§3-3 凑微分积分法
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
112
§3-3 凑微分积分法
求原函数100(23)d +?
x x 时，若用分项积分法，就得先把100)32(+x 按二项式公式展开成101项之和，然后逐项求积分.这显然是太麻烦了.假若用下面的做法，就会非常简单.
100(23)d x x +?
100
1(23)d(23)2
x x =
++?101101)32(2021)32(101121+=+?=x x 1d d(23)2x x ??
=+????
[把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]
一般地，
1111
()d (0,1)()d()()1
ax b x a ax b ax b ax b a a μμμμμ++≠≠-=
++=++?
?
1d d()x ax b a ??
=+????
[把()ax b +看成x 套用积分公式(2)] 例4
x =1
21
(23)d(23)2x x -++?
32)32(22121
+=+?=x x . [把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]
例5 11
sin(23)d sin(23)d(23)cos(23)22x x x x x +=
++=-+?
?
[把(23)x +看成x 套用积分公式⑸]
下面两例，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.
例6 x ?
=(恒等变换)
1(2d 2x x ?
+?
?
(再分项积分) 13
(222
x x x =+-?3
1
2
213(23)d (23)d 22
x x x x =+-+?? 3
1
2
2
13
(23)d(23)(23)d(23)44x x x x =++-++??5
322
11(23)(23)102
x x =+-+ (凑微分) (凑微分) (套用积分公式)
请你认真看上面的演算，然后合上书再做一遍.
例7 211111
sin d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =-=-=-???,
211111
cos d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =+=+=+???
.
（请注意．．．
，这是固定的积分方法，都用倍角公式） 凑微分积分法用的是积分规则
[][][()]
()
()()d ()d ()()u u x f u x u x x f u u F u F u x ='=====
====?
?查表
它对应于微分法中的链式规则(也是上述积分规则的证明)：
[][]()d ()()d ()()()d ()()d u u x F u x F u u x f u u x x f u x u x x ='''===
§3-3 凑微分积分法
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你从下面的例题中，可以进一步体会到凑微分积分法的含义.其中的中间变量)(x u u =是记在脑子里，不需要写出来.
例8 23
232(23)
311e
d e d(23)e 22
x u x x x x x =++++=+=====?
?
，
(23)
1111
d d(23)ln 23232
232
u x x x x x x =+=+=====+++?
?
，
1)x x x =
=
-(1)
arcsin(1)u x x =-====-，
(2
12)
21
111
d d(1)arctan
522(1)22
u x x x x x x x =++=
+====++++?
?
， 2
222
2111e d e (2)d e d()e 222
x x x x x x x x x =
==?
??
(把2x 看作u 套用公式)， 1
11tan d sin d d(cos )d(cos )ln cos cos cos cos x x x x x x x x
x x =
=-=-=-????
，
11
cot d cos d d(sin )ln sin sin sin x x x x x x x x
=
==?
?
?
. 下面几个例题，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.
例9
()11111
d d ln |5|ln |3|(3)(5)2532x x x x x x x x ??=-=--- ?
----????3
5ln 21--=x x . （裂项，恒等变换）
例10
15353
d d ln |5|ln |3|(3)(5)25322
x x x x x x x x x ??=-=--- ?
----????
. （裂项，恒等变换） 例11
22
1
1111d (0)d d ()()2x a x x a x a x a x a a x a x ??
>==+ ?-+-+-??
?
?
?
（裂项，恒等变换）
()11
11
d()d()ln ln 22a x a x a x a x a a x a x a ??=
+-
-=+--??+-?
???
1ln .2a x a a x +=-
特别(1)a =，有
2
111d ln 121x
x x x
+=--?
. 例12 22
(sin )21
cos d(sin )d 11sec d d d ln cos cos 1sin 121u x x x u u
x x x x x
x x u u
=+=
========---??
?
??
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
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x x x
x
x x x
x x x tan sec ln cos sin 1ln
cos sin 1ln 21sin 1)sin 1(ln 21sin 1sin 1ln 212
22+=+=+=-+=-+=.
用类似的方法可得
csc d ln csc cot x x x x =-?
现在，我们在最简原函数表中再添加以下几个公式(用到时可以直接套用积分公式)：
⑾
2211d ln 2a x
x c a a x a x +=+--? 或
22
11d ln (0)2x a
x c a a x a x a -=+>+-?
⑿tan d ln cos x x x c =-+?
⒀cot d ln sin x x x c =+?
⒁sec d ln sec tan x x x x c =++?
⒂csc d ln csc cot x x x x c =-+?
根据提示做习题
1.求下面的原函数（根据提示，接着做下去）：
⑴100100
1
d (1)d (1)
x x x x -=+=+?? ⑵100
100
(1)1
d d (1)(1)x x x x x x +-=
=++??
⑶
2
2
100
100
(21)2(1)1
d d (1)(1)
x x x x x x x x -++-+==--??
⑷1(32d 2x x x ?
=-=?
-?? 用类似的方法做以下两题：
⑸
x = ⑹
x = 答案：⑴ 99)1(991+-x ；⑵ 99
98)
1(991
)1(981+++-x x ； ⑶99
9897)1(991)1(982)1(971------x x x ；⑷23
2
5)23(21)23(101x x ---； ⑸21
23
)23(2
3)23(61x x ---；⑹ 23
252325)1(31
)1(51)1(31)1(51----+-+x x x x .