一、凑微分法

函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
则

f ( x)dx F ( 1 ( x)) C.
证明： d ( F ( 1 ( x)) F (t ) ( 1 ) dx
1 f ( (t )) (t ) f ( x). (t )
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln | x x 2 a 2 | C1


2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C. 2 2

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2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C. 2 2
ln | sec x tan x | C.
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§2. 不定积分的计算
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
cos x 1 cos x sin x dx sin xd sin x 1 sin x dx 0 1?
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§2. 不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时, cos x d sin x sin x dx sin x ln | sin x | C. 使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
求
f ( (t )) (t )dt
设 (t ) x
( 将函数 (t )替换为变量x )
f ( x )dx
求出这个不定积分,再将结果中的x换成 (t )即得 所求的不定积分.
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§2. 不定积分的计算 换元积分法——将变量替换为函数：
设 x (t )
求
f ( x)dx
dx (t )dt
f ( (t )) (t )dt ,
( 将变量x替换为函数 (t ) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1 ( x)即得 所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
1 ( x 2)(3x 1) C. 5
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2 3
§2. 不定积分的计算 例8. 求

a 2 x 2 dx
解： 令 x a sin t , dx a cos tdt ,

a 2 x 2 dx a cos t a cos tdt a 2 cos 2tdt

1Байду номын сангаас
dx
例10. 求
ln(x x 2 a 2 ) C, (C C1 ln a). dx
x 2 a 2 解： 1. 令x a sec t , dx a sec t tan tdt.

2. 令x acht, dx ashtdt
asht 原式 dt t C ln | x x 2 a 2 | C. asht
1 1 2. 令 t , dx 2 dt x t
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
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1
§2. 不定积分的计算 Theorem : 设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
vudx,
udv
选则 u, v 的原则是
求
vdu
vdu
要比
udv
简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算 例11. 求
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
1 2 sin x cos xdx sin xd (sin x) 2 sin x C.
1 2. sin x cos xdx cos xd (cos x) cos 2 x C. 2
1 1 3. sin x cos xdx sin 2 xdx cos 2 x C. 2 4
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§2. 不定积分的计算 例9. 求
x2 a2 解： 令 x a tan t , dx a sec2 tdt , 则
a sec2 t 1 2 原式 dt sec tdt ln(tan t a a 2 tan 2 t ) C1 a sec t a
a2 a2 1 ( 1 cos 2 t ) dt ( t sin 2t ) C. 2 2 2
a2 x x 1 2 (arcsin a x2 ) C 2 a a a 2 1 a x 2 2 x a x arcsin C. 2 2 a x a2 x2 ( t arcsin x, sin 2t 2sin t cos t 2 ). a a
F (t ) C
令t ( x)
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
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§2. 不定积分的计算
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
§2. 不定积分的计算
例15. 求
解：
ax e cos bxdx 及
ax e sin bxdx.
ax e cos bxdx
ax e sin bxdx
1 ax b e cos bx e ax sin bxdx , a a
1 ax b e sin bx a a
ax e cos bxdx,
x2 x2 x2 x sin xdx sin xd ( 2 ) 2 sin x 2 d (sin x).
比
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x sin xdx
更繁.
§2. 不定积分的计算 例12. 求
arctan xdx
解： 原式 x arctan x
x dx 2 1 x
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§2. 不定积分的计算 例14. 求 解：

2
x 2 a 2 dx
2 2 2
a 2 a 2
x x a a2
2 2

x a dx x x a x
dx
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx
x a
2
2
dx
注：积分方法以“化繁为简”为目的.
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§2. 不定积分的计算 三、分部积分法
对于可微函数u( x)与v( x), 有
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx ,
or
udv uv vdu ,
(a const )
dt t ln | t | C ln | x a | C.
d ( x a) xa
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令x a t
dx dt
§2. 不定积分的计算
“凑”微分法:
求

f ( x)dx
设法凑成
g ( ( x )) ( x) dx
§2. 不定积分的计算 一、“凑”微分法
2x e 例如： 求 e2 x dx 2 d (2 x)
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2 x t
dx 1 dt 2
1 t 1 t 1 2x e dt e C e C. 2 2 2
简单替换
例1.

1 dx xa
例3.

dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
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§2. 不定积分的计算 例7. 求

x 1 dx 3 3x 1
解： 令 3x 1 t 3 , t 3 3x 1, x 1 (t 2 1), dx t 2 dt , 则 3
1 3 (t 1) 1 1 4 2 3 原式 t dt (t 2t )dt t 3
联立, 解之得：
b sin bx a cos bx ax e C, 2 2 e cos bxdx a b
ax
a sin bx b cos bx ax e C, 2 2 e sin bxdx a b
ax
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§2. 不定积分的计算
注2. 类似的, 下列函数

1 1 3 1 1 2 (4 3x3 ) 2 d (4 3 x3 ) t 2 dt (4 3x3 ) 2 . 9 9 9
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§2. 不定积分的计算 二、换元积分法
1 1 例6. 求 2 e x dx x
1 1. 原式 e d ( ) e C. x
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§2. 不定积分的计算 注：
dx x2 a2 ln | x x 2 a 2 | C.
2 1 a x 2 2 2 2 a x dx 2 x a x 2 arcsin a C. “凑”微分法与换元积分法比较
“凑”微分法——将函数替换为变量：
x k sin bx, x k cos bx, x k eax , x k ln m x, x k arctan x, p( x) sin mx, p( x) cos mx, p( x) ln x, p(sin x)e ax 等等.
的不定积分常可用分部积分法可得.
注3. 使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若 干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成 为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注 意如下情形：
x sin xdx
则原式 xd ( cos x) x cos ( cos x)dx
解： (1) 令 u x, dv sin xdx d ( cos x),
x cos x sin x C.
x2 (2) 令 u sin x, dv xdx d ( ), 则 2
例13.
2 3x x e dx
1 x arctan x ln(1 x 2 ) C. 2
3x 2 e x 2 3x 2 3x x d ( ) e xe dx 3 3 3 x2 3x 2 e3 x x2 3x 2 x 3x 2 3x e xd ( ) e e e dx 3 3 3 3 9 9 x2 2x 2 3x ( )e C. 3 9 27