一、凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
微积分下册主要知识点汇总
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
).,(,,
4-2(第一换元法)
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
一般地，对于积分 f (ax b)dx(a 0)
总可以取 u ax b ，使之化为
f (ax b)dx f (ax b)d (ax b)
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例7 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
2
总可以取 u ax b ，使之化为
2
1 f (ax b) xdx [ f ( u)du]uax b 2a
2
2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2
2 xdx dx
1 x dx dx 1 1
x2
x2
2 ， e u x ；
解 间变量 u x 2 的导数，
于是有
2 2 xe dx e dx x2 x2
2 xe dx e dx 2
x2 x2
e C
x2
一般地，对于积分 f (ax b) xdx(a 0)
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
凑微分法技巧口诀
凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。
“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。
“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。
“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。
积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。
二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
5-4 不定积分的换元积分法(1)
Teaching Plan on Advanced Mathematics
例3(P211例5） ） 解 原式 原式=
分解
dx 1 dx −∫ = ∫ x+a 2a x − a du = ln u + C ∫ u
d( x + a) 1 d( x − a) −∫ = ∫ x−a x+a 2a
x ln x
1 1 1 dx 1 ∫ x ln 2 x = ∫ ln 2 x d ln x = ∫ u 2 du = − u + C = − ln x + C
dx 解 设 u = ln x ，则 du = ．于是 x
说明：在对变量代换发方法熟悉后， 说明：在对变量代换发方法熟悉后，可略去中 间的换元步骤， 间的换元步骤，直接凑微分后积分即可 ex dx （5）求不定积分 ∫ 2x 1+e 解
∫
f [ϕ ( x )]ϕ ′( x ) dx
凑微分
∫ f [ϕ ( x )]dϕ ( x )
令ϕ( x) = u 令u = ϕ(x)
∫ f ( u )du =
F (u) + C
F [ϕ ( x )] + C
为此须记住如下公式： 为此须记住如下公式：
jinan University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
基本初等函数的微分公式（ 134基本初等函数的微分公式（P134-135） α −1 α (1)0 = d (C) (2)α x dx = d ( x )
记
(3)cos xdx = d (sin x) (5)sec2 xdx = d (tan x)
高中数学换元法
被积函数含有形如
1 dx ( a > 0). 例16 求 ∫ 2 2 x +a − π, π 2 解 令 x = a tan t ⇒ dx = a sec tdt t ∈ 2 2 1 1 dx = ∫ ⋅ a sec 2 tdt ∫ x2 + a2 a sec t
= ∫ sec tdt = ln | sec t + tan t | + C
例9 求 原式= ∫
∫
(
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 dx 2 x 1+ 2 a
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ a
1 例6 求∫ 2 dx . x − 8 x + 25 1 1 解 ∫ 2 dx = ∫ dx 2 x − 8 x + 25 ( x − 4) + 9 1 1 1 1 x − 4 dx = ∫ = 2∫ d 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
不定积分的求解技巧凑微分法
不定积分的求解技巧凑微分法不定积分的求解技巧之一是凑微分法。
凑微分法是一种通过巧妙地凑微分项的方式，将被积函数转化为可直接求积的形式。
下面将详细介绍凑微分法的原理和应用。
一、凑微分法的原理凑微分法的基本思想是通过变换被积函数，使得被积函数的微分形式出现在被积函数之外，在求积的过程中可以直接被积。
相当于将被积函数分解为两个部分，一个部分是可直接求积的微分形式，另一个部分则是凑出的微分项。
通过凑出的微分项，将原函数的微分项和凑出的微分项相加，得到一个新的函数，即可进行直接求积。
二、常用的凑微分法技巧1. 一元一次方程凑微分法对于一元一次方程形式的被积函数，可以通过凑微分法直接求积。
例如，对于被积函数f(x)=(ax+b)^n (n为整数)，可以利用代换u=ax+b，然后求u的微分，再在原函数中用u替换为x，即可得到新的被积函数。
在求积的过程中，可以发现新的被积函数的微分形式是常见的可直接求积的形式。
2. 分式凑微分法对于被积函数是分式形式的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。
例如，对于被积函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是两个多项式，Q(x)的次数大于P(x)的次数。
可以通过凑微分法，将被积函数分解为部分分式的形式。
然后将分解后的每一项进行分解，得到新的被积函数，即可进行直接求积。
3. 完全微分凑微分法对于被积函数是完全微分的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。
例如，对于被积函数f(x,y) = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy，其中u(x,y)为某个函数。
可以根据求导的规则，将被积函数进行求导并整理，得到被积函数的微分形式。
然后将微分形式中的各项进行凑微分，得到新的被积函数，即可进行直接求积。
三、凑微分法的应用凑微分法在求解不定积分中有广泛的应用。
通过凑微分法，可以将被积函数转化为可直接求积的形式，从而简化求积的过程。
凑微分法常用于多项式函数、分式函数和特殊函数等形式的不定积分的求解中。
凑微分法详细讲解
凑微分法详细讲解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠凑微分法。
这凑微分法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
你想想看，有些数学式子就像一团乱麻，让你摸不着头脑。
可凑微分法呢，就像是一个耐心的梳理者，能把这团乱麻慢慢地理顺。
比如说，遇到那种看起来很复杂的式子，咱通过巧妙地变形、凑一凑，就能让它变得清晰明了。
这凑微分法就好像是变魔术一样！本来让人头疼的式子，经过这么一凑，嘿，就变得乖乖听话啦。
举个例子哈，就像你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们拼成一个完整的形状。
凑微分法就是帮你找到那些合适的积木块，然后把它们拼凑在一起。
咱在学习凑微分法的时候，可别着急，得慢慢来。
就跟学走路似的，一步一步来，走稳了才不会摔跟头。
一开始可能会觉得有点难，哎呀，这怎么凑啊？但别灰心，多试试，多练练，慢慢就找到感觉啦。
你看那一道道难题，不就是一个个小怪兽嘛！咱拿着凑微分法这把宝剑，勇敢地去挑战它们。
有时候可能一下子没凑对，没关系，调整调整再上。
就像打游戏，失败了再来一局呗。
而且啊，凑微分法还特别实用。
在好多数学问题里都能派上大用场。
你说，这是不是个宝贝？它能让咱解题的效率大大提高，就像给咱加了一双翅膀，能在数学的天空中飞得更高更远。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这凑微分法。
好好学，好好用，让它成为咱数学学习路上的得力助手。
相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学的世界变得更加精彩啦！这凑微分法，真的值得咱好好去钻研，去掌握，去运用！咱可不能错过这么好的方法呀，对不对？。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是求不定积分的一种常用方法。
该方法的核心思想是运用代数技巧，将被积函数化简为可直接求解的形式，从而便于求取不定积分。
在实际应用中，不定积分凑微分可以解决一些特定形式的不定积分问题，如有理函数、有理函数的积、和、复合函数、分部积分等。
下面将详细介绍不定积分凑微分法的原理、思路和具体步骤。
一、不定积分凑微分法的原理和思路不定积分凑微分法是利用代数变换，通过凑微分将原函数化简为易于求积的形式。
其原理基于微分的性质，即如果存在一个函数u(x)，满足du(x)=f(x)dx，则能够得到f(x)dx=du(x)，从而将被积函数化简。
该方法的思路可以概括为以下几个步骤：1.首先观察被积函数，尝试找到一个可以直接求积的函数作为凑微分的基本形式。
2. 推测一个可以凑微分的函数u(x)，并计算出它的微分du(x)。
3. 将原函数中的部分项乘以1，即du(x)/du(x)，并将这个1用u(x)表示。
4. 将原函数中凑出的du(x)用u(x)表示，并将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
二、不定积分凑微分法具体步骤具体求解不定积分的凑微分法步骤如下：1.观察原函数，尝试找到可以求积的基本形式。
常见的基本形式包括一元多项式、指数函数、三角函数等。
2. 根据被积函数的形式，选择一个适合的凑微分函数u(x)。
通常情况下，选择凑微分函数时要考虑它的微分du(x)，以及被积函数的部分项是否能够通过凑微分函数u(x)来表示。
3. 计算凑微分函数u(x)的微分du(x)，并将被积函数中的dx用du(x)表示。
4.将原函数中对应凑微分函数u(x)的部分用u(x)表示，将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
三、不定积分凑微分法的应用举例1.凑微分简化幂函数的积分考虑不定积分∫x^2/(x+1)dx。
这是一个幂函数的积分，我们可以选择凑微分函数u(x)=x+1，计算它的微分du(x)。
计算积分的方法
计算积分的方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
凑微分方法总结
凑微分方法总结
凑微分法，也被称为第一换元法，是一种在积分学中常用的方法。
以下是其一般步骤和注意事项：
1. 识别不定积分中的复合函数部分，尝试将其拆分成基本初等函数。
2. 观察不定积分中的被积函数，尝试将其表示为其他初等函数的导数。
3. 使用初等函数的积分公式，将不定积分转化为容易计算的积分。
凑微分法常见于以下几种情况：
1. 类型一、类型二、类型三的不定积分，这些类型的不定积分可以归纳成特定的形式，当遇到这些形式的不定积分时，可以考虑使用凑微分法。
2. 类型四，应与类型一进行区分，以避免混淆。
3. 类型五，这种情况下的不定积分只有当k为大于1的整数时才适用。
4. 类型六、类型七、类型八，这三种类型是非常常见的，一般通过对数化简来凑微分。
5. 类型九、类型十和类型十一，分别涉及到三角函数、反三角函数和微分关系式的凑微分法。
对于这些特定类型的不定积分，需要记住相应的凑微分公式才能求解。
在运用凑微分法时，需要注意以下几点：
1. 识别被积函数的形式，判断是否适合使用凑微分法。
2. 对于较为复杂的不定积分，可能需要结合其他积分技巧，如变量代换、部分分式分解等，才能成功应用凑微分法。
3. 在使用凑微分法时，需要注意公式的正确性和适用条件，以免出现错误的结果。
4. 对于一些较为特殊的不定积分，可能需要查找特定的凑微分公式或者使用数值方法进行近似计算。
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函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
则
f ( x)dx F ( 1 ( x)) C.
证明： d ( F ( 1 ( x)) F (t ) ( 1 ) dx
1 f ( (t )) (t ) f ( x). (t )
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln | x x 2 a 2 | C1
2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C. 2 2
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2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C. 2 2
ln | sec x tan x | C.
Yunnan University
§2. 不定积分的计算
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
cos x 1 cos x sin x dx sin xd sin x 1 sin x dx 0 1?
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§2. 不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时, cos x d sin x sin x dx sin x ln | sin x | C. 使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
求
f ( (t )) (t )dt
设 (t ) x
( 将函数 (t )替换为变量x )
f ( x )dx
求出这个不定积分,再将结果中的x换成 (t )即得 所求的不定积分.
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§2. 不定积分的计算 换元积分法——将变量替换为函数：
设 x (t )
求
f ( x)dx
dx (t )dt
f ( (t )) (t )dt ,
( 将变量x替换为函数 (t ) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1 ( x)即得 所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
1 ( x 2)(3x 1) C. 5
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2 3
§2. 不定积分的计算 例8. 求
a 2 x 2 dx
解： 令 x a sin t , dx a cos tdt ,
a 2 x 2 dx a cos t a cos tdt a 2 cos 2tdt
1Байду номын сангаас
dx
例10. 求
ln(x x 2 a 2 ) C, (C C1 ln a). dx
x 2 a 2 解： 1. 令x a sec t , dx a sec t tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
asht 原式 dt t C ln | x x 2 a 2 | C. asht
1 1 2. 令 t , dx 2 dt x t
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
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1
§2. 不定积分的计算 Theorem : 设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
vudx,
udv
选则 u, v 的原则是
求
vdu
vdu
要比
udv
简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算 例11. 求
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
1 2 sin x cos xdx sin xd (sin x) 2 sin x C.
1 2. sin x cos xdx cos xd (cos x) cos 2 x C. 2
1 1 3. sin x cos xdx sin 2 xdx cos 2 x C. 2 4
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§2. 不定积分的计算 例9. 求
x2 a2 解： 令 x a tan t , dx a sec2 tdt , 则
a sec2 t 1 2 原式 dt sec tdt ln(tan t a a 2 tan 2 t ) C1 a sec t a
a2 a2 1 ( 1 cos 2 t ) dt ( t sin 2t ) C. 2 2 2
a2 x x 1 2 (arcsin a x2 ) C 2 a a a 2 1 a x 2 2 x a x arcsin C. 2 2 a x a2 x2 ( t arcsin x, sin 2t 2sin t cos t 2 ). a a
F (t ) C
令t ( x)
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
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§2. 不定积分的计算
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
§2. 不定积分的计算
例15. 求
解：
ax e cos bxdx 及
ax e sin bxdx.
ax e cos bxdx
ax e sin bxdx
1 ax b e cos bx e ax sin bxdx , a a
1 ax b e sin bx a a
ax e cos bxdx,
x2 x2 x2 x sin xdx sin xd ( 2 ) 2 sin x 2 d (sin x).
比
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x sin xdx
更繁.
§2. 不定积分的计算 例12. 求
arctan xdx
解： 原式 x arctan x
x dx 2 1 x
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§2. 不定积分的计算 例14. 求 解：
2
x 2 a 2 dx
2 2 2
a 2 a 2
x x a a2
2 2
x a dx x x a x
dx
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx
x a
2
2
dx
注：积分方法以“化繁为简”为目的.
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§2. 不定积分的计算 三、分部积分法
对于可微函数u( x)与v( x), 有
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx ,
or
udv uv vdu ,
(a const )
dt t ln | t | C ln | x a | C.
d ( x a) xa
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令x a t
dx dt
§2. 不定积分的计算
“凑”微分法:
求
f ( x)dx
设法凑成
g ( ( x )) ( x) dx
§2. 不定积分的计算 一、“凑”微分法
2x e 例如： 求 e2 x dx 2 d (2 x)
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2 x t
dx 1 dt 2
1 t 1 t 1 2x e dt e C e C. 2 2 2
简单替换
例1.
1 dx xa
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
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§2. 不定积分的计算 例7. 求
x 1 dx 3 3x 1
解： 令 3x 1 t 3 , t 3 3x 1, x 1 (t 2 1), dx t 2 dt , 则 3
1 3 (t 1) 1 1 4 2 3 原式 t dt (t 2t )dt t 3
联立, 解之得：
b sin bx a cos bx ax e C, 2 2 e cos bxdx a b