2凑微分法

第二讲

Ⅰ 授课题目（不定积分）：

§5.2 凑微分法

Ⅱ 教学目的与要求：

熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原

则。

Ⅲ 教学重点与难点：

重点：凑微分法，变量代换法。

难点：凑微分法, 变量代换法。

Ⅳ 讲授内容：

一、 凑微分法

利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。

例1 求dx x ⎰2cos

这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。

解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 2

1

(='， 所以c x xdx +=

⎰

2sin 2

12cos 。 例2 求dx x ⎰)4sin(3 解 )4sin(3))4cos(4

3()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-⇔='-⇔-='

按照等价命题 c x dx x +-=⎰)4cos(43)4sin(3

例3 求dt t ⎰+12

这样想：)(

12+='t ，联想到 )(u =' ，再想到 u u u u u u ='⇔=='=')3

2(2323)()(32323

3 如果12+=t u

12))12(3

1(122)12(12))12(32(33+='+⇔+='+⋅+='+t t t t t t

最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到

c t dt t ++=+⎰

3)12(3

112。 在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ）

例4 求dx x x ⎰

+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作⎰⎰'=+dx x g x g f dx x x )())((122

如果F 是f 的反导数，根据链法则

)())(())((x g x g f x g F dx

d '= 所以，将u 看作是 21x +， 由于

c u du u du u f +==⎰⎰23

32)( 就可以得到 c x dx x x ++=+⎰3222)1(3

212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。

把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则

或者 ⎰⎰=+=du u f c u F dx dx du u f )()()

(，

例5 求⎰+dx x x

2

32 dx

du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

解 c

x c u du u u x xdx x dx x x ++=+==++=+⎰⎰⎰32223221323132

注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。

0),(1≠+=

a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（323

1x a d dx x +=； )2(1a x d dx x

+=； )(ln 1x d dx x =； )(sin cos x d xdx =； )(x x e d dx e =； )(arctan 112x d dx x =+； )(arcsin 112x d dx x =-； 它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。

表5.2

被积分表达式中含有 凑微分法

)0(),(1≠+=

a b ax d a dx )0(),()(1)(≠++=+⎰⎰a b ax d b ax f a

dx b ax f ）（221x d xdx = 222)(2

1)(dx x f xdx x f ⎰⎰= ）（3231x d dx x = 3323)(31)(dx x f dx x x f ⎰⎰= ……

)0)((1

1≠=-ααααx d dx x )0()(1

)(1≠=⎰⎰-ααααααdx x f dx x x f

)(ln 1x d dx x = )(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x

x f ⎰⎰= )(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⎰⎰= )(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⎰⎰-= )(tan sec 2x d xdx = )(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f ⎰⎰= )(arctan 112x d dx x =+ x d x f dx x

x f arctan )(arctan 11)(arctan 2⎰⎰=+ )(arcsin 112x d dx x =- x d x f dx x

x f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2⎰⎰=- 例6 求dx x ⎰

2sin 解 因为2

)2cos(1sin 2x xdx -=