有效期限，标的资产价格的波动率，无风险利率和标的资产的收益率。
数理金融复习要点
数理金融复习要点一、名词解释1. 冗余资产组合与冗余资产：冗余资产组合是指能够起复制作用的套利资产组合；冗余资产组合中权重系数非零的资产称为冗余资产。
2.“均值-方差”有效资产组合：如果一个资产组合对确定的方差具有最大期望收益率，同时对确定的期望收益率水平有最小的方差，则称这样的资产组合为“均值-方差”有效资产组合。
3.套利与套利资产组合 套利是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入，而在1期刻获得无风险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。
套利资产组合 设12(,,)T n w w w w =鬃?为一资产组合，如果w 满足10,1(1,1,1)T T n w ?=鬃?，则称12(,,)T n w w w w =鬃?为一套利资产组合 4.最小方差资产组合：又称前沿组合，是指对确定的期望收益率水平有最小的方差的资产组合。
5. 证券市场线是指对任意资产组合p X M Î,由点(,())Mp P E X b 所形成的轨迹。
证券市场线方程为：()(())p Mp M E X r E X r b -=-。
其中2cov(,)/Mp p M M X X b s =为资产组合pX 的市场beta 系数，r 为无风险利率。
它是过无风险资产对应的点(0,)r 和市场资产组合对应的点(1,())M E X 的一条直线。
6.资本市场线是由所有有效资产组合p X M Î所对应的点((),())P P X E X s 所形成的轨迹。
资本市场线的方程为：()(())p P M ME X r E X r s s =+-7.看涨期权又称买入期权，敲入期权，是给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
期权包含四个要素：执行价、执行日、标的资产和期权费。
8,看跌期权：又称卖出期权、敲出期权，是指给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
数理金融学复习
1.会计算证券（组合）的收益和方差， 1.会计算证券（组合）的收益和方差，会用夏普比率 会计算证券 进行投资选择。 进行投资选择。 2.叙述Markowitz模型 解释各变量含义， 叙述Markowitz模型， 2.叙述Markowitz模型，解释各变量含义，并进行相关 运算。 运算。 3.叙述CAPM模型 皆是个变量的含义，并进行相关运算。 叙述CAPM模型， 3.叙述CAPM模型，皆是个变量的含义，并进行相关运算。 4.了解系统风险和非系统风险的含义 了解系统风险和非系统风险的含义。 4.了解系统风险和非系统风险的含义。 5.会应用CAPM模型进行项目选择。 5.会应用CAPM模型进行项目选择。 会应用CAPM模型进行项目选择 6.会叙述单因素 多因素模型下的套利定价模型。 会叙述单因素， 6.会叙述单因素，多因素模型下的套利定价模型。解释 各变量的含义。并进行简单的运算分析。 各变量的含义。并进行简单的运算分析。 7.会运用债券定价公式计算债券的价格 到期收益率； 会运用债券定价公式计算债券的价格， 7.会运用债券定价公式计算债券的价格，到期收益率； 会计算久期和凸性。 会计算久期和凸性。 8.理解债券的利率期限结构理论，会根据不同的理论 8.理解债券的利率期限结构理论， 理解债券的利率期限结构理论 算得债券的利率期限结构。 算得债券的利率期限结构。
金融学期末复习知识点归纳总结
金融学期末复习知识点归纳总结1、古代的货币最开始是用贝做的；货币的职能有:（1）赋予交易对象以价格形态；（2）购买和支付手段；（3）积累和保存价值的手段；2、货币的本质特征是: 一般等价物；3、金币本位制是最稳定的本位制；标志布雷顿森林体系解体的两大事件:（1）1971年8月15日, 美国被迫宣布停止向各国政府或中央银行按官价兑换黄金；也就是说, 美国尼克松政府放弃了美元及黄金的直接挂钩；4、（2）1973年2月, 美元的进一步贬值；什么原因导致布雷顿森林体系破产倒闭？（1）制度自身的缺陷。
这个制度一方面要求美元汇率必须保持稳定, 而且美国的国际收支必须处于顺差状态。
另一方面全世界其他国家也要获得外汇储备, 因此要求美国的国际收支又要处于逆差。
这里自相矛盾。
（2）美元危机及美国经济危机频繁爆发。
美国黄金储备减少, 这是导致布雷顿森林体系崩溃的直接原因。
(3) 美国国际收支持续逆差。
随着西欧各国经济的增长, 出口贸易的扩大, 其国际收支由逆差转为顺差, 美元和黄金储备增加, 二战后“美元荒”的局面不复存在。
(4) 美国通货膨胀加剧。
发动越南战争, 两次石油危机, 失业补贴力度加大, 导致财政赤字, 因此不得不大量发行货币。
5、什么是特里芬难题？6、由于美元及黄金挂钩, 而其他国家的货币及美元挂钩, 美元虽然因此而取得了国际核心货币的地位, 但是各国为了发展国际贸易, 必须用美元作为结算及储备货币, 这样就会导致流出美国的货币在海外不断沉淀, 对美国来说就会发生长期贸易逆差；而美元作为国际货币核心的前提是必须保持美元币值稳定及坚挺, 这又要求美国必须是一个长期贸易顺差国。
这两个要求互相矛盾, 因此是一个悖论。
7、大题（1）国际借贷说: 是由英国学者葛逊於1861年提出的。
该理论认为汇率是由外汇的供给和需求决定的, 而外汇的供给和需求是由国际借贷所产生的, 因此国际借贷关系是影响汇率变化的主要因素。
只有流动借贷相等时, 外汇供给也相等, 外汇汇率保持稳定；当流动债权大于流动债务时, 外汇供大于求, 外汇汇率下跌；反之, 则汇率上升。
数理金融练习题
数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。
数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。
它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。
在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。
1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。
随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。
在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。
随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。
此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。
2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。
请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。
解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。
根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。
金融学期末复习重点知识总结
金融学期末复习重点知识总结
1. 宏观经济学基础知识
- 宏观经济学的定义和研究对象
- GDP和国民收入的计算方法及其应用
- 经济增长的驱动因素和影响因素
- 通货膨胀和通货紧缩的原因和后果
- 货币供应量和货币政策的作用
2. 金融市场和金融工具
- 不同类型的金融市场（股票市场、债券市场、外汇市场等）及其特点
- 金融工具的种类和功能（股票、债券、期货、期权等）
- 金融市场中的交易制度和交易方式
3. 风险管理和投资组合理论
- 风险管理的概念和目标
- 风险度量和风险评估方法
- 投资组合理论的基本原理和关键概念
- 资本资产定价模型（CAPM）和有效市场假说（EMH）
4. 公司金融和资本结构决策
- 公司金融的基本概念和目标
- 资本结构的定义和影响因素
- 负债和股权融资的优缺点及适用条件
- 公司价值评估和股权定价模型
5. 国际金融和外汇市场
- 国际金融市场的结构和功能
- 外汇市场的基本知识和操作方式
- 汇率制度和汇率波动的原因和影响因素
- 汇率风险管理和国际投资决策
以上是金融学期末复习的重点知识总结。
请按照这些知识点进
行复习，确保对每个知识点都有清晰的理解和掌握。
祝你考试顺利！。
第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D %2．无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型，贝塔值为的证券X 的期望收益率为A B 0.144 C D3．无风险收益率为，市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ，贝塔值为.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e,则其绝对风险厌恶函数()Ax3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
数理金融期末试卷 A
一、填空题（每小题2分，总共10分）_______的最小化。
.2、 看涨期权多头收益随着标的价格的上涨而____________（填增加、减少或不变）。
3、 套利指的是不承担任何_________而最后能获得正的超额收益。
4、 投资组合中某资产前系数为负指的是___________该资产。
5、 在风险中性概率下，资本市场中所有资产的预期收益率都等于____________收益率二、选择题（每小题2分，总共20分）( )A 、理论性人假设B 、 风险中性假设C 、有效市场假设D 、供给无限弹性假设2、 关于因素模型 ε++=bf a X ，下列说法错误的是（ ）A 、f 代表了系统风险B 、ε代表了非系统风险C 、a X E =][D 、b 始终为正3、看涨期权+-)50(S 期权费为5，则其盈亏平衡所对应的股价为（ ）A 、50B 、45C 、55D 、604、关于美式期权与欧式期权的说法不正确的是（ ）A 、两者行权的方式不同B 、对于看涨期权，美式期权不应该提前行权C 、其他情况相同，美式期权价格应高于欧式期权价格D 、美式期权是在美国发行的，欧式期权是欧洲发行的5、根据有效市场假说，宏观分析有效而技术分析无效的市场是（ ）A 、弱式有效市场B 半强式有效市场C 、强式有效市场D 、无效市场6、假设12K K >，下列期权组合适用于牛市的是（ ）A 、买入执行价为1K 的看涨期权同时卖出一份执行价为2K 的看涨期权B 、卖出执行价为1K 的看涨期权同时买入一份执行价为2K 的看涨期权C 、卖出执行价为1K 的看跌期权同时买入一份执行价为2K 的看跌期权D 、买入执行价为1K 的看涨期权和一份执行价为2K 的看跌期权7、在B-S 公式中，假设没有股息，期权价格关于下列因素递减的是（ ）A 、股票初始价格B 、期权执行价格C 、市场无风险利率D 、股票波动率8、设两个标的s S =0、执行价K 和到期日T 均相同的欧式看涨看跌期权的价格分别为P C ,，市场无风险利率为r ，如果看涨看 跌平价公式不成立且rT Ke s C P ->+-，则下列正确的套利策略是（ ）A 、买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，剩余资金存入银行B 、从银行借款，卖空看涨期权，买入出看跌期权和股票C 、买入看涨期权和看跌期权，卖空股票和债券D 、买入股票和债券，卖空看涨和看跌期权9、关于证券市场线和资本市场线的说法错误的是（ ）A 、两者均反映了收益和风险的关系B 、两者均为直线且从坐标截距均为无风险利率C 、资本市场线比证券市场线的适用范围大D 、资本市场线体现的是资产组合、证券市场线体现的是资产定价10、股票初始价格150=S ，执行价格为18的看涨期权的期权费为c ，则下列估计合理的是（ ）A 、15<cB 、15>cC 、1815<<cD 、18>c三、名词解释（每题5分，共10分）1、举例说明对冲和复制的概念2、试举例说明套期保值，投机和套利三者的区别三、计算题（每题15分，共60分）1、设三支股票321,,X X X 的收益率向量为 )06.0,05.0,04.0(=T μ，三支股票各自的方差分别为0.01.0.04.0.025且它们彼此的收益不相关。
数理金融学导论复习试题
数理⾦融学导论复习试题《数理⾦融》复习题2010-10⼀．选择题：1.证券的系统性风险⼜称为：(C)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。
2.证券的⾮系统性风险⼜称为：(B)（(A)）预想到的风险；（(B)）独特的或资产专有的风险；（(C)）市场风险；（(D)）基本风险。
3. 哪种风险可以通过多样化来消除：(D)（(A)）预想到的风险；（(B)）系统性风险（(C)）市场风险；（(D)）⾮系统性风险。
4. 下⾯哪种说法是正确的？(D)（(A)）系统性风险对投资者不重要；（(B)）系统性风险可以通过多样化来消除；（(C)）承担风险的回报独⽴于投资的系统性风险；（(D)）承担风险的回报取决于系统性风险。
5. 系统性风险可以⽤什么来衡量？(A)（(A)）贝塔系数；（(B)）相关系数；（(C)）收益率的标准差；（(D)）收益率的⽅差。
6. 发⽣哪种情况时，国库券和BAA级公司债券的收益率差距会变⼤？(B)(A)利率降低 (B)经济不稳定(C)信⽤下降 (D)以上均可7.⼀债券有可赎回条款是：(C)(A)很有吸引⼒的，可以⽴即得到本⾦加上溢价，从⽽获得⾼收益。
((B))当利率较⾼时期倾向于执⾏，可节省更多的利息⽀出。
(C)相对于不可赎会的类似债券⽽⾔，通常有更⾼的收益率。
(D)以上均不对8. 考虑⼀个5年期债券，息票率10%，但现在的到期收益率为8%，如果利率保持不变，⼀年后债券价格会：(B)(A)更⾼ (B)更低 (C)不变 (D)等于⾯值9.以下那⼀条对投资者⽽⾔，可转换债券不是有利的:(C)(A)收益率通常⽐标的普通股⾼ (B)可能会推动标的股票价格的上涨(C)通常由发⾏公司的特定资产提供担保 (D)投资者可将其转换成标的普通股10.⼀种债券由可赎回条款是指：C(A)投资者可以在需要的时候要求还款(B)投资者只有在公司⽆⼒⽀付利息时才有权要求偿还(C)发⾏者可以在到期⽇之前回购债券(D)发⾏者可在前三年撤销发⾏11. ⼀种⾯值1000元的附息债券的息票率为6%，每年付息⼀次，修正的久期为10年，市价为800元，到期收益率为8%。
数理金融复习题
1. ※假设组合的收益为r p ，组合中包含n 种证券，每种证券的收益为r i ，它在组合中的权重是w i ，则组合的投资收益的期望和方差为11nnp i i i i i i Er E w r w Er ===∑∑（）＝（）,n 222i 11,1,1nnnpiii j ij ijiji j i j i j w w w w w σσσσ==≠==+=∑∑∑∑＝例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭T w r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.750.01(0.18)0.024475p σ⎡⎤⎛⎫=∑⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=例：假设某组合包含n 种股票。
投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n ，每种股票的收益也是占总收益的1/n 。
设若投资一种股票，其期望收益为r ，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。
11w r (,...,)T p r r r n n r ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭22T2222221...011w w (,...,)0111(,...,)p n n n n n nσσσσσσσ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪=∑⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭++= =＝ 2. ※解马克维茨的均值-方差（Mean-variance ）模型:21min 2..1Tp wT pT s t r σ=∑==w w w r w 1解:构造拉格朗日函数1212,,1()(1)2T T T p w L r λλλλ=∑+-+-w w w r w 1 由于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件1212(1)0 (2)10 (3)T p T LLr Lλλλλ∂=∑--=∂∂=-=∂∂=-=∂w r 10w w r w 1 由(1)得到12λλ∑=+w r 11112λλ--⇒=∑+∑w r 1 (4) (4)代入(2)可得111211121112()()()T T p T T T T r λλλλλλ------==∑+∑=∑+∑=∑+∑w r r 1r r r 1rr r 1r(5)把（4）代入（3）111211121() T T TTλλλλ----==∑+∑=∑+∑w 1r 11r 111（6）为简化，定义11T T a --∑=∑r r r r 11T T b --∑=∑1r r 1 11T T c --∑=∑11112d ac b -将（5）和（6）改写为 12121p r a bb cλλλλ=+⎧⎨=+⎩ 解得12p pcr b cr bd ac bλ--==- 22p pa br a br d ac bλ--==- 可解得给定收益条件下的最优权重向量为11p p cr b a br d d----=∑+∑w r 13. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。
最新《数理金融学》题库(含)答案
《数理金融学》题库（含）答案第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。
考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。
其效用函数是对数形式0110111(;;)log (log log )2a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。
他的最优化问题是011011,,0110111maxlog (log log )2s.t.()0,,0a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥其一阶条件为：00110111/1(1/)21(1/)20,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c wc i a bλμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。
因此，0(0,,)i i c i a b μ==。
对于c 我们立即得到如下解：1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b bc λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：2λω=最后，我们有12c w =, 114a a w c φ=, 114b aw c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。
数理经济复习提纲及解答
数理经济复习提纲1.叙述弹性的一般定义：一般的，函数)(x f y =关于x 的弹性定义为xy dxdy xdx ydy E yx==或)(ln )(ln x d y d E yx=2.证明：（1）两个函数乘积的弹性等于这两个函数弹性的和； 证明：令)(x f =μ，)(x g =ν，二者的积记为)()(x g x f y ==μν，需证明x x yx E E E νμ+=.事实上νμln ln ln+=y ，从而有x x yx E E x d d x d d x d y d E νμνμ+=+==)(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln（2）两个函数商的弹性等于这两个函数弹性的差。
证明：令)(x f =μ，)(x g =ν，二者的商记为)()(x g x f y ==νμ，需证明x x yx E E E νμ-=事实上，νμln ln ln -=y ，从而有x x yx E E x d d x d d x d y d E νμνμ-=-==)(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln .3.已知逆需求函数为P = 12.5Q -0.05，求需求的价格弹性； 解：在逆需求函数的两端取自然对数并简化得P Qln 205.12ln 20ln -=，而20)(ln /)(ln -==P d Q d E d dp ，因此需求的价格弹性为20=dp E4.用数学语言解释‘边际’概念；一种产品的边际效用，是指在原有的边际消费水平0X 下再追加一个消费单位所增加的效用，记作)(0X MU ，数学上表示为=)(0X MU )()1(00X U X U -+由于)()1(00X U X U -+)(0X U '≈故经济学者一般用)(0X U '度量边际效用，即)(0X MU =)(0X U '.任一点X 处的边际效用)(X MU ，叫做边际效用函数，表示为)(X MU =)(X U '.5.用数学语言表述边际效用递减法则；(指在一定时间内，一个人消费一种产品的边际效用随其消费量的增加而减少) 数学上边际效用递减法则是指边际效用函数)(X MU 是消费量X 的减函数，即有=')(X U M )(X U ''0 ，因此，凹效用函数可使边际效用递减法则成立.6.证明：考虑任意市场中的某厂商，并假设TR(Q )和TC(Q )分别是其总收入和总成本函数，则利润函数P (Q ) = TR(Q )-TC(Q )在Q *处获得极大值的一阶必要条件是Q *满足：MR (Q *)= MC (Q *),并给出经济解释 ； 证明：由于)(Q π在*Q 处获得极大值，因此0*)(='Q π又)()()()()(Q MC Q MR Q C T Q R T Q -='-'='π,因此，*Q 满足*)(*)(Q MC Q MR =经济解释： 一个厂商应该继续生产产品，一直到再多生产一单位产品的成本[*)(Q MC ]刚好与该单位产品所带来的收入*)(Q MR 相抵消。
数理经济学期末复习
【重点讲解内容】06硕考题的：2，4，5 ； 07硕考题的：5，6； 08硕考题的：3，4，6，7© Copyright by Nestling.t 2010-7-13【06硕考题】二、一个投资者拥有财富x ，有可能遭受全额损失，遭受全额损失的概率为p 。
他可以购买保险。
如果购买保险的金额为w ，则当损失发生时，可以获得w 2的赔偿；如果没有发生，则赔偿额为0。
效用函数为 0,)(>−=−r ex u rx。
1. 该投资者愿意购买的保险金额为多少？2. 在什么条件下购买的保险金额是正的？3. 该金额与财富水平x 有关吗？解：1. 若该投资者购买保险，那么在损失发生的时候，财富变为(2)x x w w w −−+=，损失没有发生的时候，财富将变为()x w −。
该投资者将决定保险的购买金额，来最大化其期望效用：即求解：()max(1)()()max(1)()()r x w rw wwp u x w p u w p e p e −−−−⋅−+⋅=−⋅−+⋅−F.O.C 要满足：()(1)0r x w rw p e r p e r −−−−−⋅⋅+⋅⋅=解得该投资者愿意购买的保险金额： 1ln 212p x w r p =⋅+−。
2. 要使购买的保险金额为正，即要求 1ln 0212p x w r p =⋅+>−，即11ln p x r p−>⋅3. 由以上结果可知，该金额与财富水平x 有关，即财富必须要大到一定程度的时候，投资者才会愿意去购买保险。
四、一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场需求由Q p −=10给出，21Q Q Q +=。
这两家企业的（边际）成本函数分别为：1124Q C +=， 2233Q C +=。
1. 若两家企业串通，追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？ 市场价格为多少？各自生产多少？ 各自的利润多大？2. 若两家追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自的利润多大？市场价格为多少？ 并给出各自的反应函数。
2013-2014第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型，贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为A 0.06B 0.144C 0.12D 0.1323．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e-=-,则其绝对风险厌恶函数()A x =3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险σp 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)TE X m ==，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险σp 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
数理经济学复习要点(整理版)
第1章对数理经济学的理解
答：数理经济学确切的说，是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用一致的数学定理进行推理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学，或者其他经济学科。
数理经济学与文学经济学的区别在于：（1）前者使用数学符号而非文字、使用方程而非语句来描述假设或结论；（2）前者运用大量的可供引用的数学定理而非文字逻辑进行推理。其实，选择哪一种表述方法并无实质的差别。
第12章CES生产函数练习12.7第5、6题
第3章均衡、一般均衡、局部均衡的含义；
均衡的定义：选定的一组具有内在联系的变量经过彼此调整，从而使这些变量所构成的模型不存在内在变化倾向的一种状态。
有几个词值得注意：
（1）“选定的”意味着确实存在一些变量，由于分析者的选择而未被包含在模型之中；
（2）“内在联系”意味着为了实现均衡状态，模型中的所有变量必须同时处于静止状态，而且，每一变量的静止状态必须与所有变量的静止状态相一致；
第4章矩阵的转置与逆P90，
有限马尔柯夫链P96
由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新的转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵，这就是西蒙条件？该条件有何经济意义？P146
非奇异性条件P82
方阵条件是逆矩阵存在的必要条件，而非充分条件。（一个矩阵可能是方阵，但也可能是奇异矩阵（没有逆矩阵））
第7章链式求导法则、严格单调递增（减）函数、国民收入模型（P210）、雅可比行列式
第8章微分及点弹性含义及应用、隐函数的导数、P263练习第1题、第2题
第9章相对极值的检验（一阶、二阶条件）、练习9.4第3题、第5题
第10章财富增长模型中 中A、r、t的含义
数理金融知识点总结
数理金融知识点总结数理金融是结合数学、统计学和经济学等学科的知识来研究金融市场和金融产品的一门学科。
它将数学和统计理论应用于金融领域，用来分析金融市场的波动、风险管理、金融工程等。
数理金融不仅是金融学的一个分支，更是金融领域中不可或缺的一部分。
下面我们将重点总结数理金融中的一些重要知识点。
1. 随机过程和随机微分方程随机过程是一类随机变量构成的集合，它描述了随机变量随时间的变化规律。
常见的随机过程包括布朗运动、泊松过程等。
随机微分方程是描述随机过程演化的数学工具，它以微分方程的形式描述了随机过程在时间上的变化。
随机过程和随机微分方程在金融领域中被广泛应用于衍生品定价、风险管理等方面。
2. 随机模型金融市场的波动和价格变化通常被认为是随机的，因此随机模型是金融领域中的一个重要工具。
常见的随机模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型、跳跃扩散模型等。
这些随机模型用来描述金融资产价格的变化，并用于金融产品的定价和风险管理。
3. 金融衍生品定价金融衍生品是一种以金融资产为标的，具有衍生性质的金融工具，常见的金融衍生品包括期权、期货、互换合约等。
数理金融提供了一系列的定价模型，如布莱克-斯考尔斯定价模型、波拉赫特-希克斯定价模型等，用来评估金融衍生品的市场价格。
4. 风险管理金融市场的波动性使得金融市场的风险管理成为了一个重要的课题。
数理金融提供了一系列的方法和工具，如价值-at-风险、条件风险、模拟方法等，用来对金融市场的风险进行量化和管理。
5. 投资组合优化投资组合优化是指在给定风险水平下，寻找最优的投资组合以实现最大的预期收益。
数理金融提供了一系列的优化方法，如马尔可夫维茨模型、均值-方差模型等，用来对投资组合进行优化。
6. 交易策略交易策略是投资者在交易金融资产时制定的一系列规则和方法，目的是最大化收益或者最小化风险。
数理金融提供了一系列的分析方法和工具，如技术分析、基本面分析、量化分析等，用来制定交易策略。
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一、选择1. 假设债券 A(0)=100 元； A(1)=110 元，股票 S(0)=80元，S (1) 10060 , 上涨和下跌概率分别为和。
假设你有 10000 元资金，决定买入50 股股票 60 份债券，那么该资产组合收益的数学期望E(K V ) 为（D）。
A、B、C、D、2.下面关于贝塔因子 (β )的描述，说法正确的是 ( A )A.、若某股票的β >1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B、若某股票的β <0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C、若某股票的 0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D、若某股票的β <0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3.两风险资产的对应权重为 ( 1 , 2 ) ，风险分别为 ( 12 , 22 ), 相关系数为12 ,则其组合的风险可表示为（ D ）。
A、 2 2 2v 1 1 2 2C、 2 2 2 2 2v 1 1 2 2 221 2 12 1 21 2 1 2B、D、2 2 22v 1 1 2 2 1 2 12 122 2 2 2 22v 1 1 2 2 1 2 12 1 24.投资两个风险证券，下列资产组合线( 粗黑色表示不允许卖空 )错误的是（ A ）。
①②0.8 1③④0.8 1A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④5.投资两个风险证券，下列资产组合线 (粗黑色表示不允许卖空 )正确的是（ B ）(1)(2)0.5 1(3) (4)0.5 1A、 (1) (2) (3)B、(1) (3) (4)C、(1) (2) (4)D、(2) (3) (4)6.本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值 (V1)与连续复合的终值(V2)满足 ( C )A V1>V2B V1≠V2C V1=V2D V1<V27、给定资产组合或单个证券(收益率用K v表示)的贝塔因子v ，下列表达式正确的是（B）A CCov (K V , K M )vBMCov(K V , K M )vDVCov (K V , K M )v 2MCov ( K V , K M )v 2V8、设无风险利率为，市场证券组合的期望回报率为，则市场风险溢价为（），一个贝塔系数为的投资所要求的回报率为（D）。
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数理金融期末复习 Last revised by LE LE in 2021
数理金融期末复习资料
【名词解释】
1、数理金融：数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融
学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。
2、绝对风险规避系数：一条效用函数的曲线如果凹度越大，则表示投资者越是规避风
险，曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量，用二阶导数除以一阶导数，得到一个衡量度。
称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。
公式见书p83
3、期望效用函数：见书p84定理4-2
4、β系数：衡量一个证券系统性风险的指标，是指证券的收益率和市场组合的收益率的
协方差再除以市场组合的收益率方差。
5、有效集：能同时满足预期收益率最大，风险最小的投资组合的集合。
有效集是一条向
右上方倾斜的曲线，它反映了高风险高收益的原则，有效集是一条向上凸的曲线，有效集曲线上不可能有凹陷的地方。
6、套利：利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下
赚取较高收益率的交易活动。
换句话说，套利是利用资产定价的错误，价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。
套利有五种基本形式：空间套利，时间套利，工具套利，风险套利和税收套利。
7、分离定理：所有投资者都持有相同的风险证券组合，投资者的风险偏好与风险证券构
成的选择无关，即一个投资者的最佳风险证券组合，可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。
8、期权的价值：期权的价值等于内在价值和时间价值之和，内在价值等于零和期权立即
执行时所具有的价值这两者中的较大者。
期权的时间价值在内在价值为零时最大，并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。
随着时间延长，期权的时间价值递增，但增幅是递减的。
9、期权价格的影响因素：标的资产价格，期权的协定价格，期权的有效期限，标的资产
价格的波动率，无风险利率和标的资产的收益率。
10、布莱克斯克尔斯模型：见书p135
11、二项式定价模型：见书p135。